Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)]
Poxa, o Ponce, com sua vasta esperiencia de decadas e decadas matematicas, ressuscitou a questao de qual eh a melhor desigualdade do tipo ma+mb+mc=k(a+b+c) que a gente consegue escrever?, que estava em http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg43875.html e mostrou que aqueles 3/2 que a gente achou ha decadas NAO era a melhor cota. (A gente tambem achou que 3/4.(a+b+c)=ma+mb+mc, e tem um argumento lah que diz que esses 3/4 eh a melhor desigualdade) Agora fiquei curioso -- qual eh o menor valor possivel de k para garantir que a desigualdade acima vale? E antes que alguem diga, o argumento de que num triangulo degenerado vale a igualdade porque dah 0=0 nao me convence -- afinal, o que eu quero eh o menor valor de k, e esse 0=0 vale para qualquer k. Abraco, Ralph 2009/5/9 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Nehab, Santa Rita, Luis Lopes e pessoal da lista, estou gostando dessas histórias ! ...menos, é claro, da intenção do Nehab em me incluir na lista dos quase coroas, visto que ele já conhecia o Bourbaki de trás pra frente, há mais de 10 anos, quando o único conjunto que eu conhecia era o dos Beatles... Xiii me entreguei Mas voltando 'a vaca fria, vamos resolver o problema do Santa Rita, ou seja, vamos tentar encontrar algum triangulo tal que o seu perimetro seja igual a soma das suas medianas. Entao, considere um triangulo ABC, e seja D o ponto medio do lado BC. Pois agora imagine os vetores AB e AC, com origem em A. Repare que a soma desses 2 vetores vale exatamente o dobro da mediana AD. Por outro lado, a gente sabe que a soma de dois vetores quaisquer vale, no maximo, a soma dos dois modulos. Portanto, a mediana AD vale no maximo a metade da soma dos comprimentos AB e AC, ou seja, 2*AD = AB + AC Repita essa desigualdade para as outras medianas, e some tudo. Fica facil concluir que: A SOMA DAS MEDIANAS E' SEMPRE MENOR OU IGUAL AO PERIMETRO DO TRIANGULO. Alias, essa igualdade so' acontece se os angulos entre os vetores forem zero, o que significa que o triangulo tem que ser degenerado. E, de fato, isso acontece quando um dos lados do triangulo tem comprimento zero. []'s Rogerio Ponce 2009/5/6 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Caramba, Falam em antiguidades e mencionam logo meu nome. Não sei porque... :-) . Você já mencionaram dois maiores monstros do passado em Geometrias (imaginem... o quanto passado...o meu passado! hahaha). O Virgilio de Athayde Pinheiro e o Célio Pinto de Almeida (que depois foi dono da construtora que levava seu nome). O primeiro, um sábio, um verdadeiro mestre, de corpo e alma (falava grego fluentemente, era um poço infinito de conhecimento, inclusive sobre história da Matemática, aspecto tão negligenciado hoje em dia (para os alunos fica a horrível sensação que tudo em matemática sempre foi do mesmo jeito semprecomo se matemática fose uma descoberta dos deuses e não dso homens...). Tive o privilégio de ter sido aluno do Virgílio em Geometria Descritiva e Perspectiva(s). Do segundo élio) fui aluno de Desenho Geométrico (ai incluidas as Cônicas): um monstro e um extraordinário professor. Mas havia um outro monstro sagrado, tímido e introspectivo, que foi professor do IME e da UFF (Dep de Matemática) - Luiz Oswaldo - e tive oportunidade de ser aluno dele em ambas as escolas. No IME, de Geometria, e na UFF de Teoria dos Números e de Geometria (foi através dele que conheci e me extasiei com o livro do Niven - Irrational Numbers, já mencionado algumas vezes por aqui). Eram do Luiz Oswaldo a grande maioria das questões de Geometria dos concursos de admissão ao IME na década de 65 a75, inclusive as questões de Geometria da prova de 72/73 onde tive o prazer de trabalhar com ele (eu já dava aula lá) e participar de forma intensa no massacre da prova de Álgebra daquele ano. ;-) Para quem não se lembra eu e o Ponce (um quase coroa da lista) já escrevemos por aqui causos engraçados sobre o Luiz Oswaldo, inclusive sua ridícula e única gravata de seu sovina vestuário. Mas eu tenho os livros do Virgílio de Descritiva, os do Célio, de Cônicas e de outras cositas deles. Quanto ao problema proposto pelo Santa Rita (perímetro e medianas) eu tb não o havia visto ainda e de fato, como o Luis mencionou, não seria um problema digamos clássico, pois não é muito comum, na bibliografia, a sistematização de problemas contendo somas, diferenças etc. (vide uma das bíblias em Wernick, W. Triangle Constructions with Three Located Points. Math. Mag. 55, 227-230, 1982.) e diversos outros papers que vão completando a lista do Wernick. Eu tenho estes textos que me foram enviados por meu filho. Vou tentar resolver o citado problema, mas não juro que seja indeterminado, pois a soma das medianas varia entre 3/4 e 3/2 do perímetro de um triângulo... Bolas dirão, e daí? Bem nada como sexto sentido de matemágico
Re: [obm-l] produtos notaveis - SIM SOLUÇÂO por PRODUTOS NOTÁVEIS
(por precaução tô mandando outra vez sem reply) Oi, Luís Primeiro vamos ao exercício e 'a sugestão que você lembrou: Produtos Notáveis Repetindo o enunciado para quem nos acompanha (mudei apenas letra): Se a + 1/a = (raiz(5) + 1)/2 calcule a^2000 + 1/a^2000 A solução clássica e a mais elegante (por complexos) é de fato a que o Macio Pinheiro postou, mas dá para fazer usando a sugestão. Obs (apenas para quem já estudou um pouquinho de recorrência linear) Por recorrência linear, que também seria um caminho imediato enrola pois as raízes do polinômio característico são nojentas e obviamente complexas. Veja: se A(n) = a^n + 1/a^n é imediato que A(n) = a.A(n-1) - A(n-2) e a equação característica é z^2 - az +1 = 0 onde a é o (raiz(5) +1)/2. Nojento (se alguém encontrar uma saída por ai, por favor, poste-a) Solução (sem complexos - metaforicamente ou não... :-) ) Vamos então: Como 2000 = 5^3.2^4, temos que ver se conseguimos (sem muitas contas chatas) replicar o cálculo de x^5 + 1/x^5 a partir de x + 1/x, três vezes, para calcularmos x^125 + 1/x^125 e y^2 + 1/y^2 a partir de y + 1/y quatro vezes, para calcularmos y^16 + 1/y^16 (onde, é claro, o y será x^125 e assim obteremos o x^2000 + 1/x^2000) Não é tão enrolado assim, se formos com calma: Vamos fazer (raiz(5) +1)/2 = P e (0) (raiz(5) -1)/2 = p (0) Para calcularmos x^5 + 1/x^5 a partir de X = x + 1/x, passamos pelo x^2 + 1/x^2 e x^3 + 1/x^3 (simples e clássicos) Vejamos (produtinhos notáveis): x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2 = X^2 - 2(1) x^3 + 1/x^3 = (x + 1/x)^3 - 3 (x +1/x) = X^3 - 3X = X(X^2 -3) (2) Logo, x^5 + 1/x^5 = (x^3 + 1/x^3).(x^2 +1/x^2) - (x +1/x) x^5 + 1/x^5 = (X^3 - 3X).(X^2 - 2) - X = X[(X^2 -3)(X^2 -2) - 1] (3) Parece que as contas serão esquisitas, mas nem tanto, pois P e p são MUITO simpáticos... e razoavelmente bonzinhos... Aplicando (1), (2) e (3) várias vezes e lembrando de (0), onde definimos P e p, chegaremos no resultado. Vejamos: De x = a e X = a + 1/a = P em (3) obtemos a^5 + 1/a^5 = X(X^2 -3)(X^2 -1) - X= P[(P^2 -3)(P^2 - 2) - 1] = -2 (valor já esperado - vide solução do Marcio: a = cis 36, logo a^5 = -1 e 1/a^5 = -1). De x = a^5 e X = a^5 + 1/a^5 = -2 em (3), obtemos a^25 + 1/a^25 = X[(X^2 -3)(X^2 -2) - 1] = -2 (que também é óbvio para quem viu o cis 36) De x = a^25 e X = a^25 + 1/a^25 = -2 em (3) obtemos a^125 + 1/a^125 = X[(X^2 -3)(X^2 -2) - 1] = -2 Agora basta usar (1) 4 vezes e as contas são óbvias e iguais a 2, sempre... De x = a^125 e X = a^125 + 1/a^125 = -2 em (1) a^250 + 1/a^250 = (2)^2 -2 = 2 De x = a^250 e X = a^250 + 1/a^250 = 2 em (1) a^250 + 1/a^250 = 2^2 -2 = 2 De x = a^250 e X = a^250 + 1/a^250 = 2 em (1) a^500 + 1/a^500 = 2^2 -2 = 2 De x = a^250 e X = a^250 + 1/a^250 = 2 em (1) a^500 + 1/a^500 = 2^2 -2 = 2 Na verdade (como era de se esperar), a^250 + 1/a^250 = a^500 + 1/a^500 = a^1000 + 1/a^1000 = a^2000 + 1/a^2000 = 2 Abração, Nehab PS: Caramba, Luis, apostila de Trigonometria? Pois é, eu lembrei que fiz a primeira apostila de Algebra Linear (com o Cesar Salim) quando este negócio começou a entrar no Vestibular do Rio (acho que em 1971 ou 2). O Ponce aqui da lista (o quase velho :-) ) recentemente teve a gentileza de me emprestar as apostilas de Cálculo e Lógica que eu andei fazendo lá pelos idos de 1970 (caramba, que loucura) nas turmas IME/ITA (ih, nem devolvi ainda !!! ). Não há a menor chance de usar este material hoje. As coisas mudaram um pouquinho. Eu enfatizava o aprendizado de Lógica com o primeiro passo para os alunos se alfabetizarem em Matemática. Hoje isto tem pouquíssimo ibope...mas ainda funciona.. :-D , alías funciona desde o início dos tempos, né, desde pelo menos um tal de Aristóteles que também não tem muito ibope hoje... Como diz o Zygmund Bauman (um sociólogo que alguns acham meio pessimista, mas eu particularmente sou seu admirador), é um sinal da Modernidade Líquida..., título de seu livro mais interessante (uma bela metáfora para os tempos pós modernos, né?)... Aliás é o único livro que indico dele. O cara é extremamente criativo. Luís Lopes escreveu: Oi Nehab, É verdade. Mas isso está acontecendo com outras listas também. A propósito, era para calcular x^200 + (1/x)^200 (se é o problema que estou pensando) Acho que era x^2000 + (1/x)^2000 (detalhe). Mas a sugestão(?) era pra começar calculando [x + x^(-1)]^2. Tentei nessa linha e não consegui nada. Mas a solução mandada é muito boa. Ah, me lembrei que tenho também uma apostila de G. Espacial do Célio. Mas como ela apareceu um dia lá em casa (irmãos mais velhos, amigos dos irmãos mais velhos que estudavam lá m casa etc) não me lembro da sua procedência. E nunca me detive nela. E já que toquei nisso tenho também uma sua de Trigonometria, espólio do material do Impacto de um irmão nesse caso mais novo. []'s Luís Date: Fri, 8 May 2009 16:23:26 -0300 From: ne...@infolink.com.br To:
Re: [obm-l] produtos notaveis - SIM SOLUÇÂO por PRODUTOS NOTÁVEIS
Oi, Luís Primeiro vamos ao exercício e 'a sugestão que você lembrou: Produtos Notáveis Repetindo o enunciado para quem nos acompanha (mudei apenas letra): Se a + 1/a = (raiz(5) + 1)/2 calcule a^2000 + 1/a^2000 A solução clássica e a mais elegante (por complexos) é de fato a que o Macio Pinheiro postou, mas dá para fazer usando a sugestão. Obs (apenas para quem já estudou um pouquinho de recorrência linear) Por recorrência linear, que também seria um caminho imediato enrola pois as raízes do polinômio característico são nojentas e obviamente complexas. Veja: se A(n) = a^n + 1/a^n é imediato que A(n) = a.A(n-1) - A(n-2) e a equação característica é z^2 - az +1 = 0 onde a é o (raiz(5) +1)/2. Nojento (se alguém encontrar uma saída por ai, por favor, poste-a) **Solução (sem complexos - metaforicamente ou não... :-) ) Vamos então: Como 2000 = 5^3.2^4, temos que ver se conseguimos (sem muitas contas chatas) replicar o cálculo de x^5 + 1/x^5 a partir de x + 1/x, três vezes, para calcularmos x^125 + 1/x^125 e y^2 + 1/y^2 a partir de y + 1/y quatro vezes, para calcularmos y^16 + 1/y^16 (onde, é claro, o y será x^125 e assim obteremos o x^2000 + 1/x^2000) Não é tão enrolado assim, se formos com calma: Vamos fazer (raiz(5) +1)/2 = P e (0) (raiz(5) -1)/2 = p (0) Para calcularmos x^5 + 1/x^5 a partir de X = x + 1/x, passamos pelo x^2 + 1/x^2 e x^3 + 1/x^3 (simples e clássicos) Vejamos (produtinhos notáveis): x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2 = X^2 - 2(1) x^3 + 1/x^3 = (x + 1/x)^3 - 3 (x +1/x) = X^3 - 3X = X(X^2 -3) (2) Logo, x^5 + 1/x^5 = (x^3 + 1/x^3).(x^2 +1/x^2) - (x +1/x) x^5 + 1/x^5 = (X^3 - 3X).(X^2 - 2) - X = X[(X^2 -3)(X^2 -2) - 1] (3) Parece que as contas serão esquisitas, mas nem tanto, pois P e p são MUITO simpáticos... e razoavelmente bonzinhos... Aplicando (1), (2) e (3) várias vezes e lembrando de (0), onde definimos P e p, chegaremos no resultado. Vejamos: De x = a e X = a + 1/a = P em (3) obtemos a^5 + 1/a^5 = X(X^2 -3)(X^2 -1) - X= P[(P^2 -3)(P^2 - 2) - 1] = -2 (valor já esperado - vide solução do Marcio: a = cis 36, logo a^5 = -1 e 1/a^5 = -1). De x = a^5 e X = a^5 + 1/a^5 = -2 em (3), obtemos a^25 + 1/a^25 = X[(X^2 -3)(X^2 -2) - 1] = -2 (que também é óbvio para quem viu o cis 36) De x = a^25 e X = a^25 + 1/a^25 = -2 em (3) obtemos a^125 + 1/a^125 = X[(X^2 -3)(X^2 -2) - 1] = -2 Agora basta usar (1) 4 vezes e as contas são óbvias e iguais a 2, sempre... De x = a^125 e X = a^125 + 1/a^125 = -2 em (1) a^250 + 1/a^250 = (2)^2 -2 = 2 De x = a^250 e X = a^250 + 1/a^250 = 2 em (1) a^250 + 1/a^250 = 2^2 -2 = 2 De x = a^250 e X = a^250 + 1/a^250 = 2 em (1) a^500 + 1/a^500 = 2^2 -2 = 2 De x = a^250 e X = a^250 + 1/a^250 = 2 em (1) a^500 + 1/a^500 = 2^2 -2 = 2 Na verdade (como era de se esperar), a^250 + 1/a^250 = a^500 + 1/a^500 = a^1000 + 1/a^1000 = a^2000 + 1/a^2000 = 2 Abração, Nehab PS: Caramba, Luis, apostila de Trigonometria? Pois é, eu lembrei que fiz a primeira apostila de Algebra Linear (com o Cesar Salim) quando este negócio começou a entrar no Vestibular do Rio (acho que em 1971 ou 2). O Ponce aqui da lista (o quase velho :-) ) recentemente teve a gentileza de me emprestar as apostilas de Cálculo e Lógica que eu andei fazendo lá pelos idos de 1970 (caramba, que loucura) nas turmas IME/ITA (ih, nem devolvi ainda !!! ). Não há a menor chance de usar este material hoje. As coisas mudaram um pouquinho. Eu enfatizava o aprendizado de Lógica com o primeiro passo para os alunos se alfabetizarem em Matemática. Hoje isto tem pouquíssimo ibope...mas ainda funciona.. :-D , alías funciona desde o início dos tempos, né, desde pelo menos um tal de Aristóteles que também não tem muito ibope hoje... Como diz o Zygmund Bauman (um sociólogo que alguns acham meio pessimista, mas eu particularmente sou seu admirador), é um sinal da Modernidade Líquida..., título de seu livro mais interessante (uma bela metáfora para os tempos pós modernos, né?)... Aliás é o único livro que indico dele. O cara é extremamente criativo. Luís Lopes escreveu: Oi Nehab, É verdade. Mas isso está acontecendo com outras listas também. A propósito, era para calcular x^200 + (1/x)^200 (se é o problema que estou pensando) Acho que era x^2000 + (1/x)^2000 (detalhe). Mas a sugestão(?) era pra começar calculando [x + x^(-1)]^2. Tentei nessa linha e não consegui nada. Mas a solução mandada é muito boa. Ah, me lembrei que tenho também uma apostila de G. Espacial do Célio. Mas como ela apareceu um dia lá em casa (irmãos mais velhos, amigos dos irmãos mais velhos que estudavam lá m casa etc) não me lembro da sua procedência. E nunca me detive nela. E já que toquei nisso tenho também uma sua de Trigonometria, espólio do material do Impacto de um irmão nesse caso mais novo. []'s Luís Date: Fri, 8 May 2009 16:23:26 -0300 From: ne...@infolink.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] produtos notaveis
[obm-l] Baricentro de um triângulo oco... .
Oi, Ralph, Ponce, Luis Lopes, e demais colegas, Os três fato que se seguem... 1) Ponce mostrou que ma + mb +mc é sempre menor ou igual ao perímetro; 2) Ralph desafiou a gente a achar o menor k tal que ma+mb+mc=k(a+b+c); e 3) Ponce deu a solução do centro de massa de uma placa em L só usando régua, me lembraram de um exercício que acho que ainda não vi por aqui... 1) Preâmbulo manjado: O centro de massa de um triãngulo é sabidamente o baricentro; ou seja, se você fizer um triângulo de madeira, por exemplo, você vai equilibrá-lo se o apoiar no seu baricentro. Até ai quase morreu neves :-) ... Entretanto isto é verdade se você imaginar o triângulo INCLUINDO a superfície delimitada pelos seus lados. 2) O exercício proposto Mas ..., e se o triângulo for oco? Qual o centro de massa? Este problema me foi proposto pela primeira vez por um aluno, há MITO e MUITO tempo, mais ou menos na época dos 3 destinatários ai de cima Abraços, Nehab = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)]
Oi Ralph, Eu só comecei a acompanhar a discussão agora, mas o que acontece quando fazemos um lado TENDER a zero? Não tender a dar 1? Aí eu acho que o argumento do Ponce mostra que o menor k é 1, não? Enfim, eu pensei muito rápido e posso estar enganado (agora mesmo estou meio apressado...). []'s Shine --- On Sat, 5/9/09, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com wrote: From: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Subject: Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)] To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Saturday, May 9, 2009, 11:49 AM Poxa, o Ponce, com sua vasta esperiencia de decadas e decadas matematicas, ressuscitou a questao de qual eh a melhor desigualdade do tipo ma+mb+mc=k(a+b+c) que a gente consegue escrever?, que estava em http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg43875.html e mostrou que aqueles 3/2 que a gente achou ha decadas NAO era a melhor cota. (A gente tambem achou que 3/4.(a+b+c)=ma+mb+mc, e tem um argumento lah que diz que esses 3/4 eh a melhor desigualdade) Agora fiquei curioso -- qual eh o menor valor possivel de k para garantir que a desigualdade acima vale? E antes que alguem diga, o argumento de que num triangulo degenerado vale a igualdade porque dah 0=0 nao me convence -- afinal, o que eu quero eh o menor valor de k, e esse 0=0 vale para qualquer k. Abraco, Ralph 2009/5/9 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Nehab, Santa Rita, Luis Lopes e pessoal da lista, estou gostando dessas histórias ! ...menos, é claro, da intenção do Nehab em me incluir na lista dos quase coroas, visto que ele já conhecia o Bourbaki de trás pra frente, há mais de 10 anos, quando o único conjunto que eu conhecia era o dos Beatles... Xiii me entreguei Mas voltando 'a vaca fria, vamos resolver o problema do Santa Rita, ou seja, vamos tentar encontrar algum triangulo tal que o seu perimetro seja igual a soma das suas medianas. Entao, considere um triangulo ABC, e seja D o ponto medio do lado BC. Pois agora imagine os vetores AB e AC, com origem em A. Repare que a soma desses 2 vetores vale exatamente o dobro da mediana AD. Por outro lado, a gente sabe que a soma de dois vetores quaisquer vale, no maximo, a soma dos dois modulos. Portanto, a mediana AD vale no maximo a metade da soma dos comprimentos AB e AC, ou seja, 2*AD = AB + AC Repita essa desigualdade para as outras medianas, e some tudo. Fica facil concluir que: A SOMA DAS MEDIANAS E' SEMPRE MENOR OU IGUAL AO PERIMETRO DO TRIANGULO. Alias, essa igualdade so' acontece se os angulos entre os vetores forem zero, o que significa que o triangulo tem que ser degenerado. E, de fato, isso acontece quando um dos lados do triangulo tem comprimento zero. []'s Rogerio Ponce 2009/5/6 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Caramba, Falam em antiguidades e mencionam logo meu nome. Não sei porque... :-) . Você já mencionaram dois maiores monstros do passado em Geometrias (imaginem... o quanto passado...o meu passado! hahaha). O Virgilio de Athayde Pinheiro e o Célio Pinto de Almeida (que depois foi dono da construtora que levava seu nome). O primeiro, um sábio, um verdadeiro mestre, de corpo e alma (falava grego fluentemente, era um poço infinito de conhecimento, inclusive sobre história da Matemática, aspecto tão negligenciado hoje em dia (para os alunos fica a horrível sensação que tudo em matemática sempre foi do mesmo jeito semprecomo se matemática fose uma descoberta dos deuses e não dso homens...). Tive o privilégio de ter sido aluno do Virgílio em Geometria Descritiva e Perspectiva(s). Do segundo élio) fui aluno de Desenho Geométrico (ai incluidas as Cônicas): um monstro e um extraordinário professor. Mas havia um outro monstro sagrado, tímido e introspectivo, que foi professor do IME e da UFF (Dep de Matemática) - Luiz Oswaldo - e tive oportunidade de ser aluno dele em ambas as escolas. No IME, de Geometria, e na UFF de Teoria dos Números e de Geometria (foi através dele que conheci e me extasiei com o livro do Niven - Irrational Numbers, já mencionado algumas vezes por aqui). Eram do Luiz Oswaldo a grande maioria das questões de Geometria dos concursos de admissão ao IME na década de 65 a75, inclusive as questões de Geometria da prova de 72/73 onde tive o prazer de trabalhar com ele (eu já dava aula lá) e participar de forma intensa no massacre da prova de Álgebra daquele ano. ;-) Para quem não se lembra eu e o Ponce (um quase coroa da lista) já escrevemos por aqui causos engraçados sobre o Luiz Oswaldo, inclusive sua ridícula e única gravata de seu sovina vestuário. Mas eu tenho os livros do Virgílio de Descritiva, os do Célio, de Cônicas e de outras cositas deles. Quanto ao problema proposto pelo Santa Rita (perímetro e medianas) eu tb
Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)]
Oi Ralph, o triangulo degenerado que eu dei tinha apenas um lado nulo, para forcar que os angulos fossem zero ou que um dos vetores fosse zero (e nesse ultimo caso, a resultante continuaria a ter seu modulo igual 'a soma dos modulos dos vetores). Portanto, se aumentarmos apenas um pouquinho o lado nulo, a igualdade se desfaz, e teremos simplesmente: ma+mb+mc a+b+c Como esse pouquinho pode ser tao pequeno quanto o siqueira, o valor para K e' mesmo 1. Abracao, Rogerio Ponce 2009/5/9 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: Poxa, o Ponce, com sua vasta esperiencia de decadas e decadas matematicas, ressuscitou a questao de qual eh a melhor desigualdade do tipo ma+mb+mc=k(a+b+c) que a gente consegue escrever?, que estava em http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg43875.html e mostrou que aqueles 3/2 que a gente achou ha decadas NAO era a melhor cota. (A gente tambem achou que 3/4.(a+b+c)=ma+mb+mc, e tem um argumento lah que diz que esses 3/4 eh a melhor desigualdade) Agora fiquei curioso -- qual eh o menor valor possivel de k para garantir que a desigualdade acima vale? E antes que alguem diga, o argumento de que num triangulo degenerado vale a igualdade porque dah 0=0 nao me convence -- afinal, o que eu quero eh o menor valor de k, e esse 0=0 vale para qualquer k. Abraco, Ralph 2009/5/9 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Nehab, Santa Rita, Luis Lopes e pessoal da lista, estou gostando dessas histórias ! ...menos, é claro, da intenção do Nehab em me incluir na lista dos quase coroas, visto que ele já conhecia o Bourbaki de trás pra frente, há mais de 10 anos, quando o único conjunto que eu conhecia era o dos Beatles... Xiii me entreguei Mas voltando 'a vaca fria, vamos resolver o problema do Santa Rita, ou seja, vamos tentar encontrar algum triangulo tal que o seu perimetro seja igual a soma das suas medianas. Entao, considere um triangulo ABC, e seja D o ponto medio do lado BC. Pois agora imagine os vetores AB e AC, com origem em A. Repare que a soma desses 2 vetores vale exatamente o dobro da mediana AD. Por outro lado, a gente sabe que a soma de dois vetores quaisquer vale, no maximo, a soma dos dois modulos. Portanto, a mediana AD vale no maximo a metade da soma dos comprimentos AB e AC, ou seja, 2*AD = AB + AC Repita essa desigualdade para as outras medianas, e some tudo. Fica facil concluir que: A SOMA DAS MEDIANAS E' SEMPRE MENOR OU IGUAL AO PERIMETRO DO TRIANGULO. Alias, essa igualdade so' acontece se os angulos entre os vetores forem zero, o que significa que o triangulo tem que ser degenerado. E, de fato, isso acontece quando um dos lados do triangulo tem comprimento zero. []'s Rogerio Ponce 2009/5/6 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Caramba, Falam em antiguidades e mencionam logo meu nome. Não sei porque... :-) . Você já mencionaram dois maiores monstros do passado em Geometrias (imaginem... o quanto passado...o meu passado! hahaha). O Virgilio de Athayde Pinheiro e o Célio Pinto de Almeida (que depois foi dono da construtora que levava seu nome). O primeiro, um sábio, um verdadeiro mestre, de corpo e alma (falava grego fluentemente, era um poço infinito de conhecimento, inclusive sobre história da Matemática, aspecto tão negligenciado hoje em dia (para os alunos fica a horrível sensação que tudo em matemática sempre foi do mesmo jeito semprecomo se matemática fose uma descoberta dos deuses e não dso homens...). Tive o privilégio de ter sido aluno do Virgílio em Geometria Descritiva e Perspectiva(s). Do segundo élio) fui aluno de Desenho Geométrico (ai incluidas as Cônicas): um monstro e um extraordinário professor. Mas havia um outro monstro sagrado, tímido e introspectivo, que foi professor do IME e da UFF (Dep de Matemática) - Luiz Oswaldo - e tive oportunidade de ser aluno dele em ambas as escolas. No IME, de Geometria, e na UFF de Teoria dos Números e de Geometria (foi através dele que conheci e me extasiei com o livro do Niven - Irrational Numbers, já mencionado algumas vezes por aqui). Eram do Luiz Oswaldo a grande maioria das questões de Geometria dos concursos de admissão ao IME na década de 65 a75, inclusive as questões de Geometria da prova de 72/73 onde tive o prazer de trabalhar com ele (eu já dava aula lá) e participar de forma intensa no massacre da prova de Álgebra daquele ano. ;-) Para quem não se lembra eu e o Ponce (um quase coroa da lista) já escrevemos por aqui causos engraçados sobre o Luiz Oswaldo, inclusive sua ridícula e única gravata de seu sovina vestuário. Mas eu tenho os livros do Virgílio de Descritiva, os do Célio, de Cônicas e de outras cositas deles. Quanto ao problema proposto pelo Santa Rita (perímetro e medianas) eu tb não o havia visto ainda e de fato, como o Luis mencionou, não seria um problema digamos clássico, pois não é muito comum, na
Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)]
Ola Ponce, Nehab, Luis Lopes e demais colegas desta lista ... OBM-L, Ponce, a sua solucao, simples e bela, e tipica de uma Matematica de qualidade. Parabens por ela ! Fico feliz por ter iniciado uma discussao que lhe interessou, trouxe o Ralph, o Shine e levou outros Matematicos de qualidade a se manifestarem. ENTRE MUITO OUTROS Matematicos de qualidade que outrora apareciam por aqui e que ja ha algum tempo nao escrevem, sem duvida se incluem o Nicolau e o Gugu. Oxala eles voltem a escrever brevemente ! Uma questao que sempre me interessou, subsidiariamente, e a seguinte : Sabemos que o INCENTRO ( Centro do Circulo inscrito a um triangulo ) nao faz parte da reta de Euler, isto e, ele nao esta NECESSARIAMENTE alinhado com os pontos notaveis que pertencem a esta reta. Assim em geral, o incentro, o circuncentro e o ortocentro formam um pequeno triangulo no interior de um triangulo dado. O que se pode falar sobre esse pequeno triangulo ? Que relacao ele mantem com o triangulo original ? Um abraco a Todos ! PSR,7090509132D Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com: Ola' Nehab, Santa Rita, Luis Lopes e pessoal da lista, estou gostando dessas histórias ! ...menos, é claro, da intenção do Nehab em me incluir na lista dos quase coroas, visto que ele já conhecia o Bourbaki de trás pra frente, há mais de 10 anos, quando o único conjunto que eu conhecia era o dos Beatles... Xiii me entreguei Mas voltando 'a vaca fria, vamos resolver o problema do Santa Rita, ou seja, vamos tentar encontrar algum triangulo tal que o seu perimetro seja igual a soma das suas medianas. Entao, considere um triangulo ABC, e seja D o ponto medio do lado BC. Pois agora imagine os vetores AB e AC, com origem em A. Repare que a soma desses 2 vetores vale exatamente o dobro da mediana AD. Por outro lado, a gente sabe que a soma de dois vetores quaisquer vale, no maximo, a soma dos dois modulos. Portanto, a mediana AD vale no maximo a metade da soma dos comprimentos AB e AC, ou seja, 2*AD = AB + AC Repita essa desigualdade para as outras medianas, e some tudo. Fica facil concluir que: A SOMA DAS MEDIANAS E' SEMPRE MENOR OU IGUAL AO PERIMETRO DO TRIANGULO. Alias, essa igualdade so' acontece se os angulos entre os vetores forem zero, o que significa que o triangulo tem que ser degenerado. E, de fato, isso acontece quando um dos lados do triangulo tem comprimento zero. []'s Rogerio Ponce 2009/5/6 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Caramba, Falam em antiguidades e mencionam logo meu nome. Não sei porque... :-) . Você já mencionaram dois maiores monstros do passado em Geometrias (imaginem... o quanto passado...o meu passado! hahaha). O Virgilio de Athayde Pinheiro e o Célio Pinto de Almeida (que depois foi dono da construtora que levava seu nome). O primeiro, um sábio, um verdadeiro mestre, de corpo e alma (falava grego fluentemente, era um poço infinito de conhecimento, inclusive sobre história da Matemática, aspecto tão negligenciado hoje em dia (para os alunos fica a horrível sensação que tudo em matemática sempre foi do mesmo jeito semprecomo se matemática fose uma descoberta dos deuses e não dso homens...). Tive o privilégio de ter sido aluno do Virgílio em Geometria Descritiva e Perspectiva(s). Do segundo élio) fui aluno de Desenho Geométrico (ai incluidas as Cônicas): um monstro e um extraordinário professor. Mas havia um outro monstro sagrado, tímido e introspectivo, que foi professor do IME e da UFF (Dep de Matemática) - Luiz Oswaldo - e tive oportunidade de ser aluno dele em ambas as escolas. No IME, de Geometria, e na UFF de Teoria dos Números e de Geometria (foi através dele que conheci e me extasiei com o livro do Niven - Irrational Numbers, já mencionado algumas vezes por aqui). Eram do Luiz Oswaldo a grande maioria das questões de Geometria dos concursos de admissão ao IME na década de 65 a75, inclusive as questões de Geometria da prova de 72/73 onde tive o prazer de trabalhar com ele (eu já dava aula lá) e participar de forma intensa no massacre da prova de Álgebra daquele ano. ;-) Para quem não se lembra eu e o Ponce (um quase coroa da lista) já escrevemos por aqui causos engraçados sobre o Luiz Oswaldo, inclusive sua ridícula e única gravata de seu sovina vestuário. Mas eu tenho os livros do Virgílio de Descritiva, os do Célio, de Cônicas e de outras cositas deles. Quanto ao problema proposto pelo Santa Rita (perímetro e medianas) eu tb não o havia visto ainda e de fato, como o Luis mencionou, não seria um problema digamos clássico, pois não é muito comum, na bibliografia, a sistematização de problemas contendo somas, diferenças etc. (vide uma das bíblias em Wernick, W. Triangle Constructions with Three Located Points. Math. Mag. 55, 227-230, 1982.) e diversos outros papers que vão completando a lista do Wernick. Eu tenho estes textos que me foram enviados por meu filho. Vou tentar resolver o citado problema, mas não
[obm-l] RE: [obm-l] produtos notaveis - SIM SOLU ÇÂO por PRODUTOS NOT ÁVEIS
alguem poderia dar uma ideia de como determinar todos os pares de inteiros positivos (m,n) tais que (n^3+1)/(mn-1) seja um inteiro?Obrigado. Date: Sat, 9 May 2009 12:00:36 -0300 From: ne...@infolink.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] produtos notaveis - SIM SOLUÇÂO por PRODUTOS NOTÁVEIS Oi, Luís Primeiro vamos ao exercício e 'a sugestão que você lembrou: Produtos Notáveis Repetindo o enunciado para quem nos acompanha (mudei apenas letra): Se a + 1/a = (raiz(5) + 1)/2 calcule a^2000 + 1/a^2000 A solução clássica e a mais elegante (por complexos) é de fato a que o Macio Pinheiro postou, mas dá para fazer usando a sugestão. Obs (apenas para quem já estudou um pouquinho de recorrência linear) Por recorrência linear, que também seria um caminho imediato enrola pois as raízes do polinômio característico são nojentas e obviamente complexas. Veja: se A(n) = a^n + 1/a^n é imediato que A(n) = a.A(n-1) - A(n-2) e a equação característica é z^2 - az +1 = 0 onde a é o (raiz(5) +1)/2. Nojento (se alguém encontrar uma saída por ai, por favor, poste-a) Solução (sem complexos - metaforicamente ou não... :-) ) Vamos então: Como 2000 = 5^3.2^4, temos que ver se conseguimos (sem muitas contas chatas) replicar o cálculo de x^5 + 1/x^5 a partir de x + 1/x, três vezes, para calcularmos x^125 + 1/x^125 e y^2 + 1/y^2 a partir de y + 1/y quatro vezes, para calcularmos y^16 + 1/y^16 (onde, é claro, o y será x^125 e assim obteremos o x^2000 + 1/x^2000) Não é tão enrolado assim, se formos com calma: Vamos fazer (raiz(5) +1)/2 = P e (0) (raiz(5) -1)/2 = p (0) Para calcularmos x^5 + 1/x^5 a partir de X = x + 1/x, passamos pelo x^2 + 1/x^2 e x^3 + 1/x^3 (simples e clássicos) Vejamos (produtinhos notáveis): x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2 = X^2 - 2(1) x^3 + 1/x^3 = (x + 1/x)^3 - 3 (x +1/x) = X^3 - 3X = X(X^2 -3) (2) Logo, x^5 + 1/x^5 = (x^3 + 1/x^3).(x^2 +1/x^2) - (x +1/x) x^5 + 1/x^5 = (X^3 - 3X).(X^2 - 2) - X = X[(X^2 -3)(X^2 -2) - 1] (3) Parece que as contas serão esquisitas, mas nem tanto, pois P e p são MUITO simpáticos... e razoavelmente bonzinhos... Aplicando (1), (2) e (3) várias vezes e lembrando de (0), onde definimos P e p, chegaremos no resultado. Vejamos: De x = a e X = a + 1/a = P em (3) obtemos a^5 + 1/a^5 = X(X^2 -3)(X^2 -1) - X= P[(P^2 -3)(P^2 - 2) - 1] = -2 (valor já esperado - vide solução do Marcio: a = cis 36, logo a^5 = -1 e 1/a^5 = -1). De x = a^5 e X = a^5 + 1/a^5 = -2 em (3), obtemos a^25 + 1/a^25 = X[(X^2 -3)(X^2 -2) - 1] = -2 (que também é óbvio para quem viu o cis 36) De x = a^25 e X = a^25 + 1/a^25 = -2 em (3) obtemos a^125 + 1/a^125 = X[(X^2 -3)(X^2 -2) - 1] = -2 Agora basta usar (1) 4 vezes e as contas são óbvias e iguais a 2, sempre... De x = a^125 e X = a^125 + 1/a^125 = -2 em (1) a^250 + 1/a^250 = (2)^2 -2 = 2 De x = a^250 e X = a^250 + 1/a^250 = 2 em (1) a^250 + 1/a^250 = 2^2 -2 = 2 De x = a^250 e X = a^250 + 1/a^250 = 2 em (1) a^500 + 1/a^500 = 2^2 -2 = 2 De x = a^250 e X = a^250 + 1/a^250 = 2 em (1) a^500 + 1/a^500 = 2^2 -2 = 2 Na verdade (como era de se esperar), a^250 + 1/a^250 = a^500 + 1/a^500 = a^1000 + 1/a^1000 = a^2000 + 1/a^2000 = 2 Abração, Nehab PS: Caramba, Luis, apostila de Trigonometria? Pois é, eu lembrei que fiz a primeira apostila de Algebra Linear (com o Cesar Salim) quando este negócio começou a entrar no Vestibular do Rio (acho que em 1971 ou 2). O Ponce aqui da lista (o quase velho :-) ) recentemente teve a gentileza de me emprestar as apostilas de Cálculo e Lógica que eu andei fazendo lá pelos idos de 1970 (caramba, que loucura) nas turmas IME/ITA (ih, nem devolvi ainda !!! ). Não há a menor chance de usar este material hoje. As coisas mudaram um pouquinho. Eu enfatizava o aprendizado de Lógica com o primeiro passo para os alunos se alfabetizarem em Matemática. Hoje isto tem pouquíssimo ibope...mas ainda funciona.. :-D , alías funciona desde o início dos tempos, né, desde pelo menos um tal de Aristóteles que também não tem muito ibope hoje... Como diz o Zygmund Bauman (um sociólogo que alguns acham meio pessimista, mas eu particularmente sou seu admirador), é um sinal da Modernidade Líquida..., título de seu livro mais interessante (uma bela metáfora para os tempos pós modernos, né?)... Aliás é o único livro que indico dele. O cara é extremamente criativo. Luís Lopes escreveu: Oi Nehab, É verdade. Mas isso está acontecendo com outras listas também. A propósito, era para calcular x^200 + (1/x)^200 (se é o problema que estou pensando) Acho que era x^2000 + (1/x)^2000 (detalhe). Mas a sugestão(?) era pra começar calculando [x + x^(-1)]^2. Tentei nessa linha e não consegui nada. Mas a solução mandada é muito boa. Ah, me lembrei que tenho também uma apostila de G. Espacial do Célio. Mas como ela apareceu um dia lá em casa (irmãos mais velhos, amigos dos irmãos mais velhos que estudavam lá m casa etc) não me lembro da sua
[obm-l] Preguiça.....
Pô Marcone Aproveitar qualquer mensagem para com um reply criar uma nova mensagem causa os seguintes transtornos: 1) Confunde o leitor pois o assunto de sua pergunta não tem nada a haver com a pergunta além de se achar que é continuação da discussão anterior; 2) Polui a lista com um email quilométrico que poderia ter duas linhas... 3) Atrapalha o software que gerencia os emails pois cria equivocadamente um email como se fizesse parte de outra discussão anterior. Etc, etc... Além disso, cá prá nós, vai ser preguiçoso assim em uma praia do Nordeste ! :-) Nehab PS: Veja como assim fica mais bonitinho marcone augusto araújo borges escreveu: alguem poderia dar uma ideia de como determinar todos os pares de inteiros positivos (m,n) tais que (n^3+1)/(mn-1) seja um inteiro?Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] demonstr ação(números primos)
eu gostaria ver a justificativa do seguinte procedimento para saber se um numero é ou não primo:dividí-lo por 2, por 3, por 5...pelos primos.Se o quociente se tornar menor q o divisor,com resto diferente de zero,o numero é primo.Quem poderia ajudar?Tal procedimento eu vi em livros de quinta série. From: bened...@ufrnet.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] demonstração Date: Sun, 3 May 2009 18:47:24 -0300 Marcone, Outra demonstração você pode obter usando a identidade (x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x^+ 1, fazendo sucessivamente x = 1, 2, 3, ..., n. Depois soma, membro a membro, as n equações e usa os valores da soma dos primeiros n números naturais e da soma dos quadrados dos primeiros n quadrados perfeitos de números naturais. Benedito - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 03, 2009 9:44 AM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração Eu consegui por indução.Obrigado.Descobri q tem uma demostração usando figuras geométricas,mas eu gostaria de ver outra demonstração... se posssivel.Um abraço Date: Sat, 2 May 2009 23:22:39 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração From: msbro...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Marcone, utilize indução finita. Caso vc não conheça, aqui tem uma introdução: http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica (não li o site, mas normalmente a wikipedia dá uma idéia inicial) abraços, Salhab 2009/5/2 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ? Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração From: msbro...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Vanderlei, eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)! [ta certo que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro caso pra continuar a solucao ;)] abraços, Salhab 2009/5/1 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem: mas eles tem que ser distintos... logo a != 2... entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n Obrigado, Vanderlei 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Fala Vanderlei, como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então: n = p1^a1 . p2^a2 pk^(a_k) vamos supor que k1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores primos. entao: p1^a1 n, p2^a2 n, ..., pk^(a_k) n e todos distintos.. logo, todos eles estão em (n-1)! desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um múltiplo de n. falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo.. neste caso, p^(a-1) n, logo, ele está em (n-1)! e também temos p n, logo, ele tbem está em (n-1)! mas eles tem que ser distintos... logo a != 2... entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2) n = p^2... vamos ver: p n ... então p está em (n-1)! mas veja que 2p p^2 para p2, logo: 2p n, logo 2p também está em (n-1)! logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p2 (por isso temos n4) espero ter ajudado, abraços, Salhab 2009/5/1 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa? Seja n um número inteiro e não primo. Se n 4, prove que (n-1)! é múltiplo de n. Obrigado Vanderlei Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! Novo Internet Explorer 8: mais rápido e muito mais seguro. Baixe agora, é grátis! _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] demonstração(números prim os)
N é o número a ser testado. Suponha que vc já testou todos os números 2,3,5, ... , Pn e obteve que o quociente é Q Pi e o resto era diferente de 0 (caso contrário teríamos divisores e observe que basta testar os primos pois todo inteiro positivo pode ser fatorado como produto de primos). Porém, Pn+1 (o próximo número da sua sequencia) retornou um quociente Qn+1 Pn+1. Nesse ponto vc deve observar que nenhum número menor ou igual que Pn+1 divide N. Mas Pn+2 Pn+1 implica Qn+2 Qn+1 então Qn+2 Pn+1 daí Qn+2 não divide N e portanto Pn+2 também não divide N . Esse procedimento é geral, Qn+3 Qn+2Qn+1Pn+1 e portanto não divide N e por aí vai. Portanto basta vc testar para todos os primos menores que N tais que o quociente resultante da divisão seja maior do que o divisor. Bem, vi que essa demonstração não tá muito boa, mas acho que está correta, se alguém puder corrigir e fazer de forma mais elegante agradeço :) 2009/5/9 Denisson denisso...@gmail.com Suponha que vc já testou todos os números 2,3,5, ... , Pn e obteve que o quociente é Q Pi e o resto era diferente de 0 (caso contrário teríamos divisores e observe que basta testar os primos pois todo inteiro positivo pode ser fatorado como produto de primos). Porém, Pn+1 (o próximo número da sua sequencia) retornou um quociente Qn+1 Pn+1. Nesse ponto vc deve observar que nenhum número menor ou igual que Pn+1 divide N. Mas Pn+2 Pn+1 implica Qn+2 Qn+1 então Qn+2 Pn+1 daí Qn+2 não divide N. Esse procedimento é geral, Qn+3 Qn+2Qn+1Pn+1 e portanto não divide N e por aí vai... 2009/5/9 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com eu gostaria ver a justificativa do seguinte procedimento para saber se um numero é ou não primo:dividí-lo por 2, por 3, por 5...pelos primos.Se o quociente se tornar menor q o divisor,com resto diferente de zero,o numero é primo.Quem poderia ajudar?Tal procedimento eu vi em livros de quinta série. -- From: bened...@ufrnet.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] demonstração Date: Sun, 3 May 2009 18:47:24 -0300 Marcone, Outra demonstração você pode obter usando a identidade (x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x^+ 1, fazendo sucessivamente x = 1, 2, 3, ..., n. Depois soma, membro a membro, as n equações e usa os valores da soma dos primeiros n números naturais e da soma dos quadrados dos primeiros n quadrados perfeitos de números naturais. Benedito - Original Message - *From:* marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Sunday, May 03, 2009 9:44 AM *Subject:* [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração Eu consegui por indução.Obrigado.Descobri q tem uma demostração usando figuras geométricas,mas eu gostaria de ver outra demonstração... se posssivel.Um abraço -- Date: Sat, 2 May 2009 23:22:39 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração From: msbro...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Marcone, utilize indução finita. Caso vc não conheça, aqui tem uma introdução: http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica (não li o site, mas normalmente a wikipedia dá uma idéia inicial) abraços, Salhab 2009/5/2 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ? -- Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração From: msbro...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Vanderlei, eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)! [ta certo que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro caso pra continuar a solucao ;)] abraços, Salhab 2009/5/1 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem: mas eles tem que ser distintos... logo a != 2... entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n Obrigado, Vanderlei 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Fala Vanderlei, como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então: n = p1^a1 . p2^a2 pk^(a_k) vamos supor que k1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores primos. entao: p1^a1 n, p2^a2 n, ..., pk^(a_k) n e todos distintos.. logo, todos eles estão em (n-1)! desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um múltiplo de n. falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo.. neste caso, p^(a-1) n, logo, ele está em (n-1)! e também temos p n, logo, ele tbem está em (n-1)! mas eles tem que ser distintos... logo a != 2... entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n falta o
