Oi Ralph, o triangulo degenerado que eu dei tinha apenas um lado nulo, para forcar que os angulos fossem zero ou que um dos vetores fosse zero (e nesse ultimo caso, a resultante continuaria a ter seu modulo igual 'a soma dos modulos dos vetores). Portanto, se "aumentarmos apenas um pouquinho" o lado nulo, a igualdade se desfaz, e teremos simplesmente: ma+mb+mc < a+b+c Como esse "pouquinho" pode ser tao pequeno quanto o siqueira, o valor para K e' mesmo 1.
Abracao, Rogerio Ponce 2009/5/9 Ralph Teixeira <[email protected]>: > Poxa, o Ponce, com sua vasta esperiencia de decadas e decadas matematicas, > ressuscitou a questao de "qual eh a melhor desigualdade do tipo > ma+mb+mc<=k(a+b+c) que a gente consegue escrever?", que estava em > http://www.mail-archive.com/[email protected]/msg43875.html > e mostrou que aqueles 3/2 que a gente achou ha decadas NAO era a melhor > cota. > > (A gente tambem achou que 3/4.(a+b+c)<=ma+mb+mc, e tem um argumento lah que > diz que esses 3/4 eh a melhor desigualdade) > > Agora fiquei curioso -- qual eh o menor valor possivel de k para garantir > que a desigualdade acima vale? E antes que alguem diga, o argumento de que > num triangulo degenerado vale a igualdade porque dah 0=0 nao me convence -- > afinal, o que eu quero eh o menor valor de k, e esse 0=0 vale para qualquer > k. > > Abraco, > Ralph > > 2009/5/9 Rogerio Ponce <[email protected]> >> >> Ola' Nehab, Santa Rita, Luis Lopes e pessoal da lista, >> estou gostando dessas histórias ! >> >> ...menos, é claro, da intenção do Nehab em me incluir na lista dos >> "quase coroas", visto que ele já conhecia o Bourbaki de trás pra >> frente, há mais de 10 anos, quando o único conjunto que eu conhecia >> era o dos Beatles... >> >> Xiii.... me entreguei.... >> >> Mas voltando 'a vaca fria, vamos resolver o problema do Santa Rita, ou >> seja, >> vamos tentar encontrar algum triangulo tal que o seu perimetro seja >> igual a soma das suas medianas. >> >> Entao, considere um triangulo ABC, e seja D o ponto medio do lado BC. >> Pois agora imagine os vetores AB e AC, com origem em A. >> >> Repare que a soma desses 2 vetores vale exatamente o dobro da mediana AD. >> >> Por outro lado, a gente sabe que a soma de dois vetores quaisquer >> vale, no maximo, a soma dos dois modulos. >> >> Portanto, a mediana AD vale no maximo a metade da soma dos >> comprimentos AB e AC, ou seja, >> 2*AD <= AB + AC >> >> Repita essa desigualdade para as outras medianas, e some tudo. >> Fica facil concluir que: >> A SOMA DAS MEDIANAS E' SEMPRE MENOR OU IGUAL AO PERIMETRO DO TRIANGULO. >> >> Alias, essa igualdade so' acontece se os angulos entre os vetores >> forem zero, o que significa que o triangulo tem que ser degenerado. >> E, de fato, isso acontece quando um dos lados do triangulo tem comprimento >> zero. >> >> []'s >> Rogerio Ponce >> >> >> >> >> 2009/5/6 Carlos Nehab <[email protected]>: >> > Caramba, >> > >> > Falam em antiguidades e mencionam logo meu nome. Não sei porque... :-) >> > . >> > >> > Você já mencionaram dois maiores monstros do passado em Geometrias >> > (imaginem... o quanto passado...o meu passado! hahaha). >> > O Virgilio de Athayde Pinheiro e o Célio Pinto de Almeida (que depois >> > foi >> > dono da construtora que levava seu nome). >> > O primeiro, um sábio, um verdadeiro mestre, de corpo e alma (falava >> > grego >> > fluentemente, era um poço infinito de conhecimento, inclusive sobre >> > história >> > da Matemática, aspecto tão negligenciado hoje em dia (para os alunos >> > fica a >> > horrível sensação que tudo em matemática sempre foi do mesmo jeito >> > sempre....como se matemática fose uma descoberta dos deuses e não dso >> > homens...). >> > >> > Tive o privilégio de ter sido aluno do Virgílio em Geometria Descritiva >> > e >> > Perspectiva(s). >> > Do segundo élio) fui aluno de Desenho Geométrico (ai incluidas as >> > Cônicas): >> > um monstro e um extraordinário professor. >> > >> > Mas havia um outro monstro sagrado, tímido e introspectivo, que foi >> > professor do IME e da UFF (Dep de Matemática) - Luiz Oswaldo - e tive >> > oportunidade de ser aluno dele em ambas as escolas. No IME, de >> > Geometria, e >> > na UFF de Teoria dos Números e de Geometria (foi através dele que >> > conheci e >> > me extasiei com o livro do Niven - Irrational Numbers, já mencionado >> > algumas >> > vezes por aqui). >> > >> > Eram do Luiz Oswaldo a grande maioria das questões de Geometria dos >> > concursos de admissão ao IME na década de 65 a75, inclusive as questões >> > de >> > Geometria da prova de 72/73 onde tive o prazer de trabalhar com ele (eu >> > já >> > dava aula lá) e participar de forma intensa no massacre da prova de >> > Álgebra >> > daquele ano. ;-) >> > >> > Para quem não se lembra eu e o Ponce (um "quase coroa da lista") já >> > escrevemos por aqui "causos" engraçados sobre o Luiz Oswaldo, inclusive >> > sua >> > ridícula e única gravata de seu sovina vestuário. >> > >> > Mas eu tenho os livros do Virgílio de Descritiva, os do Célio, de >> > Cônicas e >> > de outras "cositas" deles. >> > >> > Quanto ao problema proposto pelo Santa Rita (perímetro e medianas) eu tb >> > não >> > o havia visto ainda e de fato, como o Luis mencionou, não seria um >> > problema >> > digamos clássico, pois não é muito comum, na bibliografia, a >> > sistematização >> > de problemas contendo somas, diferenças etc. (vide uma das bíblias em >> > Wernick, W. "Triangle Constructions with Three Located Points." Math. >> > Mag. >> > 55, 227-230, 1982.) e diversos outros papers que vão completando a lista >> > do >> > Wernick. Eu tenho estes textos que me foram enviados por meu filho. >> > >> > Vou tentar resolver o citado problema, mas não juro que seja >> > indeterminado, >> > pois a soma das medianas varia entre 3/4 e 3/2 do perímetro de um >> > triângulo... Bolas dirão, e daí? Bem nada como sexto sentido de >> > matemágico antigo, né... >> > >> > Abraços, >> > Nehab >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
