Poxa, o Ponce, com sua vasta esperiencia de decadas e decadas matematicas,
ressuscitou a questao de "qual eh a melhor desigualdade do tipo
ma+mb+mc<=k(a+b+c) que a gente consegue escrever?", que estava em
http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg43875.html
e mostrou que aqueles 3/2 que a gente achou ha decadas NAO era a melhor
cota.
(A gente tambem achou que 3/4.(a+b+c)<=ma+mb+mc, e tem um argumento lah que
diz que esses 3/4 eh a melhor desigualdade)
Agora fiquei curioso -- qual eh o menor valor possivel de k para garantir
que a desigualdade acima vale? E antes que alguem diga, o argumento de que
num triangulo degenerado vale a igualdade porque dah 0=0 nao me convence --
afinal, o que eu quero eh o menor valor de k, e esse 0=0 vale para qualquer
k.
Abraco,
Ralph
2009/5/9 Rogerio Ponce <abrlw...@gmail.com>
> Ola' Nehab, Santa Rita, Luis Lopes e pessoal da lista,
> estou gostando dessas histórias !
>
> ...menos, é claro, da intenção do Nehab em me incluir na lista dos
> "quase coroas", visto que ele já conhecia o Bourbaki de trás pra
> frente, há mais de 10 anos, quando o único conjunto que eu conhecia
> era o dos Beatles...
>
> Xiii.... me entreguei....
>
> Mas voltando 'a vaca fria, vamos resolver o problema do Santa Rita, ou
> seja,
> vamos tentar encontrar algum triangulo tal que o seu perimetro seja
> igual a soma das suas medianas.
>
> Entao, considere um triangulo ABC, e seja D o ponto medio do lado BC.
> Pois agora imagine os vetores AB e AC, com origem em A.
>
> Repare que a soma desses 2 vetores vale exatamente o dobro da mediana AD.
>
> Por outro lado, a gente sabe que a soma de dois vetores quaisquer
> vale, no maximo, a soma dos dois modulos.
>
> Portanto, a mediana AD vale no maximo a metade da soma dos
> comprimentos AB e AC, ou seja,
> 2*AD <= AB + AC
>
> Repita essa desigualdade para as outras medianas, e some tudo.
> Fica facil concluir que:
> A SOMA DAS MEDIANAS E' SEMPRE MENOR OU IGUAL AO PERIMETRO DO TRIANGULO.
>
> Alias, essa igualdade so' acontece se os angulos entre os vetores
> forem zero, o que significa que o triangulo tem que ser degenerado.
> E, de fato, isso acontece quando um dos lados do triangulo tem comprimento
> zero.
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
>
>
> 2009/5/6 Carlos Nehab <ne...@infolink.com.br>:
> > Caramba,
> >
> > Falam em antiguidades e mencionam logo meu nome. Não sei porque... :-) .
> >
> > Você já mencionaram dois maiores monstros do passado em Geometrias
> > (imaginem... o quanto passado...o meu passado! hahaha).
> > O Virgilio de Athayde Pinheiro e o Célio Pinto de Almeida (que depois foi
> > dono da construtora que levava seu nome).
> > O primeiro, um sábio, um verdadeiro mestre, de corpo e alma (falava grego
> > fluentemente, era um poço infinito de conhecimento, inclusive sobre
> história
> > da Matemática, aspecto tão negligenciado hoje em dia (para os alunos fica
> a
> > horrível sensação que tudo em matemática sempre foi do mesmo jeito
> > sempre....como se matemática fose uma descoberta dos deuses e não dso
> > homens...).
> >
> > Tive o privilégio de ter sido aluno do Virgílio em Geometria Descritiva e
> > Perspectiva(s).
> > Do segundo élio) fui aluno de Desenho Geométrico (ai incluidas as
> Cônicas):
> > um monstro e um extraordinário professor.
> >
> > Mas havia um outro monstro sagrado, tímido e introspectivo, que foi
> > professor do IME e da UFF (Dep de Matemática) - Luiz Oswaldo - e tive
> > oportunidade de ser aluno dele em ambas as escolas. No IME, de
> Geometria, e
> > na UFF de Teoria dos Números e de Geometria (foi através dele que conheci
> e
> > me extasiei com o livro do Niven - Irrational Numbers, já mencionado
> algumas
> > vezes por aqui).
> >
> > Eram do Luiz Oswaldo a grande maioria das questões de Geometria dos
> > concursos de admissão ao IME na década de 65 a75, inclusive as questões
> de
> > Geometria da prova de 72/73 onde tive o prazer de trabalhar com ele (eu
> já
> > dava aula lá) e participar de forma intensa no massacre da prova de
> Álgebra
> > daquele ano. ;-)
> >
> > Para quem não se lembra eu e o Ponce (um "quase coroa da lista") já
> > escrevemos por aqui "causos" engraçados sobre o Luiz Oswaldo, inclusive
> sua
> > ridícula e única gravata de seu sovina vestuário.
> >
> > Mas eu tenho os livros do Virgílio de Descritiva, os do Célio, de Cônicas
> e
> > de outras "cositas" deles.
> >
> > Quanto ao problema proposto pelo Santa Rita (perímetro e medianas) eu tb
> não
> > o havia visto ainda e de fato, como o Luis mencionou, não seria um
> problema
> > digamos clássico, pois não é muito comum, na bibliografia, a
> sistematização
> > de problemas contendo somas, diferenças etc. (vide uma das bíblias em
> > Wernick, W. "Triangle Constructions with Three Located Points." Math.
> Mag.
> > 55, 227-230, 1982.) e diversos outros papers que vão completando a lista
> do
> > Wernick. Eu tenho estes textos que me foram enviados por meu filho.
> >
> > Vou tentar resolver o citado problema, mas não juro que seja
> indeterminado,
> > pois a soma das medianas varia entre 3/4 e 3/2 do perímetro de um
> > triângulo... Bolas dirão, e daí? Bem nada como sexto sentido de
> > matemágico antigo, né...
> >
> > Abraços,
> > Nehab
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =========================================================================
>
