Re: [obm-l] site que posso estar baixando

[lucianarodriggues]

Em 18/05/2009 13:19, Denisson  denisso...@gmail.com  escreveu:Enfim, isso é uma comunidade em que se discute matemática. Ou supostamente...2009/5/18  
"Site que posso estar baixando" é dose pra cavalo.
Por que não falar "site do qual posso baixar" ?
Não dói, e nem é difícil.
--
  
Ola Pessoal,Seria possível, se alguem souber algum site que posso estar baixando livros gratis na net. E também indicação de alguns livros de cálculo, e geometria analitica para aquisição, se alguem aqui tiver para vender também pode ser.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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-- Denisson


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l]

[lucianarodriggues]

Em 18/05/2009 16:47, Samuel Wainer  sswai...@hotmail.com  escreveu:


.hmmessage P
{
margin:0px;
padding:0px
}
body.hmmessage
{
font-size: 10pt;
font-family:Verdana
}



Se f:R->R então se {f(x)= Ax} A constante,então f(ax) = af(x). Mas o recíproco é verdadeiro? f(ax)=af(x) => f(x)= Ax ?gratoDescubra uma nova internet. Internet Explorer 8. Mergulhe.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] ax^5+by^5

[lucianarodriggues]

Em 18/05/2009 14:54, Carlos Gomes  cgomes...@uol.com.br  escreveu:






Olá pessoal alguem conhece a solução da questão 
abaixo?
 
sabendo que a,b x e y são números reais tais 
que
 
ax+by=2 
a^2.x + b^2.y=20

a^3.x + b^3.y=56

a^4.x + b^4.y=272
 
determine o valor de    a^5.x + b^5.y
 
obrigado,
 
cgomes


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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Acai Slim, you will love your new life.

[lucianarodriggues]

Em 18/05/2009 18:26, nico...@mat.puc-rio.br escreveu:The corwn Jewel of of the amazon shipped to your home. Please Visit http://www.cereq.com/?uphjhqwjz =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] ax^5+by^5

[lucianarodriggues]

Em 18/05/2009 15:52, Carlos Alberto da Silva Victor  victorcar...@globo.com  escreveu:Olá  Carlos ,
Multiplique  a  segunda igualdade por  a  , depois por b e adicione os  resultados . Colocando a.b  em evidência  convenientemente e usando a primeira igualdade , você  encontrará  uma  relação  entre  a+b  e a.b .Faça  a mesma  coisa  para  a terceira igualdade  e encontrarás uma  outra  relação  entre  a+b  e a.b .Resolvendo o sistema determine o valor  de  a+b e a.b . Faça  agora a mesma  coisa  para  a última  igualdade  e  o valor  da  expressão  pedida  será  determinada , ok ? 

 
Abraços 
 
Carlos  Victor
 
2009/5/18 Carlos Gomes 


Olá pessoal alguem conhece a solução da questão abaixo?
 
sabendo que a,b x e y são números reais tais que
 
ax+by=2 
a^2.x + b^2.y=20

a^3.x + b^3.y=56

a^4.x + b^4.y=272
 
determine o valor de    a^5.x + b^5.y
 
obrigado,
 
cgomes


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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Wolfram Alpha

[lucianarodriggues]

Em 18/05/2009 13:12, *Vidal  vi...@mail.com  escreveu:Caros Colegas,A página entrou "no ar" na sexta à noite e ainda está um pouco lenta. Mas, para quem não dispõe de um programa de cálculos matemáticos instalado, é uma "mão na roda". Permite ainda gerar um arquivo no formato PDF com os resultados.

Foi disponibilizada pelo Wolfram Institute, o fabricante do "Mathematica", e tem objetivos grandiosos.
www.wolframalpha.comDigite x^2-5*x+6=0 (para começar...).Abraços,Vidal. :: vi...@mail.com

 


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Re: [obm-l] Probabilidade

[lucianarodriggues]

Em 18/05/2009 21:19, Marcus  marcusaureli...@globo.com  escreveu:














Alguém poderia me ajudar nessa
questão caiu numa prova que fiz recentemente.

 

Uma certa pesquisa feita com
mulheres brasileira constatou que 75% das brasileiras consideram as refeições
muito importante para reunir a família, 89% consideram as refeições muito
importante para falar com os maridos e 93%  para falar com os filhos.  Admita
que todas as brasileiras que consideram as refeições muito importantes para
reunir a família também as considerem o melhor momento para falar com o marido.
Sendo assim, se uma brasileira que considera as refeições o melhor momento para
falar com o marido for escolhida ao acaso, a probabilidade de que ela também as
considere muito importantes para reunir a família será de, aproximadamente,








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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l]

[Carlos Nehab]

Oi, Samuel, Ralph e demais colegas (e Arthur, que faz muita falta por 
aqui e anda sumido...),


Cutucando:

Admitindo que a função f seja contínua vale a propriedade?

Seja f:R-R uma funcao CONTINUA EM R e a um real tal que f(ax)=af(x), 
para todo x real.

Podemos afirmar que há A real tal que f(x)=Ax, para todo x (real) ?

E se enfraquecermos a hipótese para f contínua em x =0, apenas?

Prove-se ou exiba-se contra-exemplo :-) 

Abraços,
Nehab

Ralph Teixeira escreveu:

Oi, Samuel. A pergunta eh boa. A resposta... Bom, depende:
 
ENUNCIADO 1: Seja f:R-R uma funcao e a um numero real fixo. Suponha 
que f(ax)=af(x) para todo x real. Entao f(x)=Ax para algum A fixo.
 
FALSO. Por exemplo, sejam f(x)={3x se x eh racional; 7x se x eh 
irracional} e a=2. Note que vale f(2x)=2f(x) para todo x, mas f nao eh 
linear.
 
ENUNCIADO 2: Seja f:R-R uma funcao. Suponha que f(ax)=af(x) para 
quaisquer a,x reais. Entao f(x)=Ax para algum A fixo.
 
VERDADEIRO. Basta tomar x=1 e notar que f(a)=f(1).a para todo a real, 
isto eh, f(x)=f(1).x para todo x real. Entao A=f(1).
 
Abraco,

  Ralph
 
2009/5/18 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com 
mailto:sswai...@hotmail.com


Se f:R-R então se {f(x)= Ax} A constante,então f(ax) = af(x). Mas
o recíproco é verdadeiro?
f(ax)=af(x) = f(x)= Ax ?

grato



Descubra uma nova internet. Internet Explorer 8. Mergulhe.

http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8





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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

[Paulo Santa Rita]

Ola Wilner e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem !
Vem ajudar a levantar o nivel
de discussao da nossa lista !

Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer,
eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei
nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos.

Sejam  A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o
raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode
ser expressa nos seguintes termos :

A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5

Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na
expressao acima, chegaremos a :

(A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1)

Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao
direta concluimos que  os lados A,B e C do nosso interesse se
enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares
ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira
possibilidade.   Facamos  entao :

B+C-A = X,   A+C-B=Y  e   A+B-C = Z

Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos
outros dois, fica facil ver o seguinte :

1) X, Y e Z são inteiros pares
2) X+Y+Z = A+B+C
3) 2A=Y+Z,  2B=X+Z e 2C=X+Y

E agora a expressao (1) pode ser colocada assim :

XYZ / (X+Y+Z) = 16.   E daqui, sai :
(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2)

Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as
tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores
que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser
simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16.
Logo :

3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48.
4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou
igual a 1/48.

Seja portanto : XY = 48 e  XZ  = 48.

Com as restricoes acima ja e possivel identificar os triangulos que
estamos procurando. Para ver como fazer isso, note que :

(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16)   =  16Z+16Y+16X=XYZ  =
16Y+16X = (XY - 16)Z   =   Z = (16Y + 16X) / (XY - 16)

Mas Z = 48/X. Logo :
(16Y + 16X) / (XY - 16) = 48/X=  16/X   Y  = (24/X)+(X/2)
CASO  X=2  ( Y = 24   e   Z = 24 )

16/2  Y = (24/2)+(2/2)  =  8  Y = 13 = Y=10 ou Y=12

Y = 10 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4)  = Z = 48
A=(10+48)/2=29,  B=(2+48)/2=25  e  C=(2+10)/2=6
Triangulo1 : (A,B,C)=(29,25,6)
Valido

Y=12:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8)  = Z = 28
A=(12+28)/2=20,  B=(2+28)/2=15  e  C=(2+12)/2=7
Triangulo2 : (A,B,C)=(20,15,7)
Valido

***

CASO  X=4 ( Y = 12  e  Z = 12 )

16/4  Y = (24/4)+(4/2)  =  4  Y = 8 = Y= 6 ou Y=8

Y = 6 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  = Z = 20
A=(6+20)/2=13,  B=(4+20)/2=12  e  C=(4+6)/2=5
Triangulo3 : (A,B,C)=(13,12,5)
Valido

Y=8:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  = Z = 12
A=(8+12)/2=10,  B=(4+12)/2=8  e  C=(4+8)/2=6
Triangulo : (A,B,C)=(10,8,6)
Valido

***

CASO X=6 ( Y = 8  e  Z = 8  )

16/6  Y = (24/6)+(6/2)  =  8/3  Y = 7 = Y= 4 ou Y=6

Y = 4 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  = Z = 20
A=(4+20)/2=12,  B=(6+20)/2=13  e  C=(4+6)/2=5
Triangulo : (A,B,C)=(12,13,5)
Invalido : ja descoberto

Y=6:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/20)  = Z = 9.6
Invalido : Z nao e inteiro par

***

CASO X=8 ( Y = 6  e  Z = 6  )

16/8  Y = (24/8)+(8/2)  =  2  Y = 7 = Y= 4 ou Y=6

Y = 4 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  = Z = 12
A=(4+12)/2=8,  B=(8+12)/2=10  e  C=(8+4)/2=6
Triangulo4 : (A,B,C)=(8,10,6)
Invalido : ja descoberto

Y=6:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/32)  = Z = 7
Invalido : Z nao e inteiro par

***
CASO X=10 ( Y = 4.8  e  Z = 4.8  )

16/10  Y = (24/10)+(10/2)  =  1.6  Y = 7.4 = Y= 2 ou Y=4

Y = 2
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4)  = Z = 48
A=(2+48)/2=25,  B=(10+48)/2=29  e  C=(10+2)/2=6
Triangulo : (A,B,C)=(25,29,6)
Invalido : ja descoberto

Y=4:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24)  = Z = (28/3)
Invalido : Z nao e inteiro par

***

CASO X=12 ( Y = 4  e  Z = 4  )

16/12  Y = (24/12)+(12/2)  =  (4/3)  Y = 8 = Y= 2 ou Y=4

Y = 2
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8)  = Z = 28
A=(2+28)/2=15,  B=(12+28)/2=20  e  C=(12+2)/2=7
Triangulo : (A,B,C)=(15,20,7)
Invalido : ja descoberto

Y=4:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24)  = Z = 8
A=(4+8)/2=6,  B=(12+8)/2=10  e  C=(12+4)/2=8
Triangulo : (A,B,C)=(6,10,8)
Invalido : ja descoberto

***
CASO X=14 ( Y = 3.4...  e  Z = 3.4...  )

A partir daqui, devido a restricao acima,  basta analisarmos os casos em que Y=2

Y = 2
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(16/12)  = Z  nao e inteiro  = o
triangulo e invalido

***
CASO X=16, Y=2

Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(18/16)  = Z = 18
A=(2+18)/2=10,  B=(16+18)/2=17  e  C=(16+2)/2=9
Triangulo5 : (A,B,C)=(10,9,17)
Valido

***
CASO X=18, Y=2

Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(20/20)  = Z = 16
A=(2+16)/2=9,  B=(16+18)/2=17  e  C=(2+18)/2=10
Triangulo : (A,B,C)=(9,17,10)
Invalido : ja descoberto

***
CASO X=20, Y=2

Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(22/24)  = Z = 44/3
Invalido : Z nao e inteiro par

***
CASO X=22, Y=2

Z=16(  (X+Y) / 

Re: [obm-l] Wolfram Alpha

[João Paulo V . Bonifácio]

Realmente muito bom!

2009/5/19 lucianarodrigg...@uol.com.br




 Em 18/05/2009 13:12, **Vidal  vi...@mail.com * escreveu:


 Caros Colegas,

 A página entrou no ar na sexta à noite e ainda está um pouco lenta. Mas,
 para quem não dispõe de um programa de cálculos matemáticos instalado, é uma
 mão na roda. Permite ainda gerar um arquivo no formato PDF com os
 resultados.

 Foi disponibilizada pelo Wolfram Institute, o fabricante do Mathematica,
 e tem objetivos grandiosos.

 www.wolframalpha.com

 Digite x^2-5*x+6=0 (para começar...).

 Abraços,
 Vidal.

 :: vi...@mail.com http://compose?to=vi...@mail.com


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html=




-- 
João Paulo Vieira Bonifácio

Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Engenharia Elétrica
Programa de Educação Tutorial (PET/Eng. Elétrica)
Fone: (34) 9942 - 7427 / (34) 3239 - 4754

Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

[Carlos Nehab]

Oi, Paulo, Eduardo e colegas,

Uma curiosidade:  o problema de determinar os triângulos de lados
inteiros e cuja área e perímetro são representados pelo mesmo número,
fixada a unidade, também possui 5 soluções, exatamente as soluções do
problema proposto pelo Eduardo cuja solução você postou. 

Fica como desafio perceber porque os problemas são equivalentes...

Este problema (o que eu mencionei) foi publicado na Revista do
Professor de Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática e alguns
de seus textos (da Revista) são utilizados pelo MEC em uma série de
publicações para apoio aos professores de Matemática e disponível em
seu portal.

O Índice da Revista do Professor de Matemática você pode ver em
http://www.rpm.org.br/cms/indice.pdf

e a aconselho fortemente para os professores que atuam até o nível
médio, pois possui centenas de idéias criativas.

O texto (do MEC) a que me refiro você pode ver em
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf

É uma iniciativa louvável do MEC, cujo site, inclusive, passou por uma
reforma recentemente e está 1000 vezes melhor.

Dê também uma olhada em (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas
Públicas)
http://www.obmep.org.br/

e veja se a gente não tem motivo para ficar orgulhoso de nosso país.

Grande abraço,
Nehab


Paulo Santa Rita escreveu:

  Ola Wilner e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem !
Vem ajudar a levantar o nivel
de discussao da nossa lista !

Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer,
eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei
nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos.

Sejam  A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o
raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode
ser expressa nos seguintes termos :

A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5

Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na
expressao acima, chegaremos a :

(A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1)

Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao
direta concluimos que  os lados A,B e C do nosso interesse se
enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares
ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira
possibilidade.   Facamos  entao :

B+C-A = X,   A+C-B=Y  e   A+B-C = Z

Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos
outros dois, fica facil ver o seguinte :

1) X, Y e Z são inteiros pares
2) X+Y+Z = A+B+C
3) 2A=Y+Z,  2B=X+Z e 2C=X+Y

E agora a expressao (1) pode ser colocada assim :

XYZ / (X+Y+Z) = 16.   E daqui, sai :
(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2)

Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as
tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores
que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser
simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16.
Logo :

3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48.
4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou
igual a 1/48.

Seja portanto : XY = 48 e  XZ  = 48.

Com as restricoes acima ja e possivel identificar os triangulos que
estamos procurando. Para ver como fazer isso, note que :

(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16)   =  16Z+16Y+16X=XYZ  =
16Y+16X = (XY - 16)Z   =   Z = (16Y + 16X) / (XY - 16)

Mas Z = 48/X. Logo :
(16Y + 16X) / (XY - 16) = 48/X=  16/X   Y  = (24/X)+(X/2)
CASO  X=2  ( Y = 24   e   Z = 24 )

16/2  Y = (24/2)+(2/2)  =  8  Y = 13 = Y=10 ou Y=12

Y = 10 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4)  = Z = 48
A=(10+48)/2=29,  B=(2+48)/2=25  e  C=(2+10)/2=6
Triangulo1 : (A,B,C)=(29,25,6)
Valido

Y=12:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8)  = Z = 28
A=(12+28)/2=20,  B=(2+28)/2=15  e  C=(2+12)/2=7
Triangulo2 : (A,B,C)=(20,15,7)
Valido

***

CASO  X=4 ( Y = 12  e  Z = 12 )

16/4  Y = (24/4)+(4/2)  =  4  Y = 8 = Y= 6 ou Y=8

Y = 6 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  = Z = 20
A=(6+20)/2=13,  B=(4+20)/2=12  e  C=(4+6)/2=5
Triangulo3 : (A,B,C)=(13,12,5)
Valido

Y=8:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  = Z = 12
A=(8+12)/2=10,  B=(4+12)/2=8  e  C=(4+8)/2=6
Triangulo : (A,B,C)=(10,8,6)
Valido

***

CASO X=6 ( Y = 8  e  Z = 8  )

16/6  Y = (24/6)+(6/2)  =  8/3  Y = 7 = Y= 4 ou Y=6

Y = 4 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  = Z = 20
A=(4+20)/2=12,  B=(6+20)/2=13  e  C=(4+6)/2=5
Triangulo : (A,B,C)=(12,13,5)
Invalido : ja descoberto

Y=6:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/20)  = Z = 9.6
Invalido : Z nao e inteiro par

***

CASO X=8 ( Y = 6  e  Z = 6  )

16/8  Y = (24/8)+(8/2)  =  2  Y = 7 = Y= 4 ou Y=6

Y = 4 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  = Z = 12
A=(4+12)/2=8,  B=(8+12)/2=10  e  C=(8+4)/2=6
Triangulo4 : (A,B,C)=(8,10,6)
Invalido : ja descoberto

Y=6:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/32)  = Z = 7
Invalido : Z nao e inteiro par

***
CASO X=10 ( Y = 4.8  e  Z = 4.8  

Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

[Paulo Santa Rita]

Ola Nehab e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Poxa, eu nao sabia que a solucao de um problema tao simples poderia
servir de suporte a publicacao de um artigo em revista especializada
... Nao sei se felizmente ou infelizmente, mas, para mim, artigo e
aquilo que traz uma novidade ou contribuicao para a ciencia, o resto e
material de divulgacao ou/e pedagogia, coisas que eu nao conheco bem.
.

Bom, quanto ao seu desafio, eis aqui a explicacao :

Se o inraio de um triangulo e 2, sua area pode ser expressa por 2P,
onde P e o semiperimetro. Ora, isso e precisamente o perimetro do
triangulo. Logo, em tais triangulos, a area e igual ao perimetro.

Agora, amenidades a parte, aqui vai um primeiro problema relativo a
uma pesquisa com a qual me envolvi alguns anos atras. O objetio e
mostrar que toda sequencia da reta definida por mais de uma sentenca (
Ex : Xn=N/2 se N e par; Xn=2N+1 se N e impar ) tem um caminho
equivalente no plano. Muitas vezes fica mais facil estudar a sequencia
equivalente do plano

Vamos ao problema :

Acompanhe o seguinte passeio no plano : (0,0) - (1,0) - (1,1) -
(0,1) -(-1,-1) - ((-1,0) - (-1,-1) -(0,-1) - (1,-1) - (2,-1) -
(2,0) -(2,1)-(2,2)-(1,2)-(0,2)-(-1,2)-(-2,-2)- ...

Verifique que o caminho acima pode ser descrito assim : partindo de
(0,0) e caminhando sempre em sentido anti-horario de forma que jamais
passe por uma posicao ja ocupada anteriormente e mantendo-se, em cada
passo, o mais proximo possivel de (0,0).
.
Descubrar uma relacao de recorrencia (X_n,Y_n) que fornece as
coordenadas do proximo passo do caminho em funcao do(s) passo(s)
anterior(es).

Um Abracao a Todos !
PSR,31905090E05









2009/5/19 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br:
 Oi, Paulo, Eduardo e colegas,

 Uma curiosidade:  o problema de determinar os triângulos de lados inteiros e
 cuja área e perímetro são representados pelo mesmo número, fixada a unidade,
 também possui 5 soluções, exatamente as soluções do problema proposto pelo
 Eduardo cuja solução você postou.

 Fica como desafio perceber porque os problemas são equivalentes...

 Este problema (o que eu mencionei) foi publicado na Revista do Professor de
 Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática e alguns de seus textos
 (da Revista) são utilizados pelo MEC em uma série de publicações para apoio
 aos professores de Matemática e disponível em seu portal.

 O Índice da Revista do Professor de Matemática você pode ver em
 http://www.rpm.org.br/cms/indice.pdf

 e a aconselho fortemente para os professores que atuam até o nível médio,
 pois possui centenas de idéias criativas.

 O texto (do MEC) a que me refiro você pode ver em
 http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf

 É uma iniciativa louvável do MEC, cujo site, inclusive, passou por uma
 reforma recentemente e está 1000 vezes melhor.

 Dê também uma olhada em (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas
 Públicas)
 http://www.obmep.org.br/

 e veja se a gente não tem motivo para ficar orgulhoso de nosso país.

 Grande abraço,
 Nehab


 Paulo Santa Rita escreveu:

 Ola Wilner e demais colegas
 desta lista ... OBM-L,

 Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem !
 Vem ajudar a levantar o nivel
 de discussao da nossa lista !

 Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer,
 eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei
 nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos.

 Sejam  A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o
 raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode
 ser expressa nos seguintes termos :

 A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5

 Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na
 expressao acima, chegaremos a :

 (A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1)

 Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao
 direta concluimos que  os lados A,B e C do nosso interesse se
 enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares
 ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira
 possibilidade.   Facamos  entao :

 B+C-A = X,   A+C-B=Y  e   A+B-C = Z

 Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos
 outros dois, fica facil ver o seguinte :

 1) X, Y e Z são inteiros pares
 2) X+Y+Z = A+B+C
 3) 2A=Y+Z,  2B=X+Z e 2C=X+Y

 E agora a expressao (1) pode ser colocada assim :

 XYZ / (X+Y+Z) = 16.   E daqui, sai :
 (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2)

 Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as
 tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores
 que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser
 simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16.
 Logo :

 3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48.
 4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou
 igual a 1/48.

 Seja portanto : XY = 48 e  XZ  = 48.

 Com as restricoes acima ja e possivel 

[obm-l] Geometric Methods of Calculating Trigonometric Funtionsþ

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes, 

Mando esta mensagem com dois propoacute;sitos: ver se ela 
realmente eacute; enviada (jaacute; mandei diversas que nunca 
chegaram) e apresentar um algoritmo para calcular 
as funccedil;otilde;es trigonomeacute;tricas para quem (como o autor) 
se pergunta como isto poderia ter sido feito sem os 
recursos e conhecimentos de hoje. Eacute; um pouco longo 
e por isso talvez soacute; mereceraacute; uma leitura dos membros 
dos comitecirc;s editoriais das revistas da SBM (Eureka e 
RPM talvez). 
 
Como motivaccedil;atilde;o, copio e colo o trecho que aparece 
mais abaixo: 
 
Here is an example: Say we want to calculate sin and cos 
of angle 17.448 degrees to 3 decimal places. Therefore we 
will use 4 decimal places for all the steps that follow
 
[]'s 
Luiacute;s 

 
 From: b_balev...@yahoo.com
 Subject: Re: Geometric Methods of Calculating Trigonometric Funtions
 Date: Thu, 23 Apr 2009 21:42:34 +
 To: appr...@support1.mathforum.org
 To: geometry-coll...@support1.mathforum.org
 
 Hello, guys.
 
 I believe I can give a good answer to the question you ask.
 
 If I understand your question correctly, this is the exact question I have 
 been asking myself part of my life. And during that time I have done quite 
 some searches to find a good answer. I've found several methods, but most of 
 them would not satisfy me:
 
 1. Many calculators and computers generally use Taylor's series (plus maybe 
 small tables). This is the fastest method, I believe, but I didn't like it 
 because you need to convert the angle to radians to use that method, and thus 
 the accuracy of the method is limited to the accuracy of your knowledge of PI.
 
 2. Other calculators and computers reportedly use CORDIC algorithm. It is 
 good, clean algorithm, and requires no multiplication. But was not satisfied 
 by CORDIC either, because in order to use it you need to prepare a table of 
 atan(2^(-n)), and some people find it difficult to understand (not me of 
 course, ;-P).
 
 3. And then one day I discovered my own simple algorithm. It is not the 
 fastest one out there, and is not the easiest to use for calculation. But 
 still it is reasonably good, does not require previously calculated values, 
 can be carried to an arbitrary level of accuracy, can calculate sin, cos, tan 
 etc, their inverses, and does not need you to know PI at all. Actually, it 
 can be used to calculate PI, though I am not going to explain in detail how, 
 it is not difficult... In addition, it does not require a specific angular 
 unit to be used, any convenient unit will do.
 
 I was proud of myself and satisfied at last. I give a detailed description 
 below, as I have seen several people here in the net asking essentially the 
 same question.
 
 Of course the method is not at all a secret. I once saw almost exactly the 
 same algorithm published by a math teacher here in the net, but I forgot 
 where I saw it and who the teacher was. Still, I have seen it only once, and 
 I think it deserves more attention.
 
 First, here are some simple things you need in advance:
 
 1. You need to know how to add, subtract, multiply, divide and find square 
 roots or positive numbers which are a little smaller than 1. Not very many 
 people nowadays can find square roots, but the best method I know is the 
 newtons method. I believe that anybody should know that algorithm, and even 
 should be able to discover it without external help, it is not that 
 difficult. Mesopotamian people did, as far as I know. If you like me to show 
 you an easy way of discovering the Newtons method for square roots, drop me 
 a letter at b_balevsky at yahoo.com. (I would love to know how many people 
 like what I write here. Or maybe dislike it. Or just hate me... whatever :-))
 
 2. If you have the coordinates of the end points of a linear segment in 
 rectangular coordinate system, you can find the midpoint of the segment by 
 averaging the coordinates. For instance, let's have a segment with end points 
 at (3, 4) and (1, 8). The coordinates of its middle point are (2, 6), because 
 2 = (3+1)/2 and 6 = (4 + 8) / 2.
 And this is the exact location of the midpoint.
 
 3. If you have a segment and one of the ends of that segment is point (0,0) 
 then the coordinates of the other end of the segment (x,y) can give you the 
 length of that segment simply by using the Pythagorean theorem: Length = 
 square_root_of(x * x + y * y). Now suppose you divide both x and y by that 
 length.
 By doing this, you have in effect extended or shortened the segment, but 
 you have _NOT_ changed its slope at all! The new segment has length of 
 exactly 1, meaning its end is on the unit circle.
 
 Those things said, here is how you would use the algorithm:
 
 1. Simplify/transform the problem so that the angle in question is between 0 
 and 90. This should be easy to to in all cases.
 
 Now you either have got a particular angle and want to know its sin/cos/tan, 
 or you have sine cos or tan, and 

[obm-l] FW: TERRA DOS MATEMÁ TICOS!

[Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis]

From: jorgelrs1...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: TERRA DOS MATEMÁTICOS!
Date: Tue, 19 May 2009 15:36:35 +








Ok! Nehab, bom progresso para quem já foi denominada de Terra dos Humoristas. 
Não é à toa que o autor da mais engenhosa distribuição das 3 barras de 
chocolate entre quatro crianças é um Cearense, aluno do curso de licenciatura 
em matemática-UECE. Foi também o pioneiro a discordar da afirmação do colega 
Takiyama 1/x*x#x*1/x na calculadora do feirante...Experimentem com seus 
pupilos a pueril situação: Entre as frações 1/5 e 1/3 temos 16 divisões iguais. 
Em qual das divisões se encontra a fração 1/4?

Grande Paulo! Parabéns pela enquete Investigações Aritméticas, pois me passou 
despercebida, na época. Uma verdadeira pérola.Campeão!

Quanto à questão do menor N tal que 1+(1/2)+...+(1/N)P, Euler demonstrou que a 
soma dos termos da Série Harmônica, para N tendendo ao infinito, é 
lnN+0,5772..., ou seja para atingir um inteiro P razoavelmente grande basta 
fazer lnN=P-0,5772... onde N é (2,718281828...) elevado a P-0,5772... Esse 
caminho permite obter uma ordem de grandeza bastante boa, mas para saber 
exatamente o menor N, teremos que trabalhar com muitas, mas muitas casas 
decimais.

Agora, quanto à série dos inversos dos primos...A Série Harmônica é um caso 
patológico de divergência. Se você somar os inversos dos naturais elevados a 
qualquer potência maior do que 1, a soma será convergente. Se for 1 ou menor do 
que 1 será divergente. Então, não existe um menor expoente r para o qual a 
soma dos inversos dos naturais elevados a r seja convergente. Como os primos 
são um subconjunto dos naturais, também não existe um menor expoente para o 
qual a soma dos inversos dos primos elevados a r seja convergente. Qualquer r 
maior do que 1 basta. O mesmo Euler provou, em 1736, que a soma dos inversos 
dos primos é divergente. Inteligente, este rapaz que tinha tudo para ter sido 
mais um Cearense...!

A propósito, sendo a0 por quê, quando n cresce indefinidamente, a^1/n tende a 
1?


Um abraço à todos!

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http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx

[obm-l] Re: [obm-l] FW: TERRA DOS MATEMÁ TICOS!

[lucianarodriggues]

Em 19/05/2009 21:00, Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis  jorgelrs1...@hotmail.com  escreveu:


.hmmessage P
{
margin:0px;
padding:0px
}
body.hmmessage
{
font-size: 10pt;
font-family:Verdana
}



From: jorgelrs1...@hotmail.comTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: TERRA DOS MATEMÁTICOS!Date: Tue, 19 May 2009 15:36:35 +




.ExternalClass .EC_hmmessage P
{padding:0px;}
.ExternalClass body.EC_hmmessage
{font-size:10pt;font-family:Verdana;}



Ok! Nehab, bom progresso para quem já foi denominada de "Terra dos Humoristas". Não é à toa que o autor da mais engenhosa distribuição das 3 barras de chocolate entre quatro crianças é um Cearense, aluno do curso de licenciatura em matemática-UECE. Foi também o pioneiro a discordar da afirmação do colega Takiyama "1/x*x#x*1/x" na calculadora do feirante...Experimentem com seus pupilos a pueril situação: Entre as frações 1/5 e 1/3 temos 16 divisões iguais. Em qual das divisões se encontra a fração 1/4?Grande Paulo! Parabéns pela enquete "Investigações Aritméticas", pois me passou despercebida, na época. Uma verdadeira pérola.Campeão!Quanto à questão do menor N tal que 1+(1/2)+...+(1/N)>P, Euler demonstrou que a soma dos termos da Série Harmônica, para N tendendo ao infinito, é lnN+0,5772..., ou seja para atingir um inteiro P razoavelmente grande basta fazer lnN=P-0,5772... onde N é (2,718281828...) elevado a P-0,5772... 
 Esse caminho permite obter uma ordem de grandeza bastante boa, mas para saber exatamente o menor N, teremos que trabalhar com muitas, mas muitas casas decimais.Agora, quanto à série dos inversos dos primos...A Série Harmônica é um caso patológico de divergência. Se você somar os inversos dos naturais elevados a qualquer potência maior do que 1, a soma será convergente. Se for 1 ou menor do que 1 será divergente. Então, não existe um "menor" expoente r para o qual a soma dos inversos dos naturais elevados a r seja convergente. Como os primos são um subconjunto dos naturais, também não existe um "menor" expoente para o qual a soma dos inversos dos primos elevados a r seja convergente. Qualquer r maior do que 1 basta. O mesmo Euler provou, em 1736, que a soma dos inversos dos primos é divergente. Inteligente, este rapaz que tinha tudo para ter sido mais um Cearense...!A propósito, sendo a>0 por quê, quando n cresce indefinidamente,
  a^1/n tende a 1?Um abraço à todos!Quer uma internet mais segura? Baixe agora o novo Internet Explorer 8. É grátis!Novo Internet Explorer 8: mais rápido e muito mais seguro. Baixe agora, é grátis!


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

[lucianarodriggues]

Em 19/05/2009 13:30, Carlos Nehab  ne...@infolink.com.br  escreveu:


  
  


Oi, Paulo, Eduardo e colegas,

Uma curiosidade:  o problema de determinar os triângulos de lados
inteiros e cuja área e perímetro são representados pelo mesmo número,
fixada a unidade, também possui 5 soluções, exatamente as soluções do
problema proposto pelo Eduardo cuja solução você postou. 

Fica como desafio perceber porque os problemas são equivalentes...

Este problema (o que eu mencionei) foi publicado na Revista do
Professor de Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática e alguns
de seus textos (da Revista) são utilizados pelo MEC em uma série de
publicações para apoio aos professores de Matemática e disponível em
seu portal.

O Índice da Revista do Professor de Matemática você pode ver em
http://www.rpm.org.br/cms/indice.pdf

e a aconselho fortemente para os professores que atuam até o nível
médio, pois possui centenas de idéias criativas.

O texto (do MEC) a que me refiro você pode ver em
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf

É uma iniciativa louvável do MEC, cujo site, inclusive, passou por uma
reforma recentemente e está 1000 vezes melhor.

Dê também uma olhada em (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas
Públicas)
http://www.obmep.org.br/

e veja se a gente não tem motivo para ficar orgulhoso de nosso país.

Grande abraço,
Nehab


Paulo Santa Rita escreveu:

  Ola Wilner e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem !
Vem ajudar a levantar o nivel
de discussao da nossa lista !

Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer,
eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei
nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos.

Sejam  A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o
raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode
ser expressa nos seguintes termos :

A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5

Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na
expressao acima, chegaremos a :

(A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1)

Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao
direta concluimos que  os lados A,B e C do nosso interesse se
enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares
ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira
possibilidade.   Facamos  entao :

B+C-A = X,   A+C-B=Y  e   A+B-C = Z

Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos
outros dois, fica facil ver o seguinte :

1) X, Y e Z são inteiros pares
2) X+Y+Z = A+B+C
3) 2A=Y+Z,  2B=X+Z e 2C=X+Y

E agora a expressao (1) pode ser colocada assim :

XYZ / (X+Y+Z) = 16.   E daqui, sai :
(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2)

Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as
tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores
que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser
simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16.
Logo :

3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48.
4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou
igual a 1/48.

Seja portanto : XY =< 48 e  XZ  >= 48.

Com as restricoes acima ja e possivel identificar os triangulos que
estamos procurando. Para ver como fazer isso, note que :

(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16)   =>  16Z+16Y+16X=XYZ  =>
16Y+16X = (XY - 16)Z   =>   Z = (16Y + 16X) / (XY - 16)

Mas Z >= 48/X. Logo :
(16Y + 16X) / (XY - 16) >= 48/X=>  16/X <  Y  =< (24/X)+(X/2)
CASO  X=2  ( Y =< 24   e   Z >= 24 )

16/2 < Y =< (24/2)+(2/2)  =>  8 < Y =< 13 => Y=10 ou Y=12

Y = 10 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4)  => Z = 48
A=(10+48)/2=29,  B=(2+48)/2=25  e  C=(2+10)/2=6
Triangulo1 : (A,B,C)=(29,25,6)
Valido

Y=12:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8)  => Z = 28
A=(12+28)/2=20,  B=(2+28)/2=15  e  C=(2+12)/2=7
Triangulo2 : (A,B,C)=(20,15,7)
Valido

***

CASO  X=4 ( Y =< 12  e  Z >= 12 )

16/4 < Y =< (24/4)+(4/2)  =>  4 < Y =< 8 => Y= 6 ou Y=8

Y = 6 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  => Z = 20
A=(6+20)/2=13,  B=(4+20)/2=12  e  C=(4+6)/2=5
Triangulo3 : (A,B,C)=(13,12,5)
Valido

Y=8:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  => Z = 12
A=(8+12)/2=10,  B=(4+12)/2=8  e  C=(4+8)/2=6
Triangulo : (A,B,C)=(10,8,6)
Valido

***

CASO X=6 ( Y =< 8  e  Z >= 8  )

16/6 < Y =< (24/6)+(6/2)  =>  8/3 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6

Y = 4 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  => Z = 20
A=(4+20)/2=12,  B=(6+20)/2=13  e  C=(4+6)/2=5
Triangulo : (A,B,C)=(12,13,5)
Invalido : ja descoberto

Y=6:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/20)  => Z = 9.6
Invalido : Z nao e inteiro par

***

CASO X=8 ( Y =< 6  e  Z >= 6  )

16/8 < Y =< (24/8)+(8/2)  =>  2 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6

Y = 4 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  => Z = 12
A=(4+12)/2=8,  B=(8+12)/2=10  e  C=(8+4)/2=6
Triangulo4 : (A,B,C)=(8,10,6)
Invalido : ja 

Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

[lucianarodriggues]

Em 19/05/2009 15:06, Paulo Santa Rita  paulo.santar...@gmail.com  escreveu:Ola Nehab e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,Poxa, eu nao sabia que a solucao de um problema tao simples poderiaservir de suporte a publicacao de um artigo em revista especializada... Nao sei se felizmente ou infelizmente, mas, para mim, "artigo" eaquilo que traz uma novidade ou contribuicao para a ciencia, o resto ematerial de divulgacao ou/e pedagogia, coisas que eu nao conheco bem..Bom, quanto ao seu desafio, eis aqui a explicacao :Se o inraio de um triangulo e 2, sua area pode ser expressa por 2P,onde P e o semiperimetro. Ora, isso e precisamente o perimetro dotriangulo. Logo, em tais triangulos, a area e igual ao perimetro.Agora, amenidades a parte, aqui vai um prime
 iro problema relativo auma pesquisa com a qual me envolvi alguns anos atras. O objetio emostrar que toda sequencia da reta definida por mais de uma sentenca (Ex : Xn=N/2 se N e par; Xn=2N+1 se N e impar ) tem um "caminho"equivalente no plano. Muitas vezes fica mais facil estudar a sequenciaequivalente "do plano"Vamos ao problema :Acompanhe o seguinte passeio no plano : (0,0) -> (1,0) -> (1,1) ->(0,1) ->(-1,-1) -> ((-1,0) -> (-1,-1) ->(0,-1) -> (1,-1) -> (2,-1) ->(2,0) ->(2,1)->(2,2)->(1,2)->(0,2)->(-1,2)->(-2,-2)-> ...Verifique que o caminho acima pode ser descrito assim : partindo de(0,0) e caminhando sempre em sentido anti-horario de forma que jamaispasse por uma posicao ja ocupada anteriormente e mantendo-se, em cadapasso, o mais proximo possivel de (0,0)..Descubrar uma relacao de recorrencia (X_n,Y_n) que fornece ascoordenadas do "proximo passo" do caminho "em funcao do(s) pass
 o(s)anterior(es).Um Abracao a Todos !PSR,31905090E052009/5/19 Carlos Nehab :> Oi, Paulo, Eduardo e colegas,>> Uma curiosidade:  o problema de determinar os triângulos de lados inteiros e> cuja área e perímetro são representados pelo mesmo número, fixada a unidade,> também possui 5 soluções, exatamente as soluções do problema proposto pelo> Eduardo cuja solução você postou.>> Fica como desafio perceber porque os problemas são equivalentes...>> Este problema (o que eu mencionei) foi publicado na Revista do Professor de> Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática e alguns de seus textos> (da Revista) são utilizados pelo MEC em uma série de publicações para apoio> aos professores de Matemática e disponível em seu portal.>> O Índice da Revista do Professor de Matemática você pod
 e ver em> http://www.rpm.org.br/cms/indice.pdf>> e a aconselho fortemente para os professores que atuam até o nível médio,> pois possui centenas de idéias criativas.>> O texto (do MEC) a que me refiro você pode ver em> http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf>> É uma iniciativa louvável do MEC, cujo site, inclusive, passou por uma> reforma recentemente e está 1000 vezes melhor.>> Dê também uma olhada em (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas> Públicas)> http://www.obmep.org.br/>> e veja se a gente não tem motivo para ficar orgulhoso de nosso país.>> Grande abraço,> Nehab>>> Paulo Santa Rita escreveu:>> Ola Wilner e demais colegas> desta lista ... OBM-L,>> Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem !> Vem ajudar a levantar o nivel> de discussao da nossa lista
  !>> Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer,> eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei> nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos.>> Sejam  A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o> raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode> ser expressa nos seguintes termos :>> A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5>> Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na> expressao acima, chegaremos a :>> (A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1)>> Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao> direta concluimos que  os lados A,B e C do nosso interesse se> enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares> ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira> possibilidade.   Facamos  entao :>> B+C-A = X,   A+C
 -B=Y  e   A+B-C = Z>> Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos> outros dois, fica facil ver o seguinte :>> 1) X, Y e Z são inteiros pares> 2) X+Y+Z = A+B+C> 3) 2A=Y+Z,  2B=X+Z e 2C=X+Y>> E agora a expressao (1) pode ser colocada assim :>> XYZ / (X+Y+Z) = 16.   E daqui, sai :> (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2)>> Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as> tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores> que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser> simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16.> Logo :>> 3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48.> 4) Ao menos uma das fracoes que constituem S 

Re: [obm-l] Wolfram Alpha

[lucianarodriggues]

Em 19/05/2009 12:29, João Paulo V. Bonifácio  joaop.bonifa...@gmail.com  escreveu:
Realmente muito bom!
2009/5/19 lucianarodrigg...@uol.com.br
Em 18/05/2009 13:12, *Vidal  vi...@mail.com  escreveu:


Caros Colegas,A página entrou "no ar" na sexta à noite e ainda está um pouco lenta. Mas, para quem não dispõe de um programa de cálculos matemáticos instalado, é uma "mão na roda". Permite ainda gerar um arquivo no formato PDF com os resultados.Foi disponibilizada pelo Wolfram Institute, o fabricante do "Mathematica", e tem objetivos grandiosos.www.wolframalpha.comDigite x^2-5*x+6=0 (para começar...).Abraços,Vidal.:: vi...@mail.com



= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =



-- João Paulo Vieira BonifácioUniversidade Federal de UberlândiaFaculdade de Engenharia ElétricaPrograma de Educação Tutorial (PET/Eng. Elétrica)Fone: (34) 9942 - 7427 / (34) 3239 - 4754
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Problema Bonito - Probabilidade

[Pedro Cardoso]

Olá. Eu acho que é assim:
Problema: 
luiz silva escreveu:Duas pessoas marcam um encontro em um determinado local. 
Combinam que ambos deverão chgegar a este local entre 12 e13 h. Porém, qdo o 
1o. chegar ao local, irá esperar 10 min pelo outro. Caso o outro não chegeu ao 
local nete intervalo de tempo (10 min), o primeiro a chegar vai embora, e eles 
não conseguem se encontrar. Qual a probabilidade do encontro ocorrer ?
Bom, seja (a,b) o par que representa os dois instantes em que as duas pessoas 
chegaram, onde 0 = a,b = 60.Como a chance de ocorrência dos pares é igual, 
vale desenhar um quadrado de lado 60 no plano cartesiano,cujos vértices ficam 
nos pontos (0,0), (60,0), (60,60), (0,60), e fazer o seguinte:
Desenhar as retas y = x+10 e y = x-10.
A região do quadrado entre as retas (região S) forma o conjunto de pares (a,b) 
tal que abs(a-b) = 10, isto é, os paresque representam tempos de chegada para 
os quais há encontro entre as duas pessoas. O quadrado todo representa o 
conjunto de todos os pares possíveis (tudo em minuto, claro). Assim, como os 
pares são equiprováveis...
Basta calcular Área de S / Área do Quadrado = 11/36 para achar a resposta 
do problema.
Eu também fiz usando integral, mas ficou bem mais feio, tendo que dividir em 
casos.
Abraços,
Pedro Lazéra Cardoso
_
Descubra todas as novidades do novo Internet Explorer 8
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Re: [obm-l]

[lucianarodriggues]

Em 19/05/2009 09:54, Carlos Nehab  ne...@infolink.com.br  escreveu:Oi, Samuel, Ralph e demais colegas (e Arthur, que faz muita falta por aqui e anda sumido...),Cutucando:Admitindo que a função f seja contínua vale a propriedade?Seja f:R->R uma funcao CONTINUA EM R e "a" um real tal que f(ax)=af(x), para todo x real.Podemos afirmar que há A real tal que f(x)=Ax, para todo x (real) ?E se enfraquecermos a hipótese para "f contínua em x =0", apenas?Prove-se ou exiba-se contra-exemplo :-) Abraços,NehabRalph Teixeira escreveu:> Oi, Samuel. A pergunta eh boa. A resposta... Bom, depende:>  > ENUNCIADO 1: "Seja f:R->R uma funcao e a um numero real fixo. Suponha > que f(ax)=af(x) para todo x real. Entao f(x)=Ax para a
 lgum A fixo.">  > FALSO. Por exemplo, sejam f(x)={3x se x eh racional; 7x se x eh > irracional} e a=2. Note que vale f(2x)=2f(x) para todo x, mas f nao eh > linear.>  > ENUNCIADO 2: "Seja f:R->R uma funcao. Suponha que f(ax)=af(x) para > quaisquer a,x reais. Entao f(x)=Ax para algum A fixo.">  > VERDADEIRO. Basta tomar x=1 e notar que f(a)=f(1).a para todo a real, > isto eh, f(x)=f(1).x para todo x real. Entao A=f(1).>  > Abraco,>   Ralph>  > 2009/5/18 Samuel Wainer  R então se {f(x)= Ax} A constante,então f(ax) = af(x). Mas> o recíproco é verdadeiro?> f(ax)=af(x) => f(x)= Ax ?>> grato>>> > Descubra uma nova internet. Internet Explorer 8. Mergulhe.> >>=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Problema Bonito - Probabilidade

[Fernando Lima Gama Junior]

Não entendi porque destas retas:

*Desenhar as retas y = x+10 e y = x-10.*
*
*
*A região do quadrado entre as retas (região S) forma o conjunto de pares
(a,b) tal que abs(a-b) = 10, isto é, os pares*
*que representam tempos de chegada para os quais há encontro entre as duas
pessoas. O quadrado todo representa o conjunto de todos os pares possíveis
(tudo em minuto, claro). Assim, como os pares são equiprováveis...*

2009/5/19 Pedro Cardoso pedrolaz...@hotmail.com

 Olá. Eu acho que é assim:
 Problema:

 luiz silva escreveu:
 Duas pessoas marcam um encontro em um determinado local. Combinam que ambos
 deverão chgegar a este local entre 12 e13 h. Porém, qdo o 1o. chegar ao
 local, irá esperar 10 min pelo outro. Caso o outro não chegeu ao local nete
 intervalo de tempo (10 min), o primeiro a chegar vai embora, e eles não
 conseguem se encontrar. Qual a probabilidade do encontro ocorrer ?

 Bom, seja (a,b) o par que representa os dois instantes em que as duas
 pessoas chegaram, onde 0 = a,b = 60.
 Como a chance de ocorrência dos pares é igual, vale desenhar um quadrado de
 lado 60 no plano cartesiano,
 cujos vértices ficam nos pontos (0,0), (60,0), (60,60), (0,60), e fazer o
 seguinte:

 Desenhar as retas y = x+10 e y = x-10.

 A região do quadrado entre as retas (região S) forma o conjunto de pares
 (a,b) tal que abs(a-b) = 10, isto é, os pares
 que representam tempos de chegada para os quais há encontro entre as duas
 pessoas. O quadrado todo representa o conjunto de todos os pares possíveis
 (tudo em minuto, claro). Assim, como os pares são equiprováveis...

 Basta calcular Área de S / Área do Quadrado = 11/36 para achar a
 resposta do problema.

 Eu também fiz usando integral, mas ficou bem mais feio, tendo que dividir
 em casos.

 Abraços,

 Pedro Lazéra Cardoso

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Fernando Gama

Re: [obm-l] Problema Bonito - Probabilidade

[Fernando Lima Gama Junior]

De fato, achei 12/36. Onde foi que eu errei?


integral_0^60(10-t) dt+ integral_0^60(10+t) dt



Fernando Gama



2009/5/19 Fernando Lima Gama Junior fgam...@gmail.com

 Não entendi porque destas retas:

 *Desenhar as retas y = x+10 e y = x-10.*
 *
 *
 *A região do quadrado entre as retas (região S) forma o conjunto de pares
 (a,b) tal que abs(a-b) = 10, isto é, os pares*
 *que representam tempos de chegada para os quais há encontro entre as duas
 pessoas. O quadrado todo representa o conjunto de todos os pares possíveis
 (tudo em minuto, claro). Assim, como os pares são equiprováveis...*

 2009/5/19 Pedro Cardoso pedrolaz...@hotmail.com

  Olá. Eu acho que é assim:
 Problema:

 luiz silva escreveu:
 Duas pessoas marcam um encontro em um determinado local. Combinam que
 ambos deverão chgegar a este local entre 12 e13 h. Porém, qdo o 1o. chegar
 ao local, irá esperar 10 min pelo outro. Caso o outro não chegeu ao local
 nete intervalo de tempo (10 min), o primeiro a chegar vai embora, e eles não
 conseguem se encontrar. Qual a probabilidade do encontro ocorrer ?

 Bom, seja (a,b) o par que representa os dois instantes em que as duas
 pessoas chegaram, onde 0 = a,b = 60.
 Como a chance de ocorrência dos pares é igual, vale desenhar um quadrado
 de lado 60 no plano cartesiano,
 cujos vértices ficam nos pontos (0,0), (60,0), (60,60), (0,60), e fazer o
 seguinte:

 Desenhar as retas y = x+10 e y = x-10.

 A região do quadrado entre as retas (região S) forma o conjunto de pares
 (a,b) tal que abs(a-b) = 10, isto é, os pares
 que representam tempos de chegada para os quais há encontro entre as duas
 pessoas. O quadrado todo representa o conjunto de todos os pares possíveis
 (tudo em minuto, claro). Assim, como os pares são equiprováveis...

 Basta calcular Área de S / Área do Quadrado = 11/36 para achar a
 resposta do problema.

 Eu também fiz usando integral, mas ficou bem mais feio, tendo que dividir
 em casos.

 Abraços,

 Pedro Lazéra Cardoso

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 Fernando Gama

Re: [obm-l] Problema Bonito - Probabilidade

[Fernando Lima Gama Junior]

int 10 - t dt, t=0..60 + int 10 + t dt, t=0..60
Fernando Gama



2009/5/20 Fernando Lima Gama Junior fgam...@gmail.com

 De fato, achei 12/36. Onde foi que eu errei?


 integral_0^60(10-t) dt+ integral_0^60(10+t) dt



 Fernando Gama



 2009/5/19 Fernando Lima Gama Junior fgam...@gmail.com

 Não entendi porque destas retas:

 *Desenhar as retas y = x+10 e y = x-10.*
 *
 *
 *A região do quadrado entre as retas (região S) forma o conjunto de pares
 (a,b) tal que abs(a-b) = 10, isto é, os pares*
 *que representam tempos de chegada para os quais há encontro entre as
 duas pessoas. O quadrado todo representa o conjunto de todos os pares
 possíveis (tudo em minuto, claro). Assim, como os pares são
 equiprováveis...*

 2009/5/19 Pedro Cardoso pedrolaz...@hotmail.com

  Olá. Eu acho que é assim:
 Problema:

 luiz silva escreveu:
 Duas pessoas marcam um encontro em um determinado local. Combinam que
 ambos deverão chgegar a este local entre 12 e13 h. Porém, qdo o 1o. chegar
 ao local, irá esperar 10 min pelo outro. Caso o outro não chegeu ao local
 nete intervalo de tempo (10 min), o primeiro a chegar vai embora, e eles não
 conseguem se encontrar. Qual a probabilidade do encontro ocorrer ?

 Bom, seja (a,b) o par que representa os dois instantes em que as duas
 pessoas chegaram, onde 0 = a,b = 60.
 Como a chance de ocorrência dos pares é igual, vale desenhar um quadrado
 de lado 60 no plano cartesiano,
 cujos vértices ficam nos pontos (0,0), (60,0), (60,60), (0,60), e fazer o
 seguinte:

 Desenhar as retas y = x+10 e y = x-10.

 A região do quadrado entre as retas (região S) forma o conjunto de pares
 (a,b) tal que abs(a-b) = 10, isto é, os pares
 que representam tempos de chegada para os quais há encontro entre as duas
 pessoas. O quadrado todo representa o conjunto de todos os pares possíveis
 (tudo em minuto, claro). Assim, como os pares são equiprováveis...

 Basta calcular Área de S / Área do Quadrado = 11/36 para achar a
 resposta do problema.

 Eu também fiz usando integral, mas ficou bem mais feio, tendo que dividir
 em casos.

 Abraços,

 Pedro Lazéra Cardoso

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 Fernando Gama