[obm-l] Re: [obm-l] Questão 8 da prova do ime
Vamos tentar : p^n = q^2 - 12^2 1) Para 0q^212^2 temos (testando mesmo) : q=+-11, p=23, n=1 q=+-1, p=143, n=1 2) Para n 2 ou 4, vc já fez 3) Para q212^2 e n2 temos : p^n=(q+12)(q-12) q+12 = 0 mod p q=-12 mod p q-12=0 mod p -24=0 mod p p=2 ou p=3 p = 2 teremos : 2^n = q^2 - 12^2 q=2qo 2^n = 4qo^2 - 12^2 2^(n-2)=qo^2 - 6^2 qo=2q1 2^(n-2) = 4q1^2 - 6^2 2^(n-4) = q1^2 - 3^2 mdc (q+3, q-3)= 2 Como q+3q-3 temos que q-3 = 2 e q+3 = 2^(n-5) Temos então q=5 e 8=2^(n-5) Com isso, n-5=3, n=8. Como 2^a deixa resto 1 ou 2 por três (um se a for par, e 2 se a for ímpar) e b^2 deixa resto zero ou um por três, temos que n deverá ser um número ímpar, e qo=1 mod 3 3^n = q^2 - 12^2 3^n = (q+12)(q-12) mdc(q+12,q-12)= 3 q-12=3 , q+12 = 3^(n-1) q=15 27 = 3^(n-1) n-1= 3; n=4. Acho que é isso !! Abs Felipe --- Em seg, 2/11/09, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Assunto: [obm-l] Questão 8 da prova do ime Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 2 de Novembro de 2009, 23:06 Seja a equação p^n +144=q^2,onde n e q são números inteiros positivos e p é um número primo.Determine os valores possíveis de n,p e q.Para n=2,temos p=5 e q= 13.Para n=4,temos p=3 e q=15.E isso é muito pouco.Como proceder para os outros valores de n? Novo Internet Explorer 8: faça tudo com menos cliques. Baixe agora, é gratis! Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Questão 8 da prova do ime
Prezados, O trecho Como 2^a deixa resto 1 ou 2 por três (um se a for par, e 2 se a for ímpar) e b^2 deixa resto zero ou um por três, temos que n deverá ser um número ímpar, e qo=1 mod 3 é lixo do desenvolvimento da solução ::)) Abs Felipe --- Em ter, 3/11/09, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu: De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Assunto: Re: [obm-l] Questão 8 da prova do ime Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 3 de Novembro de 2009, 8:48 Vamos tentar : p^n = q^2 - 12^2 1) Para 0q^212^2 temos (testando mesmo) : q=+-11, p=23, n=1 q=+-1, p=143, n=1 2) Para n 2 ou 4, vc já fez 3) Para q212^2 e n2 temos : p^n=(q+12)(q-12) q+12 = 0 mod p q=-12 mod p q-12=0 mod p -24=0 mod p p=2 ou p=3 p = 2 teremos : 2^n = q^2 - 12^2 q=2qo 2^n = 4qo^2 - 12^2 2^(n-2)=qo^2 - 6^2 qo=2q1 2^(n-2) = 4q1^2 - 6^2 2^(n-4) = q1^2 - 3^2 mdc (q+3, q-3)= 2 Como q+3q-3 temos que q-3 = 2 e q+3 = 2^(n-5) Temos então q=5 e 8=2^(n-5) Com isso, n-5=3, n=8. Como 2^a deixa resto 1 ou 2 por três (um se a for par, e 2 se a for ímpar) e b^2 deixa resto zero ou um por três, temos que n deverá ser um número ímpar, e qo=1 mod 3 3^n = q^2 - 12^2 3^n = (q+12)(q-12) mdc(q+12,q-12)= 3 q-12=3 , q+12 = 3^(n-1) q=15 27 = 3^(n-1) n-1= 3; n=4. Acho que é isso !! Abs Felipe --- Em seg, 2/11/09, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Assunto: [obm-l] Questão 8 da prova do ime Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 2 de Novembro de 2009, 23:06 Seja a equação p^n +144=q^2,onde n e q são números inteiros positivos e p é um número primo.Determine os valores possíveis de n,p e q.Para n=2,temos p=5 e q= 13.Para n=4,temos p=3 e q=15.E isso é muito pouco.Como proceder para os outros valores de n? Novo Internet Explorer 8: faça tudo com menos cliques. Baixe agora, é gratis! Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Polinômios (2)
Olá a todos,Enviei a questão abaixo para a lista há mais ou menos dez dias.Como até agora não houve qualquer comentário, segue o meu raciocínio:Independentemente do grau de R(x), temos que o grau de B(x) é maior do que o grau de R(x). Portanto, ao dividirmos R(x) por B(x), temos como quociente o polinômio nulo. E como o polinômio nulo admite infinitas raízes, concluímos que a alternativa correta é a (A).Certo ou errado?Trata-se de uma questão cobrada no concurso para Professores organizado pelo DEPENS (Departamento de Ensino da Aeronáutica).A prova apresenta algumas questões interessantes que podem ser úteis aos colegas professores (para fazer o download basta acessar o site da EPCAR).Espero não ter sido precipitado reenviando o problema e aproveito para recomendar um livro muito bom sobre polinômios: Polynomials, de E.J. Barbeau. Springer. [ ]'s.Numa divisão de polinômios, dividindo-se o polinômio A(x) , que tem exatamente 16 raízes complexas, por B(x) , encontra-se o quociente C(x) e o resto R(x). Sabe-se que . B(x) 0 (B(x) diferente de zero) . C(x) e B(x) possuem o mesmo número de raízes complexas; . R(x) tem o maior grau possível nesta divisão. É correto afirmar que, na divisão dos polinômios R(x) por B(x) , encontra-se um polinômio a) quociente que possui infinitas raízes. b) resto de grau zero. c) quociente que é um polinômio unitário. d) resto que possui 8 raízes complexas.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm -l] Problema de máxi mo!!!
veremos que o triângulo de maior altura é o triângulo isósceles Assim, como a base é igual em todos os triãngulos, o de maior perímetro será aquele com a maior soma dos outros dois lados, ou seja, o triangulo retangulo isósceles. Acho que essas duas afirmações precisam de demonstração formal, que de qualquer jeito eu acredito que vão acabar caindo em maximizar a+b dado a²+b². Ou seja, a+b=sqrt(a²+b²+2ab), e de novo por médias, ab=((a+b)/2))^2, com o máximo de ab no caso de igualdade. Lucas Colucci. Date: Tue, 3 Nov 2009 05:20:48 -0800 From: luizfelipec...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!! To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Pessoal, Não sei se o meu argumento é válido, mas analisando a questão reparamos que temos um segmento de reta fixo. Se considerarmos os triângulos formados pelas envoltórias (que são os lados diferentes) e o segmento fixo veremos que o triângulo de maior altura é o triângulo isósceles. Isto quer dizer que é o triângulo com maior área. Como a base é a mesma (hipotenusa), para envolver uma maior área são necessários dois segmentos que, somados, serão maiores que a soma dos segmentos que envolvem uma área menor, dada a mesma base. Assim, como a base é igual em todos os triãngulos, o de maior perímetro será aquele com a maior soma dos outros dois lados, ou seja, o triangulo retangulo isósceles. Abs Felipe --- Em seg, 2/11/09, Lucas Colucci lucascolu...@hotmail.com escreveu: De: Lucas Colucci lucascolu...@hotmail.com Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 2 de Novembro de 2009, 15:39 Seja c fixada. Temos a=csenx e b=ccosx, sendo x um dos ângulos internos do triângulo. Agora, basta maximizar a função f(x)=(senx+cosx) Temos dois métodos para isso. Derivando a função, obtemos -senx+cosx=0=x=pi/4, e o triângulo é isósceles. Ou então, senx+cosx=cosx+cos(pi/2-x)=2cos(pi/4)cos(x-pi/4). Mas 2cos(pi/4) é constante, então basta maximizar cos(x-pi/4), que é maximizado para cos(x-pi/4)=1 =x-pi/4=0=x=pi/4, e o resultado segue. Lucas Colucci. Date: Mon, 2 Nov 2009 15:18:20 -0200 Subject: [obm-l] Problema de máximo!!! From: pedromatematic...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Prove que, entre todos os triângulos retângulos de catetos a e b e hipotenusa c fixada, o que tem maior soma dos catetos S = a + b é o triângulo isósceles. Você sabia que pode utilizar o Messenger de qualquer tipo de celular? Saiba mais. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes _ Novo site do Windows Live: Novidades, dicas dos produtos e muito mais. Conheça! http://www.windowslive.com.br/?ocid=WindowsLive09_MSN_Hotmail_Tagline_out09
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!!
2009/11/3 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Ola Pessoal, Oi Luiz e outros ! Não sei se o meu argumento é válido, mas analisando a questão reparamos que temos um segmento de reta fixo. exatamente ! Se considerarmos os triângulos formados pelas envoltórias (que são os lados diferentes) e o segmento fixo veremos que o triângulo de maior altura é o triângulo isósceles. Isto quer dizer que é o triângulo com maior área. Muito bem ! Ah, tem uma coisa a mais, os ápices dos triângulos formam uma circunferência ! Como a base é a mesma (hipotenusa), para envolver uma maior área são necessários dois segmentos que, somados, serão maiores que a soma dos segmentos que envolvem uma área menor, dada a mesma base. Assim, como a base é igual em todos os triãngulos, o de maior perímetro será aquele com a maior soma dos outros dois lados, ou seja, o triangulo retangulo isósceles. Essa parte da intuição é ótima, mas eu acho que precisa formalizar. Quando eu mandei a minha idéia da construção geométrica, era para tentar ver alguma coisa além da pura trigonometria, e usar algo como MA = MG para a+b e a*b de alguma forma esperta. A conexão que você deu para a área permite usar p(p-a)(p-b)(p-c), e eu acho que quando a+b for máximo, c fixo, deve dar pra provar que a=b. Abs Felipe Quem continua ? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Polinômios (2)
Ola Bluesman e demais colegas desta lista ... OBM-L, (escreverei sem acentos) Considerando que voce esta se referindo a uma prova que esta testando conhecimentos de nivel medio, a sua resposta esta correta. Alias. essa prova esta muito mais para pegadinha do que para afericao de conhecimento ... pois dizer que um polinomio tem 16 raizes complexas e falar muito pouco ( isso apenas implica que no CONTEXTO HABITUAL ONDE TAIS QUESTOES SAO PROPOSTAS, o grau do polinomio nao e menor que 16 ) e, alem disso, o que foi dito nao contribui em nada para a solucao da questao : e muito mais uma forma de desviar a atencao do estudante do que fornecer um dado importante para a solucao. Deploravel, portanto ! Note que existem contextos em que um polinomio de grau N tem mais que N raizes, sem que isso signifique uma derrogacao do Teorema Fundamental da Algebra. ( veja isso aqui : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html ) . Aqui esta um exemplo do que eu falei de ser algo pouco falado ( que nao faz parte da Matematica da Moda ) mas que, em minha opiniao, vai se tornar muito importante num futuro proximo. Alias, foi por isso que eu disse que no CONTEXTO HABITUAL ONDE TAIS QUESTOES SAO PROPOSTAS, vale dizer, onde impera o teorema fundamental da algebra, o algoritmo de divisao e o euclidiano, estamos num corpo ordenado completo etc etc etc um aoutra forma de verificar que a sua resposta esta correta e eliminando as demais opcoes, pois absurdas. Um abraco a todos ! PSR, 20311091338 2009/11/3 Bluesman bluesman2...@uol.com.br: Olá a todos, Enviei a questão abaixo para a lista há mais ou menos dez dias. Como até agora não houve qualquer comentário, segue o meu raciocínio: Independentemente do grau de R(x), temos que o grau de B(x) é maior do que o grau de R(x). Portanto, ao dividirmos R(x) por B(x), temos como quociente o polinômio nulo. E como o polinômio nulo admite infinitas raízes, concluímos que a alternativa correta é a (A). Certo ou errado? Trata-se de uma questão cobrada no concurso para Professores organizado pelo DEPENS (Departamento de Ensino da Aeronáutica). A prova apresenta algumas questões interessantes que podem ser úteis aos colegas professores (para fazer o download basta acessar o site da EPCAR). Espero não ter sido precipitado reenviando o problema e aproveito para recomendar um livro muito bom sobre polinômios: Polynomials, de E.J. Barbeau. Springer. [ ]'s. Numa divisão de polinômios, dividindo-se o polinômio A(x) , que tem exatamente 16 raízes complexas, por B(x) , encontra-se o quociente C(x) e o resto R(x). Sabe-se que . B(x) 0 (B(x) diferente de zero) . C(x) e B(x) possuem o mesmo número de raízes complexas; . R(x) tem o maior grau possível nesta divisão. É correto afirmar que, na divisão dos polinômios R(x) por B(x) , encontra-se um polinômio a) quociente que possui infinitas raízes. b) resto de grau zero. c) quociente que é um polinômio unitário. d) resto que possui 8 raízes complexas. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Prob lema de máximo!!!
Oi Bernardo, Na realidade eu pensei em usar a formula do perímetro, mas aí cairia novamente em calculos (não sei se da para analisar sem meter a mão na massa). De qqer forma, vou tentar mais um pouco. Abs Felipe --- Em ter, 3/11/09, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 3 de Novembro de 2009, 13:03 2009/11/3 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Ola Pessoal, Oi Luiz e outros ! Não sei se o meu argumento é válido, mas analisando a questão reparamos que temos um segmento de reta fixo. exatamente ! Se considerarmos os triângulos formados pelas envoltórias (que são os lados diferentes) e o segmento fixo veremos que o triângulo de maior altura é o triângulo isósceles. Isto quer dizer que é o triângulo com maior área. Muito bem ! Ah, tem uma coisa a mais, os ápices dos triângulos formam uma circunferência ! Como a base é a mesma (hipotenusa), para envolver uma maior área são necessários dois segmentos que, somados, serão maiores que a soma dos segmentos que envolvem uma área menor, dada a mesma base. Assim, como a base é igual em todos os triãngulos, o de maior perímetro será aquele com a maior soma dos outros dois lados, ou seja, o triangulo retangulo isósceles. Essa parte da intuição é ótima, mas eu acho que precisa formalizar. Quando eu mandei a minha idéia da construção geométrica, era para tentar ver alguma coisa além da pura trigonometria, e usar algo como MA = MG para a+b e a*b de alguma forma esperta. A conexão que você deu para a área permite usar p(p-a)(p-b)(p-c), e eu acho que quando a+b for máximo, c fixo, deve dar pra provar que a=b. Abs Felipe Quem continua ? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Prob lema de máximo!!!
Tem a relação de áreas abaixo : S1 = abc/4R ; S2 = x^2c/4R x^2c/4R abc/4R x^2 ab mas ainda não vejo como usá-laalém disso, de pitágoras, podemos, tb, tirar o resultado : 2x^2= c^2 a^2+b^2=c^2 x^2 = (a^2+b^2)/2 x = [(a^2+b^2)/2]^(1/2) 2x= 2 [(a^2+b^2)/2]^(1/2) a+b 2a^2+2b^2a^2+2ab+b^2 a^2-2ab+b20 (a-b)^20 Isto é sempre verdade, exceto para a=b. Abs Felipe --- Em ter, 3/11/09, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 3 de Novembro de 2009, 13:03 2009/11/3 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Ola Pessoal, Oi Luiz e outros ! Não sei se o meu argumento é válido, mas analisando a questão reparamos que temos um segmento de reta fixo. exatamente ! Se considerarmos os triângulos formados pelas envoltórias (que são os lados diferentes) e o segmento fixo veremos que o triângulo de maior altura é o triângulo isósceles. Isto quer dizer que é o triângulo com maior área. Muito bem ! Ah, tem uma coisa a mais, os ápices dos triângulos formam uma circunferência ! Como a base é a mesma (hipotenusa), para envolver uma maior área são necessários dois segmentos que, somados, serão maiores que a soma dos segmentos que envolvem uma área menor, dada a mesma base. Assim, como a base é igual em todos os triãngulos, o de maior perímetro será aquele com a maior soma dos outros dois lados, ou seja, o triangulo retangulo isósceles. Essa parte da intuição é ótima, mas eu acho que precisa formalizar. Quando eu mandei a minha idéia da construção geométrica, era para tentar ver alguma coisa além da pura trigonometria, e usar algo como MA = MG para a+b e a*b de alguma forma esperta. A conexão que você deu para a área permite usar p(p-a)(p-b)(p-c), e eu acho que quando a+b for máximo, c fixo, deve dar pra provar que a=b. Abs Felipe Quem continua ? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômi os (2)
Caro Paulo, Grato pelas suas considerações. Também acho que algumas questões deixaram um pouco a desejar no quesito clareza. Além disso, a cultura da questão pegadinha é, sem dúvida nenhuma, abominável. Armadilhas devem ser usadas para animais. Pelo menos, de todos os concursos para professor que já fiz, esta prova está acima da média (com as devidas ressalvas). Outro ponto negativo com relação à organização do concurso, é que não havia um relógio na sala (os candidatos não podiam usar qualquer relógio). Acredito que, para esta prova, 4 horas é pouco tempo. [ ]'s. - Original Message - From: Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, November 03, 2009 12:38 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios (2) Ola Bluesman e demais colegas desta lista ... OBM-L, (escreverei sem acentos) Considerando que voce esta se referindo a uma prova que esta testando conhecimentos de nivel medio, a sua resposta esta correta. Alias. essa prova esta muito mais para pegadinha do que para afericao de conhecimento ... pois dizer que um polinomio tem 16 raizes complexas e falar muito pouco ( isso apenas implica que no CONTEXTO HABITUAL ONDE TAIS QUESTOES SAO PROPOSTAS, o grau do polinomio nao e menor que 16 ) e, alem disso, o que foi dito nao contribui em nada para a solucao da questao : e muito mais uma forma de desviar a atencao do estudante do que fornecer um dado importante para a solucao. Deploravel, portanto ! Note que existem contextos em que um polinomio de grau N tem mais que N raizes, sem que isso signifique uma derrogacao do Teorema Fundamental da Algebra. ( veja isso aqui : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html ) . Aqui esta um exemplo do que eu falei de ser algo pouco falado ( que nao faz parte da Matematica da Moda ) mas que, em minha opiniao, vai se tornar muito importante num futuro proximo. Alias, foi por isso que eu disse que no CONTEXTO HABITUAL ONDE TAIS QUESTOES SAO PROPOSTAS, vale dizer, onde impera o teorema fundamental da algebra, o algoritmo de divisao e o euclidiano, estamos num corpo ordenado completo etc etc etc um aoutra forma de verificar que a sua resposta esta correta e eliminando as demais opcoes, pois absurdas. Um abraco a todos ! PSR, 20311091338 2009/11/3 Bluesman bluesman2...@uol.com.br: Olá a todos, Enviei a questão abaixo para a lista há mais ou menos dez dias. Como até agora não houve qualquer comentário, segue o meu raciocínio: Independentemente do grau de R(x), temos que o grau de B(x) é maior do que o grau de R(x). Portanto, ao dividirmos R(x) por B(x), temos como quociente o polinômio nulo. E como o polinômio nulo admite infinitas raízes, concluímos que a alternativa correta é a (A). Certo ou errado? Trata-se de uma questão cobrada no concurso para Professores organizado pelo DEPENS (Departamento de Ensino da Aeronáutica). A prova apresenta algumas questões interessantes que podem ser úteis aos colegas professores (para fazer o download basta acessar o site da EPCAR). Espero não ter sido precipitado reenviando o problema e aproveito para recomendar um livro muito bom sobre polinômios: Polynomials, de E.J. Barbeau. Springer. [ ]'s. Numa divisão de polinômios, dividindo-se o polinômio A(x) , que tem exatamente 16 raízes complexas, por B(x) , encontra-se o quociente C(x) e o resto R(x). Sabe-se que . B(x) 0 (B(x) diferente de zero) . C(x) e B(x) possuem o mesmo número de raízes complexas; . R(x) tem o maior grau possível nesta divisão. É correto afirmar que, na divisão dos polinômios R(x) por B(x) , encontra-se um polinômio a) quociente que possui infinitas raízes. b) resto de grau zero. c) quociente que é um polinômio unitário. d) resto que possui 8 raízes complexas. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão 8 da prova do ime
Eu tentaria algo do tipo: p^n = (q - 12)(q + 12) Logo, tem-se o sistema: p^n1 = q - 12 p^n2 = q + 12 com n1 e n2 inteiros nao negativos (no caso, agora n1 OU EXCLUSIVO n2 pode ser nulo) tais que (n1 + n2) = n. Do sistema, p^n2 - p^n1 = 24 Assim, a diferenca de duas potencias do primo p deve ser igual a 24. Testando para os primos conhecidos (vou considerar apenas os primos positivos. p = 2: 2^5 - 2^3 = 32 - 8 = 24 n2 = 5, n1 = 3 = n = 8 e q = 20 p = 3: 3^3 - 3^1 = 27 - 3 = 24 n2 = 3, n1 = 1 = n = 4 e q = 15 p = 5: 5^2 - 5^0 = 25 - 1 = 24 n2 = 2, n1 = 0 = n = 2 e q = 13 Logo, as solucoes sao: (p,n,q) = (2,8,20), (3,4,15), (5,2,13) On Tue, 3 Nov 2009 02:48:14 -0800 (PST), luiz silva wrote Vamos tentar : p^n = q^2 - 12^2 1) Para 0q^212^2 temos (testando mesmo) : q=+-11, p=23, n=1 q=+-1, p=143, n=1 2) Para n 2 ou 4, vc já fez 3) Para q212^2 e n2 temos : p^n=(q+12)(q-12) q+12 = 0 mod p q=-12 mod p q-12=0 mod p -24=0 mod p p=2 ou p=3 p = 2 teremos : 2^n = q^2 - 12^2 q=2qo 2^n = 4qo^2 - 12^2 2^(n-2)=qo^2 - 6^2 qo=2q1 2^(n-2) = 4q1^2 - 6^2 2^(n-4) = q1^2 - 3^2 mdc (q+3, q-3)= 2 Como q+3q-3 temos que q-3 = 2 e q+3 = 2^(n-5) Temos então q=5 e 8=2^(n-5) Com isso, n-5=3, n=8. Como 2^a deixa resto 1 ou 2 por três (um se a for par, e 2 se a for ímpar) e b^2 deixa resto zero ou um por três, temos que n deverá ser um número ímpar, e qo=1 mod 3 3^n = q^2 - 12^2 3^n = (q+12)(q-12) mdc(q+12,q-12)= 3 q- 12=3 , q+12 = 3^(n-1) q=15 27 = 3^(n-1) n-1= 3; n=4. Acho que é isso !! Abs Felipe --- Em seg, 2/11/09, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Assunto: [obm-l] Questão 8 da prova do ime Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 2 de Novembro de 2009, 23:06 Seja a equação p^n +144=q^2,onde n e q são números inteiros positivos e p é um número primo.Determine os valores possíveis de n,p e q.Para n=2,temos p=5 e q= 13.Para n=4,temos p=3 e q=15.E isso é muito pouco.Como proceder para os outros valores de n? Novo Internet Explorer 8: faça tudo com menos cliques. Baixe agora, é gratis! Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com -- This message has been scanned for viruses and dangerous content by MailScanner, and is believed to be clean. Sergio Lima Netto PEE-COPPE/DEL-Poli/UFRJ POBox 68504, Rio de Janeiro, RJ 21941-972, BRAZIL (+55 21) 2562-8164 -- This message has been scanned for viruses and dangerous content by MailScanner, and is believed to be clean. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] [obm-l] Problema de máximo
Oi Bernardo, Acho que agora foi : Vamos supor que 2xa+b 4x^2a^2+2ab+b^2 Sabendo que 2x^2 = S quadrado de lado c (hipotenusa), e que a^2+b^2 = a mesma área, que chamaremos de Sa, então teremos : Sa + 2x^2 Sa+2ab Ou seja, x^2 ab. Do email enterior, temos que : x^2c/4R abc/4R x^2ab Que é o que valida 2xa+b Abs Felipe --- Em ter, 3/11/09, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 3 de Novembro de 2009, 13:03 2009/11/3 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Ola Pessoal, Oi Luiz e outros ! Não sei se o meu argumento é válido, mas analisando a questão reparamos que temos um segmento de reta fixo. exatamente ! Se considerarmos os triângulos formados pelas envoltórias (que são os lados diferentes) e o segmento fixo veremos que o triângulo de maior altura é o triângulo isósceles. Isto quer dizer que é o triângulo com maior área. Muito bem ! Ah, tem uma coisa a mais, os ápices dos triângulos formam uma circunferência ! Como a base é a mesma (hipotenusa), para envolver uma maior área são necessários dois segmentos que, somados, serão maiores que a soma dos segmentos que envolvem uma área menor, dada a mesma base. Assim, como a base é igual em todos os triãngulos, o de maior perímetro será aquele com a maior soma dos outros dois lados, ou seja, o triangulo retangulo isósceles. Essa parte da intuição é ótima, mas eu acho que precisa formalizar. Quando eu mandei a minha idéia da construção geométrica, era para tentar ver alguma coisa além da pura trigonometria, e usar algo como MA = MG para a+b e a*b de alguma forma esperta. A conexão que você deu para a área permite usar p(p-a)(p-b)(p-c), e eu acho que quando a+b for máximo, c fixo, deve dar pra provar que a=b. Abs Felipe Quem continua ? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Prob lema de máximo!!!
Rapaz, que discussão sadia e legal, extremamente didática ao mesmo tempo em que há um tom de pesquisa. Armas são levantadas, de maneira que surja a descoberta! Olha pessoal, essas últimas discussões estão exatamente às voltas de onde parei, daí decidi postar na lista. Maximizar a soma de lados, dado que a soma dos quadrados desses lados é constante, nunca pensei que fosse tão complicado (me refiro ao nível de discussão desta lista) sem o uso de trigonometria (pois são alunos do 9º ano). 2009/11/3 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Tem a relação de áreas abaixo : S1 = abc/4R ; S2 = x^2c/4R x^2c/4R abc/4R x^2 ab mas ainda não vejo como usá-laalém disso, de pitágoras, podemos, tb, tirar o resultado : 2x^2= c^2 a^2+b^2=c^2 x^2 = (a^2+b^2)/2 x = [(a^2+b^2)/2]^(1/2) 2x= 2 [(a^2+b^2)/2]^(1/2) a+b 2a^2+2b^2a^2+2ab+b^2 a^2-2ab+b20 (a-b)^20 Isto é sempre verdade, exceto para a=b. Abs Felipe --- Em *ter, 3/11/09, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com* escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 3 de Novembro de 2009, 13:03 2009/11/3 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.brhttp://br.mc657.mail.yahoo.com/mc/compose?to=luizfelipec...@yahoo.com.br Ola Pessoal, Oi Luiz e outros ! Não sei se o meu argumento é válido, mas analisando a questão reparamos que temos um segmento de reta fixo. exatamente ! Se considerarmos os triângulos formados pelas envoltórias (que são os lados diferentes) e o segmento fixo veremos que o triângulo de maior altura é o triângulo isósceles. Isto quer dizer que é o triângulo com maior área. Muito bem ! Ah, tem uma coisa a mais, os ápices dos triângulos formam uma circunferência ! Como a base é a mesma (hipotenusa), para envolver uma maior área são necessários dois segmentos que, somados, serão maiores que a soma dos segmentos que envolvem uma área menor, dada a mesma base. Assim, como a base é igual em todos os triãngulos, o de maior perímetro será aquele com a maior soma dos outros dois lados, ou seja, o triangulo retangulo isósceles. Essa parte da intuição é ótima, mas eu acho que precisa formalizar. Quando eu mandei a minha idéia da construção geométrica, era para tentar ver alguma coisa além da pura trigonometria, e usar algo como MA = MG para a+b e a*b de alguma forma esperta. A conexão que você deu para a área permite usar p(p-a)(p-b)(p-c), e eu acho que quando a+b for máximo, c fixo, deve dar pra provar que a=b. Abs Felipe Quem continua ? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão 8 da prova do ime
Eh claro que se (p,n,q) eh solucao, entao (p,n,-q) tambem o serah. Abraco, sergio On Tue, 3 Nov 2009 08:30:00 -0300, Sergio Lima Netto wrote Eu tentaria algo do tipo: p^n = (q - 12)(q + 12) Logo, tem-se o sistema: p^n1 = q - 12 p^n2 = q + 12 com n1 e n2 inteiros nao negativos (no caso, agora n1 OU EXCLUSIVO n2 pode ser nulo) tais que (n1 + n2) = n. Do sistema, p^n2 - p^n1 = 24 Assim, a diferenca de duas potencias do primo p deve ser igual a 24. Testando para os primos conhecidos (vou considerar apenas os primos positivos. p = 2: 2^5 - 2^3 = 32 - 8 = 24 n2 = 5, n1 = 3 = n = 8 e q = 20 p = 3: 3^3 - 3^1 = 27 - 3 = 24 n2 = 3, n1 = 1 = n = 4 e q = 15 p = 5: 5^2 - 5^0 = 25 - 1 = 24 n2 = 2, n1 = 0 = n = 2 e q = 13 Logo, as solucoes sao: (p,n,q) = (2,8,20), (3,4,15), (5,2,13) On Tue, 3 Nov 2009 02:48:14 -0800 (PST), luiz silva wrote Vamos tentar : p^n = q^2 - 12^2 1) Para 0q^212^2 temos (testando mesmo) : q=+-11, p=23, n=1 q=+-1, p=143, n=1 2) Para n 2 ou 4, vc já fez 3) Para q212^2 e n2 temos : p^n=(q+12)(q-12) q+12 = 0 mod p q=-12 mod p q-12=0 mod p -24=0 mod p p=2 ou p=3 p = 2 teremos : 2^n = q^2 - 12^2 q=2qo 2^n = 4qo^2 - 12^2 2^(n-2)=qo^2 - 6^2 qo=2q1 2^(n-2) = 4q1^2 - 6^2 2^(n-4) = q1^2 - 3^2 mdc (q+3, q-3)= 2 Como q+3q-3 temos que q-3 = 2 e q+3 = 2^(n-5) Temos então q=5 e 8=2^(n-5) Com isso, n-5=3, n=8. Como 2^a deixa resto 1 ou 2 por três (um se a for par, e 2 se a for ímpar) e b^2 deixa resto zero ou um por três, temos que n deverá ser um número ímpar, e qo=1 mod 3 3^n = q^2 - 12^2 3^n = (q+12)(q-12) mdc(q+12,q-12)= 3 q- 12=3 , q+12 = 3^(n-1) q=15 27 = 3^(n-1) n-1= 3; n=4. Acho que é isso !! Abs Felipe --- Em seg, 2/11/09, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Assunto: [obm-l] Questão 8 da prova do ime Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 2 de Novembro de 2009, 23:06 Seja a equação p^n +144=q^2,onde n e q são números inteiros positivos e p é um número primo.Determine os valores possíveis de n,p e q.Para n=2,temos p=5 e q= 13.Para n=4,temos p=3 e q=15.E isso é muito pouco.Como proceder para os outros valores de n? Novo Internet Explorer 8: faça tudo com menos cliques. Baixe agora, é gratis! Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com -- This message has been scanned for viruses and dangerous content by MailScanner, and is believed to be clean. Sergio Lima Netto PEE-COPPE/DEL-Poli/UFRJ POBox 68504, Rio de Janeiro, RJ 21941-972, BRAZIL (+55 21) 2562-8164 -- This message has been scanned for viruses and dangerous content by MailScanner, and is believed to be clean. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Sergio Lima Netto PEE-COPPE/DEL-Poli/UFRJ POBox 68504, Rio de Janeiro, RJ 21941-972, BRAZIL (+55 21) 2562-8164 -- This message has been scanned for viruses and dangerous content by MailScanner, and is believed to be clean. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
