[obm-l] FW: PORCENTAGENS CURIOSAS!
From: jorgelrs1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: PORCENTAGENS CURIOSAS! Date: Mon, 15 Feb 2010 22:13:10 + Olá! Adalberto, Bernardo e demais foliões! Aproveitando a euforia momina entre confetes e serpentinas gostaria de discutir alguns probleminhas pueris. A princípio havia achado o problema dos 80% meio infantil a exemplo da maioria que envio a lista, mas após a elucidação dos colegas é que pude entender sua sutileza. As porcentagens tendem muitas vezes a ocultar os aspectos significativos dos dados originais. Comparativamente têm um significado muito mais válido se representam proporções da mesma quantidade total. Um fabricante, cujas despesas são fixadas a prazo curto, experimenta uma queda nas vendas. Suas vendas no primeiro ano foram de $10.000 e teve um lucro de $225, equivalente a quase 3% do total das vendas. No ano seguinte, suas despesas permanecem as mesmas de $9.775 , suas vendas caem 3/4%, para $9.925. Seu lucro portanto cai para $150. A queda do lucro foi expressa como uma porcentagem do ano 1. Por que não do ano 2? Experimentadas duas vacinas, a primeira revelou-se eficaz em 99% dos casos, e falhou em 1%. A segunda vacina foi eficiente em 98% e negativa em 2% dos casos. A comparação entre elas deve ser feita 99:98 sucessos (praticamente a mesma coisa), ou 1:2 fracassos (uma o dôbro da outra)? Acredita-se que uma eleição apresentará uma diferença muito pequena de votos entre dois candidatos. Qual é o número mínimo de eleitores favoráveis a um deles que assegure uma confiança de 80%? A propósito! Em uma cidade do interior havia um único barbeiro, que morreu de febre tifóide. É certa a afirmativa que 100% dos barbeiros morrem de febre tifóide? Divirtam-se! Faça compras on-line com mais segurança. Instale grátis o Internet Explorer 8. _ Quer deixar seus vídeos mais divertidos? Com o Movie Maker isso fica fácil. http://www.windowslive.com.br/public/tip.aspx/view/87?product=4ocid=Windows Live:Dicas - Movie Maker:Hotmail:Tagline:1x1:Titulo Legendas Creditos
[obm-l] Fwd: Repunit
-- Mensagem encaminhada -- De: Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com Data: 15 de fevereiro de 2010 17:01 Assunto: Repunit Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Prove que: *111...1 (com n dígitos iguais a 1) é divisível por 41 se, e somente se n é divisível por 5*. Desde já agradeço!!! Abraços. Pedro Jr
[obm-l] Potencia de ponto na circunferencia
Peço uma luz nesta questão: Os segmentos AB e CD se interceptam num ponto P e sao cordas perpendiculares de um mesmo circulo. Se AP = CP=2 e PB=6, calcule o raio do circulo. Desde já agradeço. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
RES: [obm-l] Fwd: Repunit
Olá!
Por Indução Finita, é fácil verificar que:
Se n é múltiplo de 5, então 111...111 (com n dígitos iguais a 1) é
múltiplo de 41.
Lá vai:
1. Verifica-se que 1 é múltiplo de 41 (271x41=1).
2. Hipótese de Indução: [111...111 (com n dígitos iguais a 1 e n
múltiplo de 5)] é múltiplo de 41.
3. Então, mostra-se que:
{[111...111 (com n dígitos iguais a 1 e n múltiplo de 5)]*10^5 + 1}
é múltiplo de 41.
Fácil: [111...111 (com n dígitos iguais a 1, n múltiplo de 5)]*10^5 é
múltiplo de 41 (decorre imediatamente da própria Hipótese de Indução); e
1 é múltiplo de 5 (ver passo 1).
Falta verificar que:
Se n é igual a (5m + k, k=1, 2... 4), então 111...111 (com n dígitos
iguais a 1) NÃO é múltiplo de 41.
Dá trabalho (são 4 verificações), mas parece-me que seja igualmente fácil...
Albert Bouskela
bousk...@msn.com
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Pedro Júnior
Enviada em: quarta-feira, 17 de fevereiro de 2010 10:07
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Fwd: Repunit
-- Mensagem encaminhada --
De: Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com
Data: 15 de fevereiro de 2010 17:01
Assunto: Repunit
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Prove que: 111...1 (com n dígitos iguais a 1) é divisível por 41 se, e
somente se n é divisível por 5.
Desde já agradeço!!!
Abraços.
Pedro Jr
RES: [obm-l] Fwd: Repunit
Novamente, olá!
Abaixo, fiz a complementação para k=4. Para k=1, 2, 3, é só seguir a mesma
metodologia
Albert Bouskela
bousk...@msn.com
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Albert Bouskela
Enviada em: quinta-feira, 18 de fevereiro de 2010 12:34
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RES: [obm-l] Fwd: Repunit
Olá!
Por Indução Finita, é fácil verificar que:
Se n é múltiplo de 5, então 111...111 (com n dígitos iguais a 1) é
múltiplo de 41.
Lá vai:
1. Verifica-se que 1 é múltiplo de 41 (271*41=1).
2. Hipótese de Indução: [111...111 (com n dígitos iguais a 1 e n
múltiplo de 5)] é múltiplo de 41.
3. Então, mostra-se que (próximo passo da demonstração por Indução
Finita):
{[111...111 (com n dígitos iguais a 1 e n múltiplo de 5)]*10^5 + 1}
é múltiplo de 41.
Fácil: [111...111 (com n dígitos iguais a 1, n múltiplo de 5)]*10^5 é
múltiplo de 41 (consequência imediata da própria Hipótese de Indução); e
1 é múltiplo de 5 (ver passo 1).
Falta verificar que:
Se n é igual a (5m + k, k=1, 2, 3, 4), então 111...111 (com n dígitos
iguais a 1) NÃO é múltiplo de 41.
Dá trabalho (são 4 verificações), mas parece-me que seja igualmente fácil...
Para k=4:
n = 5m + 4
a. [111...111 (com 5m dígitos iguais a 1)] é múltiplo de 41. Já foi
verificado acima, já que 5m é obviamente múltiplo de 5.
b. [111...111 (com 5m dígitos iguais a 1)] = 41p (um múltiplo de 41)
c. [111...111 (com 5m dígitos iguais a 1)]*10^4 +
d. [111...111 (com 5m dígitos iguais a 1)]*10^4 é múltiplo de 41 (ver
passo c); = 41*27 + 4
e. [111...111 (com 5m dígitos iguais a 1)]*10^4 + = 41(p+27) + 4
f. Logo, [111...111 (com 5m dígitos iguais a 1)]*10^4 + tem resto 4
na divisão por 41. Logo, [111...111 (com 5m dígitos iguais a 1)]*10^4 +
NÃO é múltiplo de 41.
Agora, é só fazer para k=1, 2, 3.
Albert Bouskela
bousk...@msn.com
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Pedro Júnior
Enviada em: quarta-feira, 17 de fevereiro de 2010 10:07
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Fwd: Repunit
-- Mensagem encaminhada --
De: Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com
Data: 15 de fevereiro de 2010 17:01
Assunto: Repunit
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Prove que: 111...1 (com n dígitos iguais a 1) é divisível por 41 se, e
somente se n é divisível por 5.
Desde já agradeço!!!
Abraços.
Pedro Jr
[obm-l] Repunit
Prove que: *111...1 (com n dígitos iguais a 1) é divisível por 41 se, e somente se n é divisível por 5*. Desde já agradeço!!! Abraços. Pedro Jr
RES: [obm-l] Potencia de ponto na circunferencia
Claro está, por ser PA.PB=PC.PD , que PD=6. Seja O o centro do círculo, o ângulo central AOD mede 90 º ( pois o ângulo inscrito ACD mede 45º ) . Do triângulo APD tiramos que AD^2 = 40 . Do triângulo retângulo AOD tiramos que R^2 = AD ^ 2 =40, daí R=2sqrt(5). Acho que é só isso. Bruno Coimbra. _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Graciliano Antonio Damazo Enviada em: quinta-feira, 18 de fevereiro de 2010 07:31 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Potencia de ponto na circunferencia Peço uma luz nesta questão: Os segmentos AB e CD se interceptam num ponto P e sao cordas perpendiculares de um mesmo circulo. Se AP = CP=2 e PB=6, calcule o raio do circulo. Desde já agradeço. _ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ 10 - Celebridades http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ celebridades/ - Música http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ m%C3%BAsica/ - Esportes http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ esportes/
Re: [obm-l] Fwd: Repunit
Uma maneira alternativa é mostrar que n múltiplo de 5 se, e somente
se, 41 divide (10^n - 1) / 9, que é equivalente a 41 divide 10^n - 1
pois 9 e 41 são primos entre si. Como a ordem de 10 módulo 41 é 5
(10^5 deixa resto 1 módulo 41 e nenhuma das potências anteriores o
faz, e isso é diretamente checável), temos que 41 divide 10^n - 1 se,
e somente se, n é divisível por 5.
[]'s
Cesar
2010/2/18 Albert Bouskela bousk...@msn.com:
Novamente, olá!
Abaixo, fiz a complementação para k=4. Para k=1, 2, 3, é só seguir a mesma
metodologia
Albert Bouskela
bousk...@msn.com
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Albert Bouskela
Enviada em: quinta-feira, 18 de fevereiro de 2010 12:34
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RES: [obm-l] Fwd: Repunit
Olá!
Por Indução Finita, é fácil verificar que:
Se “n” é múltiplo de 5, então 111...111 (com “n” dígitos iguais a 1) é
múltiplo de 41.
Lá vai:
1. Verifica-se que 1 é múltiplo de 41 (271*41=1).
2. Hipótese de Indução: [111...111 (com “n” dígitos iguais a 1 e “n”
múltiplo de 5)] é múltiplo de 41.
3. Então, mostra-se que (próximo passo da demonstração por Indução
Finita):
{[111...111 (com “n” dígitos iguais a 1 e “n” múltiplo de 5)]*10^5 + 1}
é múltiplo de 41.
Fácil: [111...111 (com “n” dígitos iguais a 1, “n” múltiplo de 5)]*10^5 é
múltiplo de 41 (consequência imediata da própria Hipótese de Indução); e
1 é múltiplo de 5 (ver passo 1).
Falta verificar que:
Se “n” é igual a (5m + k, k=1, 2, 3, 4), então 111...111 (com “n” dígitos
iguais a 1) NÃO é múltiplo de 41.
Dá trabalho (são 4 verificações), mas parece-me que seja igualmente fácil...
Para k=4:
n = 5m + 4
a. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)] é múltiplo de 41. Já foi
verificado acima, já que “5m” é – obviamente – múltiplo de 5.
b. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)] = 41p (um múltiplo de 41)
c. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 +
d. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 é múltiplo de 41 (ver
passo c); = 41*27 + 4
e. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 + = 41(p+27) + 4
f. Logo, [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 + tem resto 4
na divisão por 41. Logo, [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 +
NÃO é múltiplo de 41.
Agora, é só fazer para k=1, 2, 3.
Albert Bouskela
bousk...@msn.com
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Pedro Júnior
Enviada em: quarta-feira, 17 de fevereiro de 2010 10:07
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Fwd: Repunit
-- Mensagem encaminhada --
De: Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com
Data: 15 de fevereiro de 2010 17:01
Assunto: Repunit
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Prove que: 111...1 (com n dígitos iguais a 1) é divisível por 41 se, e
somente se n é divisível por 5.
Desde já agradeço!!!
Abraços.
Pedro Jr
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Fwd: Repunit
Muito boa sua solução!
2010/2/18 Cesar Kawakami cesarkawak...@gmail.com
Uma maneira alternativa é mostrar que n múltiplo de 5 se, e somente
se, 41 divide (10^n - 1) / 9, que é equivalente a 41 divide 10^n - 1
pois 9 e 41 são primos entre si. Como a ordem de 10 módulo 41 é 5
(10^5 deixa resto 1 módulo 41 e nenhuma das potências anteriores o
faz, e isso é diretamente checável), temos que 41 divide 10^n - 1 se,
e somente se, n é divisível por 5.
[]'s
Cesar
2010/2/18 Albert Bouskela bousk...@msn.com:
Novamente, olá!
Abaixo, fiz a complementação para k=4. Para k=1, 2, 3, é só seguir a
mesma
metodologia
Albert Bouskela
bousk...@msn.com
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em
nome
de Albert Bouskela
Enviada em: quinta-feira, 18 de fevereiro de 2010 12:34
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RES: [obm-l] Fwd: Repunit
Olá!
Por Indução Finita, é fácil verificar que:
Se “n” é múltiplo de 5, então 111...111 (com “n” dígitos iguais a 1) é
múltiplo de 41.
Lá vai:
1. Verifica-se que 1 é múltiplo de 41 (271*41=1).
2. Hipótese de Indução: [111...111 (com “n” dígitos iguais a 1 e “n”
múltiplo de 5)] é múltiplo de 41.
3. Então, mostra-se que (próximo passo da demonstração por Indução
Finita):
{[111...111 (com “n” dígitos iguais a 1 e “n” múltiplo de 5)]*10^5 +
1}
é múltiplo de 41.
Fácil: [111...111 (com “n” dígitos iguais a 1, “n” múltiplo de 5)]*10^5 é
múltiplo de 41 (consequência imediata da própria Hipótese de Indução); e
1 é múltiplo de 5 (ver passo 1).
Falta verificar que:
Se “n” é igual a (5m + k, k=1, 2, 3, 4), então 111...111 (com “n” dígitos
iguais a 1) NÃO é múltiplo de 41.
Dá trabalho (são 4 verificações), mas parece-me que seja igualmente
fácil...
Para k=4:
n = 5m + 4
a. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)] é múltiplo de 41. Já foi
verificado acima, já que “5m” é – obviamente – múltiplo de 5.
b. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)] = 41p (um múltiplo de 41)
c. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 +
d. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 é múltiplo de 41 (ver
passo c); = 41*27 + 4
e. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 + = 41(p+27) + 4
f. Logo, [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 + tem
resto 4
na divisão por 41. Logo, [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 +
NÃO é múltiplo de 41.
Agora, é só fazer para k=1, 2, 3.
Albert Bouskela
bousk...@msn.com
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em
nome
de Pedro Júnior
Enviada em: quarta-feira, 17 de fevereiro de 2010 10:07
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Fwd: Repunit
-- Mensagem encaminhada --
De: Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com
Data: 15 de fevereiro de 2010 17:01
Assunto: Repunit
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Prove que: 111...1 (com n dígitos iguais a 1) é divisível por 41 se, e
somente se n é divisível por 5.
Desde já agradeço!!!
Abraços.
Pedro Jr
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
=
--
Tiago J. Fonseca
http://legauss.blogspot.com
Re: [obm-l] Fwd: Repunit
Exatamente isso que estava a procura...
Vou me inteirar, mas obrigadíssimo!!!
Abraços
Pedro Jr
João Pessoa - PB
Em 18 de fevereiro de 2010 20:57, Tiago hit0...@gmail.com escreveu:
Muito boa sua solução!
2010/2/18 Cesar Kawakami cesarkawak...@gmail.com
Uma maneira alternativa é mostrar que n múltiplo de 5 se, e somente
se, 41 divide (10^n - 1) / 9, que é equivalente a 41 divide 10^n - 1
pois 9 e 41 são primos entre si. Como a ordem de 10 módulo 41 é 5
(10^5 deixa resto 1 módulo 41 e nenhuma das potências anteriores o
faz, e isso é diretamente checável), temos que 41 divide 10^n - 1 se,
e somente se, n é divisível por 5.
[]'s
Cesar
2010/2/18 Albert Bouskela bousk...@msn.com:
Novamente, olá!
Abaixo, fiz a complementação para k=4. Para k=1, 2, 3, é só seguir a
mesma
metodologia
Albert Bouskela
bousk...@msn.com
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em
nome
de Albert Bouskela
Enviada em: quinta-feira, 18 de fevereiro de 2010 12:34
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RES: [obm-l] Fwd: Repunit
Olá!
Por Indução Finita, é fácil verificar que:
Se “n” é múltiplo de 5, então 111...111 (com “n” dígitos iguais a 1) é
múltiplo de 41.
Lá vai:
1. Verifica-se que 1 é múltiplo de 41 (271*41=1).
2. Hipótese de Indução: [111...111 (com “n” dígitos iguais a 1 e “n”
múltiplo de 5)] é múltiplo de 41.
3. Então, mostra-se que (próximo passo da demonstração por Indução
Finita):
{[111...111 (com “n” dígitos iguais a 1 e “n” múltiplo de 5)]*10^5 +
1}
é múltiplo de 41.
Fácil: [111...111 (com “n” dígitos iguais a 1, “n” múltiplo de 5)]*10^5
é
múltiplo de 41 (consequência imediata da própria Hipótese de Indução); e
1 é múltiplo de 5 (ver passo 1).
Falta verificar que:
Se “n” é igual a (5m + k, k=1, 2, 3, 4), então 111...111 (com “n”
dígitos
iguais a 1) NÃO é múltiplo de 41.
Dá trabalho (são 4 verificações), mas parece-me que seja igualmente
fácil...
Para k=4:
n = 5m + 4
a. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)] é múltiplo de 41. Já foi
verificado acima, já que “5m” é – obviamente – múltiplo de 5.
b. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)] = 41p (um múltiplo de 41)
c. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 +
d. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 é múltiplo de 41
(ver
passo c); = 41*27 + 4
e. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 + = 41(p+27) +
4
f. Logo, [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 + tem
resto 4
na divisão por 41. Logo, [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4
+
NÃO é múltiplo de 41.
Agora, é só fazer para k=1, 2, 3.
Albert Bouskela
bousk...@msn.com
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em
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de Pedro Júnior
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De: Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com
Data: 15 de fevereiro de 2010 17:01
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Prove que: 111...1 (com n dígitos iguais a 1) é divisível por 41 se, e
somente se n é divisível por 5.
Desde já agradeço!!!
Abraços.
Pedro Jr
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
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Tiago J. Fonseca
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