Re: [obm-l] Perguntas pro Claudio Buffara

2018-04-14 Por tôpico Pedro José 
Boa noite!

Tive um insight e peguei emprestada uma frase da Clarice Lispector para
responder a pergunta 4.
Tanto em pintura como em música e literatura, tantas vezes o que chamam de
abstrato me parece apenas uma realidade mais delicada e mais difícil, menos
visível a olho nú.

Em 14 de abr de 2018 21:22, "Claudio Buffara" 
escreveu:

> 2018-04-10 13:09 GMT-03:00 Marcela Costa :
>
>> Caros participantes da lista obm-l.
>>
>> Tenho seguido esta lista lendo as mensagens de fora há algum tempo e
>> fiquei cismada com duas mensagens que o participante Claudio Buffara enviou
>> em 23 de março ( https://www.mail-archive.com/o
>> b...@mat.puc-rio.br/msg55232.html ) e 25 de março (
>> https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55196.html), a
>> respeito do ensino de matemática e decidi participar.
>>
>> Dessa forma, tenho as seguintes perguntas pra ele:
>>
>>
>> 4) Qual a aplicabilidade na vida real de problemas de olimpíadas de
>> matemática?
>>
>> Complementando...
>
> Dá pra imaginar um currículo de matemática começando no 5o ou 6o ano da
> escola no qual os tópicos são apresentados e desenvolvidos da mesma forma
> como ocorre o processo de descoberta em matemática. Este, em sua essência,
> consiste de três estágios:
> 1) observação de um dado fenômeno / detecção de um padrão - na prática,
> isso poderia ser feito por meio de um problema introdutório, que seria
> proposto aos alunos no início da apresentação do tópico - repare que, nesta
> fase, a matemática é uma ciência experimental;
> 2) formulação de uma conjectura que explique este padrão;
> 3) demonstração lógico-dedutiva da conjectura.
> Dá até mencionar um quarto estágio:
> 4) generalização do resultado obtido.
>
> Um currículo de matemática baseado em padrões, conjecturas e demonstrações
> certamente se assemelharia mais ao "currículo" das olimpíadas de matemática
> e conteria problemas de estilo olímpico, ainda que não tão difíceis.
>
> Mas o mais importante, a meu ver, é que tal currículo traria, para os
> alunos, benefícios muito maiores e mais duradouros do que o currículo
> atual.
> Repare que a grande mudança não seria no conteúdo em si, mas sim na forma
> de absorver este conteúdo e de atacar os problemas.
> Ao invés de serem espectadores passivos, eles aprenderiam a experimentar,
> exercitariam a criatividade e o raciocínio lógico-dedutivo, se acostumariam
> a trabalhar com abstrações e aprenderiam a organizar o pensamento com vias
> a resolver problemas e a apreender e compreender a realidade. Estas são
> habilidades que devem estar no repertório de todos os cidadãos e não apenas
> dos matemáticos, cientistas ou engenheiros.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Perguntas pro Claudio Buffara

2018-04-14 Por tôpico Claudio Buffara 
2018-04-10 13:09 GMT-03:00 Marcela Costa :

> Caros participantes da lista obm-l.
>
> Tenho seguido esta lista lendo as mensagens de fora há algum tempo e
> fiquei cismada com duas mensagens que o participante Claudio Buffara enviou
> em 23 de março ( https://www.mail-archive.com/o
> b...@mat.puc-rio.br/msg55232.html ) e 25 de março (
> https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55196.html), a
> respeito do ensino de matemática e decidi participar.
>
> Dessa forma, tenho as seguintes perguntas pra ele:
>
>
> 4) Qual a aplicabilidade na vida real de problemas de olimpíadas de
> matemática?
>
> Complementando...

Dá pra imaginar um currículo de matemática começando no 5o ou 6o ano da
escola no qual os tópicos são apresentados e desenvolvidos da mesma forma
como ocorre o processo de descoberta em matemática. Este, em sua essência,
consiste de três estágios:
1) observação de um dado fenômeno / detecção de um padrão - na prática,
isso poderia ser feito por meio de um problema introdutório, que seria
proposto aos alunos no início da apresentação do tópico - repare que, nesta
fase, a matemática é uma ciência experimental;
2) formulação de uma conjectura que explique este padrão;
3) demonstração lógico-dedutiva da conjectura.
Dá até mencionar um quarto estágio:
4) generalização do resultado obtido.

Um currículo de matemática baseado em padrões, conjecturas e demonstrações
certamente se assemelharia mais ao "currículo" das olimpíadas de matemática
e conteria problemas de estilo olímpico, ainda que não tão difíceis.

Mas o mais importante, a meu ver, é que tal currículo traria, para os
alunos, benefícios muito maiores e mais duradouros do que o currículo
atual.
Repare que a grande mudança não seria no conteúdo em si, mas sim na forma
de absorver este conteúdo e de atacar os problemas.
Ao invés de serem espectadores passivos, eles aprenderiam a experimentar,
exercitariam a criatividade e o raciocínio lógico-dedutivo, se acostumariam
a trabalhar com abstrações e aprenderiam a organizar o pensamento com vias
a resolver problemas e a apreender e compreender a realidade. Estas são
habilidades que devem estar no repertório de todos os cidadãos e não apenas
dos matemáticos, cientistas ou engenheiros.

[]s,
Claudio.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Perguntas pro Claudio Buffara

2018-04-14 Por tôpico Claudio Buffara 
2018-04-10 13:09 GMT-03:00 Marcela Costa :

> Caros participantes da lista obm-l.
>
> Tenho seguido esta lista lendo as mensagens de fora há algum tempo e
> fiquei cismada com duas mensagens que o participante Claudio Buffara enviou
> em 23 de março ( https://www.mail-archive.com/o
> b...@mat.puc-rio.br/msg55232.html ) e 25 de março (
> https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55196.html), a
> respeito do ensino de matemática e decidi participar.
>
> Dessa forma, tenho as seguintes perguntas pra ele:
>
>
> 4) Qual a aplicabilidade na vida real de problemas de olimpíadas de
> matemática?
>
>
Aplicabilidade direta, especialmente a situações do dia-a-dia, realmente
acho que não há. Mas, por favor, leia o que segue...

Me parece que, de uns tempos pra cá, a matemática ensinada nas escolas
ficou muito utilitarista. Por exemplo, todas as questões do Enem - hoje em
dia, o mais importante exame de admissão ao ensino superior e que,
portanto, dita o currículo do Ensino Médio - são contextualizadas, ou seja,
contém alguma aplicação ao "mundo real". Questões teóricas foram banidas do
exame.
Isso parece traduzir uma filosofia de ensino segundo a qual a matemática só
serve para ser aplicada, de preferência na solução de problemas encontrados
pelos cidadão comuns.

Convenhamos, as aplicações da matemática no dia-a-dia se resumem a alguns
problemas simples de finanças pessoais, pesos e medidas e interpretação de
tabelas, gráficos e mapas.
Se é só isso, então não vejo porque alguém deveria estudar matemática além
do 7o ou 8o ano da escola.

Só que, se você pensar um pouco, NÃO É SÓ ISSO.
Afinal, praticamente todos os empregos de alto nível exigem, se não
habilidades quantitativas avançadas, pelo menos uma boa dose de
criatividade e a habilidade de raciocinar logicamente e abstratamente
(pense no trabalho do presidente de uma empresa, por exemplo).
Na minha opinião (e certamente há quem discorde) a matemática é a matéria
da escola onde estas habilidades podem ser melhor desenvolvidas. (É isso
mesmo! Criatividade. Em matemática...) Desde que o currículo favoreça este
desenvolvimento, é claro.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Perguntas pro Claudio Buffara

2018-04-14 Por tôpico Claudio Buffara 
2018-04-10 13:09 GMT-03:00 Marcela Costa :

> Caros participantes da lista obm-l.
>
> Tenho seguido esta lista lendo as mensagens de fora há algum tempo e
> fiquei cismada com duas mensagens que o participante Claudio Buffara enviou
> em 23 de março ( https://www.mail-archive.com/o
> b...@mat.puc-rio.br/msg55232.html ) e 25 de março (
> https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55196.html), a
> respeito do ensino de matemática e decidi participar.
>
> Dessa forma, tenho as seguintes perguntas pra ele:
>
>
> 3) O Sr. não acha que o exibicionismo com estes problemas dificílimos
> acaba por alienar os alunos normais?
>
>
Não acho que haja qualquer exibicionismo.
Como outros já disseram, esta é uma lista dedicada principalmente à
discussão de problemas de olimpíadas, que são mais difíceis (às vezes,
muitíssimo mais difíceis) do que os problemas que aparecem na matemática
escolar.

Ainda assim, acho que você pode estar certa ao afirmar que problemas
dificílimos (especialmente se tiverem soluções "mágicas") têm o potencial
de desmotivar alunos "normais", que podem passar a achar que matemática é
pra "gênios".

Eu acho que esta noção pode (e deve) ser combatida se, nas escolas, a
matemática passar a ser ensinada com base em experimentos e conjecturas. Ou
seja, é importante fazer os alunos se mexerem. Mas "fazer matemática" e
"raciocinar matematicamente" são coisas que precisam ser ensinadas. E um
bom treino são justamente os problemas de estilo olímpico, cuja solução não
depende da mera aplicação de alguma fórmula ou algoritmo, mas sim da
detecção de algum padrão (justamente por meio de experimentos) e do
raciocínio lógico (extremamente importante em qualquer aspecto da vida e
não apenas nas aulas de matemática).

As revistas Eureka (que podem ser obtidas gratuitamente na web:
http://www.obm.org.br/revista-eureka/), especialmente as mais antigas,
trazem alguns artigos muito interessantes que mostram formas de raciocínio
matemático (e inúmeros exemplos de aplicação) perfeitamente acessíveis a um
aluno normal. Coisas como Paridade, Princípio do Elemento Extremo,
Princípio da Invariância, etc. deveriam, a meu ver, fazer parte do
currículo normal de matemática.

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Isso é consequência do fato de que x —> sen(x^2) é contínua mas não 
uniformemente contínua.  

Artur


Enviado do meu iPad

Em 14 de abr de 2018, à(s) 1:10 PM, Claudio Buffara  
escreveu:

> Que tal começar provando que x --> sen(x^2) não é periódica?
> 
> 2018-04-14 13:04 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> Eu também fiquei inseguro em relação a isso e também notei que não usei 
>> (pelo menos não explicitamente) a continuidade de f.
>> 
>> Mas g(raiz(x+kT)) = g(raiz(x+(k+1)T) não só para um número x fixo, mas 
>> para cada x >= -kT: um intervalo infinito.
>> Será que isso não é suficiente para estabelecer a periodicidade de g?
>> 
>> []s,
>> Claudio.
>> 
>> 
>> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa 
>> :
>>> Oi Claudio,
>>> 
>>> 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>>> > f é periódica (digamos, de período T > 0).
>>> >
>>> > Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>>> >
>>> > Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>>> > f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>>> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>>> 
>>> não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
>>> múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
>>> todo a.
>>> 
>>> > Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>>> > raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que 
>>> > contraria
>>> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>>> 
>>> Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
>>> limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
>>> complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
>>> contínua"...
>>> 
>>> > 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>> >>
>>> >> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. 
>>> >> Mostre
>>> >> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>>> >>
>>> >> Artur
>>> 
>>> Abraços,
>>> -- 
>>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>> 
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Perguntas pro Claudio Buffara

2018-04-14 Por tôpico Claudio Buffara 
2018-04-10 13:09 GMT-03:00 Marcela Costa :

> Caros participantes da lista obm-l.
>
> Tenho seguido esta lista lendo as mensagens de fora há algum tempo e
> fiquei cismada com duas mensagens que o participante Claudio Buffara enviou
> em 23 de março ( https://www.mail-archive.com/
> obm-l@mat.puc-rio.br/msg55232.html ) e 25 de março (
> https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55196.html), a
> respeito do ensino de matemática e decidi participar.
>
> Dessa forma, tenho as seguintes perguntas pra ele:
>
> 2) O Sr. não acha um pouco arrogante fazer uma afirmação como esta, já que
> o Sr. tem um talento claramente acima da média em matemática e pertence à
> elite dos "olímpicos"?
>
> Expressar minha opinião sobre qualquer tema não é arrogância em hipótese
alguma.
Você até poderia desconsiderar minha opinião sobre o ensino de produtos
notáveis, por exemplo, pelo fato de eu não ser professor, ou discordar
dela, por achar, no caso, que o assunto está sim sendo bem ensinado.
Sobre "talento acima da média", eu diria que minha limitada habilidade
matemática não é inata mas vem, isso sim, de anos de estudo e prática na
resolução de problemas.
Além disso, habilidade matemática é claramente uma questão de grau: conheço
várias pessoas, até mesmo nesta lista, que têm muito mais habilidade
matemática do que eu.
Eu até acho que gênios da matemática existem, mas são extremamente raros.
Creio que a maioria dos grandes matemáticos do passado e do presente
conseguiram sua reputação muito mais por meio de muito trabalho duro do que
por genialidade.

Por outro lado, acho que um bom professor de matemática pode fornecer o
incentivo, dar o empurrão necessário para que um dado aluno passe a
apreciar e a se destacar na matéria.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Perguntas pro Claudio Buffara

2018-04-14 Por tôpico Claudio Buffara 
2018-04-10 13:09 GMT-03:00 Marcela Costa :

> Caros participantes da lista obm-l.
>
> Tenho seguido esta lista lendo as mensagens de fora há algum tempo e
> fiquei cismada com duas mensagens que o participante Claudio Buffara enviou
> em 23 de março ( https://www.mail-archive.com/o
> b...@mat.puc-rio.br/msg55232.html ) e 25 de março (
> https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55196.html), a
> respeito do ensino de matemática e decidi participar.
>
> Dessa forma, tenho as seguintes perguntas pra ele:
>
> 1) O Sr. diz que produtos notáveis e fatorações são "notoriamente mal
> ensinados". O Sr. tem alguma sugestão de como ensinar melhor estes tópicos?
>
> Primeiro, explicar a relevância da distributividade e da comutatividade
(que começa nos algoritmos da aritmética).

Depois, motivar a introdução de cada  produto notável por meio de um
problema.
Por exemplo, resolver a equação x^2 - 14x + 45 = 0;
Começar sugerindo aos alunos a ideia de "completar quadrados", por meio da
comparação da equação original com o PADRÃO do produto notável (x - a)^2 =
x^2 - 2ax + a^2.
Assim, por exemplo, na comparação, se 2a = 14, então a = 7 e o produto
notável fica (x - 7)^2 = x^2 - 14x + 49;
Agora, como fazer para transformar x^2 - 14x + 45 em x^2 - 14x + 49?;
etc...
Ou seja, a ideia é fazer com que os alunos, por meio do exame de exemplos
concretos, descubram eles mesmos a "fórmula de Bhaskara".

Além disso, eu também faria com que os alunos generalizassem  (x+y)^2 = x^2
+ 2xy + y^2  e  (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 para expoentes maiores,
fazendo-os chegar ao teorema do binômio e à fórmula da soma dos termos de
uma PG.

O objetivo é fazer com que os alunos experimentem, descubram padrões,
formulem conjecturas, demonstrem estas conjecturas e depois generalizem.
A realização de uma investigação pelos próprios alunos (guiada pelo
professor, claro!) que os levasse de produtos notáveis até PGs e teorema do
binômio, passando por equações do 2o grau e função quadrática, mostraria
conexões entre assuntos que, à primeira vista, parecem independentes e
seria, a meu ver, um enorme progresso no ensino da matemática. E estamos
falando de um único tópico de álgebra...
Só que hoje em dia, a grande maioria dos alunos são espectadores passivos.
Nem deve passar pelas cabeças deles que matemática é algo que as pessoas
FAZEM e que, quando está sendo criada, é uma ciência experimental.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Filosofia Matemática

2018-04-14 Por tôpico Luiz Antonio Rodrigues 
Olá, Anderson!
Muito obrigado pela dica!
Um abraço!
Luiz

On Sat, Apr 14, 2018, 5:21 PM Anderson Torres 
wrote:

> Em 11 de abril de 2018 11:27, Luiz Antonio Rodrigues
>  escreveu:
> > Olá, pessoal!
> > Bom dia!
> > Alguém conhece algum livro de Filosofia Matemática? Eu já li o do
> Bertrand
> > Russell, mas não gostei muito dele...
>
> O meu favorito:
>
> An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics: Mathematics as the
> Science of Quantity and Structure
>
>
> https://www.amazon.com/Aristotelian-Realist-Philosophy-Mathematics-Structure/dp/1137400722
>
> > Muito obrigado!
> > Um abraço!
> > Luiz
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Filosofia Matemática

2018-04-14 Por tôpico Anderson Torres 
Em 11 de abril de 2018 11:27, Luiz Antonio Rodrigues
 escreveu:
> Olá, pessoal!
> Bom dia!
> Alguém conhece algum livro de Filosofia Matemática? Eu já li o do Bertrand
> Russell, mas não gostei muito dele...

O meu favorito:

An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics: Mathematics as the
Science of Quantity and Structure

https://www.amazon.com/Aristotelian-Realist-Philosophy-Mathematics-Structure/dp/1137400722

> Muito obrigado!
> Um abraço!
> Luiz
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória

2018-04-14 Por tôpico Claudio Buffara 
Realmente, não me ocorre nenhuma ideia brilhante.

Será que não é um erro de impressão e faltou um + entre o y e o z?

De repente da’ pra usar uma planilha pra achar o número de soluções inteiras 
positivas de:
yz = n, 
com n variando de 1 até 98.

Depois, pra cada n, achar da forma tradicional o número de soluções de:
x + w = 100-n.

Abs

Enviado do meu iPhone

Em 14 de abr de 2018, à(s) 15:16, Douglas Oliveira de Lima 
 escreveu:

> Entao , veio de quantas soluções inteiras positivas existem para x+yz+w=100.
> 
> Douglas Oliveira.
> 
> Em sáb, 14 de abr de 2018 13:37, Claudio Buffara  
> escreveu:
>> Que eu saiba, só no braço, mesmo...
>> 
>> n(k) é uma fórmula envolvendo os expoentes da decomposição de k em 
>> fatores primos.
>> Não conheço nenhuma expressão de n(k) em função de k diretamente.
>> 
>> De onde veio este problema?
>> 
>> []s,
>> Claudio.
>> 
>> 
>> 2018-04-10 18:11 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima 
>> :
>>> Caros amigos , retomando o raciocinio, rs, estou com um problema um tanto 
>>> interessante que nao sei como fazer:
>>> 
>>> Existe algum jeito de calcular o valor do somatório dos produtos 
>>> n(k).(101-k) onde k varia de 1 a 98 e n(k) é o número de divisores de k.
>>> 
>>> 
>>> Qualquer ajuda será bem vinda.
>>> 
>>> 
>>> Abraco do 
>>> Douglas Oliveira.
>>> 
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Perguntas pro Claudio Buffara

2018-04-14 Por tôpico Anderson Torres 
Em 10 de abril de 2018 13:09, Marcela Costa
 escreveu:
> Caros participantes da lista obm-l.
>
> Tenho seguido esta lista lendo as mensagens de fora há algum tempo e fiquei
> cismada com duas mensagens que o participante Claudio Buffara enviou em 23
> de março ( https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55232.html )
> e 25 de março (
> https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55196.html), a respeito
> do ensino de matemática e decidi participar.
>
> Dessa forma, tenho as seguintes perguntas pra ele:
>
> 1) O Sr. diz que produtos notáveis e fatorações são "notoriamente mal
> ensinados". O Sr. tem alguma sugestão de como ensinar melhor estes tópicos?
>
> 2) O Sr. não acha um pouco arrogante fazer uma afirmação como esta, já que o
> Sr. tem um talento claramente acima da média em matemática e pertence à
> elite dos "olímpicos"?

Será que não? Justamente por ser um "de elite" ele possa ver as coisas
de um ângulo, hum, privilegiado.

Por exemplo, muitas vezes a 'inútil' fórmula de Bhaskara é atirada sem
uma dedução, na melhor hipótese de maneira fria e sem

Para não dizer que não, eu lembro de um livro, o autor era José
Bigode, que tinha uma didática interessante, e motivava a resolução da
equação de segundo grau começando desde a "tabuada de quadrados" (e a
pergunta "qual é a cor do cavalo branco de Napoleão?"). Eram umas boas
cem páginas entre teoria e e exercícios para chegar em Bhaskara.

>
> 3) O Sr. não acha que o exibicionismo com estes problemas dificílimos acaba
> por alienar os alunos normais?

Não. Alunos normais não são o alvo destes problemas (exceto talvez na
antiga União Soviética, em que problemas de nível olímpico eram usados
para afastar judeus, ciganos e demais "indesejados" - mas isso é outra
conversa).

Não há o que se falar de alienação dos mesmos, muito pelo contrário,
para todos os efeitos não existem "barreiras de entrada" aqui. No
máximo, talvez, acesso à internet.

Isso é tão ingênuo quanto dizer que um curso de Medicina acaba
"alienando os alunos normais" de Veterinária.

>
> 4) Qual a aplicabilidade na vida real de problemas de olimpíadas de
> matemática?

Primeiro, uma bem importante para a vida real: abstração e
reconhecimento de padrões. Algo muito útil em Computação,
especialmente nas áreas de Dados Massivos (Big Data) e Inteligência
Artificial.

Segundo, resoluções imediatas? Ora se não são os desenvolvimentos em
Matemática que orientam e beneficiam tantas outras áreas, como
Enganharia, Medicina, Criptografia (agradeça a Rivest, Shamir,
Adelman, Schneier e um monte de hackers pelo seu e-mail não ser
vulnerável a grampos telefônicos, hehe!), Estatística (em muitas
faculdades de Humanas, Estatística é disciplina que toma no mínimo um
ano), Economia...

Os problemas em si? Bem, Teoria dos Números é a base do estado-da-arte
em Criptografia, então já falei sobre.

>
> Sds
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória

2018-04-14 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima 
Entao , veio de quantas soluções inteiras positivas existem para x+yz+w=100.

Douglas Oliveira.

Em sáb, 14 de abr de 2018 13:37, Claudio Buffara 
escreveu:

> Que eu saiba, só no braço, mesmo...
>
> n(k) é uma fórmula envolvendo os expoentes da decomposição de k em fatores
> primos.
> Não conheço nenhuma expressão de n(k) em função de k diretamente.
>
> De onde veio este problema?
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-04-10 18:11 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>
>> Caros amigos , retomando o raciocinio, rs, estou com um problema um tanto
>> interessante que nao sei como fazer:
>>
>> Existe algum jeito de calcular o valor do somatório dos produtos
>> n(k).(101-k) onde k varia de 1 a 98 e n(k) é o número de divisores de k.
>>
>>
>> Qualquer ajuda será bem vinda.
>>
>>
>> Abraco do
>> Douglas Oliveira.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Pedro Angelo 
Eu imagino que a continuidade de f seja necessária para esse problema.
Estou tentando aqui, mas não consigo encontrar um exemplo de função f
periódica descontínua (em todos os pontos) tal que g seja periódica.
Alguém tem alguma ideia?

2018-04-14 13:50 GMT-03:00 Pedro Angelo :
> Aparentemente, a minha foi desnecessariamente complicada mesmo. De
> qualquer forma, acho que a ideia é a mesma né: usar o fato de que g
> oscila cada vez mais rápido à medida que x-->oo.
>
> 2018-04-14 13:36 GMT-03:00 Artur Steiner :
>> A prova que encontrei baseia-se no fato de que, se g é contínua e periódica,
>> então g é unformemente contínua.
>>
>> Sendo a composição de duas funcões contínuas, f e x --> x^2, g é contínua.
>> Vamos mostrar que não é uniformemente contínua, o que implica que não seja
>> periódica.
>>
>> Como f não é constante, existem a e b com f(a) <> f(b). Sendo contínua,
>> periódica e não constante, f tem um período fundamental p > 0. Definamos
>> duas sequências por u_n = raiz(a + np) e v_n = raiz(b + np). Então, u_n -
>> v_n --> 0. Mas como para todo n g(u_n) - g(v_n) = f(a + np) - f(b + np) =
>> f(a) - f(b) <> 0, g(u_n) - g(v_n) não converge para 0. Logo, g não é
>> uniformemente contínua e, portanto, não é periódica.
>>
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> Em 14 de abr de 2018 11:02, "Claudio Buffara" 
>> escreveu:
>>
>> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>>
>> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>>
>> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que contraria
>> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>>
>>
>>
>>
>> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>>
>>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
>>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>>>
>>> Artur
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Pedro Angelo 
Aparentemente, a minha foi desnecessariamente complicada mesmo. De
qualquer forma, acho que a ideia é a mesma né: usar o fato de que g
oscila cada vez mais rápido à medida que x-->oo.

2018-04-14 13:36 GMT-03:00 Artur Steiner :
> A prova que encontrei baseia-se no fato de que, se g é contínua e periódica,
> então g é unformemente contínua.
>
> Sendo a composição de duas funcões contínuas, f e x --> x^2, g é contínua.
> Vamos mostrar que não é uniformemente contínua, o que implica que não seja
> periódica.
>
> Como f não é constante, existem a e b com f(a) <> f(b). Sendo contínua,
> periódica e não constante, f tem um período fundamental p > 0. Definamos
> duas sequências por u_n = raiz(a + np) e v_n = raiz(b + np). Então, u_n -
> v_n --> 0. Mas como para todo n g(u_n) - g(v_n) = f(a + np) - f(b + np) =
> f(a) - f(b) <> 0, g(u_n) - g(v_n) não converge para 0. Logo, g não é
> uniformemente contínua e, portanto, não é periódica.
>
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em 14 de abr de 2018 11:02, "Claudio Buffara" 
> escreveu:
>
> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>
> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>
> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que contraria
> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>
>
>
>
> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>
>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>>
>> Artur
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Pedro Angelo 
Vou seguir um caminho diferente do que vcs estavam seguindo, porque
sou ruim com demonstrações mais algébricas :)

Sabemos que f é periódica. Para facilitar as contas, digamos que 1
seja período de f (se não for, adaptar a demonstração é fácil).
Digamos que g seja periódica, de período T.

Vamos olhar para a parte positiva dos domínios de f e de g. Na
semireta positiva, x-->x^2 é uma bijeção. Como o Claudio já mencionou
lá em cima, quando transpomos o domínio de g de volta para o de f
através dessa bijeção, as transposições dos períodos de f ficam cada
vez menores à medida que os valores aumentam. O "primeiro período" de
f é [0,1], que é levado em [0,1]. O segundo é [1,2], levado em
[1,sqrt(2)]. O n-ésimo é [n,n+1], e é levado em [sqrt(n),sqrt(n+1)],
que tem tamanho igual a sqrt(n+1)-sqrt(n) = 1/(sqrt(n)+sqrt(n+1)), que
tende a zero.

Isso tudo significa que, quando olhamos para x-->oo no domínio de g,
cada período [kT, (k+1)T] de g engloba uma quantidade cada vez maior
de períodos de f. Em particular, à medida que esse k aumenta,
conseguimos fazer com que o intervalo [kT,kT+epsilon] englobe um
período inteiro de f, e o menor epsilon necessário para isso tende a
zero quando k-->

Como [kT,kT+epsilon] engloba um período inteiro de f, a imagem desse
intervalo sob g é igual à imagem (global) de f. Como g é periódica,
essa imagem é a mesma que a imagem do intervalo [0,epsilon] sob g.
Resumindo: para qualquer epsilon, a imagem do intervalo [0,epsilon]
sob g é igual à imagem de f. Como f é contínua não-constante, a sua
imagem é um intervalo fechado [a,b] com b>a. Isso significa que g não
pode ser contínua em 0.

Não sei se isso foi tiro de canhão para matar mosca, talvez a
demonstração algébrica seja mais simples, mas eu gosto dessa :)

2018-04-14 13:27 GMT-03:00 Pedro Angelo :
> Acho que a definição mais abrangente de "função periódica" é "qualquer
> função que apresente um período".  Um "período" é qualquer número
> positivo T tal que para todo x, f(x+T)=f(x). Eu dei o exemplo da
> função indicadora dos racionais ali em cima: f(x)=1 quando x é
> racional, e f(x)=0 quando x é irracional. Essa função é "periódica"
> nessa definição, pois qualquer número racional é um período dessa
> função (ou seja, se r é racional, então para todo x, f(x)=f(x+r)). Mas
> essa função não apresenta um "menor período", justamente porque não
> existe um menor racional negativo.
>
> Acho que matei a questão do g não ser periódica, mas na verdade não
> precisei usar o fato de que f tem período fundamental, mas usei uma
> ideia parecida. Vou enviar daqui a pouco.
>
> 2018-04-14 13:15 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> Mas a existência de um período fundamental (o menor real positivo T tal que
>> f(x) = f(x+T) para todos x, x + T no domínio de f) não é o que define uma
>> função periódica não-constante (contínua ou não)?
>>
>>
>> 2018-04-14 13:03 GMT-03:00 Pedro Angelo :
>>>
>>> Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei
>>> provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de
>>> que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período
>>> fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não
>>> apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos
>>> racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há
>>> período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da
>>> função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual
>>> para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à
>>> oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa
>>> oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero,
>>> então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é
>>> contínua em nenhum ponto.
>>>
>>> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>> :
>>> > Oi Claudio,
>>> >
>>> > 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>>> >> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>>> >>
>>> >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>>> >>
>>> >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>>> >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>>> >
>>> > não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
>>> > múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
>>> > todo a.
>>> >
>>> >> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>>> >> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
>>> >> contraria
>>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>>> >
>>> > Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
>>> > limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
>>> > complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
>>> > contínua"...
>>> >
>>>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Artur Steiner 
A prova que encontrei baseia-se no fato de que, se g é contínua e
periódica, então g é unformemente contínua.

Sendo a composição de duas funcões contínuas, f e x --> x^2, g é contínua.
Vamos mostrar que não é uniformemente contínua, o que implica que não seja
periódica.

Como f não é constante, existem a e b com f(a) <> f(b). Sendo contínua,
periódica e não constante, f tem um período fundamental p > 0. Definamos
duas sequências por u_n = raiz(a + np) e v_n = raiz(b + np). Então, u_n -
v_n --> 0. Mas como para todo n g(u_n) - g(v_n) = f(a + np) - f(b + np) =
f(a) - f(b) <> 0, g(u_n) - g(v_n) não converge para 0. Logo, g não é
uniformemente contínua e, portanto, não é periódica.


Artur Costa Steiner

Em 14 de abr de 2018 11:02, "Claudio Buffara" 
escreveu:

f é periódica (digamos, de período T > 0).

Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.

Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
contraria raiz(x+(k+1)T)
- raiz(x+kT) = nP.




2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner :

> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>
> Artur
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Pedro Angelo 
Acho que a definição mais abrangente de "função periódica" é "qualquer
função que apresente um período".  Um "período" é qualquer número
positivo T tal que para todo x, f(x+T)=f(x). Eu dei o exemplo da
função indicadora dos racionais ali em cima: f(x)=1 quando x é
racional, e f(x)=0 quando x é irracional. Essa função é "periódica"
nessa definição, pois qualquer número racional é um período dessa
função (ou seja, se r é racional, então para todo x, f(x)=f(x+r)). Mas
essa função não apresenta um "menor período", justamente porque não
existe um menor racional negativo.

Acho que matei a questão do g não ser periódica, mas na verdade não
precisei usar o fato de que f tem período fundamental, mas usei uma
ideia parecida. Vou enviar daqui a pouco.

2018-04-14 13:15 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> Mas a existência de um período fundamental (o menor real positivo T tal que
> f(x) = f(x+T) para todos x, x + T no domínio de f) não é o que define uma
> função periódica não-constante (contínua ou não)?
>
>
> 2018-04-14 13:03 GMT-03:00 Pedro Angelo :
>>
>> Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei
>> provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de
>> que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período
>> fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não
>> apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos
>> racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há
>> período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da
>> função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual
>> para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à
>> oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa
>> oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero,
>> então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é
>> contínua em nenhum ponto.
>>
>> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> :
>> > Oi Claudio,
>> >
>> > 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> >> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>> >>
>> >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>> >>
>> >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>> >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>> >
>> > não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
>> > múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
>> > todo a.
>> >
>> >> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>> >> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
>> >> contraria
>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>> >
>> > Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
>> > limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
>> > complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
>> > contínua"...
>> >
>> >> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner
>> >> :
>> >>>
>> >>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante.
>> >>> Mostre
>> >>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>> >>>
>> >>> Artur
>> >
>> > Abraços,
>> > --
>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >  acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> >
>> > =
>> > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> >
>> > =
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória

2018-04-14 Por tôpico Claudio Buffara 
Que eu saiba, só no braço, mesmo...

n(k) é uma fórmula envolvendo os expoentes da decomposição de k em fatores
primos.
Não conheço nenhuma expressão de n(k) em função de k diretamente.

De onde veio este problema?

[]s,
Claudio.


2018-04-10 18:11 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com>:

> Caros amigos , retomando o raciocinio, rs, estou com um problema um tanto
> interessante que nao sei como fazer:
>
> Existe algum jeito de calcular o valor do somatório dos produtos
> n(k).(101-k) onde k varia de 1 a 98 e n(k) é o número de divisores de k.
>
>
> Qualquer ajuda será bem vinda.
>
>
> Abraco do
> Douglas Oliveira.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Claudio Buffara 
Mas a existência de um período fundamental (o menor real positivo T tal que
f(x) = f(x+T) para todos x, x + T no domínio de f) não é o que define uma
função periódica não-constante (contínua ou não)?


2018-04-14 13:03 GMT-03:00 Pedro Angelo :

> Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei
> provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de
> que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período
> fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não
> apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos
> racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há
> período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da
> função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual
> para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à
> oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa
> oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero,
> então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é
> contínua em nenhum ponto.
>
> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
> :
> > Oi Claudio,
> >
> > 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> >> f é periódica (digamos, de período T > 0).
> >>
> >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
> >>
> >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
> >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
> >
> > não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
> > múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
> > todo a.
> >
> >> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
> >> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
> contraria
> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
> >
> > Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
> > limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
> > complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
> > contínua"...
> >
> >> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner  >:
> >>>
> >>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante.
> Mostre
> >>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
> >>>
> >>> Artur
> >
> > Abraços,
> > --
> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >  acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > 
> =
> > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > 
> =
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Claudio Buffara 
Que tal começar provando que x --> sen(x^2) não é periódica?

2018-04-14 13:04 GMT-03:00 Claudio Buffara :

> Eu também fiquei inseguro em relação a isso e também notei que não usei
> (pelo menos não explicitamente) a continuidade de f.
>
> Mas g(raiz(x+kT)) = g(raiz(x+(k+1)T) não só para um número x fixo, mas
> para cada x >= -kT: um intervalo infinito.
> Será que isso não é suficiente para estabelecer a periodicidade de g?
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com>:
>
>> Oi Claudio,
>>
>> 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> > f é periódica (digamos, de período T > 0).
>> >
>> > Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>> >
>> > Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>> > f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>>
>> não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
>> múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
>> todo a.
>>
>> > Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>> > raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
>> contraria
>> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>>
>> Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
>> limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
>> complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
>> contínua"...
>>
>> > 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner > >:
>> >>
>> >> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante.
>> Mostre
>> >> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>> >>
>> >> Artur
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Claudio Buffara 
Eu também fiquei inseguro em relação a isso e também notei que não usei
(pelo menos não explicitamente) a continuidade de f.

Mas g(raiz(x+kT)) = g(raiz(x+(k+1)T) não só para um número x fixo, mas para
cada x >= -kT: um intervalo infinito.
Será que isso não é suficiente para estabelecer a periodicidade de g?

[]s,
Claudio.


2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com>:

> Oi Claudio,
>
> 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> > f é periódica (digamos, de período T > 0).
> >
> > Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
> >
> > Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
> > f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>
> não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
> múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
> todo a.
>
> > Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
> > raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
> contraria
> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>
> Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
> limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
> complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
> contínua"...
>
> > 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner  >:
> >>
> >> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
> >> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
> >>
> >> Artur
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Pedro Angelo 
Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei
provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de
que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período
fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não
apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos
racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há
período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da
função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual
para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à
oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa
oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero,
então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é
contínua em nenhum ponto.

2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
:
> Oi Claudio,
>
> 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>>
>> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>>
>> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>
> não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
> múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
> todo a.
>
>> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que contraria
>> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
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> Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
> limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
> complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
> contínua"...
>
>> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>>
>>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
>>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>>>
>>> Artur
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> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
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> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa 
Oi Claudio,

2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>
> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>
> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.

não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
todo a.

> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que contraria
> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.

Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
contínua"...

> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>
>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>>
>> Artur

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Perguntas pro Claudio Buffara

2018-04-14 Por tôpico Claudio Buffara 
Prezada Marcela:

Segue abaixo minha resposta à sua primeira pergunta. As demais irão mais
tarde.


* 1) O Sr. diz que produtos notáveis e fatorações são "notoriamente mal
ensinados". O Sr. tem alguma sugestão de como ensinar melhor estes tópicos?
*

Examinei duas coleções de livros didáticos para 6o a 9o ano: Matemática -
Compreensão e Prática, de Ênio Silveira e Cláudio Marques; Matemática -
Imenes e Lellis, de Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis.
Ambos apresentam produtos notáveis no volume correspondente ao 8o ano, sem
qualquer menção explícita à propriedade distributiva (ou à comutativa) e só
vão mencionar a aplicação mais importante do produto notável (x+y)^2 = x^2
+ 2xy + y^2 - o estudo da função quadrática (incluindo aí a resolução da
equação de 2o grau) - no livro do 9o ano.

Ou seja, os produtos notáveis ficam "jogados" lá no 8o ano, sendo
apresentados sem qualquer motivação ou aplicação relevante e sem que se
chame a atenção dos alunos para as propriedades das operações que eles
embutem.
Além disso, nenhuma das duas coleções dá qualquer ênfase à ideia de se
"completar quadrados".
Uma delas, no livro do 9o ano, até deduz a fórmula das raízes da equação,
mas os passos da dedução não têm qualquer motivação, o que, a meu ver, faz
com que os alunos pensem que vem de alguma "inspiração divina". A outra
apenas enuncia a fórmula, sem qualquer justificativa ou demonstração.

Incidentalmente, foi assim que eu "aprendi" quando estava na escola.
Só ouvi falar em "completar quadrados" no curso de Cálculo I da faculdade
de engenharia, ao estudar métodos de integração.

[]s,
Claudio.


2018-04-10 13:09 GMT-03:00 Marcela Costa :

> Caros participantes da lista obm-l.
>
> Tenho seguido esta lista lendo as mensagens de fora há algum tempo e
> fiquei cismada com duas mensagens que o participante Claudio Buffara enviou
> em 23 de março ( https://www.mail-archive.com/
> obm-l@mat.puc-rio.br/msg55232.html ) e 25 de março (
> https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55196.html), a
> respeito do ensino de matemática e decidi participar.
>
> Dessa forma, tenho as seguintes perguntas pra ele:
>
> 1) O Sr. diz que produtos notáveis e fatorações são "notoriamente mal
> ensinados". O Sr. tem alguma sugestão de como ensinar melhor estes tópicos?
>
> 2) O Sr. não acha um pouco arrogante fazer uma afirmação como esta, já que
> o Sr. tem um talento claramente acima da média em matemática e pertence à
> elite dos "olímpicos"?
>
> 3) O Sr. não acha que o exibicionismo com estes problemas dificílimos
> acaba por alienar os alunos normais?
>
> 4) Qual a aplicabilidade na vida real de problemas de olimpíadas de
> matemática?
>
> Sds
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Claudio Buffara 
f é periódica (digamos, de período T > 0).

Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.

Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
contraria raiz(x+(k+1)T)
- raiz(x+kT) = nP.




2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner :

> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>
> Artur
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.