[obm-l] Transcendentais
Boa noite, Compreendo que os reais formam um corpo incontável, e por isso são uma extensão algébrica infinita (transcendental) sobre os racionais; assim, formam um espaço vetorial de dimensão infinita sobre esses. Minha questão é: é necessário o axioma da escolha para que se possa escolher um número cujo corpo de menor grau de extensão é o próprio corpo dos reais? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
Oi, Alexandre. Quando a gente escreve uma "pilha" de potências sem parênteses, a convenção é que ela deve ser calculada "de cima para baixo." Por exemplo: 2^3^4 = 2^(3^4)=2^81 (convenção usual) ao invés de (2^3)^4=2^12 (essa precisa de parênteses ali no 2^3). No caso, acho que o pessoal falava de x^x^x^x = x^(x^(x^x)) = coisa complicada que depende do x e que eu não sei simplificar mais que isso ;D ao invés de ((x^x)^x)^x = x^(x^3) Ralph. On Wed, Nov 1, 2023 at 7:45 PM Alexandre Antunes < prof.alexandreantu...@gmail.com> wrote: > Boa noite, > > Tem uma coisa que não estou entendendo ... Enxergo , a expressão > infinita de x elevada a x elevada a x (aplicando a propriedade de potência > de potência) ... Como segue > > x^(x^(n-1)) = 2 > E > x^(x^(n-1)) = 4 > Com n tendendo a infinito. > > log x . log x = log (log 2))/(n-1) > E > log x . log x = log (log 4))/(n-1) > > Para n tendendo a infinito > > log x . log x =0 > > log^2 x = 0 > > Tem sentido?!!? Ou viajei? > > > Outra coisa, essas equações soltas, sem algum tipo de restrição do valor > de x fica um pouco sem rumo! > > > > Em qua, 1 de nov de 2023 18:37, Pacini Bores > escreveu: > >> Oi Claudio, mas sabe, o que mais me incomoda é o fato de que em lnx = >> lnL/L, se tomarmos a função g(L) = lnL/L , teremos 0< g(L) <= 1/e. Para >> um único valor de "x" temos dois valores para L e, daí reforçando ( não sei >> se estou bobeando em algo) a ideia de que na hipótese de existir lim >> a(n+1) = lim a(n) = L ,e se tomarmos L=15 por exemplo , teremos um único >> "x" no intervalo em que colocastes anteriormente. No Wolfram ou geogebra >> fui fazendo f(x)= x^x^x... com o aumento na quantidade de"x" , o gráfico >> me pareceu crescente a partir de um certo momento e tendo sempre uma reta >> paralela ao eixo horizontal intersectando sempre o gráfico de "f(x)" . Ou >> seja, aquele fato de que x^x^x...=4 e dizer que é impossível me causou >> estranheza. Desculpem se estou cometendo erros conceituais, mas de qualquer >> forma agradeço a atenção de todos. >> >> Pacini >> >> Em qua., 1 de nov. de 2023 às 16:17, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> Dando um Google em x^x^x, eu achei sites que NADA tinham a ver com este >>> problema... >>> Mas procurando um pouco mais, achei a afirmação (sem demonstração) de >>> que a sequência converge para e^(-e) <= x <= e^(1/e). >>> Explorando numericamente, me convenci de que isso está (provavelmente) >>> correto. >>> Ou seja, dado x naquele intervalo, existe L tal que x^L = L >>> Em particular, L = 1/e ==> (e^(-e))^(1/e) = 1/e, e L = e ==> >>> (e^(1/e))^e = e. >>> Ou seja, minha conjectura é: a função f é crescente, tem domínio >>> [e^(-e),e^(1/e)] e imagem [1/e,e]. >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> On Wed, Nov 1, 2023 at 1:21 PM Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> wrote: >>> A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por: a(0) = x e a(n+1) = x^a(n) e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual limite. Se a(n) convergir para L, então x^L = L. Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2). Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2), a sequência parece convergir para 2. O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo I de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) = limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x. Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, f(raiz(2)) = 2, e 4 não pertence a f(I). O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I). Vamos ver... Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L). Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e), para L = e. ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2 = 0 para L = e ) Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e). Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e. Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à imagem de f. []s, Claudio. On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores wrote: > Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas > equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma > resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é > possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver > errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a > igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis > para "k", enquanto há apenas um valor para "x". > > A minha pergunta : Estou errando em algo ? > > Pacini > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. >>> -- >>> Esta
Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
Ok Claudio, obrigado. Abraços Em qua., 1 de nov. de 2023 às 19:18, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Se entendi direito, você pegou L = 15 e fez x = 15^(1/15) = 1,19786. Foi > isso? > Mas este x está no intervalo [e^(-e), e^(1/e)]. > Daí, pra este x, a sequência converge (pra 1,254088...). > > Pra x > 1, quando você aumenta a "quantidade de x" o valor da torre de > expoentes aumenta. > Ou seja, x > 1 ==> x < x^x < x^x^x < ... > Mas o que acontece é que, para x > e^(1/e), a sequência (x, x^x, x^x^x, > ... ) cresce para além de qualquer limite (ou seja, diverge > para +infinito). > E para 1 < x <= e^(1/e), ela converge para um limite <= e. > Não tem "meio-termo", ou seja, não existe x tal que x^x^x^... = 4 ou > qualquer outro número > e. > > []s, > Claudio. > > > > > > > On Wed, Nov 1, 2023 at 6:38 PM Pacini Bores wrote: > >> Oi Claudio, mas sabe, o que mais me incomoda é o fato de que em lnx = >> lnL/L, se tomarmos a função g(L) = lnL/L , teremos 0< g(L) <= 1/e. Para >> um único valor de "x" temos dois valores para L e, daí reforçando ( não sei >> se estou bobeando em algo) a ideia de que na hipótese de existir lim >> a(n+1) = lim a(n) = L ,e se tomarmos L=15 por exemplo , teremos um único >> "x" no intervalo em que colocastes anteriormente. No Wolfram ou geogebra >> fui fazendo f(x)= x^x^x... com o aumento na quantidade de"x" , o gráfico >> me pareceu crescente a partir de um certo momento e tendo sempre uma reta >> paralela ao eixo horizontal intersectando sempre o gráfico de "f(x)" . Ou >> seja, aquele fato de que x^x^x...=4 e dizer que é impossível me causou >> estranheza. Desculpem se estou cometendo erros conceituais, mas de qualquer >> forma agradeço a atenção de todos. >> >> Pacini >> >> Em qua., 1 de nov. de 2023 às 16:17, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> Dando um Google em x^x^x, eu achei sites que NADA tinham a ver com este >>> problema... >>> Mas procurando um pouco mais, achei a afirmação (sem demonstração) de >>> que a sequência converge para e^(-e) <= x <= e^(1/e). >>> Explorando numericamente, me convenci de que isso está (provavelmente) >>> correto. >>> Ou seja, dado x naquele intervalo, existe L tal que x^L = L >>> Em particular, L = 1/e ==> (e^(-e))^(1/e) = 1/e, e L = e ==> >>> (e^(1/e))^e = e. >>> Ou seja, minha conjectura é: a função f é crescente, tem domínio >>> [e^(-e),e^(1/e)] e imagem [1/e,e]. >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> On Wed, Nov 1, 2023 at 1:21 PM Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> wrote: >>> A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por: a(0) = x e a(n+1) = x^a(n) e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual limite. Se a(n) convergir para L, então x^L = L. Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2). Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2), a sequência parece convergir para 2. O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo I de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) = limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x. Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, f(raiz(2)) = 2, e 4 não pertence a f(I). O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I). Vamos ver... Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L). Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e), para L = e. ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2 = 0 para L = e ) Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e). Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e. Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à imagem de f. []s, Claudio. On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores wrote: > Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas > equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma > resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é > possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver > errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a > igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis > para "k", enquanto há apenas um valor para "x". > > A minha pergunta : Estou errando em algo ? > > Pacini > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de
Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
Boa noite, Tem uma coisa que não estou entendendo ... Enxergo , a expressão infinita de x elevada a x elevada a x (aplicando a propriedade de potência de potência) ... Como segue x^(x^(n-1)) = 2 E x^(x^(n-1)) = 4 Com n tendendo a infinito. log x . log x = log (log 2))/(n-1) E log x . log x = log (log 4))/(n-1) Para n tendendo a infinito log x . log x =0 log^2 x = 0 Tem sentido?!!? Ou viajei? Outra coisa, essas equações soltas, sem algum tipo de restrição do valor de x fica um pouco sem rumo! Em qua, 1 de nov de 2023 18:37, Pacini Bores escreveu: > Oi Claudio, mas sabe, o que mais me incomoda é o fato de que em lnx = > lnL/L, se tomarmos a função g(L) = lnL/L , teremos 0< g(L) <= 1/e. Para > um único valor de "x" temos dois valores para L e, daí reforçando ( não sei > se estou bobeando em algo) a ideia de que na hipótese de existir lim > a(n+1) = lim a(n) = L ,e se tomarmos L=15 por exemplo , teremos um único > "x" no intervalo em que colocastes anteriormente. No Wolfram ou geogebra > fui fazendo f(x)= x^x^x... com o aumento na quantidade de"x" , o gráfico > me pareceu crescente a partir de um certo momento e tendo sempre uma reta > paralela ao eixo horizontal intersectando sempre o gráfico de "f(x)" . Ou > seja, aquele fato de que x^x^x...=4 e dizer que é impossível me causou > estranheza. Desculpem se estou cometendo erros conceituais, mas de qualquer > forma agradeço a atenção de todos. > > Pacini > > Em qua., 1 de nov. de 2023 às 16:17, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Dando um Google em x^x^x, eu achei sites que NADA tinham a ver com este >> problema... >> Mas procurando um pouco mais, achei a afirmação (sem demonstração) de que >> a sequência converge para e^(-e) <= x <= e^(1/e). >> Explorando numericamente, me convenci de que isso está (provavelmente) >> correto. >> Ou seja, dado x naquele intervalo, existe L tal que x^L = L >> Em particular, L = 1/e ==> (e^(-e))^(1/e) = 1/e, e L = e ==> >> (e^(1/e))^e = e. >> Ou seja, minha conjectura é: a função f é crescente, tem domínio >> [e^(-e),e^(1/e)] e imagem [1/e,e]. >> >> []s, >> Claudio. >> >> On Wed, Nov 1, 2023 at 1:21 PM Claudio Buffara >> wrote: >> >>> A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por: >>> a(0) = x e a(n+1) = x^a(n) >>> e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual >>> limite. >>> >>> Se a(n) convergir para L, então x^L = L. >>> >>> Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2). >>> >>> Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2), >>> a sequência parece convergir para 2. >>> >>> O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo >>> I de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) = >>> limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x. >>> Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, >>> f(raiz(2)) = 2, e 4 não pertence a f(I). >>> >>> O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I). Vamos ver... >>> >>> Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L). >>> Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e), >>> para L = e. >>> ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2 >>> = 0 para L = e ) >>> Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e). >>> Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e. >>> Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à >>> imagem de f. >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> >>> On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores >>> wrote: >>> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis para "k", enquanto há apenas um valor para "x". A minha pergunta : Estou errando em algo ? Pacini -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
Se entendi direito, você pegou L = 15 e fez x = 15^(1/15) = 1,19786. Foi isso? Mas este x está no intervalo [e^(-e), e^(1/e)]. Daí, pra este x, a sequência converge (pra 1,254088...). Pra x > 1, quando você aumenta a "quantidade de x" o valor da torre de expoentes aumenta. Ou seja, x > 1 ==> x < x^x < x^x^x < ... Mas o que acontece é que, para x > e^(1/e), a sequência (x, x^x, x^x^x, ... ) cresce para além de qualquer limite (ou seja, diverge para +infinito). E para 1 < x <= e^(1/e), ela converge para um limite <= e. Não tem "meio-termo", ou seja, não existe x tal que x^x^x^... = 4 ou qualquer outro número > e. []s, Claudio. On Wed, Nov 1, 2023 at 6:38 PM Pacini Bores wrote: > Oi Claudio, mas sabe, o que mais me incomoda é o fato de que em lnx = > lnL/L, se tomarmos a função g(L) = lnL/L , teremos 0< g(L) <= 1/e. Para > um único valor de "x" temos dois valores para L e, daí reforçando ( não sei > se estou bobeando em algo) a ideia de que na hipótese de existir lim > a(n+1) = lim a(n) = L ,e se tomarmos L=15 por exemplo , teremos um único > "x" no intervalo em que colocastes anteriormente. No Wolfram ou geogebra > fui fazendo f(x)= x^x^x... com o aumento na quantidade de"x" , o gráfico > me pareceu crescente a partir de um certo momento e tendo sempre uma reta > paralela ao eixo horizontal intersectando sempre o gráfico de "f(x)" . Ou > seja, aquele fato de que x^x^x...=4 e dizer que é impossível me causou > estranheza. Desculpem se estou cometendo erros conceituais, mas de qualquer > forma agradeço a atenção de todos. > > Pacini > > Em qua., 1 de nov. de 2023 às 16:17, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Dando um Google em x^x^x, eu achei sites que NADA tinham a ver com este >> problema... >> Mas procurando um pouco mais, achei a afirmação (sem demonstração) de que >> a sequência converge para e^(-e) <= x <= e^(1/e). >> Explorando numericamente, me convenci de que isso está (provavelmente) >> correto. >> Ou seja, dado x naquele intervalo, existe L tal que x^L = L >> Em particular, L = 1/e ==> (e^(-e))^(1/e) = 1/e, e L = e ==> >> (e^(1/e))^e = e. >> Ou seja, minha conjectura é: a função f é crescente, tem domínio >> [e^(-e),e^(1/e)] e imagem [1/e,e]. >> >> []s, >> Claudio. >> >> On Wed, Nov 1, 2023 at 1:21 PM Claudio Buffara >> wrote: >> >>> A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por: >>> a(0) = x e a(n+1) = x^a(n) >>> e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual >>> limite. >>> >>> Se a(n) convergir para L, então x^L = L. >>> >>> Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2). >>> >>> Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2), >>> a sequência parece convergir para 2. >>> >>> O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo >>> I de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) = >>> limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x. >>> Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, >>> f(raiz(2)) = 2, e 4 não pertence a f(I). >>> >>> O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I). Vamos ver... >>> >>> Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L). >>> Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e), >>> para L = e. >>> ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2 >>> = 0 para L = e ) >>> Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e). >>> Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e. >>> Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à >>> imagem de f. >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> >>> On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores >>> wrote: >>> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis para "k", enquanto há apenas um valor para "x". A minha pergunta : Estou errando em algo ? Pacini -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
Oi Claudio, mas sabe, o que mais me incomoda é o fato de que em lnx = lnL/L, se tomarmos a função g(L) = lnL/L , teremos 0< g(L) <= 1/e. Para um único valor de "x" temos dois valores para L e, daí reforçando ( não sei se estou bobeando em algo) a ideia de que na hipótese de existir lim a(n+1) = lim a(n) = L ,e se tomarmos L=15 por exemplo , teremos um único "x" no intervalo em que colocastes anteriormente. No Wolfram ou geogebra fui fazendo f(x)= x^x^x... com o aumento na quantidade de"x" , o gráfico me pareceu crescente a partir de um certo momento e tendo sempre uma reta paralela ao eixo horizontal intersectando sempre o gráfico de "f(x)" . Ou seja, aquele fato de que x^x^x...=4 e dizer que é impossível me causou estranheza. Desculpem se estou cometendo erros conceituais, mas de qualquer forma agradeço a atenção de todos. Pacini Em qua., 1 de nov. de 2023 às 16:17, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Dando um Google em x^x^x, eu achei sites que NADA tinham a ver com este > problema... > Mas procurando um pouco mais, achei a afirmação (sem demonstração) de que > a sequência converge para e^(-e) <= x <= e^(1/e). > Explorando numericamente, me convenci de que isso está (provavelmente) > correto. > Ou seja, dado x naquele intervalo, existe L tal que x^L = L > Em particular, L = 1/e ==> (e^(-e))^(1/e) = 1/e, e L = e ==> (e^(1/e))^e > = e. > Ou seja, minha conjectura é: a função f é crescente, tem domínio > [e^(-e),e^(1/e)] e imagem [1/e,e]. > > []s, > Claudio. > > On Wed, Nov 1, 2023 at 1:21 PM Claudio Buffara > wrote: > >> A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por: >> a(0) = x e a(n+1) = x^a(n) >> e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual >> limite. >> >> Se a(n) convergir para L, então x^L = L. >> >> Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2). >> >> Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2), >> a sequência parece convergir para 2. >> >> O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo I >> de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) = >> limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x. >> Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, f(raiz(2)) >> = 2, e 4 não pertence a f(I). >> >> O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I). Vamos ver... >> >> Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L). >> Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e), >> para L = e. >> ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2 >> = 0 para L = e ) >> Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e). >> Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e. >> Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à >> imagem de f. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> >> On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores >> wrote: >> >>> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas >>> equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma >>> resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é >>> possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver >>> errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a >>> igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis >>> para "k", enquanto há apenas um valor para "x". >>> >>> A minha pergunta : Estou errando em algo ? >>> >>> Pacini >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
Dando um Google em x^x^x, eu achei sites que NADA tinham a ver com este problema... Mas procurando um pouco mais, achei a afirmação (sem demonstração) de que a sequência converge para e^(-e) <= x <= e^(1/e). Explorando numericamente, me convenci de que isso está (provavelmente) correto. Ou seja, dado x naquele intervalo, existe L tal que x^L = L Em particular, L = 1/e ==> (e^(-e))^(1/e) = 1/e, e L = e ==> (e^(1/e))^e = e. Ou seja, minha conjectura é: a função f é crescente, tem domínio [e^(-e),e^(1/e)] e imagem [1/e,e]. []s, Claudio. On Wed, Nov 1, 2023 at 1:21 PM Claudio Buffara wrote: > A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por: > a(0) = x e a(n+1) = x^a(n) > e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual > limite. > > Se a(n) convergir para L, então x^L = L. > > Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2). > > Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2), a > sequência parece convergir para 2. > > O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo I > de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) = > limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x. > Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, f(raiz(2)) > = 2, e 4 não pertence a f(I). > > O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I). Vamos ver... > > Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L). > Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e), > para L = e. > ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2 = > 0 para L = e ) > Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e). > Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e. > Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à > imagem de f. > > []s, > Claudio. > > > > On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores wrote: > >> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas >> equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma >> resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é >> possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver >> errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a >> igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis >> para "k", enquanto há apenas um valor para "x". >> >> A minha pergunta : Estou errando em algo ? >> >> Pacini >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
Ok Marcelo, ciente. Abraços Em qua., 1 de nov. de 2023 às 15:46, Marcelo Gonda Stangler < marcelo.gonda.stang...@gmail.com> escreveu: > Note, que o engano está, no caso de encontrar o valor quando L=4, em pular > de 'se há convergência, x=raiz(2)' para 'x=raiz(2) equivale à convergência' > > Abs > > Em qua, 1 de nov de 2023 08:47, Pacini Bores > escreveu: > >> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas >> equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma >> resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é >> possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver >> errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a >> igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis >> para "k", enquanto há apenas um valor para "x". >> >> A minha pergunta : Estou errando em algo ? >> >> Pacini >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
Note, que o engano está, no caso de encontrar o valor quando L=4, em pular de 'se há convergência, x=raiz(2)' para 'x=raiz(2) equivale à convergência' Abs Em qua, 1 de nov de 2023 08:47, Pacini Bores escreveu: > Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas > equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma > resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é > possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver > errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a > igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis > para "k", enquanto há apenas um valor para "x". > > A minha pergunta : Estou errando em algo ? > > Pacini > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
Oi Claudio, obrigado pelo esclarecimento. O que eu vejo sempre é alguns dando simplesmente a resposta que para L=4 o problema se torna impossível, e na verdade necessita de uma análise de como você bem colocou. Abraços Pacini Em qua., 1 de nov. de 2023 às 13:34, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por: > a(0) = x e a(n+1) = x^a(n) > e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual > limite. > > Se a(n) convergir para L, então x^L = L. > > Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2). > > Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2), a > sequência parece convergir para 2. > > O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo I > de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) = > limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x. > Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, f(raiz(2)) > = 2, e 4 não pertence a f(I). > > O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I). Vamos ver... > > Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L). > Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e), > para L = e. > ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2 = > 0 para L = e ) > Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e). > Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e. > Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à > imagem de f. > > []s, > Claudio. > > > > On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores wrote: > >> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas >> equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma >> resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é >> possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver >> errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a >> igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis >> para "k", enquanto há apenas um valor para "x". >> >> A minha pergunta : Estou errando em algo ? >> >> Pacini >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por: a(0) = x e a(n+1) = x^a(n) e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual limite. Se a(n) convergir para L, então x^L = L. Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2). Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2), a sequência parece convergir para 2. O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo I de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) = limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x. Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, f(raiz(2)) = 2, e 4 não pertence a f(I). O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I). Vamos ver... Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L). Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e), para L = e. ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2 = 0 para L = e ) Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e). Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e. Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à imagem de f. []s, Claudio. On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores wrote: > Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas > equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma > resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é > possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver > errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a > igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis > para "k", enquanto há apenas um valor para "x". > > A minha pergunta : Estou errando em algo ? > > Pacini > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis para "k", enquanto há apenas um valor para "x". A minha pergunta : Estou errando em algo ? Pacini -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
