Salutations
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Paulo Argolo
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Caro Salhab,
Na verdade: k|y e y|k = |k| = |y|
De qualquer forma, chega-se a mesma conclusão.
Um abraço do Paulo Argolo!
___
Date: Tue, 18 Jun 2013 15:14:58 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras da equação x/y = x - y
From: msbro
fator é positivo.
Assim:
Se x^n = y^n = 0 = x = y =0
Se x^n = y^n, que é diferente de zero, podemos escrever:
x^n / y^n = 1 = (x/y)^n = 1 = x/y = 1 = x = y.
Abraços do Paulo Argolo
__
Date: Fri, 14 Jun 2013 14:52:27 -0700
From
perguntinha:
Além dos casos mencionados: 2 + 2 = 2 . 2 e 1 + 2 + 3 = 1. 2. 3 , são
conhecidos outros exemplos de números naturais, cuja soma é igual ao produto?
Abraços para todos!
Paulo Argolo
_
Date: Sat, 11 May 2013 22:48:00 -0300
Subject: Re: [obm-l] Soma
Caros Colegas,
Sabemos que 2 + 2 = 2.2 e 1+ 2 + 3 = 1.2.3
Minha dúvida: Existem outros números reais positivos (dois ou mais, distintos
ou não) cuja soma seja igual ao produto?
Abraços do Paulo Argolo
a hipótese.
Caso suponhamos q = 0, teremos:
D = d.0 + r == D = r , o que contraria a hipótese (pois D d r).
Abraços do Paulo Argolo!
___
Date: Mon, 1 Apr 2013 20:55:48 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Mostrar que o quociente é positivo
Caros Colegas,
Como podemos provar que a^m - 1 divide a^n - 1 se, e somente se, m divide n?
(a, m e n são inteiros positivos.)
Abraços do Paulo.
Date: Tue, 11 Dec 2012 16:40:31 +0100
Subject: Re: [obm-l] a^m - 1 divide a^n -1 = m divide n
From: hit0...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Use congruências. Tem algum lado que você consegue fazer?
2012/12/11 Paulo Argolo
pauloarg
Caros Colegas,
Sabendo-se que a série a_1 + a_2 + ... + a_n ... é convergente e tem soma S,
como podemos provar que inserindo-se nela, em qualquer ordem, p termos com soma
s, a nova série obtida é também convergente e tem soma S + s?
Abraços do Paulo!
a infinito, S_n tende a b + S.Abraços do Paulo
Argolo.
Subject: Re: [obm-l] Propriedade das séries From: steinerar...@gmail.com
Date: Sat, 13 Oct 2012 22:55:23 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br Isto é
decorrência imediata de uma das propriedades
Caríssimos Colegas:
Sabendo-se que a série a_1 + a_2 + a_3 ... + a_n + é convergente e tem
soma S, como provar que a série b + a_1 + a_2 + a_3 ... + a_n + ... também é
convergente e tem soma S + b ?
(São séries cujos termos são números reais.)
Abraços do Paulo.
esteja correto.
Paulo Argolo
_
Date: Tue, 9 Oct 2012 16:04:32 -0400
Subject: Re: [obm-l] AB = I implica BA = I
From: bernardo...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
2012/10/9 Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande
Caríssimos Colegas,
Sabendo-se que a média geométrica e a média aritmética de n números reais
positivos são iguais, como provar que os n números são, necessariamente, iguais?
Abraços do Paulo.
Caros Colegas,
Como podemos provar que é crescente a função f(x) = x^(1/n)?
(x é número real positivo, n é número natural diferente de zero.)
Abraços do Paulo Argolo
=
Instruções
Caros Colegas,
Sendo p e q proposições, parece-me que a proposição p se, e somente se, q
afirma que q é condição necessária e suficiente para p. Ela não afirma, pelo
menos de imediato, que p é condição necessária e suficiente para q.
Gostaria de saber o que os colegas pensam a respeito.
Abraços
Caros Colegas,
Se {0,1,2,3, ...} é o conjunto dos números naturais, pode-se dizer que
{1,2,3,...} é o conjunto dos números naturais positivos?
Abraços do Paulo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a
Obs.:Para a validade do teorema, o zero deve ser excluído dos números
naturais.
__
Caríssimos Colegas,
Como posso provar o teorema seguinte?
--- Dados n números naturais consecutivos, um deles (e somente um) é
Pensando melhor, não há necessidade do zero ser excluído.
From: argolopa...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Dados n naturais consecutivos, um é múltiplo de n
Date: Sun, 10 Jun 2012 10:44:18 +
Obs.:Para a validade do teorema, o zero deve ser excluído dos
Caros Colegas,
Sendo m, n , p e q inteiros positivos, tal que pm, qn e m/n = p/q,
como podemos provar que existe um inteiro k, satisfazendo as igualdades
p = km e q = kn ?
Desde já, muito grato.
Paulo
=
Instru��es para
Caros Colegas,
Dadas as frações irredutíveis m/n e p/q (m, n, p e q são inteiros positivos),
como provar
que a igualdade m/n = p/q implica m = p e n = q ?
Abraços do Paulo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista
De fato, prezado Ralph, o enunciado está equivocado. Faço a correção:Sendo m, n, p e q inteiros positivos, tal que m/n é fração irredutÃvel e m/n = p/q, como podemos provar que existe um inteiro k satisfazendo as igualdades p = km e q = kn?Obrigado.Paulo
Caríssimos Colegas,
Como posso provar o teorema seguinte?
--- Dados n números naturais consecutivos, um deles (e somente um) é múltiplo
de n. ---
Abraços do Paulo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar
Caros Colegas,
Como demonstrar o teorema abaixo?
Teorema: Se o número real r é raiz, com multiplicidade m, da equação algébrica
P(x) = 0, então
-r é raiz, também com multiplicidade m, da equação algébrica P(-x) = 0.
Desde já, muito obrigado.
Abraços do Paulo!
Caros Colegas,
Sendo n e k inteiros positivos, com n maior ou igual a 5^k, como podemos provar
que
o quociente da divisão euclidiana de n por 2^k é maior do que o quociente da
divisão euclidiana de n por 5^k?
Desde já, muito obrigado.
Abraços do Paulo!
internos
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Isto eh falso. Pegue, por exemplo, um icosagono estrelado (ligando os pontos
de 3 em 3). Abraco, Ralph
2012/5/20 Paulo Argolo pauloarg...@bol.com.br
Caros Colegas,
Aproveitando a resposta dada sobre a questão Paralelogramo é
Caros Colegas,
Aproveitando a resposta dada sobre a questão Paralelogramo é convexo, formulo
nova questão:
— Mostrar que um polígono é convexo se, e somente se, qualquer de seus ângulos
internos mede menos de 180 graus.
Defino: Um polígono ( = região poligonal) é convexo se, e somente se,
Caros Colegas,
Usando a definição Paralelogramo é o quadrilátero em que os lados opostos são
paralelos, como podemos mostrar que o paralelogramo é um polígono convexo?
Abraços do Paulo.
=
Instru��es para entrar na lista,
sugerir algum tipo
de conflito, lembre que a contrapositiva de uma implicação é
EQUIVALENTE à implicação original. Provou uma, provou outra.
2012/4/27 Paulo Argolo pauloarg...@bol.com.br:
Caros Colegas,
Como podemos provar que a desigualdade x^n y^n implica x y , sendo x e y
números
Caros Colegas,Como podemos provar que a desigualdade x^n y^n implica x y , sendo x e y números reais positivos, e n inteiro positivo?Abraços do Paulo.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
sugerir algum tipo
de conflito, lembre que a contrapositiva de uma implicação é
EQUIVALENTE à implicação original. Provou uma, provou outra.
2012/4/27 Paulo Argolo pauloarg...@bol.com.br:
Caros Colegas,
Como podemos provar que a desigualdade x^n y^n implica x y , sendo x e y
Caros Colegas,
Sendo a_1 b_1 , a_2 b_2 , ... a_n b_n , como provar que vale a
desigualdade abaixo?
a_1 . a_2 . ... . a_n b_1 . b_2 ... . b_n
(Todos os números dados são reais positivos.)
Abraços do Paulo
=
Caros Colegas,
Como provar que é crescente a função f(x) = x - r(x) [ r(x) é a raiz quadrada
de x] , cujo domínio é o conjunto dos números reais positivos?
Abraços do Paulo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da
!
Date: Thu, 10 Nov 2011 23:45:53 +0100
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Propriedade da relação de ordem
From: bernardo...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
2011/11/10 Paulo Argolo pauloarg...@bol.com.br:
Caros Colegas,
Como provar a propriedade O_7 da página 110 do livro Fundamentos de
Caros Colegas,|
Sabemos que os famosos números e e pi são irracionais.
A soma (e + pi) e o produto (e.pi) são também irracionais?
Abraços do Paulo!
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
Caros Colegas,
Sabe-se que o número natural n1 tem uma quantidade ímpar de divisores e d
ocupa a posição central, quando eles estão dispostos em ordem crescente.
Mostrar que n é o quadrado de d.
Grato,
Paulo
=
Instru��es
Caro Tiago e demais Colegas,
A meu ver, são equivalentes as afirmações Existe uma correspondência biunívoca
entre A e B e É possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre A e
B.
Vocês concordam?
Abraços do Paulo!
-l@mat.puc-rio.br
Qual é a sua definição de reta?
On Sun, Sep 4, 2011 at 7:55 AM, Paulo Argolo pauloarg...@bol.com.br wrote:
Caros Colegas,
Como podemos provar que existe uma correspondência biunÃvoca entre o conjunto
dos pontos de uma reta e o conjunto dos números reais?
Um abraço do
Caros Colegas,
Como podemos provar que existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto
dos pontos de uma reta e o conjunto dos números reais?
Um abraço do Paulo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar
Colegas da Lista,
Solicito, assim como já fez o Ennius, há algum tempo, ajuda na demonstração do
teorema abaixo.
TROREMA:
O determinante de uma matriz quadrada M, de ordem maior que 1, só é nulo quando
M possui alguma fila que seja combinação linear das filas paralelas (a essa
fila).
Um
: bernardo...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
2011/6/13 Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com:
Caros Colegas,
Como podemos provar que, dados n numeros reais positivos (n1), nem todos
iguais, vale a desigualdade abaixo?
S . S' n^2 (S é a soma dos n números, S' é a soma dos inversos desses
Caros Colegas,
Como podemos provar que, dados n numeros reais positivos (n1), nem todos
iguais, vale a desigualdade abaixo?
S . S' n^2 (S é a soma dos n números, S' é a soma dos inversos desses n
números.)
Abraços do Paulo!
Caro Rafael e demais Colegas,
As duas propriedades abaixo que você apresentou são válidas para n números
reais positivos, dos quais a é o menor e b é o maior (podendo ocorrer a=b)?
1. Se a b, então a x[h] x[g] x[a] x[q] b
2. Se a = b, então a = x[h] = x[g] = x[a] = x[q] = b
Abraços do
Caro Rafael e demais Colegas,
O que indago agora é se as propriedades mencionadas são válidas para mais de
dois números reais positivos, sendo a o menor e b o maior deles,
respectivamente (podendo ocorrer a = b).
1. Se a b, então a x[h] x[g] x[a] x[q] b
2. Se a = b, então a = x[h] =
Caros Colegas,
Faz sentido definir a média geométrica ou a média harmônica de dois ou mais
números reais, quando esses números não são todos positivos?
Abraços!
Paulo
=
Instruções para
Caros Colegas,
Como podemos calcular o produto das raízes reais positivas da equação
x^4 - 4x + 1 = 0?
Grato,
Paulo
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
^(n-1)], então a_n+1 =
q.a_n=q.a_1.[q^(n-1)]=a_1 q^n.
2011/5/18 Paulo Argolo
Caros Colegas,
Pode-se dizer que o procedimento empregado abaixo para determinar o
termo geral de uma progressão geométrica de razão q é uma real
demonstração?
DEMONSTRAÇÃO:
Obs.: a_k , sendo k um número
Caros Colegas,
Pode-se dizer que o procedimento empregado abaixo para determinar o termo geral
de uma progressão geométrica de razão q é uma real demonstração?
DEMONSTRAÇÃO:
Obs.: a_k , sendo k um número natural diferente de zero, indica o k-ésimo termo
da progressão.
Portanto, por
Caros Colegas,
Subtrair 2 de 3 significa calcular 3 - 2 ou 2 - 3?
Abraços!
Paulo
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
a definição de potência, no
universo dos complexos, dada acima.
Abraços!
Paulo Argolo
From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Qual o valor de (-1)^(2/6)?
Date: Tue, 12 Apr 2011 20:44:32 -0300
A resposta é 1
negativa) só deve ser feita quando o expoente
for uma fração irredutível.
Meus caros colegas concordam?
Abraços!
Paulo Argolo
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar
Caro Júlio César Saldaña,
Muito obrigado pela resolução. Tenho ainda uma dúvida. É quanto ao trecho
abaixo:
... o máximo número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso
que todos os 5
ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6.
Um abraço do Paulo Argolo
Está tudo certo, Julio Saldaña. Não falta rigor a sua demonstração.
Compreendi perfeitamente.
Mais uma vez, muito obrigado.
Um abraço!
Paulo Argolo
--
From: saldana...@pucp.edu.pe
To: obm-l@mat.puc-rio.br
CC:
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l
fase, independentemente do critério de desempate que seja adotado?
Abraços!
Paulo Argolo
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br
Caros Colegas,Como provar que o fatorial de um número natural maior que 1 não é um quadrado perfeito?Abraços!Paulo Argolo
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br
Caríssimos Colegas,
Como podemos provar que o produto de n inteiros consecutivos é divisível pelo
fatorial de n?
Obs.: Gostaria de obter uma demonstração que não recorra às propriedades dos
coeficientes binomiais.
Abraços do Paulo.
entre si , P será divisível por n!
e (n+1) , ou seja, divisível por (n+1)! , ok ?
Abraços
Carlos Victor
Em 27 de novembro de 2010 18:29, Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com
escreveu:
Obrigado, Tiago.
O que desejo, na verdade, é obter uma demonstração que não use propriedades dos
Caríssimos Colegas,
Como podemos provar que o produto de n inteiros consecutivos é divisível pelo
fatorial de n?
Abraços do Paulo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
Obrigado, Tiago.
O que desejo, na verdade, é obter uma demonstração que não use propriedades dos
coeficientes binomiais, nem recorra à Análise Combinatória. Em suma: gostaria
de ver uma prova puramente aritmética.
Abraços do Paulo!
, ... ) = [a^mdc(x, y, z,...)] -1
Grato,
Paulo Argolo
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Obrigado, Ralph e Fernando, pelas respostas dadas. Estão ótimas!
Faço um acréscimo:
Há um teorema que afirma, embora em palavras um pouco diferentes:
--- C(n,p) é par, se n é par e p é ímpar.
--- Nos demais casos, C(n,p) tem a mesma paridade de C([n/2], [p/2]).
([n/2] e [p/2] indicam as
, .) = a^[mdc(x, y, z,...)]Â â 1 Grato,Paulo Argolo
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Caros Colegas,Pode-se determinar se o coeficiente binomial C(n,p) é par ou Ãmpar, sem calcular seu valor?(p e n são inteiros positivos, pn)Abraços!Paulo
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
Caros Colegas,Como podemos provar o teorema abaixo:"O máximo divisor comum dos números naturais bbb...b (n dÃgitos iguais a b) e bbb...n (k dÃgitos iguais a b) é bbb...b (d dÃgitos iguais a b), d é o máximo divisor comum de n e k."Abraços!Paulo
Caros amigos,
É possível provar que a equação algébrica 1 + x + x^2 + ... x^n = 0 admite no
máximo duas raízes reais, qualquer que seja o inteiro positivo n?
Muito obrigado pela habitual atenção.
Paulo Argolo
=
Instru��es
n é impar, a equação admite exatamente uma raiz real.
Um grande abraço!
Paulo Argolo
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Caros Colegas,
Gostaria de uma demonstração do fato abaixo.
Sendo a e b números reais dados (não nulos) e n um número inteiro positivo, a
ordem p, que ocupa o termo máximo (em valor absoluto) do desenvolvimento da
potência (a+b)^n, segundo as potências decrescentes de a é dada por:
p = 1 +
Caros Colegas,
Gostaria, se possível for, de obter uma demonstração do teorema abaixo.
Sendo a e b números reais dados, com |a||b|, e m um número inteiro
positivo, a ordem p, que ocupa o termo máximo (em valor absoluto) do
desenvolvimento da potência (a+b)^(-m), segundo as potências
Caros Colegas,
Gostaria de uma demonstração do fato abaixo.
Sendo a e b números reais dados e n um número inteiro positivo, a ordem p que
ocupa o termo máximo do desenvolvimento da potência (a+b)^n, segundo as
potências decrescentes de a é dada por:
p = parte inteira de [/b/(n+1)/(/a/ + /b/)]
Caros Colegas,
Gostaria de uma demonstração do fato abaixo.
Sendo a e b números reais dados e n um número inteiro positivo, a ordem p que
ocupa o termo máximo do desenvolvimento da potência (a+b)^n, segundo as
potências decrescentes de a é dada por:
p = parte inteira de [|b|(n+1)/(|a| + |b|)]
Caros Colegas,
Proponho a seguinte questão:
Quantos dígitos são necessários para escrever os números naturais de 1 a n,
tendo n k dígitos?
Um abraço!
Paulo
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
Caros Colegas,
Proponho uma questão sobre fatorial.
QUESTÃO:
Sendo a e b números naturais, mostre que a!b! é divisor de (a+b)!.
Um abração a todos!
Paulo
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
Caros Colegas,Peço-lhes que resolvam, se possÃvel for, a questão abaixo.QUESTÃO: Efetuar a divisão de 413(5) por 21(5), sem converter o dividendo ao sistema decimal, fornecendo o quociente e o resto também na base 5.Grato,Paulo
Obrigado, Ralph, pela detalhda resolução.
Bem... para evitar multiplicações na base 5, prefiro converter o divisor 21(5)
em 11(10).
Nesse procedimento, toma-se, no dividendo, um algarismo de cada vez,
partindo-se da esquerda para a direita.
As operações são feitas normalmente (base 10),
Caso alguém tenha paciência, gostaria que apresentasse uma demonstração da propriedade seguinte dos determinantes:"Quando se inverte completamente a ordem das linhas (colunas) de uma matriz quadrada de ordem n, o determinante da nova matriz obtida é igual ao determinante da matriz inicial
Prezados Colegas,
Proponho a questão abaixo.
QUESTÃO:
Determinar, no universo dos números complexos, o conjunto solução da equação
x^y = y^x, sendo x diferente de y.
Desde já, muito grato.
Paulo Argolo
valor no intervalo (-pi, pi].
Um abraço do Paulo!
Date: Mon, 4 Oct 2010 17:43:39 +0200
Subject: Re: [obm-l] x^y = y^x
From: bernardo...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Paulo: quanto vale i^2i ?
2010/10/4 Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com:
Prezados Colegas
, existe um número real r, com 1/(12n+1) r
1/(12n), de modo que seja válida a igualdade:
n! = [(2.n.pi)^(1/2)].[(n/e)^n].(e^r)
Muito obrigado!
Paulo Argolo
multiplicado por (-1)^[n(n-1)/2].
Obs.: Inverter completamente significa que a primeira linha passa a ser a
última, a segunda passa a ser a penúltima, e assim sucessivamente.
Desde já, agradeço-lhes.
Um abração!
Paulo Argolo
Prezados Colegas,Gostaria de obter, se possÃvel for, uma resolução da questão abaixo.QUESTÃODeterminar a probabilidade de construção de um triângulo, escolhendo-se aleatoriamente três segmentos de reta.Desde já, agradeço-lhes.Paulo Argolo
].(e^r)
Muito obrigado!
Paulo Argolo
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Caros Colegas:
Gostaria de obter resolução para a questão abaixo.
Questão:
Usando a definição: Paralelogramo é o quadrilátero cujos lados opostos são
paralelos, mostrar que o paralelogramo é um polígono convexo.
Grato!
Paulo Argolo
, pois n é o maior inteiro que não supera alfa.
Portanto, n' não satisfaz a condição n'= alfa.
Logo: apenas um único n satisfaz a desigualdade dada.
Um abraço!
Paulo Argolo
-- Início da mensagem original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc
contra-exemplo...
vamos ver: sqrt(8/18) = sqrt(4/9) = 2/3 .. mas sqrt(8) e sqrt(18) nao sao
inteiros...
acho que é isso..
abracos,
Salhab
On Nov 23, 2007 8:48 PM, Paulo Argolo [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caros Colegas:
Gostaria de obter uma demonstração do teorema que
Caros Colegas:
Gostaria de obter uma demonstração do teorema que segue.
Sejam p e q números inteiros positivos. A raiz de índice n de p/q é
racional somente quando a raiz de p e a raiz de q, ambas de índice n, são
números inteiros.
Grato!
Paulo Argolo
.
Grato!
Paulo Argolo
-- Início da mensagem original ---
De: Paulo Argolo [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Cc:
Data: Thu, 15 Nov 2007 10:30:20 -0200
Assunto: Re:[obm-l] Média
Resolução:
Seja x o número de alunos aprovados por média e seja 500-x o número
Solicito uma demonstração da propriedade enunciada abaixo.
Propriedade:
Sendo a, b, p, e q números inteiros diferentes de zero, com mdc(p,q)=1, então
a/b = p/q se, e somente se, a=pk e b= qk. (k é número inteiro diferente de
zero).
Grato!
Paulo Argolo
Resolução:
Seja x o número de alunos aprovados por média e seja 500-x o número restante de
alunos.
Gasto da escola:
10. 0,87x + 8,7.(500-x)
Fazendo os cálculos:
8,7x + 4350 - 8,7x
Portanto: O gasto da escola será de R$4.350,00.
Paulo Argolo
Rio de Janeiro, RJ
-- Início da
Caros Colegas:
Gostaria de obter uma demonstração da propriedade abaixo:
Dados n números reais positivos com a mesma soma S, seu produto será
máximo quando todos o n números forem iguais; não sendo todos iguais, seu
produto não será máximo.
Cordialmente,
Paulo Argolo
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