Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica

[Claudio Buffara]

Se a reta for perpendicular a MN, intersectando o segmento no ponto P, digamos, 
então a solução é Q = P.
Isso pode ser visto sem cálculo. Apenas comPitágoras  e algebra 
(especificamente, a identidade:
 raiz(a) - raiz(b) = (a - b)/(raiz(a) +  raiz(b))

Pro caso da reta ser oblíqua, Pitágoras é substituído pela lei dos cossenos e a 
álgebra fica mais chatinha.

Abs

Enviado do meu iPhone

Em 17 de jul de 2019, à(s) 23:36, Rodrigo Ângelo  
escreveu:

> Acho que neste caso dá pra usar hipérboles 
> 
> Uma sequência de hipérboles que passam por M e N, com um foco em Q1, Q2, 
> ..., Qn tenderia à Q que maximiza a diferença entre distâncias quando as 
> retas que passam por MQ e NQ são perpendiculares, certo?
> 
>> On Tue, Jul 16, 2019, 1:50 PM Vanderlei Nemitz  wrote:
>> Com certeza! É que nesse caso os pontos estão em semiplanos opostos. 
>> Talvez seria isso que eu gostaria de perguntar. Será que nesse caso sim?
>> Mas e sem derivadas? Será possível resolver? Preciso apresentar a 
>> solução para alunos que não estudaram derivadas...
>> 
>> Muito obrigado!
>> 
>> Em ter, 16 de jul de 2019 Ã s 13:30, Claudio Buffara 
>>  escreveu:
>>> A resposta da 2a questão é NÃO. Pense em M e N próximos um do outro e 
>>> tão distantes da reta que o ângulo MQN é sempre agudo.
>>> 
>>> Abs
>>> 
>>> Enviado do meu iPhone
>>> 
>>> Em 16 de jul de 2019, Ã (s) 15:44, Vanderlei Nemitz  
>>> escreveu:
>>> 
>>> > Pessoal, é possível resolver a seguinte questão sem utilizar 
>>> > derivadas?
>>> > 
>>> > Determinar as coordenadas de um ponto Q pertencente à reta de 
>>> > equação y = 3x - 1 tal que a diferença de suas distâncias aos 
>>> > pontos M(4, 1) e N(0, 4) seja máxima.
>>> > 
>>> > A resposta mostra que o triângulo MQN é retângulo em Q, para que 
>>> > a diferença seja máxima. Isso ocorre sempre?
>>> > 
>>> > 
>>> > Muito obrigado!
>>> > 
>>> > Vander
>>> > 
>>> > -- 
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica

[Rodrigo Ângelo]

Acho que neste caso dá pra usar hipérboles

Uma sequência de hipérboles que passam por M e N, com um foco em Q1, Q2,
..., Qn tenderia à Q que maximiza a diferença entre distâncias quando as
retas que passam por MQ e NQ são perpendiculares, certo?

On Tue, Jul 16, 2019, 1:50 PM Vanderlei Nemitz 
wrote:

> Com certeza! É que nesse caso os pontos estão em semiplanos opostos.
> Talvez seria isso que eu gostaria de perguntar. Será que nesse caso sim?
> Mas e sem derivadas? Será possível resolver? Preciso apresentar a solução
> para alunos que não estudaram derivadas...
>
> Muito obrigado!
>
> Em ter, 16 de jul de 2019 às 13:30, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> A resposta da 2a questão é NÃO. Pense em M e N próximos um do outro e tão
>> distantes da reta que o ângulo MQN é sempre agudo.
>>
>> Abs
>>
>> Enviado do meu iPhone
>>
>> Em 16 de jul de 2019, à(s) 15:44, Vanderlei Nemitz 
>> escreveu:
>>
>> > Pessoal, é possível resolver a seguinte questão sem utilizar
>> derivadas?
>> >
>> > Determinar as coordenadas de um ponto Q pertencente à reta de
>> equação y = 3x - 1 tal que a diferença de suas distâncias aos pontos
>> M(4, 1) e N(0, 4) seja máxima.
>> >
>> > A resposta mostra que o triângulo MQN é retângulo em Q, para que a
>> diferença seja máxima. Isso ocorre sempre?
>> >
>> >
>> > Muito obrigado!
>> >
>> > Vander
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica

[Vanderlei Nemitz]

Com certeza! É que nesse caso os pontos estão em semiplanos opostos. Talvez
seria isso que eu gostaria de perguntar. Será que nesse caso sim?
Mas e sem derivadas? Será possível resolver? Preciso apresentar a solução
para alunos que não estudaram derivadas...

Muito obrigado!

Em ter, 16 de jul de 2019 às 13:30, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> A resposta da 2a questão é NÃO. Pense em M e N próximos um do outro e tão
> distantes da reta que o ângulo MQN é sempre agudo.
>
> Abs
>
> Enviado do meu iPhone
>
> Em 16 de jul de 2019, à(s) 15:44, Vanderlei Nemitz 
> escreveu:
>
> > Pessoal, é possível resolver a seguinte questão sem utilizar
> derivadas?
> >
> > Determinar as coordenadas de um ponto Q pertencente à reta de equação
> y = 3x - 1 tal que a diferença de suas distâncias aos pontos M(4, 1) e
> N(0, 4) seja máxima.
> >
> > A resposta mostra que o triângulo MQN é retângulo em Q, para que a
> diferença seja máxima. Isso ocorre sempre?
> >
> >
> > Muito obrigado!
> >
> > Vander
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Francisco Barreto]

perdão

On Tue, 22 Aug 2017 at 20:04 Ralph Teixeira  wrote:

> Usando Geometria: seja M o ponto medio de AB. Note que M eh fixo.
>
> O Teorema de Apolonio
>  diz que
>
> PA^2+PB^2 = 2(PM^2+a^2)
>
> (obs: isso vale mesmo que P esteja na reta AB). Entao PM^2=k^2/2 - a^2 eh
> fixo. Assim, tipicamente o lugar geometrico de P eh um circulo de centro M
> e raio quadrado k^2/2 - a^2...
>
> Digo "tipicamente" porque temos que analisar se esse raio existe mesmo...
> Entao:
> a) Se k^2<2a^2, entao o L.G. serah vazio
> b) Se k^2=2a^2, entao o L.G. serah apenas o ponto M.
> c) Se k^2>2a^2, entao realmente dah aquele circulo que eu citei -- mas
> tecnicamente tem que ver se os pontos onde esse circulo corta a reta AB
> tambem servem, porque PAB nao seria tecnicamente um triangulo (resposta:
> sim, servem!).
>
> Usando Vetores: (uso  para produto interno)
> +=k^2
> 2-2-2++=k^2
> -=(k^2--)/2
> Agora complete quadrados
> -2+<(A+B)/2,(A+B)/2> = (k^2
> --)/2+<(A+B)/2,(A+B)/2>
>  = k^2/2  -<(A-B)/2,(A-B)/2> = k^2/2 - a^2
> ||P - (A+B)/2|| ^ 2 = k^2/2 - a^2
> Ou seja, a distancia de P a M=(A+B)/2 eh fixa e igual a k^2/2-a^2
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2017-08-22 19:31 GMT-03:00 André Lauer :
>
>> Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema:
>> São dados dois pontos A e B. Determine o lugar geométrico de P tal que
>> d(A,P)^2 + d(P,B)^2 = k^2 onde k é uma constante dada.
>> Se d(A,B) = 2a, determine para que valores de k o problema tem solução.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Ralph Teixeira]

Usando Geometria: seja M o ponto medio de AB. Note que M eh fixo.

O Teorema de Apolonio 
diz que

PA^2+PB^2 = 2(PM^2+a^2)

(obs: isso vale mesmo que P esteja na reta AB). Entao PM^2=k^2/2 - a^2 eh
fixo. Assim, tipicamente o lugar geometrico de P eh um circulo de centro M
e raio quadrado k^2/2 - a^2...

Digo "tipicamente" porque temos que analisar se esse raio existe mesmo...
Entao:
a) Se k^2<2a^2, entao o L.G. serah vazio
b) Se k^2=2a^2, entao o L.G. serah apenas o ponto M.
c) Se k^2>2a^2, entao realmente dah aquele circulo que eu citei -- mas
tecnicamente tem que ver se os pontos onde esse circulo corta a reta AB
tambem servem, porque PAB nao seria tecnicamente um triangulo (resposta:
sim, servem!).

Usando Vetores: (uso  para produto interno)
+=k^2
2-2-2++=k^2
-=(k^2--)/2
Agora complete quadrados
-2+<(A+B)/2,(A+B)/2> = (k^2
--)/2+<(A+B)/2,(A+B)/2>
 = k^2/2  -<(A-B)/2,(A-B)/2> = k^2/2 - a^2
||P - (A+B)/2|| ^ 2 = k^2/2 - a^2
Ou seja, a distancia de P a M=(A+B)/2 eh fixa e igual a k^2/2-a^2

Abraco, Ralph.

2017-08-22 19:31 GMT-03:00 André Lauer :

> Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema:
> São dados dois pontos A e B. Determine o lugar geométrico de P tal que
> d(A,P)^2 + d(P,B)^2 = k^2 onde k é uma constante dada.
> Se d(A,B) = 2a, determine para que valores de k o problema tem solução.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Francisco Barreto]

acho que faltou dr nome aos bois, as coordenadas.

On Tue, 22 Aug 2017 at 19:45 Francisco Barreto 
wrote:

> a hipotenusa tem que ser d(A,B), não? Se for o caso vale k ao quadrado e
> 2a.
>
> On Tue, 22 Aug 2017 at 19:37 André Lauer 
> wrote:
>
>> Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema:
>> São dados dois pontos A e B. Determine o lugar geométrico de P tal que
>> d(A,P)^2 + d(P,B)^2 = k^2 onde k é uma constante dada.
>> Se d(A,B) = 2a, determine para que valores de k o problema tem solução.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Francisco Barreto]

a hipotenusa tem que ser d(A,B), não? Se for o caso vale k ao quadrado e 2a.

On Tue, 22 Aug 2017 at 19:37 André Lauer  wrote:

> Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema:
> São dados dois pontos A e B. Determine o lugar geométrico de P tal que
> d(A,P)^2 + d(P,B)^2 = k^2 onde k é uma constante dada.
> Se d(A,B) = 2a, determine para que valores de k o problema tem solução.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica em 3 dimensões

[Sávio Ribas]

Mas isso eh uma esfera de raio r (assumindo que x_1, y_1 e z_1 são
variáveis). Eh soh uma aplicação de Pitagoras...

Em 30 de outubro de 2015 14:57, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Olá pessoal alguém sabe como provar que a equação da reta é
> (x_1-x_0)²+(y_1-y_0)²+(z_1-z_0)²=r²? onde r é o comprimento da reta
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica em 3 dimensões

[Rígille Scherrer Borges Menezes]

Hmmm, me confundi. Mas a equação de um segmento de reta com certeza é:
d(a, x) + d(x, b) = d(a, b)
Onde x é a variável e d(x, y) é a distância entre x e y.

Em sexta-feira, 30 de outubro de 2015, Rígille Scherrer Borges Menezes <
rigillesbmene...@gmail.com> escreveu:

> Vc quer dizer de segmento de reta talveZ? Acho que uma boa ideia é usar a
> desigualdade triangular.
>
> Em sexta-feira, 30 de outubro de 2015, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal alguém sabe como provar que a equação da reta é
>> (x_1-x_0)²+(y_1-y_0)²+(z_1-z_0)²=r²? onde r é o comprimento da reta
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica em Três dimensões

[Israel Meireles Chrisostomo]

Ogrigado Ralph, vc sempre respondendo rápido, obrigado mesmo!Vlw, era isso
mesmo o t era fixovlw

Em 23 de julho de 2015 23:04, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Hm, pera, tem 4 variaveis ai. A letra t representa um numero fixo, e as
 variaveis sao x, y e z? Vou supor que sim, senao eh uma superficie em 4
 dimensoes.

 Bom, entao a resposta eh sim, representa. Se esta figura tem nome proprio,
 bom, ok, nao sei. :)

 Mas notei que se voce botar x=t.sina, y=t.sinb e z=t.sinc e ignorar alguns
 sinais chatos, voce fica com tana.tanb+tanb.tanc+tana.tanc=1, ou seja,
 tana=(tanb.tanc-1)/(tanb+tanc)=-cot(b+c)=tan(b+c-pi/2). Entao sua equacao
 eh quase equivalente a

 a=k.pi+b+c-pi/2.

 E isto eh um plano... Ou seja, sua superficie seria tomar um plano do tipo
 a-b-c=k.pi=pi/2 (ou alguns planos, variando k, e mais alguns variando os
 sinais ali) no espaco abc e entao senificar as coordenadas.

 Abraco, Ralph.

 2015-07-23 21:15 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com:

 Alguém sabe se a equação abaixo representa alguma figura geométrica em 3
 dimensões?

 xy/(sqrt{t²-x²}sqrt{t²-y²})+xz/(sqrt{t²-x²}sqrt{t²-z²})+yz/(sqrt{t²-y²}sqrt{t²-z²})=1

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
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 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica em Três dimensões

[Ralph Teixeira]

Hm, pera, tem 4 variaveis ai. A letra t representa um numero fixo, e as
variaveis sao x, y e z? Vou supor que sim, senao eh uma superficie em 4
dimensoes.

Bom, entao a resposta eh sim, representa. Se esta figura tem nome proprio,
bom, ok, nao sei. :)

Mas notei que se voce botar x=t.sina, y=t.sinb e z=t.sinc e ignorar alguns
sinais chatos, voce fica com tana.tanb+tanb.tanc+tana.tanc=1, ou seja,
tana=(tanb.tanc-1)/(tanb+tanc)=-cot(b+c)=tan(b+c-pi/2). Entao sua equacao
eh quase equivalente a

a=k.pi+b+c-pi/2.

E isto eh um plano... Ou seja, sua superficie seria tomar um plano do tipo
a-b-c=k.pi=pi/2 (ou alguns planos, variando k, e mais alguns variando os
sinais ali) no espaco abc e entao senificar as coordenadas.

Abraco, Ralph.

2015-07-23 21:15 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo 
israelmchrisost...@gmail.com:

 Alguém sabe se a equação abaixo representa alguma figura geométrica em 3
 dimensões?

 xy/(sqrt{t²-x²}sqrt{t²-y²})+xz/(sqrt{t²-x²}sqrt{t²-z²})+yz/(sqrt{t²-y²}sqrt{t²-z²})=1

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Ralph Teixeira]

Como o titulo eh Geometria Analitica -- seja C=(x,y). Note que o
triangulo tem que ser agudo em B -- entao x3.

Agora
tan CAB = y/x
tan CBA = y/(3-x)

Agora use que tan2z=2tanz/(1-(tanz)^2). Entao se CAB=2CBA faca as contas

...dah uma hiperbole.

Abraco,
 Ralph

2011/2/24 Vinícius Harlock cortes...@gmail.com:
 Os extremos da base de um triângulo são A(0,0) e B(3,0). Determinar a
 equação do lugar geométrico do vértice oposto C se este se move de maneira
 que o ângulo da base CAB é sempre igual a duas vezes o ângulo da base CBA.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Ralph Teixeira]

(Tecnicamente, soh o ramo com x3)

2011/2/24 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com:
 Como o titulo eh Geometria Analitica -- seja C=(x,y). Note que o
 triangulo tem que ser agudo em B -- entao x3.

 Agora
 tan CAB = y/x
 tan CBA = y/(3-x)

 Agora use que tan2z=2tanz/(1-(tanz)^2). Entao se CAB=2CBA faca as 
 contas

 ...dah uma hiperbole.

 Abraco,
         Ralph

 2011/2/24 Vinícius Harlock cortes...@gmail.com:
 Os extremos da base de um triângulo são A(0,0) e B(3,0). Determinar a
 equação do lugar geométrico do vértice oposto C se este se move de maneira
 que o ângulo da base CAB é sempre igual a duas vezes o ângulo da base CBA.



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica

[Luciana Rodrigues]

 
Carpe Dien
Em 31/10/2009 08:19, Robério Alves  prof_robe...@yahoo.com.br  escreveu:




Como é que resolve essa questão ?Encontre o foco da parábola y = x^2 + 2x + i





Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes 
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[silverratio]

Olá Manuela,

Problema 1:

Se v = (a, b, c), e v é ortogonal ao eixo Z, então c = 0, pois  v, k  = c,
onde k = ( 0, 0, 1 ).

Além disso, w = ( 0, 2, 3 ), e da equação  v, w  = 6 tiramos que b = 3.

Resta a condição sobre a norma de v. Como agora sabemos que v = ( a, 3, 0 ),

| v | = raiz{ a^2 + 9 + 0 } = 5, o que implica a^2 + 9 = 25, ou seja, a = +4
ou a = -4.

Portanto existem na verdade duas possibilidades para o vetor v: ( 4, 3, 0 )
ou ( -4, 3, 0 ).


Problema 2:

Seja w = (x, y, z). Primeiro, se queremos w ortogonal a v, basta resolver a
equação:

 w, v  = 0, que é simplesmente 2x -y +z = 0.

Tome uma solução não-nula qualquer, por exemplo, x = 0, y = z = 1.

O vetor ( 0, 1, 1 ) é ortogonal a v. Ele só não é unitário, mas isso sempre
pode ser

resolvido divivindo-o pela sua norma, ou seja, escolhendo: ( 0, 1/raiz{2} ,
1/raiz{2} ).


Problema 3:

Vou assumir que estamos falando da projeção ortogonal aqui.

A projeção ortogonal é dada por: (  u, v  /  v, v  ) * v. Basta
calcular.

Espero ter ajudado.

Abraço,

- Leandro.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[João Luís Gomes Guimarães]

O problema pede um ponto que pertença ao eixo das abcissas e que também seja 
equidistante de A e B;

Então, de todos os pontos que  que sejam equidistantes de A e B (e que você 
encontrou ao resolver a equação d(AP)=d(BP)), basta que você escolha aquele que 
tem ordenada zero (pois se pertence ao eixo das abcissas, tem coordenadas 
(x,0))!

Essa é a interpretação do problema.

Com relação às implicações que você falou, olha só: você disse que Se o ponto 
P é eqüidistante dos pontos A e B. Logo, ele deve estar entre A e B. Isso 
implicaria em : d(AP)=d(PB). Vamos escrever isso assim:

P equidistante de A e B = P está entre A e B = d(AP) = d(PB)

Primeiramente, é necessário definir bem aqui o conceito de estar entre.  
Assim a primeira implicação fica clara. mas a segunda implicação é falsa, 
concorda?  Se P está entre A e B = d(AP) = d(PB) não é verdade!!!

Ficou claro? 
  - Original Message - 
  From: araketu 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, November 04, 2007 11:44 AM
  Subject: [obm-l] Geometria Analítica


  Deparei-me com a seguinte questão:

  Determinar, no eixo Ox, um ponto P que seja eqüidistante dos pontos A(-1,-2) 
e B(5,-4).
  Solução do livro: O ponto pocurado é do tipo P(x,0). Deve-se ter:

  d(P,A)=d(P,B) =|PA|=|PB|

  Minha dúvida é: Se o ponto P é eqüidistante dos pontos A e B. Logo, ele deve 
estar entre A e B. Isso implicaria em : d(AP)=d(PB). Só que fiz por esse método 
e não cheguei a solução dada pelo livro que é: x=3.
  Gostaria de saber se essa dúvida foi conceitual ou errei na interpretação da 
questão.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Cláudio \(Prática\)]

Oi, chará:

Não, pois este ponto não é o baricentro (em geral), 
mas sim o circumcentro.

Talvez seja mais fácil calcular o ponto de 
interseccção das mediatrizes de dois dos lados do triângulo que tem estes pontos 
como vértices.

Um abraço,
Cláudio.

  - Original Message - 
  From: 
  Claudio 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Tuesday, October 28, 2003 9:33 
  AM
  Subject: [obm-l] Geometria 
Analítica
  
  Pessoal nesta questão simples de GA, posso usar o 
  baricentro para calcular o ponto equidistante?
  
  Veja.
  
  O Unico ponto que é equidistante de (0,0) (1,2) e 
  (3,-1) é?
  
  Desde ja 
agradeço.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Daniel Melo Wanzeller]

Claudio,

 Não é possivel usar o 
baricentro, pois apesar de formar um triangulo, seria necessario que todas as 
medianas tivessem o mesmo comprimento, o que acontece no triangulo 
equilatero.
 Fazendo a distancia entre os 
pontos e um ponto generico (x,y), tem-se:
 x^2 + y^2 = (x-1)^2 + 
(y-2)^2
 x^2 + y^2 = (x-3)^2 + 
(y+1)^2

tem-se que x= 3/14 e y = 9/14, o que não é o mesmo 
que o baricentro do trinagulo.

 Espero ter ajudado

  Daniel 
Wanzeller

  - Original Message - 
  From: 
  Claudio 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Tuesday, October 28, 2003 9:33 
  AM
  Subject: [obm-l] Geometria 
Analítica
  
  Pessoal nesta questão simples de GA, posso usar o 
  baricentro para calcular o ponto equidistante?
  
  Veja.
  
  O Unico ponto que é equidistante de (0,0) (1,2) e 
  (3,-1) é?
  
  Desde ja 
agradeço.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica e Plana

[Artur Costa Steiner]

Estes enderecos nao existem.
Artur

Olá Pessoal,

Gostaria que alguém me ajudasse nesses dois exercícios:

exercício 1 (geometria analitica)

http://www.paraisodovestibulando.kit.net/questoes/exercic
io_geometria_analitica.htm


exercicio 2 (geometria plana)

http://www.paraisodovestibulando.kit.net/questoes/exercic
io_geometria_area3.htm



Grato

Mr. Crowley

(`-''-/).___..--''`-._
`6_ 6 ) `-. ( ).`-.__.`)
(_Y_.)' ._ ) `._ `.``-..-'
_..`--'_..-_/ /--'_.' ,'
(il),-'' (li),' ((!.-'


__
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica

[Cláudio \(Prática\)]

Oi, Fael (e demais colegas):

Eu tenho sempre te aconselhado a desenhar os 
gráficos e tentar visualizar a situação do problema antes de sair escrevendo 
equações a torto e a direito. 

Estes dois problemas são uma boa ilustração. Espero 
que o Morgado me apoie nesse ponto


(FUVEST) A reta y= mx (m0) é tangente à 
circunferência (x-4)^2 + y^2=4. Determine o seno do ângulo que a reta forma com 
o eixo x. 
Circunferência: C(4,0); R = 2
Desenhe o gráfico e veja que o seno desejado é igual a R/D, onde D = 
distância do centro à origem = 4

Logo, seno = 2/4 = 1/2.
resp: 1/2 
**
(U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y 
+1=0 e o ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda 
pelo ponto P é: 
Complete os quadrados e reduza à forma normal:
x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = -1 + 1 + 4 ==
(x+1)^2 + (y-2)^2 = 2^2 == C(-1,2); R = 2

A reta tangente por P é normal ao raio CP. 
Mas C e P têm a mesma abscissa == 
CP é vertical == 
a tangente por P é horizontal ==
Equação da tangente: y = 4.

resp: y=4 

Um abraço,
Claudio.


  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Tuesday, March 11, 2003 6:27 
  PM
  Subject: [obm-l] geometria 
analítica
  Olá Morgado, Como resolver estas: (FUVEST) A reta 
  y= mx (m0) é tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4. Determine o seno 
  do ângulo que a reta forma com o eixo x. resp: 1/2 (U.E. 
  Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o ponto 
  P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo ponto P 
  é: resp: y=4 

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica

[leandro]

Fael,



O Claudio apresentou uma
otima solucao e assim voce pode ver que tem diversas formas de resolver o
problema. A ilustracao que o Claudio se referiu e muito boa e as vezes num
vestibular onde o quesito tempo e super-importante voce pode sair na frente. 



Leandro. 



-Original Message-
From:
[EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Cláudio (Prática)
Sent: Wednesday, March 12, 2003
12:13 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] geometria
analítica





Oi, Fael (e demais colegas):











Eu tenho sempre te aconselhado a
desenhar os gráficos e tentar visualizar a situação do problema antes de sair
escrevendo equações a torto e a direito. 











Estes dois problemas são uma boa
ilustração. Espero que o Morgado me apoie nesse ponto

















(FUVEST) A reta y= mx (m0) é
tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4. Determine o seno do ângulo que a
reta forma com o eixo x. 





Circunferência: C(4,0); R = 2





Desenhe o gráfico e veja que o seno
desejado é igual a R/D, onde D = distância do centro à origem = 4











Logo, seno = 2/4 = 1/2.






resp: 1/2 





**






(U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o
ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo
ponto P é: 





Complete os quadrados e reduza à
forma normal:





x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = -1 + 1
+ 4 ==





(x+1)^2 + (y-2)^2 = 2^2 ==
C(-1,2); R = 2











A reta tangente por P é normal ao
raio CP. 





Mas C e P têm a mesma abscissa
== 





CP é vertical == 





a tangente por P é horizontal ==





Equação da tangente: y = 4.











resp: y=4 











Um abraço,





Claudio.













- Original Message - 





From: [EMAIL PROTECTED] 





To: [EMAIL PROTECTED]






Sent: Tuesday,
March 11, 2003 6:27 PM





Subject: [obm-l]
geometria analítica









Olá Morgado, 

Como resolver estas: 


(FUVEST) A reta y= mx (m0) é tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4.
Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x. 

resp: 1/2 

(U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o
ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo
ponto P é: 

resp: y=4 

[obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica (circunferências)

[Cláudio \(Prática\)]

Oi, Fael:

(UFRS) A circunferência de centro (10, -6), tangente ao eixo dos y, 
intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas: 
Como ela é tangente ao eixo y, a distância do centro a este eixo (dada pelo 
valor absoluto da abscissa do centro) é igual ao raio == raio = 10.

Equação: (x - 10)^2 + (y + 6)^2 = 10^2.

Intercepta o eixo x == y = 0 == 
(x-10)^2 + 6^2 = 100 == 
(x-10)^2 = 64 == 
x-10 = 8 ou x-10 = - 8 == 
x = 18 ou x = 2
resp: 2 e 18 
*
(U.C. SALVADOR) A reta r, de equação y= 2x +1, e a circunferência C, de 
equação x^2 + y^2=1 interceptam-se nos pontos A e B. A medida do segmento AB é: 

Substitua y = 2x+1 na equação da circunferência a fim de achar a(s) 
abscissa(s) do(s) ponto(s) de interseção

Em seguida, substitua o(s) valor(es) de x achado(s) acimaem y = 2x + 
1 para determinar o valor da(s) ordenada(s) correspondente(s).

Agora, é só usar a fórmula da distância entre dois pontos.
resp: 4*raiz(5)/5 
***
(PUCCAMP) Considere as circunferências (lambda_1): x^2 + y^2 - 8x - 4y 
+ 15=0 e (lambda_2): x^2 + y^2 + 4x + 2y - 75=0; concluímos que: 
Normalize a equações, completando os quadrados. Você terá:

Lambda 1: x^2 - 8x + 16 + y^2 - 4y + 4 = -15 + 16 + 4 ==
(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 5 == C1(4,2); R1 = raiz(5)

Lambda 2: x^2 + 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = 75 + 4 + 1 ==
(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 80 == C2(-2,-1); R2 = raiz(80) = 
4*raiz(5).

Distância entre os centros = raiz[(4+2)^2 + (2+1)^2] = raiz(36+9) = 
3*raiz(5) = R2 - R1 == 
Lambda 1 e Lambda 2 são tangentes internamente.
resp: (lambda_1) e (lambda_2) se tangenciam-se internamente 

*
Um abraço,
Claudio.

[obm-l] RE: [obm-l] geometria analítica

[leandro]

Fael,



No numero 1) eu substitui
o valor y=mx na equacao da circunferencia e dai voce encontra a seguinte
equacao do 2o grau 



(m^2+1)x^2  8x +
12 = 0. Como foi dito que m  0, entao temos que a intersecao da reta com a
circunferencia deve produzir somente 1 ponto, portanto, fazendo o discriminante
da equacao encontrada igual a zero a gente encontra 



64  4(12)(m^2+1) =
0 = mod(m) = ½ =  m=1/2 (pois m  0). Agora, m e o coeficiente
angular da reta , ou seja, e a tangente do angulo que estamos querendo
encontrar. O valor do seno do angulo pode ser encontrado pela formula 



tg^2(alfa) + 1 = sec^2(alfa) = sec^2(alfa)
= 5/4 = sen^2(alfa) = 1/5. = sen(alfa) = 1/sqr(5). 



Eu nao encontrei esse
resultado ½ que voce me forneceu. Sera que errei em algum lugar ? 



Leandro. 



-Original Message-
From:
[EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, March
 11, 2003 1:27 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] geometria
analítica



Olá Morgado, 

Como resolver estas: 


(FUVEST) A reta y= mx (m0) é tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4.
Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x. 

resp: 1/2 

(U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o
ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo
ponto P é: 

resp: y=4 

Re: [obm-l] RE: [obm-l] geometria analítica

[A. C. Morgado]

Um errinho de conta!
Onde esta mod(m) = 1/2 deveria estar mod(m) = 1/sqrt(3).
Daih, seguir-se-ia
tg^2(alfa) + 1
= sec^2(alfa) = sec^2(alfa) = 4/3 = sen^2(alfa) = 1/4. = sen(alfa)
= 1/2. 


leandro wrote:
   
  
   
  
  
  

  Fael,
  
  
  
  No
numero 1) eu substitui o valor y=mx na equacao da circunferencia e dai voce
encontra a seguinte equacao do 2o grau 
  
  
  
  (m^2+1)x^2
 8x + 12 = 0. Como foi dito que m  0, entao temos que a intersecao da
reta com a circunferencia deve produzir somente 1 ponto, portanto, fazendo
o discriminante da equacao encontrada igual a zero a gente encontra 
  
  
  
  64
 4(12)(m^2+1) = 0 = mod(m) =  =  m=1/2 (pois m  0). Agora,
m e o coeficiente angular da reta , ou seja, e a tangente do angulo que estamos
querendo encontrar. O valor do seno do angulo pode ser encontrado pela formula
  
  
  
  
  tg^2(alfa) + 1
= sec^2(alfa) = sec^2(alfa) = 5/4 = sen^2(alfa) = 1/5. = sen(alfa)
= 1/sqr(5). 
  
  
  
  Eu
nao encontrei esse resultado  que voce me forneceu. Sera que errei em algum
lugar ? 
  
  
  
  Leandro.
  
  
  
  
  -Original
Message-
 From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED]
 Sent: Tuesday, March  11, 2003 1:27 PM
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Subject: [obm-l] geometria 
analtica
  
  
  
  Ol Morgado,
  
 
 Como resolver estas: 
 
 
 (FUVEST) A reta y= mx (m0)  tangente  circunferncia (x-4)^2 + y^2=4. 
Determine o seno do ngulo que a reta forma com o eixo x. 
 
 resp: 1/2 
 
 (U.E. Londrina) Sejam a circunferncia (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0
e o ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equao da reta tangente lambda
pelo ponto P : 
 
 resp: y=4 
  
  

[obm-l] RE: [obm-l] geometria analítica

[Artur Costa Steiner]

Olá Morgado, 

Como resolver estas:

Mesmo não sendo o Morgado, vou tentar ajudar
 


(FUVEST) A reta y= mx (m0) é tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4.
Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x. 

resp: 1/2 

Por ser tangente à circunferencia, a reta intercepta-a em um, e apenas um,
ponto. Logo, a equação (x-4)^2 + (mx)^2 =4 tem uma, e apenas uma, raiz real.
Esta equação é equivalente a (1+ m^2)x^2 -8x + 12 =0, e apresentará uma
única solução real se, e somente se, seu discriminante for zero. Logo, 64 -
48 (1+ m^2) = 16 -48m^2 = 0, cuja solução é m = + ou - 1/raiz(3). Como, por
hipótese, m0, apenas a solução positiva interessa. A reta, portanto, forma
com o eixo dos x um ângulo a  cuja tangente é 1/raiz(3). Segue-se que
sec(a)^2 = 1+ tan(a)^2 = 1+ 1/3 = 4/3. Logo, cos(a)^2 = 3/4 (o ângulo é do
primeiro quadrante) e sen(a)^2 = 1/4. Finalmente, concluímos que sen(a) =
1/2.  


(U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o
ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo
ponto P é: 
resp: y=4

Calculando-se implicitamente a derivada de y com rel. a x, y', temos pela
regra da cadeia que 2x + 2y y' +2 -4 y'=0 - y'= (-2x -2)/(2y -4) =
(x+1)/(2-y), y2. No ponto dado, temos que y' = 0, logo a tangente é
horizontal. E como esta tangente intercepta a circunferência em um ponto de
ordenada 4 segue-se que sua equação é y =4. 
Vc poderioa chegar rapidamente a esta mesma conclusão observado que a
equação da circunferência pode ser escrita como (x+1)^2 + (y-2)^2 = 4, a
qual tem centro em (-1, 2) e raio 2. Logo, (-1, 4) é ponto mais alto da
intersecção com a circunferência da vertical de abcissa -1, a qual passa
pelo centro de lambda. Como a tangente é perpendicular a esta vertical, a
conclusão é imediata. 

Um abraço
Artur 
attachment: winmail.dat

[obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica

[Henrique P. Sant'Anna Branco]

- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, March 09, 2003 6:09 PM
Subject: [obm-l] geometria analítica

 (UFPA) O maior valor inteiro de p para que a equação x^2 + y^2 -6x + 4y
+p=0 represente uma circunferência é:

Completando os quadrados, temos:
(x^2 - 6*x + 9) + p - 9+ (y^2 + 4y + 4) - 4 = 0
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = -p + 13

Temos que o sqrt(-p+13) é o raio da circunferência centrada em (3, -2).
Sabemos que a função raiz quadrada é definida em [0, +infinito), portanto, o
maior valor para que a sqrt(-p+13) fosse definida nos reais seria 13, mas
isso nos daria 0 para o raio da circunferência. Portanto, o menor valor
inteiro é 12 = sqrt(-12+13) = sqrt(1) = 1.

A resolução do outro eu mando depois.

Abraços,
Henrique.

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[obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica e losango

[Cláudio \(Prática\)]

Caro Fael:
(UFPA) As equações de dois lados de um losango são dadas por 2x - y + 
5=0 e x + 3y -1=0, se os outros dois lados tem como vértice comum (-1, -2), 
então suas equações são: 
Um losango tem lados opostos paralelos (além de terem o mesmo comprimento, 
mas isso não é necessário ao problema).
Assim, as equações dos outros dois lados terão a forma:
2x - y = a
e
x + 3y = b

(-1,-2) pertence a estas duas retas ==

2(-1) - (-2) = a
e
-1 + 3(-2) = b ==

a = 0 e b = -7 ==

Portanto, as equações são:
2x - y = 0
e
x + 3y = -7

resp: 2x -y=0 e x + 3y +7=0 
Um abraço,
Claudio.

[obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica

[Henrique P. Sant'Anna Branco]

A reta y=x, no primeiro quadrante, é a bissetriz desse quadrante, formando
45 graus com o eixo x (e também o y, claro, mas esse não nos interessa).
A outra reta tem como coeficiente angular sqrt(3), o que nos dá o ângulo de
60 graus (arc tan (sqrt(3))). Veja que essa reta fica à esquerda da reta da
reta y=x, no sentido anti-horário. O ângulo feito entre elas vai ser o
ângulo com o eixo x formado pela reta y=raiz(3)*(x-5) menos o ângulo formado
pela reta x=y com o mesmo eixo: 60-45 = 15 graus.
Faz o desenho das duas que você vai entender direitinho.

Abraço,
Henrique.

- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, March 05, 2003 4:34 PM
Subject: [obm-l] geometria analítica


((UF UBERLÂNDIA) O ângulo agudo formado pelas retas y=x  e y=raiz (3)*(x-5)
é:

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[obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica

[Felipe Villela Dias]

Olá a todos,
Me parece que apenas achando os vetores AB (3,1) e BC (-1,-2) e 
calculando o módulo do determinante dessa matriz você encontra a sua 
resposta.
| +3 +1| = -6 +1= -5 como a resposta é em módulo, 
+5.
| -1 -2|

Abraços a todos.

  
  - Original Message - 
  From: 
  Carlos 
  Victor 
  To: [EMAIL PROTECTED] ; [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Tuesday, January 21, 2003 8:20 
  AM
  Subject: Re: [obm-l] geometria 
  analítica
  Olá ,Determine a área do triângulo 
  ABC e multiplique por 2 , ok ?. É 
  interessante também tentar calcular os valores 
  de m e n , ok ? []´s Carlos 
  VictorAt 02:29 21/1/2003 -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
  
Olá, Como resolver esta questão: 
(PUC) Os pontos A(1;2), B(4,3) C(3,1) e D(m,n), nesta ordem, formam 
um paralelogramo. A área do paralogramo ABCD é igual a : Gabarito: 5 

  ---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by 
AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 
6.0.443 / Virus Database: 248 - Release Date: 
10/1/2003

[obm-l] Re:[obm-l] geometria analítica

[arakelov]

 Olá pessoal,
 
 Vejam a questão:
 
 (UFMG) O ponto P= (x,y) está mais próximo do ponto A= (1
,0) que do eixo das 
 ordenadas. Pode-se afirmar que:
 
 Resp: y^22x-1
 
 As outras alternativas eram parecidas com essa, mas como
 proceder para chegar 
 neste resultado (correto)?  
 basta vc calcular pela formula de distancia entre dois 
pontos ,primeiro calcule distancia de P ate A e depois vc 
vai obter apenas modulo de x para outra distancia ai e so 
resolver a desigualdade,espero ter ajudado,um abraço alex

 
__
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[obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica

[David Ricardo]

3/2 * |  x8 |   +  2/3 * |  y  6|=  |   7  16 |
 | 10   y || 12   x+4 ||   23 13 |


3/2x + 2/3y = 7
3/2y + 2/3(x+4) = 13

É só resolver o sistema.

x = 2 e y = 6.

[]s
David

- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, January 04, 2003 4:11 AM
Subject: [obm-l] geometria analítica


Olá pessoal,

Observem as matrizem abaixo:

M=  x8  N=y 6
  P=7   16
  10   y 12x+4
23 13

Elas satisfazem a igualdade (3/2) M + (2/3) N = P. Logo x-y é igual a:
Ps:a resposta é 4. Como chegar até ela ?

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[obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica

[larryp]

A mediana desejada une o vértice B (4,5) ao 
ponto médio de AC (4,3).

Repare que ambos os pontos têm a mesma abscissa 
(coordenada x). Assim, a reta que os une é: x = 4.

  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Thursday, January 02, 2003 5:13 
  AM
  Subject: [obm-l] Geometria 
analítica
  
  Determine a equação da mediana relativa ao lado 
  AC de um triângulo cujos vértices são os pontos A(1,2) , B(4,5) e C(7,4). 
  Resposta 
  A equação da mediana é x=4. Como operar para chegar na 
  equação da mediana como nessa questão ? 
  

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica

[Eder]

Seja P(a,b) o ponto médio do segmento 
AC.Calculam-se a e b facilmente:

a = (1+7)/2=4
b = (2+4)/2=3

Basta achar a equação da reta que passa por B(4,5) 
e por P(4,3).Como a reta será da formaax+by+c=0 e para x=4 temos dois 
valores correspondentes,tá na cara que só podemos ter a=1,b=0 e c=-4 ,ou 
seja,x=4.Na dúvida,tire a reta pelo método do determinante.

  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Thursday, January 02, 2003 5:13 
  AM
  Subject: [obm-l] Geometria 
analítica
  
  Determine a equação da mediana relativa ao lado 
  AC de um triângulo cujos vértices são os pontos A(1,2) , B(4,5) e C(7,4). 
  Resposta 
  A equação da mediana é x=4. Como operar para chegar na 
  equação da mediana como nessa questão ?