f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2
y=0
f(x^2)=f(f(x))
f(x)=0
f(x^2+y)+f(-y)=2f(0)+2y^2
y=0
f(0)=f(x^2)
x^2=0
x=0 e raiz
f(0)=0
f(1)=1
f(x^2+x)+f(f(x)-x)=2ff(x)+2x^2
f(4)+f(f(2)-2)=2ff(2)+8
f(2)+f(f(1)-1)=2ff(1)+2
f(2)=4
f(4)=4+2f(4)
f(4)=-4
f(3)+f(f(2)+1)=2ff(2)+2
f(3)+f(5)=-6
f(y)+f(-y)=2y^2
Caro Douglas,
Fazendo y=f(x): f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2.
Fazendo y=-x^2: f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4.
Comparando, temos f(x)^2=x^4, donde, para todo x, f(x)=x^2 ou
f(x)=-x^2. Em particular, f(0)=0. Fazendo então x=0 temos
f(y)+f(-y)=2y^2, mas f(y) e f(-y) pertencem a
Espetaculo, muito obrigado!!
Em 26 de agosto de 2014 05:26, g...@impa.br escreveu:
Caro Douglas,
Fazendo y=f(x): f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2.
Fazendo y=-x^2: f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4.
Comparando, temos f(x)^2=x^4, donde, para todo x, f(x)=x^2 ou
f(x)=-x^2. Em
Aproveitando o momento alguém poderia me ajudar nessa questão??
Determine todas as funções contínuas que projeta três termos sucessivos de
uma progressão aritmética em três termos de uma progressão geométrica.
Desde já agradeço qualquer ajuda.
Em 26 de agosto de 2014 07:40, Douglas Oliveira de
DESCULPEM nÂO Vi A RESTRIÇÂO
Date: Thu, 20 Dec 2007 03:38:09 -0800From: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] equacao
funcionalTo: obm-l@mat.puc-rio.br
Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para
todo x e y positivos. Mostre que f é uma funcao constante.
Abra
Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para
todo x e y positivos. Mostre que f é uma funcao constante.
Suponhamos que f é não constante; Assim existe algum x nos reais, digamos x_1,
tal que f(x_1) é diferente de f(x_2), x_2 também nos reais e x_1
Note que para todo t = 2, podemos encontrar um s real positivo tal que t =
s + 1/s = (s^2+1)/s. Com efeito, s^2 - ts + 1 = 0, onde o discriminante é
t^2 - 4. Daí tiramos que f(t) = f(s + 1/s) = f(1) para t = 2.
Para todo t, 1 t 2, encontramos s, 1 s (t) 2, tal que s^2 = t.
Assim f(t) = f(s*s)
como f(x+y)=f(xy), fazendo x=1
f(y+1)=f(y)
assim se provarmos que f(t) é constante para t pertencente a (0,1] acaba.
da propriedade acima tambem temos tambem que f(nx)=f(x) e f(n+x)=f(x) para x
real positivo e n natural.
seja r um irracional e b natural, temos que
f(br)=f(r)
e tambem temos que
Oi Klaus,
O fato central que mostra que a função só precisa ser definida nos primos é que
a função é multiplicativa, ou seja, que f(xy) = f(x)f(y) (o que foi feito no
artigo). Assim, no seu exemplo, f(4) = f(2).f(2), e precisamos só definir
f(2), e 2 é primo.
Mas permita-me dar um
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