Re: [obm-l] Problema 6 - IMO 2001
Boa tarde! Equivoquei-me quando deduzi a fórmula da diagonal do quadrilátero. Considerei x o ângulo BAD e y o ângulo ABC mas coloquei senx/seny = AC/BD, quando era o inverso. Na verdade onde AC é AB e vice-versa. Até porque BD é que permanece constante em qualquer ordem e não AC. BD^2=a^2-ac+c^2. Saudações, PJMS. Em Qui, 15 de nov de 2018 13:08, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Em tempo, a ordem usada dos vértices foi A, B, C, D, no sentido > trigonométrico. Só variou a nomemclatura da medida dos lados. > Saudações, > PJMS > > Em Qui, 15 de nov de 2018 13:03, Pedro José > escreveu: > >> Boa tarde! >> Não tinha atinado que no segundo caso, o fator (ab+cd) está no numerador >> do valor do quadrado de ambas diagonais. >> Realmente serve de qualquer jeito. >> (i) a, b, d, c no sentido trigonométrico. >> (ad+bc)*(ab+cd) =AC^2*(ac+bd) >> (ii) a, d, b, c no mesmo sentido. >> (ab+cd)*(ac+bd)=BD^2*(ad+bc) >> (ab+cd)*(ad+bc)=AC^2*(ac+bd) >> >> Eu havia parado na primeira equação de (ii) pois, perderia o recurso d|x >> e d>x, absurdo. >> Mas na segunda de (ii) volto a ter esse recurso. >> Por isso havia questionado a ordem. Erroneamente julguei que só valesse >> para a primeira ordem. >> Aí seria complicado defini-la. >> A argumentação é a mesma da solução sugerida pelo Cláudio. >> Se (ab+cd) é primo, então (ac+bd) | (ad+bc); pois, ac+bd >1. >> Mas ac+bd>ad+bc, absurdo. >> ab+cd é composto. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> >> Em Qui, 15 de nov de 2018 08:57, Anderson Torres < >> torres.anderson...@gmail.com> escreveu: >> >>> >>> >>> Em qua, 14 de nov de 2018 16:53, Pedro José >> escreveu: >>> Boa tarde! Porém, me ficou uma dúvida! Como definir a ordem dos lados, os de medidas a e c devem ser adjacentes, assim como os de medida b e d. Mas como definir se os de a e b ou de a e d são adjacentes??? >>> >>> Bem, tecnicamente qualquer um serviria, afinal a equação é simétrica. Se >>> trocar a com c ou b com d, obtemos uma solução nova. >>> >>> Inda lembro vagamente que o Gugu deu a solução mais ignorante possível: >>> trata tudo como uma equação de segundo grau em D, verifica quando o delta é >>> quadrado e substitui loucamente. >>> Grato, PJMS Em ter, 13 de nov de 2018 às 13:44, Pedro José escreveu: > Bom dia! > > Depois da observação do Anderson Torres é que atinei o quanto é bonita > a sua solução se você prosseguir. > Sua preocupação não deve ser em relação ao produto AC*BD, nem com os > valores AC ou BD; mas sim que tanto BD^2, como AC^2 são inteiros. > Falta uma beirinha e a solução indicada pelo Cláudio tem a dica final > Pelo menos para o caminho que vislumbrei. > > Saudações, > PJMS. > > > > > Em seg, 12 de nov de 2018 às 16:39, Anderson Torres < > torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > >> Você quase resolveu! Posso dizer que esta era basicamente a solução >> oficial. Tente mais um pouco, que o caminho é esse. >> >> Em 8 de nov de 2018 23:27, "Jeferson Almir" >> escreveu: >> >> Pessoal peço ajuda no problema : >> >> Sejam a, b , c , d inteiros e a > b > c > d > 0 . >> Suponha que >> ac + bd = ( b+ d + a - c )( b+ d -a + c ) >> >> Mostre que ab + cd não é primo . >> >> >> A minha ideia foi: >> >> Abrindo a relação de cima temos >> >> a^2 -ac + c^2 = b^2 + bd + d^2 >> >> Então motivado pela ideia de usar geometria que um amigo falou fiz a >> suposição que temos um quadrilátero de lados a, d,b e c respectivamente e >> nessa ultima relação usando lei dos cossenos teríamos A = 60° e C = 120° >> concluindo então que ABCD é inscritível . Aplicando Ptolomeu temos que >> ACxBD= >> ab + cd e usando desigualdade triangular podemos afirmar que AC e BD não >> podem ser 1 . Mas ainda tem a possibilidade AC e BD serem racionais !! >> Como provar que não podem ser ??? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema 6 - IMO 2001
Boa tarde! Em tempo, a ordem usada dos vértices foi A, B, C, D, no sentido trigonométrico. Só variou a nomemclatura da medida dos lados. Saudações, PJMS Em Qui, 15 de nov de 2018 13:03, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Não tinha atinado que no segundo caso, o fator (ab+cd) está no numerador > do valor do quadrado de ambas diagonais. > Realmente serve de qualquer jeito. > (i) a, b, d, c no sentido trigonométrico. > (ad+bc)*(ab+cd) =AC^2*(ac+bd) > (ii) a, d, b, c no mesmo sentido. > (ab+cd)*(ac+bd)=BD^2*(ad+bc) > (ab+cd)*(ad+bc)=AC^2*(ac+bd) > > Eu havia parado na primeira equação de (ii) pois, perderia o recurso d|x e > d>x, absurdo. > Mas na segunda de (ii) volto a ter esse recurso. > Por isso havia questionado a ordem. Erroneamente julguei que só valesse > para a primeira ordem. > Aí seria complicado defini-la. > A argumentação é a mesma da solução sugerida pelo Cláudio. > Se (ab+cd) é primo, então (ac+bd) | (ad+bc); pois, ac+bd >1. > Mas ac+bd>ad+bc, absurdo. > ab+cd é composto. > > Saudações, > PJMS > > > > Em Qui, 15 de nov de 2018 08:57, Anderson Torres < > torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > >> >> >> Em qua, 14 de nov de 2018 16:53, Pedro José > escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> >>> Porém, me ficou uma dúvida! Como definir a ordem dos lados, os de >>> medidas a e c devem ser adjacentes, assim como os de medida b e d. >>> Mas como definir se os de a e b ou de a e d são adjacentes??? >>> >> >> Bem, tecnicamente qualquer um serviria, afinal a equação é simétrica. Se >> trocar a com c ou b com d, obtemos uma solução nova. >> >> Inda lembro vagamente que o Gugu deu a solução mais ignorante possível: >> trata tudo como uma equação de segundo grau em D, verifica quando o delta é >> quadrado e substitui loucamente. >> >>> >>> Grato, >>> PJMS >>> >>> Em ter, 13 de nov de 2018 às 13:44, Pedro José >>> escreveu: >>> Bom dia! Depois da observação do Anderson Torres é que atinei o quanto é bonita a sua solução se você prosseguir. Sua preocupação não deve ser em relação ao produto AC*BD, nem com os valores AC ou BD; mas sim que tanto BD^2, como AC^2 são inteiros. Falta uma beirinha e a solução indicada pelo Cláudio tem a dica final Pelo menos para o caminho que vislumbrei. Saudações, PJMS. Em seg, 12 de nov de 2018 às 16:39, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > Você quase resolveu! Posso dizer que esta era basicamente a solução > oficial. Tente mais um pouco, que o caminho é esse. > > Em 8 de nov de 2018 23:27, "Jeferson Almir" > escreveu: > > Pessoal peço ajuda no problema : > > Sejam a, b , c , d inteiros e a > b > c > d > 0 . > Suponha que > ac + bd = ( b+ d + a - c )( b+ d -a + c ) > > Mostre que ab + cd não é primo . > > > A minha ideia foi: > > Abrindo a relação de cima temos > > a^2 -ac + c^2 = b^2 + bd + d^2 > > Então motivado pela ideia de usar geometria que um amigo falou fiz a > suposição que temos um quadrilátero de lados a, d,b e c respectivamente e > nessa ultima relação usando lei dos cossenos teríamos A = 60° e C = 120° > concluindo então que ABCD é inscritível . Aplicando Ptolomeu temos que > ACxBD= > ab + cd e usando desigualdade triangular podemos afirmar que AC e BD não > podem ser 1 . Mas ainda tem a possibilidade AC e BD serem racionais !! > Como provar que não podem ser ??? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema 6 - IMO 2001
Boa tarde! Não tinha atinado que no segundo caso, o fator (ab+cd) está no numerador do valor do quadrado de ambas diagonais. Realmente serve de qualquer jeito. (i) a, b, d, c no sentido trigonométrico. (ad+bc)*(ab+cd) =AC^2*(ac+bd) (ii) a, d, b, c no mesmo sentido. (ab+cd)*(ac+bd)=BD^2*(ad+bc) (ab+cd)*(ad+bc)=AC^2*(ac+bd) Eu havia parado na primeira equação de (ii) pois, perderia o recurso d|x e d>x, absurdo. Mas na segunda de (ii) volto a ter esse recurso. Por isso havia questionado a ordem. Erroneamente julguei que só valesse para a primeira ordem. Aí seria complicado defini-la. A argumentação é a mesma da solução sugerida pelo Cláudio. Se (ab+cd) é primo, então (ac+bd) | (ad+bc); pois, ac+bd >1. Mas ac+bd>ad+bc, absurdo. ab+cd é composto. Saudações, PJMS Em Qui, 15 de nov de 2018 08:57, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > > > Em qua, 14 de nov de 2018 16:53, Pedro José >> Boa tarde! >> >> Porém, me ficou uma dúvida! Como definir a ordem dos lados, os de medidas >> a e c devem ser adjacentes, assim como os de medida b e d. >> Mas como definir se os de a e b ou de a e d são adjacentes??? >> > > Bem, tecnicamente qualquer um serviria, afinal a equação é simétrica. Se > trocar a com c ou b com d, obtemos uma solução nova. > > Inda lembro vagamente que o Gugu deu a solução mais ignorante possível: > trata tudo como uma equação de segundo grau em D, verifica quando o delta é > quadrado e substitui loucamente. > >> >> Grato, >> PJMS >> >> Em ter, 13 de nov de 2018 às 13:44, Pedro José >> escreveu: >> >>> Bom dia! >>> >>> Depois da observação do Anderson Torres é que atinei o quanto é bonita a >>> sua solução se você prosseguir. >>> Sua preocupação não deve ser em relação ao produto AC*BD, nem com os >>> valores AC ou BD; mas sim que tanto BD^2, como AC^2 são inteiros. >>> Falta uma beirinha e a solução indicada pelo Cláudio tem a dica final >>> Pelo menos para o caminho que vislumbrei. >>> >>> Saudações, >>> PJMS. >>> >>> >>> >>> >>> Em seg, 12 de nov de 2018 às 16:39, Anderson Torres < >>> torres.anderson...@gmail.com> escreveu: >>> Você quase resolveu! Posso dizer que esta era basicamente a solução oficial. Tente mais um pouco, que o caminho é esse. Em 8 de nov de 2018 23:27, "Jeferson Almir" escreveu: Pessoal peço ajuda no problema : Sejam a, b , c , d inteiros e a > b > c > d > 0 . Suponha que ac + bd = ( b+ d + a - c )( b+ d -a + c ) Mostre que ab + cd não é primo . A minha ideia foi: Abrindo a relação de cima temos a^2 -ac + c^2 = b^2 + bd + d^2 Então motivado pela ideia de usar geometria que um amigo falou fiz a suposição que temos um quadrilátero de lados a, d,b e c respectivamente e nessa ultima relação usando lei dos cossenos teríamos A = 60° e C = 120° concluindo então que ABCD é inscritível . Aplicando Ptolomeu temos que ACxBD= ab + cd e usando desigualdade triangular podemos afirmar que AC e BD não podem ser 1 . Mas ainda tem a possibilidade AC e BD serem racionais !! Como provar que não podem ser ??? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema 6 - IMO 2001
Em qua, 14 de nov de 2018 16:53, Pedro José Boa tarde! > > Porém, me ficou uma dúvida! Como definir a ordem dos lados, os de medidas > a e c devem ser adjacentes, assim como os de medida b e d. > Mas como definir se os de a e b ou de a e d são adjacentes??? > Bem, tecnicamente qualquer um serviria, afinal a equação é simétrica. Se trocar a com c ou b com d, obtemos uma solução nova. Inda lembro vagamente que o Gugu deu a solução mais ignorante possível: trata tudo como uma equação de segundo grau em D, verifica quando o delta é quadrado e substitui loucamente. > > Grato, > PJMS > > Em ter, 13 de nov de 2018 às 13:44, Pedro José > escreveu: > >> Bom dia! >> >> Depois da observação do Anderson Torres é que atinei o quanto é bonita a >> sua solução se você prosseguir. >> Sua preocupação não deve ser em relação ao produto AC*BD, nem com os >> valores AC ou BD; mas sim que tanto BD^2, como AC^2 são inteiros. >> Falta uma beirinha e a solução indicada pelo Cláudio tem a dica final >> Pelo menos para o caminho que vislumbrei. >> >> Saudações, >> PJMS. >> >> >> >> >> Em seg, 12 de nov de 2018 às 16:39, Anderson Torres < >> torres.anderson...@gmail.com> escreveu: >> >>> Você quase resolveu! Posso dizer que esta era basicamente a solução >>> oficial. Tente mais um pouco, que o caminho é esse. >>> >>> Em 8 de nov de 2018 23:27, "Jeferson Almir" >>> escreveu: >>> >>> Pessoal peço ajuda no problema : >>> >>> Sejam a, b , c , d inteiros e a > b > c > d > 0 . >>> Suponha que >>> ac + bd = ( b+ d + a - c )( b+ d -a + c ) >>> >>> Mostre que ab + cd não é primo . >>> >>> >>> A minha ideia foi: >>> >>> Abrindo a relação de cima temos >>> >>> a^2 -ac + c^2 = b^2 + bd + d^2 >>> >>> Então motivado pela ideia de usar geometria que um amigo falou fiz a >>> suposição que temos um quadrilátero de lados a, d,b e c respectivamente e >>> nessa ultima relação usando lei dos cossenos teríamos A = 60° e C = 120° >>> concluindo então que ABCD é inscritível . Aplicando Ptolomeu temos que >>> ACxBD= >>> ab + cd e usando desigualdade triangular podemos afirmar que AC e BD não >>> podem ser 1 . Mas ainda tem a possibilidade AC e BD serem racionais !! >>> Como provar que não podem ser ??? >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema 6 - IMO 2001
A ordem segue a,d,b,c no sentido horário devido a relação a^2 -ac + c^2 = b^2 + bd + d^2 Em qua, 14 de nov de 2018 às 15:53, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > > Porém, me ficou uma dúvida! Como definir a ordem dos lados, os de medidas > a e c devem ser adjacentes, assim como os de medida b e d. > Mas como definir se os de a e b ou de a e d são adjacentes??? > > Grato, > PJMS > > Em ter, 13 de nov de 2018 às 13:44, Pedro José > escreveu: > >> Bom dia! >> >> Depois da observação do Anderson Torres é que atinei o quanto é bonita a >> sua solução se você prosseguir. >> Sua preocupação não deve ser em relação ao produto AC*BD, nem com os >> valores AC ou BD; mas sim que tanto BD^2, como AC^2 são inteiros. >> Falta uma beirinha e a solução indicada pelo Cláudio tem a dica final >> Pelo menos para o caminho que vislumbrei. >> >> Saudações, >> PJMS. >> >> >> >> >> Em seg, 12 de nov de 2018 às 16:39, Anderson Torres < >> torres.anderson...@gmail.com> escreveu: >> >>> Você quase resolveu! Posso dizer que esta era basicamente a solução >>> oficial. Tente mais um pouco, que o caminho é esse. >>> >>> Em 8 de nov de 2018 23:27, "Jeferson Almir" >>> escreveu: >>> >>> Pessoal peço ajuda no problema : >>> >>> Sejam a, b , c , d inteiros e a > b > c > d > 0 . >>> Suponha que >>> ac + bd = ( b+ d + a - c )( b+ d -a + c ) >>> >>> Mostre que ab + cd não é primo . >>> >>> >>> A minha ideia foi: >>> >>> Abrindo a relação de cima temos >>> >>> a^2 -ac + c^2 = b^2 + bd + d^2 >>> >>> Então motivado pela ideia de usar geometria que um amigo falou fiz a >>> suposição que temos um quadrilátero de lados a, d,b e c respectivamente e >>> nessa ultima relação usando lei dos cossenos teríamos A = 60° e C = 120° >>> concluindo então que ABCD é inscritível . Aplicando Ptolomeu temos que >>> ACxBD= >>> ab + cd e usando desigualdade triangular podemos afirmar que AC e BD não >>> podem ser 1 . Mas ainda tem a possibilidade AC e BD serem racionais !! >>> Como provar que não podem ser ??? >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema 6 - IMO 2001
Boa tarde! Porém, me ficou uma dúvida! Como definir a ordem dos lados, os de medidas a e c devem ser adjacentes, assim como os de medida b e d. Mas como definir se os de a e b ou de a e d são adjacentes??? Grato, PJMS Em ter, 13 de nov de 2018 às 13:44, Pedro José escreveu: > Bom dia! > > Depois da observação do Anderson Torres é que atinei o quanto é bonita a > sua solução se você prosseguir. > Sua preocupação não deve ser em relação ao produto AC*BD, nem com os > valores AC ou BD; mas sim que tanto BD^2, como AC^2 são inteiros. > Falta uma beirinha e a solução indicada pelo Cláudio tem a dica final Pelo > menos para o caminho que vislumbrei. > > Saudações, > PJMS. > > > > > Em seg, 12 de nov de 2018 às 16:39, Anderson Torres < > torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > >> Você quase resolveu! Posso dizer que esta era basicamente a solução >> oficial. Tente mais um pouco, que o caminho é esse. >> >> Em 8 de nov de 2018 23:27, "Jeferson Almir" >> escreveu: >> >> Pessoal peço ajuda no problema : >> >> Sejam a, b , c , d inteiros e a > b > c > d > 0 . >> Suponha que >> ac + bd = ( b+ d + a - c )( b+ d -a + c ) >> >> Mostre que ab + cd não é primo . >> >> >> A minha ideia foi: >> >> Abrindo a relação de cima temos >> >> a^2 -ac + c^2 = b^2 + bd + d^2 >> >> Então motivado pela ideia de usar geometria que um amigo falou fiz a >> suposição que temos um quadrilátero de lados a, d,b e c respectivamente e >> nessa ultima relação usando lei dos cossenos teríamos A = 60° e C = 120° >> concluindo então que ABCD é inscritível . Aplicando Ptolomeu temos que ACxBD= >> ab + cd e usando desigualdade triangular podemos afirmar que AC e BD não >> podem ser 1 . Mas ainda tem a possibilidade AC e BD serem racionais !! >> Como provar que não podem ser ??? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema 6 - IMO 2001
Bom dia! Depois da observação do Anderson Torres é que atinei o quanto é bonita a sua solução se você prosseguir. Sua preocupação não deve ser em relação ao produto AC*BD, nem com os valores AC ou BD; mas sim que tanto BD^2, como AC^2 são inteiros. Falta uma beirinha e a solução indicada pelo Cláudio tem a dica final Pelo menos para o caminho que vislumbrei. Saudações, PJMS. Em seg, 12 de nov de 2018 às 16:39, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > Você quase resolveu! Posso dizer que esta era basicamente a solução > oficial. Tente mais um pouco, que o caminho é esse. > > Em 8 de nov de 2018 23:27, "Jeferson Almir" > escreveu: > > Pessoal peço ajuda no problema : > > Sejam a, b , c , d inteiros e a > b > c > d > 0 . > Suponha que > ac + bd = ( b+ d + a - c )( b+ d -a + c ) > > Mostre que ab + cd não é primo . > > > A minha ideia foi: > > Abrindo a relação de cima temos > > a^2 -ac + c^2 = b^2 + bd + d^2 > > Então motivado pela ideia de usar geometria que um amigo falou fiz a > suposição que temos um quadrilátero de lados a, d,b e c respectivamente e > nessa ultima relação usando lei dos cossenos teríamos A = 60° e C = 120° > concluindo então que ABCD é inscritível . Aplicando Ptolomeu temos que ACxBD= > ab + cd e usando desigualdade triangular podemos afirmar que AC e BD não > podem ser 1 . Mas ainda tem a possibilidade AC e BD serem racionais !! > Como provar que não podem ser ??? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema 6 - IMO 2001
Você quase resolveu! Posso dizer que esta era basicamente a solução oficial. Tente mais um pouco, que o caminho é esse. Em 8 de nov de 2018 23:27, "Jeferson Almir" escreveu: Pessoal peço ajuda no problema : Sejam a, b , c , d inteiros e a > b > c > d > 0 . Suponha que ac + bd = ( b+ d + a - c )( b+ d -a + c ) Mostre que ab + cd não é primo . A minha ideia foi: Abrindo a relação de cima temos a^2 -ac + c^2 = b^2 + bd + d^2 Então motivado pela ideia de usar geometria que um amigo falou fiz a suposição que temos um quadrilátero de lados a, d,b e c respectivamente e nessa ultima relação usando lei dos cossenos teríamos A = 60° e C = 120° concluindo então que ABCD é inscritível . Aplicando Ptolomeu temos que ACxBD= ab + cd e usando desigualdade triangular podemos afirmar que AC e BD não podem ser 1 . Mas ainda tem a possibilidade AC e BD serem racionais !! Como provar que não podem ser ??? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema 6 - IMO 2001
Ou olhe aqui: https://mks.mff.cuni.cz/kalva/imo/isoln/isoln016.html On Fri, Nov 9, 2018 at 12:11 AM Bruno Visnadi wrote: > Não entendi. Se a, b, c e d são inteiros, ac e bd certamente são racionais. > > Em qui, 8 de nov de 2018 às 22:27, Jeferson Almir < > jefersonram...@gmail.com> escreveu: > >> Pessoal peço ajuda no problema : >> >> Sejam a, b , c , d inteiros e a > b > c > d > 0 . >> Suponha que >> ac + bd = ( b+ d + a - c )( b+ d -a + c ) >> >> Mostre que ab + cd não é primo . >> >> >> A minha ideia foi: >> >> Abrindo a relação de cima temos >> >> a^2 -ac + c^2 = b^2 + bd + d^2 >> >> Então motivado pela ideia de usar geometria que um amigo falou fiz a >> suposição que temos um quadrilátero de lados a, d,b e c respectivamente e >> nessa ultima relação usando lei dos cossenos teríamos A = 60° e C = 120° >> concluindo então que ABCD é inscritível . Aplicando Ptolomeu temos que ACxBD= >> ab + cd e usando desigualdade triangular podemos afirmar que AC e BD não >> podem ser 1 . Mas ainda tem a possibilidade AC e BD serem racionais !! >> Como provar que não podem ser ??? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema 6 - IMO 2001
Não entendi. Se a, b, c e d são inteiros, ac e bd certamente são racionais. Em qui, 8 de nov de 2018 às 22:27, Jeferson Almir escreveu: > Pessoal peço ajuda no problema : > > Sejam a, b , c , d inteiros e a > b > c > d > 0 . > Suponha que > ac + bd = ( b+ d + a - c )( b+ d -a + c ) > > Mostre que ab + cd não é primo . > > > A minha ideia foi: > > Abrindo a relação de cima temos > > a^2 -ac + c^2 = b^2 + bd + d^2 > > Então motivado pela ideia de usar geometria que um amigo falou fiz a > suposição que temos um quadrilátero de lados a, d,b e c respectivamente e > nessa ultima relação usando lei dos cossenos teríamos A = 60° e C = 120° > concluindo então que ABCD é inscritível . Aplicando Ptolomeu temos que ACxBD= > ab + cd e usando desigualdade triangular podemos afirmar que AC e BD não > podem ser 1 . Mas ainda tem a possibilidade AC e BD serem racionais !! > Como provar que não podem ser ??? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema 6 - IMO 2001
Pessoal peço ajuda no problema : Sejam a, b , c , d inteiros e a > b > c > d > 0 . Suponha que ac + bd = ( b+ d + a - c )( b+ d -a + c ) Mostre que ab + cd não é primo . A minha ideia foi: Abrindo a relação de cima temos a^2 -ac + c^2 = b^2 + bd + d^2 Então motivado pela ideia de usar geometria que um amigo falou fiz a suposição que temos um quadrilátero de lados a, d,b e c respectivamente e nessa ultima relação usando lei dos cossenos teríamos A = 60° e C = 120° concluindo então que ABCD é inscritível . Aplicando Ptolomeu temos que ACxBD= ab + cd e usando desigualdade triangular podemos afirmar que AC e BD não podem ser 1 . Mas ainda tem a possibilidade AC e BD serem racionais !! Como provar que não podem ser ??? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
