subject:"\[obm\-l\] Re\: \[obm\-l\] Re\: \[obm\-l\] Re\: \[obm\-l\] Função"

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função

2021-05-29 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo

obrigado


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Em qua., 19 de mai. de 2021 às 10:56, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em seg., 26 de abr. de 2021 às 17:18, Israel Meireles Chrisostomo
>  escreveu:
> >
> > Mas aí então a+bi e b+ai são os mesmos números
>
> Não são.
>
> 4+5i e 5+4i são diferentes, e 4+5i < 5+4i por essas regras.
>
> >
> > Em seg, 26 de abr de 2021 13:36, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
> >>
> >> Em qui., 22 de abr. de 2021 às 07:19, Israel Meireles Chrisostomo
> >>  escreveu:
> >> >
> >> > Me desculpem se eu estou falando bobagem, mas considere uma função
> com domínio complexo, então essa função não pode ser bijetora, pois toda
> função bijetora ou é crescente ou é decrescente, mas não há ordem nos
> complexos
>
> Você não entendeu nada aqui, suponho. Primeiramente, funções não são
> coisas limitadas a números.
>
> Segundamente, quando usamos esse teorema de que funções contínuas são
> monótonas, é óbvio que estamos supondo de antemão que estamos
> trabalhando com um sistema numérico que admita a ideia de ordem.
> Especialmente, a de um corpo ordenado completo.
>
> Por exemplo, não faz sentido falar de "continuidade" quando se fala de
> funções de naturais para naturais, porque números naturais não formam
> um sistema numérico contínuo.
>
> >>
> >> Não é correto dizer que não existe ordem nos complexos. É só atribuir
> >> o seguinte: o complexo A é maior que o complexo B se e somente se ou o
> >> módulo de A é maior que o de B ou os módulos são iguais mas o
> >> argumento de A é maior que o de B (tomando este módulo no intervalo de
> >> 0 a tau).
> >>
> >> >
> >> > --
> >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> > acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>  acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >>
> =
> >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >>
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> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
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> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
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Israel Meireles Chrisostomo

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função

2021-05-19 Por tôpico Anderson Torres

Em seg., 26 de abr. de 2021 às 17:18, Israel Meireles Chrisostomo
 escreveu:
>
> Mas aí então a+bi e b+ai são os mesmos números

Não são.

4+5i e 5+4i são diferentes, e 4+5i < 5+4i por essas regras.

>
> Em seg, 26 de abr de 2021 13:36, Anderson Torres 
>  escreveu:
>>
>> Em qui., 22 de abr. de 2021 às 07:19, Israel Meireles Chrisostomo
>>  escreveu:
>> >
>> > Me desculpem se eu estou falando bobagem, mas considere uma função com 
>> > domínio complexo, então essa função não pode ser bijetora, pois toda 
>> > função bijetora ou é crescente ou é decrescente, mas não há ordem nos 
>> > complexos

Você não entendeu nada aqui, suponho. Primeiramente, funções não são
coisas limitadas a números.

Segundamente, quando usamos esse teorema de que funções contínuas são
monótonas, é óbvio que estamos supondo de antemão que estamos
trabalhando com um sistema numérico que admita a ideia de ordem.
Especialmente, a de um corpo ordenado completo.

Por exemplo, não faz sentido falar de "continuidade" quando se fala de
funções de naturais para naturais, porque números naturais não formam
um sistema numérico contínuo.

>>
>> Não é correto dizer que não existe ordem nos complexos. É só atribuir
>> o seguinte: o complexo A é maior que o complexo B se e somente se ou o
>> módulo de A é maior que o de B ou os módulos são iguais mas o
>> argumento de A é maior que o de B (tomando este módulo no intervalo de
>> 0 a tau).
>>
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função parte inteira

2021-02-03 Por tôpico Ralph Costa Teixeira

Hm, confere o enunciado - era parte inteira, ou inteiro mais proximo?

On Wed, Feb 3, 2021, 18:39 joao pedro b menezes 
wrote:

> Obrigado pela dica! Honestamente creio que existe um erro nesse problema.
> Fazendo alguns casos na mão é possivel perceber que isso sempre resulta em
> 8n + 7. Essa é a prova:
> "Provar que ( n^(1/3) + ( n + 2)^(1/3) )³  < 8n + 8. Abrindo a potência,
> temos:
> 2n + 2 + 3 * ( (n² ( n + 2))^(1/3) + (n(n + 2)²)^(1/3)) < 8n + 8
>   (n² ( n + 2))^(1/3) + (n(n + 2)²)^(1/3)   < 2n + 2
> Porém temos que  (n² ( n + 2))^(1/3) < n + 2/3  , e  (n(n + 2)²)^(1/3) <
> n + 4/3 ( eu testei elevando ambos os lados ao cubo deu certo) . Isso
> confirma a inequação inicial.
> Agora se 8n + 7 <  ( n^(1/3) + ( n + 2)^(1/3) )³  o exercício acaba. De
> fato, trabalhando a expressão:
>(n² ( n + 2))^(1/3) + (n(n + 2)²)^(1/3)   > 2n + 5/3
> Mas novamente, tem se que  (n² ( n + 2))^(1/3) > n + 1/2 e  (n(n +
> 2)²)^(1/3) > n + 7/6 para qualquer n > 1 ( no caso n =1 basta testar na
> mão). E como 1/2 + 7/6 = 5/3 ,  tem se que ela é verdade, logo:
> 8n + 7 <  ( n^(1/3) + ( n + 2)^(1/3) )³  < 8n + 8 ==> [ ( n^(1/3) + ( n +
> 2)^(1/3) )³ ] = 8n + 7"
> Eu estranhei bastante porque nunca tinha acontecido de um exercicio do
> POTI estar errado.
> obs: Se a minha solução estiver errada de alguma forma, adoraria saber!
>
> On Wed, Feb 3, 2021 at 12:42 PM Ralph Costa Teixeira 
> wrote:
>
>> Sem tempo agora, mas olhando por alto eu aproximaria o que estah dentro
>> do () por 2(n+1)^(1/3), o que levaria imediatamente a 8(n+1). Serah que a
>> parte inteira daquela coisa eh 8(n+1)?
>>
>> Entao eu tentaria abrir os cubos, subtrair 8(n+1), e mostrar que o que
>> sobra eh menor que 1.
>>
>> Serah que funciona?
>>
>> On Wed, Feb 3, 2021 at 10:03 AM joao pedro b menezes <
>> joaopedrobmene...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Olá, estava tentando fazer esta questão:
>>>   Prove que [ ( n^(1/3) + (n + 2)^(1/3)  )³] é divisível por 8.
>>> obs: não tinha a tecla de função parte inteira, por isso escolhi [ ]
>>> Se alguém tiver alguma dica ou souber como resolver, ajudaria bastante.
>>>
>>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Desconhecida

2020-01-15 Por tôpico Luiz Antonio Rodrigues

Olá, Anderson!
Bom dia!
Visitei o site que você indicou.
É muito bom!
Muito obrigado!
Abs

Em qua, 15 de jan de 2020 8:11 AM, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em sex., 20 de dez. de 2019 às 18:24, Luiz Antonio Rodrigues
>  escreveu:
> >
> > Olá, Esdras!
> > Eu de novo!
> > Você, ou alguém do grupo, pode me indicar um bom material relacionado às
> funções transcendentes?
> > É um assunto que me interessa bastante!
> > Abraços!
> > Luiz
> >
> > Em sex, 20 de dez de 2019 4:38 PM, Esdras Muniz <
> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
> >>
> >> Acho que essa função é trancendente.
>
> Pelo que eu sei, existe um algoritmo (sim, um programa de computador)
> que verifica se uma funçao é ou não passível de "integração
> bonitinha".
>
> Sempre que a dúvida bater, use esse site:
>
> https://www.integral-calculator.com/
>
> >>
> >> Em sex, 20 de dez de 2019 14:42, Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
> >>>
> >>> Olá, pessoal!
> >>> Tudo bem?
> >>> Estou tentando, há alguns dias, resolver o seguinte problema:
> >>>
> >>> Preciso descobrir uma função f(x) cuja derivada é sen(x^3). Sabe-se
> que f(0)=2.
> >>>
> >>> Utilizei um software e mesmo assim não cheguei numa resposta para esta
> integral...
> >>> Alguém sabe se esta função é de algum tipo "especial"?
> >>> Muito obrigado!
> >>> Luiz
> >>>
> >>> --
> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Desconhecida

2020-01-15 Por tôpico Anderson Torres

Em sex., 20 de dez. de 2019 às 18:24, Luiz Antonio Rodrigues
 escreveu:
>
> Olá, Esdras!
> Eu de novo!
> Você, ou alguém do grupo, pode me indicar um bom material relacionado às 
> funções transcendentes?
> É um assunto que me interessa bastante!
> Abraços!
> Luiz
>
> Em sex, 20 de dez de 2019 4:38 PM, Esdras Muniz  
> escreveu:
>>
>> Acho que essa função é trancendente.

Pelo que eu sei, existe um algoritmo (sim, um programa de computador)
que verifica se uma funçao é ou não passível de "integração
bonitinha".

Sempre que a dúvida bater, use esse site:

https://www.integral-calculator.com/

>>
>> Em sex, 20 de dez de 2019 14:42, Luiz Antonio Rodrigues 
>>  escreveu:
>>>
>>> Olá, pessoal!
>>> Tudo bem?
>>> Estou tentando, há alguns dias, resolver o seguinte problema:
>>>
>>> Preciso descobrir uma função f(x) cuja derivada é sen(x^3). Sabe-se que 
>>> f(0)=2.
>>>
>>> Utilizei um software e mesmo assim não cheguei numa resposta para esta 
>>> integral...
>>> Alguém sabe se esta função é de algum tipo "especial"?
>>> Muito obrigado!
>>> Luiz
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

2018-05-13 Por tôpico Bruno Visnadi

Realmente eu me expressei mal ali. Eu quis dizer que o menor N deve ser 1,
2 ou 5.

Em 13 de maio de 2018 21:22, Jeferson Almir 
escreveu:

> Boa noite.
> Eu só não entendi essa passagem
>  “ Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
> menores ou iguais a 5).“
> Pois pra mim eu teria que levar em conta somente os divisores de 50
>
> Em dom, 13 de mai de 2018 às 19:43, Bruno Visnadi <
> brunovisnadida...@gmail.com> escreveu:
>
>> Não sei se ficou meio confuso:
>> De fato a função é injetiva, pois se f(a) = f(b) então f^50(a) = f^50(b)
>> e a = b. E claramente é sobrejetiva, portanto, é bijetiva. Existem 5! = 120
>> bijeções de S em S. Vamos descontar as que não tem a propriedade desejada.
>> Em cada bijeção de S em S, dado um a, existe um menor N tal que f^N(a) =
>> a. Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
>> menores ou iguais a 5).
>> Se existem um a cujo N é igual a 3, temos um caso em que f(a) = b, f(b)
>> = c e f(c) = a . Existem 10 maneiras de escolher a, b, c de S, duas
>> maneiras de escolher o 'ciclo' entre eles (a->b->c ou a->c->b), e mais 2
>> maneiras de escolher a imagem dos outros 2 elementos (se forem x e y,
>> podemos ter f(x) = x e f(y) = y ou f(x) = y e f(y) = x). Então temos 10*2*2
>> = 40 funções deste tipo.
>> Se existe um a cujo N é igual a 4, temos um caso em que f(a) = b, f(b) =
>> c e f(c) = d e f(d) = a. Temos 5 maneiras de escolher estes 4 elementos de
>> S, e mais 6 maneiras de ordenar o 'ciclo' entre eles (basta fixar um deles
>> e vemos que são 3! maneiras). Então 6*5 = 30 funções deste tipo.
>> Logo a quantidade de funções com as propriedades que buscamos é 120-40-30
>> = 50.
>>
>> Em 13 de maio de 2018 18:03, Jeferson Almir 
>> escreveu:
>>
>>> Seja S = { 1,2,3,4,5 }, quantas são as funções de f: S -> S tais que
>>> f^50(x)= x para todo x pertencente a S ?? ( f^50(x) = fofofo...of(x)
>>> Eu provei que ela era injetiva e acho que provei também que ela era
>>> sobrejetiva mas minha resposta dar 45 . O gabarito diz que são 50. Desde já
>>> agradeço qualquer ajuda.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

2018-05-13 Por tôpico Jeferson Almir

Valeu Raph e os demais. Aprendi muito com vcs!!

Em sáb, 12 de mai de 2018 às 20:25, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Oops, eh verdade, esqueci de mostrar que f nao tem ponto fixo em Z_2005
> (obviamente f nao tem ponto fixo, pois f(f(a))<>a).
>
> Suponha por absurdo que f(a)=a+K.2005 para algum a em {0,1,...2004}, com K
> natural. Entao f(a+K.2005)=f(f(a))=a+2005. Agora, usando nossa
> propriedadezinha:
>
> f(a+K.2005)-f(a)=K.2005
> a+2005 - (a+K.2005) = K.2005
> K = 1/2 (absurdo).
>
> Abraco, Ralph.
>
>
>
> 2018-05-12 2:49 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com>:
>
>> Oi Ralph,
>>
>> 2018-05-11 20:03 GMT-03:00 Ralph Teixeira :
>> > (Vou supor que 0 eh natural; se nao for, apenas troque 0 por 2005 ali
>> > embaixo e ajeite as coisas)
>> >
>> > Primeiro: f eh injetiva. De fato, f(a)=f(b) => f(f(a))=f(f(b)) =>
>> > a+2005=b+2005 => a=b.
>> >
>> > Segundo: para todo n natural, f(n+2005)=f(f(f(n)))=f(n)+2005. Portanto,
>> por
>> > indução, para qualquer K natural, tem-se
>> > f(n+K.2005)=f(n)+K.2005, ou seja, f(n+K.2005)-f(n)=K.2005.
>> >
>> > VERSÃO CURTA COM TERMINOLOGIA "MOD":
>> > Ou seja, mostramos que   a=b (mod 2005) => f(a)=f(b) (mod 2005).
>> > Agora, se f(m)=n (mod 2005), entao f(n)=f(f(m))=m+2005=m (mod 2005). Ou
>> > seja, f estah bem definida e eh sua propria inversa em Z_2005, o que eh
>> > absurdo, pois Z_2005 tem um numero impar de elementos.
>>
>> Peraí, não entendi direito... se f(n) == n (mod 2005), temos uma
>> função que é sua própria inversa mod 2005.  Temos que excluir este
>> caso...
>>
>> > 2018-05-11 10:42 GMT-03:00 Jeferson Almir :
>> >>
>> >> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005
>> ???
>> >>
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

2018-05-12 Por tôpico Ralph Teixeira

Oops, eh verdade, esqueci de mostrar que f nao tem ponto fixo em Z_2005
(obviamente f nao tem ponto fixo, pois f(f(a))<>a).

Suponha por absurdo que f(a)=a+K.2005 para algum a em {0,1,...2004}, com K
natural. Entao f(a+K.2005)=f(f(a))=a+2005. Agora, usando nossa
propriedadezinha:

f(a+K.2005)-f(a)=K.2005
a+2005 - (a+K.2005) = K.2005
K = 1/2 (absurdo).

Abraco, Ralph.



2018-05-12 2:49 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com>:

> Oi Ralph,
>
> 2018-05-11 20:03 GMT-03:00 Ralph Teixeira :
> > (Vou supor que 0 eh natural; se nao for, apenas troque 0 por 2005 ali
> > embaixo e ajeite as coisas)
> >
> > Primeiro: f eh injetiva. De fato, f(a)=f(b) => f(f(a))=f(f(b)) =>
> > a+2005=b+2005 => a=b.
> >
> > Segundo: para todo n natural, f(n+2005)=f(f(f(n)))=f(n)+2005. Portanto,
> por
> > indução, para qualquer K natural, tem-se
> > f(n+K.2005)=f(n)+K.2005, ou seja, f(n+K.2005)-f(n)=K.2005.
> >
> > VERSÃO CURTA COM TERMINOLOGIA "MOD":
> > Ou seja, mostramos que   a=b (mod 2005) => f(a)=f(b) (mod 2005).
> > Agora, se f(m)=n (mod 2005), entao f(n)=f(f(m))=m+2005=m (mod 2005). Ou
> > seja, f estah bem definida e eh sua propria inversa em Z_2005, o que eh
> > absurdo, pois Z_2005 tem um numero impar de elementos.
>
> Peraí, não entendi direito... se f(n) == n (mod 2005), temos uma
> função que é sua própria inversa mod 2005.  Temos que excluir este
> caso...
>
> > 2018-05-11 10:42 GMT-03:00 Jeferson Almir :
> >>
> >> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005
> ???
> >>
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

2018-05-11 Por tôpico Bruno Visnadi

 Vou considerar que 0 é natural (para N = {1, 2, 3...} a prova é análoga).
Lema 1: f é injetora.
Prova: Se f(a) = f(b) então f(f(a)) = f(f(b)) e a = b.
Lema 2: Se f(a) > 2004, então a está na imagem de f.
Prova: Se f(a) > 2004, então f(f(f(a) - 2005)) = f(a). Como a função é
injetora, f(f(a) - 2005) = a.
Suponha que existe uma função f, N -> N, tal que f(f(n)) = n + 2005.
Seja S o conjunto dos 2005 naturais [0, 2004]. Suponha que existam 1003
elementos t de S tais que f(t) ∈ S. Portanto, há no máximo 1002 elementos t
de S tais que f(t) ∉ S. Assim, uma vez que a função é injetora, pelo
princípio das casas dos pombos haveria um elemento t tal que f(f(t)) ∈ S ⇒
2015 + t  ∈ S, absurdo, pois 2005 + t > 2004.

Então existem pelo menos 1003 elementos t de S com f(t) > 2004. Sejam a1,
a2 (...) a1003 tais elementos. Pelo Lema 2, estes números estão na imagem
de f. Então existem 1003 números b1, b2, (...) b1003 tais que f(b1) = a1,
f(b2) = a2, (...) f(b1003) = a1003. Não podem haver i e j tais que bi = aj,
pois f(bi) < 2005 e f(aj) > 2004. Assim, se bi ∈ S, bi é um dos 1002
elementos t de S com f(t) ∈ S. Mas existem 1003 números bi, portanto, ao
menos um deles não pertence a S. Seja bk tal elemento, com f(bk) = ak. Pelo
Lema 2, bk está na imagem de f, então existe c com f(c) = bk ⇒ f(f(c)) =
f(bk) ⇒ 2005 + c = ak. Absurdo, pois ak < 2005.

Portanto, não existe tal f.

Em 11 de maio de 2018 18:46, Rodrigo Ângelo 
escreveu:

> acho que, de forma mais geral, não pode existir nenhuma f: |N -> |N, tal
> que f(f(n)) = n*p(n) + i, onde g(n) seja qualquer polinômio natural de n e
> i é um número ímpar
>
> On Fri, May 11, 2018 at 6:37 PM Rodrigo Ângelo 
> wrote:
>
>> Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m, onde
>> g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero
>> f(f(n)) = g(f(n)) + m
>>
>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos
>> g(f(n)) + m = n  + 2005
>> g(f(n)) = n  + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é um
>> polinômio, que é um absurdo.
>>
>> On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo 
>> wrote:
>>
>>> Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é
>>> um polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial
>>>
>>> On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica <
>>> saldana...@pucp.edu.pe> wrote:
>>>
 com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais
 geral

 El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo 
 escribió:

> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
> teríamos
> f(f(n)) = a(an + m) + m
> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>
> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m
> deve ser um número natural.
>
> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir <
> jefersonram...@gmail.com> wrote:
>
>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n +
>> 2005 ???
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Artur Costa Steiner

Isso é consequência do fato de que x —> sen(x^2) é contínua mas não 
uniformemente contínua.  

Artur


Enviado do meu iPad

Em 14 de abr de 2018, à(s) 1:10 PM, Claudio Buffara  
escreveu:

> Que tal comeÃ§ar provando que x --> sen(x^2) nÃ£o Ã© periÃ³dica?
> 
> 2018-04-14 13:04 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> Eu tambÃ©m fiquei inseguro em relaÃ§Ã£o a isso e tambÃ©m notei que nÃ£o usei 
>> (pelo menos nÃ£o explicitamente) a continuidade de f.
>> 
>> Mas g(raiz(x+kT)) = g(raiz(x+(k+1)T) nÃ£o sÃ³ para um nÃºmero x fixo, mas 
>> para cada x >= -kT: um intervalo infinito.
>> SerÃ¡ que isso nÃ£o Ã© suficiente para estabelecer a periodicidade de g?
>> 
>> []s,
>> Claudio.
>> 
>> 
>> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa 
>> :
>>> Oi Claudio,
>>> 
>>> 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>>> > f Ã© periÃ³dica (digamos, de perÃodo T > 0).
>>> >
>>> > Suponhamos que g tambÃ©m seja periÃ³dica, digamos de perÃodo P.
>>> >
>>> > Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>>> > f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>>> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>>> 
>>> nÃ£o Ã© verdade que, se g(x) Ã© periÃ³dica, e g(x) = g(y), entÃ£o x - y Ã©
>>> mÃºltiplo do perÃodo.Â  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
>>> todo a.
>>> 
>>> > Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>>> > raiz(x+kT) tÃ£o pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que 
>>> > contraria
>>> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>>> 
>>> Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que vocÃª falou sobre o
>>> limite da diferenÃ§a das raÃzes em PA, mas acho que Ã© um pouco mais
>>> complicado.Â  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
>>> contÃnua"...
>>> 
>>> > 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>> >>
>>> >> Suponhamos que f:R â€”> R seja contÃnua, periÃ³dica e nÃ£o constante. 
>>> >> Mostre
>>> >> que g(x) = f(x^2) nÃ£o Ã© periÃ³dica.
>>> >>
>>> >> Artur
>>> 
>>> AbraÃ§os,
>>> -- 
>>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
>>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> 
>>> =
>>> Instruï¿½Ãµes para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>> 
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Pedro Angelo

Eu imagino que a continuidade de f seja necessária para esse problema.
Estou tentando aqui, mas não consigo encontrar um exemplo de função f
periódica descontínua (em todos os pontos) tal que g seja periódica.
Alguém tem alguma ideia?

2018-04-14 13:50 GMT-03:00 Pedro Angelo :
> Aparentemente, a minha foi desnecessariamente complicada mesmo. De
> qualquer forma, acho que a ideia é a mesma né: usar o fato de que g
> oscila cada vez mais rápido à medida que x-->oo.
>
> 2018-04-14 13:36 GMT-03:00 Artur Steiner :
>> A prova que encontrei baseia-se no fato de que, se g é contínua e periódica,
>> então g é unformemente contínua.
>>
>> Sendo a composição de duas funcões contínuas, f e x --> x^2, g é contínua.
>> Vamos mostrar que não é uniformemente contínua, o que implica que não seja
>> periódica.
>>
>> Como f não é constante, existem a e b com f(a) <> f(b). Sendo contínua,
>> periódica e não constante, f tem um período fundamental p > 0. Definamos
>> duas sequências por u_n = raiz(a + np) e v_n = raiz(b + np). Então, u_n -
>> v_n --> 0. Mas como para todo n g(u_n) - g(v_n) = f(a + np) - f(b + np) =
>> f(a) - f(b) <> 0, g(u_n) - g(v_n) não converge para 0. Logo, g não é
>> uniformemente contínua e, portanto, não é periódica.
>>
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> Em 14 de abr de 2018 11:02, "Claudio Buffara" 
>> escreveu:
>>
>> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>>
>> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>>
>> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que contraria
>> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>>
>>
>>
>>
>> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>>
>>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
>>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>>>
>>> Artur
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Pedro Angelo

Aparentemente, a minha foi desnecessariamente complicada mesmo. De
qualquer forma, acho que a ideia é a mesma né: usar o fato de que g
oscila cada vez mais rápido à medida que x-->oo.

2018-04-14 13:36 GMT-03:00 Artur Steiner :
> A prova que encontrei baseia-se no fato de que, se g é contínua e periódica,
> então g é unformemente contínua.
>
> Sendo a composição de duas funcões contínuas, f e x --> x^2, g é contínua.
> Vamos mostrar que não é uniformemente contínua, o que implica que não seja
> periódica.
>
> Como f não é constante, existem a e b com f(a) <> f(b). Sendo contínua,
> periódica e não constante, f tem um período fundamental p > 0. Definamos
> duas sequências por u_n = raiz(a + np) e v_n = raiz(b + np). Então, u_n -
> v_n --> 0. Mas como para todo n g(u_n) - g(v_n) = f(a + np) - f(b + np) =
> f(a) - f(b) <> 0, g(u_n) - g(v_n) não converge para 0. Logo, g não é
> uniformemente contínua e, portanto, não é periódica.
>
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em 14 de abr de 2018 11:02, "Claudio Buffara" 
> escreveu:
>
> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>
> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>
> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que contraria
> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>
>
>
>
> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>
>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>>
>> Artur
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Pedro Angelo

Vou seguir um caminho diferente do que vcs estavam seguindo, porque
sou ruim com demonstrações mais algébricas :)

Sabemos que f é periódica. Para facilitar as contas, digamos que 1
seja período de f (se não for, adaptar a demonstração é fácil).
Digamos que g seja periódica, de período T.

Vamos olhar para a parte positiva dos domínios de f e de g. Na
semireta positiva, x-->x^2 é uma bijeção. Como o Claudio já mencionou
lá em cima, quando transpomos o domínio de g de volta para o de f
através dessa bijeção, as transposições dos períodos de f ficam cada
vez menores à medida que os valores aumentam. O "primeiro período" de
f é [0,1], que é levado em [0,1]. O segundo é [1,2], levado em
[1,sqrt(2)]. O n-ésimo é [n,n+1], e é levado em [sqrt(n),sqrt(n+1)],
que tem tamanho igual a sqrt(n+1)-sqrt(n) = 1/(sqrt(n)+sqrt(n+1)), que
tende a zero.

Isso tudo significa que, quando olhamos para x-->oo no domínio de g,
cada período [kT, (k+1)T] de g engloba uma quantidade cada vez maior
de períodos de f. Em particular, à medida que esse k aumenta,
conseguimos fazer com que o intervalo [kT,kT+epsilon] englobe um
período inteiro de f, e o menor epsilon necessário para isso tende a
zero quando k-->

Como [kT,kT+epsilon] engloba um período inteiro de f, a imagem desse
intervalo sob g é igual à imagem (global) de f. Como g é periódica,
essa imagem é a mesma que a imagem do intervalo [0,epsilon] sob g.
Resumindo: para qualquer epsilon, a imagem do intervalo [0,epsilon]
sob g é igual à imagem de f. Como f é contínua não-constante, a sua
imagem é um intervalo fechado [a,b] com b>a. Isso significa que g não
pode ser contínua em 0.

Não sei se isso foi tiro de canhão para matar mosca, talvez a
demonstração algébrica seja mais simples, mas eu gosto dessa :)

2018-04-14 13:27 GMT-03:00 Pedro Angelo :
> Acho que a definição mais abrangente de "função periódica" é "qualquer
> função que apresente um período".  Um "período" é qualquer número
> positivo T tal que para todo x, f(x+T)=f(x). Eu dei o exemplo da
> função indicadora dos racionais ali em cima: f(x)=1 quando x é
> racional, e f(x)=0 quando x é irracional. Essa função é "periódica"
> nessa definição, pois qualquer número racional é um período dessa
> função (ou seja, se r é racional, então para todo x, f(x)=f(x+r)). Mas
> essa função não apresenta um "menor período", justamente porque não
> existe um menor racional negativo.
>
> Acho que matei a questão do g não ser periódica, mas na verdade não
> precisei usar o fato de que f tem período fundamental, mas usei uma
> ideia parecida. Vou enviar daqui a pouco.
>
> 2018-04-14 13:15 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> Mas a existência de um período fundamental (o menor real positivo T tal que
>> f(x) = f(x+T) para todos x, x + T no domínio de f) não é o que define uma
>> função periódica não-constante (contínua ou não)?
>>
>>
>> 2018-04-14 13:03 GMT-03:00 Pedro Angelo :
>>>
>>> Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei
>>> provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de
>>> que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período
>>> fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não
>>> apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos
>>> racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há
>>> período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da
>>> função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual
>>> para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à
>>> oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa
>>> oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero,
>>> então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é
>>> contínua em nenhum ponto.
>>>
>>> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>> :
>>> > Oi Claudio,
>>> >
>>> > 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>>> >> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>>> >>
>>> >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>>> >>
>>> >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>>> >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>>> >
>>> > não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
>>> > múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
>>> > todo a.
>>> >
>>> >> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>>> >> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
>>> >> contraria
>>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>>> >
>>> > Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
>>> > limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
>>> > complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
>>> > contínua"...
>>> >
>>>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Pedro Angelo

Acho que a definição mais abrangente de "função periódica" é "qualquer
função que apresente um período".  Um "período" é qualquer número
positivo T tal que para todo x, f(x+T)=f(x). Eu dei o exemplo da
função indicadora dos racionais ali em cima: f(x)=1 quando x é
racional, e f(x)=0 quando x é irracional. Essa função é "periódica"
nessa definição, pois qualquer número racional é um período dessa
função (ou seja, se r é racional, então para todo x, f(x)=f(x+r)). Mas
essa função não apresenta um "menor período", justamente porque não
existe um menor racional negativo.

Acho que matei a questão do g não ser periódica, mas na verdade não
precisei usar o fato de que f tem período fundamental, mas usei uma
ideia parecida. Vou enviar daqui a pouco.

2018-04-14 13:15 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> Mas a existência de um período fundamental (o menor real positivo T tal que
> f(x) = f(x+T) para todos x, x + T no domínio de f) não é o que define uma
> função periódica não-constante (contínua ou não)?
>
>
> 2018-04-14 13:03 GMT-03:00 Pedro Angelo :
>>
>> Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei
>> provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de
>> que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período
>> fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não
>> apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos
>> racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há
>> período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da
>> função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual
>> para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à
>> oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa
>> oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero,
>> então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é
>> contínua em nenhum ponto.
>>
>> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> :
>> > Oi Claudio,
>> >
>> > 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> >> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>> >>
>> >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>> >>
>> >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>> >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>> >
>> > não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
>> > múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
>> > todo a.
>> >
>> >> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>> >> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
>> >> contraria
>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>> >
>> > Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
>> > limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
>> > complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
>> > contínua"...
>> >
>> >> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner
>> >> :
>> >>>
>> >>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante.
>> >>> Mostre
>> >>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>> >>>
>> >>> Artur
>> >
>> > Abraços,
>> > --
>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >  acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> >
>> > =
>> > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> >
>> > =
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Claudio Buffara

Mas a existência de um período fundamental (o menor real positivo T tal que
f(x) = f(x+T) para todos x, x + T no domínio de f) não é o que define uma
função periódica não-constante (contínua ou não)?


2018-04-14 13:03 GMT-03:00 Pedro Angelo :

> Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei
> provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de
> que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período
> fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não
> apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos
> racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há
> período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da
> função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual
> para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à
> oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa
> oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero,
> então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é
> contínua em nenhum ponto.
>
> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
> :
> > Oi Claudio,
> >
> > 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> >> f é periódica (digamos, de período T > 0).
> >>
> >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
> >>
> >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
> >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
> >
> > não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
> > múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
> > todo a.
> >
> >> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
> >> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
> contraria
> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
> >
> > Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
> > limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
> > complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
> > contínua"...
> >
> >> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner  >:
> >>>
> >>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante.
> Mostre
> >>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
> >>>
> >>> Artur
> >
> > Abraços,
> > --
> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >  acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > 
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> > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > 
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Claudio Buffara

Que tal começar provando que x --> sen(x^2) não é periódica?

2018-04-14 13:04 GMT-03:00 Claudio Buffara :

> Eu também fiquei inseguro em relação a isso e também notei que não usei
> (pelo menos não explicitamente) a continuidade de f.
>
> Mas g(raiz(x+kT)) = g(raiz(x+(k+1)T) não só para um número x fixo, mas
> para cada x >= -kT: um intervalo infinito.
> Será que isso não é suficiente para estabelecer a periodicidade de g?
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com>:
>
>> Oi Claudio,
>>
>> 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> > f é periódica (digamos, de período T > 0).
>> >
>> > Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>> >
>> > Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>> > f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>>
>> não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
>> múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
>> todo a.
>>
>> > Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>> > raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
>> contraria
>> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>>
>> Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
>> limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
>> complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
>> contínua"...
>>
>> > 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner > >:
>> >>
>> >> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante.
>> Mostre
>> >> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>> >>
>> >> Artur
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Claudio Buffara

Eu também fiquei inseguro em relação a isso e também notei que não usei
(pelo menos não explicitamente) a continuidade de f.

Mas g(raiz(x+kT)) = g(raiz(x+(k+1)T) não só para um número x fixo, mas para
cada x >= -kT: um intervalo infinito.
Será que isso não é suficiente para estabelecer a periodicidade de g?

[]s,
Claudio.


2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com>:

> Oi Claudio,
>
> 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> > f é periódica (digamos, de período T > 0).
> >
> > Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
> >
> > Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
> > f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>
> não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
> múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
> todo a.
>
> > Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
> > raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
> contraria
> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>
> Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
> limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
> complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
> contínua"...
>
> > 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner  >:
> >>
> >> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
> >> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
> >>
> >> Artur
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

2018-04-14 Por tôpico Pedro Angelo

Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei
provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de
que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período
fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não
apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos
racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há
período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da
função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual
para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à
oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa
oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero,
então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é
contínua em nenhum ponto.

2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
:
> Oi Claudio,
>
> 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>>
>> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>>
>> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>
> não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
> múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
> todo a.
>
>> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que contraria
>> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>
> Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
> limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
> complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
> contínua"...
>
>> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>>
>>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
>>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>>>
>>> Artur
>
> Abraços,
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> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função

2015-09-02 Por tôpico Pedro José

Boa tarde!

Não tinha me atentado. Porém, novamente creio que não exista esse n.

seja (i) a + 1 = a * e^(1/6x) ==> log (a+1) = log a* 1/6x ==> 1/6x =
log(a=1) - log a ==> 1/6x = log ( (a+1)/a)

Seja f(a) = (a+1)/a ==> F(a) é monótona decrescente para a > 0 ==> (a+1)/a
<= (1+1)/2, para todo a >0 ==>

==> (a+1)/a <= 2 , e , para todo a > 0 ==> log ( (a+1)/a) < 0 ==> que não
existe natural tal que (i) seja atendida (ii)

Seja f(x) = x^(2x+1) + 1 e h(x) = x^(2x+1) *e^(1/6x) ==> f(1) = 33 < g(1) =
34,78.

Como f(x) e g (x) são contínuas, para que exista n > 0 | f(x) > g(x), para
todo x >=n teríamos que ter um
x* > 1  | f(x*) = g (x*), mas por (ii) é absurdo.

Embora tenha, a princípio, lhe trazido essa frustação, gostaria de externar
minha admiração pela sua sede de conhecimento. Se tivesse essa perseverança
quando ainda jovem, certamente teria ido mais longe.

Saudações,
PJMS.








Saudações,
PJMS

Em 1 de setembro de 2015 19:17, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Na verdade Pedro José, eu não preciso que seja maior do que 1 para todos
> os inteiros, o que preciso é que seja maior do que 1 para algum inteiro x=n
> e para todos os inteiros maiores do que esse inteiro, aí consigo provar o
> que eu quero...E aí é possível?Por isso que citei provar que ocorre a
> igualdade para algum natural e depois notar h'(x)
> Em 31 de agosto de 2015 09:55, Pedro José  escreveu:
>
>> Infelizmente não.
>> Já falha em x = 2.
>>
>> 2^5+1 < 2^5*e^(1/12)
>> 32 < 34,78
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em 29 de agosto de 2015 19:30, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> É possível provar para x inteiro positivo que a função definida por
>>> f(x)=(x^{2x+1}+1)/(x^{2x+1}e^{1/(6x)}) é maior do que 1?Ou seja provar que
>>> f(x)>1?
>>> Por exemplo, eu poderia definir g(x)=x^{2x+1}+1 e
>>> h(x)=x^{2x+1}e^{1/(6x)}, com isso f(x) fica definida como o quociente
>>> f(x)=g(x)/h(x), depois disso devo provar que existe um x tal que h(x)=g(x)
>>> e depois é fácil observar que h(x) cresce mais devagar do que g(x), pois o
>>> fator e^{1/(6x)} decresce quando x cresce, isto é possível?Alguém poderia
>>> me ajudar a provar isto?Na verdade eu não sei se f(x) é maior do que 1 para
>>> x>0, na realidade estou precisando dessa desigualdade para provar a
>>> irracionalidade de e.π...
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função

2015-08-13 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo

Eu quero uma função assim pq eu queria provar a bijetividade de um
intervalo de R com R, o raciocínio está no novo post que postei aqui, vcs
podiam me ajudar a verificar a correção do raciocínio...obrigado gente

Em 13 de agosto de 2015 20:07, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2015-08-13 19:38 GMT-03:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com:
  Tecnicamente, eu diria que f(x)=0 faz o que voce pediu.
 E sin(x) ? Mas a pergunta sobre a pergunta Ã©: porquÃª vocÃª quer uma
 funÃ§Ã£o assim?

 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função periódica

2013-06-24 Por tôpico LEANDRO L RECOVA

Seja I=[0,T] o intervalo em que f:R-R e periodica. Como f e continua e 
definida sobre um conjunto compacto, entao f admite maximo e minimo. 

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função periódica 
Date: Mon, 24 Jun 2013 15:30:13 +




valeu,Saulo!

Date: Sun, 23 Jun 2013 18:27:20 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função periódica
From: saulo.nil...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

procurando x1  f(x1)=0, se x1 e raiz entao 
x1+p tambem e logo o grafico da funçao corta o eixo x em dois pontos tendo um 
maximo ou um minimo.



2013/5/1 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com




Uma função f:R-R é dita periódica quando existe um número real p  0,tal que 
f(x) = f(x + p),para
todo x real.Prove que toda função periódica continua admite máximo e admite 
mínimo
  




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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Função trigonométrica sem período

2013-03-10 Por tôpico Artur Costa Steiner

É verdade Bernardo! Supondo que f seja diferenciável. Se não for, acho que vai 
ser bem difícil analisar. 

Abraços

Artur Costa Steiner

Em 10/03/2013, às 10:18, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2013/3/10 Artur Costa Steiner artur_stei...@yahoo.com:
 OK. Sabemos então que, se f é contínua, periódica e não constante, então,
 para todo a  0, diferente de 1, g(x) = f(x^a) não é periódica. E se a  1,
 também não é uniformemente contínua. Para a em (0, 1) acho que também não é
 uniformemente contínua.
 
 Se 0  a  1, g é uniformemente contínua. Da mesma forma que a raiz
 quadrada é uniformemente contínua sem ser Lipschitz.
 
 - Para x em [0, 1], g(x) é contínua num intervalo compacto, logo g é
 uniformemente contínua.
 
 - Para x em [1, infinito), g'(x) = f'(x) * a * x^(a-1). Como f é
 periódica, f'(x) é limitada em [1, infinito), e como a  1 o fator
 restante é menor do que 1 (e tende a zero), logo g é uniformemente
 contínua porque de derivada limitada.
 
 Logo g é uniformemente contínua na reta inteira.
 
 Abraços,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Bijetiva

2011-05-13 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa

2011/5/13 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com:
 Olá a todos, seguinte o livro que foi retirado o problema é Set Theory, cujo
 autor Charles C. Pinter, Bucknell Unniversity, publicado pela Addison-Wesley
 Publishing Company na década de 70.

 Problema:

 A~B iff A is one-to-one correspondence with B.

 1. Suppose that A ~ B, a \in A, and b \in B. Prove that (A - {a}) ~ (B -
 {b}).

 2. Suppose that A ~ B, C ~ D, C \cup A and D \cup B. Prove that (A - C) ~ (B
 - D).

 De fato, havia esquecido da bijeção entre C e D.
Como eu disse e o Ralph provou, ainda falta alguma coisa. Tipo uma
hipótese de que C e D são finitos, para você poder usar recorrência da
propriedade 1. ; sem isso, continua falso.
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa



 Em 9 de maio de 2011 23:23, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 É, tome A=B=D=Z e C=N.

 Então existe uma bijeção I:A-B (a identidade);
 e existe uma bijeção f:C-D (levando {0,1,2,...} em
 {0,-1,1,-2,2,-3,...}, respectivamente)

 Mas não há bijeção de A-C=Z_{-} em B-D=vazio!

 Abraço,
        Ralph


 --

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Bijetiva

2011-05-13 Por tôpico Pedro Júnior

Em 13 de maio de 2011 13:42, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2011/5/13 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com:
  Olá a todos, seguinte o livro que foi retirado o problema é Set Theory,
 cujo
  autor Charles C. Pinter, Bucknell Unniversity, publicado pela
 Addison-Wesley
  Publishing Company na década de 70.
 
  Problema:
 
  A~B iff A is one-to-one correspondence with B.
 
  1. Suppose that A ~ B, a \in A, and b \in B. Prove that (A - {a}) ~ (B -
  {b}).
 
  2. Suppose that A ~ B, C ~ D, C \cup A and D \cup B. Prove that (A - C) ~
 (B
  - D).
 
  De fato, havia esquecido da bijeção entre C e D.
 Como eu disse e o Ralph provou, ainda falta alguma coisa. Tipo uma
 hipótese de que C e D são finitos, para você poder usar recorrência da
 propriedade 1. ; sem isso, continua falso.
 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 Não Bernardo, veja que entre C e D existe uma bijeção, ou seja, esta é a
 hipótese que faltava, agora falta provar!


   Em 9 de maio de 2011 23:23, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
 escreveu:
 
  É, tome A=B=D=Z e C=N.
 
  Então existe uma bijeção I:A-B (a identidade);
  e existe uma bijeção f:C-D (levando {0,1,2,...} em
  {0,-1,1,-2,2,-3,...}, respectivamente)
 
  Mas não há bijeção de A-C=Z_{-} em B-D=vazio!
 
  Abraço,
 Ralph
 
 
  --

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =




-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável

2011-03-08 Por tôpico Artur Costa Steiner

P

Em mar 7, 2011 5:45 PM, Samuel Wainer sswai...@hotmail.comescreveu:

 Brigadão Marcelo,
Fiquei travado nesse exercício um tempão.
Eu estudo sozinho e quando surge uma dúvida assim me ferro.
Você explicou bem tranquilo que eu fiquei com vontade de perguntar uma
última coisinha, sem abusar:

Por exemplo, pra mostrar que a função f(x,y) = sqrt(|xy|) não é
diferenciável em (0,0), pelo que vi no livro, tomo a derivada direcional na
direção (1,1) e mostro que a mesma não existe. Beleza. Mas a minha dúvida
acho que é mais conceitual. Por que que o fato de uma derivada direcional
não existir implica que a função não diferenciável?

Desde já agradeço.


--
Date: Mon, 7 Mar 2011 17:12:04 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
CC: sswai...@hotmail.com

Olá, Samuel, Se t != 0, temos: h(t) = f(tx) = |tx| . g(tx/|tx|) Para t0,
temos: |tx| = t|x| = ...

[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável

2011-03-07 Por tôpico Artur Steiner


Porque se f for derivável em algum a de R^n, então todas as suas derivadas 
direcionais existem em a e são dadas por grad f(a) . u, onde grad f(a) designa 
o gradiente de f em a, . designa produto escalar e u é o vetor unitário em uma 
dada direção. Se uma das derivadas direcionais não existir, então, por 
contraposição, segue-se que f não é derivável em a.
 
Artur
 
 


From: sswai...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br; msbro...@gmail.com
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável
Date: Mon, 7 Mar 2011 20:30:13 +




Brigadão Marcelo,
Fiquei travado nesse exercício um tempão. 
Eu estudo sozinho e quando surge uma dúvida assim me ferro. 
Você explicou bem tranquilo que eu fiquei com vontade de perguntar uma última 
coisinha, sem abusar:
 
Por exemplo, pra mostrar que a função f(x,y) = sqrt(|xy|) não é diferenciável 
em (0,0), pelo que vi no livro, tomo a derivada direcional na direção (1,1) e 
mostro que a mesma não existe. Beleza. Mas a minha dúvida acho que é mais 
conceitual. Por que que o fato de uma derivada direcional não existir implica 
que a função não diferenciável?
 
Desde já agradeço. 

 


Date: Mon, 7 Mar 2011 17:12:04 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
CC: sswai...@hotmail.com

Olá, Samuel, 


Se t != 0, temos:
h(t) = f(tx) = |tx| . g(tx/|tx|)


Para t0, temos:
|tx| = t|x| = h(t) = f(tx) = t|x| . g(x/|x|)


Para t0, temos:
|tx| = -t|x| = h(t) = f(tx) = -t|x| . g(-x/|x|) = t|x| . g(x/|x|)


Assim:
h(t) = t|x| . g(x/|x|) para t != 0.


Para t != 0, temos:
h'(t) = lim{k-0} [ h(t+k) - h(t) ] / k = lim{k-0} [ (t+k)|x| . g(x/|x|) - 
t|x| . g(x/|x|) ] / k = lim{k-0} |x|.g(x/|x|) = |x|.g(x/|x|)


Desta maneira, para t!=0, temos que a derivada de h é constante e tem valor 
|x|.g(x/|x|).


Abraços,
Salhab




2011/3/7 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com


Seja g uma função conínua sobre o círculo unitário {x em R^2: |x| = 1} tal que 
g(0,1) = g(1,0) = 0 e g(-x) = -g(x). Defina f: R^2 - R por:
 
 
f(x) = |x| . g(x\|x|) para x diferente de 0
   0 para x = 0
 
Se x pertence à R^2 e h: R - R é definida por h(t) = f(tx), mostrar que h é 
diferenciável.
 
 
consegui fazer para caso t=0, usando que f(x) = 0 direto da definição, mas 
mostrar que   lim ((h(t+l)-h(t))/l)existe para t quaquer não foi trivial. 
Alguém consegue me dar um socorro?  
 (l - 
0)

[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função

2005-05-06 Por tôpico Viviane Silva


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[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] função monótona

2004-06-06 Por tôpico Osvaldo

Seja a funçao f definida em um intervalo [a,b] por ex.
Para que f seja estrit. crescente teremos que
para quaisquer x_1, x_2 pertencentes a [a,b], o fato 
de x_1x_2 implicar sempre em f(x_1)f(x_2).

Bom, SE EXISTIR derivada teremos que ela não se 
anulará em (a,b), seria um lema facil de ser mostrado.

Desculpe meu equivoco anterior. Fui.


 o que é uma função estritamente crescente?
 
 fabiano
   - Original Message - 
   From: Lista OBM 
   To: [EMAIL PROTECTED] 
   Sent: Saturday, June 05, 2004 9:00 PM
   Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] função monótona
 
 
   Osvaldo, ainda não vi diferenciabilidade.
 
   Osvaldo [EMAIL PROTECTED] wrote: 
 Acredito que seja um dos tipos de funçoes abaixo:
 
 Estritamente crescente;
 Estritamente decrescente;
 Crescente;
 Decrescene;
 
 Os dois primeiros tipos de funçoes monotonas 
acima tem 
 a prop. de que a derivada de primeira ordem 
nunca se 
 anula e os dois restantes que ela nao é nula em 
todo 
 intervalo, porem podendo anular se em um 
subconjunto 
 do domínio.
 
 Nao sei se isso te ajuda mais to mandando mesmo 
assim.
 ]
  
  O que é uma função monótona?
  Lista OBM wrote:Gostaria 
 que alguém me ajudasse com o problema abaixo:
  
  Seja f: J -- R uma função monótona, definida 
no 
 intervalo J. Se a 
  
  imagem f(J) é um intervalo, prove que f é 
contínua.
  
  Obs.: Tentei supondo o contrário, mas não 
consegui!!!
  
  Grato, Éder.
  
   
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[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] função monótona

2004-06-06 Por tôpico Osvaldo

Desculpem meu novo equívoco. Esse lema que falei me 
basei no fato de que se uma função de R em R tem 
derivada de primeira ordem positiva ela é, então, 
estrit. cresc.; porém a recíproca não é verdadeira.

Falou!


 Nem se existir. f(x)=x^3 eh estritamente crescente em 
[-1;1] e f'(0)=0.
 
 

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 -- Original Message ---
 From: Osvaldo [EMAIL PROTECTED]
 To: obm-l [EMAIL PROTECTED]
 Sent: Sun,  6 Jun 2004 03:41:53 -0300
 Subject: [obm-l]  Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
função  monótona
 
  Seja a funçao f definida em um intervalo [a,b] por 
ex.
  Para que f seja estrit. crescente teremos que
  para quaisquer x_1, x_2 pertencentes a [a,b], o 
fato 
  de x_1x_2 implicar sempre em f(x_1)f(x_2).
  
  Bom, SE EXISTIR derivada teremos que ela não se 
  anulará em (a,b), seria um lema facil de ser 
mostrado.
  
  Desculpe meu equivoco anterior. Fui.
  
   o que é uma função estritamente crescente?
   
   fabiano
 - Original Message - 
 From: Lista OBM 
 To: [EMAIL PROTECTED] 
 Sent: Saturday, June 05, 2004 9:00 PM
 Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] função monótona
   
   
 Osvaldo, ainda não vi diferenciabilidade.
   
 Osvaldo [EMAIL PROTECTED] wrote: 
   Acredito que seja um dos tipos de funçoes 
abaixo:
   
   Estritamente crescente;
   Estritamente decrescente;
   Crescente;
   Decrescene;
   
   Os dois primeiros tipos de funçoes monotonas 
  acima tem 
   a prop. de que a derivada de primeira ordem 
  nunca se 
   anula e os dois restantes que ela nao é nula 
em 
  todo 
   intervalo, porem podendo anular se em um 
  subconjunto 
   do domínio.
   
   Nao sei se isso te ajuda mais to mandando 
mesmo 
  assim.
   ]

O que é uma função monótona?
Lista OBM wrote:Gostaria 
   que alguém me ajudasse com o problema abaixo:

Seja f: J -- R uma função monótona, 
definida 
  no 
   intervalo J. Se a 

imagem f(J) é um intervalo, prove que f é 
  contínua.

Obs.: Tentei supondo o contrário, mas não 
  consegui!!!

Grato, Éder.

 
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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

2003-02-10 Por tôpico Cláudio \(Prática\)

Caros Artur e Salvador:

Por enquanto, o que eu tenho é isso:

Por favor, prestem atenção, em especial, à passagem marcada por (*) na
volta da demonstração de (2), pois acho que eu introduzi uma hipótese
restritiva.

Seja I um intervalo real.

1. Prove que:
f é unif. diferenciável em I == f' é unif. contínua em I

Suponhamos que f seja uniformemente diferenciável em I:
Seja eps0.
Então existe d0 tal que, se x e y estiverem em I e
se 0  |x-y|  d, então:
| [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x) |  eps/2  e
| [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(y) |   eps/2
Mas, nesse caso:
| f'(x) - f'(y) | =
| f'(x) - [f(x)-f(y)]/(x-y) + [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(y)| =
| [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x) | + | [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(y) |  
eps/2 + eps/2 = eps. ==
f' é uniformemente contínua em I

Suponhamos, agora, que f' seja uniformemente contínua em I:
Seja eps0. Então existe d0 tal que, se x e y estiverem em I e
se 0  |x-y|  d, então | f'(x) - f'(y) |  eps.
Pelo teorema do valor médio, para quaisquer x e y em I,
existe z entre x e y tal que f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y).
Como z está entre x e y, teremos 0  |z - x|  |x - y|  d, o que implica,
pela continuidade uniforme de f', que |f'(z) - f'(x)|  eps.
Sendo assim:
| [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x) | = | f'(z) - f'(x) |  eps ==
f'é uniformememente diferenciável em I.



2. Seja f diferenciável em I.
f' é limitada em I == existe uma constante K0 tal que:
|f(x) - f(y)| = K|x-y| para todos x e y em I

Suponhamos que f' seja limitada em I. Então, para todo t em I,
existe K  0, tal que -K  f'(t)  K.
Sejam x e y em I, com x = y.
Integrando a desigualdade acima de x até y, teremos:
y  y   y
INTEGRAL -Kdt  INTEGRAL f'(t)dt  INTEGRAL Kdt  ==
x  x   x
-K(y-x)  f(y) - f(x)  K(y-x)  ==
|f(y) - f(x)|  K|y-x|.
Se x  y, tudo muda de sinal e a mesma desigualdade entre valores
absolutos continua valendo ==
f obedece à condição de Lipschitz em I.

Suponhamos, agora, que f' não seja limitada.
Então, para todo K  0, existirão x e y em I, com x  y,
tais que para todo t entre x e y, f'(t)  K  (*).
Integrando de x até y, teremos:
y   y
INTEGRAL f'(t)dt  INTEGRAL Kdt  ==
x   x
f(y) - f(x)  K(y-x)  ==
|f(y) - f(x)|  K|y-x|  ==
f não obedece à condição de Lipschitz.



Funções da forma f(x) = x^n*sen(1/x) ou x^n*sen^2(1/x) para X  0 e f(0) =
0, são muito usadas em livros de análise como exemplos de:
1. funções descontínuas em x =0:
f(x) = sen(1/x), se x  0, f(0) = qualquer número real

2. funções contínuas mas não diferenciáveis em x=0:
f(x) = x*sen(1/x), se x  0, f(0) = 0

3. funções diferenciáveis mas com derivadas descontínuas em x=0:
f(x) = x^2*sen(1/x), se x 0, f(0) = 0.

Etc

**

(3) acima mostra que podem haver funções diferenciáveis em toda a reta mas
com derivada descontínua em algum ponto.

No entanto, vale o Teorema do Valor Intermediário para derivadas:
Seja f diferenciável em (a,b). Dados x1 e x2, com a  x1  x2  b, se f'(x1)
 f'(x2) então, para todo c com f'(x1)  c  f'(x2), existe z ( x1  z 
x2 ) com f'(z) = c. Analogamente para quando f'(x1)  f'(x2).

**

Um abraço,
Claudio.


- Original Message -
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 06, 2003 11:20 PM
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável


 -Original Message-
 From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
 [EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Cláudio (Prática)
 Sent: Wednesday, February 05, 2003 12:40 PM
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

 Caro Artur:

 Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas
dos
 se
 e somente se) eu me deparei com uma dúvida:

 Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I.
 É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que:
 f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ?
 Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio.

Não, não é verdade. Considere, por exemplo, f dada por f(x) = x^3, no
ponto z=0 . É fácil verificar que se y0x, então f(x)-f(y)]/(x-y)0 e
jamais se iguala a f'(0)=0. Observe que, para termos uma recíproca do
teorema do valor médio, deveríamos ter z entre  x e y.

PS. Vc achou interessantes os problemas que eu propus?
Abraços
Artur



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

2003-02-08 Por tôpico Salvador Addas Zanata


Caro Artur,

Quando voce disse que f era diferenciavel, imaginei que voce estivesse
supondo que f' fosse continua. Eh isso que garante que a G da minha
provinha seja continua em I^2. Na verdade, fora da diagonal identidade,
ela eh sempre continua, basta f ser continua. 

Pra provar a continuidade de G em um ponto da forma (x,x), usamos que f'
eh funcao continua.


G(x,x)=f'(x), assim:


G(a,b)-G(x,x)=[G(a,b)-G(x,b)]+[G(x,b)-G(x,x)].


Agora e so usar a definicao de continuidade e tentar encontrar o delta que
sirva para um epsilon dado. 



A f que o seu amigo exibiu tem derivada 0 em x=0, mas a derivada nao eh
continua em x=0, pois a derivada de f eh (p/ x0):

x^2(9/2-3/2cos(2/x^2))-2sin(2/x^2)


Assim, para valores convenientes de x arbitrariamente proximos do zero,
essa funcao fica maior que 1, por exemplo, logo f'nao pode ser continua.


Mas se voce queria saber se a afirmacao era verdade para f apenas
diferenciavel, a resposta como voce provou exibindo esse exemplo eh nao.


Um abraco,

Salvador 


On Fri, 7 Feb 2003, Artur Costa Steiner wrote:

  Caro Artur,
  
  
  Observe que uma hipotese crucial para a provinha abaixo eh que f'(z)
 nao
  seja nem maximo, nem minimo da derivada de f no intervalo. E x^3 tem
 por
  derivada 3x^2, logo o zero nao se aplica ao teorema, pois eh minimo da
  derivada da f, qualquer que seja o intervalo que contenha a origem.
 Acho
  que a prova esta correta.
  
  
  Abraco,
  
  Salvador
  
 OK, de fato vc fez esta hipótese e me passou desapercebido. Eu realmente
 me confundi na sua prova. A função G é de fato contínua em I^2? 
  
 Eu conversei sobre esta questão com uns amigos e um deles me deu como
 contra-exemplo a função f(x) = x^3 + x^3*[sin(1/x^2)]^2, se x0, e 0 se
 x=0. (não sei como que ele sacou esta função).  Verificamos que
 f(0)=0. Verificamos também que f é positiva para x0 e negativa para
 x0, do que deduzimos que não existem x e y que satisfaçam à condicão
 procurada. Com algum algebrismo podemos constatar que em qualquer
 vizinhança de 0 f assume valores positivos e negativos, de modo que
 f(0)=0 não é ponto extremo de f. 
  
 Um abraço
 Artur
 

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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

2003-02-07 Por tôpico Cláudio \(Prática\)

Sim. Até agora só fiz metade de cada um. Também gostei do seu exemplo de
f(x) = raiz(x) em [0,1].
Continue mandando...

Um abraço,
Claudio.

- Original Message -
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 06, 2003 11:20 PM
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

 -Original Message-
 From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
 [EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Cláudio (Prática)
 Sent: Wednesday, February 05, 2003 12:40 PM
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

 Caro Artur:

 Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas
dos
 se
 e somente se) eu me deparei com uma dúvida:

 Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I.
 É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que:
 f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ?
 Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio.

Não, não é verdade. Considere, por exemplo, f dada por f(x) = x^3, no
ponto z=0 . É fácil verificar que se y0x, então f(x)-f(y)]/(x-y)0 e
jamais se iguala a f'(0)=0. Observe que, para termos uma recíproca do
teorema do valor médio, deveríamos ter z entre  x e y.

PS. Vc achou interessantes os problemas que eu propus?
Abraços
Artur

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

2003-02-07 Por tôpico Salvador Addas Zanata



Caro Claudio,


Observe a minha mensagem. Basta que a derivada de f em z nao seja nem
maximo, nem minimo da derivada de f em I para que o que voce quer valha.

x^3 tem derivada 3x^2, cujo minimo global eh no zero, assim qualquer
intervalo que contenha o zero nao pode ter essa propriedade.


Abraco,

Salvador



On Fri, 7 Feb 2003, Cláudio (Prática) wrote:

 Sim. Até agora só fiz metade de cada um. Também gostei do seu exemplo de
 f(x) = raiz(x) em [0,1].
 Continue mandando...
 
 Um abraço,
 Claudio.
 
 - Original Message -
 From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Sent: Thursday, February 06, 2003 11:20 PM
 Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável
 
 
  -Original Message-
  From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
  [EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Cláudio (Prática)
  Sent: Wednesday, February 05, 2003 12:40 PM
  To: [EMAIL PROTECTED]
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável
 
  Caro Artur:
 
  Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas
 dos
  se
  e somente se) eu me deparei com uma dúvida:
 
  Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I.
  É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que:
  f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ?
  Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio.
 
 Não, não é verdade. Considere, por exemplo, f dada por f(x) = x^3, no
 ponto z=0 . É fácil verificar que se y0x, então f(x)-f(y)]/(x-y)0 e
 jamais se iguala a f'(0)=0. Observe que, para termos uma recíproca do
 teorema do valor médio, deveríamos ter z entre  x e y.
 
 PS. Vc achou interessantes os problemas que eu propus?
 Abraços
 Artur
 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

2003-02-07 Por tôpico Artur Costa Steiner









 Caro Artur,

 

 

 Observe que uma hipotese crucial para a provinha abaixo eh que
f'(z) nao

 seja nem maximo, nem minimo da derivada de f no intervalo. E x^3
tem por

 derivada 3x^2, logo o zero nao se aplica ao teorema, pois eh
minimo da

 derivada da f, qualquer que seja o intervalo que contenha a
origem. Acho

 que a prova esta correta.

 

 

 Abraco,

 

 Salvador



OK, de
fato vc fez esta hipótese e me passou desapercebido. Eu realmente me confundi na
sua prova. A função G é de fato contínua em I^2? 



Eu
conversei sobre esta questão com uns amigos e um deles me deu como
contra-exemplo a função f(x) = x^3 + x^3*[sin(1/x^2)]^2, se x0, e 0 se x=0. (não sei
como que ele sacou esta função). 
Verificamos que f(0)=0. Verificamos também que f é positiva para
x0 e negativa para x0, do que deduzimos que não existem x e y que
satisfaçam à condicão procurada. Com algum algebrismo podemos constatar que em
qualquer vizinhança de 0 f assume valores positivos e negativos, de modo
que f(0)=0 não é ponto extremo de f. 



Um abraço

Artur

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função parte inteira

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Desconhecida

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Desconhecida

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

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