Re: [obm-l] Derivadas parciais
f(x,y)=xy+C eh apenas UMA solucao. A solucao geral eh: f(x,y)=F(x+y)+G(x-y) onde F e G sao funcoes quaisquer de classe C^2. (Por exemplo, tome F(u)=u^2/4+C e G(u)=-u^2/4 para achar f(x,y)=xy+C) 2014-12-19 12:33 GMT-02:00 saulo nilson : > f(x,y)=xy+C na segunda > 2014-12-17 20:18 GMT-02:00 Ralph Teixeira : > >> 1) Supondo que o dominio eh R^2: se a derivada de algo com relacao a x eh >> zero, entao essa coisa nao depende de x, certo? >> >> Entao se d2f/dxdy=0, isto significa que df/dy=h(y), onde h(y) eh uma >> funcao qualquer que soh depende de y. >> >> Agora integre isso: f(x,y)=Int h(y) dy = H(y)+C onde H eh uma >> anti-derivada de h(y) e esse C eh uma "constante" nao, pera, constante >> *em relacao a y* que eh a variavel de integracao! Entao C pode depender de >> x, isto eh >> >> f(x,y)=H(y)+C(x), como voce disse. >> >> 2) Essa eh a EDP da onda... Voce pode fazer uma troca de variaveis, >> colocando w=x+y e z=x-y, ou seja, criando a funcao g(w,z)=f(x,y) onde w=x+y >> e z=x-y. >> >> Agora substitua f(x,y)=g(x+y,x-y) na EDP para encontrar uma nova EDP para >> g(w,z)... (voce estah supondo que f eh C^2 para usar a Regra da Cadeia, mas >> eu imagino que eh isso que voce quer). Vai dar um bom trabalho, e voce vai >> descobrir que... >> >> ...nah, nao vou estragar a surpresa. :) >> >> Abraco, Ralph. >> >> P.S.: Se voce tiver condicoes iniciais do tipo f(x,0)=F(x) e >> df/dy(x,0)=G(x), tem a formula de d'Alembert que resolve isso. >> >> >> >> 2014-12-17 17:06 GMT-02:00 João Maldonado : >> >>> Fala galera, >>> Fiquei um tempo sumido mas voltei para pedir a ajuda de vocês em uma >>> questão de cálculo. >>> >>> Como resolver as seguintes equações? >>> 1) d2f/dxdy = 0 >>> 2) d2f/dx2 = d2f/dy2 >>> >>> Ta meio ruim a formatação, mas é o máximo que consegui por aqui. >>> Estou no primeiro ano de engenharia, ainda não aprendi equações >>> diferenciais parciais, e isso tava no tópico sobre cálculo 2 (limite, >>> derivada e integral em mais de uma variavel). Alguém sabe como posso >>> resolver? >>> >>> A primeira para mim é meio óbvio que dá a(x) + b(y), mas não sei fazer >>> isso formalmente. >>> >>> [] 's >>> João >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Derivadas parciais
f(x,y)=xy+C na segunda 2014-12-17 20:18 GMT-02:00 Ralph Teixeira : > 1) Supondo que o dominio eh R^2: se a derivada de algo com relacao a x eh > zero, entao essa coisa nao depende de x, certo? > > Entao se d2f/dxdy=0, isto significa que df/dy=h(y), onde h(y) eh uma > funcao qualquer que soh depende de y. > > Agora integre isso: f(x,y)=Int h(y) dy = H(y)+C onde H eh uma > anti-derivada de h(y) e esse C eh uma "constante" nao, pera, constante > *em relacao a y* que eh a variavel de integracao! Entao C pode depender de > x, isto eh > > f(x,y)=H(y)+C(x), como voce disse. > > 2) Essa eh a EDP da onda... Voce pode fazer uma troca de variaveis, > colocando w=x+y e z=x-y, ou seja, criando a funcao g(w,z)=f(x,y) onde w=x+y > e z=x-y. > > Agora substitua f(x,y)=g(x+y,x-y) na EDP para encontrar uma nova EDP para > g(w,z)... (voce estah supondo que f eh C^2 para usar a Regra da Cadeia, mas > eu imagino que eh isso que voce quer). Vai dar um bom trabalho, e voce vai > descobrir que... > > ...nah, nao vou estragar a surpresa. :) > > Abraco, Ralph. > > P.S.: Se voce tiver condicoes iniciais do tipo f(x,0)=F(x) e > df/dy(x,0)=G(x), tem a formula de d'Alembert que resolve isso. > > > > 2014-12-17 17:06 GMT-02:00 João Maldonado : > >> Fala galera, >> Fiquei um tempo sumido mas voltei para pedir a ajuda de vocês em uma >> questão de cálculo. >> >> Como resolver as seguintes equações? >> 1) d2f/dxdy = 0 >> 2) d2f/dx2 = d2f/dy2 >> >> Ta meio ruim a formatação, mas é o máximo que consegui por aqui. >> Estou no primeiro ano de engenharia, ainda não aprendi equações >> diferenciais parciais, e isso tava no tópico sobre cálculo 2 (limite, >> derivada e integral em mais de uma variavel). Alguém sabe como posso >> resolver? >> >> A primeira para mim é meio óbvio que dá a(x) + b(y), mas não sei fazer >> isso formalmente. >> >> [] 's >> João >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Derivadas parciais
1) Supondo que o dominio eh R^2: se a derivada de algo com relacao a x eh zero, entao essa coisa nao depende de x, certo? Entao se d2f/dxdy=0, isto significa que df/dy=h(y), onde h(y) eh uma funcao qualquer que soh depende de y. Agora integre isso: f(x,y)=Int h(y) dy = H(y)+C onde H eh uma anti-derivada de h(y) e esse C eh uma "constante" nao, pera, constante *em relacao a y* que eh a variavel de integracao! Entao C pode depender de x, isto eh f(x,y)=H(y)+C(x), como voce disse. 2) Essa eh a EDP da onda... Voce pode fazer uma troca de variaveis, colocando w=x+y e z=x-y, ou seja, criando a funcao g(w,z)=f(x,y) onde w=x+y e z=x-y. Agora substitua f(x,y)=g(x+y,x-y) na EDP para encontrar uma nova EDP para g(w,z)... (voce estah supondo que f eh C^2 para usar a Regra da Cadeia, mas eu imagino que eh isso que voce quer). Vai dar um bom trabalho, e voce vai descobrir que... ...nah, nao vou estragar a surpresa. :) Abraco, Ralph. P.S.: Se voce tiver condicoes iniciais do tipo f(x,0)=F(x) e df/dy(x,0)=G(x), tem a formula de d'Alembert que resolve isso. 2014-12-17 17:06 GMT-02:00 João Maldonado : > > Fala galera, > Fiquei um tempo sumido mas voltei para pedir a ajuda de vocês em uma > questão de cálculo. > > Como resolver as seguintes equações? > 1) d2f/dxdy = 0 > 2) d2f/dx2 = d2f/dy2 > > Ta meio ruim a formatação, mas é o máximo que consegui por aqui. > Estou no primeiro ano de engenharia, ainda não aprendi equações > diferenciais parciais, e isso tava no tópico sobre cálculo 2 (limite, > derivada e integral em mais de uma variavel). Alguém sabe como posso > resolver? > > A primeira para mim é meio óbvio que dá a(x) + b(y), mas não sei fazer > isso formalmente. > > [] 's > João > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Derivadas Parciais
Para x diferente de 0, temos que (f(x,0) - f(0, 0))/(x - 0) = x Logo, D_x(0, 0) = lim (x ->0) (f(x,0) - f(0, 0))/(x - 0) = lim (x -> 0) x = 0 Esta função não é definida em (0, y) se y for diferente de 0. Assim, nem faz sentido falar em derivada parcial com relação y em (0, 0). Artur > Date: Tue, 15 Dec 2009 22:06:21 -0200 > Subject: Re: [obm-l] Derivadas Parciais > From: bernardo...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Eu acho que esta função nem contínua em (0,0) é : faça x=y, no limite > dá 2x^2/2x^3 = 1/x que não tende a zero quando x tende a zero... você > tem certeza do enunciado? > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > 2009/12/15 Hugo Arraes : > > Alguém pode me ajudar no seguinte exercício? > > > > Dado f(x,y) = x²+ y²/ x³ + y³ se (x,y) diferente(0,0) > > e 0 se (x,y) = (0,0) > > > > a) Calcule Fx( 0,0) e Fy(0,0) (derivada parcial em relação a x e y no ponto > > (0,0) > > > > Obrigado! > > > > Hugo > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = _ Com o Internet Explorer 8 você tem seu contéudo favorito em poucos cliques. Conheça! http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmail&utm_medium=Tagline&utm_content=Tag5&utm_campaign=IE8
Re: [obm-l] Derivadas Parciais
Eu acho que esta função nem contínua em (0,0) é : faça x=y, no limite dá 2x^2/2x^3 = 1/x que não tende a zero quando x tende a zero... você tem certeza do enunciado? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2009/12/15 Hugo Arraes : > Alguém pode me ajudar no seguinte exercício? > > Dado f(x,y) = x²+ y²/ x³ + y³ se (x,y) diferente(0,0) > e 0 se (x,y) = (0,0) > > a) Calcule Fx( 0,0) e Fy(0,0) (derivada parcial em relação a x e y no ponto > (0,0) > > Obrigado! > > Hugo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Derivadas parciais...
d(log(x+y))/dx = d(log(x+y))/dy = 1/(x+y)? From: [EMAIL PROTECTED] Não tenho tempo de procurar...se alguém souber como se acham as derivadas de f(x,y)=log(x+y )...alguém me pediu pra hoje e eu não lembro = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Derivadas Parciais
Oi Wellinton, esta questao jah esteve na lista sim. Para resolve-la, veja a sugestao do Claudio.Uma observacao. A funcao eh uniformemente continua, sim. A condicao | F(X) F(Y) | <= M | X Y | para quaisquer X, Y pertencente a U, eh conhecida por condicao de Lipschitz e implica continuidade uniforme. Dado eps>0, basta escolher delta = eps/M e teremos| F(X) F(Y) | < eps para todos X e Y em U que satisfacam a | X Y | < delta. ArturP arece que a questão abaixo esteve na lista. Alguém poderia me ajudar a encontrá-la? 1) Prove que se F (definida num subconjunto U aberto e convexo de Rn) possui derivadas parciais, com |dF/dXi|<=M (i variando de 1 a m) em todos os pontos de U, então, | F(X) F(Y) | <= M | X Y | (norma da soma) para quaisquer X, Y pertencente a U. Conclua que se F possui derivadas parciais limitadas num aberto qualquer ela é contínua (mas não necessariamente uniformemente contínua). [ ]s ---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.707 / Virus Database: 463 - Release Date: 6/15/2004 ---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.707 / Virus Database: 463 - Release Date: 6/15/2004 OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Derivadas Parciais
Oi, Wellington: Antes de ver a solução, tente resolver o problema usando a seguinte ideia: Como U é aberto e convexo, vao existir pontos P_0 = X, P_1, P_2, ..., P_n = Y sobre o segmento de reta ligando X a Y de forma que, para 0 <= i <= n-1, o segmento que liga P_i a P_(i+1) é a maior diagonal de um hipercubo totalmente contido em U. As restrições de F a cada uma das arestas de cada um desses hipercubos serão funções de uma única variável, para as quais vale o teorema do valor médio. Usando isso, você pode obter limitantes superiores para F(P_(i+1)) - F(P_i). []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Thu, 24 Jun 2004 17:47:22 -0300 Assunto: [obm-l] Derivadas Parciais Parece que a questão abaixo esteve na lista. Alguém poderia me ajudar a encontrá-la? 1) Prove que se F (definida num subconjunto U aberto e convexo de Rn) possui derivadas parciais, com |dF/dXi|<=M (i variando de 1 a m) em todos os pontos de U, então, | F(X) F(Y) | <= M | X Y | (norma da soma) para quaisquer X, Y pertencente a U. Conclua que se F possui derivadas parciais limitadas num aberto qualquer ela é contínua (mas não necessariamente uniformemente contínua). [ ]s ---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.707 / Virus Database: 463 - Release Date: 6/15/2004 ---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.707 / Virus Database: 463 - Release Date: 6/15/2004
Re: [obm-l] Derivadas parciais e prova bijetiva
Cláudio, a fonte do problema é a página do Cameron... acho que está correto sim, eu vi uma demonstração bem simples, não cheguei a analisar com mta calma... [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao
Oi, Artur:
Quando eu voltar pra São Paulo vou dar uma lida séria no Curso de Análise - vol. 2 do Elon, de onde estão saindo todos esses problemas. Eu sei que no R^n (n > 1) diferenciabilidade é uma condição muito mais forte do que na reta, mas ainda não entendi porque a minha passagem ao limite é inválida no problema das derivadas direcionais, e o exemplo do sci.math não é dos mais intuitivos...
De qualquer forma, obrigado pelas explicações.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Thu, 6 May 2004 08:13:09 -0700 (PDT)
Assunto:
Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao
> Oi Claudio,
> Eu, conforme disse em outra mensagem, estou na duvida
> se podemos aplicar o teorema do valor medio. As
> condicoes dadas naum implicam que f seja diferenciavel
> num aberto. Eh verdae que, conforme vc disse, implicam
> continuidade uniforme. E mais ainda, implicam que f eh
> Lipschitz, pois |f(x) - f(y)| <= M*||x -
> > y|. Mas acho que naum implicam a existencia de todas
> as derivadas direcionais. Eu estava achando que o fato
> de as derivadas parciais serem limitadas em um
> conjunto U implicariam a condicao desejada, mas isto
> eh falso. Pedi ajuda ao grupo internacional sci.math,
> e obtive o seguinte:
>
> > I have a question and couldn't come to a conclusion
> yet.
> > Suppose all the partial derivatives of f:R^n -> R
> exist and are
> > bounded on an open set U. This doesn't imply
> differentiability of f on
> > U, but does it imply the existence of all the
> directional derivatives
> > of f on U?
>
> No. With z = (x,y), let f(z) = 0 if z = (0,0), f(z) =
> (xy/|z|)*sin(ln(|z|))
> otherwise. Then f is C^oo on R^2 \ {(0,0)}. A little
> computation shows that
> the partial derivatives of f are bounded on R^2 \
> {(0,0)}. Because f
> vanishes on the coordinate axes, the partial
> derivatives of f exist and are
> bounded on all of R^2. But for x > 0, f(x,x) =
> (x/sqrt(2))*sin(ln(sqrt(2)x)), which is not
> differentiable at x = 0. Thus f
> fails to have a directional derivative at (0,0) in the
> direction of (1,1).
> In fact, f fails to have directional derivatives at
> (0,0) in all directions
> except those along x and y axes.
>
>
> --- "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
> wrote:
> > Fico contente. E como o Nicolau e o Artur n?o se
> > manifestaram, acho que a demonstra??o deve estar
> > certa mesmo.
> >
> > Nesse caso, sabendo que |f(x) - f(y)| <= M*||x -
> > y||, para quaisquer x, y em U (onde ||a|| = norma da
> > soma de a), acho que podemos provar at? que f ?
> > uniformemente cont?nua em U, n?o? Basta tomar delta
> > = epsilon/M.
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> > De:[EMAIL PROTECTED]
> >
> > Para:[EMAIL PROTECTED]
> >
> > C?pia:
> >
> > Data:Wed, 05 May 2004 22:27:46 +
> >
> > Assunto:Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao
> >
> >
> >
> > >
> > > Cla?dio
> > >
> > > Achei a id?ia muito boa e eu n?o consegui achar
> > erros. Agora, gra?as a vc,
> > > vou tentar provar o caso geral ao qual j? me
> > referi: Se f possui derivadas
> > > parciais limitadas num aberto qualquer ela ?
> > cont?nua.
> > >
> > > Valeu...
> > >
> > >
> >
> _
> > > MSN Messenger: converse com os seus amigos online.
> > > http://messenger.msn.com.br
> > >
> > >
> >
> =
> > > Instru??es para entrar na lista, sair da lista e
> > usar a lista em
> > >
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > >
> >
> =
> > >
>
>
>
>
>
> __
> Do you Yahoo!?
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> =
> Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
Re: [obm-l] derivadas parciais
--- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > Se as derivadas parciais de f existriem em um > aberto e > > forem limitadas no mesmo, então isto implica que > todas > > as derivadas direcionais de f existam neste > aberto? Eu > > estou tentando provar isso, mas não estou certo. > > >>Este eu não sei, este tipo de coisa é delicado e > eu não acho > >>tão interessante; vou pensar. > > Eu acho que eu vi esta prova hah muito tempo num > livro de um autor hoje um > tanto retrogrado, o Richard Courant. Naum, naum vi naum. Eu vi outra coisa e estava me confundindo. A afirmacao eh falsa. Artur __ Do you Yahoo!? Win a $20,000 Career Makeover at Yahoo! HotJobs http://hotjobs.sweepstakes.yahoo.com/careermakeover = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao
Oi Claudio,
Eu, conforme disse em outra mensagem, estou na duvida
se podemos aplicar o teorema do valor medio. As
condicoes dadas naum implicam que f seja diferenciavel
num aberto. Eh verdae que, conforme vc disse, implicam
continuidade uniforme. E mais ainda, implicam que f eh
Lipschitz, pois |f(x) - f(y)| <= M*||x -
> y|. Mas acho que naum implicam a existencia de todas
as derivadas direcionais. Eu estava achando que o fato
de as derivadas parciais serem limitadas em um
conjunto U implicariam a condicao desejada, mas isto
eh falso. Pedi ajuda ao grupo internacional sci.math,
e obtive o seguinte:
> I have a question and couldn't come to a conclusion
yet.
> Suppose all the partial derivatives of f:R^n -> R
exist and are
> bounded on an open set U. This doesn't imply
differentiability of f on
> U, but does it imply the existence of all the
directional derivatives
> of f on U?
No. With z = (x,y), let f(z) = 0 if z = (0,0), f(z) =
(xy/|z|)*sin(ln(|z|))
otherwise. Then f is C^oo on R^2 \ {(0,0)}. A little
computation shows that
the partial derivatives of f are bounded on R^2 \
{(0,0)}. Because f
vanishes on the coordinate axes, the partial
derivatives of f exist and are
bounded on all of R^2. But for x > 0, f(x,x) =
(x/sqrt(2))*sin(ln(sqrt(2)x)), which is not
differentiable at x = 0. Thus f
fails to have a directional derivative at (0,0) in the
direction of (1,1).
In fact, f fails to have directional derivatives at
(0,0) in all directions
except those along x and y axes.
--- "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
wrote:
> Fico contente. E como o Nicolau e o Artur não se
> manifestaram, acho que a demonstração deve estar
> certa mesmo.
>
> Nesse caso, sabendo que |f(x) - f(y)| <= M*||x -
> y||, para quaisquer x, y em U (onde ||a|| = norma da
> soma de a), acho que podemos provar até que f é
> uniformemente contínua em U, não? Basta tomar delta
> = epsilon/M.
>
> []s,
> Claudio.
>
> De:[EMAIL PROTECTED]
>
> Para:[EMAIL PROTECTED]
>
> Cópia:
>
> Data:Wed, 05 May 2004 22:27:46 +
>
> Assunto:Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao
>
>
>
> >
> > Claúdio
> >
> > Achei a idéia muito boa e eu não consegui achar
> erros. Agora, graças a vc,
> > vou tentar provar o caso geral ao qual já me
> referi: Se f possui derivadas
> > parciais limitadas num aberto qualquer ela é
> contínua.
> >
> > Valeu...
> >
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Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao
Corrigindo a condicao que dei para que f:R^n -> R seja diferenciavel em x: Basta que uma das derivadas parciais de f exista em x e que as outras n-1 sejam continuas em x e existam numa vizinhanca de x. A continuidade das outras n-1 eh requerida apenas em x, e naum em toda uma vizinhanca de x. Eu estou na duvida se, naquele problema original apresentado pelo colega Eduardo Cabral, eh de fato possivel provar o que se pede. As condicoes dadas acarretam que as derivadas parciais de f existam e sejam limitadas em um conjunto aberto de R^n. Isto implica continuidade, mas naum implica difrenciabilidade. Serah que implica a existencia das derivadas em todas as direcoes m todo o conjunto? Naum sei. Se naum implicar, naum podemos aplicar o T. do Valor Medio. O fato do conjunto ser convexo garante que todo segmento unindo 2 pontos do conjunto esta no conjunto, mas eh possivel afirmar que as derivadas existam na direcao deste segmento? Artur __ Do you Yahoo!? Win a $20,000 Career Makeover at Yahoo! HotJobs http://hotjobs.sweepstakes.yahoo.com/careermakeover = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais
>Por acaso a derivada direcional da função f (definida num subconjunto >aberto do R^n) no ponto x_0 e na direção do vetor v é igual a: >Dv(f)(x_0) =lim(t -> 0) (f(x_0 + t*v)- f(x_0))/t (t real)? >Em caso afirmativo, v precisa ser um vetor unitário? A definicao eh efetivamente esta. Quanto ao vetor v ser unitario, naum hah unanimidade. Alguns autores fazem esta exigencia, outros, como o Apostol, naum a fazem. Bartle tambem naum exige que v seja unitario. Assim, quando se estiver consultando algum livro, eh importante se certificar de qual definicao o autor adota. Na realidade, isto naum eh muito importante, desde que a convencao adotada fique bem clara. >Eu pergunto porque se v for um vetor da base canônica do R^n (digamos o i->esimo: e_i), acho que o limite acima será igual à derivada parcial de f em >relação a i-ésima variável independente. Daí, talvez seja só uma questão >de expressar v em função dos vetores da base canônica. De fato, as derivada parciais, sao as derivadas direcionais relativas aos vetores da base canonica >Por exemplo, no R^2, suponhamos que v = a*i + b*j (a, b: reais). >Então, um pouquinho de álgebra resulta em: >(f(x_0 + t*v) - f(x_0))/t = >a*(f(x_0 + ta*i + tb*j) - f(x_0 + tb*j))/(ta) + b*(f(x_0 + tb*j) - f >(x_0))/>tb). >Por exemplo, no R^2, suponhamos que v = a*i + b*j (a, b: reais). >Então, um pouquinho de álgebra resulta em: >(f(x_0 + t*v) - f(x_0))/t = >a*(f(x_0 + ta*i + tb*j) - f(x_0 + tb*j))/(ta) + b*(f(x_0 + tb*j) - f(x_0))/>(tb). Aqui hah um detalhe sutil. A passagem ao limite, conforme abaixo, naum procede. Ocorre aqui um fato que eh uma dor de cabeca para quem trabalha com algoritmos de otimizacao em problemas naum lineares. A existencia das derivadas parciais em um ponto NAUM implica a existencia de todas a derivadas direcionais (eu agora estou aproveitando uma folga no trabalho, depois dou um exemplo de uma funcao deste tipo). A existencia desta ultimas NAUM implica continuidaee e menos ainda difereciabilidade. Aquela classica formula do produto interno do gradiente pelo vetor v eh sem duvida valida quando a f eh diferenciavel no ponto em questao (estah eh uma condicao suficiente, embora naum necessaria). Se f naum for diferenciavel, cada caso eh um caso Lembro que, contrariamente ao que as vezes se julga, no caso do R^n, n>=2, dizer que f eh diferenciavel em x naoum signfica que suas deivadas parciais existam em x, mas sim que, numa vizinhanca de x, f possa ser aproximada por uma funcao linear. Mais especificamente, significa que existe uma funcao linear L: R^n -> R tal que, para todo h tal que x+h esteja no dominio de f, tenhamos f(x+h) - f(x) = L(h) + o(||h||), sendo o uma funcao tal que o(h)/(||h||) -> 0 quando ||h||->0. A funcao L eh conhecida como a derivada (ou derivada total) de f em x. Demonstra-se facilmente que, para todo vetor v do R^n, L(v) = grad_f(x)*v, produto escalar, que eh aquela conhecida formula muito ensinada sem a devida profundidade em curso de Engenharia (bom, talvez naum seja mesmo preciso chegar a estes detalhes na Engenharia). Hah algumas conclusoes interessantes Se as derivadas parciais de f existirem e forem limitadas em uma vizinhanca de x, entao f eh continua em x. Uma condicao suficiente (mas naum necessaria) para que f seja diferenciavel em x eh que uma das derivadas parciais de f exista em x e as demais sejam continuas em x e existam em uma vizinhanca de x (a continuidade soh eh exigida em x. Este fato nao me parece ser muito conhecido. A sua prova, que naum eh muito complicada, eh linda para quem gost de analise) A maioria dos livros apresenta uma prova assumindo que todas as derivadas parcias existam numa vizinhanca de x e sejam continuas em x. Mas, na realiddae, basta a outra hipotese mais fraca. Bom, jah repeti demais o que estah em todo bom livro de Analise. Abracos Artur >Fazendo t -> 0, teremos que: >Dv(f)(x_0) = a*(df/dx)(x_0) + b*(df/dy)(x_0) ==> >Dv(f)(x_0) = < grad(f)(x_0) , v > = produto interno usual de grad(f) no >ponto x_0 e v. >Se tudo acima estiver certo, então a existência das derivadas parciais no >aberto implica a existência das derivadas direcionais. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Cópia: Data:Wed, 5 May 2004 18:08:13 -0300 Assunto:Re: [obm-l] derivadas parciais > > > Se as derivadas parciais de f existriem em um aberto e > > forem limitadas no mesmo, então isto implica que todas > > as derivadas direcionais de f existam neste aberto? Eu > > estou tentando provar isso, mas não estou certo. > > >>Este eu não sei, este tipo de coisa é delicado e eu não acho > >>tão interessante; vou pensar. > > Eu acho que eu vi esta prova hah muito tempo num livro de um autor hoje um > tanto retrogrado, o Richard Courant. O livro dele era muito bom, mas escrito > numa epoca (creio que nos anos 40 ou inicio dos 50) em que, por alguma razao > obscura, evitava-se falar em conjuntos, tornando a Analise muito mais > dificil de se entender. > Artur > >
Re: [obm-l] derivadas parciais
Quando for assim... entra no mathworld... http://mathworld.wolfram.com/DirectionalDerivative.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais
Oi, Artur: Eu estou no Rio e longe dos meus livros. Por isso pergunto: Qual a definição de derivada direcional? Eu me lembro de ter visto isso em Cálculo III mas foi no século passado... Por acaso a derivada direcional da função f (definida num subconjunto aberto do R^n) no ponto x_0 e na direção do vetor v é igual a: Dv(f)(x_0) =lim(t -> 0) (f(x_0 + t*v)- f(x_0))/t (t real)? Em caso afirmativo, v precisa ser um vetor unitário? Eu pergunto porque se v for um vetor da base canônica do R^n (digamos o i-esimo: e_i), acho que o limite acima será igual à derivada parcial de f em relação a i-ésima variável independente. Daí, talvez seja só uma questão de expressar v em função dos vetores da base canônica. Por exemplo, no R^2, suponhamos que v = a*i + b*j (a, b: reais). Então, um pouquinho de álgebra resulta em: (f(x_0 + t*v) - f(x_0))/t = a*(f(x_0 + ta*i + tb*j) - f(x_0 + tb*j))/(ta) + b*(f(x_0 + tb*j) - f(x_0))/(tb). Fazendo t -> 0, teremos que: Dv(f)(x_0) = a*(df/dx)(x_0) + b*(df/dy)(x_0) ==> Dv(f)(x_0) = < grad(f)(x_0) , v > = produto interno usual de grad(f) no ponto x_0 e v. Se tudo acima estiver certo, então a existência das derivadas parciais no aberto implica a existência das derivadas direcionais. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 5 May 2004 18:08:13 -0300 Assunto: Re: [obm-l] derivadas parciais > > > Se as derivadas parciais de f existriem em um aberto e > > forem limitadas no mesmo, então isto implica que todas > > as derivadas direcionais de f existam neste aberto? Eu > > estou tentando provar isso, mas não estou certo. > > >>Este eu não sei, este tipo de coisa é delicado e eu não acho > >>tão interessante; vou pensar. > > Eu acho que eu vi esta prova hah muito tempo num livro de um autor hoje um > tanto retrogrado, o Richard Courant. O livro dele era muito bom, mas escrito > numa epoca (creio que nos anos 40 ou inicio dos 50) em que, por alguma razao > obscura, evitava-se falar em conjuntos, tornando a Analise muito mais > dificil de se entender. > Artur > > > OPEN Internet > @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = >
Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao
Fico contente. E como o Nicolau e o Artur não se manifestaram, acho que a demonstração deve estar certa mesmo. Nesse caso, sabendo que |f(x) - f(y)| <= M*||x - y||, para quaisquer x, y em U (onde ||a|| = norma da soma de a), acho que podemos provar até que f é uniformemente contínua em U, não? Basta tomar delta = epsilon/M. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 05 May 2004 22:27:46 + Assunto: Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao > > Claúdio > > Achei a idéia muito boa e eu não consegui achar erros. Agora, graças a vc, > vou tentar provar o caso geral ao qual já me referi: Se f possui derivadas > parciais limitadas num aberto qualquer ela é contínua. > > Valeu... > > _ > MSN Messenger: converse com os seus amigos online. > http://messenger.msn.com.br > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = >
Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao
Para provar isto, acho que podemos fazer o seguinte. De modo a facilitar, consideremos uma funcao de U em R, sendo U um aberto de R^2 contendo (0,0). Para todos (u,v) em U temos que f(u,v) - f(0,0) = f(u,v) - f(u,0) + f(u,0) -f(0,0). Como as derivadas parciais de f existem em U, podemos aplicar o teorema do valor medio, caso unidimensional, aa restricao de f ao segmento que une (u,0) a (u,v), obtendo um ponto y neste segmento tal que f(u,v) - f(u,0) = v*f_2(y), sendo f_2 a derivada parcial de f com relacao a x_2. Faca algo similar com relacao aa diferenca f(u,0) - f(0,0). Observe que existe um M>0 tal que, para todo x em U, ||f_1(x)|| <=M e ||f_2(x)|| <=M. Considere a desigualdade do triangulo e veja o que acontece com ||f(u,v) - f(0,0)|| quando (u,v) -> (0,0). Tambem interesante eh provar o seguinte fato que, ao que me parece, naum eh muito conhecido: Uma condicao suficiente para que f:R^n -> R seja diferenciavel em um ponto interior x de seu dominio eh que uma das derivadas parciais de f exista em x e que todas outras existam e sejam continuas em uma vizinhanca de x. (Esta condicao naum eh necessaria) Quando n>=2, dizemos que f eh diferenciavel em x se existir uma funcao linear L:R^n -> R tal que, para todo h tal que x+h fique no dominio de f, tenhamos f(x+a) - f(x) = L(h) + o(||h||), onde o eh uma funcao tal que o(h)/||h|| ->0 quando ||h|| -> 0. A funcao L (que depende de x) eh a derivada de f em x. No caso unidimensional, a derivada de f em x, caso exista, seria, segundo esta definicao, a funcao que a cada u associa o numero real f'(x)* u. Mas aih eh muito mais simples e conveniente ver f'(x) naum como uma funcao mas como um numero real. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao Data: 05/05/04 19:52 Claúdio Achei a idéia muito boa e eu não consegui achar erros. Agora, graças a vc, vou tentar provar o caso geral ao qual já me referi: Se f possui derivadas parciais limitadas num aberto qualquer ela é contínua. Valeu... _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao
Claúdio Achei a idéia muito boa e eu não consegui achar erros. Agora, graças a vc, vou tentar provar o caso geral ao qual já me referi: Se f possui derivadas parciais limitadas num aberto qualquer ela é contínua. Valeu... _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais
> Se as derivadas parciais de f existriem em um aberto e > forem limitadas no mesmo, então isto implica que todas > as derivadas direcionais de f existam neste aberto? Eu > estou tentando provar isso, mas não estou certo. >>Este eu não sei, este tipo de coisa é delicado e eu não acho >>tão interessante; vou pensar. Eu acho que eu vi esta prova hah muito tempo num livro de um autor hoje um tanto retrogrado, o Richard Courant. O livro dele era muito bom, mas escrito numa epoca (creio que nos anos 40 ou inicio dos 50) em que, por alguma razao obscura, evitava-se falar em conjuntos, tornando a Analise muito mais dificil de se entender. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais
On Wed, May 05, 2004 at 12:51:40PM -0700, Artur Costa Steiner wrote: > Oi Nicolau, > Aquele problema que circulou na lista me causou > algumas dúvidas. Se você tiver tempo, gostaria de > ajuda, pois estas questões não são cobertas no livro > do Apostol nem do do Bartle (e acho que nem no do > Rudin). > > Aquele teorema do valor médio ao qual você se referiu, > bem como aquele mais particular para funcões de R^n -> > R, exige que f seja diferenciável ou exige apenas que > as derivadas direcionais de f existam em um conjunto > contendo o segmento que une a a b? (acho que esta > última condição basta, certo?) Certo. Basta considerar a restrição da função ao segmento e usar o TVM usual. > Se as derivadas parciais de f existriem em um aberto e > forem limitadas no mesmo, então isto implica que todas > as derivadas direcionais de f existam neste aberto? Eu > estou tentando provar isso, mas não estou certo. Este eu não sei, este tipo de coisa é delicado e eu não acho tão interessante; vou pensar. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais
Oi Nicolau, Aquele problema que circulou na lista me causou algumas dúvidas. Se você tiver tempo, gostaria de ajuda, pois estas questões não são cobertas no livro do Apostol nem do do Bartle (e acho que nem no do Rudin). Aquele teorema do valor médio ao qual você se referiu, bem como aquele mais particular para funcões de R^n -> R, exige que f seja diferenciável ou exige apenas que as derivadas direcionais de f existam em um conjunto contendo o segmento que une a a b? (acho que esta última condição basta, certo?) Se as derivadas parciais de f existriem em um aberto e forem limitadas no mesmo, então isto implica que todas as derivadas direcionais de f existam neste aberto? Eu estou tentando provar isso, mas não estou certo. Obrigado Artur --- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > On Mon, May 03, 2004 at 09:46:06PM -0300, Claudio > Buffara wrote: > ... > > Entao, o teorema do valor medio diz que existe c = > (c_1,c_2,...,c_m) > > pertencente ao segmento de reta que une x e y tal > que: > > f(y) - f(x) = = SOMA(1<=i<=m) > f_i(c)*(y_i - x_i). > > onde: > > grad(f)(c) = gradiente de f avaliado no ponto c; > > f_i(c) = derivada parcial df/dx_i avaliada no > ponto c. > > > > Como U eh convexo, c pertence a U. > > Logo, |f_i(c)| <= M. > ... > > O que o Claudio fez pode ser mal interpretado. > > Seja f: R -> R^2 dada por f(t) = (cos(t), sen(t)). > Seja y = 2 pi e x = 0. > > Temos f(y) - f(x) = 0. > > Não existe nenhum t no intervalo [0, 2 pi] para o > qual > > f(y) - f(x) = f'(t) (y - x) > > O que o teorema do valor médio diz é que existe t > tal que > > |f(y) - f(x)| <= |f'(t)| |(y - x)| > > o que aliás é verdade para qualquer t. > > []s, N. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = __ Do you Yahoo!? Win a $20,000 Career Makeover at Yahoo! HotJobs http://hotjobs.sweepstakes.yahoo.com/careermakeover = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao
on 04.05.04 18:04, Eduardo Cabral at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Claudio > > Obrigado pela dedicação a essa questão, mas não entendi direito a solução. > Não sei se é abuso pedir para vc explicar de novo. De qualquer forma vou > ficar aqui tentando entender. > > Obrigado > Abuso nenhum. Eu soh acho meio complicado lidar com tantos sub-indices num texto de e-mail. Mas vamos lah... Como U eh convexo, o segmento [x,y] estarah inteiramente contido em U. Como U eh aberto, existirao pontos a_0 = x, a_1, a_2, ..., a_(r-1), a_r = y nesse segmento tais que o cubo n-dimensional cujas arestas sao paralelas aos eixos coordenados e cujos vertices antipodas sao a_k e a_(k+1) (0<=k<=r-1) estah inteiramente contido em U. (no cubo [0,1]x[0,1]x...x[0,1], (0,0,...,0) e (1,1,...,1) sao vertices antipodas, por exemplo) No k-esimo cubo, tome um caminho comecando em a_(k-1) e terminando em a_k composto por n arestas adjacentes do cubo, cada uma delas paralela a um dos eixos coordenados. Em cada um desses cubos, a restricao de f a i-esima aresta eh uma funcao de uma unica variavel real (x_i) e a derivada parcial df/dx_i eh simplesmente a derivada (uni-dimensional) dessa funcao-restricao. Essa derivada existe e eh limitada, por hipotese. Sendo assim, podemos aplicar o teorema do valor medio para funcoes reais de 1 variavel real. Pra ilustrar, vou supor que U c R^2 e que precisamos tomar apenas um ponto intermediario z = (z1,z2) no segmento [x,y] = [(x1,x2),(y1,y2)]. Tomemos o caminho: (x1,x2) -> (z1,x2) -> (z1,z2) -> (y1,z2) -> (y1,y2), o qual consiste de 4 arestas, a 1a. e a 3a. paralelas ao eixo das abscissas e a 2a. e a 4a. ao eixo das ordenadas. Pelo tvm , existirao pontos (a,x2), (z1,b), (c.z2) e (y1,d), um em cada aresta, tais que: f(z1,x2) - f(x1,x2) = f_1(a)*(z1 - x1) f(z1,z2) - f(z1,x2) = f_2(b)*(z2 - x2) f(y1,z2) - f(z1,z2) = f_1(c)*(y1 - z1) f(y1,y2) - f(y1,z2) = f_2(d)*(y2 - z2) onde: f_k(x) = derivada parcial de f em relacao a k-esima coordenada. Tomado valores absolutos, e levando em conta que as derivadas parciais sao limitadas (por M > 0), teremos: |f(z1,x2) - f(x1,x2)| <= M*|z1 - x1| |f(z1,z2) - f(z1,x2)| <= M*|z2 - x2| |f(y1,z2) - f(z1,z2)| <= M*|y1 - z1| |f(y1,y2) - f(y1,z2)| <= M*|y2 - z2| Somando esats desigualdades e usando a desigualdade triangular, obtemos: |f(y1,y2) - f(x1,x2)| <= M*(|z1 - x1| + |z2 - x2| + |y1 - z1| + |y2 - z2|) = M*(|z1 - x1 + y1 - z1| + |z2 - x2 + y2 - z2|) = M*(|y1 - x1| + |y2 - x2|) = M * norma da soma(y - x) (podemos escrever |z1 - x1| + |y1 - z1| = |z1 - x1 + y1 - z1| = |y1 - x1| porque temos x1 <= z1 <= x1 ou y1 <= z1 <= x1, ou seja z1 - x1 e y1 - z1 tem o mesmo sinal) Espero que tenha ficado claro o que eu tinha em mente! A questao eh: voce acha que isso tah certo? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais
--- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > On Mon, May 03, 2004 at 09:46:06PM -0300, Claudio > Buffara wrote: > ... Eu estou com uma duvida que naum consigo resolver agora. Uma das condicoes suficientes para que o teorema do valor medio conforme apresentado abaixo seja valido eh que a funcao seja diferenciavel num conjunto convexo. O fato de as derivadas parciais existirem neste conjunto naum garante diferenciabilidade. Mas como as derivadas parciais sao limitadas no conjunto, acho que isto garante no mesmo a existencia de todas as derivadas direcionais. Eh a existencia das derivadas direcionais garante a validade do teorema do valor medio, certo? Artur > ... > > O que o Claudio fez pode ser mal interpretado. > > Seja f: R -> R^2 dada por f(t) = (cos(t), sen(t)). > Seja y = 2 pi e x = 0. > > Temos f(y) - f(x) = 0. > > Não existe nenhum t no intervalo [0, 2 pi] para o > qual > > f(y) - f(x) = f'(t) (y - x) > > O que o teorema do valor médio diz é que existe t > tal que > > |f(y) - f(x)| <= |f'(t)| |(y - x)| > > o que aliás é verdade para qualquer t. > > []s, N. __ Do you Yahoo!? Win a $20,000 Career Makeover at Yahoo! HotJobs http://hotjobs.sweepstakes.yahoo.com/careermakeover = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais
on 04.05.04 11:26, Eduardo Cabral at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Claúdio > > Na sua resolução vc fez uso do teorema do valor médio, portanto vc supos que > a restriçao da função ao intervalo fechado cujos extremos são x e y é > contínua. No entanto, a existência de todas as derivadas parciais num ponto > não implica a continuidade da função nesse ponto (por exemplo f(x,y)=xy/(x^2 > + y^2) se (x^2 + y^2) que 0 e f(0,0)=0.). Claro! (f(h,0) - f(0,0))/h = 0 ==> f_x(0,0) = 0 mas f_x(x,y) = (y^3 - x^2y)/(x^2 + y^2)^2 eh ilimitada em toda vizinhanca de (0,0). Obrigado pela correcao. *** Aqui vai uma ideia: E se tratarmos de uma variavel de cada vez? Por exemplo, dados x e y em U, seja K o hipercubo com arestas paralelas aos eixos que tem x e y como vertices opostos (isto eh, o mais distante possivel um do outro). Como U eh convexo, K estah contido em U. Agora, escolha uma sequencia de n arestas adjacentes ligando x a y. Como cada aresta eh paralela a um dos eixos, podemos tratar a restricao de f aquela aresta como uma funcao real de 1 variavel real. Assim, em cada aresta, aplique o teorema do valor medio para funcoes de 1 variavel. Ou seja, na aresta paralela ao eixo-i, cujas extremidades sao: a = (y_1,...y_(i-1),x_i,x_(i+1),...,x_n) e b = (y_1,...,y_(i-1),y_i,x_(i+1),...,x_n) vai existir um ponto c = a + t*(b - a) = (y_1,...,x_i+t*(y_i-x_i),...,x_n) (0 <= t <= 1) tal que: f(b) - f(a) = f_i(c)*(b - a) ==> |f(b) - f(a)| = |f_i(c)|*|b - a| <= M*|y_i - x_i|. Somando as n desigualdades correspondentes a cada aresta, obteremos: |f(y) - f(x)| <= M * norma da soma de (y - x). Que tal lhe parece isso? []s, Claudio. > A conclusão a que o exercício > quer te levar é justamente essa: Se f possui derivadas parciais limitadas > num aberto qualquer ela é contínua(não necessáriamente uniformemente). > > PS: esse é um exercício do elon igual ao que o Fabio Dourado mandou, que por > sinal também não sei fazer. > > De qualquer forma agradeço pela ajuda. > > Eduardo > > > >> >>> >>> Provar: Se f:U --> R possui derivadas parciais, com modulo( df(x)/dxi)<= >> M >>> (para i=1,...,m) em todos os pontos do aberto convexo U c R^m entao >>> modulo(f(x)-f(y))<=M*norma da soma(x-y) para quaisquer x,y pertencentes >> a U. >>> >>> Agradeço a todos pelas tão prestativas ajudas num e-mail que mandei >> outro >>> dia. >>> >>> Muito obrigado >>> >> Sejam x = (x_1,x_2,...,x_m) e y = (y_1,y_2,...,y_m) pertencentes a U. >> >> Entao, o teorema do valor medio diz que existe c = (c_1,c_2,...,c_m) >> pertencente ao segmento de reta que une x e y tal que: >> f(y) - f(x) = = SOMA(1<=i<=m) f_i(c)*(y_i - x_i). >> onde: >> grad(f)(c) = gradiente de f avaliado no ponto c; >> f_i(c) = derivada parcial df/dx_i avaliada no ponto c. >> >> Como U eh convexo, c pertence a U. >> Logo, |f_i(c)| <= M. >> >> Assim, teremos: >> |f(y) - f(x)| = >> |SOMA(1<=i<=m) f_i(c)*(y_i - x_i)| <= >> SOMA(1<=i<=m) |f_i(c)|*|y_i - x_i| <= >> SOMA(1<=i<=m) M*|y_i - x_i| = >> M*SOMA(1<=i<=m) |y_i - x_i| = >> M*norma da soma de (x - y) >> >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> = > > _ > MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais
On Mon, May 03, 2004 at 09:46:06PM -0300, Claudio Buffara wrote: ... > Entao, o teorema do valor medio diz que existe c = (c_1,c_2,...,c_m) > pertencente ao segmento de reta que une x e y tal que: > f(y) - f(x) = = SOMA(1<=i<=m) f_i(c)*(y_i - x_i). > onde: > grad(f)(c) = gradiente de f avaliado no ponto c; > f_i(c) = derivada parcial df/dx_i avaliada no ponto c. > > Como U eh convexo, c pertence a U. > Logo, |f_i(c)| <= M. ... O que o Claudio fez pode ser mal interpretado. Seja f: R -> R^2 dada por f(t) = (cos(t), sen(t)). Seja y = 2 pi e x = 0. Temos f(y) - f(x) = 0. Não existe nenhum t no intervalo [0, 2 pi] para o qual f(y) - f(x) = f'(t) (y - x) O que o teorema do valor médio diz é que existe t tal que |f(y) - f(x)| <= |f'(t)| |(y - x)| o que aliás é verdade para qualquer t. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais
Claúdio Na sua resolução vc fez uso do teorema do valor médio, portanto vc supos que a restriçao da função ao intervalo fechado cujos extremos são x e y é contínua. No entanto, a existência de todas as derivadas parciais num ponto não implica a continuidade da função nesse ponto (por exemplo f(x,y)=xy/(x^2 + y^2) se (x^2 + y^2) que 0 e f(0,0)=0.). A conclusão a que o exercício quer te levar é justamente essa: Se f possui derivadas parciais limitadas num aberto qualquer ela é contínua(não necessáriamente uniformemente). PS: esse é um exercício do elon igual ao que o Fabio Dourado mandou, que por sinal também não sei fazer. De qualquer forma agradeço pela ajuda. Eduardo > > Provar: Se f:U --> R possui derivadas parciais, com modulo( df(x)/dxi)<= M > (para i=1,...,m) em todos os pontos do aberto convexo U c R^m entao > modulo(f(x)-f(y))<=M*norma da soma(x-y) para quaisquer x,y pertencentes a U. > > Agradeço a todos pelas tão prestativas ajudas num e-mail que mandei outro > dia. > > Muito obrigado > Sejam x = (x_1,x_2,...,x_m) e y = (y_1,y_2,...,y_m) pertencentes a U. Entao, o teorema do valor medio diz que existe c = (c_1,c_2,...,c_m) pertencente ao segmento de reta que une x e y tal que: f(y) - f(x) = = SOMA(1<=i<=m) f_i(c)*(y_i - x_i). onde: grad(f)(c) = gradiente de f avaliado no ponto c; f_i(c) = derivada parcial df/dx_i avaliada no ponto c. Como U eh convexo, c pertence a U. Logo, |f_i(c)| <= M. Assim, teremos: |f(y) - f(x)| = |SOMA(1<=i<=m) f_i(c)*(y_i - x_i)| <= SOMA(1<=i<=m) |f_i(c)|*|y_i - x_i| <= SOMA(1<=i<=m) M*|y_i - x_i| = M*SOMA(1<=i<=m) |y_i - x_i| = M*norma da soma de (x - y) []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais
on 03.05.04 15:07, Eduardo Cabral at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Provar: Se f:U --> R possui derivadas parciais, com modulo( df(x)/dxi)<= M > (para i=1,...,m) em todos os pontos do aberto convexo U c R^m entao > modulo(f(x)-f(y))<=M*norma da soma(x-y) para quaisquer x,y pertencentes a U. > > Agradeço a todos pelas tão prestativas ajudas num e-mail que mandei outro > dia. > > Muito obrigado > Sejam x = (x_1,x_2,...,x_m) e y = (y_1,y_2,...,y_m) pertencentes a U. Entao, o teorema do valor medio diz que existe c = (c_1,c_2,...,c_m) pertencente ao segmento de reta que une x e y tal que: f(y) - f(x) = = SOMA(1<=i<=m) f_i(c)*(y_i - x_i). onde: grad(f)(c) = gradiente de f avaliado no ponto c; f_i(c) = derivada parcial df/dx_i avaliada no ponto c. Como U eh convexo, c pertence a U. Logo, |f_i(c)| <= M. Assim, teremos: |f(y) - f(x)| = |SOMA(1<=i<=m) f_i(c)*(y_i - x_i)| <= SOMA(1<=i<=m) |f_i(c)|*|y_i - x_i| <= SOMA(1<=i<=m) M*|y_i - x_i| = M*SOMA(1<=i<=m) |y_i - x_i| = M*norma da soma de (x - y) []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
