PRA é suficiente para fazer a teoria básica de sistemas formais (desde a definição de fórmula até, por exemplo, eliminação do corte para a lógica clássica ou intuicionista e segundo teorema da incompletude). PRA satisfaz os requerimentos intuicionistas, é na verdade muito mais restritivo. Na verdade, PRA define as funções de verdade como mostrado por Goodstein, Curry, Bernays,... (é fácil), e pode ser formulada sem quantificadores. É um cálculo muito simples, "logic free".
Os teoremas da lógica básica que falam de conjuntos (completude da logica de primeira ordem por exemplo) exigem algo mais (mas a completude da lógica de primeira ordem para linguagens enumeráveis também pode ser aritmetizada em PA - teorema de Hilbert-Bernays). A interpretação Dialética não fala de conjuntos mas também não funciona em PRA (a normalização forte dos lambda termos da interpretação dialética não é demonstrável em PRA). Acho que tudo isso era basicamente conhecido (de modo não necessariamente muito detalhado) pelo Hilbert (entre outros). O Nelson (aquele que acredita que 0 = 1) desenvolveu boa parte da teoria básica de sistemas formais (no contexto clássico) em sistemas mais restritivos que PRA, no âmbito da chamada aritmética limitada ou predicativa. Nesses sistemas certamente perde-se muita informação. Há mais de uma noção de consistência, por exemplo, que em PRA são equivalentes. A noçâo de consistência derivada do teorema de Herbrand é "bem comportada" nesse sistema. A noção "cut free" é bem comportada. A noção usual não é. Abraço Rodrigo 2012/4/10 Joao Marcos <[email protected]> > Sem dúvida, qualquer professor com um mínimo de experiência no ramo > sabe que é conveniente começar a partir de objetos com os quais os > alunos estejam "mais familiarizados". Por outro lado, parece > razoavelmente absurdo sugerir que um curso sobre *lógica clássica* > ("proporcional"? "proposicional"?) comece pela maiêutica! > > Um bom professor, e um bom livro, certamente devem dar uma ideia ao > aluno do porquê de cada resultado. Não há professores e livros, > contudo, que _garantam_ que o aluno realmente _compreenda_ este porquê > --- a compreensão do porquê pode transcender o aluno, naquela fase da > sua maturidade. Aliás, do discurso de alguns alunos titulados podemos > frequentemente perceber que eles não compreenderam bem o que lhes foi > (?) ensinado. O que fazer? Continuar ensinando, sempre melhor. > > Quanto à questão original, bastante interessante, de "por qual lógica > começar", suponho que um intuicionista empedernido responda de forma > diferente que os clássicos de plantão. Abundam livros na literatura, > de fato, que apresentam a lógica intuicionista _antes_ de apresentar a > clássica. Por outro lado, certamente é útil para aplicações práticas, > tanto na filosofia quanto na computação, apresentar ao aluno, em algum > momento, lógicas modais ou lineares ou [coloque aqui a sua classe de > lógicas preferida]. > > Quanto à observação de que é difícil ensinar lógica intuicionista a > partir de uma metamatemática inteiramente intuicionista, vale observar > que a metamatemática clássica que usamos para ensinar lógica clássica > proposicional ou de primeira ordem também costuma envolver lógica de > ordem superior. Logo, não parece ser tão fácil assim estudar um > sistema lógico usando apenas os recursos deste próprio sistema (e isto > é obviamente impossível, por exemplo, para sistemas lógicos > proposicionais). Qual será o mínimo de _matemática_ necessário para > estudar sistemas lógicos básicos? Não sei. PRA? > > JM > > > 2012/4/10 Décio Krause <[email protected]>: > > Tony > > Ok, retiro as palavras "mais intuitiva" (referindo-me à lógica > clássica), deixando no entanto o "mais familiarizados". Isso certamente se > deve a um acidente histórico ou coisa que o valha. Mas você parece requerer > que os alunos tenham já de início todas as intuições sobre os porquês, > coisa que eles irão adquirir na medida em que estudem o assunto, como por > exemplo saber para que necessitamos provar um teorema como o da completude > da lógica propositional clássica. Bom, uma vez, há muito tempo, colegas > minhas tentaram iniciar ensinando aritmética comum a professores de ensino > elementar na base 5. Deu um bafafá enorme, ninguém entendeu nada, mas pelo > menos eles ficaram sabendo o tipo de dificuldade que os alunos deles tinham > com a base 10. Uma ideia meio maluca, mas interessante. > > D > > -- > http://sequiturquodlibet.googlepages.com/ > _______________________________________________ > Logica-l mailing list > [email protected] > http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l > _______________________________________________ Logica-l mailing list [email protected] http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
