Viva, Luis:
> O "if, ..., then..." usado por Russel & Whitehead no Principia geralmente
> refere à relação de entailment - não a um condicional. Isso é mostrado por
> Sanford no seu livro *If P than Q: Conditional and The Foundations of
> Reasoning*. Parece que o trabalho de R&W não é muito preciso em distinguir
> entailment de condicionais, em que o primeiro conceito refere a uma relação
> entre sentenças (ou proposições), e o segundo refere a um conectivo que faz
> parte de uma sentença (ou proposição).
Com efeito, boa parte da literatura filosófica até os dias de hoje
parece revelar a mesma dificuldade... Um dos resultados disto é uma
supervalorização absurda do conceito de *teoremas* (frequentemente
expressos com o auxílio de condicionais), em detrimento da noção de
*inferência* (expressa com o uso da noção de entailment). R&W não
tinham nada disso claro, assim como não tinham claro, obviamente, a
própria ideia de completude forte de um sistema dedutivo.
> Veja essa distinção com uma certa importância para a distinção relevante
> entre axiomas e regras de derivação. Axiomas são sentenças com determinados
> conectivos, e regras de derivação podem ser precisamente expostas por meio
> do sinal de acarretamento. Parece que todo axiomas pode dar origem a uma
> regra de inferência (com o conjunto vazio de premissas); mas nem toda regra
> de inferência pode dar origem a um axioma (embora toda regra de inferência
> possa dar origem a um teorema) - em que os axiomas que podem ser mostrados
> como tendo alguma relação direta com regras de inferência são sentenças
> condicionais. Assim,
>
> (AX1) p->p
>
> é um axioma que corresponde à regra de derivação expressa por
>
> (RD1) p |- p
>
> Que lhes parece?
Se você trocar todos os axiomas implicativos usuais à la
Hilbert-Bernays por regras de derivação, o *metateorema da dedução*
pode de fato se tornar problemático: de fato, ele é demonstrável sobre
o sistema intuicionista/clássico proposicional por indução sobre a
construção das derivações em sistemas nos quais *modus ponens é a
única regra de inferência*. Se você acrescentar novas regras (como a
regra de generalização típica das lógicas de primeira ordem, ou a
regra de necessitação típica das lógicas modais mais conhecidas),
parte do passo indutivo da demonstração do metateorema da dedução pode
falhar.
O equívoco de pensar que axiomas podem ser *substituídos* por regras
de derivação sem prejuízo do sistema dedutivo subjacente é fácil de se
cometer (as regras certamente são derivadas dos axiomas usando modus
ponens, mas o contrário pode não ocorrer, caso não se possa garantir
de alguma forma a validade do metateorema da dedução). Eu próprio o
cometi em um artigo de referência ("A Taxonomy of C-systems") que
escrevi com o Walter.
Abraços,
Joao Marcos
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