Olá, pessoal.
Como o João Marcos já esclareceu, nossa discussão revela uma certa
confusão entre a demonstração de que os números naturais podem ser
relacionados bijetivamente com os números (im)pares (ou outros
supostos subconjuntos próprios dos naturais), ideia cuja origem
precede Cantor (Galileu, Dedekind e outros), e o argumento diagonal de
Cantor que mostra que os números reais tem cardinalidade diferente
daquela dos números naturais.
O primeiro argumento de fato não assumi nada sobre a natureza do
infinito, mas o segundo, ao menos em sua formulação mais comum,
aparentemente pressupõe totalidades infinitas completadas, ainda que
seja um argumento por redução ao absurdo (posso elaborar esse ponto,
se alguém sentir que é necessário).
O primeiro argumento é relativamente incontroverso, mas o argumento
diagonal tem sido ocasionalmente contestado, algumas vezes por gente
aparentemente competente. Wilfrid Hodges escreveu um artigo muito
interessante à respeito:
An editor recalls some hopeless papers. The Bulletin of Symbolic
Logic. Volume 4, Issue 1, March 1998. Postscript file available at:
http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/0401-toc.htm
Aqui na Alemanha, Wolfgang Mückenheim[1] causa bastante polêmica sobre
o assunto. Ele tem participado de discussões, muitas delas pouco
produtivas, em fóruns virtuais como o sci.math (assinando sempre com
suas iniciais "WM"), embora, algumas vezes, essas discussões revelem
informações históricas interessantes[2]. Algumas pessoas tem exigido
que, por conta de suas ideias controversas no que concerne o infinito
e a teoria de conjuntos, Mückenheim seja removido e proibido de
lecionar, uma sugestão certamente inapropriada.
É curioso que a teoria Cantoriana dos conjuntos atraia tanta confusão
e tantos rivais. Ao que me parece, um dos motivos pode ser sua
difusão descuidada por meio de alegações aparentemente fantásticas,
como a de que existem infinitos maiores que o infinito (sem esclarecer
o conceito de cardinalidade e o que "maior" significa nesse contexto).
Algo similar ocorre com os teoremas de Gödel e alegações sobre
verdades matemáticas indemonstráveis ou incognoscíveis, ou sobre o
poder relativo entre mentes e máquinas de Turing. Para piorar, tanto
Cantor quanto Gödel foram tentados pelo misticismo fantástico (por
exemplo, tentando relacionar seus resultados com teologia) e, no
ambiente altamente personalista que vigora na ciência atualmente, eles
são ocasionalmente tomados, sem muita reflexão, como autoridades.
Por falar na exaltação de cientistas, um documentário recente sobre o
Cantor (em alemão, legenda em alemão disponível):
https://www.ardmediathek.de/tv/MDR-Dok/Georg-Cantor-Der-Entdecker-der-Unendli/MDR-Fernsehen/Video?bcastId=17603862&documentId=50543922
https://www.ardmediathek.de/tv/MDR/Georg-Cantor-Der-Entdecker-der-Unendli/mdr-de/Video?bcastId=15123138&documentId=50613182 (mesa redonda sobre o
documentário)
Notas:
[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_M%C3%BCckenheim
[2] https://de.sci.mathematik.narkive.com/LWMTIIfp/kronecker-und-cantor
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Hermógenes Oliveira
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