At 00:30 23/10/01 -0200, you wrote:
> Oi Bruno! Td bom? Tb achei a prova legal.. Qto ao resultado, acho que
>fiz a 1 e a 5, nao completei direito a 2 pq nao lembrava exatamente do
>enunciado (ou prova) de um teorema que tinha na Eureka 3 (no artigo de
>fracoes continuas) que me ajudaria muito. Na 4, que eu achei uma questao bem
>interessante, eu tmb
>escrevi.
Podia usar o teorema da equidistribui��o de {an} (a irracional, n natural)
mod 1 na quest�o 2?
Acho que se pudesse usar a quest�o ficaria quase trivial! (eu, por via das
d�vidas, n�o usei)
O teorema acima diz o seguinte (informal): a probabilidade de vc ter
x<{an}<y � y-x.
( onde {x}=x-[x] � a parte fracion�ria de x.) Isso mostra que a sequ�ncia
{an} � equidistribuida em [0,1).
-----------
Eu acho que fiz a 1 a 2 e a 6 mais ou menos direitinho. Achei que tinha
feito a 4 certo, deixei uma meia hora do final para escrever a solu��o e
umas 6h20 vi que estava tudo errado!!! A� tentei consertar, nem sei se deu
certo ou n�op, pq s� achei uma recorr�ncia... Fiquei meio chateado pq achei
perdi uma quest�o f�cil de bobeira.
> Fiquei um tempao, umas 2h30m ou mais escrevendo nela, mas ja descobri q
>errei uma bobagem na solucao.. Na hora achei logo uma recorrencia que
>parecia facilitar a coisa e acreditei nela.. Ela se mostrou util, mas eh
>provavelmente uma maneira bem horrivel de se fazer a questao.. Acabou
>demorando bem mais do que eu imaginava ...
> E voce, como foi na prova? Quais voce conseguiu fazer? Como foi o
>pessoal ai na USP? Do pessoal que eu conversei que fez a prova comigo,
>parece que a maioria foi mais ou menos igual a mim, acertando umas duas (O
>pessoal acertava em geral a 1 e a 4).
> Alem da 3, ainda nao consegui enxergar nada muito interessante na 6.
> Depois me mostraram algumas solucoes bem mais legais pra dois (a melhor
>que eu vi ateh agora criava 2 sequencias auxiliares para trelicas
>semelhantes a do problema e ai ficava bem simples.. )
A� vai minha solu��o para a dois:
Seja y=ax a reta. Se a � racional � trivial. Ent�o suponha a
irracional.Basta provarmos que a equa��o em n,
{an}<epsilon
tem infinitas solu��es para todo epsilon.
Mas {an} � limitada e injetora, ent�o tem um ponto de acumula��o x. Vc pega
dois caras pr�ximos de x e a� vale que existem p,q tais que
{ap}-{aq}<epsilon. A� eu provei que |{ap}-{aq}| ou � {a(p-q)} ou {a(q-p)}.
Ent�o a equa��o {an}<epsilon tem uma solu��o n=p-q ou q-p inteira. A� �
f�cil ver que tem infinitas,pq se s� tivesse finitas solu��es, digamos
p_1,...p_r, ent�o vc toma epsilon =min{{ap_1},{ap_2}...{ap_r}} e arruma
outra solu��o diferente das primeiras.
Bruno
>Bom, depois de reescrever tudo aqui no papel, ver onde eu tinha me enganado,
>e achar a nova resposta, nao aguentei e digitei aqui pra mandar pra lista
>tmb! Espero que vc e mais alguem alguem tenha paciencia de ler e/ou
>comentar! :)
> Minhas ideias na dois seguem no proximo email!
>
> Gostaria ainda de deixar uma pergunta sobre a questao 5. Eu consegui
>fazer a letra (b) usando a (a), mas hoje o
>Luciano me disse que tinha uma solucao legal do Nicolau integrando no plano
>complexo, que eu acabei esquecendo de perguntar.. Alguem (ou o proprio
>Nicolau) pode me mostrar como? Na prova, antes da (a), eu cheguei a tentar
>olhar pra integral como uma integral complexa no semicirculo de raio
>1(substituindo cosx = z + 1/z), mas nao sabia como achar os polos daquela
>funcao para poder integrar..
>
>Marcio
>
>----- Original Message -----
>From: "Bruno Fernandes Cerqueira Leite" <[EMAIL PROTECTED]>
>To: <[EMAIL PROTECTED]>
>Sent: Monday, October 22, 2001 10:52 PM
>Subject: Re: OBM
>> ...
>> Acho que a Nelly tamb�m cometeu erros tipogr�ficos na quest�o 3 do n�vel
>> universit�rio! :-)
>>
>> Essa quest�o era beeeeeem dif�cil, eu at� agora n�o sei como fazer um
>> avan�o n�o trivial.
>>
>> Ali�s, ningu�m parabenizou ainda a prova da universit�ria, ent�o eu vou
>> parabenizar: estava muito boa, as quest�es eram muito bonitas: valeu a
>pena
>> pensar 9 horas nelas! (eu at� pensaria mais) Como vcs foram?
>>
>> Bruno Leite
>>
>> >[]s, N.
>> >
>> >
>>
>
>
