A� vai uma solu��o para o problema 4 do N�vel 3, s� que n�o est� completa, � necess�rio demonstrar alguns trechos que somente vou enunciar: Para quem n�o lembra o enunciado � o seguinte:
4) Uma calculadora tem o n�mero 1 na tela. Devemos efetuar 2001 opera��es, cada uma das quais consistindo em pressionar a tecla sen ou a tecla cos. Essas opera��es calculam respectivamente o seno e o cosseno com argumentos em radianos. Qual � o maior resultado poss�vel depois das 2001 opera��es? Como cos e sen variam entre - 1 e 1, evidentemente tentaremos alcan�ar um n�mero que seja o mais pr�ximo poss�vel de 1. Alguns fator s�o relevantes: 1) entre 0 e pi/2 a fun��o sen x � crescente; 2) se x � pr�ximo de zero ent�o cos x � pr�ximo de 1; 3) para que sen x seja pr�ximo de 1 ent�o x deve ser bastante pr�ximo de pi/2 > 1; 4) se 0 < x < pi/4 ent�o sen x < cos x e se pi/4 < x < pi/2 ent�o senx > cos x. Ainda mais, se 0 < x < pi/4, ent�o sen x < x. 5) Se tivermos 1 escrito na calculadora e apertarmos somente a tecla cos os n�meros que v�o aparecendo v�o aproximando cada mais do n�mero que � solu��o da equa��o cos x = x (aqui � necess�rio demonstrar). Este n�mero � aproximadamente x = 0,73; 6) se apertarmos somente a tecla sen os n�meros que v�o aparecendo v�o aproximando cada mais do n�mero que � solu��o da equa��o sen x = x (tamb�m � necess�rio demonstrar). Este n�mero � x = 0; Dos fatos 2 e 3 conclu�mos que a melhor estrat�gia para conseguir o maior n�mero poss�vel � alcan�ar um n�mero positivo mais pr�ximo poss�vel de 0 at� a 2000a. opera��o e depois apertar cos, aparecendo assim um n�mero muito pr�ximo de 1, uma vez que n�o � poss�vel obter um n�mero pr�ximo de pi/2 na calculadora pois pi/2 � aproximadamente 1,55. Dos fatos 5 e 6 conclu�mos que apertar seguidamente a tecla cos n�o ajuda em nada, pois vamos sempre nos aproximar de um n�mero (aproximadamente 0,73) que est� longe de 0. De in�cio, como temos escrito 1 na calculadora, do fato 4 � melhor apertar cos, pois cos 1 < sen 1. Desde que cos 1 < pi/4 (� necess�rio demonstrar), a 2a. tecla a ser apertada deve ser sen. Dos fatos 1 e 4, como cos 1 < pi/4, temos que sen (cos 1) < cos 1. Dos fatos 1, 4 e 6, se continuarmos a apertar a tecla sen iremos sempre conseguir n�meros positivos cada vez menores. Assim, depois da 1a. opera��o (que � apertar cos) devemos apertar sen 1999 vezes. Depois destas opera��es teremos na calculadora um n�mero positivo muito pr�ximo de 0, bastando na 2001a. opera��o apertar cos e assim alcan�ar um n�mero muito pr�ximo de 1. Assim, o maior n�mero poss�vel � cos (sen (sen (sen (...(sen (cos 1)))...))), onde aplicamos sen 1999 vezes. Acho que � isso, talvez falte demonstrar mais criteriosamente alguns trechos, mas acredito que todas as id�ias necess�rias s�o estas. At� mais, Marcelo Rufino ----- Original Message ----- From: Carlos Stein Naves de Brito <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, October 23, 2001 9:37 PM Subject: obm > Gostaria de ver uma solucao para 4 da obm nivel 3! >
