At 13:45 23/10/01 -0200, you wrote: >On Tue, Oct 23, 2001 at 09:01:28AM -0200, Bruno Fernandes Cerqueira Leite wrote: >> At 00:30 23/10/01 -0200, you wrote: >> > Oi Bruno! Td bom? Tb achei a prova legal.. Qto ao resultado, acho que >> >fiz a 1 e a 5, nao completei direito a 2 pq nao lembrava exatamente do >> >enunciado (ou prova) de um teorema que tinha na Eureka 3 (no artigo de >> >fracoes continuas) que me ajudaria muito. Na 4, que eu achei uma questao bem >> >interessante, eu tmb >> >escrevi. >> >> Podia usar o teorema da equidistribuição de {an} (a irracional, n natural) >> mod 1 na questão 2? >> Acho que se pudesse usar a questão ficaria quase trivial! (eu, por via das >> dúvidas, não usei) >> >> O teorema acima diz o seguinte (informal): a probabilidade de vc ter >> x<{an}<y é y-x. >> ( onde {x}=x-[x] é a parte fracionária de x.) Isso mostra que a sequência >> {an} é equidistribuida em [0,1). > >Claro que este teorema pode ser usado mas não acho que a questão fique >tão trivial assim com este teorema. Lembrando, a questão é: > >Seja (epsilon) um número real positivo arbitrário. >Com centro em todos os pontos do plano com coordenadas inteiras, >traça-se um círculo de raio (epsilon). >Prove que toda reta passando pela origem >intercepta uma infinidade desses círculos. > >[]s, N. > Basta provarmos que {an}<epsilon (a é irracional) tem infinitas soluções ({an} e´a parte fracionária de an=an-[an]) pois se n_0 é solução de {an}<epsilon, o ponto (n_0, an_0) dista menos de epsilon de um ponto P de coordenadas inteiras, logo a bola de raio epsilon em torno de P intercepta a reta y=ax.
Mas, com o teorema da equidistribuição, sabemos que A(N)/N tende a epsilon, onde A(N) é o número de naturais <=N que satisfazem {an}<epsilon. (talvez o problema seja aqui, vou ver o enunciado formal do teorema depois) Aí é claro que A(N)->infinito, e acabou! (está errado?) Bruno