1�(I)Prove, para todo n�mero real positivo x,y,z, a seguinte inequa��o: (xy+yz+zx)*[1/(x+y)� + 1/(y+z)� + 1/(z+x)�]>=1/4.
2�(II)Prove, para todo inteiro positivo n, que (2^1/2)*(4^1/4)*..*[(2 ^n)^1/(2^n)] <4 3�(III)Prove que 2*sen(2�)+4sen(4�)+...+178*sen(178�)= 90*cotg(1�). 4�(IV)Resolva o sistema de equa��es: i)raiz(3x)*[1+1/(x+y)]=2 ii)raiz(7y)*[1-1/(x+y)]=4*raiz(2) 5�(V) Seja a,b,c,d 4 n�meros reais n�o negativos que satisfazem a condi��o 2*(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=16. Prove que a+b+c+d>=2/3*(ab+ac+ad+bc+bd+cd) e determine o caso de igualdade. 6�(VI)Seka m e n inteiros positivos tal que n=<m. Prove que (2^n)*n!=< (m+n)!/(m-n)! =<(m�+m)^n. 7�(VII) Seja a,b e c medidas dos lados de um tri�ngulo. Prove que: raiz(a+b-c)+raiz(b+c-a)+raiz(c+a-b)=<raiz(a) +raiz(b)+raiz(c) 8�(VIII) Demonstrar que para qualquer valor inteiro e positivo de m 1/2� + 1/3� + ... + 1/n� < (n-1)/n 9�(IX)Demonstrar que para quaisquer valores real e x, y e z � v�lida a desigualdade 4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y�z�>=0 10�(X)(IMO/1987) O prolongamento da bissetriz AL do tri�ngulo acut�ngulo ABC encontra o c�rculo circunscrito em N. Por L tra�am-se perpendiculares LK e LM aos lados AB e AC, respectivamente. Prove que a �rea do tri�ngulo ABC � igual � �rea do quadril�tero AKMN. 11�(XI) Sejam a,b,c as ra�zes da equa��o x�=x�+x+1. Prove que (a^1995-b^1995)/(a-b) + (b^1995-c^1995)/(b-c) + (c^1995- a^1995)/(c-a) � inteiro. 12�(XII) SEndo a,b,c racionais distintos, prove que 1/(a-b)� + 1/(b-c)� + 1/(c-a)� � sempre o quadrado de um n�mero racional. The End. __________________________________________________________________________ E-mail Premium BOL Antiv�rus, anti-spam e at� 100 MB de espa�o. Assine j�! http://email.bol.com.br/ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
