> 5°)Prove que 1-log2 [cos²(2xy) + 1/cos²(2xy)] >= (1 + > 1/xy)² vale para qualquer x,y pertencente aos reais. > (Croácia 2002) > Obs: log2 x é log de x na base 2. > A desigualdade está invertida. O que é verdade em geral é que: 1 - log2[cos^2(2xy) + 1/cos^2(2xy)] <= (1 + 1/(xy))^2
Também devemos restringir os valores de x e y de forma que: A) xy <> 0 ==> x <> 0 e y <> 0 B) cos(2xy) <> 0 ==> xy <> (2k+1)Pi/4, onde k é inteiro. Com estas restrições em mente, façamos 1/xy = u. Então: i) cos^2(2/u) + 1/cos^2(2/u) >= 2 qualquer que seja u real com cos(2/u) <> 0. Dem: Fazendo cos(2/u) = a, teremos: (a^2 - 1)^2 >= 0 ==> a^4 - 2a^2 + 1 >= 0 ==> a^4 + 1 >= 2a^2 ==> a^2 + 1/a^2 >= 2 ==> cos^2(2/u) + 1/cos^2(2/u) >= 2 ----- Logo, log2[cos^(2/u) + 1/cos^2(2/u)] >= log2(2) = 1 (i) ii) Por outro lado, é óbvio que 1 - (1 + u)^2 <= 1, para todo u real (ii) (i) e (ii) ==> log2[cos^(2/u) + 1/cos^2(2/u)] >= 1 - (1 + u)^2 ==> log2[cos^2(2xy) + 1/cos^2(2xy)] >= 1 - (1 + 1/(xy))^2 ==> 1 - log2[cos^2(2xy) + 1/cos^2(2xy)] <= (1 + 1/(xy))^2 Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================