> 2�(II)Prove, para todo inteiro positivo n, que > (2^1/2)*(4^1/4)*..*[(2 ^n)^1/(2^n)] < 4 > P = (2^(1/2))*(4^(1/4))*(8^(1/8))*...*((2^n)^(1/2^n)) ==> P = (2^(1/2))*(2^(2/4))*(2^(3/8))*...*(2^(n/2^n)) ==> P = 2^(1/2 + 2/4 + 3/8 + ... + n/2^n) = 2^E
O expoente E � calculado da seguinte forma: E = 1/2 + 2/4 + 3/8 + ... + n/2^n ==> (1/2)*E = 1/4 + 2/8 + ... + (n-1)/2^n + n/2^(n+1) ==> (1 - 1/2)*E = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n - n/2^(n+1) ==> E = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^(n-1) - n/2^n ==> E = (1 - 1/2^n)/(1 - 1/2) - n/2^n ==> E = 2*(1 - 1/2^n) - n/2^n = 2 - (n+2)/2^n < 2 Logo, 2^E < 2^2 = 4 ************* > 3�(III)Prove que 2*sen(2�)+4sen(4�)+...+178*sen(178�)= > 90*cotg(1�). > Tendo em conta que sen(180 - x) = sen(x), teremos: Soma = 2*sen(2) + 4*sen(4) + ... ... + 88*sen(88) + 90*sen(90) + 92*sen(88) +... ... + 176*sen(4) + 178*sen(2) ==> Soma = 180*(sen(2) + sen(4) + ... + sen(88)) + 90 ==> Usando a f�rmula: sen(x)+sen(2*x)+...+sen(n*x) = [sen(n*x/2)*sen((n+1)*x/2)]/sen(x/2), com x = 2 graus e n = 44, teremos: Soma = 180*[ sen(44*2/2)*sen(45*2/2) ]/sen(2/2) + 90 ==> Soma = 180*sen(44)*sen(45)/sen(1) + 90 ==> Usando que sen(45) = cos(45) = 1/raiz(2) e que: sen(44) = sen(45-1) = sen(45)cos(1) - cos(45)sen(1), ou seja, sen(44) = [cos(1) - sen(1)]/raiz(2), teremos: Soma = 180*[cos(1) - sen(1)]/raiz(2)*[1/raiz(2)]/sen(1) + 90 ==> Soma = 180*[cos(1) - sen(1)]/[2*sen(1)] + 90 ==> Soma = 90*cotg(1) - 90 + 90 = 90*cotg(1) ************** > 8�(VIII) Demonstrar que para qualquer valor inteiro e > positivo de m > 1/2� + 1/3� + ... + 1/n� < (n-1)/n > 1/2^2 < 1/(1*2) = 1 - 1/2 1/3^2 < 1/(2*3) = 1/2 - 1/3 .... 1/n^2 < 1/(n-1)*n) = 1/(n-1) - 1/n Somando tudo e cancelando os termos comuns, ficamos com: 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/n^2 < 1 - 1/n = (n-1)/n ************** > 11�(XI) > Sejam a,b,c as ra�zes da equa��o x�=x�+x+1. Prove que > (a^1995-b^1995)/(a-b) + (b^1995-c^1995)/(b-c) + (c^1995- > a^1995)/(c-a) � inteiro. > Inicialmente, temos que verificar se a, b e c s�o distintos. p(x) = x^3 - x^2 - x - 1 ==> p'(x) = 3x^2 - 2x - 1 Ra�zes de p'(x): x = 1 e x = -1/3 p(1) = -2 e p(-1/3) = -22/27 Logo, p(x) n�o tem nenhuma raiz em comum com p'(x) ==> a, b e c s�o distintos. Agora, defina, para todo inteiro n >= 0, F(n) = (a^n-b^n)/(a-b) + (b^n-c^n)/(b-c) + (c^n-a^n)/(c-a) Em seguida, use que: F(0) = 0 + 0 + 0 = 0; F(1) = 1 + 1 + 1 = 3; F(2) = (a+b)+(b+c)+(c+a) = 2*(a+b+c) = 2*1 = 2 (consequ�ncia das f�rmulas de Viete para a rela��o entre coeficientes e ra�zes de um polin�mio) e que a^3 = a^2 + a + 1 ==> a^(n+1) = a^n + a^(n-1) + a^(n-2) (multiplicando por a^(n-2); igualmente para b e c) para provar, por indu��o, que F(n) � inteiro para todo n inteiro positivo. ****************** > 12�(XII) > SEndo a,b,c racionais distintos, prove que > 1/(a-b)� + 1/(b-c)� + 1/(c-a)� � sempre o quadrado de um > n�mero racional. > Podemos reduzir a, b e c a um denominador comum (d) tal que: a = m/d, b = n/d, c = p/d onde m, n, p s�o inteiros distintos e d � inteiro e <> 0 1/(a-b)^2 = 1/(m/d - n/d)^2 = d^2/(m-n)^2 1/(b-c)^2 = d^2/(n-p)^2 1/(c-a)^2 = d^2/(p-m)^2 Soma = d^2*(1/(m-n)^2 + 1/(n-p)^2 + 1/(p-m)^2) Pondo m-n = u e n-p = v, teremos que p-m = -(u+v). Assim: Soma = d^2*(1/u^2 + 1/v^2 + 1/(u+v)^2) ==> Soma = d^2*[(u^2+v^2)*(u+v)^2 + u^2*v^2]/[u^2*v^2*(u+v)^2] O denominador � igual a [u*v*(u+v)]^2 ==> quadrado perfeito O numerador � igual a: d^2*[(u^2+v^2)*(u^2 + 2*u*v + v^2) + u^2*v^2] = d^2*[(u^2+v^2)^2 + 2*(u^2+v^2)*u*v + u^2*v^2] = d^2*(u^2 + v^2 + 2*u*v)^2 ==> quadrado perfeito Logo, Soma = [ d*(u^2 + v^2 + 2*u*v) ]^2 / [u*v*(u+v)]^2 ==> quadrado de um n�mero racional Um abra�o, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
