Oi, Osvaldo: A solucao que eu tinha em mente usa o fato de que a derivada (n+1)-esima de uma funcao polinomial de grau n eh a funcao identicamente nula e obtem uma contradicao a partir disso, pois as derivadas de ordem superior da funcao cosseno nunca sao identicamente nulas.
De uma olhada na solucao do Fabio. Por outro lado, acho que o caminho que voce tomou eventualmente chega lah, mas a algebra pode ficar meio enrolada, com voce deve ter percebido. Alem disso, ha um erro no coeficiente de x^1 do lado esquerdo, o qual deveria ser 4*a_1*a_2 + 2*a_1*a_0 = 2*a_1*(2*a_2 + a_0). Uma forma melhor eh comecar supondo que cos(x) seja um polinomio de grau n. Claramente, n >= 1, pois cos(x) nao eh constante. Nesse caso, expandindo cos^2(x) + sen^2(x), obtemos que o coeficiente de x^(2n) serah igual a a_n^2. Mas cos^2(x) + sen^2(x) = 1. Logo, a_n^2 = 0 ==> a_n = 0 ==> cos(x) tem grau no maximo (n-1) ==> contradicao ==> cos(x) nao pode ser um polinomio. []s, Claudio. on 01.06.04 01:35, Osvaldo at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Eu tentei, mas acho que errei em algum lugar. Por favor > encontrem meu erro! > > Vou supor que cos possa ser escrito como um polinomio. > cos x = a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n; a_i reais nao > simultaneamente nulos. > > Derivando vem que cos'x = sen x = > a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1) > > Da identidade cos^2(x)+sen^2(x)=1 vem: > > [a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1)]^2+ > [a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n]^2 = 1 > > Logo, temos que > a_1^2+a_0^2=1 (*) > 4.a_2^2+a_1^2=0 > . > . > . > > n^2.a_(n-1)^2+a_n^2=0 > > Mais 4.a_2^2+a_1^2=0 em R somente se a_2 e a_1 s�o > ambos nulos. logo a_1=0 (**) > > Substituindo ** em * eu vejo que a_0^2 deve ser 1 e > logo que a_0 � 1. > > Acho que isso � uma contradi�ao, pois x varre o > intervalo [a,b] e a!=b. Se assim o for est� provado, > mais acho que devo ter errado em algum lugar, se > puderem me enviem o erro. At� > >> Uma versao um pouco mais dificil: >> >> Sejam a e b numeros reais com a < b. >> Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x) >> nao eh uma funcao polinomial. >> >> Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se > aplica... >> >> []s, >> Claudio. >> >> ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
