Um outro paradoxo interessante éh o conceito de conjunto de todos os conjuntos. Embora faca aparente sentido, eh contraditorio.
Se este conjunto universal U existir, entao U contem o conjunto P(U) de suas partes. Logo, a cardinalidade de U é maior ou igual que a de P(U). Mas Cantor provou que todo conjunto tem cardinalidade menor do que a do conjunto de suas partes. Mas eu nao acho que estes assuntos sejam perda de tempo, acho ateh que dao charme aa matematica. Muitos dizem que a Matematica e arida, pensam nela como assiciada a calculos, contas. Eh porque nao conhecem estes pontos filosoficos. Artur -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Luiz Rodrigues Enviada em: terça-feira, 9 de setembro de 2008 12:47 Para: [email protected] Assunto: Re: [obm-l] Teoria dos Conjuntos Olá Albert!!! Tudo bem??? Muito obrigado pela resposta e pela paciência também. Eu imprimi e li, com cuidado, a sua mensagem, que foi de grande ajuda para mim. Vou seguir o seu conselho e não perder meu tempo com estes detalhes enlouquecedores... Agora eu vou consultar uns sites sobre os paradoxos que você mencionou (o do barbeiro eu já conhecia...) Abração!!! Luiz. 2008/9/5 Bouskela <[EMAIL PROTECTED]>: > Luiz: > > Eu já elucidei esta dúvida! Veja minha mensagem "O Conectivo Lógico "SE..., > ENTÃO..."", postada por mim em 4.SET.2008 (está também copiada abaixo). > > Em síntese, deve-se saber se "ser nada" é um atributo próprio do elemento > "x", ou, como você diz, se "ser nenhum elemento" é um atributo próprio (e > logicamente possível) do elemento "x". E a reposta é NÃO! Porque, caso fosse > SIM, acarretaria uma proposição auto-contraditória: "x" é um elemento (no > âmbito da Lógica Clássica, qualquer "coisa" é um elemento de algum(ns) > conjunto(s)) E (conectivo lógico "^") "x" é nenhum elemento .. claramente > uma proposição auto-contraditória. > > As proposições auto-contraditórias foram eliminadas da Lógica Clássica para > evitar paradoxos tais como o de Bertrand Russell (O Barbeiro de Sevilha - > 1901): > > Em Sevilha, todos os homens não têm (usam) barba! I.e., todos os homens > fazem a barba! > > Há em Sevilha um único barbeiro que reúne as duas condições seguintes: > > 1) faz a barba de todas as pessoas de Sevilha que não fazem a barba de si > próprias; E > > 2) só faz a barba de quem não faz a barba de si próprio. > > O paradoxo surge quando se tenta saber se o desventurado barbeiro faz a > barba de si próprio ou não. Se fizer a barba de si próprio, não pode fazer a > barba de si próprio, para não violar a condição 2; mas se não fizer a barba > de si próprio, então tem de fazer a barba de si próprio, pois essa é a > condição 1 para que ele se decida a desempenhar o seu ofício. > > Veja, em sites da Internet, a formulação matemática (Teoria dos Conjuntos) > do paradoxo de Russell. > > Paradoxos, tais como o de Russell, são decorrentes de que em diversas > teorias dedutíveis (inclusive as matemáticas) o Conjunto Universo (U) é > objeto (elemento) de si próprio. P.ex., na Geometria Euclidiana Plana, o > próprio "plano" é o Conjunto Universo e é, também, objeto (elemento) de si > próprio. > > Isto acarreta paradoxos tais como o de Roger Penrose (Paradoxo da > Biblioteca): > > Em uma Biblioteca existem somente livros. Foram escritos mais 2 livros para > fazerem parte desta Biblioteca: em um deles foi escrita a lista de TODOS os > livros que fazem referência a si próprios (livro 1); no outro, foi escrita a > lista de TODOS os livros que NÃO fazem referência a si próprios (livro 2). > Em qual dos dois livros deve aparecer (constar) o livro 2? > > Você mesmo pode ver que a resposta a esta pergunta é auto-contraditória: não > pode ser no livro 1 (pois não há, no livro 2, referência a si próprio); > também não pode ser no livro 2, pois aí, no livro 2, haveria uma referência > a si próprio! > > O "porquê" deste paradoxo: o Conjunto Universo (refiro-me a lista de todos > os seus elementos) desta Biblioteca é a UNIÃO dos livros 1 e 2. Entretanto, > estes mesmos 2 livros são elementos (fazem parte) da Biblioteca (i.e., do > Conjunto Universo)! > > E por aí vai... > > Questões tais como estas só devem preocupar a mente daqueles malucos que já > estudaram um bom bocado Lógica Matemática. Não perca seu tempo com elas! > > Agora, leia ATÉ O FINAL a mensagem abaixo! E preste bastante atenção para o > fato de que as proposições básicas (P e Q) devem ser decidíveis! Pelo menos > até o Gödel aparecer... > > "O Conectivo Lógico "SE..., ENTÃO..."" – 4.SET.2008 > > LEIAM ATÉ O FINAL! > > Um dos problemas passados desta Lista tratava de analisar se era verdadeira > ou falsa a seguinte proposição: > > SE 'x' pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO 'x' é verde. > > E isto não é tão simples! Leiam até o final! > > Inicialmente, acho que, nas respostas a este problema, houve uma discussão > desnecessária, que incluiu a chamada 'hipótese vazia' ou 'vacuidade'. > > Explico-me: o cerne da questão está na análise de uma proposição do tipo > P=>Q (SE 'P' ENTÃO 'Q') , na qual P é 0 (falso). Neste caso, a proposição > P=>Q é sempre 1 (verdadeira). Isto é decorrência da DEFINIÇÃO do conectivo > lógico 'se... então...' (=>). Esta DEFINIÇÃO é feita através da seguinte > tabela-verdade: > > P Q P=>Q > 0 1 1 > 0 0 1 > 1 0 0 > 1 1 1 > > Esta DEFINIÇÃO, é claro, é compatível (assemelha-se) com a linguagem humana, > que não é, formal e necessariamente, lógica. > > Em síntese, quer dizer o seguinte: partindo-se de uma hipótese falsa, > pode-se (deve-se) concluir que qualquer proposição (falsa ou verdadeira) > seja verdadeira. Exemplos: > > 'SE o meu cachorro mora na Lua, ENTÃO o Lula está (é) o Presidente do > Brasil' ... 1 (proposição verdadeira). > > 'SE o meu cachorro mora na Lua, ENTÃO o Lula está (é) o Imperador do Japão' > .. 1 (proposição verdadeira - pode até ser que o Lula pense que é mesmo o > Imperador do Japão...). > > 'SE 0=2 , ENTÃO 3=5' ... 1 (proposição verdadeira, e facilmente > 'demonstrável') > > 0=2 => 0+3=2+3 => 3=5 > > 'SE 0=2 , ENTÃO 0=4' ... 1 (outra proposição verdadeira, e facilmente > 'demonstrável') > > 0=2 => 0+2=2+2 => 0+2(=0) = 4 => 0=4 > > Bem, o que interessa é que SE (P)=0, ENTÃO (P=>Q)=1. > > A melhor maneira de ENTENDER isto (esta DEFINIÇÃO) é construir uma > proposição lógica equivalente, que seja mais 'palatável' à linguagem humana. > Por exemplo: (~PvQ) (~=NÃO ; v=OU). Vejam as respectivas tabelas-verdade: > > P Q P=>Q ~P Q ~PvQ > 0 1 1 1 1 1 > 0 0 1 1 0 1 > 1 0 0 0 0 0 > 1 1 1 0 1 1 > > Assim: (P=>Q) = (~PvQ) , porque têm tabelas-verdade idênticas. > > E a proposição do aluno fica, claramente, verdadeira (LEIAM ATÉ O FINAL!): > > SE 'x' pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO 'x' é verde. > > É equivalente à proposição: > > 'x' NÃO pertence ao { } (conjunto vazio) OU 'x' é verde. > > P [ 'x' NÃO pertence ao { } (conjunto vazio) ] é, obviamente, 1. Por > DEFINIÇÃO, o conectivo 'v' (OU) exige, para ser 1, que PELO MENOS uma das > proposições (dentre P e Q) seja 1. Logo, a proposição [ 'x' NÃO pertence ao > { } (conjunto vazio) OU 'x' é verde ] é 1, qualquer que seja Q [ 'x' é verde > ]. Q pode ser 1 ou 0. > > É claro que a DEFINIÇÃO do conectivo 'v' (OU) é também compatível com a > linguagem humana. > > IMPORTANTE: > A dificuldade que se tem para se admitir como verdadeira qualquer proposição > do tipo P=>Q , na qual P é 0 (e Q é 0 ou 1), está no fato de pensar (achar) > que se afirma (se prova) que Q seja 1 , e isto não é verdade! O que se > afirma é que a proposição P=>Q é verdadeira e, não, a proposição Q. > > Então, posso perguntar: Provou-se que é verdadeira a proposição 'SE 'x' > pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO 'x' é verde'? E a resposta é: > DEPENDE!!! > > Sim, depende! > > Toda a argumentação que apresentei baseia-se na admissão de uma hipótese > (implícita) fundamental: as proposições básicas (P e Q) devem ser DECIDÍVEIS > (i.e., DEVE ser possível saber se são verdadeiras ou - este 'ou' é exclusivo > - falsas)! Esta hipótese é necessária para todas as análises no âmbito da > Lógica Clássica, na qual se baseia a Teoria dos Conjuntos (antes de Gödel; > depois de Gödel, não vou analisar aqui). > > Exemplo: > > Não é possível concluir se é verdadeira ou falsa a seguinte proposição: > > 'SE o meu cachorro pesa 10.000 tons, ENTÃO o número de fios de cabelo que eu > tinha, em 2.SET.2000, na cabeça é par' (P é 0 e Q é indecidível). UMA > PROPOSIÇÃO DESTE TIPO NÃO FAZ PARTE DO UNIVERSO DE ANÁLISE DA LÓGICA > CLÁSSICA! > > Voltando à proposição: > > SE 'x' pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO 'x' é verde. > > Para afirmar que esta proposição é verdadeira, é necessário admitir que se > possa DECIDIR (saber) se 'x' pode ser verde, ou não. I.e., ter cor DEVE ser > um dos atributos de 'x'! Implicitamente, 'x' parece ser uma variável > numérica e, portanto, não tem o atributo 'cor'. > > Não estou dizendo com isto que "x" deve (precisa) ser verde ou branco ou...! > Estou simplesmente dizendo que "x" deve ser uma coisa, i.e. um elemento de > um conjunto, tal que os elementos deste conjunto tenham "cor". P.ex., "x" > pode ser uma caneta, uma folha de papel, um livro...; mas "x" NÃO pode ser > um número, um software, uma incógnita de um problema numérico... > > Um exemplo melhor: > > SE o meu cachorro pesa 10.000 tons, ENTÃO minha casa é gorda. > > Ser 'gorda' (ou 'magra') não é um atributo lógico do elemento 'casa'. E, > assim, o exemplo dado não pode ser analisado no âmbito da Lógica Clássica. > > Concluindo, a proposição original ficaria melhor, e indubitavelmente > verdadeira, se fosse escrita assim: > > SE 'x' pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO 'x' é múltiplo de 213. > > Sds., > AB > [EMAIL PROTECTED] > > > > >>-----Mensagem original----- >>De: [EMAIL PROTECTED] >>[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Luiz Rodrigues >>Enviada em: sexta-feira, 5 de setembro de 2008 10:54 >>Para: [email protected] >>Assunto: Re: [obm-l] Teoria dos Conjuntos >> >>Olá pessoal!!! >>Muito obrigado pelas respostas. >>Como eu já imaginava, o meu aluno achou tudo muito estranho. >>Ele não se convenceu com nenhum dos argumentos que vocês me forneceram. >>No Ensino Médio do Brasil, com exceções, não há muita >>preocupação com este tipo de discussão. >>Uma coisa que eu andei pensando... >>E se a sentença fosse >> >>"x pertence { } -> x é "nada"" >> >>Onde "nada" não é um conjunto de símbolos sem significado e >>sim uma palavra que significa, por exemplo, "nenhum elemento". >>Eu não estaria alterando a "falsidade" de "x pertence { }"??? >>Peço desculpas pela insistência, mas Lógica nunca foi meu >>ponto forte... >>Aliás, alguém conhece um bom título de Lógica para iniciantes??? >>Abração para todos!!! >>Luiz. >> >> >>2008/9/4 Albert Bouskela <[EMAIL PROTECTED]>: >>> Olá Rafael, >>> >>> Como você perguntou "O que vocês acham?", vou responder: >>> >>> Particularmente, acho que está havendo uma discussão desnecessária: >>> incluindo a chamada "hipótese vazia" ou "vacuidade". >>> >>> Explico-me: o cerne da questão está na análise de uma proposição do >>> tipo >>> P->Q , na qual P é 0 (falso). Neste caso, a proposição é sempre 1 >>> (verdadeira). Isto é decorrência da DEFINIÇÃO do conectivo >>lógico "se... >>> então..." (->). Esta DEFINIÇÃO é feita através da seguinte >>tabela verdade: >>> >>> P Q P->Q >>> 0 1 1 >>> 0 0 1 >>> 1 0 0 >>> 1 1 1 >>> >>> Esta DEFINIÇÃO, é claro, é compatível (assemelha-se) com a linguagem >>> humana, que não é, formal e necessariamente, lógica. Exemplos: >>> >>> "SE o meu cachorro mora na Lua, ENTÃO o Lula está (é) >>Presidente do Brasil" >>> ... 1 (proposição verdadeira). >>> "SE o meu cachorro mora na Lua, ENTÃO o Lula está (é) >>Imperador do Japão" >>> ... 1 (proposição verdadeira - pode até ser que o Lula pense que é >>> mesmo o Imperador do Japão...). >>> >>> Bem, o que interessa é que SE P=0, ENTÃO (P->Q)=1. >>> >>> A melhor maneira de ENTENDER isto (esta DEFINIÇÃO) é construir uma >>> proposição lógica equivalente, que seja mais "palatável" à >>linguagem humana. >>> Por exemplo: "~PvQ" (~=NÃO ; v=OU). Vejamos as tabelas-verdade: >>> >>> P Q P->Q ~P Q ~PvQ >>> 0 1 1 1 1 1 >>> 0 0 1 1 0 1 >>> 1 0 0 0 0 0 >>> 1 1 1 0 1 1 >>> >>> Assim: "P->Q" = "~PvQ" >>> >>> E a proposição do aluno fica, claramente, verdadeira: >>> SE "x" pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO "x" é verde. >>> É equivalente à proposição: >>> "x" NÃO pertence ao { } (conjunto vazio) OU "x" é verde. >>> P [ "x" NÃO pertence ao { } (conjunto vazio) ] é, obviamente, 1. Por >>> DEFINIÇÃO, o conectivo v (OU) exige, para ser 1, que APENAS uma das >>> proposições (dentre P e Q) seja 1. Logo, a proposição [ "x" NÃO >>> pertence ao { } (conjunto vazio) OU "x" é verde ] é 1, qualquer que >>> seja Q [ "x" é verde ]. Q pode ser 1 ou 0. >>> >>> É claro que a DEFINIÇÃO do conectivo v (OU) é também >>compatível com a >>> linguagem humana. >>> AB >>> [EMAIL PROTECTED] >>> >>> >>> ________________________________ >>> Date: Wed, 3 Sep 2008 20:36:17 +0200 >>> From: [EMAIL PROTECTED] >>> To: [email protected] >>> Subject: Re: [obm-l] Teoria dos Conjuntos >>> >>> Eu acho que faz sentido que seja verdadeiro... >>> >>> Olha só, um exemplo mais matemático... se eu disser: "Todo quadrado >>> perfeito negativo é multiplo de 7", eu diria que a afirmação é >>> verdadeira. Acho que muitos concordariam que é verdadeira. É >>simples, >>> é uma daquelas afirmações verdadeiras por vacuidade... Se a >>hipótese é vazia, o teorema é verdadeiro. >>> De fato, todos os quadrados perfeitos negativos que eu conheço são >>> multiplos de 7... :D >>> >>> Naturalmente, se eu disser então: "Se x é um quadrado perfeito >>> negativo, então x é multiplo de 7" (note o quão semelhante a minha >>> afirmação e a sua no primeiro email são), seria ilógico que >>essa fosse >>> falsa... certo? afinal, as duas afirmações são semanticamente >>> iguais... (discutível isso? talvez...) >>> >>> O que vcs acham? >>> >>> 2008/9/3 LEANDRO L RECOVA <[EMAIL PROTECTED]> >>> >>> No meu ponto de vista, se { } representasse o conjunto vazio eu >>> consideraria falsa. >>> >>> >>> From: "Luiz Rodrigues" <[EMAIL PROTECTED]> >>> Reply-To: [email protected] >>> To: [email protected] >>> Subject: [obm-l] Teoria dos Conjuntos >>> Date: Wed, 3 Sep 2008 14:00:02 -0300 >>> >>> Olá pessoal!!! >>> Tudo bem??? >>> Um aluno me apresentou uma senteça que, segundo um outro >>professor, é >>> verdadeira. >>> A sentença é: >>> >>> "x pertence { } -> x é verde" >>> >>> Na minha opinião, esta sentença é falsa, porque "x pertence >>{ }" é falsa. >>> Segundo o meu aluno, o que o outro professor alegou é que "x >>pode ser >>> qualquer coisa". >>> O que vocês acham??? >>> Muito obrigado!!! >>> Abração para todos!!! >>> Luiz. >>> >>> >>====================================================================== >>> === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> >>====================================================================== >>> === >>> >>> >>> >>====================================================================== >>> === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> >>====================================================================== >>> === >>> >>> >>> >>> -- >>> Rafael >>> >>> ________________________________ >>> Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trânsito com o >>> Live Search Maps! 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