Re: [obm-l] Re: [obm-l] Múltiplo de 3 por indução

[Carlos Nehab]

Oi, Marcelo: Como Felipe já assinalou, seu equívoco foi usar a MESMA letra para designar duas coisas: Em P(k) = > 3k = (2^2k) - 1  o segundo k é apenas um indicativo que a expressão P(k)  é divisível por  3; Logo "merece" outra letra... Ou seja, P(k) = 3 M, para algum inteiro M....  etc Dai, P(k+1) = 2^2(k+1) - 1 = 4 x (2^2k) - 1;  mas 2^2k  - 1  = 3M ou seja, 2^2k =  M + 1; substituindo isto na expressão de P(k+1) voce obtém: P(k+1) =  4(3M + 1) - 1 = 3M +3 = 3(M+1).  Como M é inteiro, 3(M+1) é múltiplo de 3 e está feito o "passo da indução propriamente dita". Outras 2 soluções (sem muito formalismo nem indução, mas usando conhecimentos simples), são (além da solução já postada) : 1) Basta observar que a expressão dada é o produto de dois ímpares consecutivos, logo um deles é múltiplo de 3:   [ (2^n) + 1 ]. [ (2^n) - 1 ] = impar.( impar +2) 2) A expressão é igual a  4^n - 1 que é divisível por 3 pois a soma (dos termos da PG 1, 4, 16, 64,... 4^(n-1)) é um valor inteiro: (4^n - 1)/3. Logo, 4^n - 1 é divisível por 3... Ou dito de outra forma:  a^n - 1 é divisível por a - 1, para todo a inteiro (diferente de 1 , é claro).   Isto pode ser justificado pro divisão de polinômios, se você já os estudou ou por uma PG, como sugerida anteriormente. Abraços, Nehab luiz silva escreveu: Ola Marcelo,   Tem um outro modo. Repare que  este número N pode ser escrito da seguinte forma :   (2n)2 - 1 . Um número elevado ao quadrado deixa resto 0 ou 1 por 3 (sempre), pois este número deixará resto 0, 1 ou 2 qdo dividido por 3, se o elevarmos ao quadrado, teremos 0, 1, 4 (que deixa resto 1, por 3).   Como o nímero é uma potência de 2, nuca deixará resto zero. Assim, (2n)2    deixa, sempre, resto 1 qdo dividido por 3. Então o número (2n)2 - 1 deixará sempre resto zero, qdo dividido por 3.   Qto ao seu processo indutivo. Vc não pode utilizar a mesma variável n dos dois lados da equação. Vc deve falar que 3k = (2n)2 - 1 , fazer n=n+1 e aí provar que este novo número será igual a 3a (note, vc não pode falar - e nunca será - que a=k+1). Isto(3n = (2n)2 - 1) só vale para n=1. Para n=2 temos 3*2 <> 24 - 1.   Abs Felipe --- Em sex, 13/3/09, Marcelo Rodrigues <ge...@ibest.com.br> escreveu: De: Marcelo Rodrigues <ge...@ibest.com.br> Assunto: [obm-l] Múltiplo de 3 por indução Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 13 de Março de 2009, 8:11 Olá pessoal Estou estudando indução matemática já provei algumas que eram questões que envolviam somas de números naturais. Estou tendo algumas dúvidas, quando não há somatório. Estou tentando provar que : (2^2n) -1 é múltiplo de 3 para qualquer n, natural. Fiz o seguinte: P(1) = > 3n = (2^2n) - 1 (Dúvida 1 - tenho que colocar 3n do lado esquerdo da igualdade, como fazia com os somatórios ?, ou basta trabalhar o lado direito dela ?) P(1) = > 3(1) = (2^2) -1 = > 3 = 3 (3 é múltiplo de 3, verdade para P(1)) P(k) = > 3k = (2^2k) - 1 Provando por Indução: P(k+1) = 3k + k + 1 (Dúvida 2 - tenho que fazer deste lado também ? pois para K=3 dá 13...onde estou errando ?) = (2^2k) - 1 + k + 1 (este lado já funciona)= (2^2k) + k Somei k + 1 de ambos os lados mas errei algo. Se alguém tiver um tempinho, dê uma mãozinha, ok ? Abraços, Marcelo. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================