2009/5/5 [email protected] <[email protected]>: > "Seja S = 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + ... = Ln(2)" > > Interessante observar que: > > 1 = integral(0;1) 1 dx > 1/2 = integral(0;1) x dx > 1/3 = integral(0;1) x^2 dx > 1/4 = integral(0;1) x^3 dx > > e, de forma geral > > 1/n = integral(0;1) x^(n-1) dx > > Assumindo que a soma de infinitas integrais pode ser escrita como a integral > da soma dos infinitos integrandos, podemos escrever: > > S = integral(0;1) [1 - x + x^2 - ... ]
Opa! Isso é uma coisa beeeeeeem delicada. Aliás, foi exatamente esse tipo de problema que nos trouxe as integrais de Lebesgue, porque a de Riemann falha estrepitosamente... e inclusive nesse exemplo, de certa forma. Repare que, em x = 1 a série 1 - x + x^2 - x^3 é na verdade 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... que não converge nem diverge. Por outro lado, em todos os outros pontos, a série converge para 1/(1+x) e portanto gostaríamos de dizer que não só a série "converge" (em algum sentido) para 1/2 (dê uma olhada em somas de Cèsaro), mas que, independentemente disso (lembra que a integral não depende do valor na extremidade ?) deveria dar certo. E, ainda mais, você gostaria de poder generalizar este exemplo em situações mais gerais, para evitar que esse problema tivesse que ser tratado cada vez "em particular". Matemáticos como Euler, principalmente, mas certamente Newton, Fourier, ... usaram e abusaram de "processos falsos" de troca de limites (ou seja, somas infinitas, integrais, limites clássicos, ...) para atingir resultados válidos por meios intuitivos, e legaram aos seus sucessores o "pepino" de mostrar que o que eles fizeram era correto, desde que "visto" da maneira certa, e, parafraseando o Elon, "mais de cima". E essa transformação da intuição num teorema é o que faz avançar a matemática ! Em tempo : note que a observação do Bouskela é a chave para a solução do problema do Paulo, se vista da forma correta (lembra do critério de Cauchy para convergência ? note que ele é muito mais útil quando se trata de séries alternadas !!!) : a série "acumulada" 1/2n - 1/(2n+1) converge muito mais rápido do que a série (-1)^n/n ! Um grande abraço, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
