E o GMail cortou a minha mensagem de graça... 2012/2/9 Bernardo Freitas Paulo da Costa <[email protected]>: > Pensando melhor na minha mensagem, isso dá o "invariante" que mata o problema! > > Veja bem. Começando do 0 0 0 0 0 0, cada operação "somar três uns" vai > fazer +1 +1 +1 0 0 0 ou alguma permutação circular disso. Repare que, > para "tornar todos os números iguais", as operações +1 +1 +1 0 0 0 e 0 > 0 0 +1 +1 +1 são "inversas" uma da outra. Então na verdade temos 6 > números, e podemos fazer 3 operações, ou "desfazer" essas três. Isso > dá um "espaço vetorial" (na verdade, apenas um reticulado, porque > temos apenas os pontos "inteiros"), e assim partindo do 0 0 0 0 0 0 > podemos percorrer apenas um "espaço de dimensão 3". Ora, começamos com > um treco de dimensão aparentemente 6 (acho que vai dar 5, porque o que > importa são as diferenças, e a soma das diferenças cíclicas é zero), > portanto "a maior parte do tempo" não vai dar certo. > > Voltemos à situação original com 5 2 3 0 5 6. Note que existe apenas > uma transformação que permite reduzir a diferença entre o 5 e o 2: > somar 1 na 2a, 3a e 4a casa. Então, temos que fazer 3 vezes essa > operação. Mas o problema é que isso vai dar 5 5 6 3 5 6, e 3 != 5 (a > 4a casa diferente da 5a). Ora, para corrigir essa diferença, a gente é > obrigado (de novo) a usar a mesma operação (ou a sua "inversa", se a diferença fosse no outro sentido), o que desequilibra as diferenças entre a 1a e 2a casa. Portanto, é impossível.
Isso dá uma condição necessária para conseguir terminar: as diferenças 1a - 2a, 2a - 3a, 3a - 4a casas têm que ser iguais às diferenças 5a - 4a, 6a - 5a, 1a - 6a. Assim, se tivermos A B C D E F no início, temos que ter A - B = E - D B - C = F - E C - D = A - F (que são, se você notar, os números que "dão errado" nas equações do João) Veja que a soma das duas primeiras equações é A - C = F - D que é equivalente à 3a equação, portanto só há mesmo 2 restrições (o que é "coerente" com ser um espaço de 5 dimensões e haver 3 operações livres : duas direções proibidas = 2 equações). Portanto, se fixarmos A , B , C e D temos E = D + (A-B) e F = A + (D-C) A B C D (D + A - B) (A + D - C) realizando A - B vezes a operação que soma 1 nas 2a, 3a e 4a casas, temos A A (C + A - B) (D + A - B) (D + A - B) (A + D - C) Cancelando os A (para simplificar) 0 0 (C - B) (D - B) (D - B) (D - C) fazendo B - C vezes a operação que soma 1 nas 3a, 4a e 5a casas: 0 0 0 (D - C) (D - C) (D - C) fazendo C - D vezes a operação que soma 1 nas 4a, 5a e 6a casas : 0 0 0 0 0 0 Todos são iguais ! Portanto, a condição é suficiente também! Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
