Ah, tenho uma ideia rapida para a 4a raiz: note que o termo em z^3 nao existe... Entao a soma das raizes eh 0. Assim, se z1=w, z2=x e z3=y, entao devemos ter z4=-w-x-y.
Abraco, Ralph. On Wed, Jul 24, 2019 at 11:22 AM Ralph Teixeira <[email protected]> wrote: > Eu entendi a dica assim: finja momentanemante (apenas para ajudar a > pensar) que x, y e w sao constantes, digamos, 3, pi e 111. Entao abrindo o > determinante pela ultima coluna, voce vai ficar com um polinomio de quarto > grau em z, correto? Pois bem, se as raizes desses polinomio forem z1, z2, > z3 e z4, entao o polinomio tem que ser P(z)=a(z-z1)(z-z2)(z-z3)(z-z4), onde > a eh o coeficiente de z^4 no polinomio. > > Entao, vamos fazer isso, pensando que z eh a unica variavel e x,y e w sao > constantes. O coeficiente de z^4 eh o determinante 3x3 do canto superior > esquerdo, que eh Vandermonde, entao a=(x-w)(y-w)(y-x). Claramente (sim?), > z1=w, z2=x e z3=y sao raizes, entao jah temos P(z)=(x-w)(y-w)(y-x). > (z-w)(z-x)(z-y). (z-z4). Falta apenas mostrar que z4=-w-x-y eh a ultima > raiz, ou seja, se voce mostrar que aquele determinante se anula sempre que > x+y+z+w=0, acabou... > > Abraco, Ralph. > > On Wed, Jul 24, 2019 at 12:24 AM Vanderlei Nemitz <[email protected]> > wrote: > >> Pessoal, como posso calcular o seguinte determinante, utilizando um >> polinômio em z? >> >> 1 1 1 1 >> w x y z >> w^2 x^2 y^2 z^2 >> w^4 x^4 y^4 z^4 >> >> A resposta é (z − y)(z − x)(z − w)(y − x)(y − w)(x − w)(w + x + y + z). >> >> Vi em uma lista e a dica é essa: >> Expanda o determinante ao longo da última coluna e encontre seus zeros >> como um polinômio em z. >> >> Não conheço esse truque. >> >> Muito obrigado! >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
