Vc encontrou μ = -3/n, é isso mesmo. Substituindo:
3x_i^2 + 2λx_i - 3/n = 0
Divide por 3 e completa o quadrado:
(x_i + λ/3)^2 = 1/n + (λ/3)^2
Então, para cada i, o há duas opções para x_i:
x_i = λ/3 - raíz[ (λ/3)^2 + 1/n ] ; ou
x_i = λ/3 + raíz[ (λ/3)^2 + 1/n ] ; ou
Analisando com calma, vc repara que a segunda opção é com certeza
positiva e a primeira é com certeza negativa. É claro que permutar os
x_i não muda nada no problema, então o que interessa é a *quantidade*
de x_i positivos e negativos. Chama por exemplo de 'p' a quantidade de
x_i positivos. Os x_i não podem ser todos positivos nem todos
negativos, pois têm de somar zero, logo 0<p<n.
Agora você usa o fato de que 'p' das 'n' coordenadas é positiva
(escolhendo o sinal de + na fórmula acima) e as outras 'n-p' são
negativas (sinal de - na equação quadrática acima). Assumindo 'p' fixo
e conhecido, descobre quanto deve valer λ/3 para que a soma dos
quadrados dos x_i seja 1. (Tem que tomar cuidado com λ positivo ou
não, e com 'p' maior ou menor que n/2.)
Tendo descoberto esse λ, vc vai ter uma fórmula para os x_i em função
somente de 'p', e agora basta reparar que quanto menor for 'p', maior
é a soma dos cubos de x_i. O menor 'p' possível é 1.
Le sam. 14 déc. 2019 à 12:52, gilberto azevedo <gil159...@gmail.com> a écrit :
>
>
> Eu até tentei por esse caminho, mas só fui até aqui.
> f(x_1,...,x_n) = x_1³ + ... + x_n³
> g(x_1,...,x_n) = x_1² + ... + x_n²
> h(x_1,...,x_n) = x_1 + ... + x_n
>
> ∇f(x_1,...,x_n) + λ∇g(x_1,...,x_n) + μ∇h(x_1,...,x_n) = 0
>
> 3x_1² + 2λx_1 + μ = 0
> .
> .
> .
> 3x_n² + 2λx_n + μ = 0
>
> Somando-as, temos que :
> 3(x_1² + ... x_n²) + 2λ(x_1 + ... +x_n) + nμ = 0
> 3 * 1 + 2λ* 0 + nμ = 0
> 3 + nμ = 0
>
> Depois disso não sei como continuar.
>
> Em sex, 13 de dez de 2019 02:05, Pedro Angelo <pedro.fon...@gmail.com>
> escreveu:
>>
>> Fiz as contas (multiplicador de lagrange, parece muita conta mas é bem
>> fazível) e é isso mesmo. Se eu não errei nada, fica
>>
>> k = 1 / raíz[ n (n-1) ]
>>
>> e a resposta é que o máximo possível para a soma dos cubos é:
>>
>> (1 - 2/n) / (1 - 1/n)^(1/2)
>>
>> que curiosamente é uma função crescente de n. Não está definida para
>> n=1 (de fato, o problema {x=0, x^2=1} é impossível), vale zero para
>> n=2 (trivial de verificar diretamente), e tende a 1 à medida que n
>> cresce. Suponho que haja alguma lição interessante a ser aprendida
>> disso? Ou é só um monte de conta e ponto final? rsrsrs
>>
>> Le jeu. 12 déc. 2019 à 22:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> <bernardo...@gmail.com> a écrit :
>> >
>> > On Thu, Dec 12, 2019 at 6:49 PM Esdras Muniz <esdrasmunizm...@gmail.com>
>> > wrote:
>> > >
>> > > Isso aí pode ir para o infinito: tome k real positivo arbitrário. Daí
>> > > tome:
>> > > (-k)+(-k)+...+(-k)+(n-1)k=0
>> > > (-k)^3+(-k)^3+...+(-k)^3+((n-1)k)^3=k^3((n-1)^3-(n-1)).
>> > > Esse último fator vai pra o infinito com k.
>> >
>> > A soma dos quadrados é um. O máximo (e o mínimo) existem e são
>> > finitos. Acredito que a resposta certa segue sua ideia (aliás, não é
>> > a primeira vez que este problema aparece aqui), apenas fixando k tal
>> > que a soma dos quadrados seja um. Mas poderia ser diferente, e não
>> > parei para pensar.
>> >
>> > >> Em seg., 9 de dez. de 2019 às 20:29, gilberto azevedo
>> > >> <gil159...@gmail.com> escreveu:
>> > >> >
>> > >> > Sabendo que :
>> > >> > x_1 + ... + x_n = 0
>> > >> > x_1 ² + ... + x_n ² = 1
>> > >> > Qual o valor máximo de x_1 ³ + ... + x_n ³ ?
>> >
>> > Abraços,
>> > --
>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> >
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