RE: [obm-l] Calcular o mdc (333...3, 333...3)
Muito legal! Date: Wed, 5 Dec 2012 02:48:28 -0200 Subject: Re: [obm-l] Calcular o mdc (333...3, 333...3) From: wgapetre...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br O 1o numero é (10^100 - 1)/3, enquanto o 2o é (10^80 - 1)/3. Obviamente eu posso ignorar esse 1/3 aí, e depois dividir a resposta que eu achar por 3. Então quero calcular mdc entre (x^10 - 1) e (x^8 - 1), onde x=10^10. Então eu percebo que x^2 - 1 divide ambos (se eu não percebesse, eu sempre poderia fazer a divisão euclidiana deles). Dividindo tudo por x^2 - 1 fica: p(x) = x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1 e q(x) = x^6 + x^4 + x^2 + 1. Então eu percebo que p(x) - x^2*q(x) = 1 (novamente se eu não percebesse eu faria a divisão...). Então acabou pq se alguém divide p(x) e q(x) para algum x, então também divide 1. Logo esses caras são primos entre si. Assim o mdc original fica (x^2-1)/3 = 10^20 - 1 2012/12/4 Pedro Chaves brped...@hotmail.com Colegas da Lista, Como calcular o mdc (a, b) , sendo a = 333...3 (100 dígitos iguais a 3) e b = 333...3 (80 dígitos iguais a 3)? Abraços do pedro Chaves _-
[obm-l] FW: Equações(inteiros)
From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Equações(inteiros) Date: Fri, 23 Nov 2012 14:22:43 + Como resolver as equações ? 1) x(y+1)^2 = 243y 2) 1/a + 1/b + 1/c = 1 3) x^3 + 21y + 5 = 0
[obm-l] Equações(inteiros)
Como resolver as equações ? 1) x(y+1)^2 = 243y 2) 1/a + 1/b + 1/c = 1 3) x^3 + 21y + 5 = 0
[obm-l] Mensagens para a lista
Olá,pessoal. O que está acontecendo?Algumas mensagens que mando demoram de aparecer e outras não aparecem.Antes apareciam bem rápido.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Questão sobre número primo
Me parece ai uma idéia parecida com aquela usada para provar que existem infinitos primos.Desconfio que o número é primo e o seu único divisor primo é ele mesmo.Agente percebe que esse número é maior do que ne menor do que n!,mas acho que eu não saberia formalizar isso.Seja m o produto dos primos menores do que n,somado com 1.Se m fosse um número composto,teria que ser da forma kp,com p primo,ou seja,o referido produtoteria que ser da forma kp - 1,o que não acontece,por isso digo que m é primo. Date: Thu, 1 Nov 2012 22:27:09 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão sobre número primo From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Dica: tome todos os primos menores que n, multiplique e some 1. Quem sao os divisores prmos deste numero? Abraco, Ralph 2012/11/1 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Seja n2.Mostre que entre n e n! existe pelo menos um número primo. Existe um teorema(?) que diz que entre n e 2n existe um primo.Onde encontro a demonstração?
[obm-l] FW: Questão de mdc e número primo
From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Questão de mdc e número primo Date: Thu, 1 Nov 2012 18:37:37 + Sejam a e b naturais,com (a,b) = 1,e n natural tal que n+2 = p é um número primo. Mostre que o mdc de a+b e a^2 - nab + b^2 deve ser 1 ou p.
[obm-l] Geometria(questão meio estranha)
Se todos os lados de um triangulo forem maiores do que 1000 cm ,sua área pode ser menor que 1cm^2 ?Como responder?
[obm-l] Geometria(Questão dificil(?))
Dado um triangulo ABC e D um ponto do lado BC,determine a reta passando por D que separa op triangulo em duas regiões de igual área. Se D for ponto médio,claro que a reta procurada contem a mediana de BC.No mais...é socorro mesmo.
[obm-l] Ajuda em geometria
Prove que,se dois quadrilateros convexos tiverem os mesmos pontos medios em todos os seus lados,entao suas areas sao iguais.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria( Questão di ficil(?))
Que interessante!Obrigado! From: saldana...@pucp.edu.pe To: obm-l@mat.puc-rio.br CC: Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria( Questão di ficil(?)) Date: Thu, 1 Nov 2012 11:24:24 -0500 Esta vez va en español, por el punto C trace una recta paralela a AD. Sea P el punto de intersección de esa recta con la recta que contiene a los puntos A y B. Entonces por el teorema de thales: AB/BP = BD/BC, es decir ABxBC = BDxBP, por lo tanto los triángulos ABC y PBD son equivalentes. Si M es el punto medio de BP, el área del triángulo BMD es la mitad del área del triángulo BPD, es decir, será igual a la mitad del área del triángulo ABC. Por lo tanto la recta buscada es MD. Si alguien pudiera traducir? Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Thu, 1 Nov 2012 11:43:49 + Asunto : [obm-l] Geometria( Questão di ficil(?)) Dado um triangulo ABC e D um ponto do lado BC,determine a reta passando por D que separa op triangulo em duas regiões de igual área. Se D for ponto médio,claro que a reta procurada contem a mediana de BC.No mais...é socorro mesmo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Questão de mdc e número primo
Sejam a e b naturais,com (a,b) = 1,e n natural tal que n+2 = p é um número primo. Mostre que o mdc de a+b e a^2 - nab + b^2 deve ser 1 ou p.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria(questão meio estranha)
Existe,teoricamente. Date: Thu, 1 Nov 2012 08:21:14 -0400 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria(questão meio estranha) From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2012/11/1 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Se todos os lados de um triangulo forem maiores do que 1000 cm ,sua área pode ser menor que 1cm^2 ? Como responder? Bom, esse tipo de problema merece um chute. Chute uma das respostas (sim ou não) e tente ver se dá. Nesse caso, o mais fácil de testar é a resposta sim: bastaria achar um triângulo satisfazendo todas essas condições. Para o não, você teria que provar que qualquer que serja a configuração, não funciona. E ter tentado responder o sim pode ajudar. Dica: a área tem a ver com os lados (lembre da fórmula p(p-a)(p-b)(p-c) = A^2, ou alguma coisa assim). Mas área é principalmente base*altura/2. A base é um lado, que é maior do que 1000 cm. Se a área for 1 cm^2, então a altura é 2/1000 cm. Tem um triângulo assim? Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Questão sobre número primo
Seja n2.Mostre que entre n e n! existe pelo menos um número primo. Existe um teorema(?) que diz que entre n e 2n existe um primo.Onde encontro a demonstração?
RE: [obm-l] aritmetica
A expressão dos parêntesis está confusa pra mim,poderia reescrevê-la? Date: Tue, 30 Oct 2012 09:28:39 -0200 Subject: [obm-l] aritmetica From: teliog...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Bom dia Mestres, Fiquei sem saber como proceder para resolver a seguinte questão. O gabarito diz alternativa B. Agradeço se puderem ajudar. Sabendo que k, x e y são números naturais, sendo k um número impar não terminado em 5 e T = k/(3²X4^xX5^y) um número com exatamente quatro casas decimais, podemos afirmar que: a) k é múltiplo de 3, x=4 e y=4b) k é composto, x=2 e y=4c) k é divisível por 3, x=1 e y=5d) k é primo, x=0 e y=1e) k é um quadrado perfeito, x=2 e y=2 abraços Thelio
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] FW: Tentei e não consegui(geometria)
Ok.Assim fica uma solução melhor,e é sempre bom uma solução diferente.Valeu mesmo. Date: Thu, 25 Oct 2012 09:49:14 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] FW: Tentei e não consegui(geometria) From: gabrieldala...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Como eu falei tem como usar a fórmula de area (1/2).a.b.senCom ela e com semelhança você mostra que as diagonais dividem o trapézio em 4 triangulos de area A2, A3 e os outros dois tem area raiz(A2.A3), dessa maneira voce teria A1=A2+2.raiz(A2.A3)+A3=(raiz(A2)+raiz(A3))^2 Gabriel Dalalio Em 25 de outubro de 2012 09:23, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Eu consegui.Beleza.Mas não gostei muito do modo como fiz. Escrevi a soma das raízes das areas dos triangulos e elevei essa soma ao quadrado. Comparei o resultado com a area do trapezio e comprovei a igualdade procurada. A1 = (a+b)*(h1+h2)/2 Por semelhança h1*b = h2*a (1),ou seja,h1 = h2*a/b Substituindo h1 em A2 = h1*a/2,temos A2=h2*a^2/2b.Calculando [(raiz(A2) + raiz(A3)]^2 e usando,de (1),(a+b)/b = (h1 + h2)/h2,encontrei A1. Dai,conclui o resultado procurado. Será que alguem(generosamente)apresentaria uma solução mais interessante? Date: Tue, 23 Oct 2012 09:28:00 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] FW: Tentei e não consegui(geometria) From: gabrieldala...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br AB=aCD=baltura do trapezio=haltura de ABE em relação a AB=h1altura de CDE em relação a CD=h2 A1=(a+b)*h/2A2=h1*a/2A3=h2*b/2 h=h1+h2 e pela semelhança entre ABE e CDE:h1/a=h2/b Com essas equações você pode provar o enunciadoTambém dá para conseguir o resultado usando formula da área com seno... Gabriel Dalalio 2012/10/23 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Tentei e não consegui(geometria) Date: Tue, 23 Oct 2012 02:22:05 + Seja um trapezio ABCD de bases AB e CD.AS diagonais AC e BD se encontram em E. Sejam A1,A2,A3 as areas do trapezio,do triangulo ABE e do triangulo CDE,respectivamente. Mostre que raiz(A1) = raiz(A2) + raiz(A3).
[obm-l] Questao de aritmetica(há erros na solução?)
Mostre que exiiste uma correspondencia biunivoca entre pares de primos gemeos e e numeros n tais que n^2 - 1 tem 4 divisores. Tentei assim:n^2 - 1 = (n+1)(n-1) tem 4 divisores se,e somente se,(n+1) é primo e (n-1) tambem é primo.Vejamos:um numero tem 4 divisores quando ele é um produto de dois primos ou quando é umcubo de um primo.Se p1 e p2 são primos gemeos,então podemos escrever(para certos naturais n) p1 = (n+1) e p2 = (n-1),então (n+1)(n-1)=n^2-1=p1.p2 tem 4 divisores.Por sua vez,considerando que p^3,p primo,tem 4 divisores,note que n^2 - 1 = (n+1)(n-1) = p^3 = (n+1) = p^2 e (n-1) = p,mas se (n+1) = p^2,então(n+1) não é primo então (n+1) e (n-1) não são primos gemeos.Portanto,se p1=n+1 e p2=n-1 são primos gemeos,então n^2 - 1 que tem 4 divisores. PS: João Maldonado mostrou aqui que n^2 - 1 = m^3 apenas para n = 3 e m = 2.
[obm-l] Inteiros
1) Resolva a equação 3.2^m + 1 = n^2 2) x^2 + y^2 + z^2 = 8t - 1 Eu estou tentando e não sai.Obrigado pela atenção.
[obm-l] FW: Questao de aritmetica(há erros na solução?)
From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Questao de aritmetica(há erros na solução?) Date: Fri, 26 Oct 2012 12:41:30 + Mostre que exiiste uma correspondencia biunivoca entre pares de primos gemeos e e numeros n tais que n^2 - 1 tem 4 divisores. Tentei assim: n^2 - 1 = (n+1)(n-1) tem 4 divisores se,e somente se,(n+1) é primo e (n-1) tambem é primo. Vejamos:um numero tem 4 divisores quando ele é um produto de dois primos ou quando é um cubo de um primo. Se p1 e p2 são primos gemeos,então podemos escrever(para certos naturais n) p1 = (n+1) e p2 = (n-1),então (n+1)(n-1)=n^2-1=p1.p2 tem 4 divisores. Por sua vez,considerando que p^3,p primo,tem 4 divisores,note que n^2 - 1 = (n+1)(n-1) = p^3 = (n+1) = p^2 e (n-1) = p,mas se (n+1) = p^2,então (n+1) não é primo então (n+1) e (n-1) não são primos gemeos. Portanto,se p1=n+1 e p2=n-1 são primos gemeos,então n^2 - 1 que tem 4 divisores. PS: João Maldonado mostrou aqui que n^2 - 1 = m^3 apenas para n = 3 e m = 2.
RE: [obm-l] Inteiros
Isso mesmo.Depois de ter enviado a questão eu acabei percebendo isso.Obrigado. From: athos...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Inteiros Date: Fri, 26 Oct 2012 21:43:54 + Para a segunda temos que:Um número ao quadrado pode ser côngruo a 0, 1 ou 4 módulo 8.A soma dos quadrados dá 8t-1 que é côngruo a 7 módulo 8.A soma de três quadrados só pode ser congruente a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 módulo 8, nunca podendo ser côngrua a 7.Portanto a equação não tem solução natural (nem inteira). Date: Fri, 26 Oct 2012 11:57:46 -0200 Subject: Re: [obm-l] Inteiros From: heitor.iyp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Para a primeira eu fiz assim: 3*2^m + 1 = n² Se m=0 então 4=n² e n=+-2 Se m=1 não temos soulucoes(basta checar!) Se m1 então basta observar que n=2k+1 é ímpar, então 3*2^m = 4k²+4k = 3*2^(m-2) = k(k+1) Como o lado esquerod é multiplo de 3 o lado direito tambem deve ser, logo temos duas opções i)k=3t, e então 2^(m-2) = t(3t+1), logo t=2^a e 3t+1 = 3*2^a + 1= 2^b,ou ainda 2^a(2^(b-a) - 3)=1 logo 2^a = 1 e 2^(b-a) -3 = 1 então a=0 e b=3. Voltando nas equações anteriores temos que t=1, m=4 e n=7, que é solução da eq. originial. ii)k=3t-1, e então 3*2^(m-2)=t(3t-1), logot=2^a e 3t-1 = 3*2^a - 1 = 2^b, ou ainda -2^b + 3*2^a = 1 = 2^a(3-2^(b-a))=1 então 2^a=1 e 3-2^(b-a) = 1 então a=0 e b=1. Voltando nas equações anteriores temos quem=3 e n=5 que é solução tambem. Em 26 de outubro de 2012 11:18, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: 1) Resolva a equação 3.2^m + 1 = n^2 2) x^2 + y^2 + z^2 = 8t - 1 Eu estou tentando e não sai.Obrigado pela atenção.
RE: [obm-l] Ajuda(trigonometria)
Eu não entendi o final,a última linha. Date: Fri, 26 Oct 2012 14:15:41 -0300 Subject: Re: [obm-l] Ajuda(trigonometria) From: saulo.nil...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br a=1/2 e x=pi nao e solução. (senax)^2+2(senx/2)^2=0so e verdadeira para senxa e senx/2=0x=2npi a=!1/4n 2012/6/27 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Determine para que valores de a a equação 1 + (senax)^2 = cosx admita alguma solução não nula. Agradeço desde já.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] FW: Tentei e não consegui(geometria)
Eu consegui.Beleza.Mas não gostei muito do modo como fiz.Escrevi a soma das raízes das areas dos triangulos e elevei essa soma ao quadrado.Comparei o resultado com a area do trapezio e comprovei a igualdade procurada.A1 = (a+b)*(h1+h2)/2Por semelhança h1*b = h2*a (1),ou seja,h1 = h2*a/bSubstituindo h1 em A2 = h1*a/2,temos A2=h2*a^2/2b.Calculando [(raiz(A2) + raiz(A3)]^2 e usando,de (1),(a+b)/b = (h1 + h2)/h2,encontrei A1.Dai,conclui o resultado procurado.Será que alguem(generosamente)apresentaria uma solução mais interessante? Date: Tue, 23 Oct 2012 09:28:00 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] FW: Tentei e não consegui(geometria) From: gabrieldala...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br AB=aCD=baltura do trapezio=haltura de ABE em relação a AB=h1altura de CDE em relação a CD=h2 A1=(a+b)*h/2A2=h1*a/2A3=h2*b/2 h=h1+h2 e pela semelhança entre ABE e CDE:h1/a=h2/b Com essas equações você pode provar o enunciadoTambém dá para conseguir o resultado usando formula da área com seno... Gabriel Dalalio 2012/10/23 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Tentei e não consegui(geometria) Date: Tue, 23 Oct 2012 02:22:05 + Seja um trapezio ABCD de bases AB e CD.AS diagonais AC e BD se encontram em E. Sejam A1,A2,A3 as areas do trapezio,do triangulo ABE e do triangulo CDE,respectivamente. Mostre que raiz(A1) = raiz(A2) + raiz(A3).
[obm-l] Aritmética
Mostre que existe uma correspondencia biunivoca entre pares de primos gemeos e os numeros n tais que n^2 - 1 possui 4 divisores.
[obm-l] FW: Tentei e não consegui(geometria)
From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Tentei e não consegui(geometria) Date: Tue, 23 Oct 2012 02:22:05 + Seja um trapezio ABCD de bases AB e CD.AS diagonais AC e BD se encontram em E. Sejam A1,A2,A3 as areas do trapezio,do triangulo ABE e do triangulo CDE,respectivamente. Mostre que raiz(A1) = raiz(A2) + raiz(A3).
[obm-l] Tentei e não consegui(geometria)
Seja um trapezio ABCD de bases AB e CD.AS diagonais AC e BD se encontram em E.Sejam A1,A2,A3 as areas do trapezio,do triangulo ABE e do triangulo CDE,respectivamente.Mostre que raiz(A1) = raiz(A2) + raiz(A3).
RE: [obm-l] Quadrados e cubos
Obrigado.Se for fácil pra vc localizar em que Eureka! está o teorema,ótimo,caso contrário,tentarei encontrá-lo. From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Quadrados e cubos Date: Thu, 11 Oct 2012 17:00:14 -0300 Temos que resolver b² = a³+1 b² = (a+1)(a²-a+1) = (a+1)((a+1)²-3a) mdc ((a+1), (a+1)²-3a) = mdc(a+1, -3a) = M = mdc(a+1, 3) = 1 ou 3 M=1: a+1 = k² a²-a+1 =k'² = k^4-3k+3 - Delta = 9-12+4k'² = (2k')²-3 = x² = k' = 1 = a=0 (não convém), a=1 (não convém) M=3: 3a + 3 = k² 3a²-3a+3 = k'²=k^4/3-3k²+9 = k^4 - 9k² +27-3k'²=0 Delta = 12k'²-27=x² (k' = y) 12y²-27 = x² = x =3x' 4y²-9 = 3x'² = y=3y' 12y'²-3=x'² = x' = 3x'' 4y'²-1 = 3x''² = 2y' = y'' y''²-3x''²=1 (Isso é uma equação de Pell) (y''-3^0.5 x'')(y''+3^0.5 x'') = 1 (eleve ao quadrado) (y''²+3x''²-2.3^0.5.xy)(y''²+3x''²+2.3^0.5.xy)=1 (y''²+3x''²)² - 3(2xy)²=1 Logo se y'', x'' é solução, y''²+3x''² e 2xy também é, e assim por diante Vemos que y''²+3x''² y'' e 2xyx'', logo a equação admite infinitas soluções PORÉM: Existe um teorema (que pode ser encontrado no artigo equações diofantinas da Eureka!), que diz que se existem x1 e y1 mínimos para uma equação de Pell tal que y²-dx²=1 TODAS as outras soluções são da forma yn +d^0.5xn = (y1+d^0.5x1)^n (como visto anteriormente) Temos que o x''1, y''1 da equação é 1 e 2 (y''²-3x''²=1) y''2 = 7, x'2=2 Agora veja: Sendo y''n ímpar e x''n par, y''²+3x''² é ímpar e 2xy é par Logo todos os outros y'' fora o primeiro serão ímpares. Como y = 3/2 y'', y não é inteiro, logo k' não é inteiro, logo a não é inteiro (absurdo) Logo não existem outras soluções para a equação além de a=2, b=3 []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Quadrados e cubos Date: Wed, 10 Oct 2012 19:47:38 + 8 é um cubo precedido de um quadrado.Existem outros pares de inteiros positivos n e n +1 tais que o primeiro é um cubo e o segundo,um quadrado?
RE: [obm-l] Ajuda em geometria
Muito legal a solução,como também uma enviada por terence(para mim, foram como um gol antológico feito por Neymar,ontem).Para terence,mandei algumas mensagens que não apareceram,agradecendo inclusive por dus soluções bem interessantesem questões de geometria.Meus agradecimentos. Date: Wed, 17 Oct 2012 14:55:37 -0300 Subject: Re: [obm-l] Ajuda em geometria From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Note que, dadas a soma A e o produto B de dois números, eles ficam determinados a menos de ordem -- afinal, eles são as raízes da quadrática x^2-Ax+B=0. Então, neste caso, seja A=a+ha=b+hb=c+hc e B=aha=bhb=chc=2S. Então a e ha são as raízes de x^2-Ax+B=0, assim como b e hb, e c e hc. Em suma, a, b, c, assumem apenas (no máximo) dois valores (repetidos 3 vezes cada) -- o triângulo já tem que ser isósceles! Usemos, sem perder generalidade, que a=b. Agora, suponha por contradição que o triângulo não é equilátero. Então a=b=hc. Mas isto é absurdo -- a e b são lados saindo de C, ao menos um deles tem que ser estritamente maior que hc, que é a MENOR distância de C até AB. Abraço, Ralph On Wed, Oct 17, 2012 at 8:52 AM, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com wrote: Seja um triangulo ABC, a,b,c as medidas do lados BC,AC e AB,respectivamente e ha, hb e hc as alturas do triangulo. Se a + ha = b + hb = c + hc,prove que ABC é equilatero.
[obm-l] Ajuda em geometria
Seja um triangulo ABC, a,b,c as medidas do lados BC,AC e AB,respectivamente e ha, hb e hc as alturas do triangulo.Se a + ha = b + hb = c + hc,prove que ABC é equilatero.
[obm-l] FW: Ajuda em geometria
From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Ajuda em geometria Date: Wed, 17 Oct 2012 11:52:10 + Seja um triangulo ABC, a,b,c as medidas do lados BC,AC e AB,respectivamente e ha, hb e hc as alturas do triangulo. Se a + ha = b + hb = c + hc,prove que ABC é equilatero.
[obm-l] Quadrados e cubos
8 é um cubo precedido de um quadrado.Existem outros pares de inteiros positivos n e n +1 tais que o primeiro é um cubo e o segundo,um quadrado?
[obm-l] FW: Quadrados e cubos
From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Quadrados e cubos Date: Wed, 10 Oct 2012 19:47:38 + 8 é um cubo precedido de um quadrado.Existem outros pares de inteiros positivos n e n +1 tais que o primeiro é um cubo e o segundo,um quadrado?
[obm-l] Construçao(ajuda)
É curioso que pi ~ raiz(2) + raiz(3) (uma aproximaçao de pi com erro menor que 0,5%)Use esse fato para obter com regua e compasso um segmento aproximadamente igual aocomprimento de uma semicircunferencia de raio R(dado)
[obm-l] Aritmética(ajuda)
Mostre que a soma de todos os números naturais menores ou iguais a n divide o seu produto se,e somente se,n+1 é composto.
[obm-l] Geometria(ajuda)
1) Cada uma das diagonais de um quadrilátero convexo o divide em dois triângulos de mesma área.Prove que o quadrilátero é um paralelogramo. 2) São dados dois quadrados em um mesmo plano,de lados 2cm e 1cm.Se o centro do quadrado de menor lado coincide com um dos vértices doquadrado de maior lado,determine as possíveis áreas da porção do plano comum aos dois quadrados.
[obm-l] Alguem responde esse?(teoria dos números)
Determine todos os inteiros positivos n tai que n^2 divide 2^n + 1 Desde já agradeço.
[obm-l] FW: Alguem responde esse?(teoria dos números)
From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Alguem responde esse?(teoria dos números) Date: Thu, 4 Oct 2012 00:14:56 + Determine todos os inteiros positivos n tai que n^2 divide 2^n + 1 Desde já agradeço.
[obm-l] Uma questão interessante
Está na rpm 7: Seja a_n o inteiro positivo mais próximo de raiz(n).Calule a soma 1 + 1/a_1 + 1/a_2 + ... + 1/a_1980
[obm-l] RE: [obm-l] Médias iguais ... números iguais
Oi,PauloPosso estar dizendo bobagem,mas vai minha(modesta)opinião:Sabemos que MA = MGEstou pensando em MG como valor mínimo de MAPodemos supor x1=x2=x3...=xn.Então Sn =x1+x2...+xn =n.x1 é mínimo,o que ocorre quando x1=x2=x3...=xn.Alguem com melhor entendimento sobre o assunto poderia esclarecer mais a questão.Abraço,Marcone. From: pauloarg...@outlook.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Médias iguais ... números iguais Date: Sun, 23 Sep 2012 02:53:39 + Caríssimos Colegas, Sabendo-se que a média geométrica e a média aritmética de n números reais positivos são iguais, como provar que os n números são, necessariamente, iguais? Abraços do Paulo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria
Obrigado,Julio.Se for possível detalhar um pouco mais a sulução,agradeço.De qualquer forma vou procurar a questão nos arquivos da lista. From: saldana...@pucp.edu.pe To: obm-l@mat.puc-rio.br CC: Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria Date: Thu, 13 Sep 2012 05:33:50 -0500 Eu acho que já resolvimos esse problema aquí na lista. Mas vou tentar uma solução diferente: Chame de M aquele ponto de CD para o qual BM=BC. Então BMC=80, então DBM=40, então DM=BM (=BC). Desenhe a linha reta que vai B a M, e na prolongação ubique o ponto T para o qual MT=BM (=DM), então MTD=MDT=50. E, como AFD=50, podemos concluir que o quadrilátero BFDT é, en español, inscriptible. E como ademá BDT=90, chegamos à conclusão que M é o centro da circunferencia circunscrita a BFDT. Então MF=MB=MT=MD são raios dessa circunferencia. Façendo algumas somas de ângulos, poderá descobri que BMF=60, e portanto BF=BM(=BC), ou seja BCF=BFC=50. Tomara que estja certo. Me desculpe o portunhol. Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Thu, 13 Sep 2012 01:48:27 + Asunto : [obm-l] Geometria Seja ABC um triangulo isosceles com base BC e BAC mede 20 graus.Seja D um ponto do lado AC distinto de A tal que DBC mede 60 graus. Sejam E e F pontos de AB tais que DE é paralelo a BC e DF perpendicular a EC.Determine a madida do angulo BCF __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Círculo dos nove pontos
Mostre que em um triâgulo,os pontos médios dos 3 lados,os pés das alturas e os pontos médios dos segmentos ligando os 3 vértices ao ortocentroestão em um mesmo círculo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?
Ai vc calculou o número de zero de 7000!,certo? Date: Thu, 13 Sep 2012 10:29:24 -0700 From: diegoandre...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000? To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi ennius,A quantidade de digitos dependerá do número de fatores 2 e 5 que aparece na decomposição em fatores primos. Como num fatorial temos uma certa abundancia no número de fatores 2, o que determinará será o número de fatores 5. 1 - parte inteira de [7000/5] = 1400 (quantidade de numeros divisiveis por 5)2 - parte inteira de [7000/25] = 280 (Contando o segundo fator dos numeros divisiveis por 25 --- * o primeiro ja foi contado em 1) 3 - parte inteira de [7000/125] = 56 (Contando o terceiro fator dos numeros divisiveis por 125 --- * o primeiro ja foi contado em 1 e o segundo em 2) 4 - parte inteira de [7000/625] = 11 .5 - parte inteira de [7000/3125] = 2 ... S = 1400 + 280 + 56 + 11 + 2 = 1749 O caso geral voce deve fazer: S = Somatorio(Parte inteira[ N / 5^i ] ) para i de 1 até infinito. O livro Teoria Elementar dos Numeros do Edmund Landau acho que ajudará você a entender melhor essa parte (Página 23 teorema 27 - e exemplo resolvido da pagina 25). Segue o link:http://books.google.com.br/books?id=Q0wBV6wln3wCpg=PA11dq=teoria+elementar+dos+numeros+edmund+landausource=gbs_toc_rcad=4#v=onepageqf=false abs,Diego Andrés De: ennius enn...@bol.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 13 de Setembro de 2012 10:27 Assunto: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000? Prezados Colegas, Qual o melhor método para calcular quantos dÃgitos tem o fatorial de 7000 (ou de qualquer outro número natural grande)? Desde já, muito obrigado. Ennius Lima = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Geometria
Seja ABC um triangulo isosceles com base BC e BAC mede 20 graus.Seja D um ponto do lado AC distinto de A tal que DBC mede 60 graus. Sejam E e F pontos de AB tais que DE é paralelo a BC e DF perpendicular a EC.Determine a madida do angulo BCF
[obm-l] Geometria(Construção(2))
1)Os pontos P1,P2,P3,P4 pertencem aos lados consecutivos de um quadrado ABCD.Construa com régua e compasso o quadrado.Justifique sua construção. .P1.P2 .P3.P4 2) Construa o triangulo ABC conhecendo o angulo A,o lado b e o raio r do círculo inscrito.Justifique.
[obm-l] Geometria
Seja ABCD um paralelogramo e P um ponto externo tal que PB e PD fazem angulos iguais com os lados BC e DC,respectivamente,do paralelogramo ABCDMostre que os angulos CPB e DPA são congruentes.
[obm-l] Socorro em geometria(construção)
Construir o trapézio ABCD conhecendo a soma das bases AB +CD = s,as diagonais AC = p e BD = q e o lado AD = a.Justifique.
[obm-l] FW: Geometria
From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Geometria Date: Wed, 22 Aug 2012 18:34:36 + Uma reta corta uma região triangular ao longo de um segmento de comprimento a.Mostre que a é menor ou igual ao comprimento do maior lado do triangulo
[obm-l] RE: [obm-l] Divisibilidade e Congruências
Sobre a primeira questao,os quadrados perfeitos sao da forma 4k ou 4k + 1Note que 144...4 = 10^n + 4*11...1.(n zeros na primeira parcela e n 1`s na segunda)Para n = 2 e n = 3 temos 144 e 1444,respectivamente,quadrados perfeitosPara n 3,temos que 144...4 = 1000*10^(n-3) + 4*11...1 = 4*(250*10^(n-3) + 11...1) = xSuponha que x seja um quadrado perfeito.Então y = 250*10^(n-3) + 11...1 é tambem quadrado perfeitoObserve que a primeira parcela de y(para n 3) é um múltiplo de 4 e a segunda, é um múltiplo de 4 mais 3,pois 11...111 = 11...100((n-2) 1`s) + 8 + 3,ou seja,y = 4k + 3,daivem uma contradição com o fato de que um quadrado perfeito é da forma 4k ou 4k + 1.Portanto,para n 3,x=144...4 não é quadrado perfeito.Abraço,Marcone. From: athos...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Divisibilidade e Congruências Date: Thu, 30 Aug 2012 01:39:38 + Bem, tenho estudado algumas matérias sozinho, e não estou obtendo muito sucesso. Graças as meu fracasso, vou começar a mandar questões frequentemente, espero que gostem e que me ajudem. Ai vai: 1)Mostre que entre os números da forma:14, 144, 1444, 1, ... , 1444...444os únicos quadrados perfeitos são: 144=12² e 1444=38² 2)Encontrar todos os números N de três dígitos em representação decimal, tais que N é divisível por 11 e além disso N/11 é igual à soma dos quadrados dos dígitos de N. 3)Seja f: N-N uma função tal que:(a) f(1)=0(b) f(2n)= 2n+1(c) f(2n+1)=2f(n)Ache uma fórmula não recursiva para f(x) Obrigado pela atenção, Boa noiteAtt. Athos Cotta Couto
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Essa não é fácil
Acho que consegui,depois que vc me deixou na cara do gol.Se M = 0,então o produto das raizes = 0,ou seja, b^2 - k = 0 = k = b^2Como M = kb - a = 0 = a = kb = b^3.Eu até testei b = 2,a = 8 e,substituindo esses valores em (a^2 + b^2)/ (1 + ab),encontrei 4 = 2^2Devemos mostrar:i) (obvio);ii) M+10(kb - a) +1=(ba^2 + b^3)/(1+ab) - a + 1 = (b^3 + ab + 1 - a)/(1+ab),que é positivo pois b^3 + ab + 1 a e o denominador é positivo.iii) M bb - M = b - kb + a = b - (a^2 + b^2)b/(1+ab) = [(b + ab^2 + a) - b^3]/(1+ab),que é claramente positivo,basta ver que ab^2 = b^3,pois a = bEntão,como b - M 0,temos que M b.Obrigado mais uma vez,Ralph.Abraço,Marcone. Date: Mon, 27 Aug 2012 22:32:46 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Essa não é fácil From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Eh, essa eh a questao 6 da IMO 1988. Eh uma das questoes mais bonitas que eu jah vi! Aqui vao dicas, os detalhes ficam para voce! -- Seja k um inteiro positivo que pode ser escrito na forma k=(a^2+b^2)/(1+ab), com a e b inteiros. De todos os pares (a,b) que geram o mesmo k, escolha o par (a,b) de forma que 0b=a com b o minimo possivel. -- Eliminando denominadores: a^2-kab+(b^2-k)=0. AGORA O PULO DO GATO: pense nisso como uma quadratica em a, e considere a outra raiz M=kb-a. Mostre que:i) M eh inteiro (obvio);ii) M+10, entao M eh nao-negativo; iii) Mb-- Isto eh quase uma contradicao, porque b era minimo dentre os positivos! Soh tem uma explicacao: M=0.-- Use isso e corra para o abraco. Abraco (huh, correu?), Ralph 2012/8/27 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com a e b são inteiros positivosab + 1 divide a^2 + b^2Mostre que (a^2 + b^2)/( 1 + ab) é um quadrado perfeitoEssa questão está na rpm 13,fez parte de uma competição importante,se não me engano em 1988,e poucos acertaram. Um amigo já tentou encontrar a solução várias vezes e não conseguiu.
[obm-l] Essa não é fácil
a e b são inteiros positivosab + 1 divide a^2 + b^2Mostre que (a^2 + b^2)/( 1 + ab) é um quadrado perfeitoEssa questão está na rpm 13,fez parte de uma competição importante,se não me engano em 1988,e poucos acertaram.Um amigo já tentou encontrar a solução várias vezes e não conseguiu.
RE: [obm-l] Mais divisibilidade
Mais uma vez obrigado A questão é essa mesmo,está na página 40 do livro Elementos de Aritmética(segunda edição) Deve ser erro do livro,acho. Abraço. From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Mais divisibilidade Date: Wed, 22 Aug 2012 21:08:49 -0300 Suponha que vale para n Logo 10^(3n)-1 = k.3^(n+2) 10^(3n+3)-1000 = 1000k3^(n+2) 10^(3n+3)-1 = 1000.k.3^(n+2) + 999 Analizemos 1000.k.3^(n+2) + 999 modulo 3^(n+3) 1000.k.3^(n+2) + 999 modulo 3^(n+3) = 333.k.3^(n+3) + k.3^(n+2) + 999 Vemos claramente que como a maior potência de 3 que divide 999 é 3, logo temos que a expressão não vale isso não vale para n=2 É fácil ver que (10^6-1)/(3^4) não é inteiro Talvez a expressão esteja escrita errada não? Eu interpretei como 10^(3n)-1 Talvez seja 1000n-1 ou até 10^(3n-1) Mesmo assim, nenhuma vale n=2, 1999 não divide 3 n=1, 100 não divide 3 Talvez você tenha errado na digitação ou algo assim Tem certeza que o exercício é esse? []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Mais divisibilidade Date: Wed, 22 Aug 2012 16:54:50 + Mostre que 3^(n+2) divide 10^3n - 1
[obm-l] Geometria(2)
1) Mostre que a soma dos comprimentos das medianas de um triangulo é menor do que 3/4 do seu perímetro. 2) Quantos trapézios existem cujos lados medem 4,6,7 e 10? 3) Construir o trapézio ABCD conhecendo a soma das bases AB + CD = s,as diagonais AC = p e BD = q e o lado AD = a. Justifique.
RE: [obm-l] divisibilidade(3)
Tentei fazer somando e subtraindo termos iguais,mas não consegui. O colega Douglas,da lista, fez por congruência,ótimo.Mas eu gostaria de resolver seguindo sua sugestão,pois não chegamos a ver congruência ainda. Date: Tue, 21 Aug 2012 15:39:54 -0400 Subject: Re: [obm-l] divisibilidade(3) From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2012/8/21 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Mostre,para todo n E N,que notação: a exp b significa´ a elevado a b´ a² -a + 1 divide a exp (2n+1) + (a-1) exp (n+2) Recorrencia! Mostre que vale para n=0 (facil!) e depois use que x | cx + d = x | d para simplificar (voce vai ter que somar e subtrair termos iguais para poder fatorar o a^2 - a + 1. Abracos, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Mais divisibilidade
Mostre que 3^(n+2) divide 10^3n - 1
[obm-l] Geometria
Uma reta corta uma região triangular ao longo de um segmento de comprimento a.Mostre que a é menor ou igual ao comprimento do maior lado do triangulo
[obm-l] divisibilidade(3)
Mostre,para todo n E N,que notação: a exp b significa´ a elevado a b´ a² -a + 1 divide a exp (2n+1) + (a-1) exp (n+2)
[obm-l] Divisibilidade(2)
1)para que valores de a(naturais) a) a-2 divide a³ + 4? b) a+3 divide a³- 3?
[obm-l] Divisibilidade
Mostre q existem infinitos valores de n em N para s quais 8n^2 + 5 é divissível por 7 e por 11 Agradeço pela atenção.
[obm-l] Geometria espacial
Dado um tetraedro de areata a,dentro dele são colocadas 4 esferas iguais tangentes entre si e tangentes às faces do tetraedro Qual o raio das esferas?
RE: [obm-l] Probleminha
Obrigado por responder. No geral eu estou sentindo a falta de maior quantidade de mensagens nessa lista. Date: Wed, 18 Jul 2012 15:27:22 -0700 From: eduardowil...@yahoo.com.br Subject: Re:[obm-l] Probleminha To: obm-l@mat.puc-rio.br Seja X o volume do tonel e x o volume da caneca. Na primeira operação restou X-x de vinho e x de água. Admitindo que o cliente agitou bem antes de usar a segunda dose, foi retirado (x/X)x de água e reposto x, logo a quantidade final de água será 2x-(x^2)/X = X/2. Resolvendo, a solução (menor que X) é x = X (2-sqrt2)/2. Se for dirigir, não beba! [ ]'s
[obm-l] Trigonometria
Um balão foi visto simultaneamente de 3 estações A,B, e C sob angulos de elevação de 45,45 e 60,respectivamente.Sabendo que A esta a 3km a oeste de C e que B esta a 4km ao norte de C,determine a altura do balão. Resposta:aprox. 6676m ou 2696m
[obm-l] Probleminha
De um tonel de vinho,alguem retira uma certa quantidade e substitui por um volume igual de agua.Apos repetida a mesma operação,o liquido que restou no tonel é metade vinho,metade agua.Quanta agua foi colocada no tonel cada uma das duas vezes?
[obm-l] Prove que...
As medidas dos lados de um triângulo retângulo são representadas por números inteiros.Prove que a medida de um dos catetos é representada por um múltiplo de 4. Mostrar que as medidads dos catetos não podem ser ambas números ímpares e considerar essas medidas sendo b = m^2 - n^2 e c = 2mn é suficiente?
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Redução de produto à soma e divisãopor 2
Se a e b estão fora do intervalo,é só fazer o ajuste,depois. Obrigado. Date: Sun, 1 Jul 2012 13:34:31 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Redução de produto à soma e divisãopor 2 From: alexmatematica1...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Use Cos(x + y )= cosx.cosy - senxseny cos(x-y) = cosxcosy + senx seny, adicionando as duas vc chega em: cos(x+y) + cos(x - y)= 2 cosx.cosy, comparando com a relação dada, vemos que: a = x + y e b = x-y, para a segunda suponha que a e b estão no intervalo [0,1],dai ab=cosx.cosy=1/2(cos(x+y)+ cos(x-y)) OK, espero ter ajudado Em 30 de junho de 2012 21:42, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Dados dois números reais x e y,determinar a e b tais que cosxcosy = 1/2(cosa + cosb) Usando essa fórmula e uma tabela trigonométrica,como reduzir produtos às operações de somar e dividir por 2?
[obm-l] Redução de produto à soma e divisãopor 2
Dados dois números reais x e y,determinar a e b tais que cosxcosy = 1/2(cosa + cosb) Usando essa fórmula e uma tabela trigonométrica,como reduzir produtos às operações de somar e dividir por 2?
[obm-l] Função exponencial(ajuda)
Uma a bijeção E:R--R+ chama-se função exponencial quando sua inversa F:R+ --R é uma função logaritmica. Prove que a bijeção E:R--R+ é uma função exponencial se,e somente se,cumpre as condições: a) E é crescente b) E(x+y) = E(x).E(y) Obrigado pela atenção.
[obm-l] Ajuda(trigonometria)
Determine para que valores de a a equação 1 + (senax)^2 = cosx admita alguma solução não nula. Agradeço desde já.
RE: [obm-l] FW: PROBLEMAS..... de concurso??
diferem por uma constante quer dizer que um é igual ao outro vezes um k? nesse caso as raizes de um são iguais as raizes do outro From: qed_te...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] FW: PROBLEMAS. de concurso?? Date: Mon, 25 Jun 2012 13:56:08 + Sauda,c~oes, Me mandaram os problemas abaixo com o gabarito. Que tirei para ver as respostas justificadas de vocês, sempre melhores e mais espertas do que as minhas. Faço isso por 3 razões: 1) para me ajudarem; 2) para dar uma melhor resposta ao Fernando; 3) para tirar a lista do silêncio e moviment'a-la um pouco. [ ]'s Lu'is Prezado Luis, Gostaria de sua ajuda para as seguintes questões: 1)Se dois trinômios do 2º grau possuem as mesmas raízes então: a) eles são necessariamente iguais. b) eles assumem necessariamente um mínimo ou um máximo no mesmo ponto. c) eles diferem por uma constante. d) suas concavidades são de mesmo sentido. e) nenhuma das anteriores. R. letra a letra d é f'acil de ser eliminada. hum a letra a também 2)Dados três pontos no plano cartesiano, não colineares e com abscissas distintas duas a duas, o número de funções quadráticas que podem ser encontradas de maneira que esses pontos pertençam aos seus gráficos é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 R.letra .?
[obm-l] Ajuda em combinatória
Quantos subconjuntos do conjunto {1,2,...,n} não contêm dois inteiros
consecutivos?
[obm-l] Prova combinatória(2 e 3)
2) Suponha que você deseje escolher um subconjunto de 2k+1 elementos de um
conjunto de n elementos {1,2,...,n}
Você decide fazer isso escolhendo primeiro o elemento do meio,depois os k
elementos à sua esquerda e por último os k elementos à sua direita.
Formule a identidade combinatória que você obtem disso.
Essa não consegui.
3) Prove que
C(n,2) + C(n+1,2) = n^2
Dê duas provas,uma usando a fórmula algébrica e outra, usando a interpretação
combinatória.
Pela fórmula algébrica é muito simples
Interpretação combinátoria:
Suponha que serão escolhidos dois alunos de uma mesma turma,entre duas turmas A
e B,uma com n alunos e a outra com n+1 alunos.
De quantos modos é possível fazer tal escolha?
Escolher dois alunos da turma A ou dois alunos da turma B: C(n,2) + C(n+1,2)
Outra forma: escolher dois alunos quaisquer,independente de qual turma eles
sejam,e subtrair o número de casos em que são escolhidos um aluno da turma A e
outro da B: C(2n+1,2) - n.(n+1) = n^2
Conclusão: C(n,2) + C(n+1,2) = n^2
Tá certo assim?
Mesmo que esteja certo,alguem indicaria um modo diferente?
[obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas em combinatória
Obrigado,Douglas.
Uma problema bem parecido: Uma escada tem n degraus.Voce sobe tomando um ou
dois a cada vez.De quantas maneiras voce pode subir?
Date: Mon, 11 Jun 2012 15:42:45 -0300
From: douglas.olive...@grupoolimpo.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Dúvidas em combinatória
Problema interessantíssimo, não tinha parado pra fazer até que percebi algo..
se voce for analisando a medida que os elementos crescem no conjunto perceba:
{} 1
{1}--- 2
{1,2}---3
{1,2,3}---5
{1,2,3,4}---8
...
os números que aparecem são os de fibonacci e analisando a sua resolução, voce
mesmo chegaria no teorema de lucas f_n+1=Cn,0 + Cn-1,1 +Cn-2,2 +...Cn-j,j onde
j é o maior inteiro menor ou igual a n/2, o que responde sua pergunta sobre n/2.
logo é só montar a recorrência e escrever a fórmula de binet.
Espero ter ajudado.
Douglas Oliveira!!!
On Mon, 4 Jun 2012 13:38:50 +, marcone augusto araújo borges wrote:
1)Quantos subconjuntos do conjunto {1,2,...,n} não contêm dois inteiros
consecutivos?
O vazio seria um deles
Com 1 elemento:n subconjuntos
Com 2 elementos:Cn-1,2
Com 3 elementos:Cn-2,3
.
.
.
Com n/2 elementos(se n é par):???
Eu pensei C(n/2 + 1,n/2) = n/2 + 1...mas isso é muito estranho,pois,se n =
10,por exemplo,só há 2 subconjuntos de 5 elementos que não contêm dois inteiros
consecutivos...
è necessario mesmo separar em 2 casos,n par e n ímpar?
2)Qual o argumento combinatório para mostrar que Cn,2 + Cn+1,2 = n^2?
Desde já agradeço.
RE: [obm-l] Prova combinatoria
Nessas condições,o total de palavras é 3^6 Esse total pode ser calculado considerando que uma palavra pode ter ou nenhuma consoante,ou uma,ou duas,...,ou 6 consoantes Nenhuma:1 palavra( só há 1 vogal entre as 3 letras) Uma consoante: (6,1).2.(escolher a posição da consoante e escolher qual delas) Duas consoantes : (6,2).2.2 . . . Seis consoantes: (6,6).2^6 Agora é somar tudo. Acho que entendi. Onde eu nasci,o pessoal dizia,quando gostava muito de uma coisa:isso é porreta! Date: Wed, 6 Jun 2012 16:31:23 -0300 Subject: Re: [obm-l] Prova combinatoria From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br O que o Bernardo disse! Usando a ideia dele, cheguei em: Você tem um alfabeto de apenas 3 letras -- digamos, A, B e C -- e quer montar uma palavra com n símbolos (a ordem importa, repetições obviamente são aceitas). Por exemplo, uma palavra válida com n=6 é ABBACA (eu sem querer escrevi outra parecida, mas depois li o que eu tinha escrito e era ligeiramente ofensivo... :) :) :)). Quantas destas palavras têm exatamente k consoantes? Abraço, Ralph 2012/6/6 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com 2012/6/6 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: notação:(n,p)--número binomial de numerador n e denominador p 1 + 2(n,1) + 4(n,2) + ...[2^(n-1)](n,n-1)+ [2 ^n](n,n) = 3^n Se desenvolvermos (x + 2y)^n e substituirmos x por 1 e y por 1,encontraremos a expressão do lado esquerdo,que será igual a (1+ 2)^n Veja que isso é também a expansão de (x + y)^n com x=1 e y=2. O exercício pede para encontrar uma prova combinatória. Uhm, pra tentar uma prova combinatória, eu faria *antes de mais nada* uma prova combinatória da mesma fórmula só que com x=1 e y=1. Talvez você até já conheça uma. Daí tente generalizar! Já pensei,pensei e não saiu. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de combinatoria
Beleza!Eh isso mesmo. Eu tinha pensado em escolher duas linhas e duas colunas,para formar um retângulo. Date: Wed, 6 Jun 2012 00:58:24 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de combinatoria From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Escolher um retangulo significa escolher o canto esquerdo superior e o canto direito inferior. Como o canto esquerdo superior tem que ficar a Noroeste desta celula, sao pq opcoes para ele. Como o canto direito inferior tem que ficar a Sudeste dela, sao (m-p+1)(n-q+1) opcoes para ele (note que isto inclui a propria celula como possibilidade). Total: p(m+1-p)q(n+1-q) opcoes. Eh isso? Abraco, Ralph 2012/6/5 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Em uma tabela com m linhas e n colunas,a célula da intersecção da p-ésima linha com a q-ésima coluna está marcada. Quantos retângulos formados pelas células da tabela contêm a celula marcada?
[obm-l] FW: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de combinatoria
From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de combinatoria Date: Wed, 6 Jun 2012 13:37:56 + Beleza!Eh isso mesmo. Eu tinha pensado em escolher duas linhas e duas colunas,para formar um retângulo. Date: Wed, 6 Jun 2012 00:58:24 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de combinatoria From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Escolher um retangulo significa escolher o canto esquerdo superior e o canto direito inferior. Como o canto esquerdo superior tem que ficar a Noroeste desta celula, sao pq opcoes para ele. Como o canto direito inferior tem que ficar a Sudeste dela, sao (m-p+1)(n-q+1) opcoes para ele (note que isto inclui a propria celula como possibilidade). Total: p(m+1-p)q(n+1-q) opcoes. Eh isso? Abraco, Ralph 2012/6/5 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Em uma tabela com m linhas e n colunas,a célula da intersecção da p-ésima linha com a q-ésima coluna está marcada. Quantos retângulos formados pelas células da tabela contêm a celula marcada?
[obm-l] Prova combinatoria
notação:(n,p)--número binomial de numerador n e denominador p 1 + 2(n,1) + 4(n,2) + ...[2^(n-1)](n,n-1)+ [2 ^n](n,n) = 3^n Se desenvolvermos (x + 2y)^n e substituirmos x por 1 e y por 1,encontraremos a expressão do lado esquerdo,que será igual a (1+ 2)^n O exercício pede para encontrar uma prova combinatória. Já pensei,pensei e não saiu.
[obm-l] Questão de combinatoria
Em uma tabela com m linhas e n colunas,a célula da intersecção da p-ésima linha com a q-ésima coluna está marcada. Quantos retângulos formados pelas células da tabela contêm a celula marcada?
[obm-l] Dúvidas em combinatória
1)Quantos subconjuntos do conjunto {1,2,...,n} não contêm dois inteiros
consecutivos?
O vazio seria um deles
Com 1 elemento:n subconjuntos
Com 2 elementos:Cn-1,2
Com 3 elementos:Cn-2,3
.
.
.
Com n/2 elementos(se n é par):???
Eu pensei C(n/2 + 1,n/2) = n/2 + 1...mas isso é muito estranho,pois,se n =
10,por exemplo,só há 2 subconjuntos de 5 elementos que não contêm dois inteiros
consecutivos...
è necessario mesmo separar em 2 casos,n par e n ímpar?
2)Qual o argumento combinatório para mostrar que Cn,2 + Cn+1,2 = n^2?
Desde já agradeço.
[obm-l] Ajuda em combinatória
De quantas maneiras podemos colocar 7 bolas de bilhar brancas e duas pretas em 9 caçapas?(algumas caçapas podem permanecer vazias e as caçapas são consideradas distintas). Se fossem todas brancas ou todas pretas(mais fácil) seriam C17,8 maneiras?
[obm-l] plinômios
Mostre que se n é um número par o polinômio x^n + x^(n-1) +...+ x +1 não tem raizes reais Eu fiz assim:chamandoo polinômio acima de p(x),temos que p(x) = [x^(n+1) -1]/(x - 1) como x diferente de 1,pois 1 não é raiz de p(x),então p(x) = 0 - x^(n+1) = 1,o que é impossível para x real diferente de 1 e n natural Alguem poderia mostrar de outra forma?
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] combinatória
obrigado.E caso k = 2,teremos 2p + 1 resultados,e não p + 1,certo? Date: Tue, 22 May 2012 19:33:07 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] combinatória From: victor.chaves@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Tem-se um total de K*p moedinhas. Basta contar o número de soluções da equação: x_1 + x_2 + ... + x_k = K*p Em 22 de maio de 2012 17:50, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: K condes estao jogando cartas.Originalmente,eles tem todos p moedinhas.No final do jogo,eles contam quanto eles tem.Eles nao tomam emprestado um do outro,de modo que que eles nao podem perder mais do que suas p moedinhas.Quantos resultados possiveis existem? No enunciado,nao faltaria dizer,por exemplo,que eles apostam uma moedinha por rodada? Nesse caso,se fossem 2 jogadores,creio,o numero de resultados possiveis seria p + 1 Alguem poderia esclarecer? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Solucões em inteiros positivos
Como determinar o número de soluções,em inteiros positivos,de x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 22 em que x_1 = 7,x_2 = 6,x_3 = 9 e x_4 = 8 ?
[obm-l] Mais combinatória
1) 20 pessoas estao sentadas ao redor de uma mesa.De quantas maneiras podemos escolher 3 pessoas,sem que nunca 2 delas sejam vizinhas? Eu tinha feito 20*17*14,mas depois vi que estava errado. 2) Qual o numero de maneiras de colorir n objetos com 3 cores,se cada cor tem que ser usada pelo menos uma vez? Para começar,uma dúvida: se n = 3,temos 1 maneira ou 6?
[obm-l] combinatória
K condes estao jogando cartas.Originalmente,eles tem todos p moedinhas.No final do jogo,eles contam quanto eles tem.Eles nao tomam emprestado um do outro,de modo que que eles nao podem perder mais do que suas p moedinhas.Quantos resultados possiveis existem? No enunciado,nao faltaria dizer,por exemplo,que eles apostam uma moedinha por rodada? Nesse caso,se fossem 2 jogadores,creio,o numero de resultados possiveis seria p + 1 Alguem poderia esclarecer?
RE: [obm-l] Ajuda em combinatoria
Valeu Ralph! Date: Sat, 19 May 2012 12:18:32 -0300 Subject: Re: [obm-l] Ajuda em combinatoria From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br A chave eh decidir onde vao os impares e onde vao os pares... quero dizer, decidir qual das seguintes formas seu numero vai ser: Forma 1: PPPIII Forma 2: PPIPII ... Forma ??: IIIPPP (I= impar, P=par; tecnicamente, ??=C(6,3), mas isto nao interessa agora) Isto dito, a gente vai ter que evitar com carinho colocar um 0 na primeira posicao. Entao eu separaria em dois casos: A) Com o primeiro algarismo impar: Formas possiveis: basta escolher dois outros lugares para os I: C(5,2) possibilidades. Agora, para cada I ha 5 opcoes, e para cada P ha 5 opcoes. Entao aqui ha um total de C(5,2).5^3.5^3 opcoes. B) Com o primeiro algarismo par: Formas possiveis: basta escolher dois outros lugares para os P: C(5,2) possibilidades de novo. Agora, para o primeiro P ha 4 opcoes, para cada I ha 5 opcoes, para os outros dois P ha 5 opcoes cada. Total: C(5,2).4.5^5 Total geral: (A)+(B)=C(5,2).5^5.(5+4)=281250 ---///--- Outra maneira eh contar todas as sequencias com 3 digitos pares e 3 impares (C(6,3)*5^6 opcoes) e retirar as que comecam por 0 (C(5,3)*5^5 opcoes). Abraco, Ralph 2012/5/19 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Quantos numeros de 6 algarismos têm 3 algarismos pares e 3 impares? Tentei bastante,ainda não saiu. Se fossem algarismos distintos seria mais fácil.
[obm-l] Ajuda em combinatoria
Quantos numeros de 6 algarismos têm 3 algarismos pares e 3 impares? Tentei bastante,ainda não saiu. Se fossem algarismos distintos seria mais fácil.
[obm-l] RE: [obm-l] Combinatória
Para a segunda questao eu achei (n-1)!/[(n-k)!(k-1)!.É isso? Para a primeira,pensei em separar nos seguintes casos: 1) Com o zero: a) todos algarismos distintos b) apenas 2 zeros c) 3 zeros 2) sem o zero: a) 2 algar. iguais e os demais distintos b) 3 algar. iguais e os demais distintos c) exatamente 2 pares de 2 algar. iguais d) 2 pares de 3 algar. iguais e) todos os algarismos distintos Somando tudo,acho que daria,mas deve haver melhor solução. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Combinatória Date: Tue, 15 May 2012 02:16:26 + 1) Quantos números de 6 algarismos tem 3 algarismos pares e 3 ímpares? 2) De quantas maneiras voce pode distribuir n moedinhas idênticas a k crianças de modo que cada criança ganhe pelo menos uma?
RE: [obm-l] quadrado perfeito
n = 10 e n = 4 são soluções,depois eu justifico Date: Tue, 15 May 2012 06:55:36 -0700 From: prof_fabioberna...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] quadrado perfeito To: obm-l@mat.puc-rio.br Amigos, Não estou enxergando uma solução razoável para o problema: A soma de todos os valores inteiros e positivos de n para os quais 2^n + 65 é um quadrado perfeito vale: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 Agradeço a ajuda.
RE: [obm-l] quadrado perfeito
1) se n é par,então n = 2k 2^(2k) + 65 = m^2 m^2 - (2^k)^2 = 65=13.5 fazendo 2^k = t: m^2 - t^2 = (m+t).(m - t) = 13.5 m + t = 13 e m - t = 5 = m = 9 e t = 2^k = 4 =k = 2 n = 2k = 2.2 = 4 Outra possibilidade é: m + t = 65 e m - t = 1 = m = 33 e t = 32 t = 32 =k = 5 = n = 10 2) se n é ímpar tentei mostrar que nesse caso não há solução,mas até agora não consegui. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] quadrado perfeito Date: Tue, 15 May 2012 14:46:50 + n = 10 e n = 4 são soluções,depois eu justifico Date: Tue, 15 May 2012 06:55:36 -0700 From: prof_fabioberna...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] quadrado perfeito To: obm-l@mat.puc-rio.br Amigos, Não estou enxergando uma solução razoável para o problema: A soma de todos os valores inteiros e positivos de n para os quais 2^n + 65 é um quadrado perfeito vale: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 Agradeço a ajuda.
[obm-l] Combinatória
1) Quantos números de 6 algarismos tem 3 algarismos pares e 3 ímpares? 2) De quantas maneiras voce pode distribuir n moedinhas idênticas a k crianças de modo que cada criança ganhe pelo menos uma?
[obm-l] Soma dos divisores
Eu já vi em algum lugar uma fórmula para calcular a soma dos divisores positivoa de um inteiro positivo. Como determinar tal fórmula?
[obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas- Logica Matemática
A questão 2,eu acho,seria passível de anulação,sim. From: vanessani...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Dúvidas- Logica Matemática Date: Tue, 8 May 2012 03:07:40 + 1- Um professor de Lógica, recém chegado a este país, é informado por um nativo que glup e plug, na língua local, significam sim e não mas o professor não sabe se o nativo que o informou é verd ou falc. Então ele se aproxima de três outros nativos que estavam conversando juntos e faz a cada um deles duas perguntas:1ª Os outros dois são verds?2ª Os outros dois são falcs?A primeira pergunta é respondida com glup pelos três mas à segunda pergunta os dois primeiros responderam glup e o terceiro respondeu plug.Assim, o professor pode concluir que:a) todos são verds;b) todos são falcs;c) somente um dos três últimos é falc e glup significa não;d) somente um dos três últimos é verd e glup significa sim;e) há dois verds e glup significa sim. Dúvida no gabarito 2-Uma cafeteira automática aceita apenas moedas de 5, 10 ou 25 centavos e não devolve troco. Se, feito nessa máquina, cada cafezinho custa 50 centavos, de quantos modos podem ser usadas essas moedas para pagá-lo? (A) 13 (B) 12 (C) 11 (D) 10 (E) 9 O gabarito marca como 10 maneiras, até ai ok, mas quando ele diz que não devolve troco, me abre margem pra eu colocar dinheiro a mais na maquina ( 25 mais 3 de 10 ) pagaria o cafe e a maquina não devolveria troco. o que vcs acham estou errada ou essa questão seria passível de anulação? ou alteração de gabarito para letra c? 1º-10 x52º- 8x 5+ 103º- 6x5+ 2x104º-4x5 + 3x105º-2x5+ 4x106º-5x107º-25+5x58º-25+3x5+109º-25+5+2x1010º- 2x25 Vanessa Nunes
[obm-l] Prove que ...
1) Prove q todo numero natural pode ser representado como uma soma de diversas potencias de base 2 2) Prove q qualquer numero natural pode ser representado como a soma de diversos numeros de Fibonacci diferentes Como resolver as questões acima?
RE: [obm-l] Divisibilidade
Note que 7 divide 14a + 14b.Como 7 divide (14a + 14b) - (13a + 11b) = a + 3b,então 7 divide 13a + 11b. From: thiago_t...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Divisibilidade Date: Sat, 5 May 2012 02:33:07 -0300 Mostre que se 7 | a + 3b ent˜ao | 13a + 11b
[obm-l] Provar por indução
Prove por indução que para cada numero natural p = 3,existem p numeros naturais distintos dois a dois : n1,n2,...,np tais que 1/n1 + 1/ n2 ...+ 1/np = 1 Essa complicou pra mim,conto com ajuda,agradeço desde já
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Maior potência tem maior base
Tem razão
Esse fator deve ser a^(n-1) + a^(n-2)*b + ... + a*b(n-2) + b^(n-1)
From: argolopa...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Maior potência tem maior
base
Date: Sun, 29 Apr 2012 11:14:48 +
Caro Marcone,
Não há um probleminha no fator da direita do segundo membro?
Bem... seu método é ótimo. Muito obrigado!
Um abraço do Paulo!
---
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Maior potência tem maior base
Date: Sat, 28 Apr 2012 22:18:18 +
!--
.ExternalClass .ecxhmmessage P
{padding:0px;}
.ExternalClass body.ecxhmmessage
{font-size:10pt;font-family:Tahoma;}
--
Pode ser assim?
a^n - b^n = (a - b)(a^n + a^(n-1)b + a^(n-2)b^2 + ... + ab^(n-1) + b^n)
o primeiro membro é positivo(pois a^n b^n)
O fator da direita do segundo membro tambem é positivo(soma de produtos de
positivos)
Logo,(a - b) só pode ser positivo,então a b
Date: Fri, 27 Apr 2012 16:20:24 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Maior potência tem maior base
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sejam x e y números reais positivos.
Como já vimos num E-mail anterior, se a1=b1, a2=b2, ..., an=bn, com
todos positivos, então a1a2...an=b1b2...bn
(Tá, se eu me lembro direito tínhamos feito isso com a1b1, a2b2,
etc, mas é fácil adaptar aquela prova para =).
Tomando a1=a2=...=an=x e b1=b2=...bn=y, vem:
Se x=y, então x^n=y^n.
que é exatamente a contrapositiva do que você quer (Se x^ny^n, então
xy.). Então acabou!
Abraço,
Ralph
P.S.: A contrapositiva da implicação Se p, então q é a implicação
Se (não q), então (não p). Apesar do nome parecer sugerir algum tipo
de conflito, lembre que a contrapositiva de uma implicação é
EQUIVALENTE à implicação original. Provou uma, provou outra.
2012/4/27 Paulo Argolo pauloarg...@bol.com.br:
Caros Colegas,
Como podemos provar que a desigualdade x^n y^n implica x y , sendo x
e y
números reais positivos, e n inteiro positivo?
Abraços do Paulo.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Maior potência tem maior base
Pode ser assim? a^n - b^n = (a - b)(a^n + a^(n-1)b + a^(n-2)b^2 + ... + ab^(n-1) + b^n) o primeiro membro é positivo(pois a^n b^n) O fator da direita do segundo membro tambem é positivo(soma de produtos de positivos) Logo,(a - b) só pode ser positivo,então a b Date: Fri, 27 Apr 2012 16:20:24 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Maior potência tem maior base From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sejam x e y números reais positivos. Como já vimos num E-mail anterior, se a1=b1, a2=b2, ..., an=bn, com todos positivos, então a1a2...an=b1b2...bn (Tá, se eu me lembro direito tínhamos feito isso com a1b1, a2b2, etc, mas é fácil adaptar aquela prova para =). Tomando a1=a2=...=an=x e b1=b2=...bn=y, vem: Se x=y, então x^n=y^n. que é exatamente a contrapositiva do que você quer (Se x^ny^n, então xy.). Então acabou! Abraço, Ralph P.S.: A contrapositiva da implicação Se p, então q é a implicação Se (não q), então (não p). Apesar do nome parecer sugerir algum tipo de conflito, lembre que a contrapositiva de uma implicação é EQUIVALENTE à implicação original. Provou uma, provou outra. 2012/4/27 Paulo Argolo pauloarg...@bol.com.br: Caros Colegas, Como podemos provar que a desigualdade x^n y^n implica x y , sendo x e y números reais positivos, e n inteiro positivo? Abraços do Paulo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Divisibilidade
Prove que, entre 2^(n+1) números naturais quaisquer,existem 2^n números cuja soma é divisível por 2^n Eu sei que em uma divisão por 2^n existem 2^n restos possíveis Se em 2^n divisões ocorressem 2^n restos iguais a r,a soma deles seria r*2^n,que é divisível por 2^n Não sei se conseguiria resolver por congruência,mas eu gostaria de ver uma solução por outro caminho. Obrigado pela atenção.
RE: [obm-l] Divisibilidade
Parece que sai por indução tambem.(vejam as sugestoes de Bernardo e Shine). Se agente mostra q vale para 4 numeros(n=1),supomos q vale para 2^(n+1), mostramos q vale para 2^(n+2) Tomando 2^(n+2) numeros ,formamos 2 grupos de 2^(n+1) numeros... From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Divisibilidade Date: Thu, 26 Apr 2012 13:44:11 + Prove que, entre 2^(n+1) números naturais quaisquer,existem 2^n números cuja soma é divisível por 2^n Eu sei que em uma divisão por 2^n existem 2^n restos possíveis Se em 2^n divisões ocorressem 2^n restos iguais a r,a soma deles seria r*2^n,que é divisível por 2^n Não sei se conseguiria resolver por congruência,mas eu gostaria de ver uma solução por outro caminho. Obrigado pela atenção.
[obm-l] Fibonacci
Prove que F_km é divisível por F_m(use indução em k) Agradeço a quem puder ajudar.
RE: [obm-l] Desigualdade Triangular
Faltou um detalhe ai no enunciado,não? From: vitor__r...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Desigualdade Triangular Date: Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300 Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1. Desde já obrigado!!
RE: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular
PN = 0.5,certo? Interessante a solução! From: saldana...@pucp.edu.pe To: obm-l@mat.puc-rio.br CC: Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular Date: Wed, 25 Apr 2012 07:31:13 -0500 Parece que faltou disser que AB=CD=1. Nesse caso, sejam M, N e P os pontos meios de BD, BC e AD respectivamente. Então PM=MN=0.5 e NMP=60, então PN=1. Seja Q o ponto meio de CD, então PQ=AC/2 e QN=BD/2. Aplicando a desigualdade triangular no PQN: PQ+QN = PN então AC/2+BD/2=0.5 AC+BD=1 Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300 Asunto : [obm-l] Desigualdade Triangular Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1. Desde já obrigado!! __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Indução
Mostre por indução que 1 = raiz n-ésima de n = raiz cúbica de n para todo n natural Agradeço desde já.
