[obm-l] Dúvida
Gostaria que alguém me ajudasse com o problema abaixo: Seja (G,. ) um grupo contento exatamente 2n elementos, n =1. Prove que existe x e t.q. x^2 = x.x = e. Obs.: (i)x e denota x diferente da unidade de (G, . ); (ii) . é uma operaçãoqualquer que tornaG um grupo. Grato, Éder.Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui!
[obm-l] Polinomio 2
Eu gostaria de lembrar a resolução dessa questão por determinante ... Alguem pode me ajudar? Considere o polinomio de grau minimo, cuja representação grafica passa pelos pontos: P1(-2,-11), P2(-1,0), P3(1,4), P4(2,9) Determine os coeficientes do polinomio. Abraços Daniel Regufe _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Polinômio
Gostaria de uma ajuda nessa questão ... Sejam A(x) e B(x) polinômios de grau maior que um e admita que existam polinômios C(x) e D(x) tais que a igualdade abaixo se verifica A(x)*C(x) + B(x)*D(x) = 1( para todo x pertencente aos reais ) Prove que A(x) não é divisível por B(x). Abraços , Daniel Regufe _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinômio
Se A fosse divisivel por B, AC+BD=1 tambem o seria, o que eh absurdo pois grau de B 1. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Daniel Regufe [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thu, 24 Jun 2004 11:13:43 + Subject: [obm-l] Polinômio Gostaria de uma ajuda nessa questão ... Sejam A(x) e B(x) polinômios de grau maior que um e admita que existam polinômios C(x) e D(x) tais que a igualdade abaixo se verifica A(x)*C(x) + B(x)*D(x) = 1( para todo x pertencente aos reais ) Prove que A(x) não é divisível por B(x). Abraços , Daniel Regufe _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Dúvida
Ola Eder,
Existe um Teorema que afirma o seguinte :
Se G e um grupo e a fatoracao da ordem de G e (p1^e1)*...*(pn^en) entao
para todo f
tal que 0 = f = ei, i = 1..n, existe um subgrupo G' de G com ordem pi^f
Este teorema e conhecido como PRIMEIRO TEOREMA DE SYLOW.
Segue que se |G|=2n entao, qualquer que seja o n, existe um subgrupo G' de G
de ordem 2 (
mesmo que n seja par ). Seja G'={e,x}. Entao x^2=e.
Acima falei PRIMEIRO TEOREMA DE SYLOW. Sera que existem outros ? De fato.
1) Um p-grupo e um grupo cuja ordem e uma potencia de p, p primo. E facil
provar o seguinte :
Um grupo G e um p-grupo se, e somente se, todo elemento de G tem ordem
igual uma potencia
de p ( Isso fica como exercicio pra voce )
Pelo PRIMEIRO TEOREMA DE SYLOW, se G e um grupo e |G!=(p^N)*q onde p e
primo e
MDC(p,q)=1 entao G tem subrupos de ordem p, p^2, ...,p^N. O subgrupo de G
ccom
ordem igual a maior potencia do primo p ( no caso, p^N) e chamado um
P-SUBGRUPO DE
SYLOW DE G.
Exemplo :
|G|=(5^7)*12
Os 5-subgrupos de sylow de G tem ordem 5^7 ( apesar dele ter subgrupos de
ordem 5,
5^2,..., 5^6 tambem )
O SEGUNDO TEOREMA DE SYLOW fala exxencialmente sobre a existencia e
quantidade destes
p-subgrupos de sylow.
SEGUNDO TEOREMA DE SYLOW:
Se G e um grupo, p um numero primo que divide a ordem de G e Sp o numero de
p-subgrupos
de Sylow em G entao :
A) Os p-subgrupos de Sylow sao conjugados, vale dizer, se S1 e um ppsubgrupo
de sylow e
Se outro p-subgrupo de Sylow entao existe g em G tal que S1=g*S2*(g^(-1)) e.
alem
disso, todo p-subgrupo de G esta contido em algum p-subgrupo de Sylow de G
B) Sp e igual ao indice do normalizador de qualquer p-subgrupo de Sylow
Uma palavra de esclarecimento : eu acho mais natural estudar os teoremas de
Sylow dentro
da teoria das representacoes ( O Taylor, de Harvard, e cara bom nisso ).
Digo isso porque
conceitos que ficam um tanto artificiais fora desta teoria adquirem um
significado bem
concreto dentro desta teoria.
Vou tentar te mostrar isso falando sobre o normalizador.
Sejam G e G' dois grupos e h:G-G' um homomorfisomo. Tal homomorfisomo e
chamado uma
REPRESENTACAO de G em G'. Isso e muuuito velho. As origens desta ideia
esta em Galois,
e o objetivo e o seguinte : G e um grupo COMPLICADO, POUCO CONHECIDO OU
DIFICIL DE
SER TRATADO por alguma razao. Entao, nos lancamos mao de uma representacao
de G em G',
onde G' e um grupo que e MAIS SIMPLES OU BEM CONHECIDO OU TRATAVEL MAIS
FACILMENTE
e buscamos saber fatos sobre G a partir de fatos (em tese, ja conhecidos )
sobre G'.
Existe um candidato natural a ser G'. Quem ? Sn, obvio ! O Sn e estudado a
mais de 200 anos
e nos sabemos bastante coisas sobre ele. Assim, Um homomorfisomo h:G-Sn e
chamado uma
REPRESENTACAO POR PERMUTACAO ( Estou supondo que voce conhece o Teorema de
Cayley : Todo grupo e isomorfo a um subgrupo de um grupo de permutacoes )
Considere agora a representacao :
h:G - Sn tal que h(g):Sn - Sn, h(g)(x)=g*x*(g^(-1))
( Fica como exercicio voce mostrar que, de fato, isso e uma representacao,
isto e, que h e
um homomorfismo e que h(g) e uma permutacao )
Uma tal representacao e chamada REPRESENTACAO (por permutacao) POR
CONJUGACAO, pois
se y=g*x*(g^(-1)), x e y se dizem CONJUGADOS. Agora, fixado x em Sn, podemos
variar
livremente o g em G. Para cada g teremos que h(g)(x) e uma permutacao. O
conjunto :
{ h(g)(x), g em G } e chamado ORBITA DE x. (O(x))Por outro lado :
{ g em G tal que h(g)(x)=x } e chamado ESTABILIZADOR DE x ( E(x)).
O estabilizador de x e claramente um subgrupo de G ( exercicio pra voce ).
Pois bem, introduzidos estes conceitos, considere a representacao na qual
permutamos TODOS OS
SUBGRUPOS DE G. Neste caso, teremos a ORBITA DE UM SUBGRUPO. O estbilizador
de um
subgrupo e chamado NORMALIZADOR !!
Assim, se S e um p-subgrupo de Sylow de G entao N(S), o normalizador de S em
G e apenas os
elementos de G tais que gS(g^(-1))=S. Portanto, o que a parte B) do segundo
teorema de
Sylow esta dizendo e que o numero de p-subgrupos de Sylow de G e igual ao
indice (G:N(S)),
onde S e qualquer p-subgrupo de sylow de G,isto e, e a cardinalidade da
orbita de G.
Daqui voce pode conluir o seguinte : Se S e o unico p-subgrupo de Sylow de G
entao S e
normal em G ( vale a reciproca : Se um p-subgrupo de sylow em G e normal em
G entao este
p_subgrupo e unico ) Fica como exercicio.
Nota: estou chamando INDICE de N(S) em G a cardinalidade do conjunto das
classes larterais
(a esquerda ou a direita ) de G/N(S).
Deve ficar claro que que os conceitos de normalizador sao OUTROS NOMES para
o mesmo
objeto, isto e, a orbita. Se o grupo representante nao e um conjunto de
subgrupos, mas
sim o conjunto subjacente de G, o estabilizador fica sendo chamado de
CENTRALIZADOR.
O terceiro teorema de Sylow fala sobre o Sp, o numero de P subgrupos de
Sylow de G.
TERCEIRO TEOREMA DE SYLOW :
Se G e um grupo finito e |G|=(p^N)*q com p primo e MDC{p,q}=1 entao Sp, p
numero
de p-subgrupos de sylow de G e tal
[obm-l] Re: [obm-l] Polinômio
nao entendi a sua prova Morgado ... From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Polinômio Date: Thu, 24 Jun 2004 11:15:04 -0200 Se A fosse divisivel por B, AC+BD=1 tambem o seria, o que eh absurdo pois grau de B 1. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Daniel Regufe [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thu, 24 Jun 2004 11:13:43 + Subject: [obm-l] Polinômio Gostaria de uma ajuda nessa questão ... Sejam A(x) e B(x) polinômios de grau maior que um e admita que existam polinômios C(x) e D(x) tais que a igualdade abaixo se verifica A(x)*C(x) + B(x)*D(x) = 1( para todo x pertencente aos reais ) Prove que A(x) não é divisível por B(x). Abraços , Daniel Regufe _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvida
Meu caro Paulo, entendi sua solução, o prblema que esse exercício encontra-se na seção de um livro onde ainda não tem esse resultado que você usou. Você não conhece outra forma de resolver esse esxercício.
Grato pela solução, Éder.Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ola Eder,Existe um Teorema que afirma o seguinte :"Se G e um grupo e a fatoracao da ordem de G e (p1^e1)*...*(pn^en) entao para todo ftal que 0 = f = ei, i = 1..n, existe um subgrupo G' de G com ordem pi^f"Este teorema e conhecido como PRIMEIRO TEOREMA DE SYLOW.Segue que se |G|=2n entao, qualquer que seja o n, existe um subgrupo G' de G de ordem 2 (mesmo que n seja par ). Seja G'={e,x}. Entao x^2=e.Acima falei "PRIMEIRO TEOREMA DE SYLOW". Sera que existem outros ? De fato.1) Um p-grupo e um grupo cuja ordem e uma potencia de p, p primo. E facil provar o seguinte :"Um grupo G e um p-grupo se, e somente se, todo elemento de G tem ordem igual uma potenciade p" ( Isso fica como exercicio pra voce )Pelo PRIMEIRO TEOREMA DE SYLOW, se G e um grupo e |G!=(p^N)*q onde p e primo
eMDC(p,q)=1 entao G tem subrupos de ordem p, p^2, ...,p^N. O subgrupo de G ccomordem igual a maior potencia do primo p ( no caso, p^N) e chamado um P-SUBGRUPO DESYLOW DE G.Exemplo :|G|=(5^7)*12Os 5-subgrupos de sylow de G tem ordem 5^7 ( apesar dele ter subgrupos de ordem 5,5^2,..., 5^6 tambem )O SEGUNDO TEOREMA DE SYLOW fala exxencialmente sobre a existencia e quantidade destesp-subgrupos de sylow.SEGUNDO TEOREMA DE SYLOW:"Se G e um grupo, p um numero primo que divide a ordem de G e Sp o numero de p-subgruposde Sylow em G entao :A) Os p-subgrupos de Sylow sao conjugados, vale dizer, se S1 e um ppsubgrupo de sylow eSe outro p-subgrupo de Sylow entao existe g em G tal que S1=g*S2*(g^(-1)) e. alemdisso, todo p-subgrupo de G esta contido em algum p-subgrupo de Sylow de GB) Sp e igual ao indice do normalizador de qualquer p-subgrupo de SylowUma palavra de
esclarecimento : eu acho mais natural estudar os teoremas de Sylow dentroda teoria das representacoes ( O Taylor, de Harvard, e cara bom nisso ). Digo isso porqueconceitos que ficam "um tanto artificiais" fora desta teoria adquirem um significado bemconcreto dentro desta teoria.Vou tentar te mostrar isso falando sobre o normalizador.Sejam G e G' dois grupos e h:G-G' um homomorfisomo. Tal homomorfisomo e chamado umaREPRESENTACAO de G em G'. Isso e muuuito velho. As origens desta ideia esta em Galois,e o objetivo e o seguinte : G e um grupo COMPLICADO, POUCO CONHECIDO OU DIFICIL DESER TRATADO por alguma razao. Entao, nos lancamos mao de uma representacao de G em G',onde G' e um grupo que e MAIS SIMPLES OU BEM CONHECIDO OU TRATAVEL MAIS FACILMENTEe buscamos saber fatos sobre G a partir de fatos (em tese, ja conhecidos ) sobre G'.Existe um candidato natural a ser G'. Quem ? Sn, obvio ! O
Sn e estudado a mais de 200 anose nos sabemos "bastante" coisas sobre ele. Assim, Um homomorfisomo h:G-Sn e chamado umaREPRESENTACAO POR PERMUTACAO ( Estou supondo que voce conhece o Teorema deCayley : Todo grupo e isomorfo a um subgrupo de um grupo de permutacoes )Considere agora a representacao :h:G - Sn tal que h(g):Sn - Sn, h(g)(x)=g*x*(g^(-1))( Fica como exercicio voce mostrar que, de fato, isso e uma representacao, isto e, que h eum homomorfismo e que h(g) e uma permutacao )Uma tal representacao e chamada REPRESENTACAO (por permutacao) POR CONJUGACAO, poisse y=g*x*(g^(-1)), x e y se dizem CONJUGADOS. Agora, fixado x em Sn, podemos variarlivremente o g em G. Para cada g teremos que h(g)(x) e uma permutacao. O conjunto :{ h(g)(x), g em G } e chamado ORBITA DE x. (O(x))Por outro lado :{ g em G tal que h(g)(x)=x } e chamado ESTABILIZADOR DE x ( E(x)).O estabilizador de x e
claramente um subgrupo de G ( exercicio pra voce ).Pois bem, introduzidos estes conceitos, considere a representacao na qual permutamos TODOS OSSUBGRUPOS DE G. Neste caso, teremos a ORBITA DE UM SUBGRUPO. O estbilizador de umsubgrupo e chamado NORMALIZADOR !!Assim, se S e um p-subgrupo de Sylow de G entao N(S), o normalizador de S em G e apenas oselementos de G tais que gS(g^(-1))=S. Portanto, o que a parte B) do segundo teorema deSylow esta dizendo e que o numero de p-subgrupos de Sylow de G e igual ao indice (G:N(S)),onde S e qualquer p-subgrupo de sylow de G,isto e, e a cardinalidade da orbita de G.Daqui voce pode conluir o seguinte : Se S e o unico p-subgrupo de Sylow de G entao S enormal em G ( vale a reciproca : Se um p-subgrupo de sylow em G e normal em G entao estep_subgrupo e unico ) Fica como exercicio.Nota: estou chamando INDICE de N(S) em G a cardinalidade do conjunto
das classes larterais(a esquerda ou a direita ) de G/N(S).Deve ficar claro que que os conceitos de normalizador sao OUTROS NOMES para o mesmoobjeto, isto e, a orbita. Se o grupo representante nao e um conjunto de subgrupos, massim o conjunto subjacente de G, o estabilizador fica sendo chamado de CENTRALIZADOR.O terceiro teorema de Sylow fala sobre o Sp, o numero de P subgrupos
[obm-l] Re:[obm-l] Dúvida
Oi, Eder:
O Paulo Santa Rita usou uma bazuca pra matar uma barata.
Uma solucao mais simples seria a seguinte:
Particione G nos tres subconjuntos a seguir:
{e},
A = {x em G | x x^(-1)},
B = {x em G | x= x^(-1)}.
Como G tem 2n elementos, A uniao B terah 2n - 1 elementos.
Mas A pode ser particionado em pares nao ordenados da forma:
{x,x^(-1)}, jah que cada um dos elementos de A eh distinto do seu inverso.
Isso significa que A tem um numero par de elementos, digamos 2m.
Logo, B terah 2n - 1 - 2m elementos, um numero impar e, portanto, = 1.
Ou seja, deve existir algum x em G tal que x = x^(-1) == x^2 = e.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Thu, 24 Jun 2004 07:02:59 -0300 (ART)
Assunto:
[obm-l] Dúvida
Gostaria que alguém me ajudasse com o problema abaixo:
Seja (G,. ) um grupo contento exatamente 2n elementos, n =1. Prove que existe x e t.q. x^2 = x.x = e.
Obs.: (i)x e denota x diferente da unidade de (G, . );
(ii) . é uma operaçãoqualquer que tornaG um grupo.
Grato, Éder.
Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui!
Re: [obm-l] QUESTÃO DE CONCURSO!
BS - Bem Sucedido MS - Mal Sucedido F - Favorável NF - Nao Favoravel Pela árvore de distribuiçao: - F 0,8 - - BS 0,4 - 0,2 - - NF - - F 0,6 - 0,3 - MS 0,7 - NF P(BS/F) = P(BS inters F) / P(F) P(BS/F) = (0,4 x 0,8) / (0,4 x 0,8) + (0,6 x 0,3) = 64% = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Função, como resolver ?
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 On Thursday 24 June 2004 00:39, Robÿe9rio Alves wrote: Seja f(x)=2^(x+1) . Para quais valores reais de x teremos f( a )= 4.f ( b ) ? f(a)=2^(a+1) 4*f(b)=4*2^(b+1) 2^(a+1)=4*2^(b+1) 2^((a+1)-(b+1))=4 2^(a-b)=2^2 a-b=2 qualquer par da forma (a,a+2) seria solucao é isso? - -- Bruno França dos Reis brunoreis at terra com br icq: 12626000 gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.4 (GNU/Linux) iD8DBQFA2ty7sHdDIT+qyroRAuMjAKCUoSpyNtVFoUfSal3I1Dkfv4N1JwCeLg+5 aG+WlVzL3yHIikS8/h14Pvw= =H2pD -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinomio 2
Daniel Regufe said: Eu gostaria de lembrar a resolução dessa questão por determinante ... Alguem pode me ajudar? Considere o polinomio de grau minimo, cuja representação grafica passa pelos pontos: P1(-2,-11), P2(-1,0), P3(1,4), P4(2,9) Determine os coeficientes do polinomio. [...] Note que se o gráfico do polinômio P(x) passa pelos quatro pontos acima, então P(-2) = -11 P(-1) = 0 P(1) = 4 P(2) = 9 Mas então Q(x) = P(x) - (x+1)^2 é tal que Q(-2) = -12 Q(-1) = 0 Q(1) = 0 Q(2) = 0 Logo Q(x) = k(x+1)(x-1)(x-2). Substituindo x=-2, -12 = k*(-1)*(-3)*(-4) == k = 1. Logo P(x) = (x+1)(x-1)(x-2) + (x+1)^2. Note que P(x) não é nem constante e nem linear, nem pode ser do segundo grau, pois então Q(x) também o seria, e como tem três raízes, teria que ser identicamente nulo, o que contradiz Q(-2) = -12. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Dúvida
Ola Eder, Ok ! Vamos fazer o seguinte. Vou provar um resultado classico que voce podera usar na solucao. TEOREMA DE CAUCHY : Se G e um grupo finito e p e um numero primo que divide a ordem de G entao existe um elemento g de G de ordem p. PROVA : Vamos usar inducao sobre a ordem de G. Mais especificamente vamos mostrar que ( HIPOTESE DE INDUCAO ) se todos os grupos com ordem menor que G satisfazem o TEOREMA DE CAUCHY entao G satisfaz o TEOREMA DE CAUCHY. 1) Se a ordem de G for um numero primo, |G| = p, entao a prova e trivial e nem precisamos usar a hipotese de inducao, pois p sera o unico numero primo que pode dividir a ordem de G e se g for um elemento de G entao, pelo teorema de Lagrange, g divide |G|, isto e, a ordem de g e p. Assim, nao so um, mas todos os elementos de G ( com excecao da identidade ) tem ordem p 2) Se ordem de G nao for um numero primo, seja p um numero primo que divide a ordem de G. Tomando um elemento g pertencente a G, g diferente de e, considere o subgrupo de G : H=g. Existem duas possibilidades para H : PRIMEIRA : H e igual a G. Neste caso, G e ciclico com G=g. Seja N=|G| e considere o elemento g^(N/p). Claramente que g^(N/p) pertence a G e ordem de g^(N/p) e p. Assim, G tem um elemento de ordem p e acabou. SEGUNDA : H e diferente de G. Neste caso |H| |G|. Se p divide |H|, pela HIPOTESE DE INDUCAO, existe h pertencente a H tal que ordem de h e p. Como H e subconjunto de G segue que h e tambem elmento de G e, portanto, G tem um elemento de ordem p e acabou. Se p nao divide |H| ( mas p divide |G|, por hipotese ), pelo teorema de Lagrange |G|=|H|(G:H) teremos que p divide (G:H), isto e, p divide o indice de H em G. Como (G:H) =| G/H | e G/H| |G|, pela HIPOTESE DE INDUCAO, existe um h_ ( h barra ) em G/H de ordem p. Considere a projecao canonica : p : G - G/H Sabemos que trata-se de um homomorfismo e que em todo homomorfismo a ORDEM DA IMAGEM DE UM ELEMENTO DIVIDE A ORDEM DO ELEMENTO, isto e, |h_| divide |h| para algum h em G. Como |h_| = p = |h| = kp, para algum k inteiro. Considere o elemento h^k. Claramente que h^k pertence a G e | h^k | = p. Assim, G tem um elemento de ordem p. Vemo que a hipotese de inducao vale ( por vacuidade ) para as ordem 1 e tambem para a ordem 2. Segue - pelo que vimos acima - que vale para todas as ordens. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,1117,240604 From: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvida Date: Thu, 24 Jun 2004 10:08:22 -0300 (ART) Meu caro Paulo, entendi sua solução, o prblema que esse exercício encontra-se na seção de um livro onde ainda não tem esse resultado que você usou. Você não conhece outra forma de resolver esse esxercício. Grato pela solução, Éder. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algoritmo de Shor
Só alguns esclarecimentos: -A afirmaçao no qual um computador quantico fará em poucos segundos o que um supercomputador levaria milhoes de anos para fazer é verdadeira apenas para problemas modelados via algoritmos POLINOMIAIS nao-deterministicos(NP,Co-Np...) no qual não se conhece algoritmo polinomial deterministico eficiente para resolver, mas se conhece apenas o exponencial deterministico que é muito custoso e as vezes o polinomial probabilistico deterministico, que possui um custo aceitavel. -A contribuiçao do computador quantico para os algoritmos seria justamente a IMPLEMENTAÇAO REAL do não determinismo, algo impossivel com os modelos atuais.Observe que PRIMOS, pertence a NP(na verdade pertence a P contido em NP via AKS, mas nao vem ao caso) e com o advento do computador quantico seria possivel a implementaçao real do ALGORITMO EM NP para PRIMOS.Entao o computador quantico resolveria PRIMOS em tempo polinomial. -Isto nao quer dizer que existam problemas dificeis ate para computadores quanticos um exemplo seriam algoritmos da classe NEXP(algoritmos nao deterministicos de tempo exponenciais) que nao se sabe se sao iguais a EXP(algoritmos deterministicos de tempo exponenciais) e em caso afirmativo,existem trabalhos indicando que implicaria tambem em P=NP. É isso :) --- Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Pessoal, Numa mensagem anterior eu citei a COMPUTACAO QUANTICA como uma das possiveis aplicacoes da Mecanica Quantica. A palavra possivel talvez seja muito modesta, pois os resultados ja existentes nao obstante nao a colocarem como um campo de pesquisa ja consolidado, sem duvida retiram-na do campo das meras especulacoes ... UMA das possibilidades e a COMPUTACAO PARALELA, presente no ALGORITMO DE SHOR. Quem deu inicio a tudo isso foi o Shor, hoje professor do MIT. O seu famoso e bastante conhecido e discutido e a Matematica envolvida nele e realmente elementar. Para ver isso, entre em : http://www-math.mit.edu/~shor CLIQUE EM : papers A SEGUIR CLIQUE EM : quantum computing E FINALMENTE CLIQUE EM : polynomial-time algorithms for prime factorization Um Computador Quantico fara em poucos minutos o que um Computador Classico ( exemplo : um supercomputador atual ) contemporaneo gastaria dezenas de bilhoes de anos pra fazer. Por outro lado, como nos estamos na Pre-historia da Computacao Quantica, o numero de fatos relevantes e ideias importantes a serem descobertos e, muito provavelmente, bem mais rico que num campo classito da Teoria da Computacao. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1509,230604 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. __ Yahoo! Mail - agora com 100MB de espaço, anti-spam e antivírus grátis! http://br.info.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algoritmo de Shor
Só alguns esclarecimentos: -A afirmaçao no qual um computador quantico fará em poucos segundos o que um supercomputador levaria milhoes de anos para fazer é verdadeira apenas para problemas modelados via algoritmos POLINOMIAIS nao-deterministicos(NP,Co-Np...) no qual não se conhece algoritmo polinomial deterministico eficiente para resolver, mas se conhece apenas o exponencial deterministico que é muito custoso e as vezes o polinomial probabilistico deterministico, que possui um custo aceitavel. -A contribuiçao do computador quantico para os algoritmos seria justamente a IMPLEMENTAÇAO REAL do não determinismo, algo impossivel com os modelos atuais.Observe que PRIMOS, pertence a NP(na verdade pertence a P contido em NP via AKS, mas nao vem ao caso) e com o advento do computador quantico seria possivel a implementaçao real do ALGORITMO EM NP para PRIMOS.Entao o computador quantico resolveria PRIMOS em tempo polinomial. -Isto nao quer dizer que existam problemas dificeis ate para computadores quanticos um exemplo seriam algoritmos da classe NEXP(algoritmos nao deterministicos de tempo exponenciais) que nao se sabe se sao iguais a EXP(algoritmos deterministicos de tempo exponenciais) e em caso afirmativo,existem trabalhos indicando que implicaria tambem em P=NP. É isso :) --- Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Pessoal, Numa mensagem anterior eu citei a COMPUTACAO QUANTICA como uma das possiveis aplicacoes da Mecanica Quantica. A palavra possivel talvez seja muito modesta, pois os resultados ja existentes nao obstante nao a colocarem como um campo de pesquisa ja consolidado, sem duvida retiram-na do campo das meras especulacoes ... UMA das possibilidades e a COMPUTACAO PARALELA, presente no ALGORITMO DE SHOR. Quem deu inicio a tudo isso foi o Shor, hoje professor do MIT. O seu famoso e bastante conhecido e discutido e a Matematica envolvida nele e realmente elementar. Para ver isso, entre em : http://www-math.mit.edu/~shor CLIQUE EM : papers A SEGUIR CLIQUE EM : quantum computing E FINALMENTE CLIQUE EM : polynomial-time algorithms for prime factorization Um Computador Quantico fara em poucos minutos o que um Computador Classico ( exemplo : um supercomputador atual ) contemporaneo gastaria dezenas de bilhoes de anos pra fazer. Por outro lado, como nos estamos na Pre-historia da Computacao Quantica, o numero de fatos relevantes e ideias importantes a serem descobertos e, muito provavelmente, bem mais rico que num campo classito da Teoria da Computacao. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1509,230604 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. __ Yahoo! Mail - agora com 100MB de espaço, anti-spam e antivírus grátis! http://br.info.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] semi-off: numeros aleatórios
quer dizer entao que a aleatoriedade da mecanica quantica nao é uma impossibilidade instrumental-teorica de se medir os eventos, mas sim uma lei da natureza --- Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Pessoal, Complementando a mensagem do Carissimo Prof Nicolau, posso garantir que o decaimento radioativo e realmente um efeito quantico e, portanto, ABSOLUTAMENTE ALEATORIO ! Talvez tenha algum valor falar um pouco mais sobre isso. Einstein criticava a Mecanica Quantica porque achava-a uma DESCRICAO INCOMPLETA dos fatos quanticos, pois supunha que o desenvolvimento ulterior da ciencia encontraria VARIAVEIS OCULTAS que tornariam a descricao quantica deterministica, vale dizer, sem recorrer a probabilidades. Como Einstein foi, merecidamente, um Fisico muito respeitado, muitos outros Cientistas tentaram encontrar estas VARIAVEIS OCULTAS que tornariam EXATA e COMPLETA a descricao quantica. Nenhum logrou exito e o Bell encerrou de vez a questao, pois mostrou que QUALQUER TEORIA FISICA baseada na hipotese das VARIAVEIS OCULTAS entraria em contradicao com os proprios fatos confirmados e comprovados da propria Teoria Quantica. Isso e o mesmo que dizer que nenhuma DESCRICAO LOCAL, baseada em influencias da vizinhanca, e capaz de descrever os fatos fisicos, sejam relativos a Mecanica Quantica ou a qualquer outra teoria que porventura seja desenvolvida, pois a prova de Bell, nao obstante usar objetos quanticos, independe desta teoria. Assim, somente uma Teoria Global pode vir a ser um modelo teorico da realidade. Assim, a ALEATORIEDADE QUANTICA e intrinseca, absoluta e contitui um exemplo real e objetivo de eventos aleatorios. Isso pode parecer desanimador, pois, em geral, gostariamos de ter um conjunto de equacoes que nos permitissem compreender todos os fenomenos que ocorrem no Universo, o que, alias, e um dos grandes sonhos da humanidade. Todavia, as possibilidades de aplicacoes desta tao decantada Teoria Quantica, antes de destruir nossos sonhos, parece que pode nos conduzir a algum paraiso ... Neste sentido, basta ver as possibilidades da COMPUTACAO QUANTICA. Aquilo que o nosso sonho passado ( ou pesadelo ?) jamais conseguiu implementar de forma satisfatoria e eficiente, tal como a COMPUTACAO PARALELA, parece ser a primeira ( primeira ! ) e mais simples implicacao dos Computadores Quanticos ! Vejam : http://www.upgraph.com.br/compquantica.asp Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1258,230604 From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] RES: [obm-l] semi-off: numeros aleatórios Date: Wed, 23 Jun 2004 11:22:47 -0300 On Tue, Jun 22, 2004 at 11:41:25PM -0300, Guilherme wrote: Vale lembrar que mesmo as fontes de rádio captadas da Terra vêm de fontes não aleatórias. Estou para ver números REALMENTE aleatórios (talvez o decaimento de substâncias radioativas). Estas afirmações são bastante discutíveis. Será que não existe nenhum efeito quântico envolvido nestas fontes de rádio? Se houver, estes bits talvez sejam tão realmente aleatórias quanto os que vêm do decaimento de substâncias radioativas, não? []s, N. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. __ Yahoo! Mail - agora com 100MB de espaço, anti-spam e antivírus grátis! http://br.info.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e
[obm-l] Problemas com binomiais
Oi pessoal, Gostaria da ajuda de voces com 2 questoes que não consigo fazer: (qualquer comentario/ideia vai ajudar, eu não consigo sair do canto nessas questoes) http://www.suati.com.br/david/questao3.29.gif http://www.suati.com.br/david/questao3.32.gif []'s David = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problemas com binomiais
Na segunda desigualdade, tente expandir o binomio (1+2)^n. Voce encontrara a resposta imediato ! -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of David M. Cardoso Sent: Thursday, June 24, 2004 8:10 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Problemas com binomiais Oi pessoal, Gostaria da ajuda de voces com 2 questoes que não consigo fazer: (qualquer comentario/ideia vai ajudar, eu não consigo sair do canto nessas questoes) http://www.suati.com.br/david/questao3.29.gif http://www.suati.com.br/david/questao3.32.gif []'s David = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] P versus NP
Achei oportuno indicar um video falando sobre tal questao, por Michael Sipser um dos grandes de teoria da computaçao.Leia abaixo: Talk Introduction In a remarkable 1956 letter, Kurt Godel asked John Von-Neumann whether certain computational problems could be solved without resorting to brute force search. In so doing, he foreshadowed the P versus NP question, one of the great unanswered questions of contemporary mathematics and theoretical computer science. In my lecture, I will discuss the history of this question, including Godel's letter. I will also xplain some of the efforts made in recent years toward its resolution. About the speaker Michael Sipser is Professor of Applied Mathematics in the Theory of Computation Group at MIT. He is also the author of Introduction to the Theory of Computation, the textbook used in the Theory of Computation course at ADU. http://www.aduni.org/colloquia/sipser/ Download rm file of the talk here: http://www.aduni.org:81/videos/05-08-01C_Sipser.rm = O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. __ Yahoo! Mail - agora com 100MB de espaço, anti-spam e antivírus grátis! http://br.info.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] Dúvida
Oi, Paulo: Acho que esta sua demonstracao do teorema de Cauchy soh eh valida se G for abeliano, pois no fim, quando voce fala na projecao canonica p: G - G/H, voce estah implicitamente supondo que G/H eh um grupo e, portanto, que H eh um subgrupo normal de G. Mas issosoh eh verdade para todo H se G for abeliano. Por outro lado, existe uma demonstracao desse teorema que eh um dos meus exemplos favoritos de beleza matematica: Seja G um grupo e p um primo que divide |G|. Considere todos os produtos da forma x_1*x_2*...*x_p que sao iguais a "e", onde os x_i sao elementos nao necessariamente distintos de G. Eh facil ver que existem |G|^(p-1) tais produtos pois, escolhendo-se livremente os valores de x_1, x_2, ..., x_(p-1), o valor de x_p fica unicamente determinado (igual ao inverso de x_1*x_2*...*x_(p-1)) Agora vamos dividir estes |G|^(p-1) produtos em classes de equivalencia de forma que dois produtos pertencem a uma mesma classe se e somente se um deles for uma permutacao circular do outro. Teremos dois casos a considerar: Caso 1: todos os x_i sao iguais. Nesse caso, a classe vai conter apenas um produto, pois x_1*x_2*...*x_p = a*a*...*a e existe apenas uma permutacao dos x_i. Caso 2: pelo menos dois dos x_i sao distintos. Nesse caso, a classe vai conter exatamente p produtos: x_1*x_2*...*x_(p-1)*x_p; x_2*x_3*... x_p*x_1; x_3*x_4*...*x_1*x_2; ... x_p*x_1*...x_(p-1)*x_(p-1). Sejam N1 e N2 os numeros de classes de equivalencia de cada tipo. Entao, teremos que: numero de produtos = 1*N1 + p*N2 = |G|^(p-1). Por hipotese, p | |G|^(p-1) e obviamente p | p*N2. Logo, p | N1. Alem disso, o produto e*e*...*e obviamente eh do tipo 1, de modo que N1 0. Ou seja, o numero N1 de produtos da forma a*a*...*a = a^p = e eh um multiplo positivo de p. Em outras palavras, existem pelo menos p-1 elementos em G de ordem p. Naturalmente, se a eh um tal elemento, entao a, o subgrupo ciclico gerado por a, terah ordem p. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Thu, 24 Jun 2004 14:20:38 + Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvida Ola Eder, Ok ! Vamos fazer o seguinte. Vou provar um resultado classico que voce podera usar na solucao. TEOREMA DE CAUCHY : Se G e um grupo finito e "p" e um numero primo que divide a ordem de G entao existe um elemento "g" de G de ordem "p". PROVA : Vamos usar inducao sobre a ordem de G. Mais especificamente vamos mostrar que ( HIPOTESE DE INDUCAO ) se todos os grupos com ordem menor que G satisfazem o TEOREMA DE CAUCHY entao G satisfaz o TEOREMA DE CAUCHY. 1) Se a ordem de G for um numero primo, |G| = p, entao a prova e trivial e nem precisamos usar a hipotese de inducao, pois "p" sera o unico numero primo que pode dividir a ordem de G e se "g" for um elemento de G entao, pelo teorema de Lagrange, divide |G|, isto e, a ordem de "g" e "p". Assim, nao so um, mas todos os elementos de G ( com excecao da identidade ) tem ordem "p" 2) Se ordem de G nao for um numero primo, seja "p" um numero primo que divide a ordem de G. Tomando um elemento "g" pertencente a G, "g" diferente de "e", considere o subgrupo de G : H=. Existem duas possibilidades para H : PRIMEIRA : H e igual a G. Neste caso, G e ciclico com G=. Seja N=|G| e considere o elemento g^(N/p). Claramente que g^(N/p) pertence a G e ordem de g^(N/p) e "p". Assim, G tem um elemento de ordem "p" e acabou. SEGUNDA : H e diferente de G. Neste caso |H| |G|. Se "p" divide |H|, pela HIPOTESE DE INDUCAO, existe "h" pertencente a H tal que ordem de "h" e "p". Como H e subconjunto de G segue que "h" e tambem elmento de G e, portanto, G tem um elemento de ordem "p" e acabou. Se "p" nao divide |H| ( mas "p" divide |G|, por hipotese ), pelo teorema de Lagrange |G|=|H|(G:H) teremos que "p" divide (G:H), isto e, "p" divide o indice de H em G. Como (G:H) =| G/H | e G/H| |G|, pela HIPOTESE DE INDUCAO, existe um h_ ( h barra ) em G/H de ordem "p". Considere a projecao canonica : p : G - G/H Sabemos que trata-se de um homomorfismo e que em todo homomorfismo a ORDEM DA IMAGEM DE UM ELEMENTO DIVIDE A ORDEM DO ELEMENTO, isto e, |h_| divide |h| para algum "h" em G. Como |h_| = p = |h| = kp, para algum k inteiro. Considere o elemento h^k. Claramente que h^k pertence a G e | h^k | = p. Assim, G tem um elemento de ordem "p". Vemo que a hipotese de inducao vale ( por vacuidade ) para as ordem 1 e tambem para a ordem 2. Segue - pelo que vimos acima - que vale para todas as ordens. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,1117,240604 From: Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvida Date: Thu, 24 Jun 2004 10:08:22 -0300 (ART) Meu caro Paulo, entendi sua solução, o prblema que esse exercício encontra-se na seção de um livro onde ainda não tem esse resultado que você usou. Você não conhece outra forma de resolver esse esxercício.
Re:[obm-l] Problemas com binomiais
Oi pessoal, Gostaria da ajuda de voces com 2 questoes que não consigo fazer: (qualquer comentario/ideia vai ajudar, eu não consigo sair do canto nessas questoes) http://www.suati.com.br/david/questao3.29.gif O primeiro eh provar que n^k/k^k = Binom(n,k) = n^k/k!. A segunda desigualdade eh mais facil: Binom(n,k) = n*(n-1)*...*(n-k+1)/k! = n*n*...*n/k! = n^k/k!. Com relacao a primeira, repare que sen = k, entao: n^k/k^k =Binom(n,k) = 1; se n k = 1, entao: n^k/k^k = Binom(n,k) = n; finalmente, sen k 1, entao: n/k (n-1)/(k-1) (n-2)/(k-2) (n-k+2)/2 (n-k+1)/1 Basta provar a primeira desigualdade desta sequencia: n k == n-1 k-1 == 1/(n-1) 1/(k-1) == 1+ 1/(n-1) 1 + 1/(k-1) == n/(n-1) k/(k-1) == n/k (n-1)/(k-1) http://www.suati.com.br/david/questao3.32.gif Binom(n,0)+ 2*Binom(n,1) + 2^2*Binom(n,2) + ... + 2^n*Binom(n,n) = (1 + 2)^n = 3^n. Uma demonstracao combinatoria seria a seguinte: Temos um cartao de loteria esportiva com n jogos, cada um dos quais com 3 alternativas (vitoria de um time, vitoria do outro ou empate). De quantas maneiras podemos preenche-lo? Obviamente, a resposta eh 3^n. Por outro lado, poderiamos raciocinar da seguinte forma: Para cada k (0 = k = n), podemos preencher o cartao com k empates e os demais n-k jogos com vitoria de um dois dois times. Assim, para cada k, teremos: 1) Escolha dos jogos em que marcaremos empate: isso pode ser feito deBinom(n,k) formas diferentes. 2) Em cada um dos (n-k) jogos em que marcaremos vitoria de algum time, poderemos escolher o time de 2 maneiras. Logo, poderemos marcar vitoria de 2^(n-k) formas diferentes. Somando de k = 0 ateh k = n, acharemos o numero total de maneiras de preencher o cartao: Binom(n,0)*2^n + Binom(n,1)*2^(n-1) + ... + Binom(n,n-1)*2^1 + Binom(n,n)*1, ou, levando em conta que Binom(n,k) = Binom(n,n-k): Binom(n,0)*1 + Binom(n,1)*2 + ... + Binom(n,n-1)*2^(n-1) + Binom(n,n)*2^n. Mas sabemos que esse numero eh igual a 3^n. Logo, a identidade estah provada. []s, Claudio.
[obm-l] Subgrupos normais
Oi, pessoal: Alguem conhece algum exemplo de grupo nao-abeliano cujos subgrupos sejam todos normais? (ou entao uma prova de que isso eh impossivel) []s, Claudio.
[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] Dúvida
Oi Claudio, Se eu nao citei abeliano, foi esquecimento. O Teorema de Cauchy e assim: Seja G um grupo FINITO e ABELIANO. Se p e um primo que divide a ordem de G entao existe um elemento g de G de ordem p. Esta sua demonstracao ai embaixo e a do Kummer. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,1356,240604 From: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] Dúvida Date: Thu, 24 Jun 2004 12:43:59 -0300 Oi, Paulo: Acho que esta sua demonstracao do teorema de Cauchy soh eh valida se G for abeliano, pois no fim, quando voce fala na projecao canonica p: G - G/H, voce estah implicitamente supondo que G/H eh um grupo e, portanto, que H eh um subgrupo normal de G. Mas isso soh eh verdade para todo H se G for abeliano. Por outro lado, existe uma demonstracao desse teorema que eh um dos meus exemplos favoritos de beleza matematica: Seja G um grupo e p um primo que divide |G|. Considere todos os produtos da forma x_1*x_2*...*x_p que sao iguais a e, onde os x_i sao elementos nao necessariamente distintos de G. Eh facil ver que existem |G|^(p-1) tais produtos pois, escolhendo-se livremente os valores de x_1, x_2, ..., x_(p-1), o valor de x_p fica unicamente determinado (igual ao inverso de x_1*x_2*...*x_(p-1)) Agora vamos dividir estes |G|^(p-1) produtos em classes de equivalencia de forma que dois produtos pertencem a uma mesma classe se e somente se um deles for uma permutacao circular do outro. Teremos dois casos a considerar: Caso 1: todos os x_i sao iguais. Nesse caso, a classe vai conter apenas um produto, pois x_1*x_2*...*x_p = a*a*...*a e existe apenas uma permutacao dos x_i. Caso 2: pelo menos dois dos x_i sao distintos. Nesse caso, a classe vai conter exatamente p produtos: x_1*x_2*...*x_(p-1)*x_p; x_2*x_3*... x_p*x_1; x_3*x_4*...*x_1*x_2; ... x_p*x_1*...x_(p-1)*x_(p-1). Sejam N1 e N2 os numeros de classes de equivalencia de cada tipo. Entao, teremos que: numero de produtos = 1*N1 + p*N2 = |G|^(p-1). Por hipotese, p | |G|^(p-1) e obviamente p | p*N2. Logo, p | N1. Alem disso, o produto e*e*...*e obviamente eh do tipo 1, de modo que N1 0. Ou seja, o numero N1 de produtos da forma a*a*...*a = a^p = e eh um multiplo positivo de p. Em outras palavras, existem pelo menos p-1 elementos em G de ordem p. Naturalmente, se a eh um tal elemento, entao a, o subgrupo ciclico gerado por a, terah ordem p. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Cópia: Data:Thu, 24 Jun 2004 14:20:38 + Assunto:[obm-l] RE: [obm-l] Dúvida Ola Eder, Ok ! Vamos fazer o seguinte. Vou provar um resultado classico que voce podera usar na solucao. TEOREMA DE CAUCHY : Se G e um grupo finito e p e um numero primo que divide a ordem de G entao existe um elemento g de G de ordem p. PROVA : Vamos usar inducao sobre a ordem de G. Mais especificamente vamos mostrar que ( HIPOTESE DE INDUCAO ) se todos os grupos com ordem menor que G satisfazem o TEOREMA DE CAUCHY entao G satisfaz o TEOREMA DE CAUCHY. 1) Se a ordem de G for um numero primo, |G| = p, entao a prova e trivial e nem precisamos usar a hipotese de inducao, pois p sera o unico numero primo que pode dividir a ordem de G e se g for um elemento de G entao, pelo teorema de Lagrange, divide |G|, isto e, a ordem de g e p. Assim, nao so um, mas todos os elementos de G ( com excecao da identidade ) tem ordem p 2) Se ordem de G nao for um numero primo, seja p um numero primo que divide a ordem de G. Tomando um elemento g pertencente a G, g diferente de e, considere o subgrupo de G : H=. Existem duas possibilidades para H : PRIMEIRA : H e igual a G. Neste caso, G e ciclico com G=. Seja N=|G| e considere o elemento g^(N/p). Claramente que g^(N/p) pertence a G e ordem de g^(N/p) e p. Assim, G tem um elemento de ordem p e acabou. SEGUNDA : H e diferente de G. Neste caso |H| |G|. Se p divide |H|, pela HIPOTESE DE INDUCAO, existe h pertencente a H tal que ordem de h e p. Como H e subconjunto de G segue que h e tambem elmento de G e, portanto, G tem um elemento de ordem p e acabou. Se p nao divide |H| ( mas p divide |G|, por hipotese ), pelo teorema de Lagrange |G|=|H|(G:H) teremos que p divide (G:H), isto e, p divide o indice de H em G. Como (G:H) =| G/H | e G/H| |G|, pela HIPOTESE DE INDUCAO, existe um h_ ( h barra ) em G/H de ordem p. Considere a projecao canonica : p : G - G/H Sabemos que trata-se de um homomorfismo e que em todo homomorfismo a ORDEM DA IMAGEM DE UM ELEMENTO DIVIDE A ORDEM DO ELEMENTO, isto e, |h_| divide |h| para algum h em G. Como |h_| = p = |h| = kp, para algum k inteiro. Considere o elemento h^k. Claramente que h^k pertence a G e | h^k | = p. Assim, G tem um elemento de ordem p. Vemo que a hipotese de inducao vale ( por vacuidade ) para as ordem 1 e tambem para a ordem 2. Segue - pelo que vimos acima - que vale para todas as ordens. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,1117,240604 From: Lista OBM
[obm-l] serie de fourier
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[obm-l] serie de fourier
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[obm-l] RE: [obm-l] Dúvida
Você também está usando o fato do grupo ser abeliano, não?
Caso 2: pelo menos dois dos x_i sao distintos.
Nesse caso, a classe vai conter exatamente p produtos:
em especial está usando este fato:
(x_1 * ... x_{p-1}) * x_p = x_p * (x_1 * ... * x_{p-1})
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RE: [obm-l] Problemas com binomiais
ok... entendido.. obrigado! :) -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Leandro Lacorte Recova Enviada em: quinta-feira, 24 de junho de 2004 12:42 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: RE: [obm-l] Problemas com binomiais Na segunda desigualdade, tente expandir o binomio (1+2)^n. Voce encontrara a resposta imediato ! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problemas com binomiais
Cara.. muuuito obrigado.. perfeito mesmo!!! entendi. :D -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de claudio.buffara Enviada em: quinta-feira, 24 de junho de 2004 13:07 Para: obm-l Assunto: Re:[obm-l] Problemas com binomiais Oi pessoal, Gostaria da ajuda de voces com 2 questoes que não consigo fazer: (qualquer comentario/ideia vai ajudar, eu não consigo sair do canto nessas questoes) http://www.suati.com.br/david/questao3.29.gif O primeiro eh provar que n^k/k^k = Binom(n,k) = n^k/k!. A segunda desigualdade eh mais facil: Binom(n,k) = n*(n-1)*...*(n-k+1)/k! = n*n*...*n/k! = n^k/k!. Com relacao a primeira, repare que se n = k, entao: n^k/k^k = Binom(n,k) = 1; se n k = 1, entao: n^k/k^k = Binom(n,k) = n; finalmente, se n k 1, entao: n/k (n-1)/(k-1) (n-2)/(k-2) (n-k+2)/2 (n-k+1)/1 Basta provar a primeira desigualdade desta sequencia: n k == n-1 k-1 == 1/(n-1) 1/(k-1) == 1 + 1/(n-1) 1 + 1/(k-1) == n/(n-1) k/(k-1) == n/k (n-1)/(k-1) http://www.suati.com.br/david/questao3.32.gif Binom(n,0) + 2*Binom(n,1) + 2^2*Binom(n,2) + ... + 2^n*Binom(n,n) = (1 + 2)^n = 3^n. Uma demonstracao combinatoria seria a seguinte: Temos um cartao de loteria esportiva com n jogos, cada um dos quais com 3 alternativas (vitoria de um time, vitoria do outro ou empate). De quantas maneiras podemos preenche-lo? Obviamente, a resposta eh 3^n. Por outro lado, poderiamos raciocinar da seguinte forma: Para cada k (0 = k = n), podemos preencher o cartao com k empates e os demais n-k jogos com vitoria de um dois dois times. Assim, para cada k, teremos: 1) Escolha dos jogos em que marcaremos empate: isso pode ser feito de Binom(n,k) formas diferentes. 2) Em cada um dos (n-k) jogos em que marcaremos vitoria de algum time, poderemos escolher o time de 2 maneiras. Logo, poderemos marcar vitoria de 2^(n-k) formas diferentes. Somando de k = 0 ateh k = n, acharemos o numero total de maneiras de preencher o cartao: Binom(n,0)*2^n + Binom(n,1)*2^(n-1) + ... + Binom(n,n-1)*2^1 + Binom(n,n)*1, ou, levando em conta que Binom(n,k) = Binom(n,n-k): Binom(n,0)*1 + Binom(n,1)*2 + ... + Binom(n,n-1)*2^(n-1) + Binom(n,n)*2^n. Mas sabemos que esse numero eh igual a 3^n. Logo, a identidade estah provada. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] semi-off: numeros aleatórios
Oi Chicao, Exatamente. Quando voce joga, por exemplo, um dado, voce diz que o resultado e aleatorio porque voce esta impossibilitado de determinar todas as etapas intermediarias ate o repouco. Se fosse possivel fazer isso, o resultado seria absolutamente deterministico, isto e, nao aleatorio. Era assim que Einstein pensava na Mecanica Quantica. A indeterminacao de Principio manifesta no Principio de Heisemberg era vista por ele como uma limitacao que seria corrigida com o desenvolvimento ulterior da ciencia, o progresso cientifico iria encontrar mais informacoes sobre os objetos quanticos que fariam com que a indeterminaco fosse eliminada. Ate Bell, havia uma leve esperanca teorica de que se encontrasse variaveis ocultas que tornassem determinado o que era indeterminado. Mas Bell solapou de uma vez por todas essas debil esperanca e mostrou - parafraseando Hamlet - que entre o ceu e a terra existe MUITO MAIS coisas do que supunha essa vao esperanca. E e justamente essa ESTRANHEZA da Mecanica Quantica que permite representar, digamos, REALMENTE SIMULTANEAMENTE, varios estados, bits, e implementar um processamente MUITO MELHOR que aquele derivado da Computacao Classica, baseada nas Leis da Fisica Classica. Eu imagino que a IA, entre outras coisas, vai experimentar um progresso muito grande, pois nos, seres humanos, nao pensamos da forma rude e primitiva tal como opera uma Maquina de Turing Universal. Uma Maquina de Turing Quantica deve poder, em tese, aproximar-se muito mais da forma humana do pensamento. O Pessoal do MIT vem pensando assim e a HP investiu US$ 25 milhoes num projeto conjunto com este pessoal do MIT na area de IA. Mas o Teorema ( a desigualdade ) de Bell e MUITO MAIS ESTRANHO que a Mecanica Quantica e nao depende dela ... E e um resultado que ja foi confirmado experimentalmente inumeras vezes. Procure na internet EXPERIMENTO ASPECT e seus refinamentos. Em simples palavras, o teorema mostra que HA INFLUENCIAS INSTANTANEAS globais, algo absolutamente inaceitavel pela Teoria da Relatividade Classica. No banco de teses da UNICAMP existe alguns bons trabalhos a este respeito. O Prof Mario Novello, pesquisador do CBPF, ganhou, ha pouco, um titulo honorifico de Doutor, bem merecido em minha modesta opiniao. Ele manifestou a ideia de que estamos vivendo uma efervescencia de ideias comparavel ao inicio do seculo passado : e bem provavel que ele esteja com razao ! Um Abraco Paulo Santa Rita 5,1440,240604 From: Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] semi-off: numeros aleatórios Date: Thu, 24 Jun 2004 11:58:05 -0300 (ART) quer dizer entao que a aleatoriedade da mecanica quantica nao é uma impossibilidade instrumental-teorica de se medir os eventos, mas sim uma lei da natureza _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Subgrupos normais
Oi Caro Claudio, Procure informacoes sobre o grupo dos quaternios. Aqui vai a definicao deles : |Qn|=2^n, Qn =x,y, x^(2^(n-1))=e, y^2=x^(2^(n-2)) e y*x=[x^((2^(n-1))-1)]*b Note que, a menos de isomorfismos, estas relacoes caracterizam univocamente este grupo. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,1449,240604 From: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Subgrupos normais Date: Thu, 24 Jun 2004 13:48:14 -0300 Oi, pessoal: Alguem conhece algum exemplo de grupo nao-abeliano cujos subgrupos sejam todos normais? (ou entao uma prova de que isso eh impossivel) []s, Claudio. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] Dúvida
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Thu, 24 Jun 2004 14:38:52 -0300
Assunto:
[obm-l] RE: [obm-l] Dúvida
Você também está usando o fato do grupo ser abeliano, não?
"Caso 2: pelo menos dois dos x_i sao distintos.
Nesse caso, a classe vai conter exatamente p produtos:"
em especial está usando este fato:
(x_1 * ... x_{p-1}) * x_p = x_p * (x_1 * ... * x_{p-1})
Não. Não estou.
Lembre-se de que eu estou apenas considerando produtos de p elementos (não necessariamente distintos) de G cujo produtoé a identidade de G.
No seu exemplo acima, o que acontece eh que x_p = (x_1*...*x_(p-1))^(-1) de modo que x_p e (x_1*...*x_(p-1)) comutam, uma vezque um elemento e seu inverso sempre comutam, em qualquer grupo, abeliano ou não.
[]s,
Claudio.
RE: [obm-l] Subgrupos normais
Oi, Paulo:
Obrigado pela dica. Eu não imaginava que fosse existir um exemplo tão pequeno assim! Faltou trabalhar um pouco...
Eu acho mais fácil raciocinar com i, j e k, de modo que o grupo dos quaternios é:
Q = {1,-1,i,-i,j,-j,k,-k} sujeitos a i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1, ikj = 1.
Como |Q| = 8, os subgrupos tem que ter ordem 1, 2, 4 ou 8.
Ordens 1 e 8 são triviais: {1} e Q, respectivamente, ambos normais.
Ordem 4 também é fácil: todo subgrupo de índice 2 é normal.
Ordem 2: o único subgrupo é {1,-1}, pois se i, j ou k pertencesse ao subgrupo, então -1 também pertenceria (pois -1 = i^2 = j^2 = k^2), de modo que já teríamos pelo menos 3 elementos no subgrupo: 1, -1 e i (ou j ou k).
Mas, se g é qualquer elemento de Q, é claro que:
g*{1,-1} = {g,-g} = {1,-1}*g == {1,-1} é normal em Q.
Bem legal. Aprendi algo novo.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Thu, 24 Jun 2004 17:56:29 +
Assunto:
RE: [obm-l] Subgrupos normais
Oi Caro Claudio,
Procure informacoes sobre o grupo dos quaternios. Aqui vai a definicao deles
:
|Qn|=2^n, Qn =, x^(2^(n-1))=e, y^2=x^(2^(n-2)) e
y*x=[x^((2^(n-1))-1)]*b
Note que, a menos de isomorfismos, estas relacoes caracterizam univocamente
este
grupo.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,1449,240604
From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: [obm-l] Subgrupos normais
Date: Thu, 24 Jun 2004 13:48:14 -0300
Oi, pessoal:
Alguem conhece algum exemplo de grupo nao-abeliano cujos subgrupos sejam
todos normais? (ou entao uma prova de que isso eh impossivel)
[]s,
Claudio.
_
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Página do coordenador.
Caros(as) amigos(as) da lista, Envio link da página do Prof. Claus Haetinger (Coordenador Regional da OBM na cidade de Lajeado - RS) onde entre outros é apresentada a Olimpíada Regional UNIVATES incluindo um jornal eletrônico sobre matemática. endereço: http://ensino.univates.br/~chaet Abraços, Nelly.
[obm-l] Subgrupos normais ( correcao )
Ola Pessoal,
Escrever com pressa sempre nos faz cometer erros simplorios e imbecis. A
mensagem abaixo esta
incompleta, pois precisamos impor que N = 3. Aqui vai uma demonstracao
classica :
Um grupo de ordem 2 e evidentemente abeliano. Um de ordem 4, por ter ordem
quadrado de
um primo, e igualmente abeliano. Considere entao um grupo G de ordem 8.
1) G tem um elemento de ordem 8
Seja g tal que |g|=8. Entao G=g e G e ciclico. Logo, G e isomorfo
Z/8Z.
2) G nao tem um elemento de ordem 8
2.1) G nao tem um elemento de ordem 4
Entao, pelo teorema de Lagrange, segue que todo elemento de G ( diferente da
unidade ) tem ordem 2 e, portanto, G e abeliano ( prove isso ! ). Tomando um
g qualquer pertencente a G
segue que g={e,g}. Tomando agora um h pertencente a G-g, segue que H =
{e, g, h, gh }
e um subgrupo de G ( prove isso ! ) e, finalmente, tomando k pertencente a G
- H segue que
K = {e, g, h, gh, k, gk, hk, ghk } e um subgrupo de G ( prove isso ! ). Logo
:
G = K = {e, g, h, gh, k, gk, hk, ghk } = {(g^i)(h^j)(k^L) com i,j,L = 0,1 }
A funcao
F:(Z/2Z)X(Z/2Z)X(Z/2Z) - G
(i_ ,j_, L_ ) - (g^i)(h^j)(k^L) i_ = i barra = classe de
equivalencia de i
E claramente um isomorfismo ( prova isso ! ) e, portanto, G e isomorfo a
(Z/2Z) x (Z/2Z) x (Z/2Z)
NOTA : onde coloquei ( prove isso !) fui honesto, isto e, a prova e
realmente elementar. Estou me
concentrando apenas no essencial.
2.2) G tem um elemento de ordem 4
Seja g pertencente a G tal que |g|=4. Entao g={e, g, g^2, g^3}. Tomando
um h em
G-g segue que {e, g, g^2, g^3, h, gh, (g^2)h, (g^3)h } e um grupo ( prove
isso ! ) e,
portanto, G = {e, g, g^2, g^3, h, gh, (g^2)h, (g^3)h }.
Quem e h^2 ? Ele nao pode ser nenhum dos elementos h, gh, (g^2)h e (g^3)h
pois isto,
por razoes elementares ( prove isso ! ) conduziria a absurdos ( por exemplo
: h^2=h = h=e ...
absurdo, h^2 = gh = h = g ... absurdo ). Logo, h^2 so pode ser igual a um
dos elementos
e, g, g^2 ou g^3.
Quem e hg ? Ele nao pode ser nenhum dos elementos e, g, g^2, g^3 ou h pois
isto,
por razoes elementares ( prove isso ! ) conduziria a absurdos. Logo, hg so
pode ser igual a
um dos elementos gh, (g^2)h ou (g^3)h.
Temos portanto as seguintes certezas e possibilidades :
( certezas )
|G|=8, G=g,h, g^4=e
( possibilidades )
h^2 = g^A onde A pode ser 0, 1, 2 ou 3
hg = (g^B)h onde B pode ser 1, 2 ou 3
como hg=(g^B)h = hg(h^(-1))=g^B e como |g|=4 segue que B nao pode ser 2,
logo
temos B = 1 ou B=3. Igualmente, h^2 nao pode ser g e nem g^3 pois sendo
|g|=4 isto
implicaria |h| = 8 ... absurdo. Assim, h^2 = e ou h^2 =^g^2.
Vemos que ficamos reduzidos as possibilidades :
GRUPO 1:
|G|=8, G=g,h, g^4=e
h^2= e , hg = gh
GRUPO 2:
|G|=8, G=g,h, g^4=e
h^2 = e , hg = (g^3)h
GRUPO 3:
|G|=8, G=g,h, g^4=e
h^2=g^2, hg = gh
GRUPO 4:
|G|=8, G=g,h, g^4=e
h^2 = g^2, hg = (g^3)h
Observe que, propositalmente, eu escolhi h^2 ( e nao h^4 ... ). Fiz assim
para que os expoentes,
escolhidos minimamente, podessem caracterizar univocamente os grupos. A
menos de isomorfismos
eles sao, portanto, unicos. Agora, eu afirmo que os grupos 1) E 3) sao
isomorfos a Z/4ZxZ/2Z.
( prove isso ! ) A diferenca e devido a existencia de mais de uma dupla de
geradores. O grupo 2) todos ja devem ter reconhecido, e o famoso D4, ou
seja, o grupo das simetrias do octogono.
Quem e o grupo 4 ? Vou contar uma historia pra voces ...
Ha mais de 100 anos atras, um jovem senhor descobriu um tesouro ... Ele
pensou mais ou menos
assim : Por que eu sou obrigado a pensar que todos os objetos do mundo so
se relacionam de
forma comutativa ? Por que me obrigam a pensar que, sempre, ab=ba, sejam
quais forem os
objetos a e b ? Sera que estou ficando louco ? Nao sera isso uma heresia
tao grande quando
querer desobedecer o sagrado 5 postulado de Euclides ?
Mas ... ( Um Graande Mas ! ) Se eu pensar assim eu posso extender a
multiplicacao
entre variaveis complexas para o Universo Tridimensional ... Se eu fizer :
ij = k e ji = -k
jk = i e kj = -i
ki = j e ik = -j
Posso usar QUAdruplas a + bI + cJ + dK de forma que o produto espacial entre
elas segundo o
produto :
(a,b,c,d)*(a',b', c', d') = (aa'-bb'-cc'-dd') + (ab' + ba' + cd' - dc')I +
(ac' + ca' + db' - bd')J +
(ad' + da' + bc' - cb')K
me dá 3 copias de C ( conjunto dos complexos ).
O Jovem Senhor se chamava HAMILTON acabava de descobrir os QUATERNIOS, dando
este nome em virtude de ter sido obrigado a usar 4 valores ( e nao 3, como
ele supos durantes longos 10 anos ! ) e admitir a nao comutatividade na
multiplicacao dos vetores canonicos.
O Grupo 4 la em cima e o grupo dos QUATERNIOS. Ele e um grupo que todos os
seus subgrupos
sao normais e e uma das Joias da Matematica. Voce sabe que esta diante de um
tal grupo quando :
|G| = 2^N( A ordem do grupo e uma potencia de 2, N = 3 )
G=g,h ( O grupo e gerado por dois elementos )
g^A = e onde A = 2^(N-1)
h^2 = g^B onde B = 2^(N -2)
hg=(g^C)h onde C = ( 2^(N-1) ) - 1
O grupo G e conhecido por Qn.
Uff ! Que
[obm-l] Derivadas Parciais
Parece que a questão abaixo esteve na lista. Alguém poderia me ajudar a encontrá-la? 1) Prove que se F (definida num subconjunto U aberto e convexo de Rn) possui derivadas parciais, com |dF/dXi|=M (i variando de 1 a m) em todos os pontos de U, então, | F(X) F(Y) | = M | X Y | (norma da soma) para quaisquer X, Y pertencente a U. Conclua que se F possui derivadas parciais limitadas num aberto qualquer ela é contínua (mas não necessariamente uniformemente contínua). [ ]s --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.707 / Virus Database: 463 - Release Date: 6/15/2004 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.707 / Virus Database: 463 - Release Date: 6/15/2004
[obm-l] RE: [obm-l] Dúvida
legal, então o teorema também vale pra grupos não abelianos! perfeito :-) só pra não ser uma mensagem inútil... na lista tivemos uma discussão sobre P, NP e computação quântica... na aula de complexidade computacional que eu tive hj, discutimos outras classes: P-Espaço e NP-Espaço, elas contém NP (que por sua vez contém P) e o fato interessante P-Espaço = NP-Espaço (o que não implica P = NP antes que alguém se assuste) quem sabe essa lista não ganha um certo apelo 'computacional' também :-) [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Derivadas Parciais
Oi, Wellington: Antes de ver a solução, tente resolver o problema usando a seguinte ideia: Como U é aberto e convexo, vao existir pontos P_0 = X, P_1, P_2, ..., P_n = Y sobre o segmento de reta ligando X a Y de forma que, para 0 = i = n-1, o segmento que liga P_i a P_(i+1) é a maior diagonal de um hipercubo totalmente contido em U. As restrições de F a cada uma das arestas de cada um desses hipercubos serão funções de uma única variável, para as quais vale o teorema do valor médio. Usando isso, você pode obter limitantes superiores para F(P_(i+1)) - F(P_i). []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Thu, 24 Jun 2004 17:47:22 -0300 Assunto: [obm-l] Derivadas Parciais Parece que a questão abaixo esteve na lista. Alguém poderia me ajudar a encontrá-la? 1) Prove que se F (definida num subconjunto U aberto e convexo de Rn) possui derivadas parciais, com |dF/dXi|=M (i variando de 1 a m) em todos os pontos de U, então, | F(X) F(Y) | = M | X Y | (norma da soma) para quaisquer X, Y pertencente a U. Conclua que se F possui derivadas parciais limitadas num aberto qualquer ela é contínua (mas não necessariamente uniformemente contínua). [ ]s ---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.707 / Virus Database: 463 - Release Date: 6/15/2004 ---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.707 / Virus Database: 463 - Release Date: 6/15/2004
[obm-l] OUTRA QUESTÃO DE CONCURSO!
OK! Rogério, Júnior e demais colegas! Gostaria da opinião dos colegas, pois não consegui resolver a questão abaixo, talvez pelo fato do enunciado dúbio. Grato! Uma distribuidora de discos está vendo se patrocina o disco de um novo grupo vocal. Fará 50.000 discos e o distribuirá pelo país. O custo de fabricação e distribuição de cada disco é de $2. Esses discos são vendidos ao preço unitário de $4. A experiência com casos semelhantes mostra que em 30 por cento de tais patrocínios vende-se 40 por cento dos discos, em 30 por cento deles 50 por cento dos discos são vendidos, e em 40 por cento deles vende-se 60 por cento de tais discos. Supondo que estas sejam todas as possibilidades possíveis determine se a companhia deve empresar este disco. Infelizmente, não tenho a resposta. Abraços!!! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OUTRA QUESTÃO DE CONCURSO!
[EMAIL PROTECTED] wrote: OK! Rogério, Júnior e demais colegas! Gostaria da opinião dos colegas, pois não consegui resolver a questão abaixo, talvez pelo fato do enunciado dúbio. Grato! Uma distribuidora de discos está vendo se patrocina o disco de um novo grupo vocal. Fará 50.000 discos e o distribuirá pelo país. O custo de fabricação e distribuição de cada disco é de $2. Esses discos são vendidos ao preço unitário de $4. A experiência com casos semelhantes mostra que em 30 por cento de tais patrocínios vende-se 40 por cento dos discos, em 30 por cento deles 50 por cento dos discos são vendidos, e em 40 por cento deles vende-se 60 por cento de tais discos. Supondo que estas sejam todas as possibilidades possíveis determine se a companhia deve empresar este disco. Infelizmente, não tenho a resposta. Abraços!!! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 24/06/2004 / Versão: 1.5.2 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://www.terra.com.br/centralunificada/emailprotegido/imail/imail.cgi?+_u=rafael_ando_l=1088114707.436471.9707.itajuba.terra.com.br A quantidade de discos que se espera serem vendidos são 30%*40%+30%*50%+40%*60% = 51% do total, ou 25500 discos Logo, a quantidade que se ganha com as vendas equivale a 25500*$4 = $102000 Como o custo é 5*$2 = $10 $102000, vale a pena empresar o disco... bom pelo menos essa foi minha interpretação do enunciado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] OUTRA QUESTÃO DE CONCURSO!
Caro Jorge: O lucro esperado é de L = 30/100*2 + 30/100*25000 + 40/100*3 = 102000 O custo de produção será de 10 Portanto, acredito que a resposta esperada é que ela deve empresar este disco, que tem um lucro esperado de 2000. Um grande abraço, Guilherme Marques. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: quinta-feira, 24 de junho de 2004 18:27 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] OUTRA QUESTÃO DE CONCURSO! OK! Rogério, Júnior e demais colegas! Gostaria da opinião dos colegas, pois não consegui resolver a questão abaixo, talvez pelo fato do enunciado dúbio. Grato! Uma distribuidora de discos está vendo se patrocina o disco de um novo grupo vocal. Fará 50.000 discos e o distribuirá pelo país. O custo de fabricação e distribuição de cada disco é de $2. Esses discos são vendidos ao preço unitário de $4. A experiência com casos semelhantes mostra que em 30 por cento de tais patrocínios vende-se 40 por cento dos discos, em 30 por cento deles 50 por cento dos discos são vendidos, e em 40 por cento deles vende-se 60 por cento de tais discos. Supondo que estas sejam todas as possibilidades possíveis determine se a companhia deve empresar este disco. Infelizmente, não tenho a resposta. Abraços!!! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] semi-off: numeros aleatórios
Vou me intrometer na discussão! Com certeza todas as áreas da computação seriam beneficiadas com um modelo computacional mais eficiente (por exemplo, se tivéssemos a nossa disposição uma máquina de Turing não-determinística). No entanto, há coisas muito importantes que ainda não foram bem estabelecidas em IA e não seria uma revolução quântica o caminho para dominarmos essa área. Para não ficar muito abstrato, um dos grandes problemas que enfrentamos é, por exemplo, como montar uma base de conhecimentos. Esse problema é resolvido quando especificamos muito bem um domínio e as idéias de representação de informação ainda remontam ao LISP (uma linguagem de programação dos anos 60), mas não possuímos uma capacidade de processamento de linguagem natural nem nada próximo a uma linguagem flexível o bastante pra representar conhecimento de domínios diversos. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] calculo de área - acho que precisa de integral
Bruno França dos Reis wrote: -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Ola Como já disse, estou no 3o. ano, entao NAO aprendi cálculo integral oficialmente... Já li sobre em vários livros, entre eles Fundamentos de Matematica Elementar, do Iezzi. Um problema que um amigo meu me havia proposto e que não sei se cheguei na resposta (ele tb nao sabe a resposta) era o seguinte: Tem uma figura com uma área hachurada, devemos calcular o valor dessa área. Tentarei descrever a figura: Um quadrado de lado a. Com o compasso no vértice inferior esquerdo, traça-se um quarto de circunferência (C1) (interno ao quadrado), de raio a também. Com o compasso no centro do quadrado, traça-se uma circunferência (C2) de raio a/2. Hachura-se a intersecção de C2 com a parte externa de C1. qual a área em funcao de a? fiz o seguinte: um par de eixos sendo o eixo x coincidente com a diagonal do quadrado sup.esq.-inf.dir. O eixo y seria a outra diagonal do quadrado, de forma que há simetria. Calculei a equação das circunferência e fiz uma integral definida de -a/2 até a/2, subtraí o que sobrava do quadrado e da outra circunferência, e meu Maple disse algo que tenho medo de colar aqui. Era horrível! Tinha, se nao me engano, sqrt(-i)... coisas horriveis! muito, muito feio... nao sei como pode uma simples área ter dado uma resposta tao grande e feia. é pra ser isso mesmo? errei em cálculos? tem outro jeito de fazer? até bruno - -- Bruno França dos Reis brunoreis at terra com br icq: 12626000 gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.4 (GNU/Linux) iD8DBQFA2klSsHdDIT+qyroRAiXmAJ9q+4+YqgHxkdt6299ogaJ1AiKgFwCfWzws t7bvExaTKKCdbXeRwxfgOWE= =EfRJ -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 23/06/2004 / Versão: 1.5.2 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://www.terra.com.br/centralunificada/emailprotegido/imail/imail.cgi?+_u=rafael_ando_l=1088049088.331401.17515.chui.terra.com.br Definindo os eixos como vc definiu as equações das duas curvas serão y = sqrt(a^2/4-x^2) e y = sqrt(a^2-x^2) - a/sqrt(2). (considerando apenas a região acima do eixo, ie, onde y0). A área entre 2 curvas é a integral da diferença entre as duas funções, ie, integral de sqrt(a^2/4-x^2) - sqrt(a^2-x^2) + a/sqrt(2). Integrando apenas o lado direito e depois multiplicando por 2 (pq a função é par, ie, f(-x) = f(x)), temos q os limites de integração serão 0 e a coordenada x do ponto onde as curvas se interceptam (que NÃO é a/2), e vale a*sqrt(2)/8 (para encontrar esse valor faça sqrt(a^2/4-x^2) = sqrt(a^2-x^2) - a/sqrt(2)) . Então a área é 2* (integral de sqrt(a^2/4-x^2) - sqrt(a^2-x^2) + a/sqrt(2)), onde a integral é definida de 0 a a*sqrt(2)/8. O valor da integral é a^2/64*(8arcsen(sqrt(2)/4) - 32arcsen(sqrt(2)/8) - 8 + sqrt(31)-sqrt(7)) = 0,0356591*a^2 (aproximadamente), logo o valor da área é o dobro e vale portanto aproximadamente 0,071*a^2. Se não errei em nenhum calculo deve ser isso tentei explicar o melhor possivel porque vc disse q não aprendera (oficialmente) calculo, mas não sei se deu pra entender... Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] calculo de área - acho que precisa de integral
Um quadrado de lado "a". Com o compasso no vértice inferior esquerdo, traça-se um quarto de circunferência (C1) (interno ao quadrado), de raio "a" também. Com o compasso no centro do quadrado, traça-se uma circunferência (C2) de raio "a"/2. Hachura-se a intersecção de C2 com a parte externa de C1. Qual a área em funcao de "a"? Sejam: O = centro do quadrado; A e B = pontos de interseccao de C1 e C2; P = vertice inferior esquerdo do quadrado; M, N = pontos arbitrarios sobre os arcos C1 e C2 entre A e B. A area desejada eh a area da lunula AMBNA. Chame-a de S. S = [OANB] - [OAMB] Estas areas sao faceis de se calcular se voce observar que: PA = PB = a, OP = a*raiz(2)/2 e OA = OB = a/2, pois com estes comprimentos podemos resolver os triangulos OAP e OBP, que sao congruentes, e determinar os angulos AOP = BOP e APB = APO + BPO = 2*APO. De posse desses angulos, voce determina: [OAP] = [OBP] = (1/2)*OA*OP*sen(AOP), [PAMB] = (1/2)*PA*PB*(APB) e, em seguida, determina a area: [OAMB] = [PAMB] - [OAP] - [OBP] Finalmente, voce determina o angulo AOB = 2*Pi - AOP - BOP e a area: [OANB] = (1/2)*OA*OB*(AOB). E acabou...sem integral... []s, Claudio.
