RE: [obm-l] Ajuda em um problema
Antonio,acho q faltou uma informação sobre a quantidade de alunos reprovados tanto em matemática como em portugues.Por exemplo:´´o número de reprovados nas duas é a metade do numero de aprovados´´.Do jeito q está o enunciado,poderiamos ter tambem 43 aprovados,129 em matematica(3*43),172 em portugues(4*43) e 2 reprovados nas duas.Total:86(aprov.só em mat)+129(aprov só em port)+43(aprov nas duas)+2(reprov nas duas)=260.Se eu estiver errado,q alguem corrija.Um abraço. Date: Thu, 9 Apr 2009 14:39:23 -0300 Subject: [obm-l] Ajuda em um problema From: antoniomcdel...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Por favor, necessito ajuda no seguinte problema Para passar em um concurso, o aluno deve ser aprovado nas provas de Português e Matemática. O número de alunos aprovados em Português é o quádruplo do número de aprovados, e o número de aprovados em Matemática é o triplo do número de aprovados. O número total de alunos é 260. Quantos foram reprovados? Resposta: 220 alunos reprovados. Grato, Antonio del Rio _ Novo Windows Live: Messenger 2009 e muito mais. Descubra! http://www.windowslive.com.br
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l ] Sugestão de Tema p ara Mon ografia - Côn icas
OLá professor Luis, muito bom dia. Obrigado pela ajuda. Sim minha monografia é sobre cônicas em ligação com o régua e compasso. Eu estava querendo um tema até mesmo novo dentro desta área. Mas sem dúvida trabalhar as construções das cônicas é um grande tema para o ensino médio. Estou pensando e avaliando ainda. Grande abraço, feliz Páscoa para o senhor e sua família! Marcelo. 2009/4/8 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Sauda,c~oes, Oi Marcelo, Já que você falou no Régua e Compasso. Já pensei vários temas...mas ainda não me resolvi. Já pensou nas construções geométricas ? Não conheço muita bibliografia em português neste tema. []'s Luís -- Date: Wed, 8 Apr 2009 12:46:19 -0300 Subject: [obm-l] Sugestão de Tema para Monografia - Cônicas From: elementos@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá pessoal da lista, boa tarde a todos. Estou para iniciar os escritos de minha monografia e o tema é cônicas . Gostaria de perguntar também aos senhores, além do que já fiz com meu orientador, se os senhores teriam alguma idéia ainda pouco explorada ou não, sobre cônicas, para o ensino médio ou não. Às vezes existem mestres e doutores que teriam vontade que seus orientandos explorassem alguma área específica dentro deste tema e talvez ainda não tenham tido esta oportunidade. Já pensei vários temas...mas ainda não me resolvi. Se vocês puderem sugerir, irão ampliar meus horizontes ainda mais neste tema. Desde já agradeço muito a todos, Um abração, Marcelo. -- Imagem de exibição animada? Só com o novo Messenger. Baixe agora!http://download.live.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Sugestão de Tem a para Monografia - Cônicas
Oi professor Denis, muito bom dia. Sim, professor..eu estava querendo mais nesta área de comparar as prórias cônicas entre elas. Mas não sei muito bem o quê. Estava pensando em trabalhar a excentricidade e produzir algo sobre elas. Professor muito obrigado pela ajuda, ajudou sim e muito. Grande abraço, e feliz páscoa para o senhor e sua família. Marcelo. 2009/4/8 Dênis Emanuel da Costa Vargas demanuelvarga...@yahoo.com.br Marcelo, depende do que vc quer observar.. Se for na Educação Matemática, vc pode fazer experiências em sala de aula com a construção das cônicas com materiais alternativos ou algum software, como o regua e compasso ou o geogebra. Se for em matemática pura, vc pode escrever sobre a história delas, comparar as equações das cônicas em diversas coordenadas, fazer aplicações das cônicas nas engenharias, etc. espero ter ajudado abraços Dênis E. C. Vargas www.cefetrp.edu.br/denis Coord. Acad.. de Matemática, Física e Estatística - CAMFE CEFET - Rio Pomba (32)-3571-5712 --- Em *qua, 8/4/09, Luís Lopes qed_te...@hotmail.com* escreveu: De: Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Sugestão de Tema para Monografia - Cônicas Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 8 de Abril de 2009, 16:56 Sauda,c~oes, Oi Marcelo, Já que você falou no Régua e Compasso. Já pensei vários temas...mas ainda não me resolvi. Já pensou nas construções geométricas ? Não conheço muita bibliografia em português neste tema. []'s Luís -- Date: Wed, 8 Apr 2009 12:46:19 -0300 Subject: [obm-l] Sugestão de Tema para Monografia - Cônicas From: elementos@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá pessoal da lista, boa tarde a todos. Estou para iniciar os escritos de minha monografia e o tema é cônicas . Gostaria de perguntar também aos senhores, além do que já fiz com meu orientador, se os senhores teriam alguma idéia ainda pouco explorada ou não, sobre cônicas, para o ensino médio ou não. Às vezes existem mestres e doutores que teriam vontade que seus orientandos explorassem alguma área específica dentro deste tema e talvez ainda não tenham tido esta oportunidade. Já pensei vários temas...mas ainda não me resolvi. Se vocês puderem sugerir, irão ampliar meus horizontes ainda mais neste tema. Desde já agradeço muito a todos, Um abração, Marcelo. -- Imagem de exibição animada? Só com o novo Messenger. Baixe agora!http://download.live.com/ -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/
[obm-l] Re: [obm-l] O número 26 (mais uma descoberta do Fer mat)
Ola' Albert e pessoal da lista,
complementando o assunto, segue um link bonitinho...
http://www.eleves.ens.fr/home/baglio/maths/26number.pdf
[]'s
Rogerio Ponce
2009/4/10 Albert Bouskela bousk...@ymail.com:
Olá!
Esses alunos...
Sua dileta aluna andou lendo sobre uma das mais engenhosas demonstrações de
Fermat.
É verdade: 26 é o único inteiro compreendido entre um quadrado (25 = 5^2) e
um cubo (27 = 3^3).
Formalmente, Fermat (que não era muito chegado a uma formalidade) demonstrou
que:
|m^3 – n^2| 2 para “m” e “n” inteiros, tais que m3 e n5 .
Infelizmente, não achei exatamente a prova de Fermat na Internet, mas,
certamente, quem procurá-la com mais afinco, deverá encontrá-la. A prova que
achei não está completa – veja-a abaixo:
http://abstractnonsense.wordpress.com/2006/08/28/algebraic-number-theory/
Algebraic Number Theory
After explaining one elementary technique in number theory, I should write
about what motivates some of the basic ideas of algebraic number theory by
means of a somewhat more complicated proof, namely that 26 is the only
integer sandwiched between a square and a cube.
In order to find other numbers similarly sandwiched, we need to solve each
of the equations x^2 + 2 = y^3 and x^2 - 2 = y^3. Apart from a few
degenerate solutions in which x or y is zero, we only know one integer
solution: x = +/-5, y = 3, which corresponds to 25 and 27.
This time, we can’t take quadratic residues, because of that pesky third
power. All we can do is tell that x and y are odd; if one is even and one is
odd, then the equations say that an odd number and an even number are equal,
whereas if they’re both even, then we have a problem since y^3 is divisible
by 8, whereas x^2 +/- 2 isn’t even divisible by 4.
It would be great if we could factor the left-hand side… which is a problem,
since neither 2 nor -2 is a perfect square. But let’s forget about that
hurdle for the moment and try factoring anyway.
We have x^2 + 2 = (x + SQRT(-2))(x - SQRT(-2)). So instead of working just
with regular integers - which I’ll call rational integers because they’re
all rational numbers - we can work with regular integers, plus the square
root of -2. In particular, we work with the set {a + b*SQRT(-2): a and b are
integers}, consisting of numbers like 5, 3 + SQRT(-2), -3 - 4SQRT(-2), etc.
Since it’s possible to add, subtract, and multiply numbers like this
normally, this set forms a ring.
Now, let’s look at the two factors, (x + SQRT(-2)) and (x - SQRT(-2)), a
little more closely. In particular, let’s look at any common divisors they
have, except the trivial ones 1 and -1. Any common divisor will have to
divide their difference, 2SQRT(-2) = -SQRT(-2)^3. So this common divisor is
SQRT(-2), 2, or 2SQRT(-2), which is divisible by SQRT(-2).
That means that x + SQRT(-2) is divisible by SQRT(-2), or, if you will, that
x is divisible by SQRT(-2). But x/SQRT(-2) = (x/2)SQRT(-2), and we’ve
already proven that x is odd, so there’s a contradiction, and the two
factors have no common divisors.
If they have no common divisors, then they’re both cubes. This is fairly
common sensical: any prime factor that divides the first factor has to
divide y^3. So its cube must divide y^3, too, which means it divides the
first factor, or else the first and second factor are both divisible by that
prime.
So there’s a number, call it a + bSQRT(-2), such that (a + bSQRT(-2))^3 = x
+ SQRT(-2). Expanding the left-hand side, we get that a^3 + 3a^2*bSQRT(-2) -
6ab^2 - 2b^3*SQRT(-2) = x + SQRT(-2). Both the rational-integer and the
SQRT(-2) parts must be equal, so we have 3a^2*b - 2b^3 = 1, where a and b
are rational integers.
Now we have enough to apply simpler tricks. The left-hand side is divisible
by b, so b has to be +/-1. If it’s -1, then we get -3a^2 + 2 = 1, or 3a^2 =
1, which is absurd since a is a rational integer. If b = 1, then we have
3a^2 - 2 = 1, or 3a^2 = 3, which means a = +/-1.
If a = 1, then (a + SQRT(-2))^3 = -5 + SQRT(-2), so x = 5. Similarly, if a =
-1, then x = -5. Then y = 3 and we get 26.
We can do exactly the same thing with the other equation, only this time we
work with SQRT(2). All the steps work exactly the same, only we end up with
3a^2*b + 2b^3 = 1. In that case, b = 1 gives 3a^2 = -1, a contradiction, and
b = -1 gives 3a^2 = -3, another contradiction.
So 26 is really the only number sandwiched between a square and a cube…
supposedly. I say “supposedly” because I lied to you a bit - actually,
there’s one or two very important things left to check that I didn’t check
here. In this case they work, but they don’t have to, and I need to show
that they work. But that’s for next time.
Usando ferramentas mais “pesadas” do que as que Fermat conhecia, a prova
fica mais enxuta:
http://www.mathhelpforum.com/math-help/number-theory/33404-proof-26-only-number-between-cubed-squared-number.html
Re: [obm-l] Ajuda em um problema
Comungo da sua opinião , acho tb que falta alguma informação. - Original .Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, April 10, 2009 7:48 AM Subject: RE: [obm-l] Ajuda em um problema Antonio,acho q faltou uma informação sobre a quantidade de alunos reprovados tanto em matemática como em portugues.Por exemplo:´´o número de reprovados nas duas é a metade do numero de aprovados´´.Do jeito q está o enunciado,poderiamos ter tambem 43 aprovados,129 em matematica(3*43),172 em portugues(4*43) e 2 reprovados nas duas.Total:86(aprov.só em mat)+129(aprov só em port)+43(aprov nas duas)+2(reprov nas duas)=260.Se eu estiver errado,q alguem corrija.Um abraço. -- Date: Thu, 9 Apr 2009 14:39:23 -0300 Subject: [obm-l] Ajuda em um problema From: antoniomcdel...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Por favor, necessito ajuda no seguinte problema Para passar em um concurso, o aluno deve ser aprovado nas provas de Português e Matemática. O número de alunos aprovados em Português é o quádruplo do número de aprovados, e o número de aprovados em Matemática é o triplo do número de aprovados. O número total de alunos é 260. Quantos foram reprovados? Resposta: 220 alunos reprovados. Grato, Antonio del Rio -- Quer saber qual produto Windows Live combina melhor com o seu perfil? Clique aqui e descubra! __ NOD32 3994 (20090407) Information __ This message was checked by NOD32 antivirus system. http://www.eset.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm- l] [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l ] número primo...
Ola Bruno, Então, vou mudar : todo número primo pode ser escrito como a soma de 2 primos : Qdo o no. 2 está na soma, não subtrai-se ou soma-se 1, qdo 2 não está, soma-se ou subtrai-se 1. Abs Felipe --- Em qui, 9/4/09, Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com escreveu: De: Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] número primo... Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 9 de Abril de 2009, 20:31 Cara, essa é fácil, vai... é só parar 10 segundos pra testar alguns primos... 2 é primo, 3 é primo, 2+3 = 5; 5+1 = 6, composto, 5-1 = 4, composto. 2 é primo, 5 é primo, 2+5 = 7; 7+1 = 8 composto, 7-1 = 6, composto. ... 2 é primo, x é primo impar, 2 + x + 1 é par, composto, 2 + x - 1 é par, composto... Antes que vc fale ah, mas e se eu falar a soma de dois primos ímpares, que vc tb pode descobrir pensando mais um tiquinho, 13 + 13 = 26, 26 - 1 = 25, composto, 26 + 1 = 27, composto Finalmente, vc pode pensar mas... mas... e se forem dois primos ímpares distintos?, e mais um pouquinho vc acha que: 3 + 23 = 26, ..., +1 e -1, compostos. Viu? Não era simples? Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://blog.brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/4/10 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Legal, essa é nova para mim. A colocação qeu fiz no final está erradao que quero dizer é se a soma de 2 primos, mais ou menos 1 dá sempre outro primo ? --- Em qui, 9/4/09, fabrici...@usp.br fabrici...@usp.br escreveu: De: fabrici...@usp.br fabrici...@usp.br Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] número primo... Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 9 de Abril de 2009, 16:57 Pelo algoritmo de Euclides, todo inteiro n quando dividido por 6, terá uma das formas abaixo: 6k 6k + 1 6k + 2 6k + 3 6k + 4 6k + 5 6k é composto para qualquer k 0, pois será múltiplo de 6. 6k + 1 pode ser primo, pois mdc(6;1) = 1. 6k + 2 = 2(k+1), é múltiplo de 2. 6k + 3 = 3(k+1), é múltiplo de 3. 6k + 4 = 2(3k+2) é múltiplo de 2. 6k + 5 pode ser primo, pois mdc(6;5) = 1 Veja que só existe um primo da forma 6k + 2, para k = 0. Veja tambémn que só existe um primo da forma 6k + 3, para k = 0. 6k + 1 pode ser primo. Mas nem todo número dessa forma é primo. (exemplo: k = 4) 6k + 5 pode ser primo. Mas nem todo número dessa forma é primo. (exemplo: k = 5) Retomando: como todo inteiro tem uma das formas acima, é verdadeiro que todo primo maior que 3 tem a forma 6k + 1 ou 6k + 5 [esse último é equivalente a 6k - 1, pois 6(k-1) + 5 = 6k - 1] . On Apr 9, 2009, at 15:36 , luiz silva wrote: Eu naõ sabia dessa relação. Aliás, alguém sabe se todo primo pode ser escrito como a soma de outros dois primos, mais ou menos 1 ? Abs Felipe --- Em qui, 9/4/09, Alexandre Kunieda alexandre.kuni...@gmail.com escreveu: De: Alexandre Kunieda alexandre.kuni...@gmail.com Assunto: [obm-l] [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] número primo... Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 9 de Abril de 2009, 14:55 Olá! Eu pensei em usar o fato de que todo primo maior que 3 pode ser escrito da forma 6k+1 ou 6k-1. Se temos n=6k+1: (n-1)(n+1) = 6k(6k+2) = 12k(3k+1) E para n=6k-1: (n-1)(n+1) = (6k-2)6k = 12(3k-1)k Logo, para todo n 3 primo, teremos que n^2 - 1 é múltiplo de 12. Abraços, Alexandre Kunieda 2009/4/9 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Ola. Pense no seguinte : quais são os restos possíveis numa divisão por 3 ? 0, 1 ou 2. Agora, um número que deixa resto 0, elevado ao quadrado deixará resto 0; um que deixa resto 1, elevado ao quadrado (3x+1)^2 deixará resto 1 e o que deixa resto 2, elevado ao quadrado deixará (3x+2)^2 resto 1, pois o termo independente de x será 4 = 3 + 1. Abs Felipe --- Em qui, 9/4/09, jgpreturlan jgpretur...@uol.com.br escreveu: De: jgpreturlan jgpretur...@uol.com.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] número primo... Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 9 de Abril de 2009, 12:21 Olá! Obrigado pela solução proposta, Felipe. Mas ela me traz uma outra indagação: Você assumiu que n^2 deixa resto 1 ou 0 quando dividido por 3. Isso pode ser testado facilmente com alguns quadrados perfeitos. Mas como provar que qualquer quadrado perfeito deixa restos 1 ou 0 quando divididos por 3? Alguem sabe algo que demonstre isso? []'s João Preturlan. Em 09/04/2009 08:08, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu: Ola  Repare que n^2-1 = (n+1)(n-1). Como n é impar, (n+1)(n-1) é múltiplo de 4. Além disso, n^2 deixa resto 0 ou 1 qo dividido por 3. Como n3 e primo, então n^2 deixa resto 1 quando dividido por 3. Assim, n^2-1 deixa resto 0 qdo dividido por 3.  Com isso, 3 e 4 (12) dividem n^2-1.  Abs Felipe --- Em
[obm-l] Um probleminha bem interessante
Tem um pouco de física nesse problema também. -Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um ponto sempre segue o outro, determite o instante de tempo t em que esses pontos vão se chocar. Algém conseguiu resolver? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
O problema ficou meio confuso. Há três pontos, p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o p2, o p2 segue o p3 e o p3 segue o p1. Desculpe se alguém ficou com dúvidas. Obrigado. --- Em sex, 10/4/09, Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu: De: Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] Um probleminha bem interessante Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 18:00 Tem um pouco de física nesse problema também. -Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um ponto sempre segue o outro, determite o instante de tempo t em que esses pontos vão se chocar. Algém conseguiu resolver? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo..com
Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Não consigo entender a formulação do problema. Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da velocidade deles é o mesmo? Essa velocidade é constante? O que significa um ponto sempre segue o outro? -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://blog.brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br Tem um pouco de física nesse problema também. -Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um ponto sempre segue o outro, determite o instante de tempo t em que esses pontos vão se chocar. Algém conseguiu resolver? -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O número 26 (mais um a descoberta do Fermat)
Obrigado, parceiros!
Bota bonitinho nisso!
Um abraço!
Grego
--- Em sex, 10/4/09, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu:
De: Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] O número 26 (mais uma descoberta do Fermat)
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 10:26
Ola' Albert e pessoal da lista,
complementando o assunto, segue um link bonitinho...
http://www.eleves.ens.fr/home/baglio/maths/26number.pdf
[]'s
Rogerio Ponce
2009/4/10 Albert Bouskela bousk...@ymail.com:
Olá!
Esses alunos...
Sua dileta aluna andou lendo sobre uma das mais engenhosas demonstrações de
Fermat.
É verdade: 26 é o único inteiro compreendido entre um quadrado (25 = 5^2) e
um cubo (27 = 3^3).
Formalmente, Fermat (que não era muito chegado a uma formalidade) demonstrou
que:
|m^3 – n^2| 2 para “m” e “n” inteiros, tais que m3 e n5 .
Infelizmente, não achei exatamente a prova de Fermat na Internet, mas,
certamente, quem procurá-la com mais afinco, deverá encontrá-la. A prova que
achei não está completa – veja-a abaixo:
http://abstractnonsense.wordpress.com/2006/08/28/algebraic-number-theory/
Algebraic Number Theory
After explaining one elementary technique in number theory, I should write
about what motivates some of the basic ideas of algebraic number theory by
means of a somewhat more complicated proof, namely that 26 is the only
integer sandwiched between a square and a cube.
In order to find other numbers similarly sandwiched, we need to solve each
of the equations x^2 + 2 = y^3 and x^2 - 2 = y^3. Apart from a few
degenerate solutions in which x or y is zero, we only know one integer
solution: x = +/-5, y = 3, which corresponds to 25 and 27.
This time, we can’t take quadratic residues, because of that pesky third
power. All we can do is tell that x and y are odd; if one is even and one is
odd, then the equations say that an odd number and an even number are equal,
whereas if they’re both even, then we have a problem since y^3 is divisible
by 8, whereas x^2 +/- 2 isn’t even divisible by 4.
It would be great if we could factor the left-hand side… which is a problem,
since neither 2 nor -2 is a perfect square. But let’s forget about that
hurdle for the moment and try factoring anyway.
We have x^2 + 2 = (x + SQRT(-2))(x - SQRT(-2)). So instead of working just
with regular integers - which I’ll call rational integers because they’re
all rational numbers - we can work with regular integers, plus the square
root of -2. In particular, we work with the set {a + b*SQRT(-2): a and b are
integers}, consisting of numbers like 5, 3 + SQRT(-2), -3 - 4SQRT(-2), etc.
Since it’s possible to add, subtract, and multiply numbers like this
normally, this set forms a ring.
Now, let’s look at the two factors, (x + SQRT(-2)) and (x - SQRT(-2)), a
little more closely. In particular, let’s look at any common divisors they
have, except the trivial ones 1 and -1. Any common divisor will have to
divide their difference, 2SQRT(-2) = -SQRT(-2)^3. So this common divisor is
SQRT(-2), 2, or 2SQRT(-2), which is divisible by SQRT(-2).
That means that x + SQRT(-2) is divisible by SQRT(-2), or, if you will, that
x is divisible by SQRT(-2). But x/SQRT(-2) = (x/2)SQRT(-2), and we’ve
already proven that x is odd, so there’s a contradiction, and the two
factors have no common divisors.
If they have no common divisors, then they’re both cubes. This is fairly
common sensical: any prime factor that divides the first factor has to
divide y^3. So its cube must divide y^3, too, which means it divides the
first factor, or else the first and second factor are both divisible by that
prime.
So there’s a number, call it a + bSQRT(-2), such that (a + bSQRT(-2))^3 = x
+ SQRT(-2). Expanding the left-hand side, we get that a^3 + 3a^2*bSQRT(-2) -
6ab^2 - 2b^3*SQRT(-2) = x + SQRT(-2). Both the rational-integer and the
SQRT(-2) parts must be equal, so we have 3a^2*b - 2b^3 = 1, where a and b
are rational integers.
Now we have enough to apply simpler tricks. The left-hand side is divisible
by b, so b has to be +/-1. If it’s -1, then we get -3a^2 + 2 = 1, or 3a^2 =
1, which is absurd since a is a rational integer. If b = 1, then we have
3a^2 - 2 = 1, or 3a^2 = 3, which means a = +/-1.
If a = 1, then (a + SQRT(-2))^3 = -5 + SQRT(-2), so x = 5. Similarly, if a =
-1, then x = -5. Then y = 3 and we get 26.
We can do exactly the same thing with the other equation, only this time we
work with SQRT(2). All the steps work exactly the same, only we end up with
3a^2*b + 2b^3 = 1. In that case, b = 1 gives 3a^2 = -1, a contradiction, and
b = -1 gives 3a^2 = -3, another contradiction.
So 26 is really the only number sandwiched between a square and a cube…
supposedly. I say “supposedly” because I lied to you a bit - actually,
there’s one or two very important things left to check that I didn’t check
here. In this case they
Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Desculpe se ficou meio confuso Bruno. Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o ponto p2 que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam com a mesma velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um dos 3 pontos eh a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos de d. Encontre o tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3 pontos se chocarem. --- Em sex, 10/4/09, Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com escreveu: De: Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com Assunto: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 18:33 Não consigo entender a formulação do problema. Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da velocidade deles é o mesmo? Essa velocidade é constante? O que significa um ponto sempre segue o outro? -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://blog.brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br Tem um pouco de física nesse problema também. -Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um ponto sempre segue o outro, determite o instante de tempo t em que esses pontos vão se chocar. Algém conseguiu resolver? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
RE: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Desculpe se ficou meio confuso Bruno. Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o ponto p2 que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam com a mesma velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um dos 3 pontos eh a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos de d. Encontre o tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3 pontos se chocarem. From: bfr...@gmail.com Date: Fri, 10 Apr 2009 20:33:56 +0200 Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante To: obm-l@mat.puc-rio.br Não consigo entender a formulação do problema. Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da velocidade deles é o mesmo? Essa velocidade é constante? O que significa um ponto sempre segue o outro? -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://blog.brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br Tem um pouco de física nesse problema também. -Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um ponto sempre segue o outro, determite o instante de tempo t em que esses pontos vão se chocar. Algém conseguiu resolver? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes _ Novo Windows Live: Messenger 2009 e muito mais. Descubra! http://www.windowslive.com.br
Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Hmmm, ainda não sei se entendi muito bem. Veja se a minha interpretação,
traduzida na formulação a seguir, corresponde com o que vc está imaginando.
Seja S_i(t) o vetor posição do ponto p_i, i = 1, 2, 3, no instante t.
Seja v_i(t) o vetor velocidade do ponto p_i no instante t.
Seja n(u) um vetor unitário que de mesmos direção e sentido que o vetor u.
O que eu entendo da sua formulação é:
v_i(t) = V * n(S_{i+1}(t) - S_{i}(t)), para todo t, e considere i=4 o
mesmo que i=1, para simplificar a notação,
onde V é uma constante escalar.
Isso para mim é o que vc quis dizer com o ponto 1 segue o ponto 2, o 2
segue o 3 e o 3 segue o 1. Está conforme o que vc pensou?
Além disso, em t=0, temos:
|S_i(0) - S_j(0)| = d, para i != j.
Isso é a condição inicial de posição.
Então, a sua pergunta é: determinar o menor instante t0 em função das
constantes do problema (V, d) tal que S_1(t0) = S_2(t0) = S_3(t0). É isso?
Bruno
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16
http://brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com
GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
e^(pi*i)+1=0
2009/4/10 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Desculpe se ficou meio confuso Bruno.
Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o
ponto p2 que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam
com a mesma velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um
dos 3 pontos eh a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos
de d. Encontre o tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3
pontos se chocarem.
--
From: bfr...@gmail.com
Date: Fri, 10 Apr 2009 20:33:56 +0200
Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Não consigo entender a formulação do problema.
Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da
velocidade deles é o mesmo?
Essa velocidade é constante?
O que significa um ponto sempre segue o outro?
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16
http://brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com
GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
e^(pi*i)+1=0
2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br
Tem um pouco de física nesse problema também.
-Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem
velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um
ponto sempre segue o outro, determite o instante de tempo t em que esses
pontos vão se chocar.
Algém conseguiu resolver?
--
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top
10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/-
Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/-
Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/-
Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/
--
Quer saber qual produto Windows Live combina melhor com o seu perfil? Clique
aqui e descubra! http://www.windowslive.com.br
Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Eu tb fiquei com essa dúvidaacho que, na realidade, cada ponto se desloca em cima de um lado do triângulo, em um mesmo sentido (horário ou anti-horário). Porém, se não houver uma atração (para reduzir as dimensões do triângulo) entre eles, a trajetória será sempre a mesma, e eles vão ficar seguindo um ao outro indefinidamente. --- Em sex, 10/4/09, Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com escreveu: De: Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com Assunto: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 15:33 Não consigo entender a formulação do problema. Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da velocidade deles é o mesmo? Essa velocidade é constante? O que significa um ponto sempre segue o outro? -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://blog.brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br Tem um pouco de física nesse problema também. -Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um ponto sempre segue o outro, determite o instante de tempo t em que esses pontos vão se chocar. Algém conseguiu resolver? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Pelo que entendi: Há três pontos dispostos, inicialmente, em formação de triângulo equilátero de lado D. Suponha agora que tais pontos P1, P2 e P3 têm velocidade de magnitude constante V e direção e sentido tais que P1 siga P2, P2 siga P3 e P3 siga P1 -- ou seja, P1 tem direção e sentido iguais à do vetor P2 - P1, P2 tem direção e sentido iguais à do vetor P3 - P2, etc. Calcule o tempo T até a colisão. []'s Cesar = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Ótimo, é a mesma interpretação que a minha. -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://blog.brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/4/10 Cesar Kawakami cesarkawak...@gmail.com Pelo que entendi: Há três pontos dispostos, inicialmente, em formação de triângulo equilátero de lado D. Suponha agora que tais pontos P1, P2 e P3 têm velocidade de magnitude constante V e direção e sentido tais que P1 siga P2, P2 siga P3 e P3 siga P1 -- ou seja, P1 tem direção e sentido iguais à do vetor P2 - P1, P2 tem direção e sentido iguais à do vetor P3 - P2, etc. Calcule o tempo T até a colisão. []'s Cesar = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor Bruno
Acho que entendi o que voce quis dizer. Vamos falar de ouro jeito. Digamos que
existam 3 moveis, A, B e C. Os tres moveis estao em MU, ou seja, suas
velocidades sao SEMPRE constantes, nao importando a distancia entre eles. Seus
deslocamantos NAO SAO RETILINEOS, como pode-se constatar no problema. Quando
digo que um SEGUE o outro quero dizer que o vetor velocidade em qualquer
instante de tempo t tem as seguintes propriedades:
o vetor velocidade de A sempre vai apontar para B, o de B sempre vai apontar
para C e o de C sempre vai apontar para A. Ou seja, quando um movel esta
seguindo o outro, esta indo em direcao ao outro movel. A segue B que segue C
que segue A.
Considere que os tres pontos estao num plano 2D para maior intendimento.
Consideremos o menor instante de tempo t=0,1s por exemplo. Digamos que
os tres pontos ate esse instante de tempo descrevam um movimento retilineo (o
que eh um absurdo porem faca de conta para maior entendimento, pois um instante
de tempo tao pequeno nao vai afetar em nada, ou quase nada, o resultado do
problema), Depois disso os moveis ainda formarao um triangulo equilatero, porem
com uma inclinacao de, digamos, 0,1 graus, e a distancia entre eles
tambem vai diminuir. A partir dai, como o corpo A vai em direcao ao B, a
direcao da trajetoria vai mudar, pois B nao vai estar no mesmo lugar,concluimos
que o movimento nao eh retilineo, forma uma curva, e como podemos observar,
terminara no centro do triangulo, quando os moveis colidirem, ou seja, suas
posicoes no plano 2D sejam iguais.
O que nos resta eh determinar as propriedades desta curva, para determinar a
distancia percorrida ate que os moveis se encontrem, para determinar a
velocidade. A distancia inicial entre eles eh d. Agora, esses moveis sao os
pontos do problema.
Espero ter ajudado.
Obrigado.
--- Em sex, 10/4/09, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:
De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Assunto: RE: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 19:03
#yiv1754041633 .hmmessage P
{
margin:0px;padding:0px;}
#yiv1754041633 {
font-size:10pt;font-family:Verdana;}
Desculpe se ficou meio confuso Bruno.
Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o ponto p2
que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam com a mesma
velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um dos 3 pontos eh
a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos de d. Encontre o
tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3 pontos se chocarem.
From: bfr...@gmail.com
Date: Fri, 10 Apr 2009 20:33:56 +0200
Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Não consigo entender a formulação do problema.
Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da velocidade
deles é o mesmo?
Essa velocidade é constante?
O que significa um ponto sempre segue o outro?
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16
http://brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com
GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
e^(pi*i)+1=0
2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br
Tem um pouco de física nesse problema também.
-Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem velocidade
constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um ponto sempre segue
o outro, determite o instante de tempo t em que esses pontos vão se chocar.
Algém conseguiu resolver?
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 -
Celebridades - Música - Esportes
Quer saber qual produto Windows Live combina melhor com o seu perfil? Clique
aqui e descubra!
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Acho que o cesar entendeu muito bem. Existe sim essa atracao entre eles,
porem o modulo de velocidade vai ser sempre o mesmo, nao importando a distancia
entre os pontos.
--- Em sex, 10/4/09, Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com escreveu:
De: Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com
Assunto: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 19:33
Hmmm, ainda não sei se entendi muito bem. Veja se a minha interpretação,
traduzida na formulação a seguir, corresponde com o que vc está imaginando.
Seja S_i(t) o vetor posição do ponto p_i, i = 1, 2, 3, no instante t.
Seja v_i(t) o vetor velocidade do ponto p_i no instante t.
Seja n(u) um vetor unitário que de mesmos direção e sentido que o vetor u.
O que eu entendo da sua formulação é:
v_i(t) = V * n(S_{i+1}(t) - S_{i}(t)), para todo t, e considere i=4 o mesmo
que i=1, para simplificar a notação,
onde V é uma constante escalar.
Isso para mim é o que vc quis dizer com o ponto 1 segue o ponto 2, o 2 segue o
3 e o 3 segue o 1. Está conforme o que vc pensou?
Além disso, em t=0, temos:
|S_i(0) - S_j(0)| = d, para i != j.
Isso é a condição inicial de posição.
Então, a sua pergunta é: determinar o menor instante t0 em função das
constantes do problema (V, d) tal que S_1(t0) = S_2(t0) = S_3(t0). É isso?
Bruno
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16
http://brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com
GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
e^(pi*i)+1=0
2009/4/10 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Desculpe se ficou meio confuso Bruno.
Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o ponto p2
que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam com a mesma
velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um dos 3 pontos eh
a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos de d. Encontre o
tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3 pontos se chocarem.
From: bfr...@gmail.com
Date: Fri, 10 Apr 2009 20:33:56 +0200
Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Não consigo entender a formulação do problema.
Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da velocidade
deles é o mesmo?
Essa velocidade é constante?
O que significa um ponto sempre segue o outro?
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16
http://brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com
GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
e^(pi*i)+1=0
2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br
Tem um pouco de física nesse problema também.
-Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem velocidade
constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um ponto sempre segue
o outro, determite o instante de tempo t em que esses pontos vão se chocar.
Algém conseguiu resolver?
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 -
Celebridades - Música - Esportes
Quer saber qual produto Windows Live combina melhor com o seu perfil? Clique
aqui e descubra!
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor Bruno
Olá pessoal,
por simetria, os moveis estarao sempre nos vertices de um triangulo
equilatero que vai girando ao mesmo tempo em que encolhe.
Esqueca a curva descrita, ou a rotacao do triangulo, e se coloque na
posicao de um dos moveis olhando para o proximo vertice.
O tempo para a colisao e' simplesmente
t=d/v
[]'s
Rogerio Ponce
Em 10/04/09, Joao Maldonadojoao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu:
Acho que entendi o que voce quis dizer. Vamos falar de ouro jeito. Digamos
que existam 3 moveis, A, B e C. Os tres moveis estao em MU, ou seja, suas
velocidades sao SEMPRE constantes, nao importando a distancia entre eles.
Seus deslocamantos NAO SAO RETILINEOS, como pode-se constatar no problema.
Quando digo que um SEGUE o outro quero dizer que o vetor velocidade em
qualquer instante de tempo t tem as seguintes propriedades:
o vetor velocidade de A sempre vai apontar para B, o de B sempre vai apontar
para C e o de C sempre vai apontar para A. Ou seja, quando um movel esta
seguindo o outro, esta indo em direcao ao outro movel. A segue B que segue C
que segue A.
Considere que os tres pontos estao num plano 2D para maior intendimento.
Consideremos o menor instante de tempo t=0,1s por exemplo. Digamos
que os tres pontos ate esse instante de tempo descrevam um movimento
retilineo (o que eh um absurdo porem faca de conta para maior entendimento,
pois um instante de tempo tao pequeno nao vai afetar em nada, ou quase nada,
o resultado do problema), Depois disso os moveis ainda formarao um triangulo
equilatero, porem com uma inclinacao de, digamos, 0,1 graus, e a
distancia entre eles tambem vai diminuir. A partir dai, como o corpo A vai
em direcao ao B, a direcao da trajetoria vai mudar, pois B nao vai estar no
mesmo lugar,concluimos que o movimento nao eh retilineo, forma uma curva, e
como podemos observar, terminara no centro do triangulo, quando os moveis
colidirem, ou seja, suas posicoes no plano 2D sejam iguais.
O que nos resta eh determinar as propriedades desta curva, para determinar a
distancia percorrida ate que os moveis se encontrem, para determinar a
velocidade. A distancia inicial entre eles eh d. Agora, esses moveis sao os
pontos do problema.
Espero ter ajudado.
Obrigado.
--- Em sex, 10/4/09, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:
De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Assunto: RE: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 19:03
#yiv1754041633 .hmmessage P
{
margin:0px;padding:0px;}
#yiv1754041633 {
font-size:10pt;font-family:Verdana;}
Desculpe se ficou meio confuso Bruno.
Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o ponto
p2 que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam com a
mesma velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um dos 3
pontos eh a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos
de d. Encontre o tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3
pontos se chocarem.
From: bfr...@gmail.com
Date: Fri, 10 Apr 2009 20:33:56 +0200
Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Não consigo entender a formulação do problema.
Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da
velocidade deles é o mesmo?
Essa velocidade é constante?
O que significa um ponto sempre segue o outro?
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16
http://brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com
GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
e^(pi*i)+1=0
2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br
Tem um pouco de física nesse problema também.
-Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem
velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um
ponto sempre segue o outro, determite o instante de tempo t em que esses
pontos vão se chocar.
Algém conseguiu resolver?
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 -
Celebridades - Música - Esportes
Quer saber qual produto Windows Live combina melhor com o seu perfil? Clique
aqui e descubra!
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Eu acho que não é isso não Se p1 segue p2, eu interpreto que a velovidade de p1 está sempre apontando pra posição de p2, ou seja, muda constantemente de direção... - Original Message - From: Bruno França dos Reis To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, April 10, 2009 5:10 PM Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante Ótimo, é a mesma interpretação que a minha. -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://blog.brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/4/10 Cesar Kawakami cesarkawak...@gmail.com Pelo que entendi: Há três pontos dispostos, inicialmente, em formação de triângulo equilátero de lado D. Suponha agora que tais pontos P1, P2 e P3 têm velocidade de magnitude constante V e direção e sentido tais que P1 siga P2, P2 siga P3 e P3 siga P1 -- ou seja, P1 tem direção e sentido iguais à do vetor P2 - P1, P2 tem direção e sentido iguais à do vetor P3 - P2, etc. Calcule o tempo T até a colisão. []'s Cesar = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
João Luís, é exatamente isso que escrevi matematicamente no meu último email :-) -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://blog.brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/4/10 João Luís joaolui...@uol.com.br Eu acho que não é isso não Se p1 segue p2, eu interpreto que a velovidade de p1 está sempre apontando pra posição de p2, ou seja, muda constantemente de direção... - Original Message - *From:* Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Friday, April 10, 2009 5:10 PM *Subject:* Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante Ótimo, é a mesma interpretação que a minha. -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://blog.brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/4/10 Cesar Kawakami cesarkawak...@gmail.com Pelo que entendi: Há três pontos dispostos, inicialmente, em formação de triângulo equilátero de lado D. Suponha agora que tais pontos P1, P2 e P3 têm velocidade de magnitude constante V e direção e sentido tais que P1 siga P2, P2 siga P3 e P3 siga P1 -- ou seja, P1 tem direção e sentido iguais à do vetor P2 - P1, P2 tem direção e sentido iguais à do vetor P3 - P2, etc. Calcule o tempo T até a colisão. []'s Cesar = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor Bruno
Esta certo, a velocidade de p1 sempre apontara para a p2, e assim por diante. A
velocidade sempre estara mudando de direcao, o que quis dizer eh que em
qualquer momento, esse vetor velocidade de p1 estara apontando para p2, o de p2
para p3 e o de p3 para p1. Como foi dito acho que o resultado nao eh t = d/v
nao, como a trajetoria eh interna ao triango e vai chegar ao ponto medio, temos
que os pontos descreveriam a menor trajetoria possivel com a atracao. Temos que
a trajetoria descrita vai ser maior que a distancia inicial de um dos pontos ao
centro do triangulo menor que a distancia inicial entre eles. Portanto t d/v.
--- Em sex, 10/4/09, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu:
De: Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com
Assunto: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor
Bruno
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 20:40
Olá pessoal,
por simetria, os moveis estarao sempre nos vertices de um triangulo
equilatero que vai girando ao mesmo tempo em que encolhe.
Esqueca a curva descrita, ou a rotacao do triangulo, e se coloque na
posicao de um dos moveis olhando para o proximo vertice.
O tempo para a colisao e' simplesmente
t=d/v
[]'s
Rogerio Ponce
Em 10/04/09, Joao Maldonadojoao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu:
Acho que entendi o que voce quis dizer. Vamos falar de ouro jeito. Digamos
que existam 3 moveis, A, B e C. Os tres moveis estao em MU, ou seja, suas
velocidades sao SEMPRE constantes, nao importando a distancia entre eles.
Seus deslocamantos NAO SAO RETILINEOS, como pode-se constatar no problema..
Quando digo que um SEGUE o outro quero dizer que o vetor velocidade em
qualquer instante de tempo t tem as seguintes propriedades:
o vetor velocidade de A sempre vai apontar para B, o de B sempre vai apontar
para C e o de C sempre vai apontar para A. Ou seja, quando um movel esta
seguindo o outro, esta indo em direcao ao outro movel. A segue B que segue C
que segue A.
Considere que os tres pontos estao num plano 2D para maior intendimento.
Consideremos o menor instante de tempo t=0,1s por exemplo. Digamos
que os tres pontos ate esse instante de tempo descrevam um movimento
retilineo (o que eh um absurdo porem faca de conta para maior entendimento,
pois um instante de tempo tao pequeno nao vai afetar em nada, ou quase nada,
o resultado do problema), Depois disso os moveis ainda formarao um triangulo
equilatero, porem com uma inclinacao de, digamos, 0,1 graus, e a
distancia entre eles tambem vai diminuir. A partir dai, como o corpo A vai
em direcao ao B, a direcao da trajetoria vai mudar, pois B nao vai estar no
mesmo lugar,concluimos que o movimento nao eh retilineo, forma uma curva, e
como podemos observar, terminara no centro do triangulo, quando os moveis
colidirem, ou seja, suas posicoes no plano 2D sejam iguais.
O que nos resta eh determinar as propriedades desta curva, para determinar a
distancia percorrida ate que os moveis se encontrem, para determinar a
velocidade. A distancia inicial entre eles eh d. Agora, esses moveis sao os
pontos do problema.
Espero ter ajudado.
Obrigado.
--- Em sex, 10/4/09, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:
De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Assunto: RE: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 19:03
#yiv1754041633 .hmmessage P
{
margin:0px;padding:0px;}
#yiv1754041633 {
font-size:10pt;font-family:Verdana;}
Desculpe se ficou meio confuso Bruno.
Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o ponto
p2 que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam com a
mesma velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um dos 3
pontos eh a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos
de d. Encontre o tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3
pontos se chocarem.
From: bfr...@gmail.com
Date: Fri, 10 Apr 2009 20:33:56 +0200
Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Não consigo entender a formulação do problema.
Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da
velocidade deles é o mesmo?
Essa velocidade é constante?
O que significa um ponto sempre segue o outro?
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16
http://brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com
GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
e^(pi*i)+1=0
2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br
Tem um pouco de física nesse problema também.
-Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem
velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um
ponto sempre segue o outro, determite o instante de tempo t em que esses
pontos vão se chocar.
Algém conseguiu resolver?
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 -
Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor Bruno
Oops, foi mal !
Esqueci que o proximo movel tambem vem para voce , com a velocidade
de v*cos(60).
Portanto, o tempo para a colisao e'
t = d / [ v + v * cos(60) ]
ou seja,
t = 2/3 * d/v
[]'s
Rogerio Ponce
2009/4/10 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com:
Olá pessoal,
por simetria, os moveis estarao sempre nos vertices de um triangulo
equilatero que vai girando ao mesmo tempo em que encolhe.
Esqueca a curva descrita, ou a rotacao do triangulo, e se coloque na
posicao de um dos moveis olhando para o proximo vertice.
O tempo para a colisao e' simplesmente
t=d/v
[]'s
Rogerio Ponce
Em 10/04/09, Joao Maldonadojoao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu:
Acho que entendi o que voce quis dizer. Vamos falar de ouro jeito. Digamos
que existam 3 moveis, A, B e C. Os tres moveis estao em MU, ou seja, suas
velocidades sao SEMPRE constantes, nao importando a distancia entre eles.
Seus deslocamantos NAO SAO RETILINEOS, como pode-se constatar no problema.
Quando digo que um SEGUE o outro quero dizer que o vetor velocidade em
qualquer instante de tempo t tem as seguintes propriedades:
o vetor velocidade de A sempre vai apontar para B, o de B sempre vai apontar
para C e o de C sempre vai apontar para A. Ou seja, quando um movel esta
seguindo o outro, esta indo em direcao ao outro movel. A segue B que segue C
que segue A.
Considere que os tres pontos estao num plano 2D para maior intendimento.
Consideremos o menor instante de tempo t=0,1s por exemplo. Digamos
que os tres pontos ate esse instante de tempo descrevam um movimento
retilineo (o que eh um absurdo porem faca de conta para maior entendimento,
pois um instante de tempo tao pequeno nao vai afetar em nada, ou quase nada,
o resultado do problema), Depois disso os moveis ainda formarao um triangulo
equilatero, porem com uma inclinacao de, digamos, 0,1 graus, e a
distancia entre eles tambem vai diminuir. A partir dai, como o corpo A vai
em direcao ao B, a direcao da trajetoria vai mudar, pois B nao vai estar no
mesmo lugar,concluimos que o movimento nao eh retilineo, forma uma curva, e
como podemos observar, terminara no centro do triangulo, quando os moveis
colidirem, ou seja, suas posicoes no plano 2D sejam iguais.
O que nos resta eh determinar as propriedades desta curva, para determinar a
distancia percorrida ate que os moveis se encontrem, para determinar a
velocidade. A distancia inicial entre eles eh d. Agora, esses moveis sao os
pontos do problema.
Espero ter ajudado.
Obrigado.
--- Em sex, 10/4/09, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:
De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Assunto: RE: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 19:03
#yiv1754041633 .hmmessage P
{
margin:0px;padding:0px;}
#yiv1754041633 {
font-size:10pt;font-family:Verdana;}
Desculpe se ficou meio confuso Bruno.
Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o ponto
p2 que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam com a
mesma velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um dos 3
pontos eh a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos
de d. Encontre o tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3
pontos se chocarem.
From: bfr...@gmail.com
Date: Fri, 10 Apr 2009 20:33:56 +0200
Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Não consigo entender a formulação do problema.
Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da
velocidade deles é o mesmo?
Essa velocidade é constante?
O que significa um ponto sempre segue o outro?
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16
http://brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com
GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
e^(pi*i)+1=0
2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br
Tem um pouco de física nesse problema também.
-Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem
velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um
ponto sempre segue o outro, determite o instante de tempo t em que esses
pontos vão se chocar.
Algém conseguiu resolver?
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 -
Celebridades - Música - Esportes
Quer saber qual produto Windows Live combina melhor com o seu perfil? Clique
aqui e descubra!
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Matrizes
Uma matriz C sofreu o processo de eliminação de Gauss, virando a matriz C*. C e C* tem os mesmos autovelores e autovetores? (Note que C* é triangular superior). Fernando Gama
Re: [obm-l] Matrizes
Fernando, vc está de brincadeira, não é mesmo? Antes de ontem (ou mesmo ontem, para quem está no horário brasileiro) EXATAMENTE essa questão foi bm discutida num tema lançado por você mesmo! Novamente: processo de eliminação de Gauss NÃO CONSERVA AUTOVALORES. Ponto. Pegue os mesmo exemplos e contra exemplo da discussão anterior, pois esta É a discussão anterior. Além disso, uma matriz triangular, assim como uma matriz diagonal, exibe seus autovalores na sua diagonal principal. Pra tentar te convencer que essa história de método de Gauss não serve pra nada na hora de diagonalizar matriz, entenda que o objetivo do método de Gauss é transformar uma matriz A em uma matriz diagonal com apenas 1's ou 0's na diagonal principal, tanto para matrizes quadradas como para não quadradas. Se o método de Gauss conservasse os autovalores, como vc tanto insiste, então toda matriz só poderia ter 0 e 1 como autovalores, o que é um grande absurdo. Ainda mais, matrizes não quadradas teriam autovalores (?!?!?) A única coisa para a qual vc pode utilizar o método de Gauss é para estudar a independência linear das linhas/colunas de uma matriz. Lembrando-se do que eu disse no email anterior, operações elementares não alteram propriedades de dependência linear. Se vc então descobrir que a matriz não é de posto completo, isto é, que o conjunto das linhas/colunas não é linearmente independente, então significa que o núcleo não é vazio, o que nos diz que 0 é autovalor, ou seja, o polinômio característico vai ter a cara p(x) = x*q(x), que vc pode fatorar o x para te ajudar no cálculo. Ficou claro? Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://blog.brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/4/11 Fernando Lima Gama Junior fgam...@gmail.com Uma matriz C sofreu o processo de eliminação de Gauss, virando a matriz C*. C e C* tem os mesmos autovelores e autovetores? (Note que C* é triangular superior). Fernando Gama
Re: [obm-l] Matrizes
Bruno, antes que você fique nervoso (de novo) assim como ontem (ou anteontem, para quem está no horário brasileiro), segue a resposta do meu professor do Doutorado. Ele é Ph.D pela Unicamp, de modo que acredito, não esteja falando besteira. * * *Oi, Fernando!* *Uma maneira de facilitar a determinação dos autovalores, é transformar a matriz original numa matriz triangular superior (ou inferior), daí os autovalores serão o elementos da diagonal principal.* *Este processo pode ser feito pelo método de eliminação de Gauss, bem mais simples que o processo de diagonalização, que necessita encontrar os autovetores.* *Uma observação, se a matriz possui autovalores complexos, a diagonalização não é possível, no máximo o que você consegue é a diagonalização por blocos, de matrizes 2x2. Prof. Geraldo L. Diniz Phones: +55(65)3615-8713 (office) +55(65)3615-8704 (fax) Skype: dinizgl * Portanto, o que você fala, vai de encontro ao que ele, professor fala, por isso a minha insistência no assunto. Ou você, ou ele, está errado. Ou eu não sei ler. Abraços, Fernando Gama 2009/4/10 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com Fernando, vc está de brincadeira, não é mesmo? Antes de ontem (ou mesmo ontem, para quem está no horário brasileiro) EXATAMENTE essa questão foi bm discutida num tema lançado por você mesmo! Novamente: processo de eliminação de Gauss NÃO CONSERVA AUTOVALORES. Ponto. Pegue os mesmo exemplos e contra exemplo da discussão anterior, pois esta É a discussão anterior. Além disso, uma matriz triangular, assim como uma matriz diagonal, exibe seus autovalores na sua diagonal principal. Pra tentar te convencer que essa história de método de Gauss não serve pra nada na hora de diagonalizar matriz, entenda que o objetivo do método de Gauss é transformar uma matriz A em uma matriz diagonal com apenas 1's ou 0's na diagonal principal, tanto para matrizes quadradas como para não quadradas. Se o método de Gauss conservasse os autovalores, como vc tanto insiste, então toda matriz só poderia ter 0 e 1 como autovalores, o que é um grande absurdo. Ainda mais, matrizes não quadradas teriam autovalores (?!?!?) A única coisa para a qual vc pode utilizar o método de Gauss é para estudar a independência linear das linhas/colunas de uma matriz. Lembrando-se do que eu disse no email anterior, operações elementares não alteram propriedades de dependência linear. Se vc então descobrir que a matriz não é de posto completo, isto é, que o conjunto das linhas/colunas não é linearmente independente, então significa que o núcleo não é vazio, o que nos diz que 0 é autovalor, ou seja, o polinômio característico vai ter a cara p(x) = x*q(x), que vc pode fatorar o x para te ajudar no cálculo. Ficou claro? Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://blog.brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/4/11 Fernando Lima Gama Junior fgam...@gmail.com Uma matriz C sofreu o processo de eliminação de Gauss, virando a matriz C*. C e C* tem os mesmos autovelores e autovetores? (Note que C* é triangular superior). Fernando Gama
RE: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor Bruno
Obrigado Rogerio, o resultado parece star certo, mas nao entendi o raciocinio,
como voce chegou a este resultado?
Date: Fri, 10 Apr 2009 22:19:09 -0300
Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor
Bruno
From: abrlw...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Oops, foi mal !
Esqueci que o proximo movel tambem vem para voce , com a velocidade
de v*cos(60).
Portanto, o tempo para a colisao e'
t = d / [ v + v * cos(60) ]
ou seja,
t = 2/3 * d/v
[]'s
Rogerio Ponce
2009/4/10 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com:
Olá pessoal,
por simetria, os moveis estarao sempre nos vertices de um triangulo
equilatero que vai girando ao mesmo tempo em que encolhe.
Esqueca a curva descrita, ou a rotacao do triangulo, e se coloque na
posicao de um dos moveis olhando para o proximo vertice.
O tempo para a colisao e' simplesmente
t=d/v
[]'s
Rogerio Ponce
Em 10/04/09, Joao Maldonadojoao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu:
Acho que entendi o que voce quis dizer. Vamos falar de ouro jeito. Digamos
que existam 3 moveis, A, B e C. Os tres moveis estao em MU, ou seja, suas
velocidades sao SEMPRE constantes, nao importando a distancia entre eles.
Seus deslocamantos NAO SAO RETILINEOS, como pode-se constatar no problema.
Quando digo que um SEGUE o outro quero dizer que o vetor velocidade em
qualquer instante de tempo t tem as seguintes propriedades:
o vetor velocidade de A sempre vai apontar para B, o de B sempre vai
apontar
para C e o de C sempre vai apontar para A. Ou seja, quando um movel esta
seguindo o outro, esta indo em direcao ao outro movel. A segue B que segue
C
que segue A.
Considere que os tres pontos estao num plano 2D para maior intendimento.
Consideremos o menor instante de tempo t=0,1s por exemplo. Digamos
que os tres pontos ate esse instante de tempo descrevam um movimento
retilineo (o que eh um absurdo porem faca de conta para maior entendimento,
pois um instante de tempo tao pequeno nao vai afetar em nada, ou quase
nada,
o resultado do problema), Depois disso os moveis ainda formarao um
triangulo
equilatero, porem com uma inclinacao de, digamos, 0,1 graus, e a
distancia entre eles tambem vai diminuir. A partir dai, como o corpo A vai
em direcao ao B, a direcao da trajetoria vai mudar, pois B nao vai estar no
mesmo lugar,concluimos que o movimento nao eh retilineo, forma uma curva, e
como podemos observar, terminara no centro do triangulo, quando os moveis
colidirem, ou seja, suas posicoes no plano 2D sejam iguais.
O que nos resta eh determinar as propriedades desta curva, para determinar
a
distancia percorrida ate que os moveis se encontrem, para determinar a
velocidade. A distancia inicial entre eles eh d. Agora, esses moveis sao os
pontos do problema.
Espero ter ajudado.
Obrigado.
--- Em sex, 10/4/09, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:
De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Assunto: RE: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 19:03
#yiv1754041633 .hmmessage P
{
margin:0px;padding:0px;}
#yiv1754041633 {
font-size:10pt;font-family:Verdana;}
Desculpe se ficou meio confuso Bruno.
Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o
ponto
p2 que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam com a
mesma velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um dos 3
pontos eh a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos
de d. Encontre o tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3
pontos se chocarem.
From: bfr...@gmail.com
Date: Fri, 10 Apr 2009 20:33:56 +0200
Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Não consigo entender a formulação do problema.
Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da
velocidade deles é o mesmo?
Essa velocidade é constante?
O que significa um ponto sempre segue o outro?
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16
http://brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com
GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
e^(pi*i)+1=0
2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br
Tem um pouco de física nesse problema também.
-Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem
velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um
ponto sempre segue o outro, determite o instante de tempo t em que esses
pontos vão se chocar.
Algém conseguiu resolver?
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 -
Celebridades - Música - Esportes
Quer saber qual produto Windows Live combina melhor com o seu perfil?
Clique
aqui e descubra!
Veja quais são os assuntos do momento
Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor Bruno
Obrigado Rogerio, o resultado parece star certo, mas nao entendi o raciocinio,
como voce chegou a este resultado?
--- Em sáb, 11/4/09, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu:
De: Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com
Assunto: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor
Bruno
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sábado, 11 de Abril de 2009, 1:19
Oops, foi mal !
Esqueci que o proximo movel tambem vem para voce , com a velocidade
de v*cos(60).
Portanto, o tempo para a colisao e'
t = d / [ v + v * cos(60) ]
ou seja,
t = 2/3 * d/v
[]'s
Rogerio Ponce
2009/4/10 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com:
Olá pessoal,
por simetria, os moveis estarao sempre nos vertices de um triangulo
equilatero que vai girando ao mesmo tempo em que encolhe.
Esqueca a curva descrita, ou a rotacao do triangulo, e se coloque na
posicao de um dos moveis olhando para o proximo vertice.
O tempo para a colisao e' simplesmente
t=d/v
[]'s
Rogerio Ponce
Em 10/04/09, Joao Maldonadojoao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu:
Acho que entendi o que voce quis dizer. Vamos falar de ouro jeito. Digamos
que existam 3 moveis, A, B e C. Os tres moveis estao em MU, ou seja, suas
velocidades sao SEMPRE constantes, nao importando a distancia entre eles..
Seus deslocamantos NAO SAO RETILINEOS, como pode-se constatar no problema.
Quando digo que um SEGUE o outro quero dizer que o vetor velocidade em
qualquer instante de tempo t tem as seguintes propriedades:
o vetor velocidade de A sempre vai apontar para B, o de B sempre vai apontar
para C e o de C sempre vai apontar para A. Ou seja, quando um movel esta
seguindo o outro, esta indo em direcao ao outro movel. A segue B que segue C
que segue A.
Considere que os tres pontos estao num plano 2D para maior intendimento.
Consideremos o menor instante de tempo t=0,1s por exemplo. Digamos
que os tres pontos ate esse instante de tempo descrevam um movimento
retilineo (o que eh um absurdo porem faca de conta para maior entendimento,
pois um instante de tempo tao pequeno nao vai afetar em nada, ou quase nada,
o resultado do problema), Depois disso os moveis ainda formarao um triangulo
equilatero, porem com uma inclinacao de, digamos, 0,1 graus, e a
distancia entre eles tambem vai diminuir. A partir dai, como o corpo A vai
em direcao ao B, a direcao da trajetoria vai mudar, pois B nao vai estar no
mesmo lugar,concluimos que o movimento nao eh retilineo, forma uma curva, e
como podemos observar, terminara no centro do triangulo, quando os moveis
colidirem, ou seja, suas posicoes no plano 2D sejam iguais.
O que nos resta eh determinar as propriedades desta curva, para determinar a
distancia percorrida ate que os moveis se encontrem, para determinar a
velocidade. A distancia inicial entre eles eh d. Agora, esses moveis sao os
pontos do problema.
Espero ter ajudado.
Obrigado.
--- Em sex, 10/4/09, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:
De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Assunto: RE: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 19:03
#yiv1754041633 .hmmessage P
{
margin:0px;padding:0px;}
#yiv1754041633 {
font-size:10pt;font-family:Verdana;}
Desculpe se ficou meio confuso Bruno.
Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o ponto
p2 que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam com a
mesma velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um dos 3
pontos eh a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos
de d. Encontre o tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3
pontos se chocarem.
From: bfr...@gmail.com
Date: Fri, 10 Apr 2009 20:33:56 +0200
Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Não consigo entender a formulação do problema.
Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da
velocidade deles é o mesmo?
Essa velocidade é constante?
O que significa um ponto sempre segue o outro?
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16
http://brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com
GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
e^(pi*i)+1=0
2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br
Tem um pouco de física nesse problema também.
-Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem
velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um
ponto sempre segue o outro, determite o instante de tempo t em que esses
pontos vão se chocar.
Algém conseguiu resolver?
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 -
Celebridades - Música - Esportes
Quer saber qual produto Windows Live combina melhor com o seu perfil? Clique
aqui e descubra!
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Problema OBM 3a fase
Prove que existem infinitos inteiros positivos n tal que: 5^(n-2) -1 --- É um inteiro. n Alguém conseguiu resolver? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor Bruno
Uma solução um pouco mais formal é considerar apenas a componente radial da velocidade (em relação ao centro do triângulo), que será v_r = v * cos(30). O raio será r = d / 2 / cos(30). Então o tempo até a colisão será r / v_r = 2 * d / 3 / v. []'s Cesar = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor Bruno
Oi Joao,
imagine que voce esteja sobre um dos vertices, seguindo o proximo vertice.
Decomponha a velocidade do proximo vertice em duas componentes
ortogonais - uma sobre o lado do triangulo ( v*cos60 , apontada para
voce ) , e a outra perpendicular ao lado ( v*sen60 ).
Assim, a cada instante, essa componente perpedicular nao altera a
distancia daquele vertice em relacao a voce, de modo que a velocidade
total com que voce se aproxima daquele vertice e' a soma da sua
velocidade absoluta v com a velocidade absoluta v*cos60 dele (isto
e', a componente dele na sua direcao).
[]'s
Rogerio Ponce
2009/4/10 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com:
Obrigado Rogerio, o resultado parece star certo, mas nao entendi o
raciocinio, como voce chegou a este resultado?
Date: Fri, 10 Apr 2009 22:19:09 -0300
Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao
melhor Bruno
From: abrlw...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Oops, foi mal !
Esqueci que o proximo movel tambem vem para voce , com a velocidade
de v*cos(60).
Portanto, o tempo para a colisao e'
t = d / [ v + v * cos(60) ]
ou seja,
t = 2/3 * d/v
[]'s
Rogerio Ponce
2009/4/10 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com:
Olá pessoal,
por simetria, os moveis estarao sempre nos vertices de um triangulo
equilatero que vai girando ao mesmo tempo em que encolhe.
Esqueca a curva descrita, ou a rotacao do triangulo, e se coloque na
posicao de um dos moveis olhando para o proximo vertice.
O tempo para a colisao e' simplesmente
t=d/v
[]'s
Rogerio Ponce
Em 10/04/09, Joao Maldonadojoao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu:
Acho que entendi o que voce quis dizer. Vamos falar de ouro jeito.
Digamos
que existam 3 moveis, A, B e C. Os tres moveis estao em MU, ou seja,
suas
velocidades sao SEMPRE constantes, nao importando a distancia entre
eles.
Seus deslocamantos NAO SAO RETILINEOS, como pode-se constatar no
problema.
Quando digo que um SEGUE o outro quero dizer que o vetor velocidade em
qualquer instante de tempo t tem as seguintes propriedades:
o vetor velocidade de A sempre vai apontar para B, o de B sempre vai
apontar
para C e o de C sempre vai apontar para A. Ou seja, quando um movel
esta
seguindo o outro, esta indo em direcao ao outro movel. A segue B que
segue C
que segue A.
Considere que os tres pontos estao num plano 2D para maior
intendimento.
Consideremos o menor instante de tempo t=0,1s por exemplo.
Digamos
que os tres pontos ate esse instante de tempo descrevam um movimento
retilineo (o que eh um absurdo porem faca de conta para maior
entendimento,
pois um instante de tempo tao pequeno nao vai afetar em nada, ou quase
nada,
o resultado do problema), Depois disso os moveis ainda formarao um
triangulo
equilatero, porem com uma inclinacao de, digamos, 0,1 graus, e
a
distancia entre eles tambem vai diminuir. A partir dai, como o corpo A
vai
em direcao ao B, a direcao da trajetoria vai mudar, pois B nao vai
estar no
mesmo lugar,concluimos que o movimento nao eh retilineo, forma uma
curva, e
como podemos observar, terminara no centro do triangulo, quando os
moveis
colidirem, ou seja, suas posicoes no plano 2D sejam iguais.
O que nos resta eh determinar as propriedades desta curva, para
determinar a
distancia percorrida ate que os moveis se encontrem, para determinar a
velocidade. A distancia inicial entre eles eh d. Agora, esses moveis
sao os
pontos do problema.
Espero ter ajudado.
Obrigado.
--- Em sex, 10/4/09, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
escreveu:
De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Assunto: RE: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 19:03
#yiv1754041633 .hmmessage P
{
margin:0px;padding:0px;}
#yiv1754041633 {
font-size:10pt;font-family:Verdana;}
Desculpe se ficou meio confuso Bruno.
Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o
ponto
p2 que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam
com a
mesma velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um
dos 3
pontos eh a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos
de d. Encontre o tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3
pontos se chocarem.
From: bfr...@gmail.com
Date: Fri, 10 Apr 2009 20:33:56 +0200
Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Não consigo entender a formulação do problema.
Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da
velocidade deles é o mesmo?
Essa velocidade é constante?
O que significa um ponto sempre segue o outro?
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16
http://brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com
GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
RE: [obm-l] Matrizes
Chi! O Bruno ficou zangado... Acho até que podia, mas é 6ª feira santa (se bem que eu não conheço nenhuma 6ª feira pagã), então esta deve ser mais santa do que as outras. Quando você, Bruno, inexoravelmente, chegar à minha idade, vai ver que é sempre melhor manter o bom humor e rir um pouco daqueles e para aqueles que involuntariamente nos irritam. Bem, deixa eu tentar esclarecer algumas coisas: O método de eliminação (ou de triangulação) de Gauss serve, basicamente, para resolver sistemas de equações lineares do tipo Kx = F [1], onde K é uma matriz nxn (quadrada), x é o vetor de incógnitas e F é o vetor independente. Repare que através do método de Gauss chega-se a uma matriz triangular, cuja diagonal principal é igual a 1 ( r(i, i) = 1). Daí: 1*x(n) = F’(n) -- x(n) = F’(n) e por retro-substituição se calcula x(n-1), x(n-2) ... x(1). Vantagens do método de Gauss: É o mais eficiente (seu algoritmo tem o menor números de passos ou linhas); Para matrizes positivo-definidas [2] é numericamente estável (isto é importantíssimo para as aplicações práticas); Caso o sistema seja indeterminado (é o caso da matriz K apresentar 2 ou mais linhas LD), vai aparecer um (ou mais) zero(s) na diagonal principal. Isto é muito útil quando estamos lidando com matrizes muito grandes, p.ex., 1000x1000 e não sabemos se o sistema é LI ou LD. Desvantagens: Não permite o cálculo dos auto-valores da matriz K [3]. Caso seja necessário conhecer os auto-valores e auto-vetores [4], então devemos empregar outros métodos, p.ex., o de Cholesky. A desvantagem do método de Cholesky, em relação ao de Gauss, é que o algoritmo correspondente requer o cálculo de n raízes quadradas a mais em relação ao método de Gauss. Observações: [1] De propósito, coloquei o exemplo da Lei de Hooke generalizada, onde K é a matriz de rigidez, x é vetor de deslocamentos (que se quer encontrar) e F é o vetor das forças atuantes. É assim que na Engenharia Civil é feito o cálculo (dimensionamento) das estruturas (p.ex., edifícios). [2] São matrizes nas quais a diagonal principal é numericamente preponderante: r(i, i)^2 r(i, j)*r(j, i) . Na maioria dos casos práticos, a matriz é simétrica – uma matriz de rigidez é SEMPRE simétrica (o que é facilmente demonstrável pela reciprocidade ação vs. deslocamento). [3] O que disse acima só é válido para estruturas que têm comportamento estático (as forças atuantes pouco variam com o tempo, p.ex., o peso próprio). No caso de estruturas dinâmicas (sujeitas a ações que variam com o tempo: vento, ondas, tráfego de veículos...), tudo se complica bastante e devemos resolver um sistema de equações diferenciais. [4] Pra encurtar a história, vai ser necessário conhecer os auto-valores e auto-vetores da matriz K. Aliás, os auto-valores serão os períodos naturais de vibração da estrutura cuja matriz de rigidez é K. Os auto-vetores serão... deixa pra lá... Sds., Albert Bouskela mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com mailto:bousk...@ymail.com bousk...@ymail.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Bruno França dos Reis Sent: Friday, April 10, 2009 11:11 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Matrizes Fernando, vc está de brincadeira, não é mesmo? Antes de ontem (ou mesmo ontem, para quem está no horário brasileiro) EXATAMENTE essa questão foi bm discutida num tema lançado por você mesmo! Novamente: processo de eliminação de Gauss NÃO CONSERVA AUTOVALORES. Ponto. Pegue os mesmo exemplos e contra exemplo da discussão anterior, pois esta É a discussão anterior. Além disso, uma matriz triangular, assim como uma matriz diagonal, exibe seus autovalores na sua diagonal principal. Pra tentar te convencer que essa história de método de Gauss não serve pra nada na hora de diagonalizar matriz, entenda que o objetivo do método de Gauss é transformar uma matriz A em uma matriz diagonal com apenas 1's ou 0's na diagonal principal, tanto para matrizes quadradas como para não quadradas. Se o método de Gauss conservasse os autovalores, como vc tanto insiste, então toda matriz só poderia ter 0 e 1 como autovalores, o que é um grande absurdo. Ainda mais, matrizes não quadradas teriam autovalores (?!?!?) A única coisa para a qual vc pode utilizar o método de Gauss é para estudar a independência linear das linhas/colunas de uma matriz. Lembrando-se do que eu disse no email anterior, operações elementares não alteram propriedades de dependência linear. Se vc então descobrir que a matriz não é de posto completo, isto é, que o conjunto das linhas/colunas não é linearmente independente, então significa que o núcleo não é vazio, o que nos diz que 0 é autovalor, ou seja, o polinômio característico vai ter a cara p(x) = x*q(x), que vc pode fatorar o x para te ajudar no cálculo. Ficou claro? Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43
Re: [obm-l] Matrizes
Resposta rapida, estou meio sem tempo : Hum, tem uma coisa que o processo de Gauss permite calcular facilmente, que é o modulo do determinante da matriz ! Porque se você disser pro computador nao multiplicar nenhuma linha (sem adicionar a uma outra, isso pode, sem problemas), como operaçoes que levam esta linha em outra conservam o determinante por multilinearidade e anti-simetria (uma matriz com duas linhas iguais é de det = 0, e três matrizes com uma linha de uma que é a soma da mesma linha das outras duas, e o resto igual, tem det = soma dos dois dets) no final do processo você tera o sinal do determinante. Se você prestar atençao nas matrizes de permutaçao que você usar (ou seja, calcular o determinante delas) você pode inclusive descobrir o sinal do determinante. Repare que nessa bagunça toda, você pode ter perdido os autovalores, que eles podem mudar bastante no processo. Mas isso nao importa, o determinante é conservado. E é por isso que é importante de estudar Algebra linear, porque muitas das demonstraçoes vêm junto com duas coisas : 1) Idéias interessantes de invariantes 2) Algoritmos E, se você gosta disso, pode se interessar também pela questao da estabilidade numérica do algoritmo, e é por isso que muitas vezes se faz uma normalizaçao para evitar numeros muito grandes ou muito pequenos. E nisso, você inclui mais uma coisa a prestar atençao na hora de calcular o determinante (tem que pensar nao soh nas matrizes de permutaçao, mas também nas matrizes de normalizaçao). Um grande abraço, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2009/4/11 Albert Bouskela bousk...@ymail.com: Chi! O Bruno ficou zangado... Acho até que podia, mas é 6ª feira santa (se bem que eu não conheço nenhuma 6ª feira pagã), então esta deve ser mais santa do que as outras. Quando você, Bruno, inexoravelmente, chegar à minha idade, vai ver que é sempre melhor manter o bom humor e rir um pouco daqueles e para aqueles que involuntariamente nos irritam. Bem, deixa eu tentar esclarecer algumas coisas: O método de eliminação (ou de triangulação) de Gauss serve, basicamente, para resolver sistemas de equações lineares do tipo Kx = F [1], onde K é uma matriz nxn (quadrada), x é o vetor de incógnitas e F é o vetor independente. Repare que através do método de Gauss chega-se a uma matriz triangular, cuja diagonal principal é igual a 1 ( r(i, i) = 1). Daí: 1*x(n) = F’(n) -- x(n) = F’(n) e por retro-substituição se calcula x(n-1), x(n-2) ... x(1). Vantagens do método de Gauss: É o mais eficiente (seu algoritmo tem o menor números de passos ou linhas); Para matrizes positivo-definidas [2] é numericamente estável (isto é importantíssimo para as aplicações práticas); Caso o sistema seja indeterminado (é o caso da matriz K apresentar 2 ou mais linhas LD), vai aparecer um (ou mais) zero(s) na diagonal principal. Isto é muito útil quando estamos lidando com matrizes muito grandes, p.ex., 1000x1000 e não sabemos se o sistema é LI ou LD. Desvantagens: Não permite o cálculo dos auto-valores da matriz K [3]. Caso seja necessário conhecer os auto-valores e auto-vetores [4], então devemos empregar outros métodos, p.ex., o de Cholesky. A desvantagem do método de Cholesky, em relação ao de Gauss, é que o algoritmo correspondente requer o cálculo de n raízes quadradas a mais em relação ao método de Gauss. Observações: [1] De propósito, coloquei o exemplo da Lei de Hooke generalizada, onde K é a matriz de rigidez, x é vetor de deslocamentos (que se quer encontrar) e F é o vetor das forças atuantes. É assim que na Engenharia Civil é feito o cálculo (dimensionamento) das estruturas (p.ex., edifícios). [2] São matrizes nas quais a diagonal principal é numericamente preponderante: r(i, i)^2 r(i, j)*r(j, i) . Na maioria dos casos práticos, a matriz é simétrica – uma matriz de rigidez é SEMPRE simétrica (o que é facilmente demonstrável pela reciprocidade ação vs. deslocamento). [3] O que disse acima só é válido para estruturas que têm comportamento estático (as forças atuantes pouco variam com o tempo, p.ex., o peso próprio). No caso de estruturas dinâmicas (sujeitas a ações que variam com o tempo: vento, ondas, tráfego de veículos...), tudo se complica bastante e devemos resolver um sistema de equações diferenciais. [4] Pra encurtar a história, vai ser necessário conhecer os auto-valores e auto-vetores da matriz K. Aliás, os auto-valores serão os períodos naturais de vibração da estrutura cuja matriz de rigidez é K. Os auto-vetores serão... deixa pra lá... Sds., Albert Bouskela bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Bruno França dos Reis Sent: Friday, April 10, 2009 11:11 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Matrizes Fernando, vc está de brincadeira, não é mesmo? Antes de ontem (ou mesmo ontem, para quem está no horário brasileiro) EXATAMENTE essa questão foi bm
[obm-l] Off-topic: para o Bruno zangadão
Off-topic: Acho que o Bruno ficou zangado porque usa esse número (666) pra lá de esquisito no seu e-mail. Veja lá, meu caro Bruno: vi no seu blog que você está trabalhando num projeto pra combater o plágio - ótimo! Mas, com esse número, quem (ou que coisa) você está mesmo plagiando? Não tire conclusões apressadas - sou materialista (ou quase isto). A propósito, vi que você está em Paris - visite (já ter visitado) La Defense, um show de arquitetura e engenharia modernas. Espero estar aí em junho-julho pra assistir Roland Garros e rever, com mais cuidado, o Orsais (é claro!). Já que você gosta dos bons restaurantes, vá ao Closerie de Lilas (é caro, mas é bom), era o restaurante preferido do Sartre... Fica em Montparnasse, perto do Cartier Latin. Sds., Albert Bouskela bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
