RE: [obm-l] combinatoria
PROBLEMA 2
O número 2 também não seria possível, pois teríamos um produto de
um único número. Mas acho que o enunciado não amarra bem isso.
Um amigo me alertou que no livro do Plínio (Resolvido) há um
problema parecido. Ontem olhei e achei o problema do livro mais simples
do que o nosso, por causa dos números dados: 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7.
Na resolução, o autor não usa fatoração em primos, ele trabalha com 3^a,
4^b, 5^c, 6^d, 7^e, encontrando 144-1-5=138. Mas acho que a estratégia
dele não é boa para o nosso problema. Quando vc usou fatoração em primos,
evitou multiplicidade de confecção de produtos, mas tem que pensar na
impossibilidade (como no caso 3^8).
Valeu mesmo, João, pela força.
Patty
From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] combinatoria
Date: Thu, 12 Apr 2012 18:56:11 -0300
Realmente faltou tirar o 3^8 .5^(0, 1 ou 2), o mesmo para o 2
188- 6 numero s
Valeu Patricia
From: pattyr...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] combinatoria
Date: Thu, 12 Apr 2012 20:27:16 +
João, se o fator 3 do número 6 entrar, o fator 2 também entrará. Isso não
tornaria impossível produzir, por exemplo, o 3^8, que foi computado na sua
resolução?
Patty
From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] combinatoria
Date: Wed, 11 Apr 2012 14:39:16 -0300
2) vamos primeiro excluir o 6, 8, 9, 9, temos que o maior numero formado eh 2^2
3^3 5^2, colocando os 9 adicionamos as possibilidades com 3 elevado a 4, 5, 6,
7, colocando o 8, 2 elevado a 3, 4, 5, falta adicionar o 6
Com o 6 temos 3 elevado a 8 e 2 a 6
logo temos 2^p 3^q 5^r, p de 0 a 6, q de 0 a 8 e r de 0 a 2, com excessao do 0
0 0, ou seja 7.9.3-1 = 188 numeros
Acho que eh isso, to no meio da aula depois confirmo
[] s
Joao
From: pattyr...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] combinatoria
Date: Wed, 11 Apr 2012 01:16:18 +
Por favor, se alguém puder ajudar nos problemas:
1) Escolhendo dois elementos quaisquer do conjunto {1, 2, 3, ..., 20} e
multiplicando-os, temos como produto o número p. Por exemplo, se p = 4, então
os elementos escolhidos foram obrigatoriamente 1 e 4, mas se p = 36, os dois
elementos escolhidos poderiam ter sido 2 e 18 ou 3 e 12 ou 4 e 9. Quantos são
os valores possíveis para p?
2) Quantos números podem ser formados pela multiplicação de alguns ou todos
os números 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 6, 8, 9, 9?
[obm-l] Re: [obm-l] Não consigo provar
Desculpem o branco; eh o que acontece quando a gente fica muuito tempo sem usar ou sem ler uma determinada notação... Alias, eh mais comum e conveniente que se use E=exp(i2π/n), pela expressao de Euler (que parecer ser sugerido pela letra E). Aih fica imediato que cada soma parceial representa um vertice do poligono no plano dos complexos, com o primeiro vertice na origem e o último também fechando a poligonal. Digo que a notação de Euler eh mais conveniente jah que, assim, E representa um operador que produz a rotação de um angulo 2π/n em relação ao lado anterior. [ ]'s --- Em sáb, 14/4/12, Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com escreveu: De: Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com Assunto: [obm-l] Não consigo provar Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 14 de Abril de 2012, 19:18 Não estou conseguindo provar o seguinte: Para todo n-ágono equiângulo de lados a1, a2, ..., aN. Vale a relação: a1 + (a2)E + (a2)E²+... + (an) E^(n-1) = 0. Onde E=cis(2π/n)
[obm-l] Re: [obm-l] Não consigo provar
Soh para ficar mais explicito, o primeiro lado, portanto o segundo vehrtice estao no eixo dos reais. --- Em sáb, 14/4/12, Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com escreveu: De: Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com Assunto: [obm-l] Não consigo provar Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 14 de Abril de 2012, 19:18 Não estou conseguindo provar o seguinte: Para todo n-ágono equiângulo de lados a1, a2, ..., aN. Vale a relação: a1 + (a2)E + (a2)E²+... + (an) E^(n-1) = 0. Onde E=cis(2π/n)
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Não consigo provar
Então no caso geral eu sempre vou ter que um poligono de lados a1,...an. e angulos A1,...,AN vale a relação: (a1)exp(iA1) +(a2)exp(iA2)+...+(AN)exp(iAN)=0 certo? Em 15 de abril de 2012 12:18, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.brescreveu: Soh para ficar mais explicito, o primeiro lado, portanto o segundo vehrtice estao no eixo dos reais. --- Em *sáb, 14/4/12, Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com * escreveu: De: Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com Assunto: [obm-l] Não consigo provar Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 14 de Abril de 2012, 19:18 Não estou conseguindo provar o seguinte: Para todo n-ágono equiângulo de lados a1, a2, ..., aN. Vale a relação: a1 + (a2)E + (a2)E²+... + (an) E^(n-1) = 0. Onde E=cis(2π/n)
[obm-l] aritmética
Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão durante uma aula semana passada e tentei, tentei e nada! Será que alguém pode dar um ajuda aí? Em uma base R1 uma fração F1 se escreve como 0,373737... enquanto que uma fração F2 é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a fração F1 é escrita como 0,252525... e a fração F2 como 0,525252...A soma R1 + R2 no sistema de numeração decimal é: a) 24 b) 22 c) 21 d) 20 e) 19
Re: [obm-l] Polos Olimpicos de Treinamento
Espetacular essa iniciativa. Todos os envolvidos estão de parabéns! De: samuel barbosa samuelb...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 25 de Março de 2012 15:39 Assunto: [obm-l] Polos Olimpicos de Treinamento Oi pessoal, Um esforço coletivo da OBMEP, IMPA e OBM está criando um programa chamado polos olímpicos de treinamento que disponibilizará aulas em vídeo e materiais teóricos em texto com a intenção de popularizar o acesso à treinamento de qualidade no Brasil. Vale a pena conferir: http://www.pot.impa.br/ Abraços Samuel
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS
Para deixar de receber o email, vc tem que responder corretamente a 15 questões em 30 dias corridos. Acho que esse é o regulamento atual. rsrsrsrsrs - Original Message - From: Gabriel Franco To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 24, 2012 1:57 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS como faço para não receber mais esses emails ? -- From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS Date: Sat, 24 Mar 2012 13:45:20 -0300 Eu elaborei uma solução que diria FEIA, na verdade uma bonita seria uma fatoração que em aparecesse facilmente o 97 Enfim, fatorando o 111 Chamando y de 333^555 + 555^333 y = 111^333(3^333 333^222 + 5^333) = 111^333 ((3^5 111^2)^111 + (5^3)^111) Mas (3^5 111^2)^111 = (243*14*14)^111 = 1 (mod 97) 5^3 = 28 (5^3)^111 = (28^3)^37 = -1 mod 97 Logo y é divisível por 97 []'s João -- Date: Sat, 24 Mar 2012 07:45:16 -0300 Subject: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS From: vanderma...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal, vejam a seguinte questão: Prove que 333^555 + 555^333 é múltiplo de 97. Tentei de tudo, mas não consegui. Um abraço, Vanderlei
[obm-l] Re: [obm-l] aritmética
Passando pra base decimal temos: (I) f1=3*r1^(-1)+7*r1^(-2)+3*r1^(-3)+7*r1^(-4)+... (II) f2=7*r1^(-1)+3*r1^(-2)+7*r1^(-3)+3*r1^(-4)+... (III) f1=2*r2^(-1)+5*r2^(-2)+2*r2^(-3)+5*r2^(-4)+... (IV) f2=5*r2^(-1)+2*r2^(-2)+5*r2^(-3)+2*r2^(-4)+... Somando as equacoes (I) e (II) : (f2+f1)/10= r1^-1 +r1^-2 +r1^-3 +r1^-4+... Somando (III) e (IV): (f2+f1)/7=r2^-1 +r2^-2 +r2^-3 +r2^-4+... Assim, como o lado direito das duas equacoes eh uma PG infinita, temos: (f2+f1)/10=r1^(-1)/(1 - r1^(-1))=1/(r1 - 1) (f2+f1)/7=r2^(-1)/(1 - r2^(-1))=1/(r2 - 1) Igualando: 10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 2) 10*r2 - 20 =7*r1 - 7 10*r2 - 7*r1 = 13 Como r2 e r1 sao inteiros, resolvendo a equacao diofantina : r2=7*n + 2 r1=10*n + 1 Tem a restricao de a base R1 ser maior que 7 ( pois aparece o digito 7) e a base R2 ser maior q 5, logo n=1. Pelas opcoes do enunciado fazendo n=1, r2=9 e r1=11 , logo : R1+R2=20 Acho q eh isso... Abracos, Pedro. Em 15 de abril de 2012 18:39, Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.brescreveu: Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão durante uma aula semana passada e tentei, tentei e nada! Será que alguém pode dar um ajuda aí? Em uma base R1 uma fração F1 se escreve como 0,373737... enquanto que uma fração F2 é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a fração F1 é escrita como 0,252525... e a fração F2 como 0,525252...A soma R1 + R2 no sistema de numeração decimal é: a) 24 b) 22 c) 21 d) 20e) 19
Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
Abordei o problema com o mesmo método que você Pedro, mas encontrei uma divergência quando chegamos nesta expressão: 10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 1) == 10*r2 - 10 =7*r1 - 7 == 10*r2 - 7*r1 = 3 O que leva o resultado para r1 = 11 e r2 = 8, logo r1 + r2 = 19 (alternativa E) [ ]'s *J. R. Smolka* P.S.: No primeiro passo, quando você usou a expressão passando pra base decimal, o correto seria dizer que você está expandindo f1 e f2 nos seus polinômios equivalentes nas bases r1 e r2. /Em 15/04/2012 19:26, Pedro Nascimento escreveu:/ Passando pra base decimal temos: (I) f1=3*r1^(-1)+7*r1^(-2)+3*r1^(-3)+7*r1^(-4)+... (II) f2=7*r1^(-1)+3*r1^(-2)+7*r1^(-3)+3*r1^(-4)+... (III) f1=2*r2^(-1)+5*r2^(-2)+2*r2^(-3)+5*r2^(-4)+... (IV) f2=5*r2^(-1)+2*r2^(-2)+5*r2^(-3)+2*r2^(-4)+... Somando as equacoes (I) e (II) : (f2+f1)/10= r1^-1 +r1^-2 +r1^-3 +r1^-4+... Somando (III) e (IV): (f2+f1)/7=r2^-1 +r2^-2 +r2^-3 +r2^-4+... Assim, como o lado direito das duas equacoes eh uma PG infinita, temos: (f2+f1)/10=r1^(-1)/(1 - r1^(-1))=1/(r1 - 1) (f2+f1)/7=r2^(-1)/(1 - r2^(-1))=1/(r2 - 1) Igualando: 10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 2) 10*r2 - 20 =7*r1 - 7 10*r2 - 7*r1 = 13 Como r2 e r1 sao inteiros, resolvendo a equacao diofantina : r2=7*n + 2 r1=10*n + 1 Tem a restricao de a base R1 ser maior que 7 ( pois aparece o digito 7) e a base R2 ser maior q 5, logo n=1. Pelas opcoes do enunciado fazendo n=1, r2=9 e r1=11 , logo : R1+R2=20 Acho q eh isso... Abracos, Pedro. Em 15 de abril de 2012 18:39, Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br mailto:jeffma...@yahoo.com.br escreveu: Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão durante uma aula semana passada e tentei, tentei e nada! Será que alguém pode dar um ajuda aí? Em uma base R1 uma fração F1se escreve como 0,373737...enquanto que uma fração F2é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a fração F1é escrita como 0,252525... e a fração F2como 0,525252...A soma R1 + R2no sistema de numeração decimal é: a) 24b) 22c) 21d) 20e) 19
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
Acho que houve algum engano pois encontrei 10*r2 - 7*r1 = 3 -- r2 =(7*r1 + 3)/10 -- r1=11 , r2=8 -- r1+r2=19. [ ]'s --- Em dom, 15/4/12, Pedro Nascimento pedromn...@gmail.com escreveu: De: Pedro Nascimento pedromn...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 15 de Abril de 2012, 19:26 Passando pra base decimal temos: (I) f1=3*r1^(-1)+7*r1^(-2)+3*r1^(-3)+7*r1^(-4)+... (II) f2=7*r1^(-1)+3*r1^(-2)+7*r1^(-3)+3*r1^(-4)+... (III) f1=2*r2^(-1)+5*r2^(-2)+2*r2^(-3)+5*r2^(-4)+... (IV) f2=5*r2^(-1)+2*r2^(-2)+5*r2^(-3)+2*r2^(-4)+... Somando as equacoes (I) e (II) : (f2+f1)/10= r1^-1 +r1^-2 +r1^-3 +r1^-4+... Somando (III) e (IV): (f2+f1)/7=r2^-1 +r2^-2 +r2^-3 +r2^-4+... Assim, como o lado direito das duas equacoes eh uma PG infinita, temos: (f2+f1)/10=r1^(-1)/(1 - r1^(-1))=1/(r1 - 1) (f2+f1)/7=r2^(-1)/(1 - r2^(-1))=1/(r2 - 1) Igualando: 10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 2)10*r2 - 20 =7*r1 - 7 10*r2 - 7*r1 = 13 Como r2 e r1 sao inteiros, resolvendo a equacao diofantina : r2=7*n + 2r1=10*n + 1 Tem a restricao de a base R1 ser maior que 7 ( pois aparece o digito 7) e a base R2 ser maior q 5, logo n=1. Pelas opcoes do enunciado fazendo n=1, r2=9 e r1=11 , logo : R1+R2=20 Acho q eh isso...Abracos, Pedro. Em 15 de abril de 2012 18:39, Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br escreveu: Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão durante uma aula semana passada e tentei, tentei e nada! Será que alguém pode dar um ajuda aí? Em uma base R1 uma fração F1 se escreve como 0,373737... enquanto que uma fração F2 é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a fração F1 é escrita como 0,252525... e a fração F2 como 0,525252...A soma R1 + R2 no sistema de numeração decimal é: a) 24 b) 22 c) 21 d) 20 e) 19
Re: [obm-l] aritmética
Oi, Jefferson, Eu faria assim... 1) Explicação preliminar: Se A = 0,4545... (1) é uma dízima na base 10, usualmente sugiro aos alunos para ajeitar as coisas, multiplicando, neste caso, X por 100... 100.A = 45,4545... (2) Subtraindo (2) - (1) obtemos 99X = 45 = 4.10+5, Em outra base b o que fozemos éequivalente a: (b^2-1).X = 4b+5 2) Solução X = 0,3737... Y = 0,7373... Na primeira base r1: (r1^2-1).X = 3r1+7 (r1^2-1).Y = 7r1+3 Somando, (r1^2-1)(X+Y) = 10(r1+1), ou seja, (r1-1)(X+Y)=10(A) Dai já sabemos que r1-1 = 1, 2, 5 ou 10. Mas r1 7, logo r1 = 11 e X + Y = 1 (nem precisamos dos dados da outra base) Usando os dados na outra base r2 obteríamos (r2-1)(X+Y) = 7(B) o que nos leva a r2 -1 =1 ou 7, mas r2 6 logo r2 = 8 e X+Y =1 Fazendo as continhas podemos obter X e Y que, valem X = 1/3 e Y = 2/3 Abraços Nehab Em 15/04/2012 18:39, Jefferson Franca escreveu: Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão durante uma aula semana passada e tentei, tentei e nada! Será que alguém pode dar um ajuda aí? Em uma base R1 uma fração F1se escreve como 0,373737...enquanto que uma fração F2é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a fração F1é escrita como 0,252525... e a fração F2como 0,525252...A soma R1 + R2no sistema de numeração decimal é: a) 24b) 22c) 21d) 20e) 19
Re: [obm-l] aritmética
Jefferson, apenas uma obs complementar: Eu pensei que o problema desejava X+Y e não r1+r2. Logo a informação da segunda base é, obviamente, essencial, e não desnecessária como eu sugeri. Abraços, Nehab Em 15/04/2012 23:17, Carlos Nehab escreveu: Oi, Jefferson, Eu faria assim... 1) Explicação preliminar: Se A = 0,4545... (1) é uma dízima na base 10, usualmente sugiro aos alunos para ajeitar as coisas, multiplicando, neste caso, X por 100... 100.A = 45,4545... (2) Subtraindo (2) - (1) obtemos 99X = 45 = 4.10+5, Em outra base b o que fozemos éequivalente a: (b^2-1).X = 4b+5 2) Solução X = 0,3737... Y = 0,7373... Na primeira base r1: (r1^2-1).X = 3r1+7 (r1^2-1).Y = 7r1+3 Somando, (r1^2-1)(X+Y) = 10(r1+1), ou seja, (r1-1)(X+Y)=10(A) Dai já sabemos que r1-1 = 1, 2, 5 ou 10. Mas r1 7, logo r1 = 11 e X + Y = 1 (nem precisamos dos dados da outra base) Usando os dados na outra base r2 obteríamos (r2-1)(X+Y) = 7(B) o que nos leva a r2 -1 =1 ou 7, mas r2 6 logo r2 = 8 e X+Y =1 Fazendo as continhas podemos obter X e Y que, valem X = 1/3 e Y = 2/3 Abraços Nehab Em 15/04/2012 18:39, Jefferson Franca escreveu: Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão durante uma aula semana passada e tentei, tentei e nada! Será que alguém pode dar um ajuda aí? Em uma base R1 uma fração F1se escreve como 0,373737...enquanto que uma fração F2é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a fração F1é escrita como 0,252525... e a fração F2como 0,525252...A soma R1 + R2no sistema de numeração decimal é: a) 24b) 22c) 21d) 20e) 19
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
Eh , acabei escrevendo certo em cima, na hora de copiar pra baixo saiu 7/(r2 -2) ao inves de 7/(r2 -1). Em 15 de abril de 2012 22:45, J. R. Smolka smo...@terra.com.br escreveu: Abordei o problema com o mesmo método que você Pedro, mas encontrei uma divergência quando chegamos nesta expressão: 10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 1) == 10*r2 - 10 =7*r1 - 7 == 10*r2 - 7*r1 = 3 O que leva o resultado para r1 = 11 e r2 = 8, logo r1 + r2 = 19 (alternativa E) [ ]'s *J. R. Smolka* P.S.: No primeiro passo, quando você usou a expressão passando pra base decimal, o correto seria dizer que você está expandindo f1 e f2 nos seus polinômios equivalentes nas bases r1 e r2. *Em 15/04/2012 19:26, Pedro Nascimento escreveu:* Passando pra base decimal temos: (I) f1=3*r1^(-1)+7*r1^(-2)+3*r1^(-3)+7*r1^(-4)+... (II) f2=7*r1^(-1)+3*r1^(-2)+7*r1^(-3)+3*r1^(-4)+... (III) f1=2*r2^(-1)+5*r2^(-2)+2*r2^(-3)+5*r2^(-4)+... (IV) f2=5*r2^(-1)+2*r2^(-2)+5*r2^(-3)+2*r2^(-4)+... Somando as equacoes (I) e (II) : (f2+f1)/10= r1^-1 +r1^-2 +r1^-3 +r1^-4+... Somando (III) e (IV): (f2+f1)/7=r2^-1 +r2^-2 +r2^-3 +r2^-4+... Assim, como o lado direito das duas equacoes eh uma PG infinita, temos: (f2+f1)/10=r1^(-1)/(1 - r1^(-1))=1/(r1 - 1) (f2+f1)/7=r2^(-1)/(1 - r2^(-1))=1/(r2 - 1) Igualando: 10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 2) 10*r2 - 20 =7*r1 - 7 10*r2 - 7*r1 = 13 Como r2 e r1 sao inteiros, resolvendo a equacao diofantina : r2=7*n + 2 r1=10*n + 1 Tem a restricao de a base R1 ser maior que 7 ( pois aparece o digito 7) e a base R2 ser maior q 5, logo n=1. Pelas opcoes do enunciado fazendo n=1, r2=9 e r1=11 , logo : R1+R2=20 Acho q eh isso... Abracos, Pedro. Em 15 de abril de 2012 18:39, Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.brescreveu: Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão durante uma aula semana passada e tentei, tentei e nada! Será que alguém pode dar um ajuda aí? Em uma base R1 uma fração F1 se escreve como 0,373737... enquanto que uma fração F2 é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a fração F1 é escrita como 0,252525... e a fração F2 como 0,525252...A soma R1 + R2 no sistema de numeração decimal é: a) 24 b) 22 c) 21 d) 20e) 19
