RE: [obm-l] funcao gama
Sim, para calcular gamma de x basta resolver essa integral: Integral[0 , infinito] t^(x-1) e^(-t) dt From: Adroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] funcao gama Date: Sat, 15 Oct 2005 21:46:52 -0300 Já que a função gama para n pertencente aos naturais (n=1), calcula o valor do fatorial de n-1. Gama(n)=(n-1)! Será que posso estender este conceito para qualquer número e dizer que, por exemplo, Gama(pi)=(pi - 1)!, onde pi=3.14159 Abracos Aldo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Demonstração
Alguem conhece a demonstração de que se x é racional entao tan[x] é irracional??? _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Problema de Teo. dos números
Acho que ele quer que ache todos os numeros que sejam quadrados perfeitos em qualquer base. Tipo, 49 eh quadrado perfeito, mas passando 49 para a base 6 ele eh 121 que tb eh quadrado perfeito, mas passando para a base 3, ele eh 1211, que não eh quadrado perfeito, logo 49 nao tem essa propiedade... From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Problema de Teo. dos números Date: Wed, 24 Nov 2004 18:50:12 -0300 (ART) Bem, eu nao entendi. 49 e quadrado perfeitro, e isso nao tem nada a ver com a base de numeraçao...Senao o computador seria inutil, ja que so sabe trabalhar em binario :-). Bernardo [EMAIL PROTECTED] wrote:Olá amigos, Gostaria de propor um problema à lista: Encontre todos os números que são sempre quadrado perfeitos, não importando a base de numeração em que são escritos (considerando a definição de quadrado perfeito apenas na base 10). Um exemplo para que entendam o que o problema quer dizer (não sei se consegui ser claro) Seja T um número, passando para a base X ele é escrito como 49, por exemplo. Esse número satisfaz as condições pedidas pelo problema pois 49 = 7² (na base 10) Tomara que eu tenha sido claro. Abraços = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] eq. de terceiro grau
Como isso eh muito chato de digitar aqui olhe esse site http://www.teorema.mat.br/phpBB2/viewtopic.php?t=54 ae tem a soluçao da equaçao de terceiro grau generica. From: eritotutor [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] eq. de terceiro grau Date: Fri, 22 Oct 2004 16:32:56 -0300 Num problema do curso de farmacia apareceu a seguinte equação: an^3 + nb +1 = 0 , onde a,b são maiores de zero. []s __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] eq. de terceiro grau
Depois de achar a primeira raiz por Cardano use Briot-Ruffini que vai cair num polinomio de segundo grau ae eh facil. From: Eduardo Henrique Leitner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] eq. de terceiro grau Date: Fri, 22 Oct 2004 19:19:31 -0200 a unica maneira que eu conheço é dividindo todos os termos por a e aplicando a fórmula de Cardano... isso me faz lembrar que tenho uma duvida a respeito da fórmula de cardano utilizando ela, como obtenho as tres raizes? tipo, utilizo raízes analogas e cada raiz cubica? raizes análogas: utilizando a fórmula de Moivre pra calcular as raizes cubicas eu coloco k=0 na primeira e k=0 na segunda, obtendo uma das raizes; depois coloco k=1 e ambas e acho a segunda raiz e depois k=2 em ambas e acho a 3a raiz porque essa foi a unica maneira que consegui pensar que me retornaria exatamente 3 raizes... agradeço respostas On Fri, Oct 22, 2004 at 04:32:56PM -0300, eritotutor wrote: Num problema do curso de farmacia apareceu a seguinte equação: an^3 + nb +1 = 0 , onde a,b são maiores de zero. []s __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Qual é o menor primo que divide a soma...
Note que 99^101 é impar e 101^98 tambem é impar, mas a soma de dois impares eh par, logo 2 divide a soma. Edward From: Fabio Niski [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Qual é o menor primo que divide a soma... Date: Wed, 20 Oct 2004 20:09:59 -0200 Pessoal, acho que essa questao caiu no IME: Qual o menor numero natural primo que divide a soma 99^101 + 101^98? Alguem tem a solucao? Por gentileza poderia postar? Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Geometria Plana
Demonstre que num triangulo d^2 = R*(R - 2*r), onde R é o circunraio, r é o inraio, e d a distancia entre o centro desses dois circulos. Edward _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Equação logarítmica
Vamos tentar essa ideia: log[2](x) + log[3](x+1)=5 - log[3](x+1)=log[2](32/x), fazendo mudança de base temos: log(2)*log(x+1)=log(3)*log(32/x) Faça f(x) = log(2)*log(x+1) e g(x)=log(3)*log(32/x)= 5*log(3) - log(3)*log(x) Note que f(x) é estritamente crescente, e g(x) é estritamente decrescente, logo se existe uma soluçao de f(x)=g(x) ela é unica. From: Osvaldo Mello Sponquiado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Equação logarítmica Date: Tue, 19 Oct 2004 22:18:08 -0300 Olá pessoal. Alguém pode me dar uma força para encontrar analiticamente e demonstrar que a unicidade do valor de x tal que log[2](x) + log[3](x+1)=5 Já visualisei de imediato que é x=8, mas não estou conseguindo encontrar analiticamente. Daí tentei algebricamente,log[2](x) + log[3](x+1)=log[2](2^5)=log[3](x+1)=log[2](2^5/x)=log[3](x+1)/log[2](2^5/x)=1 daí x+1=3^k e (2^5/x)=2^k (k0) Daí temos que resolver x=3^k-1=2^(5-k)= 6^k-2^k=32= 6^k=2^5+2^k k vale obviamente 2, mas como resolver esta equação exponencial ? Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Demonstar Desigualdade
Vamos direto a desigualdade: Demonstre que se 1/p + 1/q =1 temos (a^p)/p + (b^q)/q = a*b Edward _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Problemas com números complexos
1)Mostre q todas as raízes da equação (z+1)^5 + z^5 = 0 (z+1)^5 + z^5 = 0 - (z+1)^5 = -z^5 - ((z+1)^5)/z^5 = -1 - (z+1)/z= (-1)^1/5 Como -1 = cis(pi), temos (-1)^1/5= cis((pi + 2*k*pi)/5), com k=0,1,2,3,4 Assim z(1 - cis((pi + 2*k*pi)/5))=-1 - z= 1/ (cis((pi + 2*k*pi)/5) - 1) Lembrando que cis(x)-1= 2*i*sen(x/2)*cis(x/2) temos: z=1/ 2*i*sen(pi + 2*k*pi)/10)*cis(pi + 2*k*pi)/10) = (cos((pi + 2*k*pi)/10) - i*sen((pi + 2*k*pi)/10)))/2*i*sen(pi + 2*k*pi)/10)= -(1 + i*cot((pi + 2*k*p)/10))/2 Assim temos que a parte real de z é igual a -1/2, e as 5 soluçoes do imaginario de z pertence a essa reta. From: Felipe Torres [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Problemas com números complexos Date: Sat, 16 Oct 2004 12:33:18 -0700 (PDT) Oi pessoal, parece q to precisando de um reforço em números complexos.. se alguém souber como se resolve estes problemas a seguir, ou souber indicar uma bibliografia online, agradeço desde já. 1)Mostre q todas as raízes da equação (z+1)^5 + z^5 = 0 pertencem a uma mesma reta paralela ao eixo imaginário. [nesse aqui eu cheguei a fazer z= -1/2 +bi. depois eu fiz (1/2 + bi)^5 = (1/2 - bi)^5 com isso eu já poderia dizer q obrigatoriamente todas as soluções estarão na abcissa -1/2?] 2)Dado z= 1/ sqrt( -7 + 24i), calcule as partes real e imaginária de z. ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Dois problemas
Estou com dificuldades nos seguintes problemas, o primeiro até consegui
fazer, mas foi de um jeito nada esperto.
1) Existe um inteiro positivo tal que seus fatores primos pertencem ao
conjunto {2,3,5,7} e
que termina em 11? Se existir, ache o menor deles. Se não existir, mostre
porque.
2) Em cada vértice de um quadrado há algumas fichas. Um movimento é escolher
um vértice, tirar algumas fichas dele, escolher um vizinho e pôr o dobro de
fichas retiradas no vizinho. Se no início há 1,0,0,0 fichas, é possivel
termos 1,9,8,9 fichas em algum momento?
Edward
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[obm-l] Tres problemas
Parece que minha mensagem antiga não chegou. Entao eu aproveitei e coloquei
mais um problema:
O primeiro é de um nivel baixo, o segundo eu até consegui fazer, mas dei uma
soluçao estupida, deve existir uma soluçao mais rapida, o terceiro eu nao
consegui fazer.
1) As camponesas de certa região têm uma superstição curiosa para
determinar quando vão casar: A solteira segura em uma das mãos seis folhas
longas de capim, pelo centro delas, de forma que as pontas fiquem de fora,
acima e abaixo da mão. Uma amiga sua amarra as seis pontas de cima duas a
duas, de maneira aleatória, e depois faz o mesmo com as pontas de baixo. Se
as folhas de capim assim amarradas formarem um único anel, as camponesas
crêem que a solteira se casará em menos de um ano. Determine a probabilidade
de o anel ser formado.
2) Existe um inteiro positivo tal que seus fatores primos pertencem ao
conjunto {2,3,5,7} e
que termina em 11? Se existir, ache o menor deles. Se não existir, mostre
porque.
3) Em cada vértice de um quadrado há algumas fichas. Um movimento é
escolher um vertice, tirar algumas fichas dele, escolher um vizinho e pôr o
dobro de fichas retiradas no vizinho. Se no inicio ha 1,0,0,0 fichas, é
possivel termos 1,9,8,9 fichas em algum momento?
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RE: [obm-l] A PROVA DA IRRACIONALIDADE!
Totalmente analogo a demonstraçao de 2^1/2: Suponha racional, assim 10^1/3 é da forma p/q, e podemos considerar mdc(p,q)=1 sem perdas. Assim p^3/q^3=10 - p^3=2*5*q^3, logo p^3 é par, logo p é da forma 2*k, Entao: 8*k^3=2*5*q^3 - 5*q^3=2*2*k^3, logo 5*q^3 é par, logo q é da forma 2*j, absurdo pois mdc(p,q)=1. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] A PROVA DA IRRACIONALIDADE! Date: Wed, 13 Oct 2004 21:35:24 -0300 A prova da irracionalidade da raiz de 2 é simples, elegante e muito instrutiva pois utiliza o chamado método de redução ao absurdo. Este tipo de demonstração também costuma ser denominado prova por contradição e, em sua essência, constitui-se em supor o contrário daquilo que se deseja demonstrar e concluir que tal negativa leva a algum absurdo ou contradição. Se o contrário de algo é um absurdo, logo aquele algo é verdadeiro: esta é a lógica do método. (Alguns importantes teoremas dos Elementos foram demonstrados por Euclides utilizando a idéia de redução ao absurdo, o que comprova que ela já era conhecida desde os primórdios da Matemática dedutiva). Suponhamos, então, que 2^1/2 seja um número de forma a/b, com a e b inteiros, e que esta fração esteja reduzida a sua forma mais simples, ou seja, que a e b não tenham fatores comuns (esta simplificação é sempre possível, como sabemos da Aritmética). Assim a/b = 2^1/2 e a^2/b^2 = 2 então, a^2 = 2b^2 significa que a^2 é um número par, de onde se conclui que a também é par, digamos 2p. Desta forma (2p)^2 = 2b^2 então, 2p^2 = b^2. Esta igualdade indica que b^2 é par, ou seja, que b é par. Logo a e b são pares mas isto é uma contradição com nossa hipótese inicial de que a e b não têm fatores comuns. Como a única causa possível de termos chegado a este absurdo foi a suposição de 2^1/2 = a/b, fica provado que 2^1/2 não pode ser o quociente entre dois números inteiros. Após a raiz de 2, foram descobertos infinitos outros números irracionais e as coisas ficaram assim até que, no século XVII, principalmente devido às técnicas do Cálculo Diferencial, funções e números passaram a poder ser expressos através das séries infinitas. A propósito, como poderá explicar aos alunos porque 10^(1/3) é irracional, sem saber o seu valor certo? Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] [obm-1] Probabilidade
Eis um problema de probabilidade que me parece de um nivel consideravel: Considere uma área plana, dividida em faixas de larguras iguais, a, por retas paralelas. Lance sobre a regiao, ao acaso, uma agulha de comprimento 2r, com 2ra. Qual a probabilidade de que a agulha corte umas das paralelas? Eu nao consegui, seria bom uma ajuda :) _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-1] Probabilidade
Talvez seria, mas vc sabe calcular a probabilidade de nao cortar? From: Leandro Lacorte Recova [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] [obm-1] Probabilidade Date: Tue, 12 Oct 2004 15:54:30 -0700 Nao seria mais facil calcular a probabilidade dela nao cortar nenhuma das faixas e usar o fato de que P(cortar)=1 - P(nao cortar) ? Leandro -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Edward Elric Sent: Tuesday, October 12, 2004 3:35 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] [obm-1] Probabilidade Eis um problema de probabilidade que me parece de um nivel consideravel: Considere uma área plana, dividida em faixas de larguras iguais, a, por retas paralelas. Lance sobre a regiao, ao acaso, uma agulha de comprimento 2r, com 2ra. Qual a probabilidade de que a agulha corte umas das paralelas? Eu nao consegui, seria bom uma ajuda :) _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Mais um problema legal
Fazendo 2002= (667 + x) + (667+ y) + (668+ z) = 2002 +x+y+z Então x+y+z=0, com x-667 , y-667, z-688, Fazendo a=x+666, b=y+666, c=z+667 temos x+y+z= a+b+c-1999=0 - a+b+c=1999 O numero de soluçoes eh dado por Combinaçao com repetiçao de 3,199 que eh igual a Combinaçao 2001,1999 que eh igual a 2001.2002/2= 2001.1001 = 2003001 From: benedito [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Mais um problema legal Date: Tue, 12 Oct 2004 18:07:46 -0300 Segue mais um problema interessante (Agora com o problema. Desculpem a falha). Benedito Freire PROBLEMA Sem levar em consideração a ordem, de quantas maneiras podemos expressar 2002 como soma de 3 inteiros positivos? (Atenção: 1000 + 1000 + 3 = 2002 e 1000 + 2 + 1000 = 2002 não são consideradas maneiras distintas de expressar 2002 como soma de inteiros positivos) -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Mais um problema legal
Desculpe acabei contando soluçoes iguais. Os casos de a=b, a=c+1, b=c+1 devem ser descontados, mas eu ainda estou pensando como tirar sem erros esses casos. From: Edward Elric [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] Mais um problema legal Date: Wed, 13 Oct 2004 00:13:48 + Fazendo 2002= (667 + x) + (667+ y) + (668+ z) = 2002 +x+y+z Então x+y+z=0, com x-667 , y-667, z-688, Fazendo a=x+666, b=y+666, c=z+667 temos x+y+z= a+b+c-1999=0 - a+b+c=1999 O numero de soluçoes eh dado por Combinaçao com repetiçao de 3,199 que eh igual a Combinaçao 2001,1999 que eh igual a 2001.2002/2= 2001.1001 = 2003001 From: benedito [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Mais um problema legal Date: Tue, 12 Oct 2004 18:07:46 -0300 Segue mais um problema interessante (Agora com o problema. Desculpem a falha). Benedito Freire PROBLEMA Sem levar em consideração a ordem, de quantas maneiras podemos expressar 2002 como soma de 3 inteiros positivos? (Atenção: 1000 + 1000 + 3 = 2002 e 1000 + 2 + 1000 = 2002 não são consideradas maneiras distintas de expressar 2002 como soma de inteiros positivos) -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Equações trigonométricas [3 problemas]
Vamos lá, primeiro vamos fazer a segunda: 2) Mostre que: D=1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)++cos(nx)= sen[x(2n+1)/2] / 2*sen(x/2) Essa igualdade é valida se, e somente se, 2*sen(x/2)*( 1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)++cos(nx))= sen[x(2n+1)/2]. Assim: D= 2*sen(x/2)*( 1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)++cos(nx)) = sen(x/2) + 2*sen(x/2)*cos(x) + 2*sen(x/2)*cos(2x) ++ 2*sen(x/2)*cos(nx). Note que 2*sen(x/2)*cos(kx)= sen((x/2)*(2k+1)) - sen((x/2)*(2k-1)) (utilizando a formula de produto em soma). Assim temos: D= sen(x/2) + sen((x/2)*3) - sen((x/2)) + sen((x/2)*5) - sen((x/2)*3) + sen((x/2)*7) - sen((x/2)*5) + ... + sen((x/2)*(2n+1)) - sen((x/2)*(2n-1)) Fazendo as devidas simplificaçoes temos: D= sen((x/2)*(2n+1)), como queriamos demontrar. Agora vamos ao primeiro problema: 1) sabendo que D= sen1º*sen3º*sen5º.sen87º*sen89º = 2^(-n) determine o valor de 2n Note que sen(89)=cos(1), sen(87)= cos(3), sen(85)= cos(5), sen(83)= cos(7),..., sen(47)=cos(43). Olhando para o produto D, de forma diferente temos: D= sen(45)*[sen(1)*sen(89)]*[sen(3)*sen(87)]*...[sen(43)*sen(47)]= sen(45)*[sen(1)*cos(1))]*[sen(3)*cos(3)]*...[sen(43)*cos43] Sabemos que sen(2x)= 2*sen(x)*cos(x), logo: D= (2^(-22))*sen(45)*sen(2)*sen(6)*sen(10)*...*sen(46) Porem sen(45)*sen(2)*sen(6)*sen(10)*...*sen(46) nao pode ser trivialmente calculado... e mesmo que pudesse ser calculado facilmente e ele nao seria potencia de 2, logo o enunciado deve estar errado. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Geometria Plana
To com grande problemas nos seguintes exercicios: (CÍRCULO DOS 9 PONTOS) Dado um triângulo ABC, mostre que os pés das 3 alturas, os pontos médios dos lados e os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro a cada um dos vértices pertencem a um mesmo círculo. O circuncentro, o baricentro, o ortocentro e o centro do círculo dos 9 pontos de um triângulo são sempre colineares. Eu tentei por geometria analitica mas nao ficou viavel... _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Soluçoes Inteiras
Meu professor me passou o seguinte problema: Ache todas as soluçoes inteiras de x² + 2y² = -1 So que eu nao tenho ideias para achar as soluçoes e provar que sao unicas, poderiam me ajudar? _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] Soluçoes Inteiras
Ah desculpe, nem vi que digitei errado: eh x² - 2y² = -1 eu tinha digitado +... From: eritotutor [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Soluçoes Inteiras Date: Sat, 25 Sep 2004 16:37:15 -0300 Se x e y pertencem a R, temos que x^2 e y^2 sao sempre positivos e portanto, 2y^2 tb eh. Assim a equaçao nao possui nenhuma soluçao inteira, nem real. Acho que o enunciado da questao nao era bem esse. []s -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Sat, 25 Sep 2004 19:02:44 + Assunto: [obm-l] Soluçoes Inteiras Meu professor me passou o seguinte problema: Ache todas as soluçoes inteiras de x² + 2y² = -1 So que eu nao tenho ideias para achar as soluçoes e provar que sao unicas, poderiam me ajudar? _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Soluçoes Inteiras
Vi um erro: a² - 2(a+k)²= - (a² + 4ak + 2k²) Mas eu entendi a solução, muito obrigado. E as soluçoes para x² - 2y² =1 voce saberia responder e provar que sao unicas? From: eritotutor [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] Soluçoes Inteiras Date: Sat, 25 Sep 2004 18:20:15 -0300 Vc pode constatar que (1,1) eh solução da equação e portanto, segue que (-1,1), (-1, -1) e (-1, 1) sao soluçoes possiveis. Para mostrar que elas sao unicas suponhamos por absurdo (a) e (a+k) soluções, onde (a) eh diferente de um e (k) eh maior ou igual a um, onde (a) e (k) pert. a Z. Assim temos que a^2 - 2[(a+k)^2] = - (a^2 +2ak + k^2), como (a^2 +2ak + k^2) eh maior que um , chegamos a uma contradição. O caso (a) igual a um eh imediato. []s _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] Soluçoes Inteiras
Porem por inspeçao ja vemos que (1,1),(-1,1), (-1, -1) e (-1, 1).
From: Osvaldo Mello Sponquiado [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] Soluçoes Inteiras
Date: Sat, 25 Sep 2004 18:38:39 -0300
x^2=2y^2-1= y=sqrt(1/2)0
f(x)=x^2
g(y)=2y^2-1
Esboce os graficos das duas funções reais no mesmo
plano cartesiano e as intersecções de seus pontos
corresponderão aos pontos em que f(x)=g(y), ou seja,
x^2=2y^2-1
Os únicos pontos de interseção são 1 e -1.
Logo S={1;-1)
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RE: [obm-l] Uma ajuda ^-^
Isso nem eh matematica, eh uma materia de fisica chamada analise adimensional. From: carolina [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Uma ajuda ^-^ Date: Fri, 24 Sep 2004 22:30:23 -0300 Olá,pessoal! Gostaria que me ajudassem com a seguinte questão,que já estou tentando resolver a alguns dias e ainda não entendi como fazer: (ITA-SP)Os valores de x,y e z para que a equação: (força)^x * (massa)^y = (volume)*(energia)^z seja dimensionalmente correta são,respectivamente: A resposta correta é (-3,0,3),mas não tenho idéia de como começar XD Valeu desde já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problemas IME
Ola, eu estou com duvida nos seguintes problemas: (IME 94/95) Prove que o polinômio P(x)= x^999 + x^888 + x^777 + ... x^111 +1 é divisível por x^9 + x^8 + x^7 + ... + x + 1. (IME 95/96) Sejam w(0)= 1, w(1)= j, w(2)= j² as raízes cúbicas da unidade no plano complexo(considere w(1) o número complexo de módulo 1 e argumento 2pi/3). Sabendo que se c pertence aos Complexos, a rotação R em torno do ponto c e amplitude igual a pi/3 é dada por R(z)= -j²z -jc , para todo z pertencente aos complexos, menos o ponto c. pede-se: (a) Determinar as relações existentes entre a,b,c,j,j² onde a,b pertencem aos complexos, de modo que o triângulo a, b,c seja equilátero. (b) Determinar z para que o triângulo i, z, iz seja equilátero. Dado: i = (-1)^1/2 (IME 80/81) Seja C o conjunto dos numeros complexos e h pertencente a C. Diz-se que o ponto h eh um ponto de Hurwitz se modulo de h e igual a 1, e, para todo numero natural n, h^n e diferente de 1. Prove que o ponto z=(2-i)/(2+i) é um ponto de Hurwitz. (IME 80/81) Mostre que nao existem matrizes quadradas A e B, quem verifiquem AB-BA = I, onde I e a matriz identidade de uma ordem n qualquer. Flw pessoal. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] inteiros
Fernando vc acabou demonstrando tb que K^5 - k e multiplo de 10, pois vc demonstrou que o algarismo das unidades e igual ao de algarismo das unidades de k, quando vc subtrair o novo algarismo vai ser 0. From: Fernando Aires [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] inteiros Date: Tue, 21 Sep 2004 17:59:21 -0300 Hermann, Eu tenho uma idéia: Pelo método da multiplicação, sabemos que a unidade resultante depende apenas de uma operação, que é a multiplicação dos algarismos das unidades dos fatores. Desta forma, podemos provar diretamente para cada um dos possíveis algarimos das unidades ([0;9]). Para o número x=ABC...N0: ABC...N0 ^2 = A'B'C'...N'0 (x*x=x^2) A'B'C'...N'0 * ABC...N0 = A''B''C''...N''0 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''0 * A'B'C'...N'0 = A'''B'''C'''...N'''0 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N1: ABC...N01^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2) A'B'C'...N'1 * ABC...N1 = A''B''C''...N''1 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''1 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''1 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N2: ABC...N2 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2) A'B'C'...N'4 * ABC...N2 = A''B''C''...N''8 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'8 = A'''B'''C'''...N'''2 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N3: ABC...N3 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2) A'B'C'...N'9 * ABC...N3 = A''B''C''...N''7 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''7 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''3 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N4: ABC...N4 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2) A'B'C'...N'6 * ABC...N4 = A''B''C''...N''4 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''4 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N5: ABC...N5 ^2 = A'B'C'...N'5 (x*x=x^2) A'B'C'...N'5 * ABC...N5 = A''B''C''...N''5 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''5 * A'B'C'...N'5 = A'''B'''C'''...N'''5 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N6: ABC...N6 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2) A'B'C'...N'6 * ABC...N6 = A''B''C''...N''6 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''6 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''6 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N7: ABC...N7 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2) A'B'C'...N'9 * ABC...N7 = A''B''C''...N''3 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''3 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''7 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N8: ABC...N8 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2) A'B'C'...N'4 * ABC...N8 = A''B''C''...N''2 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''2 * A'B'C'...N'4 = A'''B'''C'''...N'''8 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N9: ABC...N9 ^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2) A'B'C'...N'1 * ABC...N9 = A''B''C''...N''9 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''9 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''9 (x^3 * x^2 = x^5) (C.Q.D.) Apesar de não muito elegante, é uma demonstração válida. (Mas estou pensando na prova que K^5-K é múltiplo de 10) Beijos, -- -- Fernando Aires [EMAIL PROTECTED] Em tudo Amar e Servir -- On Tue, 21 Sep 2004 17:03:05 -0300, Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] wrote: Por favor... Como demonstro o seguinte: Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das unidades. TEntei fazer por indução empaquei. Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamente espero que alguém da lista saiba Obrigado, Hermann = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] inteiros
Outra soluçao para k^5 - k multiplo de 10: Pelo pequeno teorema de Fermat temos: x^5 = x (mod 5) -- x^5 -x = 0 (mod 5) -- x(x^4 -1)= 0 (mod5) -- x(x^4 -1) é multiplo de 5. Agora suponha x impar: Temos x(x^4 -1) par Suponha x par: Temos x(x^4 -1) par Então x^5 -x é multiplo de 5 e par, logo é multiplo de 10. On Tue, 21 Sep 2004 17:03:05 -0300, Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] wrote: Por favor... Como demonstro o seguinte: Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das unidades. TEntei fazer por indução empaquei. Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamente espero que alguém da lista saiba Obrigado, Hermann = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Combinatoria!
Eis o problema que eu nao to conseguindo fazer: De quandos modos podemos colocar 8 cavalos em um tabuleiro de xadrez (8x8) sem que um cavalo capturei outro. Ja passei para todo mundo que eu conheço e ninguem conseguiu, so falta essa lista mesmo. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
