[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números

[Otávio Araújo]

De nada mano.

Em seg, 26 de out de 2020 09:40, joao pedro b menezes <
joaopedrobmene...@gmail.com> escreveu:

> Muito obrigado pela ajuda! Entendi o exercício agora.
>
> Em dom, 25 de out de 2020 às 19:59, Otávio Araújo <
> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>
>> Vc resolve essa questão mostrando q p=n^2+n+1.  Se n=1 acabou. Se n>1,Já
>> que p divide n^3-1 e é primo, temos que p divide n-1 ou n^2+n+1. Não
>> podemos ter p dividindo n-1 pois n divide p-1 -> n<= p-1 n-1> Portanto p divide n^2+n+1. Faca n^2+n+1 = kp, k inteiro positivo. Temos que
>> kp=n^2+n+1 é congruente a 1 módulo n. Do enunciado temos p congruente a 1
>> módulo n,  mas p é congruente a 1 módulo n e é diferente de 1(pois é primo)
>> -> p>= n+1 e  k será congruente a 1 módulo n também. Suponha que k>1,
>> k>1 implica k>= n+1 daí kp>=(n+1)^2 > n^2+n+1, contradição. Portanto
>> k=1 e p=n^2+n+1.
>>
>> Em dom, 25 de out de 2020 17:37, joao pedro b menezes <
>> joaopedrobmene...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Olá, boa tarde.
>>> Estou com dúvida nesse exercício:
>>> " Sejam n um inteiro positivo maior que 1 e p um primo positivo tal que
>>> n divide p − 1 e p divide n 3 − 1. Mostre que 4p − 3 ´e um quadrado
>>> perfeito."
>>> Já agradeço pela ajuda e pelo tempo!
>>>
>>>

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números

[Otávio Araújo]

Vc resolve essa questão mostrando q p=n^2+n+1.  Se n=1 acabou. Se n>1,Já
que p divide n^3-1 e é primo, temos que p divide n-1 ou n^2+n+1. Não
podemos ter p dividindo n-1 pois n divide p-1 -> n<= p-1 n-1 p>= n+1 e  k será congruente a 1 módulo n também. Suponha que k>1,  k>1
implica k>= n+1 daí kp>=(n+1)^2 > n^2+n+1, contradição. Portanto  k=1 e
p=n^2+n+1.

Em dom, 25 de out de 2020 17:37, joao pedro b menezes <
joaopedrobmene...@gmail.com> escreveu:

> Olá, boa tarde.
> Estou com dúvida nesse exercício:
> " Sejam n um inteiro positivo maior que 1 e p um primo positivo tal que n
> divide p − 1 e p divide n 3 − 1. Mostre que 4p − 3 ´e um quadrado perfeito."
> Já agradeço pela ajuda e pelo tempo!
>
>

[obm-l] Problema 5 ObmU 2018 segunda fase

[Otávio Araújo]

Alguém tem alguma ideia?

Sejam R+ o conjunto dos numeros reais positivos e  f : R+ → R+ uma func¸ao
infinitamente diferenciável tal
que:
1. Para todo k inteiro positivo e para todo real positivo x, f(k)(x) > 0 .
(f(k)
representa como de costume a
k-esima derivada).
2. Para todo m inteiro positivo, f(m) é inteiro positivo.

Prove que para todo inteiro positivo n, f(n) ≥ 2^(n-1)

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

[Otávio Araújo]

Primeiro veja que se existir x natural com f(x)=1, então
f(x^n)=f(x)+f(x^(n-1))-1=f(x^(n-1)), donde concluímos f(x^n)=1 para todo
natural n. Assim não podemos ter x>1 com f(x)=1, caso contrário teríamos
infinitos números y com f(y)=1. Daí, se x>1 --> f(x)>1.
De f(30) = 4 temos 4 = f(6.5) = f(6)+f(5)-1 -->f(6)+f(5)=5 -->
f(2.3)+f(5)=5 --> f(2)+f(3)-1+f(5)=5 --> f(2)+f(3)+f(5)=6. Como vimos,
f(2),f(3) e f(5) são naturais maiores que 1 e que somam 6, logo
f(2)=f(3)=f(5)=2.
Por último, observando que 14400 =(5^2).(2^6).(3^2), temos

f(3^2)=f(3)+f(3)-1=3
f(5^2)=f(5)+f(5)-1=3
f(2^2)=f(2)+f(2)-1=3
f(2^4)=f(2^2)+f(2^2)-1=5
f(2^6)=f(2^4)+f(2^2)-1=7
f((5^2).(3^2))=f(5^2)+f(3^2)-1=5
f((5^2).(3^2).(2^6))=
 f((5^2).(3^2))+f(2^6)-1=5+7-1= 11

Em qua, 19 de set de 2018 6:43 PM, Jeferson Almir 
escreveu:

> Peço uma ideia ou ajuda na seguinte questão:
> Sejam x e y naturais e uma função  f : N -> N tais que
> F(xy) = F(x) + F(y) -1
>
> Existe um número finito de numeros tais que F(x) = 1.
>
> F(30) = 4
>
> Determine o F( 14400)
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos

[Otávio Araújo]

O número 15^(15^15 - 1) + 1 é par, logo não pode ser da forma 29^k

Em sex, 8 de jun de 2018 2:21 PM, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Não tive tempo de corrigir.
> Seja a= 15^15
> p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando
> coloquei 15 em evidência.
>
> p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p
> p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende.
> b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p
> p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11
> 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende.
> p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende.
> p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 = -1
> e 4 não divide 14; p=17 não atende.
> p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não atende
> p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende
> p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29.
>
> O outro primo é 29.
>
> Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. Agora, o
> objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 = 29^k, com
> k natural.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa noite.
>> Desconsiderar.
>> Está errado.
>>
>> Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa noite!
>>> p| 15(15^(15^15)+1) então:
>>> 15^(15^15) = -1 mod p.
>>>
>>> Como 15^(p-1) =1 mod p
>>> 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1).
>>> Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei
>>> como mostrar, sem a dica do enunciado.
>>> Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado.
>>> Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende.
>>> Para p=11, 15^15=5 mod10
>>> 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende.
>>> Até chegar a p=31.
>>> 15^15= 15 mod 30
>>> 15^15 = ? mod 31
>>> 15^2=8 mod 31
>>> 15^4 =64=2 mod 31
>>> 14^8=4 mod 31
>>> 15^14=8*2*4=2 mod  31.
>>> 15^15= -1 mod 31.
>>> Então o outro primo é 31.
>>> Saudações,
>>> PJMS.
>>>
>>> Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo 
>>> escreveu:
>>>
 A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é:
 R: 39

 Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos os
 fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é fator.
 Minha dificuldade é descobrir o terceiro
 --
 Fiscal: Daniel Quevedo

 --
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[obm-l] Re: [obm-l] Questão sobre divisor primo

[Otávio Araújo]

Só uma curiosidade: de onde é essa questão?

Em qua, 6 de jun de 2018 11:38, Pedro Chaves 
escreveu:

> Caros Colegas,
>
> Não consegui resolver a questão abaixo. Peço auxílio.
>
> Questão:Para cada inteiro positivo n, mostrar que todo divisor primo
> de 12n^2 + 1 é da forma 6k +1, sendo k um inteiro positivo.
>
>
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
> <#m_-594041030565945_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
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[obm-l] Re: [obm-l] Questão sobre divisor primo

[Otávio Araújo]

Só um detalhe que errei na digitação:
1 = (1/p) = (x.12/p) = ((-x).(-12)/p)=
(-x/p)(-12/p)

Em qua, 6 de jun de 2018 15:55, Otávio Araújo 
escreveu:

> Tenho uma solução aqui:
> Seja p um primo que divide 12n^2 +1, teremos que 12n^2 = -1 mód p. Seja x
> o inverso multiplicativo de 12 módulo p em (Zp)*, então n^2= -x mód p,
> portanto
> -x é resíduo quadrático módulo p. Denote (/) o simbolo de Legendre,
> teremos (-x/p)=1, mas 1=(1/p)=(x.12/p)
> (-x/p)(-12/p) --> (-12/p)=1 -->
> (-1/p)(4/p)(3/p)=1 --> (-1/p)(3/p)=1, ou seja, (-1/p)=(3/p)=1 ou
> (-1/p)=(3/p)=-1.
> Em qualquer livro de teoria dos números que contenha o assunto de resíduos
> quadráticos podemos ver a demonstração de que
> (-1/p)=1 se p=1 mód 4 e (-1/p)=-1 se
>  p=3 mód 4.
> Do teorema da reciprocidade quadrática (p é diferente de 2 e 3), temos
> (p/3)(3/p)= (-1)^((p-1)/2) -->
> Mas p é congruente a 1,5 ,7 ou 11 módulo 12 ( pois é primo e não é 2 ou
> 3), testando cada caso, temos (p/3)=1 se p=1 ou 7 módulo 12 (pois devemos
> ter p=1 mód 3) e (p/3)=-1 se p=5 ou 11 módulo 12.  Observando que
> (-1)^((p-1)/2)=1 se p=1 ou 5 módulo 12 e -1 se p=7 ou 11 módulo 12,
> obteremos que (3/p)=1 se p =1 ou 11 módulo 12 e -1 se p =5 ou 7 módulo 12.
>
> Por último, se (-1/p)=(3/p)=1, teremos
> p=1 mód 4 e p= 1 ou 11 módulo 12
> --> p=1 mód 12.
> Se (-1/p)=(3/p)=-1, teremos
> p=3 mód 4 e p=5 ou 7 módulo 12
> --> p=7 mód 12.
> Daí p = 1 ou 7 módulo 12 --> p=1 mód 6, como queríamos.
>
> Em qua, 6 de jun de 2018 11:38, Pedro Chaves 
> escreveu:
>
>> Caros Colegas,
>>
>> Não consegui resolver a questão abaixo. Peço auxílio.
>>
>> Questão:Para cada inteiro positivo n, mostrar que todo divisor primo
>> de 12n^2 + 1 é da forma 6k +1, sendo k um inteiro positivo.
>>
>>
>>
>>
>> <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email_source=link_campaign=sig-email_content=webmail>
>>  Livre
>> de vírus. www.avast.com
>> <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email_source=link_campaign=sig-email_content=webmail>.
>>
>> <#m_3212190965219518123_m_8119351896224020777_m_-594041030565945_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
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>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Questão sobre divisor primo

[Otávio Araújo]

Tenho uma solução aqui:
Seja p um primo que divide 12n^2 +1, teremos que 12n^2 = -1 mód p. Seja x o
inverso multiplicativo de 12 módulo p em (Zp)*, então n^2= -x mód p,
portanto
-x é resíduo quadrático módulo p. Denote (/) o simbolo de Legendre, teremos
(-x/p)=1, mas 1=(1/p)=(x.12/p)
(-x/p)(-12/p) --> (-12/p)=1 -->
(-1/p)(4/p)(3/p)=1 --> (-1/p)(3/p)=1, ou seja, (-1/p)=(3/p)=1 ou
(-1/p)=(3/p)=-1.
Em qualquer livro de teoria dos números que contenha o assunto de resíduos
quadráticos podemos ver a demonstração de que
(-1/p)=1 se p=1 mód 4 e (-1/p)=-1 se
 p=3 mód 4.
Do teorema da reciprocidade quadrática (p é diferente de 2 e 3), temos
(p/3)(3/p)= (-1)^((p-1)/2) -->
Mas p é congruente a 1,5 ,7 ou 11 módulo 12 ( pois é primo e não é 2 ou 3),
testando cada caso, temos (p/3)=1 se p=1 ou 7 módulo 12 (pois devemos ter
p=1 mód 3) e (p/3)=-1 se p=5 ou 11 módulo 12.  Observando que
(-1)^((p-1)/2)=1 se p=1 ou 5 módulo 12 e -1 se p=7 ou 11 módulo 12,
obteremos que (3/p)=1 se p =1 ou 11 módulo 12 e -1 se p =5 ou 7 módulo 12.

Por último, se (-1/p)=(3/p)=1, teremos
p=1 mód 4 e p= 1 ou 11 módulo 12
--> p=1 mód 12.
Se (-1/p)=(3/p)=-1, teremos
p=3 mód 4 e p=5 ou 7 módulo 12
--> p=7 mód 12.
Daí p = 1 ou 7 módulo 12 --> p=1 mód 6, como queríamos.

Em qua, 6 de jun de 2018 11:38, Pedro Chaves 
escreveu:

> Caros Colegas,
>
> Não consegui resolver a questão abaixo. Peço auxílio.
>
> Questão:Para cada inteiro positivo n, mostrar que todo divisor primo
> de 12n^2 + 1 é da forma 6k +1, sendo k um inteiro positivo.
>
>
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
> <#m_-594041030565945_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
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Re: [obm-l] Quadrado perfeito

[Otávio Araújo]

AB-CD=1 --> AB-1=CD .

Dai, se ABCD = n^2 --> ABCD-100 = n^2-100 --> CDCD = (n-10)(n+10) -->
CD x 101 = (n-10)(n+10).

101 é primo, logo 101 divide n-10 ou n+10, mas se 101 dividisse n-10,
n-10>=101,--> n>= 110 e n^2 = ABCD teria no mínimo 5 algarismos. Assim 101
divide n+10, mas sendo n+10 = 101m é fácil ver que devemos ter m=1, pois se
m>1, n+10>= 202 --> n>= 192 --> n^2 = ABCD teria no mínimo 5 algarismos.
Portanto n+10=101 --> n= 91 e
n^2 = 8281 --> A+B+C+D = 8+2+8+1=19.

Em dom, 3 de jun de 2018 12:10, Daniel Quevedo 
escreveu:

> O número de quatro algarismos ABCD é um quadrado perfeito. Sabendo que
> incinero de dois algarismos AB e CD diferem de uma unidade, nessa ordem, a
> soma A+B+C+D é igual a:
> A) 15
> B) 16
> C) 17
> D) 18
> E) 19
>
> R: E
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Divisibilidade

[Otávio Araújo]

É só calcular o menor inteiro maior ou igual a 1992/8640.

Em sex, 25 de mai de 2018 20:08, Daniel Quevedo 
escreveu:

> Se N= 1992abcd é divisível por 8640 então N/8640 é igual a:
>
> R: 2306
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Teorema do Valor Médio

[Otávio Araújo]

Tem que haver uma condição adicional ao enunciado

Em qua, 23 de mai de 2018 17:50, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
escreveu:

> E existe contra exemplo: f constante satisfaz essa condição
>
> Em qua, 23 de mai de 2018 17:44, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
> escreveu:
>
>> O teorema do valor médio se refere a funções deriváveis. Acho que Vc está
>> falando do teorema do valor intermediário ou que a função f é derivável
>>
>> Em qua, 23 de mai de 2018 17:36, Jeferson Almir <jefersonram...@gmail.com>
>> escreveu:
>>
>>> Como eu uso o teorema do Valor Médio  pra mostrar que não existe função
>>> real continua tal que f ( x+f(x)) = f(x)?
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>

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[obm-l] Re: [obm-l] Teorema do Valor Médio

[Otávio Araújo]

E existe contra exemplo: f constante satisfaz essa condição

Em qua, 23 de mai de 2018 17:44, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
escreveu:

> O teorema do valor médio se refere a funções deriváveis. Acho que Vc está
> falando do teorema do valor intermediário ou que a função f é derivável
>
> Em qua, 23 de mai de 2018 17:36, Jeferson Almir <jefersonram...@gmail.com>
> escreveu:
>
>> Como eu uso o teorema do Valor Médio  pra mostrar que não existe função
>> real continua tal que f ( x+f(x)) = f(x)?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Teorema do Valor Médio

[Otávio Araújo]

O teorema do valor médio se refere a funções deriváveis. Acho que Vc está
falando do teorema do valor intermediário ou que a função f é derivável

Em qua, 23 de mai de 2018 17:36, Jeferson Almir 
escreveu:

> Como eu uso o teorema do Valor Médio  pra mostrar que não existe função
> real continua tal que f ( x+f(x)) = f(x)?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Produto das distâncias máximo

[Otávio Araújo]

C=2S/3AB. Kkkk errei só essa continha

Em ter, 22 de mai de 2018 12:31, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
escreveu:

> Esse final é facil: dado que a area de cada triângulo é fixa igual a S/3
> estão a distancia de P ao lado AB é fixo igual a 2S/AB = c, temos que P
> pertence a alguma das duas retas paralelas a AB que distam c de AB, na
> verdade na única reta que corta o triângulo ABC (chame essa reta de r1). De
> modo análogo temos que P pertence a única reta r2 paralela a AC, que dista
> b de AC e que corta o triângulo ABC. Daí P é a intercessão entre as retas
> r1 e r2, logo único. Como vimos que o baricentro satisfaz essa propriedade,
> então P só pode ser o baricentro mesmo.
>
> Em ter, 22 de mai de 2018 11:40, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> De fato, nem notei isso...
>> Mas é sabido (e fica como um problema não muito difícil) que as 3
>> medianas de um triângulo o decompõem em 6 triângulos de mesma área.
>> Logo, somando as áreas adequadas, concluímos que o baricentro P é tal que
>> as áreas de PAB, PBC e PCA são iguais.
>>
>> Mas cuidado com a lógica, pois o resultado de que precisamos é o
>> recíproco deste: se P é tal que as três áreas são iguais, então P é o
>> baricentro.
>> Ou seja, é preciso mostrar que não há outros pontos com esta propriedade.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>> 2018-05-22 10:47 GMT-03:00 Matheus Secco <matheusse...@gmail.com>:
>>
>>> Completando o trabalho do Claudio, não é dificil mostrar que P deve
>>> então ser o baricentro.
>>>
>>> Em Ter, 22 de mai de 2018 10:37, Claudio Buffara <
>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>>> Sejam x, y, z as distâncias do ponto P, interior ao triângulo ABC, de
>>>> área S, aos lados BC (medida = a), AC (medida = b) e AB (medida = c).
>>>>
>>>> Sabemos que ax + by + cz = 2S = constante.
>>>>
>>>> Então, o problema é maximizar xyz dado que ax + by + cz = 2S.
>>>>
>>>> Pela desigualdade MG <= MA aplicada aos números positivos ax, by e cz,
>>>> temos que:
>>>> ax * by * cz <= ((ax + by + cz)/3)^3 ==>
>>>> abc*xyz <= (2S/3)^3 ==>
>>>> xyz <= (2S/3)^3/(abc), com igualdade sss ax = by = cz = 2S/3.
>>>>
>>>> Assim, o ponto P que maximiza o produto xyz é tal que as áreas dos
>>>> triângulos PAB, PBC e PCA são iguais.
>>>>
>>>> []s,
>>>> Claudio.
>>>>
>>>>
>>>> 2018-05-22 8:39 GMT-03:00 luciano rodrigues <lucianorsl...@gmail.com>:
>>>>
>>>>> Encontre o ponto dentro de um triângulo tal que o produto das
>>>>> distâncias dos lados desse triângulo ao ponto seja máximo.
>>>>>
>>>>> --
>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>> =
>>>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>>>>
>>>>> =
>>>>>
>>>>
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Produto das distâncias máximo

[Otávio Araújo]

Esse final é facil: dado que a area de cada triângulo é fixa igual a S/3
estão a distancia de P ao lado AB é fixo igual a 2S/AB = c, temos que P
pertence a alguma das duas retas paralelas a AB que distam c de AB, na
verdade na única reta que corta o triângulo ABC (chame essa reta de r1). De
modo análogo temos que P pertence a única reta r2 paralela a AC, que dista
b de AC e que corta o triângulo ABC. Daí P é a intercessão entre as retas
r1 e r2, logo único. Como vimos que o baricentro satisfaz essa propriedade,
então P só pode ser o baricentro mesmo.

Em ter, 22 de mai de 2018 11:40, Claudio Buffara 
escreveu:

> De fato, nem notei isso...
> Mas é sabido (e fica como um problema não muito difícil) que as 3 medianas
> de um triângulo o decompõem em 6 triângulos de mesma área.
> Logo, somando as áreas adequadas, concluímos que o baricentro P é tal que
> as áreas de PAB, PBC e PCA são iguais.
>
> Mas cuidado com a lógica, pois o resultado de que precisamos é o recíproco
> deste: se P é tal que as três áreas são iguais, então P é o baricentro.
> Ou seja, é preciso mostrar que não há outros pontos com esta propriedade.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-05-22 10:47 GMT-03:00 Matheus Secco :
>
>> Completando o trabalho do Claudio, não é dificil mostrar que P deve então
>> ser o baricentro.
>>
>> Em Ter, 22 de mai de 2018 10:37, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Sejam x, y, z as distâncias do ponto P, interior ao triângulo ABC, de
>>> área S, aos lados BC (medida = a), AC (medida = b) e AB (medida = c).
>>>
>>> Sabemos que ax + by + cz = 2S = constante.
>>>
>>> Então, o problema é maximizar xyz dado que ax + by + cz = 2S.
>>>
>>> Pela desigualdade MG <= MA aplicada aos números positivos ax, by e cz,
>>> temos que:
>>> ax * by * cz <= ((ax + by + cz)/3)^3 ==>
>>> abc*xyz <= (2S/3)^3 ==>
>>> xyz <= (2S/3)^3/(abc), com igualdade sss ax = by = cz = 2S/3.
>>>
>>> Assim, o ponto P que maximiza o produto xyz é tal que as áreas dos
>>> triângulos PAB, PBC e PCA são iguais.
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>> 2018-05-22 8:39 GMT-03:00 luciano rodrigues :
>>>
 Encontre o ponto dentro de um triângulo tal que o produto das
 distâncias dos lados desse triângulo ao ponto seja máximo.

 --
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  acredita-se estar livre de perigo.



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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética dos restos

[Otávio Araújo]

Essa da ordem foi desleixo meu mesmo k

Em dom, 20 de mai de 2018 15:12, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu:

> Boa tarde!
> O jeito de resolver é esse mesmo.
> A única ressalva é quanto a ordem de 3 mod 1000.
> Quando é potência prefiro achar primeiro a ordem da base.
> 3^4=1 mod 10
> 3^4=8*10+1.
> 3^a=1 mod 1000==> 3^a=1 mod 10 então 4|a.
> (3^4)^x=(8*10+1)^ x para x > 1 temos que as únicas parcelas <>0 mod 1000
> são:
> Cx,2 *8^2*10^2 + Cx,1*8*10 +1
> No caso para que seja 1 mod 1000, basta que Cx,1*8*10=0 mod 1000, pois,
> garante que o anterior também será.
> Portanto o menor x é 25.
> Então a ordem de 3 mod 1000 É 4*25=100.
> Saudações,
> PJMS
>
> Em Sáb, 19 de mai de 2018 20:58, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
> escreveu:
>
>> Tipo, se eu tivesse notado logo no começo que 100 é a ordem de 3 módulo
>> 1000 logo de cara 
>>
>> Em sáb, 19 de mai de 2018 20:43, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
>> escreveu:
>>
>>> Acredito que deva ter forma mais elegante de fazer, mas de qualquer
>>> forma está aí uma solução
>>>
>>> Em sáb, 19 de mai de 2018 20:31, Otávio Araújo <
>>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>>> Vejamos: 2002^2001 = 2^2001 mód 400 = 2x 16^500 mód 400 (tô no celular
>>>> e não tem sinal de congruência kkk).
>>>> Analisemos 16^n módulo 400:
>>>> 16^1 =16
>>>> 16^2 = 256
>>>> 16^3= 4096 = 96 mód 400
>>>> 16^4= 96 x16 mód 400 =1536 mód 400 = -64 mód 400
>>>> 16^5 = -64 x16 mód 400 = -1024 mód 400 = 176 mód 400
>>>> 16^6 = 16 x 176 mód 400=
>>>> 2816 mód400 = 16 mód 400
>>>> Bingo, 16^n tem periodo 5 módulo 400,  daí temos 16^500 =176 mód 400 ->
>>>> 2x16^500= 352 mód 400
>>>>
>>>> E o kiko? O kiko vem do teorema de Euler : 2003^fi(1000) = 1 mód 1000 ->
>>>> 2003^400= 1 mód 1000.
>>>>
>>>> Daí, como 2002^2001 = 352 mód 400
>>>> Teremos 2003^(2002^2001) = 2003^352 mód 1000 = 3^352 mód 1000
>>>>  3^5 =243
>>>> 3^10 = 243 x 243 = 59049 = 49 mód 1000
>>>> 3^20= 49 x 49 mód 1000 = 2401 mód 1000 = 401 mód 1000
>>>> 3^40 = 401 x 401 mód 1000 = 160801 mód 1000 = 801 mód 1000
>>>> 3^80 = 801 x 801 mód 1000 = 641601 mód 1000 = 601 mód 1000
>>>> 3^100= 601 x 401 mód 1000 = 241001 mód 1000 = 1 mód 1000
>>>> Oba! 3^100=1 mód 1000, logo 3^352 = 3^52 mód 1000
>>>>
>>>> Mas
>>>>
>>>> 3^50=(3^40)x(3^10) =801x49 mód 1000 =39249 mód 1000 = 249 mód 1000
>>>> E daí
>>>> 3^52 = 249 x 9 mód 1000 = 2241 mód 1000 = 241 mód 1000
>>>>
>>>> Ou seja, concluimos que os últimos três algarismos de 2003^(2002^2001)
>>>> são 241, e a soma deles é 2+4+1 = 7. Ufa!
>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>> --
>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>
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>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética dos restos

[Otávio Araújo]

Tipo, se eu tivesse notado logo no começo que 100 é a ordem de 3 módulo
1000 logo de cara 

Em sáb, 19 de mai de 2018 20:43, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
escreveu:

> Acredito que deva ter forma mais elegante de fazer, mas de qualquer forma
> está aí uma solução
>
> Em sáb, 19 de mai de 2018 20:31, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
> escreveu:
>
>> Vejamos: 2002^2001 = 2^2001 mód 400 = 2x 16^500 mód 400 (tô no celular e
>> não tem sinal de congruência kkk).
>> Analisemos 16^n módulo 400:
>> 16^1 =16
>> 16^2 = 256
>> 16^3= 4096 = 96 mód 400
>> 16^4= 96 x16 mód 400 =1536 mód 400 = -64 mód 400
>> 16^5 = -64 x16 mód 400 = -1024 mód 400 = 176 mód 400
>> 16^6 = 16 x 176 mód 400=
>> 2816 mód400 = 16 mód 400
>> Bingo, 16^n tem periodo 5 módulo 400,  daí temos 16^500 =176 mód 400 ->
>> 2x16^500= 352 mód 400
>>
>> E o kiko? O kiko vem do teorema de Euler : 2003^fi(1000) = 1 mód 1000 ->
>> 2003^400= 1 mód 1000.
>>
>> Daí, como 2002^2001 = 352 mód 400
>> Teremos 2003^(2002^2001) = 2003^352 mód 1000 = 3^352 mód 1000
>>  3^5 =243
>> 3^10 = 243 x 243 = 59049 = 49 mód 1000
>> 3^20= 49 x 49 mód 1000 = 2401 mód 1000 = 401 mód 1000
>> 3^40 = 401 x 401 mód 1000 = 160801 mód 1000 = 801 mód 1000
>> 3^80 = 801 x 801 mód 1000 = 641601 mód 1000 = 601 mód 1000
>> 3^100= 601 x 401 mód 1000 = 241001 mód 1000 = 1 mód 1000
>> Oba! 3^100=1 mód 1000, logo 3^352 = 3^52 mód 1000
>>
>> Mas
>>
>> 3^50=(3^40)x(3^10) =801x49 mód 1000 =39249 mód 1000 = 249 mód 1000
>> E daí
>> 3^52 = 249 x 9 mód 1000 = 2241 mód 1000 = 241 mód 1000
>>
>> Ou seja, concluimos que os últimos três algarismos de 2003^(2002^2001)
>> são 241, e a soma deles é 2+4+1 = 7. Ufa!
>>
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética dos restos

[Otávio Araújo]

Acredito que deva ter forma mais elegante de fazer, mas de qualquer forma
está aí uma solução

Em sáb, 19 de mai de 2018 20:31, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
escreveu:

> Vejamos: 2002^2001 = 2^2001 mód 400 = 2x 16^500 mód 400 (tô no celular e
> não tem sinal de congruência kkk).
> Analisemos 16^n módulo 400:
> 16^1 =16
> 16^2 = 256
> 16^3= 4096 = 96 mód 400
> 16^4= 96 x16 mód 400 =1536 mód 400 = -64 mód 400
> 16^5 = -64 x16 mód 400 = -1024 mód 400 = 176 mód 400
> 16^6 = 16 x 176 mód 400=
> 2816 mód400 = 16 mód 400
> Bingo, 16^n tem periodo 5 módulo 400,  daí temos 16^500 =176 mód 400 ->
> 2x16^500= 352 mód 400
>
> E o kiko? O kiko vem do teorema de Euler : 2003^fi(1000) = 1 mód 1000 ->
> 2003^400= 1 mód 1000.
>
> Daí, como 2002^2001 = 352 mód 400
> Teremos 2003^(2002^2001) = 2003^352 mód 1000 = 3^352 mód 1000
>  3^5 =243
> 3^10 = 243 x 243 = 59049 = 49 mód 1000
> 3^20= 49 x 49 mód 1000 = 2401 mód 1000 = 401 mód 1000
> 3^40 = 401 x 401 mód 1000 = 160801 mód 1000 = 801 mód 1000
> 3^80 = 801 x 801 mód 1000 = 641601 mód 1000 = 601 mód 1000
> 3^100= 601 x 401 mód 1000 = 241001 mód 1000 = 1 mód 1000
> Oba! 3^100=1 mód 1000, logo 3^352 = 3^52 mód 1000
>
> Mas
>
> 3^50=(3^40)x(3^10) =801x49 mód 1000 =39249 mód 1000 = 249 mód 1000
> E daí
> 3^52 = 249 x 9 mód 1000 = 2241 mód 1000 = 241 mód 1000
>
> Ou seja, concluimos que os últimos três algarismos de 2003^(2002^2001) são
> 241, e a soma deles é 2+4+1 = 7. Ufa!
>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética dos restos

[Otávio Araújo]

Vejamos: 2002^2001 = 2^2001 mód 400 = 2x 16^500 mód 400 (tô no celular e
não tem sinal de congruência kkk).
Analisemos 16^n módulo 400:
16^1 =16
16^2 = 256
16^3= 4096 = 96 mód 400
16^4= 96 x16 mód 400 =1536 mód 400 = -64 mód 400
16^5 = -64 x16 mód 400 = -1024 mód 400 = 176 mód 400
16^6 = 16 x 176 mód 400=
2816 mód400 = 16 mód 400
Bingo, 16^n tem periodo 5 módulo 400,  daí temos 16^500 =176 mód 400 ->
2x16^500= 352 mód 400

E o kiko? O kiko vem do teorema de Euler : 2003^fi(1000) = 1 mód 1000 ->
2003^400= 1 mód 1000.

Daí, como 2002^2001 = 352 mód 400
Teremos 2003^(2002^2001) = 2003^352 mód 1000 = 3^352 mód 1000
 3^5 =243
3^10 = 243 x 243 = 59049 = 49 mód 1000
3^20= 49 x 49 mód 1000 = 2401 mód 1000 = 401 mód 1000
3^40 = 401 x 401 mód 1000 = 160801 mód 1000 = 801 mód 1000
3^80 = 801 x 801 mód 1000 = 641601 mód 1000 = 601 mód 1000
3^100= 601 x 401 mód 1000 = 241001 mód 1000 = 1 mód 1000
Oba! 3^100=1 mód 1000, logo 3^352 = 3^52 mód 1000

Mas

3^50=(3^40)x(3^10) =801x49 mód 1000 =39249 mód 1000 = 249 mód 1000
E daí
3^52 = 249 x 9 mód 1000 = 2241 mód 1000 = 241 mód 1000

Ou seja, concluimos que os últimos três algarismos de 2003^(2002^2001) são
241, e a soma deles é 2+4+1 = 7. Ufa!

>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Otávio Araújo]

A resposta permanece somente 7, na verdade já tinha noção do que vc falou.
De fato, se a=(10^(6n+3)+1)/7, b será
(10^(6n+3)+1)^2/7 e a^2 será (10^(6n+3)+1)^2/7^2,  e a razão b/a^2
continuará 7

Em sex, 18 de mai de 2018 19:26, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu:

> Boa noite!
> Otávio,
> sua solução foi bela. Mas 10^n mod7 é periódica com período mínimo =6, já
> que 10^n=1 mod7.
> Portanto o que aconteceu para n=3, acontecerá também para n = 9, 15, 21,
> 27...
> Creio que haja uma infinidade de respostas.
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em Sex, 18 de mai de 2018 19:02, Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>
> escreveu:
>
>> A minha dúvida foi pq pensei em algo mais Geral, não interpretei a como
>> algarismo, mas colo número qualquer. Aí teríamos números como 1001 q é
>> divisível por 11. Mas assim acho q o problema não fecha.
>> Mas me parece q essa é a resolução correta.
>> Obrigado
>>
>> Em sex, 18 de mai de 2018 às 18:39, Otávio Araújo <
>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> * e é o único valor possível.
>>>
>>> Esqueci o "e" kkl
>>>
>>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo <
>>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>>> Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
>>>> (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
>>>> então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<= a
>>>> <10^n.
>>>> Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
>>>> critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
>>>> nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
>>>> de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
>>>> caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
>>>> nesse caso é o único valor possível.
>>>>
>>>>
>>>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>
>>>> escreveu:
>>>>
>>>>> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
>>>>> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
>>>>> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:
>>>>>
>>>>> A) 0
>>>>> B) 1
>>>>> C) 2
>>>>> D) 3
>>>>> E) mais de 3
>>>>>
>>>>>
>>>>> R: b
>>>>> --
>>>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>>>
>>>>> --
>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>
>>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Otávio Araújo]

De boas

Em sex, 18 de mai de 2018 19:33, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu:

> Desculpe-me, o problema se relaciona ao fator do múltiplo e não às
> ocorrências de a. Portanto, só há uma solução.
> Correto.
>
> Em Sex, 18 de mai de 2018 19:16, Pedro José <petroc...@gmail.com>
> escreveu:
>
>> Boa noite!
>> Otávio,
>> sua solução foi bela. Mas 10^n mod7 é periódica com período mínimo =6, já
>> que 10^n=1 mod7.
>> Portanto o que aconteceu para n=3, acontecerá também para n = 9, 15, 21,
>> 27...
>> Creio que haja uma infinidade de respostas.
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em Sex, 18 de mai de 2018 19:02, Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>
>> escreveu:
>>
>>> A minha dúvida foi pq pensei em algo mais Geral, não interpretei a como
>>> algarismo, mas colo número qualquer. Aí teríamos números como 1001 q é
>>> divisível por 11. Mas assim acho q o problema não fecha.
>>> Mas me parece q essa é a resolução correta.
>>> Obrigado
>>>
>>> Em sex, 18 de mai de 2018 às 18:39, Otávio Araújo <
>>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>>> * e é o único valor possível.
>>>>
>>>> Esqueci o "e" kkl
>>>>
>>>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo <
>>>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>>>
>>>>> Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
>>>>> (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
>>>>> então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<=
>>>>> a <10^n.
>>>>> Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
>>>>> critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
>>>>> nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
>>>>> de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
>>>>> caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
>>>>> nesse caso é o único valor possível.
>>>>>
>>>>>
>>>>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>
>>>>> escreveu:
>>>>>
>>>>>> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
>>>>>> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
>>>>>> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 
>>>>>> é:
>>>>>>
>>>>>> A) 0
>>>>>> B) 1
>>>>>> C) 2
>>>>>> D) 3
>>>>>> E) mais de 3
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>> R: b
>>>>>> --
>>>>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>>>>
>>>>>> --
>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>>
>>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Otávio Araújo]

De nada

Em sex, 18 de mai de 2018 19:02, Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>
escreveu:

> A minha dúvida foi pq pensei em algo mais Geral, não interpretei a como
> algarismo, mas colo número qualquer. Aí teríamos números como 1001 q é
> divisível por 11. Mas assim acho q o problema não fecha.
> Mas me parece q essa é a resolução correta.
> Obrigado
>
> Em sex, 18 de mai de 2018 às 18:39, Otávio Araújo <
> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>
>> * e é o único valor possível.
>>
>> Esqueci o "e" kkl
>>
>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
>> escreveu:
>>
>>> Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
>>> (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
>>> então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<= a
>>> <10^n.
>>> Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
>>> critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
>>> nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
>>> de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
>>> caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
>>> nesse caso é o único valor possível.
>>>
>>>
>>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>
>>> escreveu:
>>>
>>>> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
>>>> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
>>>> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:
>>>>
>>>> A) 0
>>>> B) 1
>>>> C) 2
>>>> D) 3
>>>> E) mais de 3
>>>>
>>>>
>>>> R: b
>>>> --
>>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Otávio Araújo]

E eu não usei a como um número natural qualquer?

Em sex, 18 de mai de 2018 19:02, Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>
escreveu:

> A minha dúvida foi pq pensei em algo mais Geral, não interpretei a como
> algarismo, mas colo número qualquer. Aí teríamos números como 1001 q é
> divisível por 11. Mas assim acho q o problema não fecha.
> Mas me parece q essa é a resolução correta.
> Obrigado
>
> Em sex, 18 de mai de 2018 às 18:39, Otávio Araújo <
> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>
>> * e é o único valor possível.
>>
>> Esqueci o "e" kkl
>>
>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
>> escreveu:
>>
>>> Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
>>> (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
>>> então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<= a
>>> <10^n.
>>> Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
>>> critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
>>> nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
>>> de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
>>> caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
>>> nesse caso é o único valor possível.
>>>
>>>
>>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>
>>> escreveu:
>>>
>>>> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
>>>> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
>>>> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:
>>>>
>>>> A) 0
>>>> B) 1
>>>> C) 2
>>>> D) 3
>>>> E) mais de 3
>>>>
>>>>
>>>> R: b
>>>> --
>>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
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Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Otávio Araújo]

* 10^(n-1)<=a<10^n


Esqueci dos parênteses tbm kkk

Em sex, 18 de mai de 2018 18:28, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
escreveu:

> * e é o único valor possível.
>
> Esqueci o "e" kkl
>
> Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
> escreveu:
>
>> Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
>> (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
>> então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<= a
>> <10^n.
>> Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
>> critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
>> nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
>> de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
>> caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
>> nesse caso é o único valor possível.
>>
>>
>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>
>> escreveu:
>>
>>> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
>>> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
>>> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:
>>>
>>> A) 0
>>> B) 1
>>> C) 2
>>> D) 3
>>> E) mais de 3
>>>
>>>
>>> R: b
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>>> Fiscal: Daniel Quevedo
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>

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Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Otávio Araújo]

* e é o único valor possível.

Esqueci o "e" kkl

Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
escreveu:

> Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
> (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
> então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<= a
> <10^n.
> Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
> critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
> nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
> de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
> caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
> nesse caso é o único valor possível.
>
>
> Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>
> escreveu:
>
>> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
>> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
>> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:
>>
>> A) 0
>> B) 1
>> C) 2
>> D) 3
>> E) mais de 3
>>
>>
>> R: b
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>> Fiscal: Daniel Quevedo
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Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Otávio Araújo]

Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b = (10^n+1)*a.
 ( * denota multiplicação)
então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<= a
<10^n.
Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
nesse caso é o único valor possível.


Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo 
escreveu:

> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:
>
> A) 0
> B) 1
> C) 2
> D) 3
> E) mais de 3
>
>
> R: b
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> Fiscal: Daniel Quevedo
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[obm-l] Problema 2 da OBM U

[Otávio Araújo]

Alguém poderia me ajudar no problema 2 da segunda fase da obm u desse ano?
O enunciado é o seguinte:
"Fixados os inteiros positivos a e b, mostre que o conjunto dos divisores
primos dos termos da sequencia
an = a · 2017^n + b · 2016^n
é infinito."

-- 
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Re: [obm-l] Problema estranho

[Otávio Araújo]

Já tentei isso, porém não parece ajudar em muita coisa  mas de qualquer 
forma obrigado

> Em 9 de jul de 2017, às 18:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
>  escreveu:
> 
> Não pensei muito, mas acho que você deveria tentar provar os casos n=1
> e n=2 "no braço" para ter a intuição.  E, na verdade, o enunciado
> deveria ser: dados a_1, a_2, ... a_{2n+1} números reais, não
> necessariamente distintos, tais que, para cada escolha de 2n dentre
> eles, é possível separar em dois grupos de n cada, com a mesma soma.
> (evitando falar de conjuntos, você pode ter à vontade os elementos
> repetidos).
> 
> Assim, o caso n=1 fica: temos a_1, a_2, a_3.  Tomando os elementos
> a_1, a_2, é possĩvel separar em dois grupos de um elemento, com a soma
> igual.  Logo a_1 = a_2.  Por simetria, a_1 = a_3, e acabou.  Para n=2,
> dá mais trabalho.
> 
> 2017-07-08 23:20 GMT+03:00 Otávio Araújo :
>> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( 
>> passei muito tempo nela já kkk):
>> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, 
>> não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
>> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois 
>> conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses 
>> dois conjuntos de n elementos são iguais.
>>   Prove que todos os elementos de A são iguais."
>> 
>> 
>> 
>> 
>> 
>> 
>> 
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
> 
> 
> 
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Problema estranho

[Otávio Araújo]

O enunciado original eu não vi, quem me falou desse problema foi um amigo meu. 
assim me perdoe pelo erro grosseiro. Mas considerando esse A um multiconjunto, 
essa questão é verdadeira ou se tem um contra-exemplo?

> Em 8 de jul de 2017, às 19:47, Bruno Visnadi  
> escreveu:
> 
> Tecnicamente não dá para chamar de conjunto, quando há números repetidos. 
> O correto seria Multiconjunto:Â https://pt.wikipedia.org/wiki/Multiconjunto
> 
> Em 8 de julho de 2017 19:27, Luiz Antonio Rodrigues  
> escreveu:
>> Olá, Otávio!
>> Desculpe a intromissão. Eu não sei como resolver seu problema, mas quero 
>> aproveitá-lo para colocar uma questão que me atormenta desde a faculdade: 
>> pode existir um conjunto {1,1,1,2,3}? O número 1 não é único?
>> Um abraço!
>> Luiz
>> 
>> On Jul 8, 2017 5:35 PM, "Otávio Araújo"  wrote:
>> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( 
>> passei muito tempo nela já kkk):
>> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, 
>> não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
>> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois 
>> conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses 
>> dois conjuntos de n elementos são iguais.
>>    Prove que todos os elementos de A são iguais."
>> 
>> 
>> 
>> 
>> 
>> 
>> 
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>> 
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Problema estranho

[Otávio Araújo]

Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim ( passei muito 
tempo nela já kkk):
" Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números reais, não 
necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
- Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em dois 
conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um desses dois 
conjuntos de n elementos são iguais.
   Prove que todos os elementos de A são iguais."







-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida sobre a Obm U

[Otávio Araújo]

Não, onde posso conseguir? e do que ela trata?

Em 25 de julho de 2016 11:32, Carlos Victor <victorcar...@globo.com>
escreveu:

>
>
>
> Oi Otávio,
>
> Você já viu a Revista Matemática Universitária da SBM ?
>
> Em 25/07/2016 10:09, Otávio Araújo escreveu:
>
>
>
> Pois é, se algum professor com experiência em olimpíadas, como o Nicolau
> por exemplo, respondesse minha pergunta seria de grande ajuda
>
> Em 24 de jul de 2016, às 23:25, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
> Boa pergunta, eu também tenho interesse em participar da OBM U e gostaria
> de umas dicas
>
> Em 16 de julho de 2016 13:29, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
> escreveu:
>
>> Galera, gostaria que vocês me dessem dicas de o que estudar, como
>> estudar e por quais livros e materiais estudar para a prova da Obm nível
>> universitário...
>> Estou muito interessado em participar, mas fico meio confuso por onde
>> estudar...
>> Por favor me ajudem
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida sobre a Obm U

[Otávio Araújo]

Égua Tiago, eu também sou do Ceará mas meu celular atualmente não tem chip 
Mas tu é da UFC Tiago? E ainda estou esperando algum professor com experiência 
em olimpíadas de matemática responder a minha pergunta 

> Em 25 de jul de 2016, às 13:38, Tiago Sandino  
> escreveu:
> 
> Oi pessoal.
> Tem diversos livros de olimpíadas para graduandos (undergrads) ou com 
> capítulos de temas exclusivamente (até onde eu saiba) universitários. 
> Grátis na net, que eu saiba, tem muita coisa no AOPS. Dois links aqui:
> 1) Fórum: https://www.artofproblemsolving.com/community/c7_college_math
> 2) Fórum por Competições: 
> https://www.artofproblemsolving.com/community/c15_undergraduate_contests
> 
> Sou do Ceará, tava meio afastado da Matemática, mas fiz as pazes com ela 
> recentemente. Se alguém quiser formar um grupo de estudo pelo Whatsapp... 
> segue meu número: 85 9 9913 4896.
> 
> Att.
> Tiago Sandino
> 
> Em 25 de julho de 2016 10:20, Raul Alves  escreveu:
>> Também tenho interesse na OBMU, e a 1ª fase tá chegando.
>> Se algum professor puder organizar algum material de apoio, seria de grande 
>> ajuda
>> 
>> Em 25 de julho de 2016 10:09, Otávio Araújo  
>> escreveu:
>>> 
>>> 
>>> Pois é, se algum professor com experiência em olimpíadas, como o Nicolau 
>>> por exemplo, respondesse minha pergunta seria de grande ajuda
>>> 
>>> Em 24 de jul de 2016, Ã s 23:25, Israel Meireles Chrisostomo 
>>>  escreveu:
>>> 
 Boa pergunta, eu também tenho interesse em participar da OBM U e 
 gostaria de umas dicas
 
 Em 16 de julho de 2016 13:29, Otávio Araújo 
  escreveu:
> Galera, gostaria que vocês me dessem dicas de o que estudar, como 
> estudar e por quais livros e materiais estudar para a prova da Obm 
> nível universitário...
> Estou muito interessado em participar, mas fico meio confuso por onde 
> estudar...
> Por favor me ajudem
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> 
>> -- 
>> Raul Lima Alves
>> 
>> Estagiário na Aton Engenharia
>> Estudante de Engenharia de Computação - UFBA
>> Telefone: (71) 9103-0878
>> Facebook:Â https://www.facebook.com/raul.alves.161
>> LinkedIn:Â https://br.linkedin.com/in/raul-alves-8b090228
>> 
>> 
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida sobre a Obm U

[Otávio Araújo]

Pois é, se algum professor com experiência em olimpíadas, como o Nicolau por 
exemplo, respondesse minha pergunta seria de grande ajuda

> Em 24 de jul de 2016, às 23:25, Israel Meireles Chrisostomo 
>  escreveu:
> 
> Boa pergunta, eu também tenho interesse em participar da OBM U e gostaria de 
> umas dicas
> 
> Em 16 de julho de 2016 13:29, Otávio Araújo  
> escreveu:
>> Galera, gostaria que vocês me dessem dicas de o que estudar, como estudar 
>> e por quais livros e materiais estudar para a prova da Obm nível 
>> universitário...
>> Estou muito interessado em participar, mas fico meio confuso por onde 
>> estudar...
>> Por favor me ajudem
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Dúvida sobre a Obm U

[Otávio Araújo]

Galera, gostaria que vocês me dessem dicas de o que estudar, como estudar e por 
quais livros e materiais estudar para a prova da Obm nível universitário...
Estou muito interessado em participar, mas fico meio confuso por onde estudar...
Por favor me ajudem
-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=