Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico - off topic
Ola' Nehab, o Numerowsky, como o chamavamos (por conta de seu envolvimento com Teoria dos Numeros), era Luiz Oswaldo Teixeira da Silva. Alem do russo, falava mais alguns idiomas, e entre algumas de suas excentricidades, ele era monarquista. Mas havia inumeras historias sobre ele. Uma vez, durante a apresentacao de um trabalho (na pos-graduacao do IME) sobre otimizacao de sistemas, ele passou praticamente o tempo todo de olhos fechados, cochilando. O Severo, o Barreto, e outros de controle estiveram presentes, e, no final da apresentacao, o palestrante chegou a uma matriz otima para a funcao de transferencia, com a anuencia da plateia. Entao o Numerowsky acordou e sugeriu uma outra matriz, que, para espanto de todos, gerava um resultado melhor que a suposta matriz otima. Luiz Oswaldo saiu, e deixou o pessoal discutindo sobre onde estaria o furo da apresentacao do trabalho... Em outra ocasiao, eu e um colega de turma vinhamos discutindo sobre uma formula que chegara `as nossas maos, e que supostamente geraria numeros primos para qualquer n (para cada n, e alternando sinais +/- , ela gerava alguns numeros, e pelo menos um desses numeros seria primo). Tinhamos certeza de que nao era verdade, mas ja' haviamos testado para varios n, e parecia que funcionava. Entao encontramos o Luiz Oswaldo num dos corredores. Mostramos o papel com a formula a ele, e perguntamos : Sera' que isso sempre gera primos? Sem diminuir o passo, Numerowsky respondeu em 3 segundos: Pode testar para fatorial de 8, que da' erro. E corrigiu em seguida: Nao, nao... fatorial de 7 ja' e' o suficiente... Alias, essa historia de 3 segundos era famosa, em se tratando de Luiz Oswaldo: numa de suas provas, houve uma questao que ninguem conseguiu fazer. Depois da correcao, ele comentou muito surpreso, que a tal questao era resolvida muito facilmente em 3 segundos. Em suas palavras: Com 3 golpes de astucia se resolve essa questao. Primeiramente, basta lembrar que... E, apos descrever os tais golpes de astucia, completou Gastando-se um segundo para cada golpe de astucia, em apenas 3 segundos poderiamos ter resolvido a questao. Ficamos com cara de bobos... Esse era o Luiz Oswaldo. Ah Nehab, voce se esqueceu de outro craque (que nos deu aula de geometria descritiva): o Frank Schaeffer ! Artista plastico e muito distinto (era um verdadeiro lorde), o Schaeffer foi um dos poucos catedraticos do IME. Na ultima vez em que conversei com ele , frente `a sua lucidez, perguntei-lhe a idade: algo em torno de 90 anos... Sera' que a gente chega la' ? Abracao, Rogerio Ponce Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Palmerim, Acho que preciso corrigir uma imagem equivocada de minha competência Os craques que eu conheci da geometria (e também de desenho geométrico e de geometria descritiva e projetiva, de meu tempo de aluno) foram Célio Pinto de Almeida, Virgílio de Athayde Pinheiro e Luiz Oswaldo (esqueci o sobrenome - do IME e da UFF) e, 20 anos depois, o colega Wagner desta lista (citado por você). Perdoe minha ignorância (e memória) se não lembro de outros. Embora apaixonadíssimo pela Geometria, ela nunca foi meu forte e talvez por isto mesmo a estude tanto...Mas por favor, fique muito melhor do que eu em Geometria, senão você correrá o risco de entrar pelo cano(êta expressãozinha antiga!). Minha paixão pela Matemática consegue ser menor que minha paixão pelo Ensino da Matemática e talvez por isto você tenha me confundido como geômetra. Quem dera! E com relação a tem professor IME/ITA aposentado nesta lista, infelizmente, ainda trabalho prá caramba e por esta razão minha presença aqui é tão descontínua no tempo (às vezes sobra, quase sempre falta...). Um grande abraço, Nehab PS: Um conselho de um coroa que admira seu tesão pelo estudo: não pendure livros na Internet. Sugira apenas sua compra, caso contrário de que adiantaria (eu, você, etc) escrever o livro que você sugeriu :-) ? Lembre-se que professores, matemáticos e geômetras também vivem de seu trabalho e um direitozinho autoral é uma ajuda fundamental no leite das crianças (mesmo que sejam netos...). Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico
Sem querer ser OFF-TOPIC já sendo, sou de Niterói, Rio de Janeiro. Dou aula no curso Riachuelo e na Uerj. Estou muito em falta com a comunidade matemática, inclusive tenho logo que pensar num mestrado. Espero um dia poder tomar um café com vocês em algum colóquio no IMPA (se eu tomar vergonha e me inscrever). Abraços a todos PC
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico
Bem, Paulo .a comunidade matemática, inclusive tenho logo que pensar num mestrado. Acho melhor parar de pensar e começar a correr atrás... Palavras de um coroa que sabe que a hora passa muito rápido... Espero um dia poder tomar um café com vocês em algum colóquio no IMPA (se eu tomar vergonha e me inscrever). Francamente, Paulo O dia que você quizer ir ao IMPA me telefone (9949.1442) e eu o cicironeio Vou de vez em quando lá ver livros e matar as saudades (além disso meu filho mais novo é ligado à turma de computaçao gráfica de lá - incluindo um homônimo seu, o PC de lá). Abraços, Nehab
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico - off topic
Que delícia, Ponce Sua memória é melhor do que a minha... Fui aluno do Luiz Oswaldo no IME - em 1965/66 (antes de você, portanto...) e na UFF (onde cursei Matemática), onde ele foi meu professor de Teoria dos Números. Foi com ele que ralei o Irrational Numbers do Niven, por exemplo.Ele era realmente um monstro em Teoria dos Números, mas também sabia tudo de Geometria. Mas como não considero off-topic estórias sobre os grandes mestres, ai vão mais algumas: - ele usava uma única gravava azul, tão surrada quanto seu terno igualmente igualmente azul... - era pão duro como o o diabo; ia a pé para casa e lanche no IME ou taxi nem pensar; - jamais mostrei a ele algum problema de geometria que ele não desse a resposta em meio segundo; - era torcedor fanático do Bangu e morava em uma casa na praia de Botafogo, com 3 irmãs; nesta casa a sala gigantesca era sua biblioteca com mais de 5 000 livros de matemática (eu fui lá umas duas vezes para estudar e ele me emprestou 2 livros; em uma semana pediu de volta...); - um dia, lí no jornal (JURO que é verdade) que um torcedor maluco do Bangu tinha deixado todas sua fortuna para o clube e qual não foi minha surpresa ao saber que o Luiz Oswaldo tinha falecido e era o tal torcedor fanático... E muito menos sabíamos que era riquíssimo, com milhões aplicados na bolsa... Pois, é, quando a gente conhece figuras como o Luiz Oswaldo dá para entender a imagem que as pessoas simples fazem a respeito da excentricidade dos Matemáticos... Não é de graça, né Tem cada um... :-). Portanto, galera, se algum de vocês torce pelo Bangu, ou pelo São Cristóvão, como minha falecida sogra, já é um bom começo... Só falta saber tanta matemática quanto ele, usar uma gravata azul desbotada e esperar para rico... :-) Quanto ao Frank Schaeffer, uma das pessoas mais 'lindas' que conheci, era pintor profisional e amigo da Djanira. E como você diz, um lord, com aquele distintíssimo cachimbo Durante muitos aos morou em um barco atracado na Urca e o tema de suas pinturas era muito ligado ao mar... Mas ele foi meu professor de Desenho Técnico, e não de Discritiva. Eram absolutamente incríveis as peças malucas que ele mandava a gente desenhar em perspectiva !E a tranquilidade com que dava zero pra gente. Acho que nunca deu um 10 na vida... Muita saudade. Este era um Mestre ! (por curiosidade, veja http://www.evandrocarneiroleiloes.com/materia/view/3431?artistId=232) Quanto à gente chegar lá (nos 90), não tenho certeza não, mais meu velho já está com 92 , resmungão e brigão como o diabo gosta. Se DNA significar alguma coisa, eu acho que meus filhos estão ferrados... Abração Nehab At 14:22 17/9/2007, you wrote: Ola' Nehab, o Numerowsky, como o chamav amos (por conta de seu envolvimento com Teoria dos Numeros), era Luiz Oswaldo Teixeira da Silva. Alem do russo, falava mais alguns idiomas, e entre algumas de suas excentricidades, ele era monarquista. Mas havia inumeras historias sobre ele. Uma vez, durante a apresentacao de um trabalho (na pos-graduacao do IME) sobre otimizacao de sistemas, ele passou praticamente o tempo todo de olhos fechados, cochilando. O Severo, o Barreto, e outros de controle estiveram presentes, e, no final da apresentacao, o palestrante chegou a uma matriz otima para a funcao de transferencia, com a anuencia da plateia. Entao o Numerowsky acordou e sugeriu uma outra matriz, que, para espanto de todos, gerava um resultado melhor que a suposta matriz otima. Luiz Oswaldo saiu, e deixou o pessoal discutindo sobre onde estaria o furo da apresentacao do trabalho... Em outra ocasiao, eu e um colega de turma vinhamos discutindo sobre uma formula que chegara `as nossas maos, e que supostamente geraria numeros primos para qualquer n (para cada n, e alternando sinais +/- , ela gerava alguns numeros, e pelo menos um desses numeros seria primo). Tinhamos certeza de que nao era verdade, mas ja' haviamos testado para varios n, e parecia que funcionava. Entao encontramos o Luiz Oswaldo num dos corredores. Mostramos o papel com a formula a ele, e perguntamos : Sera' que isso sempre gera primos? Sem diminuir o passo, Numerowsky respondeu em 3 segundos: Pode testar para fatorial de 8, que da' erro. E corrigiu em seguida: Nao, nao... fatorial de 7 ja' e' o suficiente... Alias, essa historia de 3 segundos era famosa, em se tratando de Luiz Oswaldo: numa de suas provas, houve uma questao que ninguem conseguiu fazer. Depois da correcao, ele comentou muito surpreso, que a tal questao era resolvida muito facilmente em 3 segundos. Em suas palavras: Com 3 golpes de astucia se resolve essa questao. Primeiramente, basta lembrar que... E, apos descrever os tais golpes de astucia, completou Gastando-se um segundo para cada golpe de astucia, em apenas 3 segundos poderiamos ter resolvido a questao. Ficamos com cara de bobos... Esse era o Luiz Oswaldo. Ah Nehab, voce se esqueceu
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico - off topic
Olá, vou ser breve devido a prova de amanhã. Eu já sabia que o Nehab foi aluno do IME, e pelo que entendi nas conversas com Ponce, acredito que ele também tenha sido. bom, vou pedindo desculpas pelo off-topic mas não resisti. Atualmente estou trabalhando com um outro ex-aluno do IME, Cláudio Abreu, formado em 87. Gostaria de saber se há mais algum ex-aluno (ou atual aluno, como eu) do IME, e se alguém está interessado em um churrasco para uma troca de experiências, contatos e diversão. hehe. Obviamente, peço que todos que ainda tenham contato com colegas de turma ou outros ex-alunos avisem-nos. O churrasco não tem data marcada, aliás, é uma idéia que tenho a algum tempo e não sei como concretizar. Fiquem a vontade para responder no meu e-mail pessoal, [EMAIL PROTECTED] Acredito que um churrasco deste seria muito interessante e divertido. Adorei escutar as histórias do Cláudio sobre sua época, como eram os militares, etc.. forte abraço a todos, Salhab IME-2009 On 9/17/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote: Que delícia, Ponce Sua memória é melhor do que a minha... Fui aluno do Luiz Oswaldo no IME - em 1965/66 (antes de você, portanto...) e na UFF (onde cursei Matemática), onde ele foi meu professor de Teoria dos Números. Foi com ele que ralei o Irrational Numbers do Niven, por exemplo.Ele era realmente um monstro em Teoria dos Números, mas também sabia tudo de Geometria. Mas como não considero off-topic estórias sobre os grandes mestres, ai vão mais algumas: - ele usava uma única gravava azul, tão surrada quanto seu terno igualmente igualmente azul... - era pão duro como o o diabo; ia a pé para casa e lanche no IME ou taxi nem pensar; - jamais mostrei a ele algum problema de geometria que ele não desse a resposta em meio segundo; - era torcedor fanático do Bangu e morava em uma casa na praia de Botafogo, com 3 irmãs; nesta casa a sala gigantesca era sua biblioteca com mais de 5 000 livros de matemática (eu fui lá umas duas vezes para estudar e ele me emprestou 2 livros; em uma semana pediu de volta...); - um dia, lí no jornal (JURO que é verdade) que um torcedor maluco do Bangu tinha deixado todas sua fortuna para o clube e qual não foi minha surpresa ao saber que o Luiz Oswaldo tinha falecido e era o tal torcedor fanático... E muito menos sabíamos que era riquíssimo, com milhões aplicados na bolsa... Pois, é, quando a gente conhece figuras como o Luiz Oswaldo dá para entender a imagem que as pessoas simples fazem a respeito da excentricidade dos Matemáticos... Não é de graça, né Tem cada um... :-). Portanto, galera, se algum de vocês torce pelo Bangu, ou pelo São Cristóvão, como minha falecida sogra, já é um bom começo... Só falta saber tanta matemática quanto ele, usar uma gravata azul desbotada e esperar para rico... :-) Quanto ao Frank Schaeffer, uma das pessoas mais 'lindas' que conheci, era pintor profisional e amigo da Djanira. E como você diz, um lord, com aquele distintíssimo cachimbo Durante muitos aos morou em um barco atracado na Urca e o tema de suas pinturas era muito ligado ao mar... Mas ele foi meu professor de Desenho Técnico, e não de Discritiva. Eram absolutamente incríveis as peças malucas que ele mandava a gente desenhar em perspectiva !E a tranquilidade com que dava zero pra gente. Acho que nunca deu um 10 na vida... Muita saudade. Este era um Mestre ! (por curiosidade, veja http://www.evandrocarneiroleiloes.com/materia/view/3431?artistId=232 ) Quanto à gente chegar lá (nos 90), não tenho certeza não, mais meu velho já está com 92 , resmungão e brigão como o diabo gosta. Se DNA significar alguma coisa, eu acho que meus filhos estão ferrados... Abração Nehab At 14:22 17/9/2007, you wrote: Ola' Nehab, o Numerowsky, como o chamav amos (por conta de seu envolvimento com Teoria dos Numeros), era Luiz Oswaldo Teixeira da Silva. Alem do russo, falava mais alguns idiomas, e entre algumas de suas excentricidades, ele era monarquista. Mas havia inumeras historias sobre ele. Uma vez, durante a apresentacao de um trabalho (na pos-graduacao do IME) sobre otimizacao de sistemas, ele passou praticamente o tempo todo de olhos fechados, cochilando. O Severo, o Barreto, e outros de controle estiveram presentes, e, no final da apresentacao, o palestrante chegou a uma matriz otima para a funcao de transferencia, com a anuencia da plateia. Entao o Numerowsky acordou e sugeriu uma outra matriz, que, para espanto de todos, gerava um resultado melhor que a suposta matriz otima. Luiz Oswaldo saiu, e deixou o pessoal discutindo sobre onde estaria o furo da apresentacao do trabalho... Em outra ocasiao, eu e um colega de turma vinhamos discutindo sobre uma formula que chegara `as nossas maos, e que supostamente geraria numeros primos para qualquer n (para cada n, e alternando sinais +/- , ela gerava alguns numeros, e pelo menos um
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico - UFA !
Ola Nehab e Paulo, ja comecei a ESTUDAR o trabalho da Silvana (agora vou ficar bom nisso, que nem o Nehab), e tambem vi que ela fala sobre inversão. Conheco tambem um bom artigo sobre inversao para simplificar problemas complexos de geometria, que pode ser baixado no link: http://www.4shared.com/file/24240164/f2daf78/InversaoProblemasGeometricos.html Acho que ja esta na hora de termos em lingua portuguesa um livro do tipo Geometry Revisitedhttp://www.4shared.com/file/24241815/800655c3/Geometry_Revisited__HSM_Coxeter__SL_Greitzer_1967_.html com assuntos e problemas mais avancados como o Teorema de Pompeiu e aqueles de que trata a Silvana. O livro dos mestres Wagner e Morgado (tive a honra de ser aluno deles no Colegio Princesa Isabel, em botafogo) deu um bom inicio, mas agora merecemos mais. Tem professor IME/ITA aposentado nesta lista que poderia fazer muito bem esse trabalho. Tenho certesa que o livro seria um verdadeiro sucesso, Nehab... P.S.Tambem sou do Rio, Paulo Cesar. Abracos, Palmerim Em 13/09/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Palmerim, O problema abaixo é exatamente um dos dois problemas que eu mencionei na resposta a você. Portanto, não deixe de ler a tese da Silvana... ... E ja que estamos falando em diversidade de solucoes, existe um problema muito famoso, conhecido de todos aqui da lista, do mesmo tipo do que apresentei aqui, mas que possui oito excelentes solucoes que foram colecionadas pelo professor Tom Rike, que faz parte do Berkeley Math Circle (sei lah o que eh isso), e que vale a pena dar uma boa olhada e estuda-las (pelo menos para mim...). Esta no link abaixo: http://www.4shared.com/file/24161313/99643ed9/An_Intriguing_Geometry_Problem.html Abraços, Nehab
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico - off topic
Oi, Palmerim, Acho que preciso corrigir uma imagem equivocada de minha competência Os craques que eu conheci da geometria (e também de desenho geométrico e de geometria descritiva e projetiva, de meu tempo de aluno) foram Célio Pinto de Almeida, Virgílio de Athayde Pinheiro e Luiz Oswaldo (esqueci o sobrenome - do IME e da UFF) e, 20 anos depois, o colega Wagner desta lista (citado por você). Perdoe minha ignorância (e memória) se não lembro de outros. Embora apaixonadíssimo pela Geometria, ela nunca foi meu forte e talvez por isto mesmo a estude tanto...Mas por favor, fique muito melhor do que eu em Geometria, senão você correrá o risco de entrar pelo cano(êta expressãozinha antiga!). Minha paixão pela Matemática consegue ser menor que minha paixão pelo Ensino da Matemática e talvez por isto você tenha me confundido como geômetra. Quem dera! E com relação a tem professor IME/ITA aposentado nesta lista, infelizmente, ainda trabalho prá caramba e por esta razão minha presença aqui é tão descontínua no tempo (às vezes sobra, quase sempre falta...). Um grande abraço, Nehab PS: Um conselho de um coroa que admira seu tesão pelo estudo: não pendure livros na Internet. Sugira apenas sua compra, caso contrário de que adiantaria (eu, você, etc) escrever o livro que você sugeriu :-) ? Lembre-se que professores, matemáticos e geômetras também vivem de seu trabalho e um direitozinho autoral é uma ajuda fundamental no leite das crianças (mesmo que sejam netos...). At 11:02 14/9/2007, you wrote: Ola Nehab e Paulo, ja comecei a ESTUDAR o trabalho da Silvana (agora vou ficar bom nisso, que nem o Nehab), e tambem vi que ela fala sobre inversão. Conheco tambem um bom artigo sobre inversao para simplificar problemas complexos de geometria, que pode ser baixado no link: http://www.4shared.com/file/24240164/f2daf78/InversaoProblemasGeometricos.htmlhttp://www.4shared.com/file/24240164/f2daf78/InversaoProblemasGeometricos.html Acho que ja esta na hora de termos em lingua portuguesa um livro do tipo http://www.4shared.com/file/24241815/800655c3/Geometry_Revisited__HSM_Coxeter__SL_Greitzer_1967_.htmlGeometry Revisited com assuntos e problemas mais avancados como o Teorema de Pompeiu e aqueles de que trata a Silvana. O livro dos mestres Wagner e Morgado (tive a honra de ser aluno deles no Colegio Princesa Isabel, em botafogo) deu um bom inicio, mas agora merecemos mais. Tem professor IME/ITA aposentado nesta lista que poderia fazer muito bem esse trabalho. Tenho certesa que o livro seria um verdadeiro sucesso, Nehab... P.S.Tambem sou do Rio, Paulo Cesar. Abracos, Palmerim Em 13/09/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Palmerim, O problema abaixo é exatamente um dos dois problemas que eu mencionei na resposta a você. Portanto, não deixe de ler a tese da Silvana... ... E ja que estamos falando em diversidade de solucoes, existe um problema muito famoso, conhecido de todos aqui da lista, do mesmo tipo do que apresentei aqui, mas que possui oito excelentes solucoes que foram colecionadas pelo professor Tom Rike, que faz parte do Berkeley Math Circle (sei lah o que eh isso), e que vale a pena dar uma boa olhada e estuda-las (pelo menos para mim...). Esta no link abaixo: http://www.4shared.com/file/24161313/99643ed9/An_Intriguing_Geometry_Problem.htmlhttp://www.4shared.com/file/24161313/99643ed9/An_Intriguing_Geometry_Problem.html Abraços, Nehab
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico - off topic
Ola mestre Nehab, A modestia eh marca mais sublime de um mestre, nao tenho duvida. Obrigado pelo sábio conselho, tem toda a razao, retirei imediatamente o livro do pendura. Um forte abraco, mestre. Palmerim Em 14/09/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Palmerim, Acho que preciso corrigir uma imagem equivocada de minha competência Os craques que eu conheci da geometria (e também de desenho geométrico e de geometria descritiva e projetiva, de meu tempo de aluno) foram Célio Pinto de Almeida, Virgílio de Athayde Pinheiro e Luiz Oswaldo (esqueci o sobrenome - do IME e da UFF) e, 20 anos depois, o colega Wagner desta lista (citado por você). Perdoe minha ignorância (e memória) se não lembro de outros. Embora apaixonadíssimo pela Geometria, ela nunca foi meu forte e talvez por isto mesmo a estude tanto...Mas por favor, fique muito melhor do que eu em Geometria, senão você correrá o risco de entrar pelo cano(êta expressãozinha antiga!). Minha paixão pela Matemática consegue ser menor que minha paixão pelo Ensino da Matemática e talvez por isto você tenha me confundido como geômetra. Quem dera! E com relação a tem professor IME/ITA aposentado nesta lista, infelizmente, ainda trabalho prá caramba e por esta razão minha presença aqui é tão descontínua no tempo (às vezes sobra, quase sempre falta...). Um grande abraço, Nehab PS: Um conselho de um coroa que admira seu tesão pelo estudo: não pendure livros na Internet. Sugira apenas sua compra, caso contrário de que adiantaria (eu, você, etc) escrever o livro que você sugeriu :-) ? Lembre-se que professores, matemáticos e geômetras também vivem de seu trabalho e um direitozinho autoral é uma ajuda fundamental no leite das crianças (mesmo que sejam netos...). At 11:02 14/9/2007, you wrote: Ola Nehab e Paulo, ja comecei a ESTUDAR o trabalho da Silvana (agora vou ficar bom nisso, que nem o Nehab), e tambem vi que ela fala sobre inversão. Conheco tambem um bom artigo sobre inversao para simplificar problemas complexos de geometria, que pode ser baixado no link: http://www.4shared.com/file/24240164/f2daf78/InversaoProblemasGeometricos.html Acho que ja esta na hora de termos em lingua portuguesa um livro do tipo Geometry Revisitedhttp://www.4shared.com/file/24241815/800655c3/Geometry_Revisited__HSM_Coxeter__SL_Greitzer_1967_.html com assuntos e problemas mais avancados como o Teorema de Pompeiu e aqueles de que trata a Silvana. O livro dos mestres Wagner e Morgado (tive a honra de ser aluno deles no Colegio Princesa Isabel, em botafogo) deu um bom inicio, mas agora merecemos mais. Tem professor IME/ITA aposentado nesta lista que poderia fazer muito bem esse trabalho. Tenho certesa que o livro seria um verdadeiro sucesso, Nehab... P.S.Tambem sou do Rio, Paulo Cesar. Abracos, Palmerim Em 13/09/07, *Carlos Eddy Esaguy Nehab* [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Palmerim, O problema abaixo Ã(c) exatamente um dos dois problemas que eu mencionei na resposta a você. Portanto, não deixe de ler a tese da Silvana... ... E ja que estamos falando em diversidade de solucoes, existe um problema muito famoso, conhecido de todos aqui da lista, do mesmo tipo do que apresentei aqui, mas que possui oito excelentes solucoes que foram colecionadas pelo professor Tom Rike, que faz parte do Berkeley Math Circle (sei lah o que eh isso), e que vale a pena dar uma boa olhada e estuda-las (pelo menos para mim...). Esta no link abaixo: http://www.4shared.com/file/24161313/99643ed9/An_Intriguing_Geometry_Problem.html Abraços, Nehab
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico
Olá mestres, esta lista sem duvida eh o paraiso na terra! Paulo Cesar, quanto mais diversidade melhor, todas as diferentes solucoes sao, na minha humilde opiniao, importantes, inclusive a mais longa do Armando. Vou coleciona-las e estuda-las cuidadosamente. Obrigado a todos pelo belo trabalho. Mestre Nehab, retirei o problema de um site na internet, um que, se nao me engano, ja foi mencionado nesta lista, mas nao me lembro qual exatamente. Eh um site com muitos problemas e desafios de geomeria plana e com todas as figuras muito coloridas e bem elaboradas. Vou tentar achar e aviso. E ja que estamos falando em diversidade de solucoes, existe um problema muito famoso, conhecido de todos aqui da lista, do mesmo tipo do que apresentei aqui, mas que possui oito excelentes solucoes que foram colecionadas pelo professor Tom Rike, que faz parte do Berkeley Math Circle (sei lah o que eh isso), e que vale a pena dar uma boa olhada e estuda-las (pelo menos para mim...). Esta no link abaixo: http://www.4shared.com/file/24161313/99643ed9/An_Intriguing_Geometry_Problem.html Abracos, Palmerim Em 12/09/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Paulo Cesar, Gostei muito da solução. Eu bem que tentei mas não havia conseguido uma solução tão geometrica e bonita. Mas quanto a fortalecer simulados, tu é mau pra caramba, hein... :-) Sua solução também inspira outra solução para a propriedade que mencionei das diagonais do octadecágono. E confesso que não conhecia o problema. Será que o Palmerim sabe a origem deste problema ? Não vale dizes que caiu em prova, pois vou achar que foi na sua... Abraços, Nehab At 22:32 12/9/2007, you wrote: Olá Palmerim. Caso ainda reste alguma curiosidade sobre o problema, aí vai mais uma solução. Tal solução, como disse o Nehab, é mesmo referente aos polígonos eneágono e octadecágono, mas a abordagem é um pouco mais independente das construções desses polígonos. Aí vai: Trace o segmento CE, cortando AB em F. Trace agora o segmento DF. O triângulo CBE é isósceles, logo BCE = BEC = 40º. Note que o quadrilátero AFDC será um trapézio isósceles (observe os ângulos de 20º e 40º que as diagonais formam com os lados oblíquos). Logo, temos que FD é paralelo a AC e, portanto, BFD = 60º. Concluímos então que o triângulo BFD é equilátero com BF = FD = BD. Observe agora o triângulo BEF. O mesmo é isósceles (40º, 40º, 100º), daí BF = FE. Finalizando, veja então que o triângulo DEF é isósceles (FD = EF, 10º 10º e 160º). Como BED = x temos x = 40º - 10º = 30º. Espero ter ajudado. Agradeço pela questão. Serviu para fortalecer um dos simulados do curso onde trabalho. []'s PC
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico
Olá Nehab, Palmerim e demais amigos da lista Pô, não sou malvado não. É que a rapaziada que se prepara para olimpíadas e concursos militares gostam de fortes emoções. Se o simulado for tranquilo, eles reclamam. Mas enfim, assim que vi o problema com aquele triângulo 100º, 40º, 40º, desconfiei que fosse alguma variante daquela questão famosa do ângulo adventício de 30º (aprendi esse nome com o Nicolau). Por que será que esses problemas tão interessantes envolvem sempre os mesmos ângulos e triângulos? Conheço duas outras questões famosas (já postadas aqui) onde os mesmos triângulos de 100º, 40º, 40º e 20º, 80º, 80º aparecem, envolvendo congruências e paralelismos. De qualquer forma, valeu pela diversão. []'s PC PS: Onde vocês trabalham? É no Rio de Janeiro?
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico - UFA !
Oi, Palmerim, O problema abaixo é exatamente um dos dois problemas que eu mencionei na resposta a você. Portanto, não deixe de ler a tese da Silvana... ... E ja que estamos falando em diversidade de solucoes, existe um problema muito famoso, conhecido de todos aqui da lista, do mesmo tipo do que apresentei aqui, mas que possui oito excelentes solucoes que foram colecionadas pelo professor Tom Rike, que faz parte do Berkeley Math Circle (sei lah o que eh isso), e que vale a pena dar uma boa olhada e estuda-las (pelo menos para mim...). Esta no link abaixo: http://www.4shared.com/file/24161313/99643ed9/An_Intriguing_Geometry_Problem.htmlhttp://www.4shared.com/file/24161313/99643ed9/An_Intriguing_Geometry_Problem.html Abraços, Nehab
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico
Oi, Paulo Cesar, ... Mas enfim, assim que vi o problema com aquele triângulo 100º, 40º, 40º, desconfiei que fosse alguma variante daquela questão famosa do ângulo adventício de 30º (aprendi esse nome com o Nicolau). Por que será que esses problemas tão interessantes envolvem sempre os mesmos ângulos e triângulos? Conheço duas outras questões famosas (já postadas aqui) onde os mesmos triângulos de 100º, 40º, 40º e 20º, 80º, 80º aparecem, envolvendo congruências e paralelismos. Se você der uma olhada na referência que sugeri da tese Silvana (vai gostar, com certeza) encontrará parte de sua resposta, estudando um pouco sobre Complexidade na Geometria... Uma explicação simplista, mas já uma primeira motivação para você ler algo sobre isto, é que tais ângulos recaem em problemas do terceiro grau, e não como os problemas menos complexos, que admitem solução do segundo grau. A propósito, sou do Rio, e você? Abraços, Nehab
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico
Ola' Palmerim e colegas da lista, vou dar uma solucao feiosa mesmo, isto e', por trigonometria... Sem perda de generalidade, vamos atribuir um comprimento unitario a cada lado de ABC. Agora, trace a vertical que passa pelo vertice E, encontrando o prolongamento ( 'a esquerda) de BD no ponto F. Vamos usar o triangulo DEF para calcular a tangente do angulo DEF = x +10 graus. Assim, tg (x+10) = FD / EF = (FB + 1 - DC) / EF Como EB=1, e o angulo BEF=10 graus , temos que: EF=cos10 FB=sin10 Aplicando lei dos senos no triangulo ADC, vemos que DC= sin20 / sin100 Substituindo os valores no calculo da tangente, obtemos tg (x+10) = ( sin10 + 1 - sin20 / sin100 ) / cos10 Substituindo sin20 por 2 * sin10 * cos10 , assim como sin100 por cos10, vem: tg (x+10) = ( 1 - sin10 ) / cos10 Entao, lembrando da velha formuleta (1 - sinA) / cosA = tg ( 45 - A/2 ) , finalmente podemos escrever: tg (x+10) = tg ( 45 - 10/2 ) = tg 40 Que nos da' x=30 graus. []'s Rogerio Ponce Palmerim Soares [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola pessoal Esta aqui eh para os grandes mestres Nehab, Ponce e outros geometras da lista. Poderiam dar uma solucao puramente geometrica (a moda agora e essa...). Mas gostaria tambem de ver a solucao trigonometrica, se possivel. Figura no link abaixo: http://imageshock.eu/img/Triangulo.jpg Obrigado, Palmerim Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico
Maravilha!!! Obrigado Rogerio, ja era previsivel mesmo uma solucao sua. E nao eh feia, mas linda. Se algum outro colega da lista conseguir a solucao puramente geometrica, agradeço. Abracos, Palmerim Em 12/09/07, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Palmerim e colegas da lista, vou dar uma solucao feiosa mesmo, isto e', por trigonometria... Sem perda de generalidade, vamos atribuir um comprimento unitario a cada lado de ABC. Agora, trace a vertical que passa pelo vertice E, encontrando o prolongamento ( 'a esquerda) de BD no ponto F. Vamos usar o triangulo DEF para calcular a tangente do angulo DEF = x +10 graus. Assim, tg (x+10) = FD / EF = (FB + 1 - DC) / EF Como EB=1, e o angulo BEF=10 graus , temos que: EF=cos10 FB=sin10 Aplicando lei dos senos no triangulo ADC, vemos que DC= sin20 / sin100 Substituindo os valores no calculo da tangente, obtemos tg (x+10) = ( sin10 + 1 - sin20 / sin100 ) / cos10 Substituindo sin20 por 2 * sin10 * cos10 , assim como sin100 por cos10, vem: tg (x+10) = ( 1 - sin10 ) / cos10 Entao, lembrando da velha formuleta (1 - sinA) / cosA = tg ( 45 - A/2 ) , finalmente podemos escrever: tg (x+10) = tg ( 45 - 10/2 ) = tg 40 Que nos da' x=30 graus. []'s Rogerio Ponce *Palmerim Soares [EMAIL PROTECTED]* escreveu: Ola pessoal Esta aqui eh para os grandes mestres Nehab, Ponce e outros geometras da lista. Poderiam dar uma solucao puramente geometrica (a moda agora e essa...). Mas gostaria tambem de ver a solucao trigonometrica, se possivel. Figura no link abaixo: http://imageshock.eu/img/Triangulo.jpg Obrigado, Palmerim Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba maishttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/flickr/*http://www.flickr.com.br/.
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico
Oi, Palmerim, Pois é, o Ponce diz que solução trigonométrica é feia só para implicar comigo. Mas então eu vou implicar com ele, também, dando a solução geométrica. A inspiração da solução está no mesmo contexto que dois problemas clássicos que habitam esta lista com alguma regularidade: 1) Triângulo Isósceles de 20/80/80 onde A = 20; traçam-se por B e C cevianas fazendo 50 e 60 graus com a base BC, de tal forma que D está em AC, E em AB, BCE = 50, DBC = 60 e se deseja o angulo EDB; 2) Triângulo Isósceles de 40/40/100, onde A = 100. marca-se D no prolongamento de AB de tal forma que AD = BC. Pergunta-se o angulo BCD. O problema que você propôs e mais estes dois estão relacionados com a geometria do polígonos regulares eneágono (9 lados) e octadecágono (18 lados) e suas diagonais. Veja a tese de mestrado da Silvana (já mencionada nesta lista pelo Nicolau) cujo capítuko 2 é inteiramente dedicado aos dois problemas clássicos acima (1 e 2), mas não se intimide, pois este capítulo é simples. Copie este link e baixe o pdf: http://www.google.com.br/url?sa=tct=rescd=2url=http%3A%2F%2Fwww.mat.puc-rio.br%2F~hjbortol%2Fcomplexidade%2Fcomplexidade-em-geometria.pdfei=mfPnRoDCGZyMevvb5dcGusg=AFQjCNG8D4jKXKF_v_qKbopL9H4-74cE6Qsig2=6o2sWVI6_6h-4iAotETV2g Bem, agora vamos à solução do problema que você propôs: Lema (que está demonstrado no texto mencionado): Um octadecágono regular possui 4 diagonais (diferentes de 'diâmetros') que passam por um mesmo ponto em um diâmetro do seu círculo circunscrito. Ai, a partir de sua figura (no link que você enviou) basta observar que: a) B é o centro do octadecágono e BC o raio; b) ED e AD são as diagonais mencionadas no lema e D seu ponto de interseção no diâmetro cujo reta suporte é BC; Dai, é trivial que o ângulo desejado vale 30 graus por ser um ângulo inscrito que subentende um ângulo central de 60 graus. Abraços, Nehab PS: Aproveitando a citação da Silvana, dê uma olhada em um outro lindo problema clássico chamado de Teorema de Napoleão (o próprio) ... que ela desenvolve de uma forma muito elegante e interessante. Para os interessados neste problema, especialmente, veja o link http://www.cut-the-knot.org/proofs/napoleon_intro.shtml do maravilho site www.cut-the-knot.com. Nenhum amante da geometria pode desconhecer este site... At 10:20 12/9/2007, you wrote: Maravilha!!! Obrigado Rogerio, ja era previsivel mesmo uma solucao sua. E nao eh feia, mas linda. Se algum outro colega da lista conseguir a solucao puramente geometrica, agradeço. Abracos, Palmerim Em 12/09/07, Rogerio Ponce mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Palmerim e colegas da lista, vou dar uma solucao feiosa mesmo, isto e', por trigonometria... Sem perda de generalidade, vamos atribuir um comprimento unitario a cada lado de ABC. Agora, trace a vertical que passa pelo vertice E, encontrando o prolongamento ( 'a esquerda) de BD no ponto F. Vamos usar o triangulo DEF para calcular a tangente do angulo DEF = x +10 graus. Assim, tg (x+10) = FD / EF = (FB + 1 - DC) / EF Como EB=1, e o angulo BEF=10 graus , temos que: EF=cos10 FB=sin10 Aplicando lei dos senos no triangulo ADC, vemos que DC= sin20 / sin100 Substituindo os valores no calculo da tangente, obtemos tg (x+10) = ( sin10 + 1 - sin20 / sin100 ) / cos10 Substituindo sin20 por 2 * sin10 * cos10 , assim como sin100 por cos10, vem: tg (x+10) = ( 1 - sin10 ) / cos10 Entao, lembrando da velha formuleta (1 - sinA) / cosA = tg ( 45 - A/2 ) , finalmente podemos escrever: tg (x+10) = tg ( 45 - 10/2 ) = tg 40 Que nos da' x=30 graus. []'s Rogerio Ponce Palmerim Soares mailto:[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola pessoal Esta aqui eh para os grandes mestres Nehab, Ponce e outros geometras da lista. Poderiam dar uma solucao puramente geometrica (a moda agora e essa...). Mas gostaria tambem de ver a solucao trigonometrica, se possivel. Figura no link abaixo: http://imageshock.eu/img/Triangulo.jpghttp://imageshock.eu/img/Triangulo.jpg Obrigado, Palmerim Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/flickr/*http://www.flickr.com.br/Saiba mais .
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico
Obrigado pela solucao e pela licao, Mestre Nehab, tambem era absolutamente previsivel a sua participacao. Ironicamente, eu esparava de voce uma solucao trigonometrica e do Ponce a puramente geometrica. Isso prova que os verdadeiros mestres, apesar de terem suas predilecoes, sabem caminhar em qualquer terreno. Um abraco, Palmerim Em 12/09/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Palmerim, Pois é, o Ponce diz que solução trigonométrica é feia só para implicar comigo. Mas então eu vou implicar com ele, também, dando a solução geométrica. A inspiração da solução está no mesmo contexto que dois problemas clássicos que habitam esta lista com alguma regularidade: 1) Triângulo Isósceles de 20/80/80 onde A = 20; traçam-se por B e C cevianas fazendo 50 e 60 graus com a base BC, de tal forma que D está em AC, E em AB, BCE = 50, DBC = 60 e se deseja o angulo EDB; 2) Triângulo Isósceles de 40/40/100, onde A = 100. marca-se D no prolongamento de AB de tal forma que AD = BC. Pergunta-se o angulo BCD. O problema que você propôs e mais estes dois estão relacionados com a geometria do polígonos regulares eneágono (9 lados) e octadecágono (18 lados) e suas diagonais. Veja a tese de mestrado da Silvana (já mencionada nesta lista pelo Nicolau) cujo capítuko 2 é inteiramente dedicado aos dois problemas clássicos acima (1 e 2), mas não se intimide, pois este capítulo é simples. Copie este link e baixe o pdf: http://www.google.com.br/url?sa=tct=rescd=2url=http%3A%2F%2Fwww.mat.puc-rio.br%2F~hjbortol%2Fcomplexidade%2Fcomplexidade-em-geometria.pdfei=mfPnRoDCGZyMevvb5dcGusg=AFQjCNG8D4jKXKF_v_qKbopL9H4-74cE6Qsig2=6o2sWVI6_6h-4iAotETV2g http://www.google.com.br/url?sa=tct=rescd=2url=http%3A%2F%2Fwww.mat.puc-rio.br%2F%7Ehjbortol%2Fcomplexidade%2Fcomplexidade-em-geometria.pdfei=mfPnRoDCGZyMevvb5dcGusg=AFQjCNG8D4jKXKF_v_qKbopL9H4-74cE6Qsig2=6o2sWVI6_6h-4iAotETV2gBem, agora vamos à solução do problema que você propôs: *Lema *(que está demonstrado no texto mencionado): Um octadecágono regular possui 4 diagonais (diferentes de 'diâmetros') que passam por um mesmo ponto em um diâmetro do seu círculo circunscrito. Ai, a partir de sua figura (no link que você enviou) basta observar que: a) B é o centro do octadecágono e BC o raio; b) ED e AD são as diagonais mencionadas no lema e D seu ponto de interseção no diâmetro cujo reta suporte é BC; Dai, é trivial que o ângulo desejado vale 30 graus por ser um ângulo inscrito que subentende um ângulo central de 60 graus. Abraços, Nehab PS: Aproveitando a citação da Silvana, dê uma olhada em um outro lindo problema clássico chamado de Teorema de Napoleão (o próprio) ... que ela desenvolve de uma forma muito elegante e interessante. Para os interessados neste problema, especialmente, veja o link http://www.cut-the-knot.org/proofs/napoleon_intro.shtml do maravilho site www.cut-the-knot.com. Nenhum amante da geometria pode desconhecer este site... At 10:20 12/9/2007, you wrote: Maravilha!!! Obrigado Rogerio, ja era previsivel mesmo uma solucao sua. E nao eh feia, mas linda. Se algum outro colega da lista conseguir a solucao puramente geometrica, agradeço. Abracos, Palmerim Em 12/09/07, *Rogerio Ponce* [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Palmerim e colegas da lista, vou dar uma solucao feiosa mesmo, isto e', por trigonometria... Sem perda de generalidade, vamos atribuir um comprimento unitario a cada lado de ABC. Agora, trace a vertical que passa pelo vertice E, encontrando o prolongamento ( 'a esquerda) de BD no ponto F. Vamos usar o triangulo DEF para calcular a tangente do angulo DEF = x +10 graus. Assim, tg (x+10) = FD / EF = (FB + 1 - DC) / EF Como EB=1, e o angulo BEF=10 graus , temos que: EF=cos10 FB=sin10 Aplicando lei dos senos no triangulo ADC, vemos que DC= sin20 / sin100 Substituindo os valores no calculo da tangente, obtemos tg (x+10) = ( sin10 + 1 - sin20 / sin100 ) / cos10 Substituindo sin20 por 2 * sin10 * cos10 , assim como sin100 por cos10, vem: tg (x+10) = ( 1 - sin10 ) / cos10 Entao, lembrando da velha formuleta (1 - sinA) / cosA = tg ( 45 - A/2 ) , finalmente podemos escrever: tg (x+10) = tg ( 45 - 10/2 ) = tg 40 Que nos da' x=30 graus. []'s Rogerio Ponce Palmerim Soares [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola pessoal Esta aqui eh para os grandes mestres Nehab, Ponce e outros geometras da lista. Poderiam dar uma solucao puramente geometrica (a moda agora e essa...). Mas gostaria tambem de ver a solucao trigonometrica, se possivel. Figura no link abaixo: http://imageshock.eu/img/Triangulo.jpg Obrigado, Palmerim Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/flickr/*http://www.flickr.com.br/.
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico
Olá Palmerim. Caso ainda reste alguma curiosidade sobre o problema, aí vai mais uma solução. Tal solução, como disse o Nehab, é mesmo referente aos polígonos eneágono e octadecágono, mas a abordagem é um pouco mais independente das construções desses polígonos. Aí vai: Trace o segmento CE, cortando AB em F. Trace agora o segmento DF. O triângulo CBE é isósceles, logo BCE = BEC = 40º. Note que o quadrilátero AFDC será um trapézio isósceles (observe os ângulos de 20º e 40º que as diagonais formam com os lados oblíquos). Logo, temos que FD é paralelo a AC e, portanto, BFD = 60º. Concluímos então que o triângulo BFD é equilátero com BF = FD = BD. Observe agora o triângulo BEF. O mesmo é isósceles (40º, 40º, 100º), daí BF = FE. Finalizando, veja então que o triângulo DEF é isósceles (FD = EF, 10º 10º e 160º). Como BED = x temos x = 40º - 10º = 30º. Espero ter ajudado. Agradeço pela questão. Serviu para fortalecer um dos simulados do curso onde trabalho. []'s PC
RE: [obm-l] Duro de Matar Geometrico
Olá Seja a intersação de DE com AB o ponto F, e seja G pertencente a BD tal que BÂG = GÂD = DÂC = 20°. É fácil de ver que AG=AD, pois os ângulos AGD e ADG devem ser iguais a 80°. Note que os triângulos FEB e FDA são semelhantes (caso AAA), logo BF/FA=BE/AD = BF/FA=AB/AD, (pois AB=BE), além disso como AG é bissetriz interna de BÂD, então BG/GD=AB/AD, portanto BG/GD=BF/FA, o que implica pelo teorema de tales que GF é paralelo a AD, logo também terá que ser paralelo a BE. Note que destes paralelismos decorre também que AF=GF. Vamos usar a seguinte notação: BE=AB=BC=AC= a ; AG=AD=b ; BG=CD=c ; GD=d. Seja O o ponto de interseção de AG com DF. podemos expressar 'c' e 'd' como funções de a e b resolvendo o seguinte sistema: 2c+d = a (pois BG+GD+DC=BC, lado do triângulo) c/d = a/b (pois como já dissemos AG é bissetriz interna do ângulo BÂD, e então BG/GD = AB/AD Resulta que c = a²/(2a+b), e d = ab/(2a+b) De posse destas relações voltamos nossas atenções para os triângulos OFG e ODA, que também deverão ser semelhantes pelo caso AAA (resultante dos paralelismos já evidenciados anteriormente), e então teremos que: GO/OA=GF/AD = GO/(AG-GO)=GF/AD = GO = (AG.GF)/(AD+GF). Pela semelhança entre os triângulos DGF e DBE, obtemos uma relação para GF útil a ser utilizada na última equação obtida: GF/BE=GD/BD = GF = (BE.GD)/(BG+GD) = GF = a²b/(a²+ab) E portanto GO = ab/(2a+b) = d , o que nos leva a concluir que o triângulo OGD é isósceles e como OGD = 80º então GOD = GDO = 50º. E então o ângulo desejado será ADE = GDA-GDO = 80-50 = 30º. Diante das soluções dos outros companheiros da lista (que conseguiram resolver com muito menos linhas que isso), esta solução não merece muita atenção, mas de qualquer forma talvez possa servir para os que tiveram paciência para ler. Até logo! Date: Sun, 9 Sep 2007 14:43:59 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Duro de Matar Geometrico Ola pessoal Esta aqui eh para os grandes mestres Nehab, Ponce e outros geometras da lista. Poderiam dar uma solucao puramente geometrica (a moda agora e essa...). Mas gostaria tambem de ver a solucao trigonometrica, se possivel. Figura no link abaixo: http://imageshock.eu/img/Triangulo.jpg Obrigado, Palmerim _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico
Oi, Paulo Cesar, Gostei muito da solução. Eu bem que tentei mas não havia conseguido uma solução tão geometrica e bonita. Mas quanto a fortalecer simulados, tu é mau pra caramba, hein... :-) Sua solução também inspira outra solução para a propriedade que mencionei das diagonais do octadecágono. E confesso que não conhecia o problema. Será que o Palmerim sabe a origem deste problema ? Não vale dizes que caiu em prova, pois vou achar que foi na sua... Abraços, Nehab At 22:32 12/9/2007, you wrote: Olá Palmerim. Caso ainda reste alguma curiosidade sobre o problema, aí vai mais uma solução. Tal solução, como disse o Nehab, é mesmo referente aos polígonos eneágono e octadecágono, mas a abordagem é um pouco mais independente das construções desses polígonos. Aí vai: Trace o segmento CE, cortando AB em F. Trace agora o segmento DF. O triângulo CBE é isósceles, logo BCE = BEC = 40º. Note que o quadrilátero AFDC será um trapézio isósceles (observe os ângulos de 20º e 40º que as diagonais formam com os lados oblíquos). Logo, temos que FD é paralelo a AC e, portanto, BFD = 60º. Concluímos então que o triângulo BFD é equilátero com BF = FD = BD. Observe agora o triângulo BEF. O mesmo é isósceles (40º, 40º, 100º), daí BF = FE. Finalizando, veja então que o triângulo DEF é isósceles (FD = EF, 10º 10º e 160º). Como BED = x temos x = 40º - 10º = 30º. Espero ter ajudado. Agradeço pela questão. Serviu para fortalecer um dos simulados do curso onde trabalho. []'s PC
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico
Olá Palmerim, bom dia. Sobre a questão que você apresentou fiz o seguinte: 1-)Chamei de F à intersecção entre as segmentos AB e ED 2-)Rebati o triângulo ADF sobre o segmento FE, formando um triângulo isósceles (com dois ângulos iguais ao ângulo X pedido. 3-)Chamei de G ao novo ângulo X provindo rebatimento, sobre o segmento FE, formando o triângulo DGA (isósceles), com A ângulo igual a 80 graus. 4-)Então, 2X = 100 e X = 50 graus. Por favor olhe para ver se está correto, ok ? Um abraço , Marcelo. Em (14:43:59), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Ola pessoal Esta aqui eh para os grandes mestres Nehab, Ponce e outros geometras da lista. Poderiam dar uma solucao puramente geometrica (a moda agora e essa...). Mas gostaria tambem de ver a solucao trigonometrica, se possivel. Figura no link abaixo: http://imageshock.eu/img/Triangulo.jpg Obrigado, Palmerim --
[obm-l] Duro de Matar Geometrico
Ola pessoal Esta aqui eh para os grandes mestres Nehab, Ponce e outros geometras da lista. Poderiam dar uma solucao puramente geometrica (a moda agora e essa...). Mas gostaria tambem de ver a solucao trigonometrica, se possivel. Figura no link abaixo: http://imageshock.eu/img/Triangulo.jpg Obrigado, Palmerim
