[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Potência
Temos 4^6 = 4096 = -4 (mod 100). 2^222 = 4^111 = 4^3*4^108 = 4^3*(-4)^18 = 4^3*4^18 = 4^3*(-4)^3 = -4^6 = -(-4) = 4 (mod 100) Em sáb, 11 de jan de 2020 11:30, Vanderlei Nemitz escreveu: > Está em um livro na parte de potenciação. > Mas mesmo assim, como faria com essa ideia? > > Em sáb, 11 de jan de 2020 11:18, Esdras Muniz > escreveu: > >> Acho que é d) 04 >> >> Em sáb, 11 de jan de 2020 11:01, Esdras Muniz >> escreveu: >> >>> Pode usar a função fi. >>> >>> Em sáb, 11 de jan de 2020 10:23, Vanderlei Nemitz >>> escreveu: >>> Bom dia! Eu resolvi essa questão, mas creio que trabalhei demais! Alguém conhece um modo relativamente simples? Os dois últimos algarismos de 2^222 são: a) 84 b) 24 c) 64 d) 04 e) 44 Muito obrigado! Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Potência
Vamos analisar 2^222 módulo 4 e módulo 25. Caso vc não seja familiar a isso, dizer a = b (mod c) significa dizer que a e b tem o mesmo resto na divisão por c. 2^222 = 0 (mod 4) 2^222 = 4^111 = (5-1)^111 Expandindo usando o binômio de newton, todos os termos são divisíveis por 25, exceto os dois últimos: (5^1)(1^110) - (5^0)(1^111) = = 5 - 1 = 4 Ou seja, 2^222 = 4 (mod 25) 04 = 0 (mod 4) e 04 = 4 (mod 25) Então os últimos dígitos são 04 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Potência
Está em um livro na parte de potenciação. Mas mesmo assim, como faria com essa ideia? Em sáb, 11 de jan de 2020 11:18, Esdras Muniz escreveu: > Acho que é d) 04 > > Em sáb, 11 de jan de 2020 11:01, Esdras Muniz > escreveu: > >> Pode usar a função fi. >> >> Em sáb, 11 de jan de 2020 10:23, Vanderlei Nemitz >> escreveu: >> >>> Bom dia! >>> Eu resolvi essa questão, mas creio que trabalhei demais! >>> >>> Alguém conhece um modo relativamente simples? >>> >>> Os dois últimos algarismos de 2^222 são: >>> a) 84 >>> b) 24 >>> c) 64 >>> d) 04 >>> e) 44 >>> >>> Muito obrigado! >>> >>> Vanderlei >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Potência
Acho que é d) 04 Em sáb, 11 de jan de 2020 11:01, Esdras Muniz escreveu: > Pode usar a função fi. > > Em sáb, 11 de jan de 2020 10:23, Vanderlei Nemitz > escreveu: > >> Bom dia! >> Eu resolvi essa questão, mas creio que trabalhei demais! >> >> Alguém conhece um modo relativamente simples? >> >> Os dois últimos algarismos de 2^222 são: >> a) 84 >> b) 24 >> c) 64 >> d) 04 >> e) 44 >> >> Muito obrigado! >> >> Vanderlei >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Potência
Pode usar a função fi. Em sáb, 11 de jan de 2020 10:23, Vanderlei Nemitz escreveu: > Bom dia! > Eu resolvi essa questão, mas creio que trabalhei demais! > > Alguém conhece um modo relativamente simples? > > Os dois últimos algarismos de 2^222 são: > a) 84 > b) 24 > c) 64 > d) 04 > e) 44 > > Muito obrigado! > > Vanderlei > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Potência
Bom dia! Eu resolvi essa questão, mas creio que trabalhei demais! Alguém conhece um modo relativamente simples? Os dois últimos algarismos de 2^222 são: a) 84 b) 24 c) 64 d) 04 e) 44 Muito obrigado! Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Potência de 2 formada somente por dígitos 1 e 2
Existe um n = 2^k que tem apenas 2 e 1 como dígitos? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Potência de sete
Mostre que, para todo inteiro positivo n, existe uma potência de sete cuja representação decimalcontem pelo menos n zeros sucessivos -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Potência de sete
Posso estar errado, mas você não pode tomar 10^(n+1) 7^k 10^(n+2) e inverter? Dai você teria 10^(-n-2) 7^-k 10^(-n-1) O primeiro número [10^(-n-2)] tem n-1 zeros, enquanto o último [10^(-n-1)] teria n zeros, como 7^(-k) está entre eles... Eu concluiria que o problema está resolvido. Como já disse, posso estar errado. Att. Eduardo From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Potência de sete Date: Fri, 22 May 2015 20:41:42 + Mostre que, para todo inteiro positivo n, existe uma potência de sete cuja representação decimalcontem pelo menos n zeros sucessivos -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Potência de primo
Se p|k então (p-1)|(p^(k-1) +p^(k-2)+...+1) pois p é congruente a 1 módulo (p-1). Mas nesse caso não pode ocorrer (p-1)!=p^k - 1 se k = p, pois podemos mostrar por indução que (n-1)! n^n - 1 para todo natural maior que 1. Em 18 de maio de 2015 20:34, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Considere que (p-1)!=p^k-1, com p5, e divida ambos os membros por p-1, assim teremos (p-2)!=p^(k-1) +p^(k-2)+...+1, o primeiro membro da equação possui um fator 2 e o fator (p-1)/2 então o primeiro membro possui um fator p-1, e o segundo membro da equação não possui este fator, assim não é possível a igualdade. E para p=1 o segundo membro da equação é igual a k diferente de zero. Douglas Oliveira Em 18 de maio de 2015 07:13, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Seja p um número primo.Demonstrar que (p-1)! + 1 é uma potência de p se, e só se, p = 2, p= 3 ou p = 5. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Potência de primo
Considere que (p-1)!=p^k-1, com p5, e divida ambos os membros por p-1, assim teremos (p-2)!=p^(k-1) +p^(k-2)+...+1, o primeiro membro da equação possui um fator 2 e o fator (p-1)/2 então o primeiro membro possui um fator p-1, e o segundo membro da equação não possui este fator, assim não é possível a igualdade. E para p=1 o segundo membro da equação é igual a k diferente de zero. Douglas Oliveira Em 18 de maio de 2015 07:13, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Seja p um número primo.Demonstrar que (p-1)! + 1 é uma potência de p se, e só se, p = 2, p= 3 ou p = 5. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Potência de primo
Seja p um número primo.Demonstrar que (p-1)! + 1 é uma potência de p se,e só se, p = 2, p= 3 ou p = 5. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Potência de base 2
Este parece bem complicado. Se fosse provar para os primeiros 2007 dígitos, eu
saberia fazer. Vou pensar mais.
Artur Costa Steiner
Em 05/01/2015, às 17:27, marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
Prove que existe n E N tal que os 2007 últimos dígitos de 2^n pertencem a
{1,2}
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Potência de base 2
Prove que existe n E N tal que os 2007 últimos dígitos de 2^n pertencem a {1,2}
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Potência encardida
Na linha que o Carlos sugeriu, a idéia é mostrar que, se os expoentes de 2 estiveram em PA com termo inicial 2 e razão 20, então a potência termina em 04. Ou seja, demonstrar que, para n = 0, 1, 2,2, 2^(2 + 20n) termina em 04. Temos que 2^10 == 1024 == 24 (mod 100). Logo, 2^20 == 24^2 = 476 == 76 (mod 100) Para n = 0, nossa hipótese é válida. Se for válida para algum n, então 2^(2 + (n + 1)20) = 2^20 2^(2 + 20n) == 76 x 4 = 304 == 04 (mod 100) Isto completa a indução e valida a hipótese. Como 222 = 2 + 11 x 20, a conclusão vale para 2^222. O difícil aqui era visualizar a hipótese Artur Costa Steiner Em 02/04/2013, às 13:01, Vanderlei * vanderma...@gmail.com escreveu: Bom dia, pessoal! Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, a qual eu só consegui com binômio de Newton e alguma força bruta. Quais são os dois últimos algarismos do resultado de 2^222? A resposta é 04. Obrigado! Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Potência encardida
*Bom dia, pessoal! Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, a qual eu só consegui com binômio de Newton e alguma força bruta.* ** *Quais são os dois últimos algarismos do resultado de 2^222?* ** *A resposta é 04.* ** *Obrigado!* ** *Vanderlei* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Potência encardida
FAÇA CONGRUENCIA MODULO 100. De: Vanderlei * vanderma...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 2 de Abril de 2013 13:01 Assunto: [obm-l] Potência encardida Bom dia, pessoal! Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, a qual eu só consegui com binômio de Newton e alguma força bruta. Quais são os dois últimos algarismos do resultado de 2^222? A resposta é 04. Obrigado! Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Potência encardida
Olá Vanderlei , O que vc pode perceber que na sequência 2^2, 2^22,2^42,..., todos terminam em 04 . 2^222 está nesta sequência , ok ? Abraços Carlos Victor Em 2 de abril de 2013 13:01, Vanderlei * vanderma...@gmail.com escreveu: *Bom dia, pessoal! Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, a qual eu só consegui com binômio de Newton e alguma força bruta.* ** *Quais são os dois últimos algarismos do resultado de 2^222?* ** *A resposta é 04.* ** *Obrigado!* ** *Vanderlei* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Potência s
Um jeito alternativo é assim: Perceba que a soma dos algarismos dessas potências seguem um padrão: 2^0 = 1 Sa 1 2^1 = 2 Sa 2 2^2 = 4 Sa 4 2^3 = 8 Sa 8 2^4 = 16 Sa7 2^5 = 32 Sa5 2^6 = 64 Sa1 2^7 = 128 Sa2 2^8 = 256 Sa4 ... Ou seja, 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4, 8, 7, 5, ... Para a0 = 1, a1 = 2, a3 = 4, contando até o a10 teremos 7. Já temos o primeiro termo da soma. Agora no 3; 3^0 = 1 Sa 1 3^1 = 3 Sa 3 3^2 = 9 Sa 9 3^3 = 27 Sa 9 3^4 = 81 Sa 9 ... E assim vai, então a soma dos termos de 3^8 = 9 Por enquanto, temos 7+9 Agora o 4. 4^0 = 1 Sa 1 4^1 = 4 Sa 4 4^2 = 16 Sa 5 4^3 = 64 Sa 1 ... 1, 4, 5, 1, 4, 5, 1, 4, 5 Contando, temos o 5. 7+9+5 Agora, vamos ao 5: 5^0 = 1Sa 1 5^1 = 5Sa 5 5^2 = 25 Sa 7 5^3 = 125 Sa 8 5^4 = 625 Sa 3 5^5 =3125 Sa 2 Bom, esse não achei nenhum padrão antes de chegar no 5^5 7+9+5+2 Falta apenas 7^3 7^0 = 11 7^1 = 77 7^2 = 49 4 7^3 =343 1 1, 7, 4, 1, 7, 4, 1... Bom, esse achamos o 1, então temos ao todo 7+9+5+2+1 16+7+1 7+8 15 6 A soma dos algarismos é 6! Date: Thu, 11 Feb 2010 01:51:32 -0800 From: jeffma...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] Potências To: obm-l@mat.puc-rio.br Será que alguém pode me ajudar com esta questão: Qual a soma dos algarismos do número 2^10 + 3^8 + 4^8 + 5^5 + 7^3 ? Tentei achar algum modo diferente de fazer as contas, porém, não encontrei. Abs Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes _ Você sabia que o Windows 7 inicia e desliga mais rápido? Clique e conheça mais. http://www.microsoft.com/brasil/windows7/default.html?WT.mc_id=1539
[obm-l] Potência de um ponto
Amigos, alguém pode indicar um bom livro que fale da parte histórica da potência de um ponto? grato desde já. = -- Powered By Outblaze = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Potência de um ponto
oq seria uma potência de um ponto? - Original Message - From: Clayton Silva [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, June 04, 2008 7:51 PM Subject: [obm-l] Potência de um ponto Amigos, alguém pode indicar um bom livro que fale da parte histórica da potência de um ponto? grato desde já. = -- Powered By Outblaze = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Potência de um ponto
Indo no google, e fazendo a seguinte busca: O que é a potencia de ponto? o primeiro resultado que obtenho é: http://www.obm.org.br/semana/eixos.pdf Trata-se de um excelente texto, disponível no site da OBM, definindo potência de ponto, apresentando propriedades e vários exercícios olímpicos resolvidos usando tal conceito. Veja o que uma simples busca no google, exatamente com a pergunta que você fez aqui, pode nos fornecer! É incrível esse sistema de busca. Usem-no! Bruno 2008/6/5 [EMAIL PROTECTED]: oq seria uma potência de um ponto? - Original Message - From: Clayton Silva [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, June 04, 2008 7:51 PM Subject: [obm-l] Potência de um ponto Amigos, alguém pode indicar um bom livro que fale da parte histórica da potência de um ponto? grato desde já. = -- Powered By Outblaze = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0
[obm-l] Potência Complexa
Gostaria de uma ajuda para aprender a determinar o valor de a^(x+bi). Por exemplo, sei desenvolver em série de Taylor 2^ix e sei que e^ix=cos x+ isenx. Com juntar isso para calcular 2^i, 2^ix ou 2^(x+bi) sem usar série? Não consigo obter 2^ix = cos(xln2) + i sen(xln2) Obrigado _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos conectada ao Messenger! http://spaces.live.com/signup.aspx
RE: [obm-l] Potência Complexa
Olá, vou te dar uma pequena ajuda, pois também não estou muito a par desse assunto.Você deve lembrar da seguinte propriedade dos logaritmos que diz a^ln(a) = a, certo? Como e^(xi) = cos(x) + i sin(x), você pode transformar a potência de base 2 para uma de base e: 2^i = [e^ln(2)]^i = e^(ln(2)i)= cos(ln(2)) + i sin(ln(2))= 0.7692389 + 0.638961 i. Não sei te dizer o que garante que eu possa aplicar essa propriedade dos logaritmos em números complexos. [[ ]] 's From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Potência ComplexaDate: Fri, 2 Nov 2007 02:53:03 +0300 Gostaria de uma ajuda para aprender a determinar o valor de a^(x+bi). Por exemplo, sei desenvolver em série de Taylor 2^ix e sei que e^ix=cos x+ isenx. Com juntar isso para calcular 2^i, 2^ix ou 2^(x+bi) sem usar série? Não consigo obter 2^ix = cos(xln2) + i sen(xln2)Obrigado Conheça o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu! _ Encontre o que procura com mais eficiência! Instale já a Barra de Ferramentas com Windows Desktop Search GRÁTIS! http://desktop.msn.com.br/
Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] potência
Mas e se colocarmos em questao a sequencia 0^x? Obteremos outro valor para 0^0 --- Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Para ser sincero, devo afirmar que não sei. É mais fácil perguntar lim x^x quando x-0+ que é 1 (precisa demonstrar). E quanto vale lim x^x quando x-0- ? Deve ser 1 também (precisa demonstrar). Daí poderíamos definir 0^0 como 1 para que a função x^x fosse contínua no ponto 0. Mas será que esta definição faz sentido? Isto é, será que ela não entra em contradição com alguma outra coisa? É tentador trivializar o essencial e essencializar o trivial, como diz nosso colega Paulo ... Mas, tenho a leve impressão que isso já foi deve ter sido perguntado (e portanto presumo que deve haver alguma mensagem antiga com a resposta). []s - Original Message - From: Guilherme Neves To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, June 22, 2005 6:13 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] potência os livros dizem que a propriedade a^m-n= a^m/a^n só é válida se a é diferente de 0. e a pergunta continua.. 0^0=1 ou 0^0 não existe? - O correto é não existe. 0^0 = 0^(1-1) = 0^1/0^1 = 0/0 (pela lei das potências). O que é um absurdo pois não existe divisão por zero. []s Ronaldo Luiz Alonso -- MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] potência
Aacho que os adjetivos certo e errado nao cabem aqui. Este este eh um daqueles pontos que nao dah para resolver por argumentacao, mas sim por acordo. A maioria dos autores nao define 0^0, eh algo similar a 0/0, que tambem nao eh definida.Sey -0 e x - 0+ entao x^y pode tender a qualquer numero positivo, a zero ou mesmo a infinito, daih a dificuldade em se atribuir a 0^0 algum valor que tornea definicao efetivamente util.Caso similar ocorre com 0/0. Pela definicao de divisao, faria sentido dizer que 0/0dah qualquer coisa, pois o produto de qualquer numero, mesmo complexo, por 0 eh 0. Mas qual é a utilidade de se definir uma expressao cujo resultado possa ser qualquer coisa? Na matematica hah diversas convencoes, mas todas muito uteis. Por exemplo, definir 0! =1 facilita muito as coisas. Outra eh o conjunto vazio.Dah pra fazer tudo que se faz sem se aceitar que existe um conjunto sem elementos, mas as provas de teoremas ficariammais complicadas, sempre quecitassemos um conjunto teriamos que provar que ele contem pelo menos 1 elemento.. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Guilherme NevesEnviada em: terça-feira, 21 de junho de 2005 12:33Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] potência alguns livros dizem que 0^0 não existe e outros dizem q eh igual a 1. Qual o correto afinal? Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis Instale Já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] potência
Para ser sincero, devo afirmar que não sei. É mais fácil perguntar lim x^x quando x-0+ que é 1 (precisa demonstrar). Equanto vale lim x^x quando x-0- ? Deve ser 1 também (precisa demonstrar). Daí poderíamos definir 0^0 como 1 para que a função x^x fosse contínua no ponto 0. Mas será que esta definição faz sentido? Isto é, será que ela não entra em contradição com alguma outra coisa? É tentadortrivializar o essencial e essencializar o trivial, como diz nosso colega Paulo ... Mas, tenho a leve impressão que isso já foideve ter sido perguntado (e portanto presumo que deve haver alguma mensagem antiga com a resposta). []s - Original Message - From: Guilherme Neves To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, June 22, 2005 6:13 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] potência os livros dizem que a propriedade a^m-n= a^m/a^n só é válida se a é diferente de 0. e a pergunta continua.. 0^0=1 ou 0^0 não existe? - O correto é não existe. 0^0 = 0^(1-1) = 0^1/0^1 = 0/0 (pela lei das potências). O que é um absurdo pois não existe divisão por zero. []s Ronaldo Luiz Alonso MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] potência
os livros dizem que a propriedade a^m-n= a^m/a^n só é válida se a é diferente de 0. e a pergunta continua.. 0^0=1 ou 0^0 não existe? - O correto é não existe. 0^0 = 0^(1-1) = 0^1/0^1 = 0/0 (pela lei das potências). O que é um absurdo pois não existe divisão por zero. []s Ronaldo Luiz Alonso MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] potência
alguns livros dizem que 0^0 não existe e outros dizem q eh igual a 1. Qual o correto afinal?Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis Instale Já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] potência
O correto é não existe. 0^0 = 0^(1-1) = 0^1/0^1 = 0/0 (pela lei das potências). O que é um absurdo pois não existe divisão por zero. []s Ronaldo Luiz Alonso
Re: [obm-l] Re: [obm-l] potência de 2
Claro, claro...
Este e um problema meio bracal, mas nao tento (e
possivel programar computadores de um modo mais
esperto, acredite!).
Bem, ha uma formula que diz quale a maior potencia de
2 que divide n!.
Veja um caso particular pequeno: n = 16
0[2^0=1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1[2^1=2] 2 4 6 8 10121416
2[2^2=4] 4 8 12 16
3[2^3=8] 8 16
4[2^4=16]16
Pergunta: O que e essa tabela?
Resposta: Ela te diz: na linha onde esta marcado o
numero n, o valor entre colchetes diz quais os numeros
tem este valor como multiplo.
Veja que cada linha contem, em media, metade da
anterior.
Ta lancada a dica.
Bem, a somatoria das f's e algo mais chato...
[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Sabendo que f(n) é maior potência de 2 que
divide n! ,
determine o valor de
f(1) + f(2) +...+ f(1023) .
Vejamos mais de perto:
1! = 1 a maior potência de 2 que divide 1! é 0 (2^0
= 1).
2! = 2 a maior potência de 2 que divide 2! é 1 (2^1
= 2).
3! = 6=3.2.1 a maior potência de 2 que divide 3! é
1 (2^1 = 2).
4! = 24 = 4.3.2.1 a maior potência de 2 que divide
4! é 3 (2^3 = 8).
...
Pelos exemplos acima parece que não há uma regra
geral.
Note que com 5! por exemplo, a maior potência de 2
que divide 5!
continua sendo 3 (porque 5 é primo).
Mas no caso de 6 (que não é primo)
a maior potência de 2 que divide 6! será 4.
Peço desculpas a quem não sabe C,
mas eu faria um programa
de computador para calcular a soma (pois o
computador atrofiou meu cérebro)
e desafio alguém a pensar em algo mais força bruta
e feio que isso:
/* calcula a soma f(1) + f(2) + ...+ f(x) */
unsigned int soma_pot2_fatorial( unsigned int x)
{ int i;
soma =0
for (i = 1; i = x; i++)
{
int k = fatorial (i); /* calcula o fatorial
de i -- note que k é
uma variável de escopo local */
while (( k % 2) == 0){ /* enquanto o resto
da divisão por 2 for
zero */
soma = soma++; /* incrementa soma */
k = k/2; /* k recebe a parte inteira da
divisão de k por 2 */
}// fim enquanto
}// volta ao laço com o valor de i
incrementado.
return soma;
}
Acho que não isso não ajuda, mas
pelo menos calcula a soma pedida ...
[]s Ronaldo L. Alonso
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] potência de 2
Se é pra calcular via programaçao, existe uma formula p/ f(n) = n - S(n) , onde S(n) é a soma dos digitos de n na base 2(bits)entao basta fazer um pequeno loop de n = 1 ate 1023 e calcular o resultado... Essa formula é uma consequencia daquela famosa formula do calculo da potencia de um primo de n!, que alias, tambem da pra ser usada pra se calcular essa soma, é somente vc perceber que, por exemplo, entre 513=2^9 + 1 e 1023=2^10 - 1 , vc dividirá cada numero deste intervalo por 2, 2^2, 2^3 ...ate 2^9 entao , sem considerar a funçao piso aplicada a cada um, pode-se fazer (1/2 + 1/2^2 ...1/2^9)(513 + 514...1023) e calcular a funçao piso deste resultado...Aplica-se esse raciociocio pra todas as potencias de 2 restantes e soma-se todos os resultados...o resultado deverá ser muito proximo do resultado real, coisa de unidades a mais, já que a funçao piso nao esta sendo aplicada de forma totalmente correta a partir da formula original Quem nao souber do que eu estou falando veja em: http://mathworld.wolfram.com/Factorial.html --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: Na minha resolução anterior, eu acabei confundindo D_x = 1 + 2 + ... + 2^x por não ter escrito D_x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x, e acabei, em vez de somando de 1 a 2^x, pegando apenas as potências de 2... Por isso o erro! Espero ter consertado... abaixo, a resolução devidamente alterada. Agora encontrei S_1023 = 2^19 - 3*2^11 = 518144, que é algo mais próximo da estimativa numérica do Bruno, e me parece estar tudo certo desta vez. Ok! Chame de S_k a soma f(1) + ... + f(k). É fácil ver que f(2n + 1) = f(2n), e também que f(1) = 0. Se B_k = número de múltiplos de 2^k menores ou iguais a n, vale f(n) = B_1 + B_2 + ... (a partir de um certo x, k=x implica B_k = 0). Como B_k é a parte inteira de n/2^k (denota-se [n/2^k]), isto é, o único inteiro tal que B_k = n/2^k B_k + 1, temos f(n) = [n/2] + [n/2^2] + [n/2^3] + ... . Por essa razão, f(2n + 1) = f(2n) = n + [n/2] + [n/2^2] + ... = n + f(n), logo S_(2^k + 1) = f(1) + ... + f(2^k + 1) = 2*(f(2) + f(4) + f(6) + ... + f(2^k)) = 2*( 1 + f(1) + 2 + f(2) + ... + 2^(k-1) + f(2^(k-1))) = 2*S_(2^(k-1)) + 2*D_(k-1), onde D_(x) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x. Repare que vc pode escrever S_(2^(k-1)) = S_(2^(k-1) + 1) - f(2^(k-1)), assim chegamos a S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + 2*(D_(k-1) - f(2^(k-1))). Tem-se f(2^(k-1)) = [2^(k-1)/2] + [2^(k-1)/2^2] + ... = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(k-2) = 2^(k-1) - 1, assim temos D_(k-1) - f(2^(k-1)) = 2^(k-2)*(2^(k-1) + 1) - 2^(k-1) + 1. Segue que S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + (2^(k-1) - 1)^2 + 2^(k-1) + 1. A idéia então é calcular S_1023 usando S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = S_(2^10 + 1) - 2*f(2^10). Aplicando repetidamente o raciocínio de há pouco, chegaremos a S_1025 = 2^9*S_(3) + (2^9 + 1) + 2*(2^8 + 1) + 2^2*(2^7 + 1) + ... + 2^8*(2 + 1) + (2^9 - 1)^2 + 2*(2^8 - 1)^2 + 2^2*(2^7 - 1)^2 + ... + 2^8*(2 - 1)^2. Após algumas manipulações e sabendo que S_3 = 1, chegamos a S_1025 = 2^19 - 2^12 - 2. Como f(1024) = 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^9 = 2^10 - 1, vem que S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = 2^19 - 3*2^11 = 518144. [], Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] potência de 2
Olá Pessoal , Alguém poderia me ajudar no problema abaixo ? Sabendo que f(n) é maior potência de 2 que divide n! , determine o valor de f(1) + f(2) +...+ f(1023) . Agradeço qualquer ajuda . []´s Pacini = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] potência de 2
Sabendo que f(n) é maior potência de 2 que divide n! ,
determine o valor de
f(1) + f(2) +...+ f(1023) .
Vejamos mais de perto:
1! = 1 a maior potência de 2 que divide 1! é 0 (2^0 = 1).
2! = 2 a maior potência de 2 que divide 2! é 1 (2^1 = 2).
3! = 6=3.2.1 a maior potência de 2 que divide 3! é 1 (2^1 = 2).
4! = 24 = 4.3.2.1 a maior potência de 2 que divide 4! é 3 (2^3 = 8).
...
Pelos exemplos acima parece que não há uma regra geral.
Note que com 5! por exemplo, a maior potência de 2 que divide 5!
continua sendo 3 (porque 5 é primo).
Mas no caso de 6 (que não é primo)
a maior potência de 2 que divide 6! será 4.
Peço desculpas a quem não sabe C, mas eu faria um programa
de computador para calcular a soma (pois o computador atrofiou meu cérebro)
e desafio alguém a pensar em algo mais força bruta e feio que isso:
/* calcula a soma f(1) + f(2) + ...+ f(x) */
unsigned int soma_pot2_fatorial( unsigned int x)
{ int i;
soma =0
for (i = 1; i = x; i++)
{
int k = fatorial (i); /* calcula o fatorial de i -- note que k é
uma variável de escopo local */
while (( k % 2) == 0){ /* enquanto o resto da divisão por 2 for
zero */
soma = soma++; /* incrementa soma */
k = k/2; /* k recebe a parte inteira da divisão de k por 2 */
}// fim enquanto
}// volta ao laço com o valor de i incrementado.
return soma;
}
Acho que não isso não ajuda, mas
pelo menos calcula a soma pedida ...
[]s Ronaldo L. Alonso
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] RE: [obm-l] potência de 2
Oi, Chame de S_k a soma f(1) + ... + f(k). É fácil ver que f(2n + 1) = f(2n), e também que f(1) = 0. Se B_k = número de múltiplos de 2^k menores ou iguais a n, vale f(n) = B_1 + B_2 + ... (a partir de um certo x, k=x implica B_k = 0). Como B_k é a parte inteira de n/2^k (denota-se [n/2^k]), isto é, o único inteiro tal que B_k = n/2^k B_k + 1, temos f(n) = [n/2] + [n/2^2] + [n/2^3] + ... . Por essa razão, f(2n + 1) = f(2n) = n + [n/2] + [n/2^2] + ... = n + f(n), logo S_(2^k + 1) = f(1) + ... + f(2^k + 1) = 2*(f(2) + f(4) + f(6) + ... + f(2^k)) = 2*( 1 + f(1) + 2 + f(2) + ... + 2^(k-1) + f(2^(k-1))) = 2*S_(2^(k-1)) + 2*D_(k-1), onde D_(x) = 1 + 2 + ... + 2^x. Repare que vc pode escrever S_(2^(k-1)) = S_(2^(k-1) + 1) - f(2^(k-1)), assim chegamos a S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + 2*(D_(k-1) - f(2^(k-1))). Tem-se f(2^(k-1)) = [2^(k-1)/2] + [2^(k-1)/2^2] + ... = 1 + 2 + ... + 2^(k-2) = D_(k-2) = D_(k-1) - 2^(k-1), assim temos S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + 2^k. A idéia então é calcular S_1023 usando S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = S_(2^10 + 1) - 2*f(2^10). Aplicando repetidamente o raciocínio de há pouco, chegaremos a S_1025 = S_(2^10 + 1) = 2^9*S(2 + 1) + 9*2^10 = 2^9 + 9*2^10. Como f(1024) = f(2^10) = D_9 = 2^10 - 1, temos S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = 2^9 + 9*2^10 - 2*2^10 + 2 = 2^9 + 14*2^9 + 2 = 15*2^9 + 2. Espero não ter errado nada... []s, Daniel ''-- Mensagem Original -- ''Date: Sun, 22 May 2005 11:05:30 -0300 ''To: obm-l@mat.puc-rio.br ''From: Pacini bores [EMAIL PROTECTED] ''Subject: [obm-l] potência de 2 ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''Olá Pessoal , '' ''Alguém poderia me ajudar no problema abaixo ? '' ''Sabendo que f(n) é maior potência de 2 que divide n! , ''determine o valor de '' ''f(1) + f(2) +...+ f(1023) . '' ''Agradeço qualquer ajuda . ''[]?s Pacini '' '' '' ''= ''Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em ''http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ''= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] potência de 2
Oi, Ronaldo. Alguns comentarios:
soma = soma++;
não pode em C.
Tudo bem, pode. Tudo bem, vai compilar. Mas não está definido pela
linguagem. Como não está definido, o comportamento pode não ser o
esperado. Digamos n = 3;
n = n++;
Tem compilador que após essa linha faz n = 3, tem compilador que faz
n=4, tem compilador que faz n=7... mas não quer dizer que n não possa
ter qualquer outro valor. É completamente indefinido.
Outra coisa: vc fez int k = fatorial(i);
Seja lá como estiver definida a função fatorial, ela deve retornar int,
ou então haverá um cast implicito aí. Nos pcs normais, um int tem 32
bits. Ou seja: se n13, n! INT_MAX, logo o resultado de 14!
será errado.
Tudo bem, suponhamos que no seu pc/os o int tenha 64 bits. Então se n21, n! já não cabe mais no int de 32 bits.
precisamos de outra solução...
:)
abraço
brunoOn 5/22/05, Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote:
Sabendoquef(n)émaior
potênciade2quedividen!
,determineo valordef(1) + f(2) +...+ f(1023) .Vejamos mais de perto:1! = 1a maior potência de 2 que divide 1! é 0 (2^0 = 1).2! = 2a maior potência de 2 que divide 2! é 1 (2^1 = 2).
3! = 6=3.2.1a maior potência de 2 que divide 3! é 1 (2^1 = 2).4! = 24 = 4.3.2.1a maior potência de 2 que divide 4! é 3 (2^3 = 8)Pelos exemplos acima parece que não há uma regra geral.
Note que com 5! por exemplo, a maior potência de 2 que divide 5!continua sendo 3 (porque 5 é primo).Mas no caso de 6 (que não é primo)a maior potência de 2 que divide 6! será 4.Peço
desculpasa quem não sabe C, mas eu faria um programade computador para calcular a soma (pois o computador atrofiou meu cérebro)e desafio alguém a pensar em algo mais força bruta e feio que isso:
/*calcula a soma f(1) + f(2) + ...+ f(x) */unsigned int soma_pot2_fatorial( unsigned int x){ int i;soma =0for (i = 1; i = x; i++){ int k = fatorial (i); /* calcula o fatorial de i -- note que k é
uma variável de escopo local */ while (( k % 2) == 0){/* enquanto o resto da divisão por 2 forzero */soma = soma++; /* incrementa soma */
k = k/2; /* k recebe a parte inteira da divisão de k por 2 */ }// fim enquanto }// volta ao laço com o valor de i incrementado. return soma;}Acho que não isso não ajuda, maspelo menos calcula a soma pedida ...
[]sRonaldo L. Alonso=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=-- Bruno França dos Reisemail: bfreis -
gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] RE: [obm-l] potência de 2
Oi. Me desculpe se eu estiver enganado, mas acho que vc se esqueceu de um +1 na resoluo. Veja: On 5/22/05, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: [...] Repare que vc pode escrever S_(2^(k-1)) = S_(2^(k-1) + 1) - f(2^(k-1)), [...] no seria S_(2^(k-1)) = S_(2^(k-1)+1) - f(2^(k-1)+1) ? Digo isso pois refiz o programinha do Ronaldo Luiz Alonso na bc, calculadora com preciso arbitrria, dei umas modificadas para otimiz-lo (pq calcular fatoriais at 1023 no moleza...), e cheguei em S = 518656, e sua resposta S = 15*2^9 + 2 = 7682. Minha resoluo ficaria meio dificil de escrever em texto puro, estou fazendo em LaTeX, tem um pdf em: http://reis.sytes.net:8011/bruno/mat/prob.pdf para quem quiser ver. Em linha geral, o que fiz foi: Defini : N - N, tal que (n) o expoente de 2 na fatorao em primos do nmero n ((n) = B_n, na notao do Daniel); outra forma: n = 2^a * (2b+1) == (n) = a. Temos que (2n+1) = 0, e (2n) = (n) + 1. Ento f(n) = sum(k=1..n, (k)) Ento S = sum(i = 1..1023, f(i)) = sum(i = 1..1023, sum(k=1..i, (k))) = sum(k=1..1023, (1024 - k)((k)). Agora, usando as propriedades citadas da funo repetidas vezes, vamos simplificando a soma, at chegar em S = 518656. As passagens de simplificao esto no documento supra-citado. Repare que o limite da soma inicial 2^10-1. Na segunda soma que encontro, simplificando esta, reduzo o limite a 2^9-1, e dado um limite 2^n - 1, reduzo-o a 2^(n-1) - 1. Ento possvel calcular a soma em 10 passagens (se eu no terminar, por preguia, mas por induo, v-se facilmente que funciona). Apontem meus erros! At mais Bruno -- Bruno Frana dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] RE: [obm-l] potência de 2
Me enganei: f(2k + 1) = f(2k)... bom, veja aí então se vc encontra onde é que eu me enganei na minha resolução! abraço!On 5/22/05, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] wrote:Oi. Me desculpe se eu estiver enganado, mas acho que vc se esqueceu de um +1 na resolução. Veja: On 5/22/05, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: [...] Repare que vc pode escrever S_(2^(k-1)) = S_(2^(k-1) + 1) - f(2^(k-1)), [...] não seria S_(2^(k-1)) = S_(2^(k-1)+1) - f(2^(k-1)+1) ? -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Re: [obm-l] potência de 2
Ronaldo, fiz aqui uma versaozinha em C otimizada, usando a função
phi(n) que diz o expoente de 2 na fatoração em primos de n, e a função
f(n), que é a função do problema (fiz f(n) = phi(1) + phi(2) + ... +
phi(n)), e tb soma(n) = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n). Dá pra
otimizar bem mais isso aí, mas já é bem rápido pra calcular soma(1023),
então não vi necessidade.
Abraço,
bruno
int phi(int n) {
if(n%2 == 1) return 0;
return (phi(n/2) + 1);
}
int f(int n) {
int i, s = 0;
for (i = 1; i = n; i++)
s += phi(i);
return soma;
}
int soma(int n) {
int i, s = 0;
for (i = 1; i = n; i++)
s += f(i);
return s;
}
int main() {
int n = 1;
while(n) {
printf(digite n (0 para sair): );
scanf(%d,n);
printf(soma(n)=%d\n\n, soma(n));
}
}On 5/22/05, Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED]
wrote:Sabendoquef(n)émaior
potênciade2quedividen!
,determineo valordef(1) + f(2) +...+ f(1023) .Vejamos mais de perto:1! = 1a maior potência de 2 que divide 1! é 0 (2^0 = 1).2! = 2a maior potência de 2 que divide 2! é 1 (2^1 = 2).
3! = 6=3.2.1a maior potência de 2 que divide 3! é 1 (2^1 = 2).4! = 24 = 4.3.2.1a maior potência de 2 que divide 4! é 3 (2^3 = 8)Pelos exemplos acima parece que não há uma regra geral.
Note que com 5! por exemplo, a maior potência de 2 que divide 5!continua sendo 3 (porque 5 é primo).Mas no caso de 6 (que não é primo)a maior potência de 2 que divide 6! será 4.Peço
desculpasa quem não sabe C, mas eu faria um programade computador para calcular a soma (pois o computador atrofiou meu cérebro)e desafio alguém a pensar em algo mais força bruta e feio que isso:
/*calcula a soma f(1) + f(2) + ...+ f(x) */unsigned int soma_pot2_fatorial( unsigned int x){ int i;soma =0for (i = 1; i = x; i++){ int k = fatorial (i); /* calcula o fatorial de i -- note que k é
uma variável de escopo local */ while (( k % 2) == 0){/* enquanto o resto da divisão por 2 forzero */soma = soma++; /* incrementa soma */
k = k/2; /* k recebe a parte inteira da divisão de k por 2 */ }// fim enquanto }// volta ao laço com o valor de i incrementado. return soma;}Acho que não isso não ajuda, maspelo menos calcula a soma pedida ...
[]sRonaldo L. Alonso=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=-- Bruno França dos Reisemail: bfreis -
gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] potência de 2
Na minha resolução anterior, eu acabei confundindo D_x = 1 + 2 + ... + 2^x por não ter escrito D_x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x, e acabei, em vez de somando de 1 a 2^x, pegando apenas as potências de 2... Por isso o erro! Espero ter consertado... abaixo, a resolução devidamente alterada. Agora encontrei S_1023 = 2^19 - 3*2^11 = 518144, que é algo mais próximo da estimativa numérica do Bruno, e me parece estar tudo certo desta vez. Ok! Chame de S_k a soma f(1) + ... + f(k). É fácil ver que f(2n + 1) = f(2n), e também que f(1) = 0. Se B_k = número de múltiplos de 2^k menores ou iguais a n, vale f(n) = B_1 + B_2 + ... (a partir de um certo x, k=x implica B_k = 0). Como B_k é a parte inteira de n/2^k (denota-se [n/2^k]), isto é, o único inteiro tal que B_k = n/2^k B_k + 1, temos f(n) = [n/2] + [n/2^2] + [n/2^3] + ... . Por essa razão, f(2n + 1) = f(2n) = n + [n/2] + [n/2^2] + ... = n + f(n), logo S_(2^k + 1) = f(1) + ... + f(2^k + 1) = 2*(f(2) + f(4) + f(6) + ... + f(2^k)) = 2*( 1 + f(1) + 2 + f(2) + ... + 2^(k-1) + f(2^(k-1))) = 2*S_(2^(k-1)) + 2*D_(k-1), onde D_(x) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x. Repare que vc pode escrever S_(2^(k-1)) = S_(2^(k-1) + 1) - f(2^(k-1)), assim chegamos a S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + 2*(D_(k-1) - f(2^(k-1))). Tem-se f(2^(k-1)) = [2^(k-1)/2] + [2^(k-1)/2^2] + ... = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(k-2) = 2^(k-1) - 1, assim temos D_(k-1) - f(2^(k-1)) = 2^(k-2)*(2^(k-1) + 1) - 2^(k-1) + 1. Segue que S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + (2^(k-1) - 1)^2 + 2^(k-1) + 1. A idéia então é calcular S_1023 usando S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = S_(2^10 + 1) - 2*f(2^10). Aplicando repetidamente o raciocínio de há pouco, chegaremos a S_1025 = 2^9*S_(3) + (2^9 + 1) + 2*(2^8 + 1) + 2^2*(2^7 + 1) + ... + 2^8*(2 + 1) + (2^9 - 1)^2 + 2*(2^8 - 1)^2 + 2^2*(2^7 - 1)^2 + ... + 2^8*(2 - 1)^2. Após algumas manipulações e sabendo que S_3 = 1, chegamos a S_1025 = 2^19 - 2^12 - 2. Como f(1024) = 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^9 = 2^10 - 1, vem que S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = 2^19 - 3*2^11 = 518144. [], Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] potência de 2
S_3 = f(1) + f(2) + f(3) f(1) = 0 f(2): 2! = 2, == f(2) = 1 f(3): 3! = 3, == f(3) = 1 Logo S_3 = 0 + 1 + 1 = 2. (isso pq na ultima passagem vc usa sabendo que S_3=1) Não vi o resto, Daniel. Será que arrumando isso chegaremos na mesma resposta? Veja aí, estou morrendo de sono! Até amanhã! Abraço! BrunoOn 5/22/05, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Na minha resolução anterior, eu acabei confundindo D_x = 1 + 2 + ... + 2^xpor não ter escrito D_x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x, e acabei, em vez de somando de 1 a 2^x, pegando apenas as potências de 2... Por isso o erro!Espero ter consertado... abaixo, a resolução devidamente alterada. Agoraencontrei S_1023 = 2^19 - 3*2^11 = 518144, que é algo mais próximo da estimativa numérica do Bruno, e me parece estar tudo certo desta vez.Ok!Chame de S_k a soma f(1) + ... + f(k). É fácil ver que f(2n + 1) = f(2n),e também que f(1) = 0. Se B_k = número de múltiplos de 2^k menores ou iguais a n, vale f(n) = B_1 + B_2 + ... (a partir de um certo x, k=x implica B_k= 0).Como B_k é a parte inteira de n/2^k (denota-se [n/2^k]), isto é, o únicointeiro tal que B_k = n/2^k B_k + 1, temos f(n) = [n/2] + [n/2^2] + [n/2^3] + ... . Por essa razão, f(2n + 1) = f(2n) = n + [n/2] + [n/2^2] + ... =n + f(n), logo S_(2^k + 1) = f(1) + ... + f(2^k + 1) = 2*(f(2) + f(4) +f(6) + ... + f(2^k)) = 2*( 1 + f(1) + 2 + f(2) + ... + 2^(k-1) + f(2^(k-1))) = 2*S_(2^(k-1)) + 2*D_(k-1), onde D_(x) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x.Repare que vc pode escrever S_(2^(k-1)) = S_(2^(k-1) + 1) - f(2^(k-1)),assim chegamos a S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + 2*(D_(k-1) - f(2^(k-1))). Tem-se f(2^(k-1)) = [2^(k-1)/2] + [2^(k-1)/2^2] + ... = 1 + 2 + 2^2 + 2^3+ ... + 2^(k-2) = 2^(k-1) - 1, assim temos D_(k-1) - f(2^(k-1)) = 2^(k-2)*(2^(k-1)+ 1) - 2^(k-1) + 1.Segue que S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + (2^(k-1) - 1)^2 + 2^(k-1) + 1.A idéia então é calcular S_1023 usando S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = S_(2^10+ 1) - 2*f(2^10). Aplicando repetidamente o raciocínio de há pouco, chegaremosaS_1025 = 2^9*S_(3) + (2^9 + 1) + 2*(2^8 + 1) + 2^2*(2^7 + 1) + ... + 2^8*(2 + 1) + (2^9 - 1)^2 + 2*(2^8 - 1)^2 + 2^2*(2^7 - 1)^2 + ... + 2^8*(2 - 1)^2.Após algumas manipulações e sabendo que S_3 = 1, chegamos a S_1025 = 2^19- 2^12 - 2. Como f(1024) = 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^9 = 2^10 - 1, vem que S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = 2^19 - 3*2^11 = 518144.[],Daniel=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000e^(pi*i)+1=0
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] potência de 2
Hehehe, para variar, eu não acerto nem de segunda... Vc está certo, Bruno, S_3 = 2 (fiquei com o f(3) na cabeça...), e então basta acrescentar 2^9 ao meu resultado anterior, obtendo S_1023 = 2^19 - 3*2^11 + 2^9 = 518656, e finalmente nossas respostas coicidem! []s, Daniel ''-- Mensagem Original -- ''Date: Mon, 23 May 2005 00:39:11 -0300 ''From: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] ''To: obm-l@mat.puc-rio.br ''Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] potência de 2 ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''S_3 = f(1) + f(2) + f(3) ''f(1) = 0 ''f(2): 2! = 2, == f(2) = 1 ''f(3): 3! = 3, == f(3) = 1 ''Logo S_3 = 0 + 1 + 1 = 2. ''(isso pq na ultima passagem vc usa sabendo que S_3=1) ''Não vi o resto, Daniel. Será que arrumando isso chegaremos na mesma ''resposta? '' ''Veja aí, estou morrendo de sono! Até amanhã! '' ''Abraço! ''Bruno '' ''On 5/22/05, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: '' '' Na minha resolução anterior, eu acabei confundindo D_x = 1 + 2 + ... + ''2^x '' por não ter escrito D_x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x, e acabei, em vez '' de somando de 1 a 2^x, pegando apenas as potências de 2... Por isso o '' erro! '' '' Espero ter consertado... abaixo, a resolução devidamente alterada. Agora '' encontrei S_1023 = 2^19 - 3*2^11 = 518144, que é algo mais próximo da '' estimativa '' numérica do Bruno, e me parece estar tudo certo desta vez. '' '' Ok! '' '' Chame de S_k a soma f(1) + ... + f(k). É fácil ver que f(2n + 1) = f(2n), '' e também que f(1) = 0. Se B_k = número de múltiplos de 2^k menores ou '' iguais '' a n, vale f(n) = B_1 + B_2 + ... (a partir de um certo x, k=x implica ''B_k '' = 0). '' '' Como B_k é a parte inteira de n/2^k (denota-se [n/2^k]), isto é, o único '' inteiro tal que B_k = n/2^k B_k + 1, temos f(n) = [n/2] + [n/2^2] + '' '' [n/2^3] '' + ... . Por essa razão, f(2n + 1) = f(2n) = n + [n/2] + [n/2^2] + ... = '' n + f(n), logo S_(2^k + 1) = f(1) + ... + f(2^k + 1) = 2*(f(2) + f(4) + '' f(6) + ... + f(2^k)) = 2*( 1 + f(1) + 2 + f(2) + ... + 2^(k-1) + '' f(2^(k-1))) '' = 2*S_(2^(k-1)) + 2*D_(k-1), onde D_(x) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x. '' '' Repare que vc pode escrever S_(2^(k-1)) = S_(2^(k-1) + 1) - f(2^(k-1)), '' assim chegamos a S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + 2*(D_(k-1) - '' f(2^(k-1))). '' '' Tem-se f(2^(k-1)) = [2^(k-1)/2] + [2^(k-1)/2^2] + ... = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 '' + ... + 2^(k-2) = 2^(k-1) - 1, assim temos D_(k-1) - f(2^(k-1)) = '' 2^(k-2)*(2^(k-1) '' + 1) - 2^(k-1) + 1. '' '' Segue que S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + (2^(k-1) - 1)^2 + 2^(k-1) + '' 1. '' '' A idéia então é calcular S_1023 usando S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = '' S_(2^10 '' + 1) - 2*f(2^10). Aplicando repetidamente o raciocínio de há pouco, '' chegaremos '' a '' '' S_1025 = 2^9*S_(3) + (2^9 + 1) + 2*(2^8 + 1) + 2^2*(2^7 + 1) + ... + '' 2^8*(2 '' + 1) + (2^9 - 1)^2 + 2*(2^8 - 1)^2 + 2^2*(2^7 - 1)^2 + ... + 2^8*(2 - '' 1)^2. '' '' Após algumas manipulações e sabendo que S_3 = 1, chegamos a S_1025 = 2^19 '' - 2^12 - 2. Como f(1024) = 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^9 = 2^10 - 1, vem que '' '' S_1023 '' = S_1025 - 2*f(1024) = 2^19 - 3*2^11 = 518144. '' '' [], '' Daniel '' '' '' '' = '' Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em '' http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html '' = '' '' '' '' ''-- ''Bruno França dos Reis ''email: bfreis - gmail.com http://gmail.com ''gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key ''icq: 12626000 '' ''e^(pi*i)+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Potência
LEGALEstew caiu numa IMO.Procure no site do Scholescfgauss77 [EMAIL PROTECTED] wrote: Seja o número a=^, o núemo b obtido da soma de todos os algarismos do número a e, finalmente, o número c obtido da soma de todos os algarismos de b. Determine o número c.Desde já agradeço__Seleção de Softwares UOL.10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família.http://www.uol.com.br/selecao=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
[obm-l] Re: [obm-l] Potência
Analise as conguências módulo desse número, isso pode te dar uma dica de quais devem ser as congruências módulo de b. André T. - Original Message - From: cfgauss77 [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, June 28, 2003 4:26 PM Subject: [obm-l] Potência Seja o número a=^, o núemo b obtido da soma de todos os algarismos do número a e, finalmente, o número c obtido da soma de todos os algarismos de b. Determine o número c. Desde já agradeço __ Seleção de Softwares UOL. 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família. http://www.uol.com.br/selecao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Potência
O estilo Dirichlet germina, ou sera Andre T um pseudonimo de Dirichlet? Cfgauss77 agora tem dois problemas: o original e tentar entender essa sugestao escrita em dialeto. Wagner wrote: Analise as conguências módulo desse número, isso pode te dar uma dica de quais devem ser as congruências módulo de b. André T. - Original Message - From: cfgauss77 [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, June 28, 2003 4:26 PM Subject: [obm-l] Potência Seja o número a=^, o núemo b obtido da soma de todos os algarismos do número a e, finalmente, o número c obtido da soma de todos os algarismos de b. Determine o número c. Desde já agradeço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Potência
Este problema caiu numa IMO e a pergunta era qual a soma dos digitos de c. Todo natural eh congruo, modulo 9, ah soma de seus algarismos. Logo, a, b e c sao congruos entre si, modulo 9. Vamos descobrir a que sao congruas, modulo 9, as potencias de . ^1 congruo a 7; ^2 congruo a 7^2=49 congruo a 4; ^3 congruo a 7*4=28 congruo a 1. ^ = ^(3*1481+1) = [(^3)^1481] * congruo a (1^1481)*7 = 7. Logo, modulo 9, a, b e c sao congruos a 7. a eh menor que 1^ = 10^17776 que eh o menor natural de 17 777 digitos. Logo, a tem, no maximo, 17 776 digitos e b sera menor que 17776*9 =159 984. c sera menor que 1+5*9 = 46. Logo, a soma dos algarismos de c sera menor que 4+9=13. Como a soma dos algarismos de c eh congrua a 7, modulo 9, a soma dos digitos de c vale 7. Apesar de ter usado uma desigualdade muito larga ( 10 000), nao se conseguiria resultado muito melhor com uma desigualdade mais estreita. Com calculadora descobre-se que a eh um numero de 16 211 digitos. - Original Message - From: cfgauss77 [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, June 28, 2003 4:26 PM Subject: [obm-l] Potência Seja o número a=^, o núemo b obtido da soma de todos os algarismos do número a e, finalmente, o número c obtido da soma de todos os algarismos de b. Determine o número c. Desde já agradeço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Potência
Seja o número a=^, o núemo b obtido da soma de todos os algarismos do número a e, finalmente, o número c obtido da soma de todos os algarismos de b. Determine o número c. Desde já agradeço __ Seleção de Softwares UOL. 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família. http://www.uol.com.br/selecao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Potência
Seja o número a=^, o núemo b obtido da soma de todos os algarismos do número a e, finalmente, o número c obtido da soma de todos os algarismos de b. Determine o número c. Desde já agradeço __ Seleção de Softwares UOL. 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família. http://www.uol.com.br/selecao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Potência
Ola Fabio, Voce saberia me dizer qual livro/assunto pesquisar para saber mais sobre esse problema. Na escola eles ensinam apenas os algoritmos e acredito que problemas desse tipo requerem conhecimento mais produnfo. [], Anderson At 00:26 27/6/2003 -0300, Fábio \ctg \\pi\ Dias Moreira wrote: Em Qui 26 Jun 2003 19:54, cfgauss77 escreveu: Seja o número a=^, o núemo b obtido da soma de todos os algarismos do número a e, finalmente, o número c obtido da soma de todos os algarismos de b. Determine o número c. Encontre uma cota superior para o número de dígitos de a (procure potências de 10). Isso dá uma cota superior para o valor de b. Encontre uma cota superior para o número de dígitos de b. Isso dá uma cota superior para o valor de c. Agora pense na regra de divisibilidade por 9. Mais precisamente, pense no seguinte: se um número n deixa resto r ao ser dividido por 9, qual o resto que a soma dos algarismos de n deixa ao ser dividida por 9? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Potência
Seja o número a=^, o núemo b obtido da soma de todos os algarismos do número a e, finalmente, o número c obtido da soma de todos os algarismos de b. Determine o número c. Desde já agradeço __ Seleção de Softwares UOL. 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família. http://www.uol.com.br/selecao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Potência
Seja o número a=^, o núemo b obtido da soma de todos os algarismos do número a e, finalmente, o número c obtido da soma de todos os algarismos de b. Determine o número c. Desde já agradeço __ Seleção de Softwares UOL. 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família. http://www.uol.com.br/selecao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Potência
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Em Qui 26 Jun 2003 19:54, cfgauss77 escreveu: Seja o número a=^, o núemo b obtido da soma de todos os algarismos do número a e, finalmente, o número c obtido da soma de todos os algarismos de b. Determine o número c. [...] Encontre uma cota superior para o número de dígitos de a (procure potências de 10). Isso dá uma cota superior para o valor de b. Encontre uma cota superior para o número de dígitos de b. Isso dá uma cota superior para o valor de c. Agora pense na regra de divisibilidade por 9. Mais precisamente, pense no seguinte: se um número n deixa resto r ao ser dividido por 9, qual o resto que a soma dos algarismos de n deixa ao ser dividida por 9? []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux) Comment: For info see http://www.gnupg.org iD8DBQE++7laalOQFrvzGQoRAr5tAJ9j2RDu0QuIMhqmjHPLCMWadGn2ZACfVAl+ vvjderX1uhhZcqgDAeA7ptQ= =QQOX -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
