[obm-l] Primo(?)

[marcone augusto araújo borges]

Muito obrigado a todos pelos comentários.   
  
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Primo?

[Carlos Victor]

 

Não. 

Observe um dos emails do Pacini. 

(2^83-1)(2^83+1)=2^166-1; por Fermat...; daí ele tentou verificar se 167
é fator do número pedido. 

Abraços 

Carlos victor 

Em 24/11/2015 20:13, Mauricio de Araujo escreveu: 

> Só para ser chato, o primo 167 caiu do céu? rsss (sem ofensas) 
> 
> No enunciado original não é mencionado o primo 167... 
> 
> Em 24 de novembro de 2015 16:48, Matheus Secco  
> escreveu:
> 
> Acredito que você possa usar resíduos quadráticos: 
> 
> (2 legendre p) = (-1)^(p^2-1)/8 
> 
> (2 legendre p) == 2^(p-1)/2 (mód p) 
> 
> Para p = 167, temos que (167^2-1)/8 é par. Logo (2 legendre 167) = 1. 
> Com isso, obtemos que 2^83 == 1 (mód 167). 
> 
> Abraços 
> 
> 2015-11-24 10:16 GMT-02:00 Pacini Bores :
> 
> Olá Marcone, 
> 
> Observe que 2^166-1 é divisível por 167; logo um dos fatores de 
> (2^83-1)(2^83+1) divide 167, já que 167 é primo. Só estou tentando provar que 
> é 2^83-1, que ainda não consegui. 
> 
> Pacini 
> 
> Em 24/11/2015 7:32, marcone augusto araújo borges escreveu: 
> Mostre que 2^83 - 1 não é primo 
> -- 
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> acredita-se estar livre de perigo. 
> -- 
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Abraços 

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ 

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Re: [obm-l] Primo?

[Mauricio de Araujo]

Só para ser chato, o primo 167 caiu do céu? rsss  (sem ofensas)

No enunciado original não é mencionado o primo 167...

Em 24 de novembro de 2015 16:48, Matheus Secco 
escreveu:

> Acredito que você possa usar resíduos quadráticos:
>
> (2 legendre p) = (-1)^(p^2-1)/8
>
> (2 legendre p) == 2^(p-1)/2 (mód p)
>
> Para p = 167, temos que (167^2-1)/8 é par. Logo (2 legendre 167) = 1.
> Com isso, obtemos que 2^83 == 1 (mód 167).
>
> Abraços
>
> 2015-11-24 10:16 GMT-02:00 Pacini Bores :
>
>>
>>
>>
>> Olá Marcone,
>>
>> Observe que 2^166-1 é divisível por  167; logo   um dos fatores de
>> (2^83-1)(2^83+1) divide 167, já que 167 é primo. Só estou tentando provar
>> que é 2^83-1, que ainda não consegui.
>>
>> Pacini
>>
>> Em 24/11/2015 7:32, marcone augusto araújo borges escreveu:
>>
>> Mostre que 2^83 - 1 não é primo
>>
>> --
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>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
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>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
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> acredita-se estar livre de perigo.
>



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Abraços

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ

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Re: [obm-l] Primo?

[Anderson Torres]

Em 24 de novembro de 2015 20:13, Mauricio de Araujo
 escreveu:
> Só para ser chato, o primo 167 caiu do céu? rsss  (sem ofensas)
>
> No enunciado original não é mencionado o primo 167...

Tem uma certa forma de pesquisar.

Se 2^83-1 é composto, os seus fatores primos estão num range limitado,
no sentido de que eles têm certas propriedades.

Se 2^83 = 1 (mod p), temos 2^(p-1)=1 (mod p) e portanto se g é o menor
tal que 2^(g) = 1, então g divide p-1 e 83.

Como 83 é primo (faça as contas!), temos que g ou é 1 ou é 83. Vou
supor g=83 - afinal, g=1 não tem graça.

Assim, g=83|p-1 ==> p=83K+1
Assim, nossa primeira tentativa seria K=2: p=83*2+1=167.

Agora, verifica se ele satisfaz a congruência acima, na raçuda mesmo
(ou use a magia do Ralph).



>
> Em 24 de novembro de 2015 16:48, Matheus Secco 
> escreveu:
>>
>> Acredito que você possa usar resíduos quadráticos:
>>
>> (2 legendre p) = (-1)^(p^2-1)/8
>>
>> (2 legendre p) == 2^(p-1)/2 (mód p)
>>
>> Para p = 167, temos que (167^2-1)/8 é par. Logo (2 legendre 167) = 1.
>> Com isso, obtemos que 2^83 == 1 (mód 167).
>>
>> Abraços
>>
>> 2015-11-24 10:16 GMT-02:00 Pacini Bores :
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Olá Marcone,
>>>
>>> Observe que 2^166-1 é divisível por  167; logo   um dos fatores de
>>> (2^83-1)(2^83+1) divide 167, já que 167 é primo. Só estou tentando provar
>>> que é 2^83-1, que ainda não consegui.
>>>
>>> Pacini
>>>
>>> Em 24/11/2015 7:32, marcone augusto araújo borges escreveu:
>>>
>>> Mostre que 2^83 - 1 não é primo
>>>
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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> Abraços
>
> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
>
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Primo?

[Anderson Torres]

Diga-se de passagem, sabe aquela prova do Leonhard Euler que o sexto
Fermat (ou seria o sétimo?) é composto? Em que aparece o mágico número
641? Pois bem, ele pode ser pesquisado por uma metodologia parecida
com a que eu disse no e-mail passado.

Em 25 de novembro de 2015 02:00, Anderson Torres
 escreveu:
> Em 24 de novembro de 2015 20:13, Mauricio de Araujo
>  escreveu:
>> Só para ser chato, o primo 167 caiu do céu? rsss  (sem ofensas)
>>
>> No enunciado original não é mencionado o primo 167...
>
> Tem uma certa forma de pesquisar.
>
> Se 2^83-1 é composto, os seus fatores primos estão num range limitado,
> no sentido de que eles têm certas propriedades.
>
> Se 2^83 = 1 (mod p), temos 2^(p-1)=1 (mod p) e portanto se g é o menor
> tal que 2^(g) = 1, então g divide p-1 e 83.
>
> Como 83 é primo (faça as contas!), temos que g ou é 1 ou é 83. Vou
> supor g=83 - afinal, g=1 não tem graça.
>
> Assim, g=83|p-1 ==> p=83K+1
> Assim, nossa primeira tentativa seria K=2: p=83*2+1=167.
>
> Agora, verifica se ele satisfaz a congruência acima, na raçuda mesmo
> (ou use a magia do Ralph).
>
>
>
>>
>> Em 24 de novembro de 2015 16:48, Matheus Secco 
>> escreveu:
>>>
>>> Acredito que você possa usar resíduos quadráticos:
>>>
>>> (2 legendre p) = (-1)^(p^2-1)/8
>>>
>>> (2 legendre p) == 2^(p-1)/2 (mód p)
>>>
>>> Para p = 167, temos que (167^2-1)/8 é par. Logo (2 legendre 167) = 1.
>>> Com isso, obtemos que 2^83 == 1 (mód 167).
>>>
>>> Abraços
>>>
>>> 2015-11-24 10:16 GMT-02:00 Pacini Bores :





 Olá Marcone,

 Observe que 2^166-1 é divisível por  167; logo   um dos fatores de
 (2^83-1)(2^83+1) divide 167, já que 167 é primo. Só estou tentando provar
 que é 2^83-1, que ainda não consegui.

 Pacini

 Em 24/11/2015 7:32, marcone augusto araújo borges escreveu:

 Mostre que 2^83 - 1 não é primo

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Re: [obm-l] Primo?

[Pacini Bores]

 

Olá Marcone, 

Observe que 2^166-1 é divisível por 167; logo um dos fatores de
(2^83-1)(2^83+1) divide 167, já que 167 é primo. Só estou tentando
provar que é 2^83-1, que ainda não consegui. 

Pacini 

Em 24/11/2015 7:32, marcone augusto araújo borges escreveu: 

> Mostre que 2^83 - 1 não é primo 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
 
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Re: [obm-l] Primo?

[Mauricio de Araujo]

 reposta correta mas que o professor vai relutar em aceitar...

Em 24 de novembro de 2015 09:39, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Deixa eu ver 2^83-1 2^83-1... Ah, é, 2^83-1... Se eu me lembro
> bem, vale:
>
> 2^83-1 = 167×57912614113275649087721
>
> Confere aí se eu errei algum dígito.
>
> ;) ;) ;) ;)
>
> 2015-11-24 7:32 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com>:
>
>> Mostre que 2^83 - 1 não é primo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
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Abraços

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Re: [obm-l] Primo?

[Pacini Bores]

 

Oi Marcone, em 2005 o Adroaldo Munhoz, enviou a seguinte resposta : 

Mostre que 2^83 - 1 é divisível por 167
2^9 = 512, 167*3 = 501 ==> 2^9 = 11 (mod 167)
2^83=2^81*2^2=(2^9)^9*4
2^83 (mod 167) = 11^9*4 (mod 167)
11^3=1331, 167*8=1336 ==> 11^3 = -5 (mod 167)
11^9*4 ( mod 167) = (-5)^3*4 (mod 167) = -500 (mod 167) = 1 (mod 167)
2^83 -1 (mod 167) = 1 -1 (mod 167) = 0 (mod 167).

Pacini

Em 24/11/2015 7:32, marcone augusto araújo borges escreveu: 

> Mostre que 2^83 - 1 não é primo 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
 
-- 
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Re: [obm-l] Primo?

[Matheus Secco]

Acredito que você possa usar resíduos quadráticos:

(2 legendre p) = (-1)^(p^2-1)/8

(2 legendre p) == 2^(p-1)/2 (mód p)

Para p = 167, temos que (167^2-1)/8 é par. Logo (2 legendre 167) = 1.
Com isso, obtemos que 2^83 == 1 (mód 167).

Abraços

2015-11-24 10:16 GMT-02:00 Pacini Bores :

>
>
>
> Olá Marcone,
>
> Observe que 2^166-1 é divisível por  167; logo   um dos fatores de
> (2^83-1)(2^83+1) divide 167, já que 167 é primo. Só estou tentando provar
> que é 2^83-1, que ainda não consegui.
>
> Pacini
>
> Em 24/11/2015 7:32, marcone augusto araújo borges escreveu:
>
> Mostre que 2^83 - 1 não é primo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Primo?

[marcone augusto araújo borges]

Mostre que 2^83 - 1 não é primo   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Primo?

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2015-11-24 7:32 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges
:
> Mostre que 2^83 - 1 não é primo

Seja p um primo que divide 2^83 - 1. Seja "x" a ordem de 2 mod p. Por
Fermat, sabemos que x divide (p-1). Do enunciado, x também divide 83.
Ponha (p-1) = kx, e vá aumentando k até achar um primo que, realmente,
divida 2^83 - 1...

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Primo?

[Ralph Teixeira]

Deixa eu ver 2^83-1 2^83-1... Ah, é, 2^83-1... Se eu me lembro bem,
vale:

2^83-1 = 167×57912614113275649087721

Confere aí se eu errei algum dígito.

;) ;) ;) ;)

2015-11-24 7:32 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com>:

> Mostre que 2^83 - 1 não é primo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
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Re: [obm-l] Primo e divisibilidade

[Esdras Muniz]

Lema: se p=3(mod4) e p | a²+b² então p | a e p | b.
p=4k+3, suponha p não divide a e p não divide b.
por Fermat a^(4k+2)=1(mod p) e b^(4k+2)=1(mod p) = a^(4k+2)=b^(4k+2) (mod
p) (i)
mas como p | a²+b² = a²=b²(mod p) elevando a (2k+1):
a^(4k+2)=((-1)^(2k+1))*b^(4k+2)(mod p) = a^(4k+2)= -b^(4k+2)(mod p) (ii)
(i) e (ii) geram absurdo, e o lema está provado.

Em 25 de outubro de 2014 11:05, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Seja p um número primo ímpar. Mostre que se p divide a^2 + b^2 com (a,b) =
 1, então
 p = 1 (mod 4).

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-- 
Esdras Muniz Mota
Graduando em Matemática Bacharelado
Universidade Federal do Ceará

-- 
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Re: [obm-l] Primo e divisibilidade

[Pedro José]

Boa tarde!

Matou bonito! Só houve um erro de digitação na 4a linha a^2 ≡ - b^2 (mod p)
e não a^2 ≡ b^2 (mod p)

Bela e simples solução.

Sds,
PJMS

Em 28 de outubro de 2014 12:25, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
escreveu:

 Lema: se p=3(mod4) e p | a²+b² então p | a e p | b.
 p=4k+3, suponha p não divide a e p não divide b.
 por Fermat a^(4k+2)=1(mod p) e b^(4k+2)=1(mod p) = a^(4k+2)=b^(4k+2) (mod
 p) (i)
 mas como p | a²+b² = a²=b²(mod p) elevando a (2k+1):
 a^(4k+2)=((-1)^(2k+1))*b^(4k+2)(mod p) = a^(4k+2)= -b^(4k+2)(mod p) (ii)
 (i) e (ii) geram absurdo, e o lema está provado.

 Em 25 de outubro de 2014 11:05, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Seja p um número primo ímpar. Mostre que se p divide a^2 + b^2 com (a,b) =
 1, então
 p = 1 (mod 4).

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 Esdras Muniz Mota
 Graduando em Matemática Bacharelado
 Universidade Federal do Ceará



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[obm-l] Primo e divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

Seja p um número primo ímpar. Mostre que se p divide a^2 + b^2 com (a,b) = 1, 
entãop = 1 (mod 4). 
-- 
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Re: [obm-l] Primo e divisor

[claudio\.buffara]

Nesse caso, eh 240. 
Se p  5 entao 5 | p^4 - 1 (pequeno Fermat).
Alem disso, todo primo = 5 eh da forma 3k +/- 1. Logo, p-1 ou p+1 eh multiplo 
de 3.
Finalmente os multiplos de 2:
p^2+1, p-1 e p+1 sao pares. Mas um dentre p-1 e p+1 eh tambem multiplo de 4.
Logo, p^4-1 eh multiplo de 16.
Assim, 16*3*5 = 240 divide p^4 - 1.

Agora, 7^4 - 1 = 2400  e 11^4 - 1 = 14640.
Mas mdc(2400,14640) = 240.

Logo, 240 eh o maior inteiro que divide todos os numeros da forma p^4 - 1 com p 
primo e  5.

***

Na mesma linha proponho um novo problema:
Qual o maior inteiro N que eh divisivel por todos os inteiros positivos 
inferiores a raiz(N)?

[]s,
Claudio.
  
-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Thu, 31 Aug 2006 17:22:05 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Primo e divisor

 Oi,
 
 Você deve ter razão quanto à formulação mas trivialmente sua solução 
 pode ser melhorada para 120 (embora o mérito seja seu), pois
 
 p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1)  que é (obviamente) divisível por 8 e 
 além disso, p-1 ou p+1 é divisível por 3. Mas na verdade p-1 ou p +1 
 são divisíveis por 4.  Logo... vale a melhoria 120, mas também não 
 sei como melhorá-la mais um pouquinho nem poucão...
 
 Abraços,
 Nehab
 
 At 12:47 31/8/2006, you wrote:
 Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar 
 mal formulada.
 
 Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 1 
 e a resposta.
 
 Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 pra 
 qualquer p primo  5 entao acho que a resposta e 10.
 
 p^4-1  = 0 mod 2
 p^4-1 =  0 mod 5
 ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos 
 vale  a^(p-1) = 1 mod p.
 
 Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p.  Mas 
 certamente nao vai ser o maior divisor.
 
 
 From: its matematico [EMAIL PROTECTED]
 Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: Re: [obm-l] Primo e  divisor
 Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 + (GMT)
 
 Acho q tenho uma solução razoável:
 
se p é primo e p5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, 
  logo p^4-1 é par
e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2
 
Alguma objeção à resposta???
 
Espero ter contribuído...
Até +,
Ítalo
 
 João Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro 
  que
 divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção,
 hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a solução
 procurada exclui o próprio p^4 - 1.
 
 Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se
 a encontrar, posto depois.
 
 Abraços,
 
 João Luís.
 
 
 - Original Message -
 From: Ricardo Khawge
 To:
 Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM
 Subject: [obm-l] Primo e divisor
 
 
   Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos fazer
   um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não 
   sei
   se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui
   e agradecemos qualquer colaboração.
  
   Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior 
   que
   5.
  
   Tchau
  
   _
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  http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d
  
   =
   Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
   http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
   =
 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =
 
 
 
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 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =
 
 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Primo e divisor

[Ricardo Khawge]

Creio que este inteiro deve dividir todos os p^4 - 1 simultaneamente, tal 
que

p é um primo maior 5. A  resposta de que este maior divisor seja o
próprio p^4 - 1 faz todo o sentido, porém ele seria um valor variável
dependente de p, e não um valor constante.


A solução que encontrei foi a seguinte:

Fatorando p^4 - 1, obtemos

p^4 - 1 = (p^2 + 1).(p^2 - 1) = (p^2 + 1).(p + 1).(p - 1)



Se p é primo maior que 5, então necessariamente p é ímpar e (p^2 + 1) é um
múltiplo de 2, (p + 1) é um múltiplo de 2, e (p - 1) é um múltiplo de 2.
Logo, (p^4 - 1) é múltiplo de 23.



Ainda, dados três números consecutivos (p - 1), p, (p + 1), então
necessariamente um deles é múltiplo de 3. Então (p + 1) ou (p - 1) é
múltiplo de 3, pois p é primo. Logo, p^4 - 1 é múltiplo de 3.



E finalmente, todo inteiro é da forma 5.k, 5.k + 1, 5.k + 2, 5.k + 3, 5.k +
4. com k inteiro.

Como p é um primo maior que 5, p não pode ser da forma 5.k, porém vamos
provar que para as outras formas, p^4 - 1 sempre é um múltiplo de 5. Vejamos
os outros casos:

Se p for da forma 5.k + 1, então (p - 1) = (5.k + 1 - 1) = 5.k, torna p^4 - 
1

um múltiplo de 5.

Se p for da forma 5.k + 2, então (p2 + 1) = (25.k2 + 20.k + 4 + 1) = 5.(5.k2
+ 4.k + 1) = 5.k', torna p^4 - 1 um múltiplo de 5.

Se p for da forma 5.k + 3, então (p2 + 1) = (25.k2 + 30.k + 9 + 1) = 5.(5.k2
+ 6.k + 2) = 5.k', torna p^4 - 1 um múltiplo de 5.

Se p for da forma 5.k + 4, então (p + 1) = (5.k + 4 + 1) = 5.k + 5 = 5.(k +
1) = 5.k', também torna p^4 - 1 um múltiplo de 5.

Logo, p^4 - 1 sempre será um múltiplo de 5.



Assim, como p^4 - 1 é múltiplo de 23, 3, 5 simultaneamente, então p^4 - 1 é
múltiplo de

23 . 3 . 5 = 240 c.q.d.



Como contra-exemplo:

7^4 - 1 = (7^2 + 1).(7 + 1).(7 - 1) = 50 . 8 . 6 = 25 . 31 . 52

11^4 - 1 = (11^2 + 1).(11 + 1).(11 - 1) = 122 . 12 . 10 = 24 . 31 . 51 . 611

13^4 - 1 = (13^2 + 1).(13 + 1).(13 - 1) = 170 . 14 . 12 = 24 . 31 . 51 . 71 
.

171

17^4 - 1 = (17^2 + 1).(17 + 1).(17 - 1) = 290 . 18 . 16 = 26 . 32 . 51 . 291



De fato, o M.D.C.(7^4 - 1, 11^4 - 1, 13^4 - 1, 17^4 - 1) = 24 . 3 . 5 = 240.



Gostaria que vocês verificasse se estes meus argumentos são plausíveis.




From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor
Date: Thu, 31 Aug 2006 16:45:51 -0400

Eu vi depois de apertar send que devia ter testado divisibilidade por 3 e 
mesmo sem fatorar da pra ver que p^4 - 1 = 0 mod 3, ja que p = 1 mod 3 ou p 
= -1 mod 3


Entao logo de cara eu ja devia ter mudado a resposta para pelo menos 2*3*5 
= 30.


Mas pegando carona na sua resposta (embora o merito seja seu :D ):

p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1)  que é (obviamente) divisível por 8

Ta bom 2x*2y*2z e divisivel por 8.

Mas na verdade p-1 ou p +1 são divisíveis por 4.

Entao temos 2x*4s*2z ou 2x*2y*4t o que e divisivel por 16.

Logo o maior numero garantido e 2^4*3*5 = 240, confere?


From: Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor
Date: Thu, 31 Aug 2006 17:22:05 -0300

Oi,

Você deve ter razão quanto à formulação mas trivialmente sua solução pode 
ser melhorada para 120 (embora o mérito seja seu), pois


p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1)  que é (obviamente) divisível por 8 e além 
disso, p-1 ou p+1 é divisível por 3. Mas na verdade p-1 ou p +1 são 
divisíveis por 4.  Logo... vale a melhoria 120, mas também não sei como 
melhorá-la mais um pouquinho nem poucão...


Abraços,
Nehab

At 12:47 31/8/2006, you wrote:
Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar mal 
formulada.


Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 1 e a 
resposta.


Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 pra 
qualquer p primo  5 entao acho que a resposta e 10.


p^4-1  = 0 mod 2
p^4-1 =  0 mod 5
ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos vale  a^(p-1) 
= 1 mod p.


Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p.  Mas 
certamente nao vai ser o maior divisor.




From: its matematico [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Primo e  divisor
Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 + (GMT)

Acho q tenho uma solução razoável:

  se p é primo e p5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, logo 
p^4-1 é par

  e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2

  Alguma objeção à resposta???

  Espero ter contribuído...
  Até +,
  Ítalo

João Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior 
inteiro que

divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção,
hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a 
solução

procurada exclui o próprio p^4 - 1.

Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, 
se

a encontrar, posto depois.

Abraços,

João Luís.


- Original Message

[obm-l] Primo e divisor

[Ricardo Khawge]

Eu e colega estamos  resolvendo alguns problemas e não conseguimos  fazer um 
deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não sei se é 
por ser muito fácil.  Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui e 
agradecemos qualquer colaboração.


Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior que 
5.


Tchau

_
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Primo e divisor

[João Luís Gomes Guimarães]

Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro que 
divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção, 
hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a solução 
procurada exclui o próprio p^4 - 1.


Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se 
a encontrar, posto depois.


Abraços,

João Luís.


- Original Message - 
From: Ricardo Khawge [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM
Subject: [obm-l] Primo e divisor


Eu e colega estamos  resolvendo alguns problemas e não conseguimos  fazer 
um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não sei 
se é por ser muito fácil.  Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui 
e agradecemos qualquer colaboração.


Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior que 
5.


Tchau

_
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
= 



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Primo e divisor

[its matematico]

Acho q tenho uma solução razoável:se p é primo e p5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, logo p^4-1 é par   e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2Alguma objeção à resposta???Espero ter contribuído...  Até +,  ÍtaloJoão Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro que divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção, hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a solução procurada exclui o próprio p^4 - 1.Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se a encontrar, posto depois.Abraços,João
 Luís.- Original Message - From: "Ricardo Khawge" <[EMAIL PROTECTED]>To: <OBM-L@MAT.PUC-RIO.BR>Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AMSubject: [obm-l] Primo e divisor Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos fazer  um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não sei  se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui  e agradecemos qualquer colaboração. "Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior que  5." Tchau _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis.  Acesse  http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d
 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= 
		 
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Re: [obm-l] Primo e divisor

[Qwert Smith]

Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar mal 
formulada.


Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 1 e a 
resposta.


Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 pra qualquer 
p primo  5 entao acho que a resposta e 10.


p^4-1  = 0 mod 2
p^4-1 =  0 mod 5
ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos vale  a^(p-1) = 1 
mod p.


Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p.  Mas certamente 
nao vai ser o maior divisor.




From: its matematico [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Primo e  divisor
Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 + (GMT)

Acho q tenho uma solução razoável:

  se p é primo e p5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, logo p^4-1 
é par

  e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2

  Alguma objeção à resposta???

  Espero ter contribuído...
  Até +,
  Ítalo

João Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro 
que

divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção,
hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a 
solução

procurada exclui o próprio p^4 - 1.

Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se
a encontrar, posto depois.

Abraços,

João Luís.


- Original Message -
From: Ricardo Khawge
To:
Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM
Subject: [obm-l] Primo e divisor


 Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos fazer
 um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não 
sei

 se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui
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 Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior 
que

 5.

 Tchau

 _
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Re: [obm-l] Primo e divisor

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Oi,

Você deve ter razão quanto à formulação mas trivialmente sua solução 
pode ser melhorada para 120 (embora o mérito seja seu), pois


p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1)  que é (obviamente) divisível por 8 e 
além disso, p-1 ou p+1 é divisível por 3. Mas na verdade p-1 ou p +1 
são divisíveis por 4.  Logo... vale a melhoria 120, mas também não 
sei como melhorá-la mais um pouquinho nem poucão...


Abraços,
Nehab

At 12:47 31/8/2006, you wrote:
Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar 
mal formulada.


Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 1 
e a resposta.


Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 pra 
qualquer p primo  5 entao acho que a resposta e 10.


p^4-1  = 0 mod 2
p^4-1 =  0 mod 5
ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos 
vale  a^(p-1) = 1 mod p.


Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p.  Mas 
certamente nao vai ser o maior divisor.




From: its matematico [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Primo e  divisor
Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 + (GMT)

Acho q tenho uma solução razoável:

  se p é primo e p5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, 
logo p^4-1 é par

  e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2

  Alguma objeção à resposta???

  Espero ter contribuído...
  Até +,
  Ítalo

João Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro que
divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção,
hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a solução
procurada exclui o próprio p^4 - 1.

Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se
a encontrar, posto depois.

Abraços,

João Luís.


- Original Message -
From: Ricardo Khawge
To:
Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM
Subject: [obm-l] Primo e divisor


 Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos fazer
 um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não sei
 se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui
 e agradecemos qualquer colaboração.

 Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior que
 5.

 Tchau

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=

Re: [obm-l] Primo e divisor

[Qwert Smith]

Eu vi depois de apertar send que devia ter testado divisibilidade por 3 e 
mesmo sem fatorar da pra ver que p^4 - 1 = 0 mod 3, ja que p = 1 mod 3 ou p 
= -1 mod 3


Entao logo de cara eu ja devia ter mudado a resposta para pelo menos 2*3*5 = 
30.


Mas pegando carona na sua resposta (embora o merito seja seu :D ):

p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1)  que é (obviamente) divisível por 8

Ta bom 2x*2y*2z e divisivel por 8.

Mas na verdade p-1 ou p +1 são divisíveis por 4.

Entao temos 2x*4s*2z ou 2x*2y*4t o que e divisivel por 16.

Logo o maior numero garantido e 2^4*3*5 = 240, confere?


From: Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor
Date: Thu, 31 Aug 2006 17:22:05 -0300

Oi,

Você deve ter razão quanto à formulação mas trivialmente sua solução pode 
ser melhorada para 120 (embora o mérito seja seu), pois


p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1)  que é (obviamente) divisível por 8 e além 
disso, p-1 ou p+1 é divisível por 3. Mas na verdade p-1 ou p +1 são 
divisíveis por 4.  Logo... vale a melhoria 120, mas também não sei como 
melhorá-la mais um pouquinho nem poucão...


Abraços,
Nehab

At 12:47 31/8/2006, you wrote:
Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar mal 
formulada.


Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 1 e a 
resposta.


Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 pra 
qualquer p primo  5 entao acho que a resposta e 10.


p^4-1  = 0 mod 2
p^4-1 =  0 mod 5
ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos vale  a^(p-1) = 
1 mod p.


Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p.  Mas 
certamente nao vai ser o maior divisor.




From: its matematico [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Primo e  divisor
Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 + (GMT)

Acho q tenho uma solução razoável:

  se p é primo e p5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, logo 
p^4-1 é par

  e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2

  Alguma objeção à resposta???

  Espero ter contribuído...
  Até +,
  Ítalo

João Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro 
que

divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção,
hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a 
solução

procurada exclui o próprio p^4 - 1.

Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, 
se

a encontrar, posto depois.

Abraços,

João Luís.


- Original Message -
From: Ricardo Khawge
To:
Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM
Subject: [obm-l] Primo e divisor


 Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos 
fazer
 um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não 
sei
 se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando 
aqui

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 Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior 
que

 5.

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 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

Re: [obm-l] Primo e divisor

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

É,

Acho que você tem toda razão.Este negócio tá ficando engraçado !!!
Alguém se candidata a melhorar esta joça :-)?

Nehab

At 17:45 31/8/2006, you wrote:
Eu vi depois de apertar send que devia ter testado divisibilidade 
por 3 e mesmo sem fatorar da pra ver que p^4 - 1 = 0 mod 3, ja que p 
= 1 mod 3 ou p = -1 mod 3


Entao logo de cara eu ja devia ter mudado a resposta para pelo menos 
2*3*5 = 30.


Mas pegando carona na sua resposta (embora o merito seja seu :D ):

p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1)  que é (obviamente) divisível por 8

Ta bom 2x*2y*2z e divisivel por 8.

Mas na verdade p-1 ou p +1 são divisíveis por 4.

Entao temos 2x*4s*2z ou 2x*2y*4t o que e divisivel por 16.

Logo o maior numero garantido e 2^4*3*5 = 240, confere?


From: Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor
Date: Thu, 31 Aug 2006 17:22:05 -0300

Oi,

Você deve ter razão quanto à formulação mas trivialmente sua 
solução pode ser melhorada para 120 (embora o mérito seja seu), pois


p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1)  que é (obviamente) divisível por 8 
e além disso, p-1 ou p+1 é divisível por 3. Mas na verdade p-1 ou p 
+1 são divisíveis por 4.  Logo... vale a melhoria 120, mas também 
não sei como melhorá-la mais um pouquinho nem poucão...


Abraços,
Nehab

At 12:47 31/8/2006, you wrote:
Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar 
mal formulada.


Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 
1 e a resposta.


Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 
pra qualquer p primo  5 entao acho que a resposta e 10.


p^4-1  = 0 mod 2
p^4-1 =  0 mod 5
ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos 
vale  a^(p-1) = 1 mod p.


Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p.  Mas 
certamente nao vai ser o maior divisor.




From: its matematico [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Primo e  divisor
Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 + (GMT)

Acho q tenho uma solução razoável:

  se p é primo e p5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, 
logo p^4-1 é par

  e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2

  Alguma objeção à resposta???

  Espero ter contribuído...
  Até +,
  Ítalo

João Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior 
inteiro que

divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção,
hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, 
que a solução

procurada exclui o próprio p^4 - 1.

Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se
a encontrar, posto depois.

Abraços,

João Luís.


- Original Message -
From: Ricardo Khawge
To:
Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM
Subject: [obm-l] Primo e divisor


 Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos fazer
 um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo 
problema, não sei

 se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui
 e agradecemos qualquer colaboração.

 Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um 
primo maior que

 5.

 Tchau

 _
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Re: [obm-l] PRIMO OU COMPOSTO

[Danilo Nascimento]

Veja q 243810001 pode ser expresso como x^5+x^4+1 colocando x=300. Como x^2+x+1 | x^5+x^4+1fazendo x=300 temos q 90301 divide o numero acima. Logo o citado eh composto![]'sDaniloKlaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] escreveu:O numero 243810001 é primo ou composto ? Mostre. (nao vale por meios eletronicos)  Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.  
		 
Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.

[obm-l] Re: [obm-l] Primo ou composto??? (correção)

[Rhilbert Rivera]

Prezado Claudio, obrigado a você e aos outros pelo esforço em me ajudar 
nesse problema.
Minhas horas vagas são poucas, por isso demoro a escrever, e ainda estou 
digerindo as soluções que vocês enviam. Meu cérebro funciona um pouco 
devagar.

Na realidade não tirei esse problema de lugar nenhum. Nas horas vagas fico 
lendo sobre matemática e como não sou bom para resolver fico inventando 
problemas (fáceis) para que eu mesmo resolva. A inspiração para inventar 
esse problema veio de dois teoremas:

1.Teorema de Dirichlet. Sejam a e b inteiros primos entre si, isto é, mdc(a, 
b) = 1. Existem infinitos primos da forma an + b, onde n é inteiro.

2.Teorema de Sierpinski. Dado m inteiro, maior que 1 existe um primo p  tal 
que   p+_1,  p+_2,   ...,   p+_msão compostos.

Observação: p+_k, significa p mais ou menos k)
Só que me enrolei nas minha própria brincadeira.
(^_ ^)

From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l]  Primo ou composto??? (correção)
Date: Thu, 31 Mar 2005 17:43:59 -0300
Esse problema tah meio esquisito.
De onde voce tirou este problema?
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[obm-l] Primo ou composto??? (correção)

[Rhilbert Rivera]

Desculpe Qwert Smith ( mas, mesmo assim obrigado) me enganei na hora de 
escrever. Na realidade o problema é:
 Determine o menor valor positivo de n tal que  2.n^2 + p, seja um
número inteiro  composto, onde p é um número primo.

Como eu queria dizer, para n=p temos uma solução. Mas, existe solução para n 
menor que p? É aí que eu me atrapalho.

P.S. Foi você Qwert que me escreveu uma vez solicitando livros 
disponibilizados LEGALMENTE e gratuitamente na internet, além daqueles que 
eu coloquei na lista?

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RE: [obm-l] Primo ou composto??? (corre��o)

[Qwert Smith]

From: Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED]
Desculpe Qwert Smith ( mas, mesmo assim obrigado) me enganei na hora de 
escrever. Na realidade o problema é:
 Determine o menor valor positivo de n tal que  2.n^2 + p, seja um
número inteiro  composto, onde p é um número primo.

Como eu queria dizer, para n=p temos uma solução. Mas, existe solução para 
n menor que p? É aí que eu me atrapalho.
Que tal colocar p em evidencia?
2.n^2 + p = (2.n^2/p + 1)p que e composto desde que (2.n^2/p +1)1
2.n^2/p  0 = n  sqrt(p/2)
Vamos testar: Seja p=17 o menor valor de n pela formula acima seria 3
2.3^2 + 17 = 35 que e composto
Porem essa formula so funciona pra p5.
Pra p=2 o numero e sempre composto pra n0 logo n=1
Pra p=3 ou p=5, n=p e de fato a solucao.
Ainda esta muito estranho esse problema
P.S. Foi você Qwert que me escreveu uma vez solicitando livros 
disponibilizados LEGALMENTE e gratuitamente na internet, além daqueles que 
eu coloquei na lista?
Nao fui eu nao
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Re: [obm-l] Primo ou composto??? (correção)

[Claudio Buffara]

Esse problema tah meio esquisito.

Por exemplo, se p+2 for composto (casos de p = 2, 7, 13, 19, 23, 31, ...), o
menor valor de n eh obviamente 1.

Jah se p = 3, 5 ou 11, o menor valor de n eh mesmo p.

Por outro lado, se p = 17, entao n = 2 pois 2*2^2 + 17 = 25 = 5^2.
Alias, isso eh verdade para todo primo p terminado em 7 e tal que p+2 eh
primo, uma vez que se p = 10k+7, entao 2*2^2 + p = 10k + 15 = 5*(2k+3).

De onde voce tirou este problema?


on 31.03.05 16:01, Rhilbert Rivera at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 
 Desculpe Qwert Smith ( mas, mesmo assim obrigado) me enganei na hora de
 escrever. Na realidade o problema é:
  Determine o menor valor positivo de n tal que  2.n^2 + p, seja um
 número inteiro  composto, onde p é um número primo.
 
 Como eu queria dizer, para n=p temos uma solução. Mas, existe solução para n
 menor que p? É aí que eu me atrapalho.
 
 P.S. Foi você Qwert que me escreveu uma vez solicitando livros
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Re: [obm-l] Primo ou composto??? (correção)

[Eduardo Wilner]

   Desculpem.

   Induzido pelo Qwert, fui na de que o numero
composto tem que ser multiplode p o que é uma piada.
   Confraternizo-me com vcs. na estranheza...


--- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
wrote:
 Esse problema tah meio esquisito.
 
 Por exemplo, se p+2 for composto (casos de p = 2, 7,
 13, 19, 23, 31, ...), o
 menor valor de n eh obviamente 1.
 
 Jah se p = 3, 5 ou 11, o menor valor de n eh mesmo
 p.
 
 Por outro lado, se p = 17, entao n = 2 pois 2*2^2 +
 17 = 25 = 5^2.
 Alias, isso eh verdade para todo primo p terminado
 em 7 e tal que p+2 eh
 primo, uma vez que se p = 10k+7, entao 2*2^2 + p =
 10k + 15 = 5*(2k+3).
 
 De onde voce tirou este problema?
 
 
 on 31.03.05 16:01, Rhilbert Rivera at
 [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
  
  Desculpe Qwert Smith ( mas, mesmo assim obrigado)
 me enganei na hora de
  escrever. Na realidade o problema é:
   Determine o menor valor positivo de n tal que 
 2.n^2 + p, seja um
  número inteiro  composto, onde p é um número
 primo.
  
  Como eu queria dizer, para n=p temos uma solução.
 Mas, existe solução para n
  menor que p? É aí que eu me atrapalho.
  
  P.S. Foi você Qwert que me escreveu uma vez
 solicitando livros
  disponibilizados LEGALMENTE e gratuitamente na
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  eu coloquei na lista?
  
 

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[obm-l] Primo ou composto???

[Rhilbert Rivera]

Colegas me ajudem na seguinte questão:
Determine o menor valor positivo de n tal que  p.n^2 + p, seja um número  
composto, onde p é um número primo.

Comentários: É claro que para n = p o número é composto. O que estou me 
atrapalhando é como determinar se existe um n menor que p que satisfaça a 
condição do problema. Algo me diz que não existe esse n, ou ele não existe 
para alguns primos...

Obrigado por qualquer ajuda.
(^ _ ^)
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RE: [obm-l] Primo ou composto???

[Qwert Smith]

n = 1
p.1^2 + p = 2p que e composto
From: Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED]
Determine o menor valor positivo de n tal que  p.n^2 + p, seja um número  
composto, onde p é um número primo.

Comentários: É claro que para n = p o número é composto. O que estou me 
atrapalhando é como determinar se existe um n menor que p que satisfaça a 
condição do problema. Algo me diz que não existe esse n, ou ele não existe 
para alguns primos...

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Re: [obm-l] primo(ex.)

[David Daniel Turchick]

Gabriel, eu não tenho certeza se entendi direito o problema, mas PELO QUE
ENTENDI, o exercício 1 é provar a recíproca do (pequeno) Teorema de Fermat,
i.e., que se n^a-n for divisível por a para todo natural n, a é primo.
Não farei isso, pois ela é FALSA!
Por exemplo, 2^341-2 é divisível por 341, apesar de 341=11*31 ser composto.
Outro exemplo: 3^91-3 é divisível por 91 é inteiro, porém 91=7*13.
Quem sabe você esteja tentando provar o seguinte: se n^a-n for divisível por
a para todo n natural E SE n^b-n NÃO FOR DIVISÍVEL POR a SEMPRE QUE TIVERMOS
1ba NATURAL, então a é primo. (o que é verdade)
Dica: você pode usar o Teorema de Euler (de acordo com o qual, USANDO A
NOSSA HIPÓTESE ADICIONAL, a não pode ser maior que phi(a)+1), e o fato que
phi(a)=a-1 (existe uma fórmula para a função phi(a):
phi(a)=a*(1-(1/p1))*(1-(1/p2))*(1-(1/pk)), onde os p's são todos os k
fatores primos de a (incluindo a caso a seja primo)).
Por exemplo, no segundo exemplo acima, como
phi(91)=91*(1-(1/7))*(1-(1/13))=6*12=72, o Teorema de Euler nos garante que
3^73-3 é divisível por 91, e a nossa hipótese adicional lá em cima fura.
Obs.: eu basicamente COPIEI o que está feito no livro Number Theory and Its
History, de Oystein Ore, no início do cap. The Converse Of Fermat's
Theorem, então se você estiver interessado, e tiver a oportunidade, e
REALMENTE ERA ESSE O PROBLEMA QUE VOCÊ TINHA EM MENTE, quem sabe valha a
pena dar uma olhada. O teorema acima se chama Teorema de Lucas.

David

-Mensagem original-
De: gabriel guedes [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Sábado, 9 de Fevereiro de 2002 17:16
Assunto: Re: [obm-l] primo(ex.)



Sim tambem é inteiro!




- Original Message -
From: Prof. Doraci. [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, February 08, 2002 9:46 PM
Subject: Re: [obm-l] primo(ex.)


 E quanto ao k, é inteiro?
 =
 Gabriel escreveu:
 Ola amigos da lista, peço ajuda no seguinte problema,  (n^a - n)/a = k
 1)prove q a é primo
 2)mostre as formulasq k pode assumir
 abraços
 Gabriel(Recife, PE)

 explicações:
 com n e a pertencentes aos naturais,
 e k podendo variar.

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Re: [obm-l] primo(ex.)

[gabriel guedes]

Sim tambem é inteiro!




- Original Message -
From: Prof. Doraci. [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, February 08, 2002 9:46 PM
Subject: Re: [obm-l] primo(ex.)


 E quanto ao k, é inteiro?
 =
 Gabriel escreveu:
 Ola amigos da lista, peço ajuda no seguinte problema,  (n^a - n)/a = k
 1)prove q a é primo
 2)mostre as formulasq k pode assumir
 abraços
 Gabriel(Recife, PE)

 explicações:
 com n e a pertencentes aos naturais,
 e k podendo variar.

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[obm-l] primo

[gabriel guedes]

Ola amigos da lista,
peço ajuda no seguinte problema, 
(n^a - n)/a = k
1)prove q "a" é primo
2)mostreas formulasq k pode 
assumir
abraços 
Gabriel(Recife, PE) 

Re: [obm-l] primo

[Prof. Doraci.]

Olá, Gabriel.
Não entendi, n é inteiro positivo? k é um inteiro constante? Seja mais
claro!, por favor.
Prof. Doraci.

=
Gabriel Escreveu:
Ola amigos da lista, peço ajuda no seguinte problema,  (n^a - n)/a = k
1)prove q a é primo
2)mostre as formulasq k pode assumir
abraços
Gabriel(Recife, PE)

=
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Re: [obm-l] primo(ex.)

[Prof. Doraci.]

E quanto ao k, é inteiro?
=
Gabriel escreveu:
Ola amigos da lista, peço ajuda no seguinte problema,  (n^a - n)/a = k
1)prove q a é primo
2)mostre as formulasq k pode assumir
abraços
Gabriel(Recife, PE)

explicações:
com n e a pertencentes aos naturais,
e k podendo variar.

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