[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

[Anderson Torres]

Em sex, 23 de nov de 2018 às 22:47, Vanderlei Nemitz
 escreveu:
>
> Estamos aguardando o Carlos Victor...
> :)
>
> Em sex, 23 de nov de 2018 18:14, Mauricio de Araujo 
> >
>> Alguem conseguiu finalizar a demonstração?
>>
>> Em qua, 21 de nov de 2018 11:52, Vanderlei Nemitz > escreveu:
>>>
>>> Hummm...
>>> Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o 
>>> ortocentro do triângulo BDQ.
>>> O desenho sugere isso.
>>> Mas como mostrar isso?

Eu estava pensando em usar geometria projetiva, algo acerca de
conjugados harmônicos. Mas o máximo que consegui foi obter um ponto
médio...

>>>
>>> Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor >> escreveu:

 Oi Vanderlei,

 Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo " 
 estratégico". É muito legal que você descubra sozinho

 Abraços

 Carlos Victor

 Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu:

 Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria 
 Analítica.
 Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir. Será 
 que é possível?

 Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD, 
 traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD, 
 conduzimos a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e 
 PD são perpendiculares.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
 acredita-se estar livre de perigo.


>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

[Carlos Victor]

 

Oi Vanderlei, vamos lá: 

Seja ABCD o quadrado de diagonais AC e BD. Sejam os pontos P, E e F como
no enunciado. Tracemos a reta que passa por A e E encontrando o
prolongamento de DC em R.Seja também Q o ponto de interseção da reta que
passa por B e F com o prolongamento de DC.Seja T a interseção da reta
que passa por Q e E com o lado AB. 

Sejam BP=z, quadrado de lado AB=L, TB=k, CQ=x e QR=y. Por semelhança de
triângulos verifique que : 

x/k =L/z e y/L =x/z donde x^2=ky. Agora por semelhança veja que 

y/AT= x/k ou seja ky=x.AT e como ky=x^2 temos que x=AT ou seja CQ=AT. 

Como CQ é paralelo a AT e congruentes, temos que o quadrilátero ACQT é
um paralelogramo e já que as diagonais do quadrado são perpendiculares
temos que QT é perpendicular a BD. 

Temos então que no triângulo BDQ, BC e QH( H é a interseção de QT com
BD); 

ou seja E é o ortocentro de BDQ; donde PD é perpendicular a BQ. 

Verifiquem se há algum erro, ok? 

Abraços 

Carlos Victor 

Em 23/11/2018 22:38, Vanderlei Nemitz escreveu: 

> Estamos aguardando o Carlos Victor... 
> :) 
> 
> Em sex, 23 de nov de 2018 18:14, Mauricio de Araujo 
>  Alguem conseguiu finalizar a demonstração? 
> 
> Em qua, 21 de nov de 2018 11:52, Vanderlei Nemitz  escreveu: 
> Hummm... 
> Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o 
> ortocentro do triângulo BDQ. 
> O desenho sugere isso. 
> Mas como mostrar isso? 
> 
> Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor  escreveu: 
> 
> Oi Vanderlei, 
> 
> Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo " 
> estratégico". É muito legal que você descubra sozinho 
> 
> Abraços 
> 
> Carlos Victor 
> 
> Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu: 
> Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria Analítica. 
> Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir. Será 
> que é possível? 
> 
> Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD, 
> traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD, conduzimos 
> a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e PD são 
> perpendiculares. 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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acredita-se estar livre de perigo. 
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acredita-se estar livre de perigo. 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

[Vanderlei Nemitz]

Estamos aguardando o Carlos Victor...
:)

Em sex, 23 de nov de 2018 18:14, Mauricio de Araujo <
mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

> Alguem conseguiu finalizar a demonstração?
>
> Em qua, 21 de nov de 2018 11:52, Vanderlei Nemitz  escreveu:
>
>> Hummm...
>> Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o
>> ortocentro do triângulo BDQ.
>> O desenho sugere isso.
>> Mas como mostrar isso?
>>
>> Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor > escreveu:
>>
>>> Oi Vanderlei,
>>>
>>> Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo "
>>> estratégico". É muito legal que você descubra sozinho
>>>
>>> Abraços
>>>
>>> Carlos Victor
>>>
>>> Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu:
>>>
>>> Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria
>>> Analítica.
>>> Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir.
>>> Será que é possível?
>>>
>>> Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD,
>>> traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD,
>>> conduzimos a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e
>>> PD são perpendiculares.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

[Carlos Victor]

 

Desculpem, estou em trânsito. Até amanhã eu posto, ok ? 

Abraços 

Em 23/11/2018 18:05, Mauricio de Araujo escreveu: 

> Alguem conseguiu finalizar a demonstração? 
> 
> Em qua, 21 de nov de 2018 11:52, Vanderlei Nemitz  escreveu: 
> Hummm... 
> Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o 
> ortocentro do triângulo BDQ. 
> O desenho sugere isso. 
> Mas como mostrar isso? 
> 
> Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor  escreveu: 
> 
> Oi Vanderlei, 
> 
> Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo " 
> estratégico". É muito legal que você descubra sozinho 
> 
> Abraços 
> 
> Carlos Victor 
> 
> Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu: 
> Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria Analítica. 
> Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir. Será 
> que é possível? 
> 
> Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD, 
> traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD, conduzimos 
> a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e PD são 
> perpendiculares. 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

[Mauricio de Araujo]

Alguem conseguiu finalizar a demonstração?

Em qua, 21 de nov de 2018 11:52, Vanderlei Nemitz  Hummm...
> Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o
> ortocentro do triângulo BDQ.
> O desenho sugere isso.
> Mas como mostrar isso?
>
> Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor  escreveu:
>
>> Oi Vanderlei,
>>
>> Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo "
>> estratégico". É muito legal que você descubra sozinho
>>
>> Abraços
>>
>> Carlos Victor
>>
>> Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu:
>>
>> Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria
>> Analítica.
>> Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir.
>> Será que é possível?
>>
>> Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD,
>> traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD,
>> conduzimos a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e
>> PD são perpendiculares.
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração sobre determinantes

[Walter Tadeu Nogueira da Silveira]

Valeu mesmo, Márcio.

Essa paridade que estava faltando perceber.

Grato.

Em 26 de setembro de 2014 08:47, Márcio Pinheiro 
escreveu:

> Supondo que n é a ordem da matriz da qual se está calculando o
> determinante, basta aplicar o teorema de Laplace indutivamente. A
> propriedade é trivialmente verificada para n =1. Suponha-se, apenas para
> fixar ideias, que todos os termos acima da diagonal secundária seja nulos.
> Assim, o determinante dado é igual ao elemento a_1,n (a_i,j representa o
> elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna) multiplicado pelo respectivo
> cofator, já que todos os demais elementos da 1ª linha são nulos. Só que o
> cofator mencionado é igual ao produto de (-1)^(n+1), pelo menor
> complementar de a_1,n. De seu turno, tal menor complementar consiste em
> outro determinante da mesma natureza que o original, só que de ordem n - 1.
> Portanto, após n aplicações do raciocínio precedente, obtém-se o produto
> dos elementos da diagonal secundária por
> ((-1)^(n+1))*((-1)^(n))*((-1)^(n-1))*...*((-1)^(1+1)) =
> (-1)^((n+1)+(n)+(n-1)+...+2) = (-1)^((n+3)*n/2) = (-1)^((n-1)*n/2),
>  tendo em vista que n+3 e n têm a mesma paridade.
> Caso os zeros estejam abaixo da diagonal principal, o raciocínio é
> plenamente análogo, apenas aplicando Laplace a partir da última coluna,
> para a esquerda, ao invés da primeira linha para baixo, como feito aqui.
> Espero ter ajudado.
> Márcio Pinheiro.
> 
> Em qui, 25/9/14, Walter Tadeu Nogueira da Silveira 
> escreveu:
>
>  Assunto: [obm-l] Demonstração sobre determinantes
>  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>  Data: Quinta-feira, 25 de Setembro de 2014, 21:06
>
>  Boa
>  noite.
>
>  Gostaria de um encaminhamento para mostrar que:
>  Se uma matriz possui zeros acima ou abaixo da diagonal
>  secundária, o determinante é o produto dos elementos dessa
>  diagonal multiplicado por (-1)^(n.(n-1)/2).
>
>  Penso que essa potência do (-1) indica uma
>  combinação dois a dois, mas não cheguei a uma
>  conclusão.
>
>  Obrigado
>
>  --
>  Walter Tadeu Nogueira da Silveira
>
>
>
>
>  --
>
>  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e
>
>   acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
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Walter Tadeu Nogueira da Silveira
http://www.professorwaltertadeu.mat.br

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues]

Valeu Ralph

Em 17 de agosto de 2011 15:09, Ralph Teixeira  escreveu:

> Oi, Marcus.
>
> Eh, o jeito que voce escreveu estah estranho. Voce partiu do que queria
> provar, e chegou na hipotese -- isto nao demonstra o teorema.
>
> Isto dito, eh facil consertar a sua ideia:
>
> i) PRIMEIRA OPCAO: basta escrever o que voce fez, mas na ordem correta:
>
> "Suponha a>b>0.
> Como a e b sao positivos, podemos dividir ambos os lados de a>b por ab.
> Entao a/(ab)>b/(ab), isto eh, 1/b>1/a."
>
> ii) SEGUNDA OPCAO: se voce escrever as coisas na ordem que voce escreveu,
> mas usando claramente EQUIVALENCIAS, sua demonstracao eh valida. Em suma,
> usando o simbolo <=> para a seta dupla do "se e somente se":
>
> "Suponha a, b positivos. Entao:
> 1/b>1/a <=>
> <=> (ab)(1/b)>(ab)(1/a) <=>
> <=> a>b
>
> Como a>b eh verdadeiro e usamos EQUIVALENCIAS (isto eh, implicacoes
> REVERSIVEIS), estah provado que 1/a>1/b."
>
> Abraco,
>   Ralph
>
> 2011/8/17 Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues 
>
>> Galera acho que estou fazendo alguma coisa errada
>> nessa demonstração alguém pode da uma olhada para mim.
>>
>> Proposi ção: Se a > b > 0 então 1/b > 1/a
>>
>> Demonstra ção:
>>  1/b > 1/a
>>
>> (ab) . 1/b > (ab) .1/a
>>
>> a> b e b > 0 porque como a e b são positivos todos os números envolvidos
>> são positivos. Então conclu mos que a > b > 0 que~ e verdade por hip otese,
>> logo tamb em e verdade que 1/b > 1/a
>>
>>
>>
>> --
>> Prof Marcus
>>
>
>


-- 
Prof Marcus

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues]

Não dá a mesma coisa? to ponto de vista lógico.

Em 17 de agosto de 2011 12:40, Julio Teixeira escreveu:

> pega a>b e multiplica por ( 1/ab) e simplifica
>
> Em 17 de agosto de 2011 10:54, Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues <
> marcusaureli...@globo.com> escreveu:
>
> Galera acho que estou fazendo alguma coisa errada nessa demonstração alguém
>> pode da uma olhada para mim.
>>
>> Proposi ção: Se a > b > 0 então 1/b > 1/a
>>
>> Demonstra ção:
>>  1/b > 1/a
>>
>> (ab) . 1/b > (ab) .1/a
>>
>> a> b e b > 0 porque como a e b são positivos todos os números envolvidos
>> são positivos. Então conclu mos que a > b > 0 que~ e verdade por hip otese,
>> logo tamb em e verdade que 1/b > 1/a
>>
>>
>>
>> --
>> Prof Marcus
>>
>
>


-- 
Prof Marcus

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

[Johann Dirichlet]

a^2=3^k*b, em que 3 não divide b.

Sabemos que k>1, pois 3 é divisor de a^2.
Mas k deve ser necessariamente par, pois os expoentes da foatoração de
um quadrado perfeito são pares. Logo k=2l, com l>1.
Então a^2=3^(2l)*b, o que acarreta (a/(3^l))^2 = b. Portanto, como b é
inteiro, b é quadrado perfeito:

(a/(3^l))^2 = c^2
(a/(3^l)) = c
a = 3^l*c
Como l>1, está provado: 3 é divisor de a.

Em 05/08/11, Ricardo Lopes escreveu:
> Multiplo de 3?
>
> Abraços
>
> Em 5 de agosto de 2011 14:33, Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues <
> marcusaureli...@globo.com> escreveu:
>
>> Alguém da uma forcinha?
>>
>> se a^2 e divisível por 3, então a também é?
>>
>> --
>> Prof Marcus
>>
>
>
>
> --
> Ricardo Shydo
> (71)8126-2111
> ricardo.lopesmore...@gmail.com
> ricardo.blackj...@gmail.com
> sh...@bol.com.br
> moreira_lopes2...@ig.com.br
> sh...@linuxmail.org
> ntsh...@hotmail.com
>


-- 
/**/
神が祝福

Torres

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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Demonstração de somatório

[Henrique Rennó]

Não estou decorando fórmulas, encontrei as duas fórmulas fechadas para
os somatórios utilizando o binômio cúbico, se bem que o 4 multiplicado
é muito mais simples. Obrigado pela demonstração anterior.

2011/3/3 João Maldonado :
>
>
>
> Henrique, pessoalmente eu acho o meu método (não sei se você já recebeu),
> mais fácil do que ficar decorando fórmulas, mas se você  quiser fazer do
> seu jeito,   tente para n par e n ímpar 2 casos distintos, e além disso o
> n' da segunda expressão  serian/2 ou (n-1)/2, já que a
> fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 é a soma até 2n,  repare que:
> 2² + 4² +... +(2n)² = 4.(1² + 2² +...+n²) =    4 (n) (n+1)(2n +1)/6 =
> 2(n)(n+1(2n+1)/3
>
> []'s
> João
>
>> Date: Thu, 3 Mar 2011 14:01:59 -0300
>> Subject: [obm-l] Demonstração de somatório
>> From: henrique.re...@gmail.com
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>
>> Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada?
>>
>> 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1)
>>
>> Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2
>> + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 +
>> ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...,
>> mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas
>> duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo:
>>
>> Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2)
>>
>> n: 1, soma: 1^2
>> n: 2, soma: 1^2 + 2^2
>> n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2
>> ...
>>
>> Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3)
>>
>> n: 1, soma: 2^2
>> n: 2, soma: 2^2 + 4^2
>> n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2
>> ...
>>
>> Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em
>> (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 +
>> 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a
>> soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas
>> em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para
>> aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e
>> (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou
>> ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a
>> soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2
>> + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não.
>>
>> --
>> Henrique
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>



-- 
Henrique

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração do seno da so ma / diferença (feita geometricamente)

[Marcelo Gomes]

Oi Raphael,

Valeu...pela dica...comecei a reproduzir a sugestão que você me enviou
ontem, mas quando vi ...já estava desenvolvendo
algebricamente...rsrsrsrecomeçarei  hoje novamente...depois te envio o
desenho.

Grande abraço, e muito obrigado pela ajuda,

Marcelo.

2009/6/14 Raphael Alcaires de Carvalho 

> Olá Marcelo vi uma demonstração bem legal.
> Seja ABC um triângulo cujo ângulo A vale (a+b) e tal que a altura traçada
> do vértice A divida esse ângulo A em dois ângulos de medidas a e b. Utilize
> a fórmula de área de triângulo:
> S = 1/2 xysen(alfa), onde alfa é o ângulo formado pelos lados x e y.
> Use essa fórmula para os dois triângulos formados e para o triângulo ABC.
>
> Espero ter ajudado, qualquer dúvida pode me perguntar.
> []s Raphael Alcaires
>
>
> --- Em *sáb, 13/6/09, Marcelo Gomes * escreveu:
>
>
> De: Marcelo Gomes 
> Assunto: [obm-l] Demonstração do seno da soma / diferença (feita
> geometricamente)
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Data: Sábado, 13 de Junho de 2009, 23:47
>
> Olá pessoal da lista, muito boa noite.
>
> Tenho procurado mas não achei muita coisa sobre isto. Estou garimpando para
> *ver se encontro a demonstração do seno da soma, feita Geometricamente*.
> Quase sempre ou sempre, as demonstrações trigonométricas deste tipo são bem
> algébricas.
>
> Pessoal se alguém puder me ajudar, agradeço muito.
>
>
>
> --
> Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 
> 10-
> Celebridades-
> Música-
> Esportes
>

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] demonstração(números prim os)

[Denisson]

Suponha que vc já testou todos os números 2,3,5, ... , Pn e obteve que o
quociente é Q > Pi e o resto era diferente de 0 (caso contrário teríamos
divisores e observe que basta testar os primos pois todo inteiro positivo
pode ser fatorado como produto de primos). Porém, Pn+1 (o próximo número da
sua sequencia) retornou um quociente Qn+1 < Pn+1. Nesse ponto vc deve
observar que nenhum número menor ou igual que Pn+1 divide N. Mas Pn+2 > Pn+1
implica Qn+2 < Qn+1 então Qn+2 < Pn+1 daí Qn+2 não divide N.

Esse procedimento é geral, Qn+3 

>  eu gostaria ver a justificativa do seguinte procedimento para saber se um
> numero é ou não primo:dividí-lo por 2, por 3, por 5...pelos primos.Se o
> quociente se tornar menor q o divisor,com resto diferente de zero,o numero é
> primo.Quem poderia ajudar?Tal procedimento eu vi em livros de quinta série.
>
> --
> From: bened...@ufrnet.br
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] demonstração
> Date: Sun, 3 May 2009 18:47:24 -0300
>
> Marcone,
>
> Outra demonstração você pode obter usando a identidade (x + 1)^4 = x^4 +
> 4x^3 + 6x^2 + 4x^+ 1,  fazendo sucessivamente x = 1, 2, 3, ..., n. Depois
> soma, membro a membro, as n equações e usa os valores da soma dos primeiros
> n números naturais e da soma dos quadrados dos primeiros n quadrados
> perfeitos de números naturais.
> Benedito
>
> - Original Message -
> *From:* marcone augusto araújo borges 
> *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Sent:* Sunday, May 03, 2009 9:44 AM
> *Subject:* [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re:
> [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
>
> Eu consegui por indução.Obrigado.Descobri q tem uma demostração usando
> figuras geométricas,mas eu gostaria de ver outra demonstração... se
> posssivel.Um abraço
>
> --------------------------
> Date: Sat, 2 May 2009 23:22:39 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:
> [obm-l] demonstração
> From: msbro...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Olá Marcone,
> utilize indução finita.
>
> Caso vc não conheça, aqui tem uma introdução:
> http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica
> (não li o site, mas normalmente a wikipedia dá uma idéia inicial)
>
> abraços,
> Salhab
>
>
> 2009/5/2 marcone augusto araújo borges 
>
> Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ?
>
> --
> Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
> From: msbro...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
>
> Olá Vanderlei,
>
> eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o
> mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)!  [ta certo
> que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas
> naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro
> caso pra continuar a solucao ;)]
>
> abraços,
> Salhab
>
>
>
> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>
> Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
>  mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>
> Obrigado,
>
> Vanderlei
>
> 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato 
>
> Fala Vanderlei,
>
> como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
> n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)
>
> vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores
> primos.
> entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
> logo, todos eles estão em (n-1)!
> desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um
> múltiplo de n.
>
> falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo..
> neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
> e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
> mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>
> falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
> n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
> mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também está em (n-1)!
> logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)
>
> espero ter ajudado,
> abraços,
> Salhab
>
>
>
>
> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>
>  Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
> **
> *Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é
> múltiplo de n.*
> **
> Obrigado
>
> Vanderlei
>
>
>
>
>
> --
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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] demonstração(números prim os)

[Denisson]

N é o número a ser testado.
Suponha que vc já testou todos os números 2,3,5, ... , Pn e obteve que o
quociente é Q > Pi e o resto era diferente de 0 (caso contrário teríamos
divisores e observe que basta testar os primos pois todo inteiro positivo
pode ser fatorado como produto de primos). Porém, Pn+1 (o próximo número da
sua sequencia) retornou um quociente Qn+1 < Pn+1. Nesse ponto vc deve
observar que nenhum número menor ou igual que Pn+1 divide N. Mas Pn+2 > Pn+1
implica Qn+2 < Qn+1 então Qn+2 < Pn+1 daí Qn+2 não divide N e portanto Pn+2
também não divide N .

Esse procedimento é geral, Qn+3 

> Suponha que vc já testou todos os números 2,3,5, ... , Pn e obteve que o
> quociente é Q > Pi e o resto era diferente de 0 (caso contrário teríamos
> divisores e observe que basta testar os primos pois todo inteiro positivo
> pode ser fatorado como produto de primos). Porém, Pn+1 (o próximo número da
> sua sequencia) retornou um quociente Qn+1 < Pn+1. Nesse ponto vc deve
> observar que nenhum número menor ou igual que Pn+1 divide N. Mas Pn+2 > Pn+1
> implica Qn+2 < Qn+1 então Qn+2 < Pn+1 daí Qn+2 não divide N.
>
> Esse procedimento é geral, Qn+3  por aí vai...
>
> 2009/5/9 marcone augusto araújo borges 
>
>  eu gostaria ver a justificativa do seguinte procedimento para saber se um
>> numero é ou não primo:dividí-lo por 2, por 3, por 5...pelos primos.Se o
>> quociente se tornar menor q o divisor,com resto diferente de zero,o numero é
>> primo.Quem poderia ajudar?Tal procedimento eu vi em livros de quinta série.
>>
>> --
>> From: bened...@ufrnet.br
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> Subject: [obm-l] demonstração
>> Date: Sun, 3 May 2009 18:47:24 -0300
>>
>> Marcone,
>>
>> Outra demonstração você pode obter usando a identidade (x + 1)^4 = x^4 +
>> 4x^3 + 6x^2 + 4x^+ 1,  fazendo sucessivamente x = 1, 2, 3, ..., n. Depois
>> soma, membro a membro, as n equações e usa os valores da soma dos primeiros
>> n números naturais e da soma dos quadrados dos primeiros n quadrados
>> perfeitos de números naturais.
>> Benedito
>>
>> - Original Message -----
>>  *From:* marcone augusto araújo borges 
>> *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
>> *Sent:* Sunday, May 03, 2009 9:44 AM
>> *Subject:* [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re:
>> [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
>>
>> Eu consegui por indução.Obrigado.Descobri q tem uma demostração usando
>> figuras geométricas,mas eu gostaria de ver outra demonstração... se
>> posssivel.Um abraço
>>
>> --
>> Date: Sat, 2 May 2009 23:22:39 -0300
>> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:
>> [obm-l] demonstração
>> From: msbro...@gmail.com
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>
>> Olá Marcone,
>> utilize indução finita.
>>
>> Caso vc não conheça, aqui tem uma introdução:
>> http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica
>> (não li o site, mas normalmente a wikipedia dá uma idéia inicial)
>>
>> abraços,
>> Salhab
>>
>>
>> 2009/5/2 marcone augusto araújo borges 
>>
>> Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ?
>>
>> --
>> Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300
>> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
>> From: msbro...@gmail.com
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>
>>
>> Olá Vanderlei,
>>
>> eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes
>> o mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)!  [ta
>> certo que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas
>> naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro
>> caso pra continuar a solucao ;)]
>>
>> abraços,
>> Salhab
>>
>>
>>
>> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>>
>> Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
>>  mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
>> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>>
>> Obrigado,
>>
>> Vanderlei
>>
>> 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato 
>>
>> Fala Vanderlei,
>>
>> como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
>> n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)
>>
>> vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores
>> primos.
>> entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
>> logo, todos eles estão em (n-1)!
>> desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, port

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Carlos Nehab]

Oi, Macone,

Para desenvolver a intuição dos alunos ainda jovens, eu sou adepto de 
"mostrações geométricas" para várias relações desta natureza.  Evito 
indução, pois muitas vezes mecaniza demais as coisas, sem mostrar a 
beleza dos "inteiros" e suas relações maravilhosas.
Há uma "mostração" para a relação que você enviou que é simples e que 
faz parte de uma família de problemas clássicos que é a disposição de 
inteiros em um "triângulo".  Veja: escreva os impares como no 
"triângulo" indicado...


*Linha  Soma na Linha   Triângulo
*


*1 *1 = 1^3 = 1 *1   *

*2 *3+5 = 2^3 = 8 *35
*


*3 *7+9+11 = 3^3 = 27  *79 11  
 *


*4 *13+15+17+19 = 4^3 = 64  *13  15   17   19 *

*5 *21+23+25+27+29 = 5^3 = 125   *21  23   25   27   29   *

*...*  
  

*n *   
  ...  



Observe que nesta arrumação, a soma dos inteiros da k-esima linha vale 
k^3 e a mostração é imediata:
a) a soma dos X primeiros impares vale X^2,  
b) até a linha n há 1+2+...+n impares, ou seja, n(n+1)/2 impares cuja 
soma vale [n(n+1)/2]^2. 
c) Até a linha n+1 há 1+2+...+(n+1) impares, cuja soma então vale 
[(n+1)(n+2)/2]^2.

d) É fácil ver que a diferença entre estas duas soma vale  n^3...

Abraços,
Nehab

marcone augusto araújo borges escreveu:

Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ?
 


Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá Vanderlei,

eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas 
vezes o mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)! 
 [ta certo que este fator aparece mais vezes, conforme provamos 
mais abaixo. Mas naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, 
dai eu dividi em outro caso pra continuar a solucao ;)]


abraços,
Salhab



2009/5/1 Vandelei Nemitz <mailto:vanderm...@brturbo.com.br>>


Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
 
Obrigado,
 
Vanderlei


2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato mailto:msbro...@gmail.com>>

Fala Vanderlei,

como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)

vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2
dividores primos.
entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
logo, todos eles estão em (n-1)!
desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto,
(n-1)! é um múltiplo de n.

falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único
divisor primo..
neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n

falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também
está em (n-1)!
logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)

espero ter ajudado,
abraços,
Salhab




2009/5/1 Vandelei Nemitz mailto:vanderm...@brturbo.com.br>>

Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
 
*Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que

(n-1)! é múltiplo de n.*
 
Obrigado
 
Vanderlei







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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Marcone,
utilize indução finita.

Caso vc não conheça, aqui tem uma introdução:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica
(não li o site, mas normalmente a wikipedia dá uma idéia inicial)

abraços,
Salhab


2009/5/2 marcone augusto araújo borges 

>  Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ?
>
> --
> Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
> From: msbro...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
>
> Olá Vanderlei,
>
> eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o
> mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)!  [ta certo
> que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas
> naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro
> caso pra continuar a solucao ;)]
>
> abraços,
> Salhab
>
>
>
> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>
> Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
>  mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>
> Obrigado,
>
> Vanderlei
>
> 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato 
>
> Fala Vanderlei,
>
> como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
> n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)
>
> vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores
> primos.
> entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
> logo, todos eles estão em (n-1)!
> desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um
> múltiplo de n.
>
> falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo..
> neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
> e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
> mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>
> falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
> n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
> mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também está em (n-1)!
> logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)
>
> espero ter ajudado,
> abraços,
> Salhab
>
>
>
>
> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>
>  Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
> **
> *Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é
> múltiplo de n.*
> **
> Obrigado
>
> Vanderlei
>
>
>
>
>
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> Conheça os novos produtos Windows Live. Clique 
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>

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[marcone augusto araújo borges]

Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ?
 


Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá Vanderlei,

eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o 
mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)!  [ta certo 
que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas naquele 
momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro caso pra 
continuar a solucao ;)]

abraços,
Salhab




2009/5/1 Vandelei Nemitz 


Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:

mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
 
Obrigado,
 
Vanderlei


2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato 




Fala Vanderlei,

como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)

vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores primos.
entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
logo, todos eles estão em (n-1)!
desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um 
múltiplo de n.

falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo..
neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n

falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também está em (n-1)!
logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)

espero ter ajudado,
abraços,
Salhab





2009/5/1 Vandelei Nemitz  





Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
 
Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é múltiplo de 
n.
 
Obrigado
 
Vanderlei



_
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Vanderlei,

eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o
mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)!  [ta certo
que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas
naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro
caso pra continuar a solucao ;)]

abraços,
Salhab



2009/5/1 Vandelei Nemitz 

> Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
> mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>
> Obrigado,
>
> Vanderlei
>
> 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato 
>
> Fala Vanderlei,
>>
>> como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
>> n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)
>>
>> vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores
>> primos.
>> entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
>> logo, todos eles estão em (n-1)!
>> desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um
>> múltiplo de n.
>>
>> falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo..
>> neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
>> e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
>> mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
>> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>>
>> falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
>> n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
>> mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também está em
>> (n-1)!
>> logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)
>>
>> espero ter ajudado,
>> abraços,
>> Salhab
>>
>>
>>
>>
>> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>>
>>  Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
>>> **
>>> *Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é
>>> múltiplo de n.*
>>> **
>>> Obrigado
>>>
>>> Vanderlei
>>>
>>
>>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Vandelei Nemitz]

Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n

Obrigado,

Vanderlei

2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato 

> Fala Vanderlei,
>
> como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
> n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)
>
> vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores
> primos.
> entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
> logo, todos eles estão em (n-1)!
> desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um
> múltiplo de n.
>
> falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo..
> neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
> e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
> mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>
> falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
> n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
> mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também está em (n-1)!
> logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)
>
> espero ter ajudado,
> abraços,
> Salhab
>
>
>
>
> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>
>  Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
>> **
>> *Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é
>> múltiplo de n.*
>> **
>> Obrigado
>>
>> Vanderlei
>>
>
>

[obm-l] Re: [obm-l]Re: [obm-l] demonstração antiga

[Carlos Yuzo Shine]

Hm, vamos lá.

1) Seja x = a - 3 + 1/2. Então (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 = 
(x+5/2)(x-1/2)(x+1/2)(x+5/2) + 10 = (x^2 - 25/4)(x^2 - 1/4) + 10 = x^4 - 
(13/2)x^2 + 185/16 = (x^2 - 13/4)^2 + 1 > 0.
1.1) O valor mínimo é 1, pois (x^2 - 13/4)^2 >= 0, com igualdade para x = 
+-raiz(13)/2.

(só agora eu li que a primeira já foi feita, mas deixo a solução aí de qualquer 
jeito).

2) Uma maneira de expressar somas de potências de números é considerar uma 
equação polinomial que tem esses números como raízes. No nosso caso, considere 
a equação (x - a)(x - b)(x - c) = 0 <=> x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc = 
0. Como a + b + c = 0, temos na verdade x^3 = -(ab+ac+bc)x + abc. Para 
facilitar, sejam s = -(ab+ac+bc) e p = abc, de modo que x^3 = sx + p. 
Multiplicando por x^n, obtemos x^(n+3) = sx^(n+1) + px^n. Como a, b, c são 
raízes dessa equação,
  a^(n+3) = sa^(n+1) + pa^n
  b^(n+3) = sb^(n+1) + pb^n
  c^(n+3) = sc^(n+1) + pc^n
Somando, obtemos
  (a^(n+3)+b^(n+3)+c(n+3)) = s(a^(n+1)+b^(n+1)+c^(n+1)) + p(a^n+b^n+c^n)
Sendo S(k) = a^k + b^k + c^k, temos
  S(n+3) = sS(n+1) + pS(n).
Como S(0) = a^0 + b^0 + c^0 = 3, S(1) = a + b + c = 0 e S(-1) = 1/a + 1/b + 1/c 
= (ab+ac+bc)/abc = -s/p,
  S(2) = sS(0) + pS(-1) = 3s + p(-s/p) = 2s
  S(3) = sS(1) + pS(0) = 3p
  S(4) = sS(2) + pS(1) = 2s^2
  S(5) = sS(3) + pS(2) = s3p + p2s = 5ps
e o resultado segue: S(5)/5 = (S(2)/2)(S(3)/3).

Essa idéia também resolve um problema de uma OBM de alguns anos atrás: se a + b 
+ c = 0, quanto vale (a^5+b^5+c^5)^2/[(a^4+b^4+c^4)(a^3+b^3+c^3)^2]?

[]'s
Shine

--- Ramon Carvalho escreveu: 
> 
> > 1) Provar que (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 é sempre 
> > positivo para a E R 
> > 1.1) Achar o menor valor dessa função 
> > 
> > 2 ) Se a+b+c = 0, Provar que (a^5 + b^5 +c^5)/5 = 
> > (a^3 + b^3 + c^3)/3 . 
> > (a^2 + b^2 + c^2)/2 
> > 
> > Estou com problemas nessas questões, qualquer ajuda 
> > seria bem vinda 
> > 
> > 
> > Desde já, grato



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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

[Raul]

    Olá,
 
    Quero provar que o resultado de 2^p + 
3^p, sendo p um primo, nunca será o quadrado de um número natural, nem o cubo de 
um número natural, nem... somente poderá ser n^1. Exemplo: 2^5+3^2=32+9=41, 
onde 41 só pode ser escrito como potência de um número natural na 
forma 41^1.
 
    Agradeço antecipadamente pelas 
ajudas,
 
    Raul

  - Original Message - 
  From: 
  Marcelo Salhab 
  Brogliato 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, October 23, 2006 12:14 
  AM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] 
  Demonstração
  
  Olá,
   
  cara, nao entendi o q vc quer provar...
  explique diferente, de um exemplo... sei la 
  :)
   
  abraços,
  Salhab
  
- Original Message - 
From: 
Raul 

To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Sunday, October 22, 2006 11:22 
AM
Subject: [obm-l] Demonstração

    Bom dia a todos!
 
    Como posso demonstrar que 2^p + 
3^p, onde p é primo, somente pode ser n^1, onde n é natural. Isto é, não 
pode ser n^2 ou n^3 ou...
 
    Obrigado,
 
        
Raul



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  23/10/2006

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Demonstração de Integral

[Henrique Rennó]

Olás Luiz, Saulo e Marcelo!!!

Muito obrigado pelas demonstrações.

Abraços!!!

--
Henrique

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[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Demonstração de Integral

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,
então: u^v = e^(v ln u)
derivando, temos:

derivada(u^v) = derivada(e^(v ln u)) = e^(v ln u) * (dv ln u + v du/u) 
[aplicando regra da cadeia algumas vezes]

então:
derivada(u^v) = u^v * (derivada(v) ln u + v/u * derivada(u) )

abraços,
Salhab

- Original Message - 
From: "Henrique Rennó" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Thursday, February 09, 2006 8:03 PM
Subject: Re: [obm-l] Re:[obm-l] Demonstração de Integral


Olá Luiz!!!

Primeiramente, agradeço deveras pela resposta. Agora, gostaria de
pedir desculpas, pois cometi um erro. Na verdade a fórmula não é
integral(u^v) e sim derivada(u^v). É que no momento que escrevi a
mensagem estava estudando integrais.

Novamente, se possível, peço uma demonstração da igualdade:

derivada(u^v) = u^v.(v.du/u + dv.ln(u))

Novamente peço desculpas pelo erro.

Abraços

On 2/9/06, Luiz H. Barbosa <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Bom, não entendi muito bem o que escreveu.Mas sempre utilizei ln para
linearizar exponenciais na hora de integrar:
Veja:
Se Integral{[f(x)^g(x)]dx} = I ,
Fazendo
u = f(x)^g(x) -> I = Integral{udx} (i)
Mas,
u = f(x)^g(x),tirando ln nos 2 lados:
ln(u) = g(x)*ln[f(x)] ,derivando:
(1/u)*du = g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)dx} + ln[f(x)]*{g'(x)dx},arrumando:
udx = du*{1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}  ,substituindo em 
(i):


I = Integral{udx} = Integral{du*{1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} +
ln[f(x)]*{g'(x)}} =
I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*Integral{du} =
I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*u =

I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*{f(x)^g(x)}

A unica coisa util disso tudo é sacar que vc pode aplicar ln nos dois 
lados

da igualdade!

[]'s
Luiz H. Barbosa


--
Henrique

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

[Paulo Santa Rita]

Ola Denisson e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Interessant, sehr interessant ! Oder ? Mas ... eu acho que nao entendi a sua 
questao :

Segundo a exposicao abaixo segue que o ponto B - extremo do segmento de 
comprimento minimo - fica univocamente determinado ANTES DA DESCOBERTA do 
ponto C, mas me parerce que as coisas nao podem ser assim ...

Dado que a distancia entre quaisquer dois pontos e diferente da distancia 
entre dois outros pontos quaisquer, entao, claramente, o conjunto das 
distancias possiveis tem um valor minimo. Seja M esse valor minimo e { X,Y } 
o par de pontos que lhe corresponde. Portanto, evidentemente, se tracarmos 
um circulo de centro X e raio M nao podera haver nenhum ponto no interior 
deste circulo, pois isto contrariaria a minimalidade de M. O mesmo se pode 
dizer do circulo de mesmo raio e centro Y.

Agora, quem e A e quem e B ? ( X=A e Y=B ) ou ( X=B e Y=A ) ?

Me parece que nos so podemos responder a pergunta acima APOS ANALISAR OS 
DEMAIS PONTOS ...

Suponhamos que P seja o conjunto de pontos e d(X,Y) a distancia entre os 
pontos X e Y. Neste caso, se existe Z pertencente a P - {X,Y} tal que d(Z,X) 
< d(W,Y) qualquer que seja W pertencente a
P - {X,Y,Z},  entao X=B e Y=A. Mas, na explicacao PRESSUPOE-SE que B esta 
univocamente determinado, fato que EU nao consigo perceber ...

Sera que o ponto A e previamente dado ? Isto e, existe um ponto de partida ? 
Ou, de fato, conforme eu suspeito, o ponto B e determinado "a posteriori", 
tal como esbocei acima, e nao, "a priori", conforme voce implicitamente 
pressupoe em sua exposicao abaixo ? Bom, se voce seriamente quer uma 
discussao, voce precisa se pronunciar.

Considere, finalmente, os pontos : (0,0), (0,1), (2,1) e (-3,0). O segmento 
minimo e { (0,0),(0,1) }.

1)Supondo A=(0,0) segue que B=(0,1). Logo C=(2,1) e D=(-3,0). Portanto, CD 
corta AB
2)Supondo A=(0,1) segue que B=(0,0). Logo C=(2,1) e D=(-3,0). Portanto, CD 
corta AB

O contra-exemplo acima E UMA PROVA de que os segmentos podem se cruzar, se e 
que eu entendi corretamente o seu enunciado ou se o seu enunciado encerra 
algo com sentido  ...

Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1536,010703


From: Denisson <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração
Date: Sun, 29 Jun 2003 23:41:51 -0300 (ART)
Ok, vejamos. Imagine uma folha, cheia de pontos, feitos aleatoriamente. A 
distância entre dois pontos distintos nunca será igual a distancia de dois 
outros pontos. Entendido até aí? Se a distancia entre o ponto A e o ponto B 
for 5 cm, então a do ponto An até o Bn deverá ser diferente de 5.
Bom, agora imagine todos os segmentos que nós podemos formar ligando dois 
pontos dessa folha. Imagine que o menor possível é AB=1 cm e o maior é 
CD=10 cm.Então nós devemos traçar o nosso primeiro segmento, a partir 
do ponto A até o ponto B. Agora você está no ponto B, vc deve ligar o ponto 
B ao próximo ponto que estiver mais perto, ou seja, se houver o ponto C a 2 
cm, e o ponto D a 3cm entaõ vc deve ligar B com C. Agora a partir do ponto 
C ligue-o até o outro ponto mais próximo de C e assim sucessivamente.
Vc para de ligar quando todos os pontos forem usados, mas a partir do 
momento que vc chegou no ultimo ponto, acaba suas ligações. imagine que vc 
tem uma folha com quatro pontos. Aí vc liga AB, depois BC, depois 
CD,pronto, pare aí, não ligue o ultimo com o primeiro A. Entendeu agora? 
Agora prove que nunca formará uma linha poligonal fechada nem haverá 
cruzamento de segmentos. Se discordar prove também  :P

Saudações,
Denisson
- Original Message -
From: Domingos Jr.
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, June 29, 2003 11:58 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração
Não entendi direito... especialmente essa parte:
"e a partir desse segmento ligar outro ponto com a menor distancia"
É pra ligar o ponto ao que com a menor distância?
É pra ligar dois pontos quaisquer cuja distância seja a segunda menor?
Quando você para de traçar segmentos?


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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração de função bijetora (corrigindo)

[goiamum]

Claudio, obrigado pela explicação, ela é bem mais 
exclarecedora do que a outra que eu tinha, valeu mesmo.

Ass: Marcelo Paiva

 
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[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] demonstração de função bijetora

[goiamum]

Henrique, acabo de confirir a função e ela está escrita 
corretamente. 

Valeu.


> Goiamum,
> 
> > Demonstre que f, definida no intervalo 0 < x < s (s >
 0)
> > do seguinte modo: F(x) = 2x - s/x(s - x) é uma função
> > bijetora desse intervalo nos reais.
> 
> Essa função está escrita corretamente?
> Porque, creio eu, da forma como ela tá escrita, ela não
 é injetora nem
> sobrejetora. Portanto...
> Alguém pode me corrigir ou estou certo e o enunciado, e
rrado?
> 
> Grato,
> Henrique.

 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Eder]

Obrigado pela solução.

  - Original Message - 
  From: 
  Lucelindo D. 
  Ferreira 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Saturday, April 27, 2002 5:23 
  PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] 
  demonstração
  
  E aí Eber tudo blz! 
  Tudo começa com a Lei dos Senos 
  observe que senA = senA',  senC = sen(a+B), 
  senC' = sen(A-B).Então pela famosa lei dos senos.
  a/senA=b/senB=c/sen(A+B)
  a'/senA = b'/senB=c'/sen(A-B)
   
  aa'/(senA)^2 = bb'/ (senB)^2 = cc'/[(senAcosB)^2 
  - (senBcosA)^2]
   
  bb' = aa'(senB^2)/(senA^2)
  cc' = aa'[(senAcosB)^2 - 
  (senBcosA)^2]/(senA)^2
  bb' +cc' = aa'[(senAcosB)^2 + 
  senB^2(1-cosA^2)]/(senA)^2 = aa'[ (senAcosB)^2 + (senBsenA)^2]/(senA)^2= 
  aa'[senA^2(cosB^2 + senB^2)/(senA)^2= aa'.
    
  See you later
  
- Original Message - 
From: 
Eder 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Monday, April 22, 2002 5:45 
PM
Subject: [obm-l] demonstração

Num tô conseguindo...
 
"Dados doi triângulos ABC e A'B'C' nos quais 
A+A'=180º e B=B',demonstre que 
aa'=bb'+cc'."
 
Obrigado por qualquer 
  ajuda.