[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] TRIÂNGULO

[Anderson Torres]

Em seg, 11 de mar de 2019 às 09:27, Eduardo Wagner 
escreveu:

> Analítica. Adote AE como unidade de comprimento.
> Resp: PQ/QR = 7/5
>
> Em sáb, 9 de mar de 2019 às 12:40, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>>
>>
>>
>> Em qui, 7 de mar de 2019 às 07:47, Vanderlei Nemitz <
>> vanderma...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Só enxerguei uma saída usando geometria analítica. Alguma ideia?
>>> Muito obrigado!
>>>
>>> *Dado um triângulo ABC, com Â= 90º, D é o ponto médio de BC, F é o ponto
>>> médio de AB, E é o ponto médio de AF e G o ponto médio de FB. AD intersecta
>>> CE, CF, CG em P, Q e R respectivamente. Determine a razão PQ/QR.*
>>>
>>>
>> A ideia que pensei foi usar Razão Cruzada.
>>
>> https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Cross-Ratio.shtml
>> Mas só isso não vai adiantar.
>>
>>
Bem, agora vou tentar de novo:

Vou usar o Teorema de Van Obel, que você pode provar por homotetia e uma
reta paralela:

Dadas as cevianas AX, BY e CZ, que cruzam em O, temos AO/OX=AZ/ZB+AY/YC.

Agora, para nosso problema:

BP,BQ, BR cortam AC em X,Y,Z respectivamente. Usando Ceva nos pontos P,Q,R
respectivamente, obtemos, basicamente, AX:XY:YZ:ZC=1:1:1:1, da mesma forma
que AE:EF:FG:GB=1:1:1:1

Temos:

- AP/PD = AX/XC + AE/EB = 1/3+1/3, ou AP:PD = 2:3

- AQ/QD = AY/YC + AF/FB = 1/1+1/1, ou AQ:QD = 2:1

- AR/RD = AZ/ZC + AG/GB = 3/1+3/1, ou AR:RD = 6:1

Com essas infos, já dá para resolver o problema - é um monte de equações.
Minha ideia aqui foi a seguinte:

A primeira fração sugere dividir o segmento AD em cinco partes; a segunda,
em três; e a terceira, em sete. Assim, vamos dividir o segmento em
5*3*7=105 partes.

Trabalhando do menor para o maior:

AR:RD = 6:1; logo, RD tem 1/7 do tamanho de AD, ou RD=15.
AQ:QD = 2:1; logo, QD tem 1/3 do tamanho de AD, ou QD=35, e daí, QR=20.
AP:PD = 2:3; logo, PD tem 2/5 do tamanho de AD, ou PD=63, e daí PQ=28

Com isso, PQ:QR=28:20, mais conhecido como 7/5 ou 14%.

Fato interessante: em momento algum foi usado o fato que o triângulo era
retângulo. Logo, isso vale para qualquer triângulo ABC.

Fato mais ou menos interessante: uma transformação afim poderia ser usada
para tratar esta triângulo ABC como o indefectível 90-45-45, ou quem sabe o
60-60-60. Acho que com algum argumento de simetria e áreas é possível obter
uma solução fácil para esse caso particular.



>
>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> 
>>>  Livre
>>> de vírus. www.avast.com
>>> .
>>>
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>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] TRIÂNGULO

[Eduardo Wagner]

Analítica. Adote AE como unidade de comprimento.
Resp: PQ/QR = 7/5

Em sáb, 9 de mar de 2019 às 12:40, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

>
>
>
> Em qui, 7 de mar de 2019 às 07:47, Vanderlei Nemitz 
> escreveu:
>
>> Só enxerguei uma saída usando geometria analítica. Alguma ideia?
>> Muito obrigado!
>>
>> *Dado um triângulo ABC, com Â= 90º, D é o ponto médio de BC, F é o ponto
>> médio de AB, E é o ponto médio de AF e G o ponto médio de FB. AD intersecta
>> CE, CF, CG em P, Q e R respectivamente. Determine a razão PQ/QR.*
>>
>>
> A ideia que pensei foi usar Razão Cruzada.
>
> https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Cross-Ratio.shtml
> Mas só isso não vai adiantar.
>
>
>
>>
>>
>>
>>
>> 
>>  Livre
>> de vírus. www.avast.com
>> .
>>
>> <#m_5191055488509645045_m_3774298393707173559_m_6555290746475537769_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] TRIÂNGULO

[Anderson Torres]

Em qui, 7 de mar de 2019 às 07:47, Vanderlei Nemitz 
escreveu:

> Só enxerguei uma saída usando geometria analítica. Alguma ideia?
> Muito obrigado!
>
> *Dado um triângulo ABC, com Â= 90º, D é o ponto médio de BC, F é o ponto
> médio de AB, E é o ponto médio de AF e G o ponto médio de FB. AD intersecta
> CE, CF, CG em P, Q e R respectivamente. Determine a razão PQ/QR.*
>
>
A ideia que pensei foi usar Razão Cruzada.

https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Cross-Ratio.shtml
Mas só isso não vai adiantar.



>
>
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> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
>
> <#m_3774298393707173559_m_6555290746475537769_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] TRIÂNGULO

[Vanderlei Nemitz]

Só enxerguei uma saída usando geometria analítica. Alguma ideia?
Muito obrigado!

*Dado um triângulo ABC, com Â= 90º, D é o ponto médio de BC, F é o ponto
médio de AB, E é o ponto médio de AF e G o ponto médio de FB. AD intersecta
CE, CF, CG em P, Q e R respectivamente. Determine a razão PQ/QR.*






Livre
de vírus. www.avast.com
.
<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulo quase Russo - 12º - 18º - 42º

[Jeferson Almir]

Ainda não chegou ... mas se puder mandar pro meu e-mail desde já agradeço
:) .. Abraço Jeferson Almir

Em qua, 4 de abr de 2018 às 10:30, Julio César Saldaña Pumarica <
saldana...@pucp.edu.pe> escreveu:

> Ontem enviei uma solução como arquivo anexo. Era uma foto com a minha
> solução. Parece que o email não chegou, poderia me confirmar?, existe
> alguma restrição quanto anexos?
>
> A resposta é 48, e fiz a solução usando apenas geometria básica.
>
> Obrigado
>
> Julio
> 2018-02-28 7:36 GMT-03:00 Jeferson Almir :
>
>> Queria uma ajuda nesse problema de preferência por geometria sintética :)
>>
>> Seja um triângulo ABC isósceles de base BC sendo  A = 12º e os pontos E e
>> D sobre AB e BC respectivamente tal que os ângulos ECB= 42º e DBC =18º.
>> Calcule o ângulo EDB.
>>
> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo quase Russo - 12º - 18º - 42º

[Julio César Saldaña Pumarica]

Ontem enviei uma solução como arquivo anexo. Era uma foto com a minha
solução. Parece que o email não chegou, poderia me confirmar?, existe
alguma restrição quanto anexos?

A resposta é 48, e fiz a solução usando apenas geometria básica.

Obrigado

Julio

2018-02-28 7:36 GMT-03:00 Jeferson Almir :

> Queria uma ajuda nesse problema de preferência por geometria sintética :)
>
> Seja um triângulo ABC isósceles de base BC sendo  A = 12º e os pontos E e
> D sobre AB e BC respectivamente tal que os ângulos ECB= 42º e DBC =18º.
> Calcule o ângulo EDB.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulo quase Russo - 12º - 18º - 42º

[Douglas Oliveira de Lima]

Na vdd acho que confundi esse problema com outro sinistro rs.

Ah mas ta valendo, pelo menos agora agente tem outro.

Abracos.

Em 1 de mar de 2018 11:41, "Jeferson Almir" 
escreveu:

> Opa !! Deu um valor legal. Eu tinha errado a resposta é 48º. Desculpem
>
> Em qui, 1 de mar de 2018 às 11:27, Jeferson Almir <
> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>
>> Eu coloquei no Geogebra e deu 48,71º. Deve ter algo errado
>>
>> Em qua, 28 de fev de 2018 às 21:46, Anderson Torres <
>> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Em 28 de fevereiro de 2018 11:59, Claudio Buffara
>>>  escreveu:
>>> > Sugestão 1: usando régua e transferidor, desenhe uma figura tão grande
>>> e
>>> > precisa quanto puder (por exemplo, ocupando a maior parte de uma folha
>>> de
>>> > A4).
>>> > Daí, meça o ângulo EDB com o transferidor e obtenha uma conjectura.
>>> > Já será um progresso: ao invés de ter que determinar o valor do ângulo
>>> e
>>> > provar que seu raciocínio está correto, você precisará apenas provar
>>> sua
>>> > conjectura.
>>> >
>>> > Sugestão 2: Como 12 = 360/30, considere um polígono regular convexo de
>>> 30
>>> > lados inscrito numa circunferência de centro A e tal que B e C sejam
>>> > vértices (adjacentes) do polígono.
>>>
>>> Tô tentando resolver dessa forma, mas acredito ser mais promissor usar
>>> um 15-ágono em que
>>> os três vértices estão na circunferência circunscrita ao triângulo.
>>> Dessa forma é mais fácil ver certas simetrias.
>>> Por exemplo, as retas que definem os ângulos inferiores atingem
>>> meios-arcos interessantes. Daí fica mais
>>> fácil verificar algumas propriedades.
>>>
>>> > Considere os vértices P e Q do polígono tais que PAB, BAC e CAQ são
>>> ângulos
>>> > adjacentes (digamos com P, B, C, Q tomados no sentido anti-horário
>>> sobre a
>>> > circunferência), com PAB = 84 graus e CAQ = 36 graus. Prove que BQ
>>> > intersecta AC em D e CP intersecta AB em E.
>>> > Será que a reta suporte de DE intersecta a circunferência em pontos
>>> que são
>>> > vértices do polígono de 30 lados?
>>> > Aqui está outra situação em que um desenho bem feito (agora também com
>>> um
>>> > compasso) pode ajudar.
>>> > Ou então, se você usar Geogebra ou algum outro software de geometria
>>> > dinâmica...
>>> >
>>> > []s,
>>> > Claudio.
>>> >
>>> >
>>> > 2018-02-28 7:36 GMT-03:00 Jeferson Almir :
>>> >>
>>> >> Queria uma ajuda nesse problema de preferência por geometria
>>> sintética :)
>>> >>
>>> >> Seja um triângulo ABC isósceles de base BC sendo  A = 12º e os pontos
>>> E e
>>> >> D sobre AB e BC respectivamente tal que os ângulos ECB= 42º e DBC
>>> =18º.
>>> >> Calcule o ângulo EDB.
>>> >>
>>> >> --
>>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>>> >
>>> >
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulo quase Russo - 12º - 18º - 42º

[Douglas Oliveira de Lima]

Eis a solução, quem me apresentou esse problema pela primeira vez foi meu
professor da UERJ Paulo César em 2003 se não me engano..
E depois peguei a revista que tinha a resolução com um grande amigo que
faleceu "Gandhi" Antonio Luis dos Santos.

O link da solução é
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200505/msg00212.html

Já postado pelo Nicolau tem tempo.

Vale a pena ler a revista é realmente muito boa, fala a respeito de 53
triplas de inteiros que satisfazem esse triângulo.

Forte abraço do
Douglas Oliveira.

Em 1 de março de 2018 11:31, Jeferson Almir 
escreveu:

> Opa !! Deu um valor legal. Eu tinha errado a resposta é 48º. Desculpem
>
> Em qui, 1 de mar de 2018 às 11:27, Jeferson Almir <
> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>
>> Eu coloquei no Geogebra e deu 48,71º. Deve ter algo errado
>>
>> Em qua, 28 de fev de 2018 às 21:46, Anderson Torres <
>> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Em 28 de fevereiro de 2018 11:59, Claudio Buffara
>>>  escreveu:
>>> > Sugestão 1: usando régua e transferidor, desenhe uma figura tão grande
>>> e
>>> > precisa quanto puder (por exemplo, ocupando a maior parte de uma folha
>>> de
>>> > A4).
>>> > Daí, meça o ângulo EDB com o transferidor e obtenha uma conjectura.
>>> > Já será um progresso: ao invés de ter que determinar o valor do ângulo
>>> e
>>> > provar que seu raciocínio está correto, você precisará apenas provar
>>> sua
>>> > conjectura.
>>> >
>>> > Sugestão 2: Como 12 = 360/30, considere um polígono regular convexo de
>>> 30
>>> > lados inscrito numa circunferência de centro A e tal que B e C sejam
>>> > vértices (adjacentes) do polígono.
>>>
>>> Tô tentando resolver dessa forma, mas acredito ser mais promissor usar
>>> um 15-ágono em que
>>> os três vértices estão na circunferência circunscrita ao triângulo.
>>> Dessa forma é mais fácil ver certas simetrias.
>>> Por exemplo, as retas que definem os ângulos inferiores atingem
>>> meios-arcos interessantes. Daí fica mais
>>> fácil verificar algumas propriedades.
>>>
>>> > Considere os vértices P e Q do polígono tais que PAB, BAC e CAQ são
>>> ângulos
>>> > adjacentes (digamos com P, B, C, Q tomados no sentido anti-horário
>>> sobre a
>>> > circunferência), com PAB = 84 graus e CAQ = 36 graus. Prove que BQ
>>> > intersecta AC em D e CP intersecta AB em E.
>>> > Será que a reta suporte de DE intersecta a circunferência em pontos
>>> que são
>>> > vértices do polígono de 30 lados?
>>> > Aqui está outra situação em que um desenho bem feito (agora também com
>>> um
>>> > compasso) pode ajudar.
>>> > Ou então, se você usar Geogebra ou algum outro software de geometria
>>> > dinâmica...
>>> >
>>> > []s,
>>> > Claudio.
>>> >
>>> >
>>> > 2018-02-28 7:36 GMT-03:00 Jeferson Almir :
>>> >>
>>> >> Queria uma ajuda nesse problema de preferência por geometria
>>> sintética :)
>>> >>
>>> >> Seja um triângulo ABC isósceles de base BC sendo  A = 12º e os pontos
>>> E e
>>> >> D sobre AB e BC respectivamente tal que os ângulos ECB= 42º e DBC
>>> =18º.
>>> >> Calcule o ângulo EDB.
>>> >>
>>> >> --
>>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>>> >
>>> >
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulo quase Russo - 12º - 18º - 42º

[Jeferson Almir]

Opa !! Deu um valor legal. Eu tinha errado a resposta é 48º. Desculpem

Em qui, 1 de mar de 2018 às 11:27, Jeferson Almir 
escreveu:

> Eu coloquei no Geogebra e deu 48,71º. Deve ter algo errado
>
> Em qua, 28 de fev de 2018 às 21:46, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> Em 28 de fevereiro de 2018 11:59, Claudio Buffara
>>  escreveu:
>> > Sugestão 1: usando régua e transferidor, desenhe uma figura tão grande e
>> > precisa quanto puder (por exemplo, ocupando a maior parte de uma folha
>> de
>> > A4).
>> > Daí, meça o ângulo EDB com o transferidor e obtenha uma conjectura.
>> > Já será um progresso: ao invés de ter que determinar o valor do ângulo e
>> > provar que seu raciocínio está correto, você precisará apenas provar sua
>> > conjectura.
>> >
>> > Sugestão 2: Como 12 = 360/30, considere um polígono regular convexo de
>> 30
>> > lados inscrito numa circunferência de centro A e tal que B e C sejam
>> > vértices (adjacentes) do polígono.
>>
>> Tô tentando resolver dessa forma, mas acredito ser mais promissor usar
>> um 15-ágono em que
>> os três vértices estão na circunferência circunscrita ao triângulo.
>> Dessa forma é mais fácil ver certas simetrias.
>> Por exemplo, as retas que definem os ângulos inferiores atingem
>> meios-arcos interessantes. Daí fica mais
>> fácil verificar algumas propriedades.
>>
>> > Considere os vértices P e Q do polígono tais que PAB, BAC e CAQ são
>> ângulos
>> > adjacentes (digamos com P, B, C, Q tomados no sentido anti-horário
>> sobre a
>> > circunferência), com PAB = 84 graus e CAQ = 36 graus. Prove que BQ
>> > intersecta AC em D e CP intersecta AB em E.
>> > Será que a reta suporte de DE intersecta a circunferência em pontos que
>> são
>> > vértices do polígono de 30 lados?
>> > Aqui está outra situação em que um desenho bem feito (agora também com
>> um
>> > compasso) pode ajudar.
>> > Ou então, se você usar Geogebra ou algum outro software de geometria
>> > dinâmica...
>> >
>> > []s,
>> > Claudio.
>> >
>> >
>> > 2018-02-28 7:36 GMT-03:00 Jeferson Almir :
>> >>
>> >> Queria uma ajuda nesse problema de preferência por geometria sintética
>> :)
>> >>
>> >> Seja um triângulo ABC isósceles de base BC sendo  A = 12º e os pontos
>> E e
>> >> D sobre AB e BC respectivamente tal que os ângulos ECB= 42º e DBC =18º.
>> >> Calcule o ângulo EDB.
>> >>
>> >> --
>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulo quase Russo - 12º - 18º - 42º

[Jeferson Almir]

Eu coloquei no Geogebra e deu 48,71º. Deve ter algo errado

Em qua, 28 de fev de 2018 às 21:46, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em 28 de fevereiro de 2018 11:59, Claudio Buffara
>  escreveu:
> > Sugestão 1: usando régua e transferidor, desenhe uma figura tão grande e
> > precisa quanto puder (por exemplo, ocupando a maior parte de uma folha de
> > A4).
> > Daí, meça o ângulo EDB com o transferidor e obtenha uma conjectura.
> > Já será um progresso: ao invés de ter que determinar o valor do ângulo e
> > provar que seu raciocínio está correto, você precisará apenas provar sua
> > conjectura.
> >
> > Sugestão 2: Como 12 = 360/30, considere um polígono regular convexo de 30
> > lados inscrito numa circunferência de centro A e tal que B e C sejam
> > vértices (adjacentes) do polígono.
>
> Tô tentando resolver dessa forma, mas acredito ser mais promissor usar
> um 15-ágono em que
> os três vértices estão na circunferência circunscrita ao triângulo.
> Dessa forma é mais fácil ver certas simetrias.
> Por exemplo, as retas que definem os ângulos inferiores atingem
> meios-arcos interessantes. Daí fica mais
> fácil verificar algumas propriedades.
>
> > Considere os vértices P e Q do polígono tais que PAB, BAC e CAQ são
> ângulos
> > adjacentes (digamos com P, B, C, Q tomados no sentido anti-horário sobre
> a
> > circunferência), com PAB = 84 graus e CAQ = 36 graus. Prove que BQ
> > intersecta AC em D e CP intersecta AB em E.
> > Será que a reta suporte de DE intersecta a circunferência em pontos que
> são
> > vértices do polígono de 30 lados?
> > Aqui está outra situação em que um desenho bem feito (agora também com um
> > compasso) pode ajudar.
> > Ou então, se você usar Geogebra ou algum outro software de geometria
> > dinâmica...
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> >
> > 2018-02-28 7:36 GMT-03:00 Jeferson Almir :
> >>
> >> Queria uma ajuda nesse problema de preferência por geometria sintética
> :)
> >>
> >> Seja um triângulo ABC isósceles de base BC sendo  A = 12º e os pontos E
> e
> >> D sobre AB e BC respectivamente tal que os ângulos ECB= 42º e DBC =18º.
> >> Calcule o ângulo EDB.
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulo quase Russo - 12º - 18º - 42º

[Anderson Torres]

Em 28 de fevereiro de 2018 11:59, Claudio Buffara
 escreveu:
> Sugestão 1: usando régua e transferidor, desenhe uma figura tão grande e
> precisa quanto puder (por exemplo, ocupando a maior parte de uma folha de
> A4).
> Daí, meça o ângulo EDB com o transferidor e obtenha uma conjectura.
> Já será um progresso: ao invés de ter que determinar o valor do ângulo e
> provar que seu raciocínio está correto, você precisará apenas provar sua
> conjectura.
>
> Sugestão 2: Como 12 = 360/30, considere um polígono regular convexo de 30
> lados inscrito numa circunferência de centro A e tal que B e C sejam
> vértices (adjacentes) do polígono.

Tô tentando resolver dessa forma, mas acredito ser mais promissor usar
um 15-ágono em que
os três vértices estão na circunferência circunscrita ao triângulo.
Dessa forma é mais fácil ver certas simetrias.
Por exemplo, as retas que definem os ângulos inferiores atingem
meios-arcos interessantes. Daí fica mais
fácil verificar algumas propriedades.

> Considere os vértices P e Q do polígono tais que PAB, BAC e CAQ são ângulos
> adjacentes (digamos com P, B, C, Q tomados no sentido anti-horário sobre a
> circunferência), com PAB = 84 graus e CAQ = 36 graus. Prove que BQ
> intersecta AC em D e CP intersecta AB em E.
> Será que a reta suporte de DE intersecta a circunferência em pontos que são
> vértices do polígono de 30 lados?
> Aqui está outra situação em que um desenho bem feito (agora também com um
> compasso) pode ajudar.
> Ou então, se você usar Geogebra ou algum outro software de geometria
> dinâmica...
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-02-28 7:36 GMT-03:00 Jeferson Almir :
>>
>> Queria uma ajuda nesse problema de preferência por geometria sintética :)
>>
>> Seja um triângulo ABC isósceles de base BC sendo  A = 12º e os pontos E e
>> D sobre AB e BC respectivamente tal que os ângulos ECB= 42º e DBC =18º.
>> Calcule o ângulo EDB.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo quase Russo - 12º - 18º - 42º

[Claudio Buffara]

Sugestão 1: usando régua e transferidor, desenhe uma figura tão grande e
precisa quanto puder (por exemplo, ocupando a maior parte de uma folha de
A4).
Daí, meça o ângulo EDB com o transferidor e obtenha uma conjectura.
Já será um progresso: ao invés de ter que determinar o valor do ângulo e
provar que seu raciocínio está correto, você precisará apenas provar sua
conjectura.

Sugestão 2: Como 12 = 360/30, considere um polígono regular convexo de 30
lados inscrito numa circunferência de centro A e tal que B e C sejam
vértices (adjacentes) do polígono.
Considere os vértices P e Q do polígono tais que PAB, BAC e CAQ são ângulos
adjacentes (digamos com P, B, C, Q tomados no sentido anti-horário sobre a
circunferência), com PAB = 84 graus e CAQ = 36 graus. Prove que BQ
intersecta AC em D e CP intersecta AB em E.
Será que a reta suporte de DE intersecta a circunferência em pontos que são
vértices do polígono de 30 lados?
Aqui está outra situação em que um desenho bem feito (agora também com um
compasso) pode ajudar.
Ou então, se você usar Geogebra ou algum outro software de geometria
dinâmica...

[]s,
Claudio.


2018-02-28 7:36 GMT-03:00 Jeferson Almir :

> Queria uma ajuda nesse problema de preferência por geometria sintética :)
>
> Seja um triângulo ABC isósceles de base BC sendo  A = 12º e os pontos E e
> D sobre AB e BC respectivamente tal que os ângulos ECB= 42º e DBC =18º.
> Calcule o ângulo EDB.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Triângulo quase Russo - 12º - 18º - 42º

[Jeferson Almir]

Queria uma ajuda nesse problema de preferência por geometria sintética :)

Seja um triângulo ABC isósceles de base BC sendo  A = 12º e os pontos E e D
sobre AB e BC respectivamente tal que os ângulos ECB= 42º e DBC =18º.
Calcule o ângulo EDB.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Triângulo russo 80-20-20

[Martins Rama]

Obrigado Douglas e Esdras.
 Muito boa a solução.

 Martins Rama.

 Citando Martins Rama martin...@pop.com.br:


O triângulo ABC é isósceles, com AB=AC e ângulos 20-80-80. Se

H, que

está sobre AB, é o pé da altura traçada a partir de C, e D

é um

ponto sobre AC tal que DC=BC/2, determine o ângulo CHD.
 Resp. 30.

 Olá pessoal.
 Vi hoje essa variação do triângulo russo 80-20-20, que ainda

não

resolvi. Alguma ideia?

 Abraços,
 Martins Rama.
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[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo russo 80-20-20

[Esdras Muniz]

Tome P sobre AB de forma que o angulo PCB seja 70 graus. Prove que o
triangulo PCB e semelhante a CHD, caso lal.



Em quinta-feira, 9 de abril de 2015, Martins Rama martin...@pop.com.br
escreveu:

 O triângulo ABC é isósceles, com AB=AC e ângulos 20-80-80. Se H, que está
 sobre AB, é o pé da altura traçada a partir de C, e D é um ponto sobre AC
 tal que DC=BC/2, determine o ângulo CHD.
 Resp. 30.

 Olá pessoal.
 Vi hoje essa variação do triângulo russo 80-20-20, que ainda não resolvi.
 Alguma ideia?

 Abraços,
 Martins Rama.
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Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

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[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo russo 80-20-20

[Douglas Oliveira de Lima]

*Se BC=2a, então CD=a, assim CH=2acos(10), e aplicando uma lei dos senos* *no
triângulo CHD teremos:*

*CH/sen(110-x)  = a/sen(x), donde surge a seguinte equação:
2sen(x)cos(10)=sen(x+70), ou *

*sen(x+10)+sen(x-10)=sen(x+70), donde podemos escrever*

*sen(x-10)=sen(x+70)+sen(-x-10) e transformando em produto o segundo membro
da equacao teremos *

*sen(x-10)=sen(50-x), o que nos traz como resposta x=30.*


Douglas Oliveira.

Em 9 de abril de 2015 06:47, Martins Rama martin...@pop.com.br escreveu:

 O triângulo ABC é isósceles, com AB=AC e ângulos 20-80-80. Se H, que está
 sobre AB, é o pé da altura traçada a partir de C, e D é um ponto sobre AC
 tal que DC=BC/2, determine o ângulo CHD.
 Resp. 30.

 Olá pessoal.
 Vi hoje essa variação do triângulo russo 80-20-20, que ainda não resolvi.
 Alguma ideia?

 Abraços,
 Martins Rama.
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[obm-l] Triângulo russo 80-20-20

[Martins Rama]

O triângulo ABC é isósceles, com AB=AC e ângulos 20-80-80. Se H, que
está sobre AB, é o pé da altura traçada a partir de C, e D é um ponto
sobre AC tal que DC=BC/2, determine o ângulo CHD.
Resp. 30.

Olá pessoal.
Vi hoje essa variação do triângulo russo 80-20-20, que ainda não
resolvi. Alguma ideia?

Abraços,
Martins Rama.

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[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo e circunferências

[Julio César Saldaña]

Bom, boa solução, não garanto. Ao menos da para encontrar o raio:

Que tal um teorema da bisectriz:

3 / 5 = R /(4-R)





Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Thu, 9 Oct 2014 21:51:28 -0300
Asunto : [obm-l] Triângulo e circunferências

Olá meus caros...depois de uma longa temporada em off na lista vou postar
uma perguntinha...

Traçamos o círculo T de centro O circunscrito a um triângulo ABC, retângulo
em A de catetos 3 cm e 4 cm. Encontre o raio do círculo W de centro O´,
tangente aos catetos de ABC e interiormente a T

Alguém tem um boa solução?

Abraços, Carlos Gomes.

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[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo e circunferências

[Julio César Saldaña]

Bom, agora vou tentar uma solução que funcione, a anterior está errada.

Se P é o ponto de tangencia, Teorema da bisectriz sería:

PB/PA = (3-R)/R   (Supondo BA=3)

PC/PA = (4-R)/R

4 vezes a primeira mais 3 a segunda (para aproveitar Ptolomeo):

5. PA / PA = 4.(3-R)/R + 3.(4-R) / R

então R=2. Mas está muito enrolada essa solução, deve ter outra.


Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Thu, 9 Oct 2014 21:51:28 -0300
Asunto : [obm-l] Triângulo e circunferências

Olá meus caros...depois de uma longa temporada em off na lista vou postar
uma perguntinha...

Traçamos o círculo T de centro O circunscrito a um triângulo ABC, retângulo
em A de catetos 3 cm e 4 cm. Encontre o raio do círculo W de centro O´,
tangente aos catetos de ABC e interiormente a T

Alguém tem um boa solução?

Abraços, Carlos Gomes.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulo e circunferências

[Douglas Oliveira de Lima]

Mas aonde aplica o teorema da bissetriz interna??

Em 10 de outubro de 2014 13:48, Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe
escreveu:



 Bom, boa solução, não garanto. Ao menos da para encontrar o raio:

 Que tal um teorema da bisectriz:

 3 / 5 = R /(4-R)





 Julio Saldaña


 -- Mensaje original ---
 De : obm-l@mat.puc-rio.br
 Para : obm-l@mat.puc-rio.br
 Fecha : Thu, 9 Oct 2014 21:51:28 -0300
 Asunto : [obm-l] Triângulo e circunferências
 Olá meus caros...depois de uma longa temporada em off na lista vou postar
 uma perguntinha...
 
 Traçamos o círculo T de centro O circunscrito a um triângulo ABC,
 retângulo
 em A de catetos 3 cm e 4 cm. Encontre o raio do círculo W de centro O´,
 tangente aos catetos de ABC e interiormente a T
 
 Alguém tem um boa solução?
 
 Abraços, Carlos Gomes.
 
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[obm-l] Triângulo e circunferências

[Carlos Gomes]

Olá meus caros...depois de uma longa temporada em off na lista vou postar
uma perguntinha...

Traçamos o círculo T de centro O circunscrito a um triângulo ABC, retângulo
em A de catetos 3 cm e 4 cm. Encontre o raio do círculo W de centro O´,
tangente aos catetos de ABC e interiormente a T

Alguém tem um boa solução?

Abraços, Carlos Gomes.

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[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo e circunferências

[Douglas Oliveira de Lima]

Então faça uma inversão de polo em A e raio AI sendo I o incentro de ABC,
vai perceber que o incírculo do ABC é o inverso do círculo cujo o raio
queremos determinar, assim a resposta será 2.

Abraços do
Douglas Oliveira.

Em 9 de outubro de 2014 21:51, Carlos Gomes cgomes...@gmail.com escreveu:

 Olá meus caros...depois de uma longa temporada em off na lista vou postar
 uma perguntinha...

 Traçamos o círculo T de centro O circunscrito a um triângulo ABC,
 retângulo em A de catetos 3 cm e 4 cm. Encontre o raio do círculo W de
 centro O´, tangente aos catetos de ABC e interiormente a T

 Alguém tem um boa solução?

 Abraços, Carlos Gomes.


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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulo e circunferências

[Carlos Gomes]

Obrigado Douglas...achei uma outra solução quase agora sem usar inversão...
Mesmo assim muito obrigado pela sua bela solução!

Abraço, Cgomes.

Em 10 de outubro de 2014 00:05, Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Então faça uma inversão de polo em A e raio AI sendo I o incentro de ABC,
 vai perceber que o incírculo do ABC é o inverso do círculo cujo o raio
 queremos determinar, assim a resposta será 2.

 Abraços do
 Douglas Oliveira.

 Em 9 de outubro de 2014 21:51, Carlos Gomes cgomes...@gmail.com
 escreveu:

 Olá meus caros...depois de uma longa temporada em off na lista vou postar
 uma perguntinha...

 Traçamos o círculo T de centro O circunscrito a um triângulo ABC,
 retângulo em A de catetos 3 cm e 4 cm. Encontre o raio do círculo W de
 centro O´, tangente aos catetos de ABC e interiormente a T

 Alguém tem um boa solução?

 Abraços, Carlos Gomes.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo retângule e bissetrizes

[Rogerio Ponce]

Ola' Martins,
a partir de seu vertice, cada bissetriz encontra a outra bissetriz, e entao
o lado oposto.
As medidas se referem a quais segmentos?

[]'s
Rogerio Ponce



2013/5/13 Martins Rama martin...@pop.com.br

 Olá amigos da lista...
 Obrigado pelas colaborações.

 Alguém pode me ajudar nessa questão?

 Calcular a área de um triângulo retângulo, sabendo que as bissetrizes dos
 ângulos agudos medem sqr(13) e sqr(104).

 []'s

 Martins Rama.



 =
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 =

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulo retângule e bissetrizes

[Martins Rama]

Bom dia, Rogério.
Pelo que entendi do enunciado, os valores sqr(13) e sqr(104) são as
medidas de cada uma das bissetrizes internas dos ângulos agudos, contadas
do vértice ao lado oposto do triângulo.

[]'s

Martins Rama.


=
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Triângulo retângule e bissetrizes

[Martins Rama]

Olá amigos da lista...
Obrigado pelas colaborações.

Alguém pode me ajudar nessa questão?

Calcular a área de um triângulo retângulo, sabendo que as bissetrizes dos
ângulos agudos medem sqr(13) e sqr(104).

[]'s

Martins Rama.



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[obm-l] triângulo esférico

[Marco Antonio Leal]

Durante uma aula, meu professor comentou sobre um urso que se encontra em um 
ponto do planeta terra e caminha 1 km em direção ao norte, para, e vira 90 
graus a direita onde caminha mais um km, para novamente, vira noventa graus a 
direita e caminha mais um km, entretanto, para no ponto inicial de partida. 
Qual a cor do urso. ele me disse que isso só era possivel se considerarmos 
triângulos esféricos. Isso é possivel?   

[obm-l] Re: [obm-l] triângulo esférico

[Ralph Teixeira]

Pense o que acontece se voce sair do polo sul, andar 1km para N, 1 km
para E, e 1 km para S.

(Agora, tecnicamente, nao ha ursos no polo sul, entao o problema nao
funciona do jeito que ele disse. Tinha que comecar 1 km para o SUL.)

Abraco,
Ralph

2012/5/3 Marco Antonio Leal marcoantonio_elemen...@hotmail.com:
 Durante uma aula, meu professor comentou sobre um urso que se encontra em um
 ponto do planeta terra e caminha 1 km em direção ao norte, para, e vira 90
 graus a direita onde caminha mais um km, para novamente, vira noventa graus
 a direita e caminha mais um km, entretanto, para no ponto inicial de
 partida. Qual a cor do urso. ele me disse que isso só era possivel se
 considerarmos triângulos esféricos. Isso é possivel?

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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Triângulo

[marcone augusto araújo borges]

Em que condições as medidas dos lados de um triângulo estão em PG?
 
 
Se for um triangulo retangulo,a razão da PG será q = raiz((1+raiz(5))/2) e o 
cosseno de um dos seus angulos agudos será 1/q.
Se isso é verdade,restariam os casos dos triangulos acutangulos e dos 
obtusangulos.   

[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo

[Willy George Amaral Petrenko]

Use a desigualdade triangular, que é condição necessária e suficiente para
existência de um triângulo com lados l1, l2, l3



2012/4/1 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

  Em que condições as medidas dos lados de um triângulo estão em PG?


 Se for um triangulo retangulo,a razão da PG será q = raiz((1+raiz(5))/2) e
 o cosseno de um dos seus angulos agudos será 1/q.
 Se isso é verdade,restariam os casos dos triangulos acutangulos e dos
 obtusangulos.

[obm-l] RE: [obm-l] Triângulo

[João Maldonado]

Pela desigualdade triangular, se q=1

aq²  aq + a
q²-q-10
1=q(sqrt(5)+1)/2

Se q=1
a  aq² + aq
q²+q-1 0

(sqrt(5)-1)/2q =1

Logo, (sqrt(5)-1)/2q(sqrt(5)+1)/2

Se quiser tirar os cossenos/senos dos ângulos, faça lei dos cossenos/lei dos 
senos.

[]'s
João

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Triângulo
Date: Sun, 1 Apr 2012 13:14:12 +







Em que condições as medidas dos lados de um triângulo estão em PG?

 

 

Se for um triangulo retangulo,a razão da PG será q = raiz((1+raiz(5))/2) e o 
cosseno de um dos seus angulos agudos será 1/q.

Se isso é verdade,restariam os casos dos triangulos acutangulos e dos 
obtusangulos.

  

[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo e mediana

[luiz silva]

Ola Carlos,
 
Não conhecia.
 
Aparentemente, o que vou descrever gera a uma solução (não fiz as contas) : se 
usarmos potência, conseguiremos determinar os lados do triângulo em função de 
duas variáveis a e b. Após isso, pode-se expressar a mediana em função de uma 
destas variáváveis (novamente, através da potência de um ponto) e, através da 
fórmula da mediana, podemos encontrar a em função de b ou b em função de a. 
Assim, teremos os lados expressos através de uma única variável.
 
Podemos agora usar a fórmula da área com o perímetro, para achar o valor da 
variável que aparece nas expressões representando os lados e, assim, determinar 
os lados do triângulo.
 
Particularmente, achei essa possível solução muito braçal..por isso não fiz 
as contas...sendo assim, com certeza deve haver uma soluão mais elegante.
 
Abs
Felipe


--- Em dom, 26/7/09, Carlos Gomes cgomes...@uol.com.br escreveu:


De: Carlos Gomes cgomes...@uol.com.br
Assunto: [obm-l] Triângulo e mediana
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Domingo, 26 de Julho de 2009, 23:57





Olá gente...alguém conhece essa?
 
O Circulo inscrito no triângulo ABC divide  mediana traçada de A em três 
segmentos de mesma medida. Se a área de ABC é 6.Raiz(14). Calcule as medidas 
dos lados desse triângulo.
 
valew, cgomes


  

Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulo e mediana

[Ralph Teixeira]

Estou com o Luiz. Sejam ABC o triangulo, M o medio de BC, e X o tal
circulo inscrito. Suponha spdg que o ponto de tangencia de X com BC
estah em BM. Sejam P e Q os pontos onde o circulo corta a mediana AM.

Como AP=PQ=MQ=x, temos:

Pot(A,X)=2x^2=Pot(M,X)

Agora olhe para as tangentes saindo de A e de M:
2x^2=(p-a)^2=(p-c-a/2)^2
p-a=p-c-a/2
a=2c

Agora, pela Lei das Medianas:
c^2+b^2-2(3x)^2=a^2/2
Botando a=2c e 2x^2=(p-a)^2=((b-c)/2)^2, vem
c^2+b^2-9(b-c)^2/4=2c^2
Daqui sai b=2.6c ou b=c. A solucao b=c nao presta (triangulo c,c,2c
degenerado). Entao o triangulo tem lados c,2c e 2.6c, ou seja, eh o
triangulo 5,10,13, com alguma semelhanca. Como este aqui tem area
S=raiz(p(p-a)(p-b)(p-c))=raiz(14.9.4.1)=6raiz(14), eu dei sorte e
achei os lados: 5, 10 e 13.

Abraco, Ralph.

P.S.: Se eu nao tivesse dado sorte, usaria uma razao de semelhanca k
para modificar os lados de maneira a chegar aa area pedida.


2009/7/27 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br:
 Ola Carlos,

 Não conhecia.

 Aparentemente, o que vou descrever gera a uma solução (não fiz as contas) :
 se usarmos potência, conseguiremos determinar os lados do triângulo em
 função de duas variáveis a e b. Após isso, pode-se expressar a mediana em
 função de uma destas variáváveis (novamente, através da potência de um
 ponto) e, através da fórmula da mediana, podemos encontrar a em função de b
 ou b em função de a. Assim, teremos os lados expressos através de uma única
 variável.

 Podemos agora usar a fórmula da área com o perímetro, para achar o valor da
 variável que aparece nas expressões representando os lados e, assim,
 determinar os lados do triângulo.

 Particularmente, achei essa possível solução muito braçal..por isso não
 fiz as contas...sendo assim, com certeza deve haver uma soluão mais
 elegante.

 Abs
 Felipe

 --- Em dom, 26/7/09, Carlos Gomes cgomes...@uol.com.br escreveu:

 De: Carlos Gomes cgomes...@uol.com.br
 Assunto: [obm-l] Triângulo e mediana
 Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Domingo, 26 de Julho de 2009, 23:57

 Olá gente...alguém conhece essa?

 O Circulo inscrito no triângulo ABC divide  mediana traçada de A em três
 segmentos de mesma medida. Se a área de ABC é 6.Raiz(14). Calcule as medidas
 dos lados desse triângulo.

 valew, cgomes

 
 Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 -
 Celebridades - Música - Esportes

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Triângulo e mediana

[Carlos Gomes]

Olá gente...alguém conhece essa?

O Circulo inscrito no triângulo ABC divide  mediana traçada de A em três 
segmentos de mesma medida. Se a área de ABC é 6.Raiz(14). Calcule as medidas 
dos lados desse triângulo.

valew, cgomes

[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo

[lucianarodriggues]

Em 04/06/2009 22:11, ruy de oliveira souza  ruymat...@ig.com.br  escreveu:

Não saiu...Não me parece tão dificil, mas não estou conseguindo enxergar...Se alguém conseguir fazer , agradeço antecipadamente...
 " Seja o triângulo ABC. No lado AC marcamos o ponto E e no lado AB o ponto Q de tal maneira que a intersecção de BE e QC, seja o ponto P. Sabendo-se que a área do triângulo PEC é 7, a área do triângulo BPC é 7 e a área do triângulo PQB é 3, determine a área do quadrilátero AEPQ.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo

[JOSE AIRTON CARNEIRO]

Chamando  a área do triângulo AQP de x e a do triângulo APE de y temos:
BQ/QA = Sa/Sb = 3/x = 7/7+y (1)

CE/EA = Sa/Sc = 7/y = 7/3+x donde y = x + 3. Substituindo em (1) temos
x = 7,5 e y = 10,5. Logo a área do quadrilátero é 18.

Sa = área do triângulo BPC
Sb = área do triângulo APC
Sc = área do triângulo APB

2009/6/4 ruy de oliveira souza ruymat...@ig.com.br

 Não saiu...Não me parece tão dificil, mas não estou conseguindo
 enxergar...Se alguém conseguir fazer , agradeço antecipadamente...
   Seja o triângulo ABC. No lado AC marcamos o ponto E e no lado AB o ponto
 Q de tal maneira que a intersecção de BE e QC, seja o ponto P. Sabendo-se
 que a área do triângulo PEC é 7, a área do triângulo BPC é 7 e a área do
 triângulo PQB é 3, determine a área do quadrilátero AEPQ.

[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo

[luiz silva]

Com relação ao ponto P, ele é resultado da interseção de BE e QC, é interno ao 
triângulo, externo, ou devemos chegar a esta conclusão, como parte do exercício 
?
 
Abs
Felipe

--- Em qui, 4/6/09, ruy de oliveira souza ruymat...@ig.com.br escreveu:


De: ruy de oliveira souza ruymat...@ig.com.br
Assunto: [obm-l] Triângulo
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 4 de Junho de 2009, 22:11



Não saiu...Não me parece tão dificil, mas não estou conseguindo enxergar...Se 
alguém conseguir fazer , agradeço antecipadamente...
  Seja o triângulo ABC. No lado AC marcamos o ponto E e no lado AB o ponto Q 
de tal maneira que a intersecção de BE e QC, seja o ponto P. Sabendo-se que a 
área do triângulo PEC é 7, a área do triângulo BPC é 7 e a área do triângulo 
PQB é 3, determine a área do quadrilátero AEPQ.


  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulo

[lucianarodriggues]

Em 05/06/2009 14:33, luiz silva  luizfelipec...@yahoo.com.br  escreveu:





Com relação ao ponto P, ele é resultado da interseção de BE e QC, é interno ao triângulo, externo, ou devemos chegar a esta conclusão, como parte do exercício ?
 
Abs
Felipe--- Em qui, 4/6/09, ruy de oliveira souza escreveu:
De: ruy de oliveira souza Assunto: [obm-l] TriânguloPara: obm-l@mat.puc-rio.brData: Quinta-feira, 4 de Junho de 2009, 22:11

Não saiu...Não me parece tão dificil, mas não estou conseguindo enxergar...Se alguém conseguir fazer , agradeço antecipadamente...
 " Seja o triângulo ABC. No lado AC marcamos o ponto E e no lado AB o ponto Q de tal maneira que a intersecção de BE e QC, seja o ponto P. Sabendo-se que a área do triângulo PEC é 7, a área do triângulo BPC é 7 e a área do triângulo PQB é 3, determine a área do quadrilátero AEPQ.








Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes 
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[obm-l] Triângulo

[ruy de oliveira souza]

Não saiu...Não me parece tão dificil, mas não estou conseguindo
enxergar...Se alguém conseguir fazer , agradeço antecipadamente...
  Seja o triângulo ABC. No lado AC marcamos o ponto E e no lado AB o ponto
Q de tal maneira que a intersecção de BE e QC, seja o ponto P. Sabendo-se
que a área do triângulo PEC é 7, a área do triângulo BPC é 7 e a área do
triângulo PQB é 3, determine a área do quadrilátero AEPQ.

[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[aguinaldo goncalves jr]

Pessoal,
 
Alguem teria o material (apostilas, simulados, etc...) de Matematica para o 
Colegio Naval dos cursos Elite do RJ ou do Curso Ideal de Belem do Pará?
 
Grato
Aguinaldo

--- Em qui, 7/8/08, Martins Rama [EMAIL PROTECTED] escreveu:

De: Martins Rama [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 7 de Agosto de 2008, 23:59

Olá José Airton,
obrigado pela sua idéia, mas ainda penso diferente.

O fato de uma solução ser única não faz com que as equações deixem de ser
compatíveis. m só não pode ser um valor que torne o sistema impossível
(incompatível).

O que vemos é que para qualquer valor de m, as equações sempre
apresentarão PELO MENOS UMA solução comum, o que faz com que elas sejam
COMPATÍVEIS (penso ser esta a definição).

Por exemplo:

- para m=8/3 o sistema tem várias soluções (portanto, equações
compatíveis)

- para m=-2 o sistema tem solução (0,4) (as equações continuam sendo
compatíveis).

- para m=0 o sistema tem solução (0,4) (as equações também são
compatíveis).

- para qualquer m, o sistema tem solução (x,y) (e as equações também são
compatíveis)

Portanto:
m=8/3  = mais de uma solução (as equações são compatíveis)
m diferente de 8/3  =  soluções únicas (as equações também são
compatíveis)
Não existe m que torne o sistema impossível.

Logo, para qualquer m, as equações são sempre compatíveis.

Qual o erro neste raciocínio? Ainda não consegui enxergar nenhum
contra-exemplo.

Será que essa questão pode ser anulada?

Abraço a todos,

Martins Rama.


 martins eu raciocinei assim: Para m diferente de 8/3 o sistema é
 determinado
 e a solução é única, ou seja (0,4). Para m = 8/3 o sistema é
 indeterminado,
 portanto várias soluções, (6,0),(1,10/3),(3,2).incluvive (0,4),
 pois
 quando x = 0 independe  de m. Então se (0,4) é solução tanto para
 determinado como para indeterminado, então as equações são sempre
 compatíveis para m = 8/3.
 Portanto um único valor.Letra A.
 Analise e veja se você concorda.


 Em 07/08/08, Martins Rama [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Corrigindo a digitação da questão:

 Sabendo-se que 2x + 3y = 12 e que mx + 4y = 16 são equações sempre
 compatíveis,com x e y reais, quantos são os valores de m que
satisfazem
 essas condições?
 a) Um
 b) Dois
 c) Três
 d) Quatro
 e) Infinitos


 []'s

 Martins Rama.


  Olá senhores
 
  Claramente a intenção dos examinadores era que o candidato
escolhesse
 para
  P
  um dos ex-incentros de ABC. O problema é que a questão não
deixou
 claro
  que
  esse era o ponto. A resposta deveria ser 50º.
 
  Já que o CN está em evidência, mais uma polêmica: sobre a
questão das
  equações compatíveis, qual deve ser o gabarito, A ou E? O
gabarito
 oficial
  é
  A.
 
  Aliás, o que são equações SEMPRE compatíveis? São aquelas
que possuem
 ao
  menos uma solução em comum, como reza a teoria sobre sistemas,
ou são
 as
  que
  possuem todas as soluções em comum?
 
 
 
  Um abraço à todos
 
  PC
 



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cara @ymail.com ou @rocketmail.com.
http://br.new.mail.yahoo.com/addresses

Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[Martins Rama]

Muito obrigado, José Airton, pelas suas considerações.

Grande abraço,

Martins Rama.

 Caro Martins, sua definição é correta, perfeita!
 O problema é que pelo menos uma solução comum torna as equações
 compatíveis, é verdade, mas não SEMPRE COMPATÍVEIS, que é o segrêdo
 desta
 questão.
 De todas as soluções (x,y) que tornam as equações compatíveis, apenas uma
 (0,4) torna
 as equações compatíveis para m diferente de 8/3, para as outras soluções
 as
 equações não
 são compatíveis para m diferente de 8/3. Logo as equações não são SEMPRE
 COMPATÍVEIS
 para m diferente de 8/3.
 Enquanto que todas as soluções (x,y) tornam as equações compatíveis para m
 =
 8/3. Logo
 para m = 8/3 as equações são SEMPRE COMPATÍVEIS.

 ex. A solução (3,2)  torna as equações compatíveis para m = 8/3 e não
 compatível para m diferente de 8/3.
 Conclusão: Somente para m = 8/3 temos as equações SEMPRE COMPATÍVEIS.



 Em 07/08/08, Martins Rama [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Olá José Airton,
 obrigado pela sua idéia, mas ainda penso diferente.

 O fato de uma solução ser única não faz com que as equações deixem de
 ser
 compatíveis. m só não pode ser um valor que torne o sistema impossível
 (incompatível).

 O que vemos é que para qualquer valor de m, as equações sempre
 apresentarão PELO MENOS UMA solução comum, o que faz com que elas sejam
 COMPATÍVEIS (penso ser esta a definição).

 Por exemplo:

 - para m=8/3 o sistema tem várias soluções (portanto, equações
 compatíveis)

 - para m=-2 o sistema tem solução (0,4) (as equações continuam sendo
 compatíveis).

 - para m=0 o sistema tem solução (0,4) (as equações também são
 compatíveis).

 - para qualquer m, o sistema tem solução (x,y) (e as equações também são
 compatíveis)

 Portanto:
 m=8/3  = mais de uma solução (as equações são compatíveis)
 m diferente de 8/3  =  soluções únicas (as equações também são
 compatíveis)
 Não existe m que torne o sistema impossível.

 Logo, para qualquer m, as equações são sempre compatíveis.

 Qual o erro neste raciocínio? Ainda não consegui enxergar nenhum
 contra-exemplo.

 Será que essa questão pode ser anulada?

 Abraço a todos,

 Martins Rama.


  martins eu raciocinei assim: Para m diferente de 8/3 o sistema é
  determinado
  e a solução é única, ou seja (0,4). Para m = 8/3 o sistema é
  indeterminado,
  portanto várias soluções, (6,0),(1,10/3),(3,2).incluvive
 (0,4),
  pois
  quando x = 0 independe  de m. Então se (0,4) é solução tanto para
  determinado como para indeterminado, então as equações são sempre
  compatíveis para m = 8/3.
  Portanto um único valor.Letra A.
  Analise e veja se você concorda.
 
 
  Em 07/08/08, Martins Rama [EMAIL PROTECTED] escreveu:
 
  Corrigindo a digitação da questão:
 
  Sabendo-se que 2x + 3y = 12 e que mx + 4y = 16 são equações sempre
  compatíveis,com x e y reais, quantos são os valores de m que
 satisfazem
  essas condições?
  a) Um
  b) Dois
  c) Três
  d) Quatro
  e) Infinitos
 
 
  []'s
 
  Martins Rama.
 
 
   Olá senhores
  
   Claramente a intenção dos examinadores era que o candidato
 escolhesse
  para
   P
   um dos ex-incentros de ABC. O problema é que a questão não deixou
  claro
   que
   esse era o ponto. A resposta deveria ser 50º.
  
   Já que o CN está em evidência, mais uma polêmica: sobre a questão
 das
   equações compatíveis, qual deve ser o gabarito, A ou E? O gabarito
  oficial
   é
   A.
  
   Aliás, o que são equações SEMPRE compatíveis? São aquelas que
 possuem
  ao
   menos uma solução em comum, como reza a teoria sobre sistemas, ou
 são
  as
   que
   possuem todas as soluções em comum?
  
  
  
   Um abraço à todos
  
   PC
  
 
 
 
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  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
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Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[JOSE AIRTON CARNEIRO]

Caro Martins, sua definição é correta, perfeita!
O problema é que pelo menos uma solução comum torna as equações
compatíveis, é verdade, mas não SEMPRE COMPATÍVEIS, que é o segrêdo desta
questão.
De todas as soluções (x,y) que tornam as equações compatíveis, apenas uma
(0,4) torna
as equações compatíveis para m diferente de 8/3, para as outras soluções as
equações não
são compatíveis para m diferente de 8/3. Logo as equações não são SEMPRE
COMPATÍVEIS
para m diferente de 8/3.
Enquanto que todas as soluções (x,y) tornam as equações compatíveis para m =
8/3. Logo
para m = 8/3 as equações são SEMPRE COMPATÍVEIS.

ex. A solução (3,2)  torna as equações compatíveis para m = 8/3 e não
compatível para m diferente de 8/3.
Conclusão: Somente para m = 8/3 temos as equações SEMPRE COMPATÍVEIS.



Em 07/08/08, Martins Rama [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Olá José Airton,
 obrigado pela sua idéia, mas ainda penso diferente.

 O fato de uma solução ser única não faz com que as equações deixem de ser
 compatíveis. m só não pode ser um valor que torne o sistema impossível
 (incompatível).

 O que vemos é que para qualquer valor de m, as equações sempre
 apresentarão PELO MENOS UMA solução comum, o que faz com que elas sejam
 COMPATÍVEIS (penso ser esta a definição).

 Por exemplo:

 - para m=8/3 o sistema tem várias soluções (portanto, equações compatíveis)

 - para m=-2 o sistema tem solução (0,4) (as equações continuam sendo
 compatíveis).

 - para m=0 o sistema tem solução (0,4) (as equações também são
 compatíveis).

 - para qualquer m, o sistema tem solução (x,y) (e as equações também são
 compatíveis)

 Portanto:
 m=8/3  = mais de uma solução (as equações são compatíveis)
 m diferente de 8/3  =  soluções únicas (as equações também são
 compatíveis)
 Não existe m que torne o sistema impossível.

 Logo, para qualquer m, as equações são sempre compatíveis.

 Qual o erro neste raciocínio? Ainda não consegui enxergar nenhum
 contra-exemplo.

 Será que essa questão pode ser anulada?

 Abraço a todos,

 Martins Rama.


  martins eu raciocinei assim: Para m diferente de 8/3 o sistema é
  determinado
  e a solução é única, ou seja (0,4). Para m = 8/3 o sistema é
  indeterminado,
  portanto várias soluções, (6,0),(1,10/3),(3,2).incluvive (0,4),
  pois
  quando x = 0 independe  de m. Então se (0,4) é solução tanto para
  determinado como para indeterminado, então as equações são sempre
  compatíveis para m = 8/3.
  Portanto um único valor.Letra A.
  Analise e veja se você concorda.
 
 
  Em 07/08/08, Martins Rama [EMAIL PROTECTED] escreveu:
 
  Corrigindo a digitação da questão:
 
  Sabendo-se que 2x + 3y = 12 e que mx + 4y = 16 são equações sempre
  compatíveis,com x e y reais, quantos são os valores de m que satisfazem
  essas condições?
  a) Um
  b) Dois
  c) Três
  d) Quatro
  e) Infinitos
 
 
  []'s
 
  Martins Rama.
 
 
   Olá senhores
  
   Claramente a intenção dos examinadores era que o candidato escolhesse
  para
   P
   um dos ex-incentros de ABC. O problema é que a questão não deixou
  claro
   que
   esse era o ponto. A resposta deveria ser 50º.
  
   Já que o CN está em evidência, mais uma polêmica: sobre a questão das
   equações compatíveis, qual deve ser o gabarito, A ou E? O gabarito
  oficial
   é
   A.
  
   Aliás, o que são equações SEMPRE compatíveis? São aquelas que possuem
  ao
   menos uma solução em comum, como reza a teoria sobre sistemas, ou são
  as
   que
   possuem todas as soluções em comum?
  
  
  
   Um abraço à todos
  
   PC
  
 
 
 
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Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[Paulo Cesar]

Olá senhores

Claramente a intenção dos examinadores era que o candidato escolhesse para P
um dos ex-incentros de ABC. O problema é que a questão não deixou claro que
esse era o ponto. A resposta deveria ser 50º.

Já que o CN está em evidência, mais uma polêmica: sobre a questão das
equações compatíveis, qual deve ser o gabarito, A ou E? O gabarito oficial é
A.

Aliás, o que são equações SEMPRE compatíveis? São aquelas que possuem ao
menos uma solução em comum, como reza a teoria sobre sistemas, ou são as que
possuem todas as soluções em comum?



Um abraço à todos

PC

Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[Rogerio Ponce]

Isto e', publicaram angulo BPC no lugar de angulo PBC.
[]'s
Rogerio Ponce

Em 07/08/08, Rogerio Ponce[EMAIL PROTECTED] escreveu:
 Ola' Paulo Cesar,
 com certeza eles escorregaram na publicacao do enunciado.
 E' bem legal a ideia de P como um ex-incentro de ABC, mas penso que
 fica muito distante do enunciado divulgado. Acho mais simples supor
 que eles apenas colocaram angulo PBC no lugar de angulo BPC.
 []'s
 Rogerio Ponce

 Questao:
 Considere um triangulo acutangulo ABC, e um ponto P coplanar com ABC.
 Sabendo-se que P e' equidistante das retas suportes de AB e BC e que o
 angulo BPC tem medida igual a 25 graus, pode-se afirmar que um dos
 angulos de ABC mede (em graus):
 a) 25 b) 45 c) 50 d) 65 e) 85

 ==

 Em 07/08/08, Paulo Cesar[EMAIL PROTECTED] escreveu:
 Olá senhores

 Claramente a intenção dos examinadores era que o candidato escolhesse para
 P
 um dos ex-incentros de ABC. O problema é que a questão não deixou claro
 que
 esse era o ponto. A resposta deveria ser 50º.

 Já que o CN está em evidência, mais uma polêmica: sobre a questão das
 equações compatíveis, qual deve ser o gabarito, A ou E? O gabarito oficial
 é
 A.

 Aliás, o que são equações SEMPRE compatíveis? São aquelas que possuem ao
 menos uma solução em comum, como reza a teoria sobre sistemas, ou são as
 que
 possuem todas as soluções em comum?



 Um abraço à todos

 PC



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Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[Martins Rama]

Olá Paulo César.

Essa é outra questão que está dando o que falar com os meus alunos...

Apresentei meu ponto de vista considerando a primeira definição, ou seja,
duas equações são compatíveis quando apresentam pelo menos uma solução em
comum. Assim, o sistema formado por elas deve ser POSSÍVEL (indeterminado
ou determinado). Neste caso, a solução é E (infinitos valores), pois m
pode ser 8/3 ou qualquer valor diferente de 8/3.

Já o gabarito divulgado aponta para A (um só valor).

Para ouvir a opinião dos demais colegas, transcrevo abaixo a questão:

QUESTÃO:
Sabendo-se que 2x + 3y = 12 e que mx + #61483;4y = 16 são equações sempre
compatíveis,com x e y reais, quantos são os valores de m que satisfazem
essas condições?
a) Um
b) Dois
c) Três
d) Quatro
e) Infinitos

[]'s

Martins Rama.


 Olá senhores

 Claramente a intenção dos examinadores era que o candidato escolhesse para
 P
 um dos ex-incentros de ABC. O problema é que a questão não deixou claro
 que
 esse era o ponto. A resposta deveria ser 50º.

 Já que o CN está em evidência, mais uma polêmica: sobre a questão das
 equações compatíveis, qual deve ser o gabarito, A ou E? O gabarito oficial
 é
 A.

 Aliás, o que são equações SEMPRE compatíveis? São aquelas que possuem ao
 menos uma solução em comum, como reza a teoria sobre sistemas, ou são as
 que
 possuem todas as soluções em comum?



 Um abraço à todos

 PC



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[Martins Rama]

Corrigindo a digitação da questão:

Sabendo-se que 2x + 3y = 12 e que mx + 4y = 16 são equações sempre
compatíveis,com x e y reais, quantos são os valores de m que satisfazem
essas condições?
a) Um
b) Dois
c) Três
d) Quatro
e) Infinitos


[]'s

Martins Rama.


 Olá senhores

 Claramente a intenção dos examinadores era que o candidato escolhesse para
 P
 um dos ex-incentros de ABC. O problema é que a questão não deixou claro
 que
 esse era o ponto. A resposta deveria ser 50º.

 Já que o CN está em evidência, mais uma polêmica: sobre a questão das
 equações compatíveis, qual deve ser o gabarito, A ou E? O gabarito oficial
 é
 A.

 Aliás, o que são equações SEMPRE compatíveis? São aquelas que possuem ao
 menos uma solução em comum, como reza a teoria sobre sistemas, ou são as
 que
 possuem todas as soluções em comum?



 Um abraço à todos

 PC



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[JOSE AIRTON CARNEIRO]

martins eu raciocinei assim: Para m diferente de 8/3 o sistema é determinado
e a solução é única, ou seja (0,4). Para m = 8/3 o sistema é indeterminado,
portanto várias soluções, (6,0),(1,10/3),(3,2).incluvive (0,4), pois
quando x = 0 independe  de m. Então se (0,4) é solução tanto para
determinado como para indeterminado, então as equações são sempre
compatíveis para m = 8/3.
Portanto um único valor.Letra A.
Analise e veja se você concorda.


Em 07/08/08, Martins Rama [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Corrigindo a digitação da questão:

 Sabendo-se que 2x + 3y = 12 e que mx + 4y = 16 são equações sempre
 compatíveis,com x e y reais, quantos são os valores de m que satisfazem
 essas condições?
 a) Um
 b) Dois
 c) Três
 d) Quatro
 e) Infinitos


 []'s

 Martins Rama.


  Olá senhores
 
  Claramente a intenção dos examinadores era que o candidato escolhesse
 para
  P
  um dos ex-incentros de ABC. O problema é que a questão não deixou claro
  que
  esse era o ponto. A resposta deveria ser 50º.
 
  Já que o CN está em evidência, mais uma polêmica: sobre a questão das
  equações compatíveis, qual deve ser o gabarito, A ou E? O gabarito
 oficial
  é
  A.
 
  Aliás, o que são equações SEMPRE compatíveis? São aquelas que possuem ao
  menos uma solução em comum, como reza a teoria sobre sistemas, ou são as
  que
  possuem todas as soluções em comum?
 
 
 
  Um abraço à todos
 
  PC
 


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[Martins Rama]

Olá José Airton,
obrigado pela sua idéia, mas ainda penso diferente.

O fato de uma solução ser única não faz com que as equações deixem de ser
compatíveis. m só não pode ser um valor que torne o sistema impossível
(incompatível).

O que vemos é que para qualquer valor de m, as equações sempre
apresentarão PELO MENOS UMA solução comum, o que faz com que elas sejam
COMPATÍVEIS (penso ser esta a definição).

Por exemplo:

- para m=8/3 o sistema tem várias soluções (portanto, equações compatíveis)

- para m=-2 o sistema tem solução (0,4) (as equações continuam sendo
compatíveis).

- para m=0 o sistema tem solução (0,4) (as equações também são compatíveis).

- para qualquer m, o sistema tem solução (x,y) (e as equações também são
compatíveis)

Portanto:
m=8/3  = mais de uma solução (as equações são compatíveis)
m diferente de 8/3  =  soluções únicas (as equações também são compatíveis)
Não existe m que torne o sistema impossível.

Logo, para qualquer m, as equações são sempre compatíveis.

Qual o erro neste raciocínio? Ainda não consegui enxergar nenhum
contra-exemplo.

Será que essa questão pode ser anulada?

Abraço a todos,

Martins Rama.


 martins eu raciocinei assim: Para m diferente de 8/3 o sistema é
 determinado
 e a solução é única, ou seja (0,4). Para m = 8/3 o sistema é
 indeterminado,
 portanto várias soluções, (6,0),(1,10/3),(3,2).incluvive (0,4),
 pois
 quando x = 0 independe  de m. Então se (0,4) é solução tanto para
 determinado como para indeterminado, então as equações são sempre
 compatíveis para m = 8/3.
 Portanto um único valor.Letra A.
 Analise e veja se você concorda.


 Em 07/08/08, Martins Rama [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Corrigindo a digitação da questão:

 Sabendo-se que 2x + 3y = 12 e que mx + 4y = 16 são equações sempre
 compatíveis,com x e y reais, quantos são os valores de m que satisfazem
 essas condições?
 a) Um
 b) Dois
 c) Três
 d) Quatro
 e) Infinitos


 []'s

 Martins Rama.


  Olá senhores
 
  Claramente a intenção dos examinadores era que o candidato escolhesse
 para
  P
  um dos ex-incentros de ABC. O problema é que a questão não deixou
 claro
  que
  esse era o ponto. A resposta deveria ser 50º.
 
  Já que o CN está em evidência, mais uma polêmica: sobre a questão das
  equações compatíveis, qual deve ser o gabarito, A ou E? O gabarito
 oficial
  é
  A.
 
  Aliás, o que são equações SEMPRE compatíveis? São aquelas que possuem
 ao
  menos uma solução em comum, como reza a teoria sobre sistemas, ou são
 as
  que
  possuem todas as soluções em comum?
 
 
 
  Um abraço à todos
 
  PC
 


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[Martins Rama]

Pessoal,

Esta questão do Colegio Naval 2008 já foi postada anteriormente, mas
ninguém concluiu a respeito. Penso que ela deveria ser anulada, pois
encontrei contra-exemplos.

Alguém saberia resolvê-la?

O gabarito inicial divulgado hoje marca a letra c como resposta.

Abraço a todos,

Martins Rama

 QUESTÃO:
 Considere um triangulo acutangulo ABC, e um ponto P coplanar com ABC.
 Sabendo-se que P é equidistante das retas suportes de AB e BC e que o
 angulo BPC tem medida igual a 25º, pode-se afirmar que um dos angulos de
 ABC mede:
 a) 25º
 b) 45º
 c) 50º
 d) 65º
 e) 85º

=
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Re: [obm-l] Triângulo acutângulo do Colegio Naval 2008

[Rogerio Ponce]

Ola' Martins,
se o enunciado estiver correto, qualquer resposta serve.

Na verdade, para qualquer triangulo e' possivel obtermos um ponto com
as caracteristicas de P (equidistantes das retas suportes e coplanar
com ABC) , tal que o angulo BPC tenha QUALQUER angulo no intervalo
aberto entre 0 e 180 graus.

Ou seja, o valor de 25 graus nao determina coisa alguma.

[]'s
Rogerio Ponce.


PS: o exemplo abaixo serve para qualquer triangulo ABC.

Imagine que ABC seja um triangulo equilatero, por exemplo.
Tome um ponto P inicial sobre a intersecao da bissetriz de B com o lado AC.
Nesta situacao, em que ABC e' isosceles em B, o angulo BPC vale 90 graus.
A partir dai, 'a medida que P se afasta de B, o angulo BPC diminui
ate' o valor de zero, quando P estiver no infinito.
E voltando ao P inicial:  'a medida que P se aproxima de B, o angulo
BPC aumenta ate' o valor de 180 graus , no limite.

Ou seja, o angulo BPC pode ter qualquer valor, independentemente dos
angulos de ABC.
Portanto, nao determina nada a respeito do triangulo ABC.

--

2008/8/6 Martins Rama [EMAIL PROTECTED]:
 Pessoal,

 Esta questão do Colegio Naval 2008 já foi postada anteriormente, mas
 ninguém concluiu a respeito. Penso que ela deveria ser anulada, pois
 encontrei contra-exemplos.

 Alguém saberia resolvê-la?

 O gabarito inicial divulgado hoje marca a letra c como resposta.

 Abraço a todos,

 Martins Rama

 QUESTÃO:
 Considere um triangulo acutangulo ABC, e um ponto P coplanar com ABC.
 Sabendo-se que P é equidistante das retas suportes de AB e BC e que o
 angulo BPC tem medida igual a 25º, pode-se afirmar que um dos angulos de
 ABC mede:
 a) 25º
 b) 45º
 c) 50º
 d) 65º
 e) 85º

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[obm-l] triângulo

[Vandelei Nemitz]

Olá pessoal! Só consegui resolver o problema a seguir utilizando
trigonometria! Será que alguém conhece uma solução mais interessante, mais
geométrica?

Um triângulo ABC é tal que AB = AC. No lado AC, toma-se um ponto D tal que
AD = BC. Se o ângulo A mede 20 graus, calcule a medida do ângulo BDC.

Obrigado!

Vanderlei

[obm-l] RE: [obm-l] triângulo

[victorcarlos]

Oá  Vandelei ,

1) Esta questão é  interessante .Seja O  o circuncentro  do  triângulo ,
trace
 a mediatriz  partindo  de  A .Tome um ponto  F( interno  ao triangulo) da
 mediatriz , tal  que  o triângulo BFC  seja  equilátero(  o ponto  F está
 abaixo  de O) . Prolongue BO 
até  encontrar  o lado  AC  em S. Observe  agora  que  os  triângulos AOS
 e  BOF  são  congruentes  e  consequentemente  teremos  AS = BF = BC , onde
 o ponto  S  é o  seu  ponto  D. Logo  o  ângulo  BDC é igual  a 30 graus
.

Abraços 

Carlos  Victor

P.S : Solução  trigonométrica  é também uma  solução interessante , portanto
 se você  conseguiu uma  solução  trigonométrica , parabéns .




 ''-- Mensagem Original --
 ''Date: Tue, 22 Jul 2008 07:56:40 -0300
 ''From: Vandelei Nemitz [EMAIL PROTECTED]
 ''To: obm-l@mat.puc-rio.br
 ''Subject: [obm-l] triângulo
 ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 ''
 ''
 ''Olá pessoal! Só consegui resolver o problema a seguir utilizando
 ''trigonometria! Será que alguém conhece uma solução mais interessante,
mais
 ''geométrica?
 ''
 ''Um triângulo ABC é tal que AB = AC. No lado AC, toma-se um ponto D tal
que
 ''AD = BC. Se o ângulo A mede 20 graus, calcule a medida do ângulo BDC.
 ''
 ''Obrigado!
 ''
 ''Vanderlei




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] RE: [obm-l] triângulo

[Vandelei Nemitz]

Parabéns sou em quem precisa lhe dar! Muito elegante e simples a sua
saída! Eu utilizei várias relações trigonométricas para obter os mesmos 30
graus!

Muito obrigado,

Vanderlei

Em 22/07/08, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Oá  Vandelei ,

 1) Esta questão é  interessante .Seja O  o circuncentro  do  triângulo ,
 trace
   a mediatriz  partindo  de  A .Tome um ponto  F( interno  ao triangulo) da
   mediatriz , tal  que  o triângulo BFC  seja  equilátero(  o ponto  F está
   abaixo  de O) . Prolongue BO
 até  encontrar  o lado  AC  em S. Observe  agora  que  os  triângulos AOS
   e  BOF  são  congruentes  e  consequentemente  teremos  AS = BF = BC ,
 onde
   o ponto  S  é o  seu  ponto  D. Logo  o  ângulo  BDC é igual  a 30 graus
 .

 Abraços

 Carlos  Victor

 P.S : Solução  trigonométrica  é também uma  solução interessante ,
 portanto
   se você  conseguiu uma  solução  trigonométrica , parabéns .




   ''-- Mensagem Original --
   ''Date: Tue, 22 Jul 2008 07:56:40 -0300
   ''From: Vandelei Nemitz [EMAIL PROTECTED]
   ''To: obm-l@mat.puc-rio.br
   ''Subject: [obm-l] triângulo
   ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
   ''
   ''
   ''Olá pessoal! Só consegui resolver o problema a seguir utilizando

 ''trigonometria! Será que alguém conhece uma solução mais interessante,
 mais
   ''geométrica?
   ''
   ''Um triângulo ABC é tal que AB = AC. No lado AC, toma-se um ponto D tal
 que
   ''AD = BC. Se o ângulo A mede 20 graus, calcule a medida do ângulo BDC.
   ''
   ''Obrigado!
   ''
   ''Vanderlei





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 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo Isósceles

[barola]

Obrigada!

No entanto, estou cursando a 8ª série e ainda não havia aprendido a 
respeito.

Abraços.
  - Original Message - 
  From: Marcelo Salhab Brogliato 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, October 25, 2007 1:50 AM
  Subject: Re: [obm-l] Triângulo Isósceles


  Olá Barola,

  1o. modo) Lei dos cossenos: AC=AB=y ... entao: p^2 = y^2 + y^2 - 2y^2 cos(x) 
... p^2 = 2y^2 (1 - cos(x))
   assim: p = y * sqrt[ 2(1-cosx) ]

  2o. modo) trace a altura do triangulo... no triangulo retangulo utilize 
sen(x/2), obtendo: p = 2y*sen(x/2) 

  note que os metodos chegam na mesma equacao... pois: cos(x) = cos^2(x/2) - 
sen^2(x/2) = 1 - 2sen^2(x/2)
  entao: 1 - cos(x) = 2sen^2(x/2) ... substituindo na equacao obtida no 
primeiro modo, temos: p = y * sqrt[2*2*sen^2(x/2)] 
  portanto: p = 2y*sen(x/2)

  abraços,
  Salhab



  On 10/24/07, [EMAIL PROTECTED]  [EMAIL PROTECTED] wrote:
Prezados Colegas!

Gostaria de pedir-lhes:

Se existe um triângulo isósceles ABC, sendo AB=AC e Â=x e BC=p, existe 
alguma forma de calcular quanto medem AC=AB?

Desde já, agradeço.
Bárbara Nedel.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulo Isósceles

[Victor]

Eu sei que o problema já foi resolvido, mas acho que é bom destacar a 
simplicidades do cálculo pela Lei Dos Senos (ou Teorema como alguns preferem).
Pelos Senos, temos:
AC   =AC   = P  = P 
sen(90-x/2)   cos(x/2) sen(x)  2sen(x/2)cos(x/2)

Simplificando sobra AC =   P 
 2sen(x/2) 

Abraço
  - Original Message - 
  From: [EMAIL PROTECTED] 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, October 25, 2007 12:34 PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulo Isósceles


  Obrigada!

  No entanto, estou cursando a 8ª série e ainda não havia aprendido a 
respeito.
  
  Abraços.
- Original Message - 
From: Marcelo Salhab Brogliato 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Thursday, October 25, 2007 1:50 AM
Subject: Re: [obm-l] Triângulo Isósceles


Olá Barola,

1o. modo) Lei dos cossenos: AC=AB=y ... entao: p^2 = y^2 + y^2 - 2y^2 
cos(x) ... p^2 = 2y^2 (1 - cos(x))
 assim: p = y * sqrt[ 2(1-cosx) ]

2o. modo) trace a altura do triangulo... no triangulo retangulo utilize 
sen(x/2), obtendo: p = 2y*sen(x/2) 

note que os metodos chegam na mesma equacao... pois: cos(x) = cos^2(x/2) - 
sen^2(x/2) = 1 - 2sen^2(x/2)
entao: 1 - cos(x) = 2sen^2(x/2) ... substituindo na equacao obtida no 
primeiro modo, temos: p = y * sqrt[2*2*sen^2(x/2)] 
portanto: p = 2y*sen(x/2)

abraços,
Salhab



On 10/24/07, [EMAIL PROTECTED]  [EMAIL PROTECTED] wrote: 
  Prezados Colegas!

  Gostaria de pedir-lhes:

  Se existe um triângulo isósceles ABC, sendo AB=AC e Â=x e BC=p, 
existe alguma forma de calcular quanto medem AC=AB?

  Desde já, agradeço.
  Bárbara Nedel.

[obm-l] Triângulo Isósceles

[barola]

Prezados Colegas!

Gostaria de pedir-lhes:

Se existe um triângulo isósceles ABC, sendo AB=AC e Â=x e BC=p, existe 
alguma forma de calcular quanto medem AC=AB?

Desde já, agradeço.
Bárbara Nedel.

Re: [obm-l] Triângulo Isósceles

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Barola,

1o. modo) Lei dos cossenos: AC=AB=y ... entao: p^2 = y^2 + y^2 - 2y^2 cos(x)
... p^2 = 2y^2 (1 - cos(x))
 assim: p = y * sqrt[ 2(1-cosx) ]

2o. modo) trace a altura do triangulo... no triangulo retangulo utilize
sen(x/2), obtendo: p = 2y*sen(x/2)

note que os metodos chegam na mesma equacao... pois: cos(x) = cos^2(x/2) -
sen^2(x/2) = 1 - 2sen^2(x/2)
entao: 1 - cos(x) = 2sen^2(x/2) ... substituindo na equacao obtida no
primeiro modo, temos: p = y * sqrt[2*2*sen^2(x/2)]
portanto: p = 2y*sen(x/2)

abraços,
Salhab


On 10/24/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote:

  Prezados Colegas!

 Gostaria de pedir-lhes:

 Se existe um triângulo isósceles ABC, sendo AB=AC e Â=x e BC=p, existe
 alguma forma de calcular quanto medem AC=AB?

 Desde já, agradeço.
 Bárbara Nedel.

Re: [obm-l] TRIÂNGULO

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Arkon,

veja que:
(senB)^2/(senC)^2 = tgB/tgC = (senBcosC)/(cosBsenC)

senB/senC = cosC/cosB
senBcosB = senCcosC
2senBcosB = 2senCcosC
sen(2B) = sen(2C)

entao:
2B = 2C + 2kpi
ou
2B = pi - 2C + 2kpi

mas:
0  B  pi
0  C  pi

portanto:
B = C + kpi
ou
B = pi/2 - C + kpi

analisando cada uma das possibilidades, temos:
se B = C + kpi, temos B = C pois B = C + pi  pi (absurdo!)
se B = pi/2 - C + kpi, temos: B + C = pi/2, pois B + C = 3pi/2
(absurdo, pois A+B+C=pi)
assim, o triangulo pode ser isosceles ou retangulo!

letra C

abraços,
Salhab




On 9/17/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote:



 Olá pessoal alguém pode, por favor, responder esta:

 (UFPB-78) Se os ângulos internos de um triângulo ABC verificam a relação

 sen2 B/sen2 C = tg B/tg C, então poderemos concluir que este triângulo é:



 a) retângulo.b) isósceles.   c) retângulo ou
 isósceles.

 d) eqüilátero.   e) diferente dos anteriores.



 DESDE JÁ MUITO OBRIGADO

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RE: [obm-l] TRIÂNGULO

[Anselmo Alves de Sousa]

Podemos desenvolver a expressão:
 
sen^2(A).tg(B) - tg(A).sen^2(B)=0
 
que é o mesmo que
 
sen(A).sen(B)[sen(A)/cos(B) - sen(B)/cos(A)]=0
 
teremos:
 
i) sen(A).sen(B) = 0
 
ou
 
ii) [sen(A)/cos(B) - sen(B)/cos(A)]=0donde
 
em i) concluímos que A diferente de B diferente de 0 + k.pi;
 
em ii) concluímos que A diferente de B diferente de pi/2 + k.piii) pode ser 
reescrito assim: [sen(A).cos(B) - sen(B).cos(A)]=0 - sen(A-B)/cos(A).cos(B)=0
 
logo sen (A-B) = 0
 
que nos dá 
 
A-B = 0 + k. pi
 
como trata-se de um triângulo A-B = 0.
 
Logo A=B e trata-se de  um triângulo isósceles.


Date: Mon, 17 Sep 2007 13:01:34 -0300Subject: [obm-l] TRIÂNGULOFrom: [EMAIL 
PROTECTED]: obm-l@mat.puc-rio.br


Olá pessoal alguém pode, por favor, responder esta:
(UFPB-78) Se os ângulos internos de um triângulo ABC verificam a relação 
sen2 B/sen2 C = tg B/tg C, então poderemos concluir que este triângulo é:
 
a) retângulo.b) isósceles.   c) retângulo ou isósceles. 
 
d) eqüilátero.   e) diferente dos anteriores.
 
DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
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[obm-l] TRIÂNGULO

[arkon]

Olá pessoal alguém pode, por favor, responder esta:
(UFPB-78) Se os ângulos internos de um triângulo ABC verificam a relação
sen2 B/sen2 C = tg B/tg C, então poderemos concluir que este triângulo é:

a) retângulo.b) isósceles.   c) retângulo ou isósceles.
d) eqüilátero.   e) diferente dos anteriores.

DESDE JÁ MUITO OBRIGADO

[obm-l] Triângulo Órtico

[João Gabriel Preturlan]

Tenho quebrado minha cabeça nesse exercício a quase duas semanas e não chego na 
demonstração completa nunca.
(Pensei em usar vários recursos como o teorema de Ceva, calcular a área por 
várias maneiras diferentes, mas não chego na solução)

Ele diz o seguinte:

Prove que: 

(LMN) = 4 . (ABC)^3 . (a^2 + b^2 + c^2) / 9 . a^2 . b^2 . c^2

Sendo:
- LMN o triângulo órtico do triângulo ABC.
- As alturas se encontrem no ponto H.
- Seja HL, HM e HN inraios.

Obs.: Estou usando (LMN) e (ABC) como notações de área dos respectivos 
triângulos.
Estou considerando a, b e c como lados opostos aos seus respectivos vértices 
(A, B e C)

Desde já agradeço quem puder me dar uma mão.
Abraços.
João Preturlan.

[obm-l] Re:[obm-l] Triângulo Órtico

[claudio\.buffara]

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Fri, 1 Dec 2006 18:36:49 -0200
Assunto: [obm-l] Triângulo Órtico

 Tenho quebrado minha cabeça nesse exercício a quase duas semanas e não chego 
 na demonstração completa nunca.
 (Pensei em usar vários recursos como o teorema de Ceva, calcular a área por 
 várias maneiras diferentes, mas não chego na solução)
 
 Ele diz o seguinte:
 
 Prove que: 
 
 (LMN) = 4 . (ABC)^3 . (a^2 + b^2 + c^2) / 9 . a^2 . b^2 . c^2
 
 Sendo:
 - LMN o triângulo órtico do triângulo ABC.
 - As alturas se encontrem no ponto H.
 - Seja HL, HM e HN inraios.
 
 Obs.: Estou usando (LMN) e (ABC) como notações de área dos respectivos 
 triângulos.
 Estou considerando a, b e c como lados opostos aos seus respectivos vértices 
 (A, B e C)
 

L, M e N sao os pes das alturas de ABC, as quais se encontram em H.
HL, HM e HN tambem sao inraios de ABC == H eh incentro de ABC.
Ou seja, as alturas de ABC sao tambem bissetrizes internas.
Logo, ABC eh equilatero == a = b = c   e  (LMN) = (ABC)/4

(ABC) = a^2*raiz(3)/4 == (LMN) = a^2*raiz(3)/16

(ABC)^3 = 3*a^6*raiz(3)/64
(a^2+b^2+c^2)/(9a^2b^2c^2) = 3a^2/(9a^6) = 1/(3a^4) ==
4*(ABC)^3*(a^2+b^2+c^2)/(9a^2b^2c^2) = 
4*(3*a^6*raiz(3)/64)*1/(3a^4) =
a^2*raiz(3)/16 = (LMN)

Esquisito esse problema...

[]s,
Claudio.



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Triângulo Órtico

[João Gabriel Preturlan]

Se eu não me engano é da olimpiada peruana...

mas acontece q em demostrações parecidas com essa eu cheguei, mas nesse 
número cabeludo, não...
- Original Message - 
From: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, December 02, 2006 1:39 AM
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Triângulo Órtico


-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Fri, 1 Dec 2006 18:36:49 -0200
Assunto: [obm-l] Triângulo Órtico

Tenho quebrado minha cabeça nesse exercício a quase duas semanas e não 
chego na demonstração completa nunca.
(Pensei em usar vários recursos como o teorema de Ceva, calcular a área 
por várias maneiras diferentes, mas não chego na solução)


Ele diz o seguinte:

Prove que:

(LMN) = 4 . (ABC)^3 . (a^2 + b^2 + c^2) / 9 . a^2 . b^2 . c^2

Sendo:
- LMN o triângulo órtico do triângulo ABC.
- As alturas se encontrem no ponto H.
- Seja HL, HM e HN inraios.

Obs.: Estou usando (LMN) e (ABC) como notações de área dos respectivos 
triângulos.
Estou considerando a, b e c como lados opostos aos seus respectivos 
vértices (A, B e C)




L, M e N sao os pes das alturas de ABC, as quais se encontram em H.
HL, HM e HN tambem sao inraios de ABC == H eh incentro de ABC.
Ou seja, as alturas de ABC sao tambem bissetrizes internas.
Logo, ABC eh equilatero == a = b = c   e  (LMN) = (ABC)/4

(ABC) = a^2*raiz(3)/4 == (LMN) = a^2*raiz(3)/16

(ABC)^3 = 3*a^6*raiz(3)/64
(a^2+b^2+c^2)/(9a^2b^2c^2) = 3a^2/(9a^6) = 1/(3a^4) ==
4*(ABC)^3*(a^2+b^2+c^2)/(9a^2b^2c^2) =
4*(3*a^6*raiz(3)/64)*1/(3a^4) =
a^2*raiz(3)/16 = (LMN)

Esquisito esse problema...

[]s,
Claudio.



=
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06:36



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=

[obm-l] Triângulo

[Jorge Paulino]

Considere um triângulo de lados a, b e c. Considere
também a reta paralela ao lado a, passando pelo
incentro do triângulo. Essa reta intercepta os lados b
e c nos pontos P e Q. Qual a relação do segmento PQ
com os lados a, b e c do triângulo???


__
Fale com seus amigos  de graça com o novo Yahoo! Messenger 
http://br.messenger.yahoo.com/ 
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Triângulo

[Jorge Paulino]

Sejam a, b e c os lados de um triângulo.
Considere a reta que passa pelo seu incentro e é
paralela ao lado de medida a. Essa reta intercepta os
lados b e c nos pontos P e Q, respectivamente. Qual a
relação do segmento PQ com os lados a, b e c do triângulo?

__
Fale com seus amigos  de graça com o novo Yahoo! Messenger 
http://br.messenger.yahoo.com/ 
=
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=

Re: [obm-l] triângulo de área máxima!

[Fernando Lukas Miglorancia]

A área do triângulo será igual a seu semi-perímetro multiplicado pelo raio da circunferência incrita nele.Será que dá prá provar que ele é máximo quando o tri^^angulo for equilátero?
Em 13/05/06, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
 escreveu:


Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro constante, ele terá área máxima quando for equilátero?

[obm-l] RES: [obm-l] triângulo de área máxi ma!

[Artur Costa Steiner]

 Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro
 constante, ele terá área máxima quando for equilátero?

Vc pode considerar que a area S eh dada por S = raiz(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)),
sendo a, b e c os lados do triangulo e p o semiperimetro. Maximizar S
equivale a maximizar S^2 = p*(p-a)*(p-b)*(p-c), que equivale a mazimizar
(p-a)*(p-b)*(p-c) , dado que a + p + c = 2p e a, b, c =0. A simetria do
problema acarreta que a = b = c = 3p/2, de modo que a, b, c 0, sendo assim
lados de um triangulo equilatero. Eh facil ver que este eh o ponto de
maximo, pois o de area minima eh um segmento de reta de comprimento p, um
triangulo degenerado, cuja area eh nula.

Outro problrma interessante eh determinar o triangulo de menor perimetro
dentre todos de mesma area.

Artur


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] triângulo de área máxima!

[Nicolau C. Saldanha]

On Sat, May 13, 2006 at 03:33:30PM +, [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro
 constante, ele terá área máxima quando for equilátero?

Primeiro verifique que dentre os triângulos com base dada (a)
e soma dos dois outros lados também dada (b+c=2p-a),
o isósceles (b=c) tem altura (em relação ao lado a) e portanto área
estritamente maior do que qualquer outro.
Você pode ver isso observando que, fixando os vértices B e C,
o LG para o vértice A é uma elipse de focos B e C e o ponto
mais distante do eixo maior da elipse é a posição desejada de A.

Depois faça o mesmo tipo de raciocínio rodando A, B, C.
A cada passo, se o triângulo não for equilátero,
você pode fazer a área ficar maior sem alterar o perímetro.
Esta seqüência de triângulos tende para o triângulo equilátero.

[]s, N.
=
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=

[obm-l] Re: [obm-l] triângulo de área máxima!

[claudio\.buffara]

Ou entao, voce pode usar a formula de Heron, juntamente com MG = MA.

Sejam a, b, c os lados e p o semi-perimetro do triangulo.
a  b + c == 2a  a + b + c = 2p == a  p == p-a  0
Analogamente, p-b 0 e p-c  0.
Como p eh constante, maximizar A eh equivalente a maximizar (A^2/p)^(1/3).
Heron == A^2/p = (p-a)(p-b)(p-c)
MG = MA == 
(A^2/p)^(1/3) = ((p-a)(p-b)(p-c))^(1/3) = ((p-a)+(p-b)+(p-c))/3 = p/3 ==
A = p^2/(3*raiz(3)), com igualdade sss p-a = p-b = p-c sss a = b = c

[]s,
Claudio.

- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Sun, 14 May 2006 06:00:44 -0300
Assunto: Re: [obm-l] triângulo de área máxima!

 On Sat, May 13, 2006 at 03:33:30PM +, [EMAIL PROTECTED] wrote:
  Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro
  constante, ele terá área máxima quando for equilátero?
 
 Primeiro verifique que dentre os triângulos com base dada (a)
 e soma dos dois outros lados também dada (b+c=2p-a),
 o isósceles (b=c) tem altura (em relação ao lado a) e portanto área
 estritamente maior do que qualquer outro.
 Você pode ver isso observando que, fixando os vértices B e C,
 o LG para o vértice A é uma elipse de focos B e C e o ponto
 mais distante do eixo maior da elipse é a posição desejada de A.
 
 Depois faça o mesmo tipo de raciocínio rodando A, B, C.
 A cada passo, se o triângulo não for equilátero,
 você pode fazer a área ficar maior sem alterar o perímetro.
 Esta seqüência de triângulos tende para o triângulo equilátero.
 
 []s, N.



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[obm-l] triângulo de área máxima!

[vandermath]

Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro constante, ele terá área máxima quando for equilátero?

Re: [obm-l] triângulo de área máxima!

[Denisson]

Escreve a função da área e deriva. Onde a derivada for nula será o máximo.On 5/13/06, [EMAIL PROTECTED]
 [EMAIL PROTECTED] wrote:
Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro constante, ele terá área máxima quando for equilátero?

-- DenissonVocê nasce sem pedir mas morre sem querer.Aproveite esse intervalo!

[obm-l] Re: [obm-l] triângulo de área máxima !

[vandermath]

Tudo bem Denisson, mas como fazer isso? Na prática é um pouco complicado.
Obrigado!- Mensagem Original -De: Denisson <[EMAIL PROTECTED]>Data: Sábado, Maio 13, 2006 6:02 pmAssunto: Re: [obm-l] triângulo de área máxima!Para: obm-l@mat.puc-rio.br Escreve a função da área e deriva. Onde a derivada for nula será  o máximo.  On 5/13/06, [EMAIL PROTECTED]  <[EMAIL PROTECTED]>wrote:   Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com  perímetro constante, ele terá área máxima quando for equilátero? --  Denisson "Você nasce sem pedir mas morre sem querer. Aproveite esse intervalo!" 

Re: [obm-l] Re: [obm-l] triângulo de área máxima!

[Alexandre Afonso]

escreva funcao da area do triangulo

por exemplo...
BxH/2
ou heron.. ou qualquer uma delas...
entao deriva..
iguala a derivada a 0
e vc vai obter o max e o min
eh a aplicacao mais pratica da derivada

abraço

[obm-l] Re: [obm-l] triângulo de área máxima!

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,
bom, o problema eh q sao varias variaveis e ainda temos restricao no dominio...
entao, o correto seria utilizar multiplicadores de lagrange, e sai rapidinho mesmo!!!
eh quase q imediato que eh o triangulo equilatero...
porem, eh uma solucao universitaria neh?

agora uma saida apenas por geometria seria assim:
fixe um segmento, digamos "a", entao,a area é a*h/2...
como o perimetro eh constante, a soma dos outros 2 lados tem q ser constante..
entao os extremos do segmento "a" podem ser encarados como os focos de uma elipse..
deste modo, a maxima altura eh obtida qdo estamos na parte superior da elipse, e o triangulo eh isosceles.

utilizando isto vc mostra que o triangulo eh equilatero
dps eu termino, vou ter q sair agora.

abraços,
Salhab


 Escreve a função da área e deriva. Onde a derivada for nula será o máximo. 
 
 On 5/13/06, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>wrote: 
  
  Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro 
  constante, ele terá área máxima quando for equilátero? 
  
 
 
 
 -- 
 Denisson 
 "Você nasce sem pedir mas morre sem querer. 
 Aproveite esse intervalo!" 
 

[obm-l] Triângulo + 3 circunferências - Interseção

[Dymitri Cardoso Leão]

Não sei fazer isto não. Se alguém puder resolver, agradeço!

1- Dado um triângulo XYZ e sendo X1,Y1 e Z1 pontos arbitrários sobre os 
lados YZ,XZ e XY, respectivamente, prove que as três circunferências XY1Z1, 
YX1Z1 e ZX1Y1 têm um ponto em comum.

_
Atenciosamente, Dymitri Cardoso Leão.

_
Facilite sua vida: Use o Windows Desktop Search e encontre qualquer arquivo 
ou e-mail em seu PC. Acesse:  http://desktop.msn.com.br


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[obm-l] Triângulo

[Renan Machado]

alguém sabe como resolver?

Seja P um ponto interior a um triângulo de lados a, b e c, pelo qual se traçam 
paralelas aos lados do triângulo. Se os segmentos das paralelas compreendidos 
entre os lados do triângulo têm a mesma medida, qual é o valor dessa medida?

desde já agradeço qualquer sugestão!
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[obm-l] Triângulo Isósceles

[Claudio Buffara]

Alguem tem uma solucao puramente geometrica (ou seja, no estilo grego: sem
trigonometria nem vetores nem complexos nem coordenadas) pro problema
abaixo, proposto pelo Rafael (matduvidas) ha algum tempo?

Dado o triângulo ABC, com |AB| = |AC| e com BAC = 20 graus, traça-se a
ceviana BX (X entre A e C), tal que |AX| = |BC|. Determine o ângulo BXC.

[]s,
Claudio.

attachment: a.gif

[obm-l] Re:[obm-l] Triângulo Isósceles

[Jozias Del Rios (ToniK)]

Sim, é uma construção clássica, uma vez me disseram que esse
problema tem o nome de triangulo maldito, nao sei se eh
verdade... mas vejamos:

Trace a ceviana CY (Y entre A e B) tal que BCY = 50 graus,
entao o triangulo BCY eh isoceles em B e BY=BC.
Trace a ceviana BP (P entre A e C) tal que CBP = 20 graus,
entao o triangulo BCP eh isoceles em B e BP=BC.
Se ligarmos os pontos P a Y, o triangulo BPY eh isoceles pois
BP=BY=BC e ainda o angulo PBY eh de 60 graus, portanto BPY
alem de isoceles eh equilatero, e portanto PY=BC.
Seja Z um ponto entre  A e C tal que AYZ = 20 graus, entao
YZP = ZPY = 40 graus e o triangulo ZPY eh isoceles em Y, e
portanto ZY=PY=BC.
Mas olhando o triangulo AZY notamos que ZAY = AYZ = 20 graus,
e portanto tambem eh isoceles (em Z) e portanto ZY=AZ. Por
fim, AZ=BC, e o nosso ponto Z eh, na verdade, o ponto X do
enunciado do problema.
Ligando o ponto X (velho Z) até B, o triangulo BYX eh isoceles
(em Y) pois XY=BY, e XYB = 160 graus, e entao YXB = 10 graus.
Como YXP = 40 graus, BXC = YXP - YXB = 40 - 10 = 30 graus.

Segue em anexo uma figura para ajudar.

[]´s

-- Início da mensagem original ---

  De: [EMAIL PROTECTED]
Para: quot;Lista OBMquot; [EMAIL PROTECTED],quot;
Lista Xquot; [EMAIL PROTECTED]
  Cc:
Data: Wed, 17 Nov 2004 15:12:13 -0200
 Assunto: [obm-l] Triângulo Isósceles

 Alguem tem uma solucao puramente geometrica (ou seja, no
estilo grego: sem
 trigonometria nem vetores nem complexos nem coordenadas) pro
problema
 abaixo, proposto pelo Rafael (matduvidas) ha algum tempo?

 Dado o triângulo ABC, com |AB| = |AC| e com BAC = 20 graus,
traça-se a
 ceviana BX (X entre A e C), tal que |AX| = |BC|. Determine o
ângulo BXC.

 []s,
 Claudio.

 
 
__
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attachment: triaxbc.GIF

Re: [obm-l] Re:[obm-l] Triângulo Isósceles

[Claudio Buffara]

Maravilha! Muito obrigado.

[]s,
Claudio.

on 17.11.04 16:27, Jozias Del Rios (ToniK) at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Sim, é uma construção clássica, uma vez me disseram que esse
 problema tem o nome de triangulo maldito, nao sei se eh
 verdade... mas vejamos:

 


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[obm-l] triângulo isósceles

[Rafael]

Pessoal, tenho uma de geometria que eu quero resolver
por plana. Eu estava tentando trigonometria, lei dos
senos, mas não consegui ir além de achar que o ângulo
pedido é arctan de (sen 20°).(sen 80°)/(sen 20° + (sen
80°).(cos 20°))

O exercicio é: dado o triângulo ABC isósceles em A,
com BAC = 20°, traça-se a ceviana CX, tal que AX = BC.
Determine o ângulo BXC.

Abraços,

Rafael.





___ 
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=

[obm-l] triângulo isósceles

[Rafael]

Pessoal, tenho uma de geometria que eu quero resolver
por geometria plana. Eu estava tentando trigonometria,
lei dos senos, mas não consegui ir além de achar que o
ângulo pedido é arco tangente de (sen 20°).(sen
80°)/(sen 20° + (sen 80°).(cos 20°)).

O exercicio é: dado o triângulo ABC isósceles de base
BC, com BAC = 20°, traça-se a ceviana BX, tal que AX =
BC.
Determine o ângulo BXC.

Abraços,

Rafael.





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[obm-l] Triângulo - problema

[Maurizio]

Tem-se um triângulo ABC retãngulo em A. A partir de A traçam-se dois 
segmentos de reta que dividem a hipotenusa em três partes iguais e que 
medem 7 e 9. Qual o valor da hipotenusa?
=
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[obm-l] RE: [obm-l] Triângulo - problema

[Daniel Regufe]

Traçemos uma mediana a partir do ponto A.
Mediana q sai de um angulo de 90° parte o lado oposto em lados iguais a 
propria mediana.
Logo teremos um triangulo de lados 7 , 9 e a/3 e media na a.
a = hipotenusa
Por Stewart temos:
9²/(a²/18) + 7²/(a²/18) - a²/(a²/36) = 1
a² = (81 + 49)18/37
a = (2340/37)^1/2

[]`s
Regufe

From: Maurizio [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Triângulo - problema
Date: Thu, 08 Jul 2004 07:43:21 -0300
Tem-se um triângulo ABC retãngulo em A. A partir de A traçam-se dois 
segmentos de reta que dividem a hipotenusa em três partes iguais e que 
medem 7 e 9. Qual o valor da hipotenusa?
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[obm-l] Re: [obm-l] Triângulo - problema

[Rafael]

Sejam x a medida das partes iguais, P a intersecção do segmento de medida 7
com a hipotenusa, Q a intersecção do segmento de medida 9 com a hipotenusa,
y e z as medidas dos catetos, temos:

Pela lei dos cossenos em ABQ e AQP: z^2 + 7^2 = 2*x^2 + 2*9^2
Por Pitágoras em ABC: y^2 + z^2 = (3x)^2
Por Stewart em AQC: x*9^2 + x*y^2 = 2x(7^2 + x^2)

Subtraindo a segunda relação da primeira, obtemos: y^2 = 7x^2 - 113.

Simplificando a última e substituindo:
81 + 7x^2 - 113 = 98 + 2x^2 == 5x^2 = 130 == x = sqrt(26).

Logo, a hipotenusa mede 3sqrt(26).


[]s,

Rafael



- Original Message -
From: Maurizio [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, July 08, 2004 7:43 AM
Subject: [obm-l] Triângulo - problema


Tem-se um triângulo ABC retãngulo em A. A partir de A traçam-se dois
segmentos de reta que dividem a hipotenusa em três partes iguais e que
medem 7 e 9. Qual o valor da hipotenusa?

=
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[obm-l] RE: [obm-l] Triângulo

[Daniel Regufe]

Vemos q o angulo BDE = 50°
logo BD = BC  (1)
Agora traçamos uma reta BF com F pertencendo a AC de modo q o angulo CBF = 
20°
Vemos q BFC = 80° = BCFlogo BF = BC  (2)
Agora traçamos FD ...
De (1) e (2) temos q BF = BD .. logo BDF = BFD = 60° (triangulo equilatero)
FDE + 10° + BED + 70° = 180°
FDE + BED = 100° (!)
BEC =40° = EBF .. logo EF = BF
por (1) temos q EF = BD = DF
logo FDE = BED + 40° (!!)

De (!) e (!!) temos:
BED = 30°
Se nao viu alguma passagem me fale!
Abraços
Daniel Regufe
From: Renato de Brito Brito Gomes [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Triângulo
Date: Tue, 06 Jul 2004 03:26:17 +
Gostaria da ajuda dos colegas na questão.
Seja um triangulo ABC, com D pertencente ao lado AB e E pertencente ao lado 
AC. Determine o angulo BED, sabendo que AB=AC, A=20º, CBE=60º e BCD=50º.

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[obm-l] Triângulo

[Renato de Brito Brito Gomes]

Gostaria da ajuda dos colegas na questão.
Seja um triangulo ABC, com D pertencente ao lado AB e E pertencente ao lado 
AC. Determine o angulo BED, sabendo que AB=AC, A=20º, CBE=60º e BCD=50º.

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[obm-l] triângulo

[Rafael]

Num triângulo ABC, o lado BC = 6m, a bissetriz interna
AD é a média proporcional entre os segmentos DB e DC,
e a mediana AM é média proporcional entre os lados AB
e AC. Calcule os dois lados incógnitos do triângulo
ABC.
Resposta: 2,12m e 6,36m

Abraços,

Rafael.

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Re: [obm-l] triângulo

[Fábio Dias Moreira]

-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1

Em Saturday 26 July 2003 11:53, Rafael escreveu:
 Num triângulo ABC, o lado BC = 6m, a bissetriz interna
 AD é a média proporcional entre os segmentos DB e DC,
 e a mediana AM é média proporcional entre os lados AB
 e AC. Calcule os dois lados incógnitos do triângulo
 ABC.
 [...]

Sejam a=6, b, c os lados do triângulo. Sejam x e y os comprimentos de AD e AM, 
respectivamente. Por bissetrizes internas, DB = ab/(b+c); DC = ac/(b+c). Por 
Stewart em AD,

acb^2/(b+c) + abc^2/(b+c) = a(x^2+bca^2/(b+c)^2)
x^2 = bc((b+c)^2-a^2)/(b+c)^2.

Mas pelo enunciado x^2 = DB*DC = bca^2/(b+c)^2. Logo

bca^2/(b+c)^2 = bc((b+c)^2-a^2)/(b+c)^2
(b+c)^2 = 2a^2.

Por outro lado, por Stewart em AM,

ab^2/2 + ac^2/2 = a(y^2 + a^2/4)

2b^2 + 2c^2 = 4y^2 + a^2.

Mas y^2 = bc. Logo

(b-c)^2 = a^2/2.

[]s,

- -- 
Fábio ctg \pi Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.2 (GNU/Linux)

iD8DBQE/Iri5alOQFrvzGQoRAlZyAJ448ZjgAS7N+MD2UU7QS+Qbmje49ACfdYl6
vi1SCV+JG5JpyAz0QUMiv3E=
=W3oE
-END PGP SIGNATURE-

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[obm-l] triângulo

[Rafael]

Em um triângulo ABC, BC = 16 e a altura que parte do
vértice A é 8, calcule a razão AB/AC sabendo que ela é
máxima.
a)2b)3c)3/2d)4/3

Tentei usar a área do triângulo em função do seno do
ângulo A e a lei dos cossenos com o ângulo A também,
mas cheguei numa resposta 1 + sqrt(2). Se alguém tiver
outra idéia...

Abraços,

Rafael.

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Re: [obm-l] triângulo

[A. C. Morgado]

Sua resposta estah correta. Nao ha opçao correta.

Rafael wrote:

Em um triângulo ABC, BC = 16 e a altura que parte do
vértice A é 8, calcule a razão AB/AC sabendo que ela é
máxima.
a)2b)3c)3/2d)4/3
Tentei usar a área do triângulo em função do seno do
ângulo A e a lei dos cossenos com o ângulo A também,
mas cheguei numa resposta 1 + sqrt(2). Se alguém tiver
outra idéia...
Abraços,

Rafael.

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[obm-l] triângulo

[Rafael]

Oi Pessoal!

Tenho uma que não estou conseguindo:

 Num triângulo ABC, um dos ângulos que a mediana
 AM = m(a) forma com o lado BC é igual ao ângulo que
 esta mesma mediana forma com a bissetriz do ângulo
 A. Demonstrar:
 i. a²= 4bc   ii. m(a) = raiz(2).(c - b)/2

Escrevi algumas semelhanças, lei do seno, lei da
bissetriz interna, mas ainda não consegui nenhum
resultado. Se alguém puder me dar uma dica...

Abraços,

Rafael.


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FW: [obm-l] triângulo

[Claudio Buffara]

Oi, Rafael:

 Num triângulo ABC, um dos ângulos que a mediana
 AM = m(a) forma com o lado BC é igual ao ângulo que
 esta mesma mediana forma com a bissetriz do ângulo
 A. Demonstrar:
 i. a²= 4bc   ii. m(a) = raiz(2).(c - b)/2

 Escrevi algumas semelhanças, lei do seno, lei da
 bissetriz interna, mas ainda não consegui nenhum
 resultado. Se alguém puder me dar uma dica...

ABC nao pode ser isosceles, pois nesse caso teriamos AM perpendicular a BC e
coincidente com a bissetriz de A. Assim, suponhamos que AB  AC == c  b.
Seja P = ponto de interseção da bissetriz interna de BAC com o lado BC.

AM eh mediana ==
BM = MC = a/2

AP eh bissetriz interna ==
CP/BP = AC/AB ==
CP/BP = b/c
Como BP + PC = BC = a, teremos:
CP = a*b/(b+c);  BP = a*c/(b+c)

PAM = PMA ==
Triângulo APM é isósceles ==
AP = PM

Levando em conta que BP + PM = BM = a/2, teremos:
a*c/(b+c) + PM = a/2 ==
PM = a*(b-c)/[2*(b+c)] = AP


Agora vamos aplicar o teorema de Stewart:

Primeiro em relacao a bissetriz AP:
BC*(AP^2 + BP*PC) = AC^2*BP + AB^2*PC ==

a*(a^2*(b-c)^2/[4*(b+c)^2] + a^2*b*c/(b+c)^2) =
= b^2*a*c/(b+c) + c^2*a*b/(b+c) ==

(simplificando tudo)
a^2 = 4*b*c

Em seguida, em relacao a mediana AM:
BC*(AM^2 + BM*MC) = AC^2*BM + AB^2*MC ==

a*(m^2 + (a/2)*(a/2)) = b^2*a/2 + c^2*a/2  ==

m^2 + a^2/4 = (b^2 + c^2)/2 ==

m^2 = (2*b^2 + 2*c^2 - a^2)/4 ==

(levando em conta que a^2 = 4*b*c)
m^2 = (2*b^2 + 2*c^2 - 4*b*c)/4 ==

m^2 = (b - c)^2/2 ==

m = (b - c)/raiz(2)


Um abraco,
Claudio.








=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

[obm-l] triângulo

[Faelccmm]

Olá pessoal,

Veja esta questão:

(MAUÁ-SP)

No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo.

resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2

Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar 
o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado?

Re: [obm-l] triângulo

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

[EMAIL PROTECTED] wrote:

Olá pessoal, Veja esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 
Deixa eu ver...ce tem tudo no triangulo!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o seno de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa de um angulo que e 180 menos todos os outros.Cabou!!!"!!
Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar  o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado? Busca Yahoo! 
O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.

Re: [obm-l] triângulo

[Leahpar Xarm]

Caro colega esta questão quer ver se vc conhece descaradamente uma forma de achar a área de um triângulo por (1/2)*a*b*senApha onde a e b são os lados do triângulo adjacentes ao ângulo apha dado. Temos:
[(1/2)AC*BC]*sen(beta)=[7*8*(sqrt3)]/2
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá pessoal, Veja esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar  o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado? Busca Yahoo! 
O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.

Re: [obm-l] triângulo

[A. C. Morgado]

Epa! O angulo dado nao eh C e sim B.

Leahpar Xarm wrote:

  Caro colega esta questo quer ver se vc conhece descaradamente uma forma
de achar a rea de um tringulo por (1/2)*a*b*senApha onde a e b so os lados
do tringulo adjacentes ao ngulo apha dado. Temos: 
  [(1/2)AC*BC]*sen(beta)=[7*8*(sqrt3)]/2 
  [EMAIL PROTECTED] wrote: 
  Ol pessoal, 

Veja esta questo: 

(MAU-SP) 

No tringulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60. Determine a rea
do tringulo. 

resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 

Obs: O tringulo citado  um tringulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei
da rea [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas no  dado o valor de BA. Sendo assim
eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60 =BA/sen
C da aparece outra incgnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a
lei dos cossenos para achar  
o cos C, pois  dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela
relaao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas no d para aplicar a lei
dos cossenos, pois no  dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso.
Ser que no est faltando nem um dado? 
  
  
  Busca Yahoo! 
 O servio de busca mais completo da Internet. O que voc pensar o Yahoo!
encontra. 

[obm-l] RES: [obm-l] triângulo

[Eduardo]

Olá,

Bem, 
primeiramente você pode aplicar o teorema dos co-senos a fim de descobrir o lado 
não informado, ou seja, o lado AB, vai cair numa equação do segundo grau de 
raízes 5 ou 3. Agora use 1/2absenB com os dois valores encontrados 
anteriormente.

Espero 
ter ajudado.

Edu

  -Mensagem original-De: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Johann Peter 
  Gustav Lejeune DirichletEnviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 
  2003 12:17Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] 
  triângulo
   
  [EMAIL PROTECTED] wrote: 
  
Olá pessoal, Veja esta 
questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, 
beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 6raiz*(3) ou 
10*raiz(3) m^2 
Deixa eu ver...ce tem tudo no 
triangulo!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o seno de B 
pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa de um 
angulo que e 180 menos todos os outros.Cabou!!!"!!
Obs: O triângulo citado é um 
triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], 
mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos 
para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen 
C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar 
 o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois 
calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá 
para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se 
num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado? 
  
  
  
  Busca Yahoo! O serviço de 
  busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! 
encontra.

Re: [obm-l] RES: [obm-l] triângulo

[A. C. Morgado]

So para comentar que, surpreendentemente, o gabarito esta certo.

Eduardo wrote:
  
  
 
  
 
  Ol,
 
  
 
  Bem,  primeiramente voc pode aplicar o teorema
dos co-senos a fim de descobrir o lado  no informado, ou seja, o lado AB,
vai cair numa equao do segundo grau de  razes 5 ou 3. Agora use 1/2absenB
com os dois valores encontrados  anteriormente.
 
  
 
  Espero  ter ajudado.
 
  
 
  Edu
 
 
-Mensagem original-
De:[EMAIL PROTECTED][mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em
nome de Johann PeterGustav Lejeune Dirichlet
Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de2003 12:17
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l]tringulo


   

[EMAIL PROTECTED] wrote:
 

  Ol pessoal, 
  
Veja esta  questo: 
  
(MAU-SP) 
  
No tringulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m,  beta= ABC=60. Determine a
rea do tringulo. 
  
resp: 6raiz*(3) ou  10*raiz(3) m^2 
  
 
  Deixa eu ver...ce tem
tudo no  triangulo!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce
acha o seno de B  pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a
area ce precisa de um  angulo que e 180 menos todos os outros.Cabou!!!"!!
 
  
Obs: O tringulo citado  um  tringulo de base BC. Eu tentei aplicar
a lei da rea [ S=(a.b.sen alfa)/2],  mas no  dado o valor de BA. Sendo
assim eu tentei aplicar a lei dos senos  para achar BA fazendo 7/sen60
=BA/sen C da aparece outra incgnita o sen  C. A partir disso eu tentei
aplicar a lei dos cossenos para achar   
o cos C, pois  dado no enunciado AC e BC, para depois  calcular o sen
C pela relaao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas no d  para aplicar
a lei dos cossenos, pois no  dado BA. A partir disso entra-se  num
ciclo vicioso. Ser que no est faltando nem um dado?

   

   
   Busca Yahoo!

O servio debusca mais completo da Internet. O que voc pensar o Yahoo!
 encontra.

[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] triângulo

[Eduardo]

Caro 
Morgado,

Não 
entendi...


Abraços

Edu

  -Mensagem original-De: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de A. C. 
  MorgadoEnviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 
  16:34Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] RES: 
  [obm-l] triânguloSo para comentar que, 
  surpreendentemente, o gabarito esta certo.Eduardo wrote:
  

Olá,

Bem, primeiramente você pode aplicar o teorema dos 
co-senos a fim de descobrir o lado não informado, ou seja, o lado AB, vai 
cair numa equação do segundo grau de raízes 5 ou 3. Agora use 1/2absenB com 
os dois valores encontrados anteriormente.

Espero ter ajudado.

Edu

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em 
  nome de Johann Peter Gustav Lejeune DirichletEnviada em: 
  sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 12:17Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: 
  Re: [obm-l] triângulo
  
  [EMAIL PROTECTED] wrote: 
  
Olá pessoal, Veja 
esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, 
BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 
6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 
Deixa eu ver...ce tem tudo no 
triangulo!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o seno 
de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa 
de um angulo que e 180 menos todos os 
outros.Cabou!!!"!!
Obs: O triângulo citado é 
um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen 
alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a 
lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra 
incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos 
para achar  o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, 
para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 
(x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A 
partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem 
um dado? 
  
  
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encontra.

[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] triângulo

[Eduardo Casagrande Stabel]

É uma piada do Morgado!
Na lista tem aparecido muitas e muitas questões de 
vestibulares e concursos com gabarito incorreto...

  - Original Message - 
  From: 
  Eduardo 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Friday, February 07, 2003 4:35 
  PM
  Subject: [obm-l] RES: [obm-l] RES: 
  [obm-l] triângulo
  
  Caro 
  Morgado,
  
  Não 
  entendi...
  
  
  Abraços
  
  Edu
  
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
[mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de A. C. 
MorgadoEnviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 
16:34Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: 
Re: [obm-l] RES: [obm-l] triânguloSo para comentar que, 
surpreendentemente, o gabarito esta certo.Eduardo wrote:

  
  Olá,
  
  Bem, primeiramente você pode aplicar o teorema 
  dos co-senos a fim de descobrir o lado não informado, ou seja, o lado AB, 
  vai cair numa equação do segundo grau de raízes 5 ou 3. Agora use 
  1/2absenB com os dois valores encontrados 
  anteriormente.
  
  Espero ter ajudado.
  
  Edu
  
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
[mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em 
nome de Johann Peter Gustav Lejeune DirichletEnviada em: 
sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 12:17Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: 
Re: [obm-l] triângulo

[EMAIL PROTECTED] wrote: 

  Olá pessoal, Veja 
  esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 
  7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. 
  resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 
  Deixa eu ver...ce tem tudo 
  no triangulo!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o 
  seno de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce 
  precisa de um angulo que e 180 menos todos os 
  outros.Cabou!!!"!!
  Obs: O triângulo citado 
  é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ 
  S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu 
  tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen 
  C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei 
  aplicar a lei dos cossenos para achar  o cos C, pois é 
  dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao 
  fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos 
  cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo 
  vicioso. Será que não está faltando nem um dado? 



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encontra.