[obm-l] esfera
olá caros colegas me surgiu uma dúvida se calcularmos a área de um circulo de raio r teremos pi*r^2, se derivarmos esse resultado em relação a r, teremos 2*pi*r, seu comprimento. se fizermso isso para esfera, mesmo resultado. [v=(4*pi*r^3)/3, dv/dr=4*pi*r^2]. se fizermso para dimensões maiores, obteremos o mesmo resultado. agora tentei verificar se as esferas eram os únicos objetos que teriam essa propriedade (posso chamar assim?). mas não sei como introduzir um parâmetro (aqui no caso acima, seria o raio) tem como? valeu!!
Re: [obm-l] esfera
Olá, Me parece que essa propriedade é válida para muitos objetos geométricos. Talvez alguém da topologia possa nos explicar isso melhor... Sendo uma figura plana de área A então uma dilatação infinitesimal dr gera uma área extra dA = L * dr, sendo L = dA/dr... algo por aí... só tem que formalizar melhor Abraço, Adalberto Em 23 de junho de 2010 15:01, antonio ricardo raizde5mais1divididop...@yahoo.com.br escreveu: olá caros colegas me surgiu uma dúvida se calcularmos a área de um circulo de raio r teremos pi*r^2, se derivarmos esse resultado em relação a r, teremos 2*pi*r, seu comprimento. se fizermso isso para esfera, mesmo resultado. [v=(4*pi*r^3)/3, dv/dr=4*pi*r^2]. se fizermso para dimensões maiores, obteremos o mesmo resultado. agora tentei verificar se as esferas eram os únicos objetos que teriam essa propriedade (posso chamar assim?). mas não sei como introduzir um parâmetro (aqui no caso acima, seria o raio) tem como? valeu!!
[obm-l] esfera
olá caros colegas me surgiu uma dúvida se calcularmos a área de um circulo de raio r teremos pi*r^2, se derivarmos esse resultado em relação a r, teremos 2*pi*r, seu comprimento. se fizermso isso para esfera, mesmo resultado. [v=(4*pi*r^3)/3, dv/dr=4*pi*r^2]. se fizermso para dimensões maiores, obteremos o mesmo resultado. agora tentei verificar se as esferas eram os únicos objetos que teriam essa propriedade (posso chamar assim?). mas não sei como introduzir um parâmetro (aqui no caso acima, seria o raio) tem como? valeu!!
[obm-l] Esfera tocando aresta
Amigos da lista Mais uma vez solicito um esclarecimento. Na inscrição da esfera em um cubo, a aresta do cubo vale o diâmetro da esfera. Logicamente o raio da mesma é a metade da aresta. No caso da esfera circunscrever o cubo, será o diãmetro a diagonal do mesmo. Bom...é possível a esfera tocar as arestas de um cubo uma única vez? Qual seria o raio? Confesso que não idealizei o desenho. Também há dois casos, inscrição e circunscrição? Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira
Re: [obm-l] Esfera tocando aresta
Reposta curta para o Walter: sim, tem essa esfera tangente às arestas, uma só, com diâmetro a.raiz(2), onde a é a aresta do cubo. ---///--- Resposta comprida: EM DIMENSÃO 1 (na reta) Um cubo de lado 1 é o intervalo [0,1]; só existe uma esfera interessante, que passa pelos 2 vértices -- é a esfera de centro 1/2 e diâmetro 1. Tá, isso foi estranho e sem graça; da fato, em dimensão 1, não há diferença entre cubos e esferas -- ambos são intervalos. EM DIMENSÃO 2 (no plano) Um cub isto é, **quadrado** de lado 1 é [0,1]x[0,1]. Há duas esf... quer dizer, círculos interessantes: -- Tangente aos 4 lados (círculo inscrito): o diâmetro é 1; -- Passando pelos 4 vértices (círculo circunscrito): diâmetro é raiz(2). EM DIMENSÃO 3 (no espaço) O cubo é [0,1]x[0,1]x[0,1], aresta 1. Esferas, tem 3 interessantes: -- Tangente às 6 faces (inscrita): diâmetro 1; -- Tangente às 12 arestas (nem inscrita nem circunscrita... arestocrita? aristocrata? que eu saiba, não tem nome curto que termine com crita): diâmetro raiz(2) (que é a distância entre arestas paralelas opostas, ou seja, a diagonal da face) -- Tangente aos 8 vértices, quer dizer, passando pelos vértices (curcunscrita): diâmetro raiz(3). Por que parar aqui? EM DIMENSÃO 4 (no... huh... hiperespaço): O cubo é [0,1]x[0,1]x[0,1]x[0,1], aresta 1. Tem 4 esferas legais: -- Tangente às 2.C(4,1)=8 hiperfaces (cada uma é um pedaço de espaço 3D): diâmetro 1; -- Tangente às 4.C(4,2)=24 faces (cada uma 2D): diâmetro raiz(2); -- Tangente às 8.C(4,3)=32 arestas (que são segmentos 1D): diâmetro raiz(3); -- Passando pelos 16.C(4,4)=16 vértices: diâmetro raiz(4)=2. Por que parar aqui? DIMENSÃO n: Cubo=[0,1]^n A super-esfera tangente às 2^k.C(n,k) faces (cada um com dimensão n-k) tem diâmetro raiz(k), onde k=1,2,3,...,n. São n super-esferas legais. (Fica de exercício o trabalho de explicar donde veio esse 2^k.C(n,k)...) ---///--- Agora vou contar um exercício cuja resposta, por muito tempo, me deixou pasmado. Acho que foi o Nicolau que me contou isso há muito tempo atrás. Exercício 1. Leia os exercícios a seguir e descubra o enunciado e a resposta do exercício 1. Exercício 2. Num quadrado de lado 1, dá para inscrever 4 circunferenciazinhas de diâmetro 1/2, uma perto de cada vértice, cada uma tocando 2 outras e 2 lados, do jeito simétrico natural. Bom, sobra um espacinho no meio, entre as 4, né? Ponha uma circunferenciazinha tangente às 4 originais, naquele espacinho do meio. Qual o raio dela? Exercício 3. Num cubo de lado 1, dá para inscrever 8 esferazinhas de diâmetro 1/2, uma perto de cada vértice, cada uma tocando 3 outras e 3 faces, do jeito simétrico natural. Bom, sobra um espacinho no meio, entre as 8, né? Ponha uma esferazinha tangente às 8 originais, naquele espacinho do meio. Qual o raio dela? ... Exercício 9. Num supercubo de dimensão 9 e lado 1, dá para inscrever 2^9=512 superesferazinhas de diâmetro 1/2, cada uma tocando 9 outras e 9 faces, do jeito simétrico natural. Bom, sobra um espacinho no meio, entre as 512, né? Ponha uma superesferazinha tangente a todas as 512 outras, naquele espacinho do meio. Qual o raio dela? Respostas: Ex. 2: (raiz(2)-1)/4; Ex. 3: (raiz(3)-1)/4; Ex. 9: (raiz(9)-1)/4=1/2 Conclusão: Em dimensão 9, aquele espacinho é tão imenso que a tal da esferinha que você põe lá dentro TANGENCIA AS FACES DO HIPERCUBO (pois ela tem diâmetro 1!). Que espacinho que nada, em dimensão 9, fica um tremendo rombo lá entre aquelas esferas todas! E se aumentar ainda mais a dimensão, a tal da esferazinha do meio aumenta ainda mais (raio=(raiz(n)-1)/4 em dimensão n) e começa a ter pedaços FORA do supercubo! Ok, isto deve provocar uma discussão legal... :) :) :) Abraço, Ralph 2009/4/16 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Amigos da lista Mais uma vez solicito um esclarecimento. Na inscrição da esfera em um cubo, a aresta do cubo vale o diâmetro da esfera. Logicamente o raio da mesma é a metade da aresta. No caso da esfera circunscrever o cubo, será o diãmetro a diagonal do mesmo. Bom...é possível a esfera tocar as arestas de um cubo uma única vez? Qual seria o raio? Confesso que não idealizei o desenho. Também há dois casos, inscrição e circunscrição? Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Esfera tocando aresta
Valeu! Valeu, mesmo... Estou me recuperando da viagem na dimensão 4. Mas como sempre foi legal... Abraços 2009/4/16 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Reposta curta para o Walter: sim, tem essa esfera tangente às arestas, uma só, com diâmetro a.raiz(2), onde a é a aresta do cubo. ---///--- Resposta comprida: EM DIMENSÃO 1 (na reta) Um cubo de lado 1 é o intervalo [0,1]; só existe uma esfera interessante, que passa pelos 2 vértices -- é a esfera de centro 1/2 e diâmetro 1. Tá, isso foi estranho e sem graça; da fato, em dimensão 1, não há diferença entre cubos e esferas -- ambos são intervalos. EM DIMENSÃO 2 (no plano) Um cub isto é, **quadrado** de lado 1 é [0,1]x[0,1]. Há duas esf... quer dizer, círculos interessantes: -- Tangente aos 4 lados (círculo inscrito): o diâmetro é 1; -- Passando pelos 4 vértices (círculo circunscrito): diâmetro é raiz(2). EM DIMENSÃO 3 (no espaço) O cubo é [0,1]x[0,1]x[0,1], aresta 1. Esferas, tem 3 interessantes: -- Tangente às 6 faces (inscrita): diâmetro 1; -- Tangente às 12 arestas (nem inscrita nem circunscrita... arestocrita? aristocrata? que eu saiba, não tem nome curto que termine com crita): diâmetro raiz(2) (que é a distância entre arestas paralelas opostas, ou seja, a diagonal da face) -- Tangente aos 8 vértices, quer dizer, passando pelos vértices (curcunscrita): diâmetro raiz(3). Por que parar aqui? EM DIMENSÃO 4 (no... huh... hiperespaço): O cubo é [0,1]x[0,1]x[0,1]x[0,1], aresta 1. Tem 4 esferas legais: -- Tangente às 2.C(4,1)=8 hiperfaces (cada uma é um pedaço de espaço 3D): diâmetro 1; -- Tangente às 4.C(4,2)=24 faces (cada uma 2D): diâmetro raiz(2); -- Tangente às 8.C(4,3)=32 arestas (que são segmentos 1D): diâmetro raiz(3); -- Passando pelos 16.C(4,4)=16 vértices: diâmetro raiz(4)=2. Por que parar aqui? DIMENSÃO n: Cubo=[0,1]^n A super-esfera tangente às 2^k.C(n,k) faces (cada um com dimensão n-k) tem diâmetro raiz(k), onde k=1,2,3,...,n. São n super-esferas legais. (Fica de exercício o trabalho de explicar donde veio esse 2^k.C(n,k)...) ---///--- Agora vou contar um exercício cuja resposta, por muito tempo, me deixou pasmado. Acho que foi o Nicolau que me contou isso há muito tempo atrás. Exercício 1. Leia os exercícios a seguir e descubra o enunciado e a resposta do exercício 1. Exercício 2. Num quadrado de lado 1, dá para inscrever 4 circunferenciazinhas de diâmetro 1/2, uma perto de cada vértice, cada uma tocando 2 outras e 2 lados, do jeito simétrico natural. Bom, sobra um espacinho no meio, entre as 4, né? Ponha uma circunferenciazinha tangente às 4 originais, naquele espacinho do meio. Qual o raio dela? Exercício 3. Num cubo de lado 1, dá para inscrever 8 esferazinhas de diâmetro 1/2, uma perto de cada vértice, cada uma tocando 3 outras e 3 faces, do jeito simétrico natural. Bom, sobra um espacinho no meio, entre as 8, né? Ponha uma esferazinha tangente às 8 originais, naquele espacinho do meio. Qual o raio dela? ... Exercício 9. Num supercubo de dimensão 9 e lado 1, dá para inscrever 2^9=512 superesferazinhas de diâmetro 1/2, cada uma tocando 9 outras e 9 faces, do jeito simétrico natural. Bom, sobra um espacinho no meio, entre as 512, né? Ponha uma superesferazinha tangente a todas as 512 outras, naquele espacinho do meio. Qual o raio dela? Respostas: Ex. 2: (raiz(2)-1)/4; Ex. 3: (raiz(3)-1)/4; Ex. 9: (raiz(9)-1)/4=1/2 Conclusão: Em dimensão 9, aquele espacinho é tão imenso que a tal da esferinha que você põe lá dentro TANGENCIA AS FACES DO HIPERCUBO (pois ela tem diâmetro 1!). Que espacinho que nada, em dimensão 9, fica um tremendo rombo lá entre aquelas esferas todas! E se aumentar ainda mais a dimensão, a tal da esferazinha do meio aumenta ainda mais (raio=(raiz(n)-1)/4 em dimensão n) e começa a ter pedaços FORA do supercubo! Ok, isto deve provocar uma discussão legal... :) :) :) Abraço, Ralph 2009/4/16 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Amigos da lista Mais uma vez solicito um esclarecimento. Na inscrição da esfera em um cubo, a aresta do cubo vale o diâmetro da esfera. Logicamente o raio da mesma é a metade da aresta. No caso da esfera circunscrever o cubo, será o diãmetro a diagonal do mesmo. Bom...é possível a esfera tocar as arestas de um cubo uma única vez? Qual seria o raio? Confesso que não idealizei o desenho. Também há dois casos, inscrição e circunscrição? Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira http://www.professorwaltertadeu.mat.br
Re: [obm-l] Esfera tocando aresta
Ralph, muito muito muito muito legal o que você escreveu. E só pra não perder o hábito, aqui vai mais uma legal sobre esferas versus cubos : Problema : Veja os exercícios e adivinhe o que a gente vai fazer ! Exercício 1 : um cubo em dimensão 1 e lado 2 é o segmento [-1,1]. Curiosamente, a bola em dimensão 1 e raio 1 também dá a mesma coisa. Exercício 2 : em dimensão 2, o cubo é ... bom, um quadradinho, [-1,1]x[-1,1]. Mas a bola de raio 1 é um disco, e é menor do que o quadrado. A razão entre as áreas é pi / 4 1, entre os comprimentos do bordo é 2 pi / 2*4 = pi/4 Exercício 3 : em dimensão 3, o cubo é ... o cubo ! A bola (que é uma bola também !) continua sendo menor do que o disco. A razão entre os volumes é 4/3 pi / 8 = pi / 6, entre as superfícies de bordo, 4pi / 4*6 = pi/6 ... Exercício n : em dimensão n, o cubo é um hipercubo. A bola, uma hiperbola, ou bola mesmo (dependendo da escola, preferência, etc e tal, não discriminamos). A razão entre os volumes é (fórmula mágica) / 2^n, entre as superfícies é (outra fórmula mágica) / 2^(n-1) * (2n), o que dá a mesma coisa !! Mas, melhor ainda, vemos que a fórmula mágica dá, para dimensão *par* = 2m, um volume da esfera unitária igual a pi^m / m!. Ou seja, o volume da bola tende a zero. Aliás, o de qualquer bola, uma vez que o volume para um raio = r, teremos (em dim=2m para facilitar, o caso ímpar é intermediário) (pi * r^2)^m / m! que dá aproximadamente ((pi * r^2 * e)/n )^n, e se n é beem grande, é maior do que pi r^2 e, e daí em diante o volume diminui. Não precisa nem dizer que (como parece óbvio) que o volume do cubo de lado 2 tende a mais infinito. Primeira moral : o centro do cubo, formado pelos pontos dentro da esfera, tem volume cada vez menor se comparado com os cantinhos que sobram a cada vez que a gente aumenta a dimensão, pois são eles que fazem o cubo sempre ter um volumão ! Portanto, pode parecer estranho, mas o que a gente acha que é um pouquinho porque estamos muito mais acostumados com os desenhos em dimensão 2, é na verdade bem maior em dimensão maior !! Segunda moral : Comparando essa construção (de uma esfera inscrita) com a do Ralph (de 2^n esferinhas inscritas), temos uma prova que não somente nos cantinhos do cubo tem espaço pra burro, mas ao mesmo tempo, não cabe quase nada em esferinhas, que ficam longe pra dedéu, mesmo que os cantinhos sejam eles adjacentes (pense que são as 2^n partes iguais do cubo determinadas pelos cortes dos planos coordenados, cada esferinha está num cubinho desses). Pois, como o Ralph disse, em dimensão maior do que 9 a esferinha no meio é na verdade maior do que as outras esferas dentro do cubo, e na verdade até sai do dito cujo. Prova que, para tangenciar as esferinhas inscritas, tem que ser beeem grande. Ou seja, os cubinhos tão colados, mas as esferinhas dentro deles, tão cada vez mais longe, e os cubinhos tem um volume cada vez maior, mas as esferinhas cada vez menor. Não é louco ? Exercício bônus : calcular as integrais de (sen x)^2n e (sen x)^(2n+1), usando 1 = sen^2 x + cos^2 x e integração por partes. Exercício bônus bis : calcular o volume da esferinha no meio para todas as dimensões, e ver que ela realmente fica cada vez maior, e em dimensão grande tem um volume maior do que o do cubo inicial ! 2009/4/16 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: Reposta curta para o Walter: sim, tem essa esfera tangente às arestas, uma só, com diâmetro a.raiz(2), onde a é a aresta do cubo. ---///--- Resposta comprida: EM DIMENSÃO 1 (na reta) Um cubo de lado 1 é o intervalo [0,1]; só existe uma esfera interessante, que passa pelos 2 vértices -- é a esfera de centro 1/2 e diâmetro 1. Tá, isso foi estranho e sem graça; da fato, em dimensão 1, não há diferença entre cubos e esferas -- ambos são intervalos. EM DIMENSÃO 2 (no plano) Um cub isto é, **quadrado** de lado 1 é [0,1]x[0,1]. Há duas esf... quer dizer, círculos interessantes: -- Tangente aos 4 lados (círculo inscrito): o diâmetro é 1; -- Passando pelos 4 vértices (círculo circunscrito): diâmetro é raiz(2). EM DIMENSÃO 3 (no espaço) O cubo é [0,1]x[0,1]x[0,1], aresta 1. Esferas, tem 3 interessantes: -- Tangente às 6 faces (inscrita): diâmetro 1; -- Tangente às 12 arestas (nem inscrita nem circunscrita... arestocrita? aristocrata? que eu saiba, não tem nome curto que termine com crita): diâmetro raiz(2) (que é a distância entre arestas paralelas opostas, ou seja, a diagonal da face) -- Tangente aos 8 vértices, quer dizer, passando pelos vértices (curcunscrita): diâmetro raiz(3). Por que parar aqui? EM DIMENSÃO 4 (no... huh... hiperespaço): O cubo é [0,1]x[0,1]x[0,1]x[0,1], aresta 1. Tem 4 esferas legais: -- Tangente às 2.C(4,1)=8 hiperfaces (cada uma é um pedaço de espaço 3D): diâmetro 1; -- Tangente às 4.C(4,2)=24 faces (cada uma 2D): diâmetro raiz(2); -- Tangente às 8.C(4,3)=32 arestas (que são segmentos 1D): diâmetro raiz(3); -- Passando pelos 16.C(4,4)=16 vértices: diâmetro raiz(4)=2. Por
Re: [obm-l] Esfera... problema
Só uma idéia (depois de estar muito tempo ausente da lista...) : o que acontece se fosse um círculo ? (um hemisfério seria então uma metade de disco) Aliás, acho que a maior parte dos arcos dentro de um círculo (e da esfera também) tem comprimento menor do que 2 (isso quer dizer mais ou menos que quase sempre dá pra fazer isso !) Depois que você tiver visto porque funciona no círculo, veja o que você precisa fazer pra cair num círculo a partir da tua esfera ! -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2008/3/10 MauZ [EMAIL PROTECTED]: Dois pontos na esfera de raio 1 estão conectados por um arco A contido no interior da esfera. Mostre que se o comprimento do arco A é menor do que 2 então existe um hemisfério H que não intercepta A. __ Minha ideia até agora foi simplesmente criar um hemisfério da seguitne forma: Acho um ponto P coplanar aos dois pontos B e C que seja arco médio de B e C. Aí basta achar o l.g. de P' tal que arco(P,P')=pi/2. ai essa circunferencia determina o hemisferio H. Depois tenho q mostrar que qualquer arco q intercepte esse hemisferio mede 2 ou +. não sei se esse é o caminho.. mas nao estou cosneguindo formalizar... Obrigado, Maurizio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Esfera... problema
Dois pontos na esfera de raio 1 estão conectados por um arco A contido no interior da esfera. Mostre que se o comprimento do arco A é menor do que 2 então existe um hemisfério H que não intercepta A. __ Minha ideia até agora foi simplesmente criar um hemisfério da seguitne forma: Acho um ponto P coplanar aos dois pontos B e C que seja arco médio de B e C. Aí basta achar o l.g. de P' tal que arco(P,P')=pi/2. ai essa circunferencia determina o hemisferio H. Depois tenho q mostrar que qualquer arco q intercepte esse hemisferio mede 2 ou +. não sei se esse é o caminho.. mas nao estou cosneguindo formalizar... Obrigado, Maurizio
Re: [obm-l] esfera no cone
Oi, Ney, Equiltero no poderia ser pelos dados e a soluo postada realmente s vale se ele for reto... Abraos, Nehab Ney Falcao escreveu: Ol Nehab, suponho que seja um cone reto, embora o problema no mencione, como tambm no menciona se equiltero ou no. Talvez o certo fosse mencionar, mas a soluo dos amigos bateu com a resposta. Obrigado Ney Em 30/11/07, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Ney, O cone reto? Nehab Ney Falcao escreveu: Como seria possivel calcular a rea pedida no problema abaixo sem conhecer o raio da esfera? Calcule o volume exterior a uma esfera e interior a um cone de raio da base igual a 6 e altura 8, sendo a esfera inscrita no cone. Obrigado Ney = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] esfera no cone
Oi, Ney, O cone reto? Nehab Ney Falcao escreveu: Como seria possivel calcular a rea pedida no problema abaixo sem conhecer o raio da esfera? Calcule o volume exterior a uma esfera e interior a um cone de raio da base igual a 6 e altura 8, sendo a esfera inscrita no cone. Obrigado Ney = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] esfera no cone
Olá Nehab, suponho que seja um cone reto, embora o problema não mencione, como também não menciona se é equilátero ou não. Talvez o certo fosse mencionar, mas a solução dos amigos bateu com a resposta. Obrigado Ney Em 30/11/07, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Ney, O cone é reto? Nehab Ney Falcao escreveu: Como seria possivel calcular a área pedida no problema abaixo sem conhecer o raio da esfera? *Calcule o volume exterior a uma esfera e interior a um cone de raio da base igual a 6 e altura 8, sendo a esfera inscrita no cone*. Obrigado Ney = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
[obm-l] esfera no cone
Como seria possivel calcular a área pedida no problema abaixo sem conhecer o raio da esfera? *Calcule o volume exterior a uma esfera e interior a um cone de raio da base igual a 6 e altura 8, sendo a esfera inscrita no cone*. Obrigado Ney
RE: [obm-l] esfera no cone
Liga do centro da esfera ao lado do cone, até o ponto de tangência,formando assim dois triangulos retângulos semelhantes. R/6 =8-R/10 , daí teremos que R=3. Espero ter ajudado. Cláudio Thor Date: Thu, 29 Nov 2007 22:39:01 -0300 From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] esfera no cone Ney Falcao wrote: Como seria possivel calcular a área pedida no problema abaixo sem conhecer o raio da esfera?/Calcule o volume exterior a uma esfera e interior a um cone de raio da base igual a 6 e altura 8, sendo a esfera inscrita no cone/.Obrigado Ney Olá Senhores, como vão? Seguinte, fiz um esboço do problema no paint. Também embuti a relação da semelhança de triângulos: http://epaduel.org/tmp/obm-29112007.jpg Dados do problema: H = x + r = x = 8 -r (I) Da semelhança de triângulos: x/r = a/R (II) De I em II: (8-r)/r = a/6 = a = 6(8-r)/r (III) Aplicando pitágoras no triângulo retângulo maior: a^2 = h^2 + R^2 = a^2 = 64 + 36 (IV) De (III) em (IV) [6(8-r)]^2 = 100r^2 r^2 +9r -36 = 0 x´ = 12 nao convém (rR) x´´ = -3, logo r = 3 Calculando os volumes: Vesf = (4/3)pi*r^3 = (4/3)*pi*3^3 = 36pi Vcone = (1/3)*pi*(R^2)*H = (1/3)*pi*(6^2)*8 = 96 Respostas: Vesfera = 36pi Vext = 96pi -16pi = 60pi Se estiver errado, por favor,me corrijam! Abraços a todos, Emanuel Valente = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos conectada ao Messenger! http://spaces.live.com/signup.aspx
Re: [obm-l] esfera no cone
Emanuel Valente wrote: Ney Falcao wrote: Como seria possivel calcular a área pedida no problema abaixo sem conhecer o raio da esfera? /Calcule o volume exterior a uma esfera e interior a um cone de raio da base igual a 6 e altura 8, sendo a esfera inscrita no cone/. Obrigado Ney Olá Senhores, como vão? Seguinte, fiz um esboço do problema no paint. Também embuti a relação da semelhança de triângulos: http://epaduel.org/tmp/obm-29112007.jpg Dados do problema: H = x + r = x = 8 -r (I) Da semelhança de triângulos: x/r = a/R (II) De I em II: (8-r)/r = a/6 = a = 6(8-r)/r (III) Aplicando pitágoras no triângulo retângulo maior: a^2 = h^2 + R^2 = a^2 = 64 + 36 (IV) De (III) em (IV) [6(8-r)]^2 = 100r^2 r^2 +9r -36 = 0 x´ = 12 nao convém (rR) x´´ = -3, logo r = 3 Calculando os volumes: Vesf = (4/3)pi*r^3 = (4/3)*pi*3^3 = 36pi Vcone = (1/3)*pi*(R^2)*H = (1/3)*pi*(6^2)*8 = 96 Respostas: Vesfera = 36pi Vext = 96pi -16pi = 60pi Se estiver errado, por favor,me corrijam! Abraços a todos, Emanuel Valente = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Emanuel, tu fizeste exatamente como fiz, através da semelhança de triângulos: o primeiro formado pelo ponto de tangência perpendicular do raio da esfera à geratriz do cone, o centro da esfera e o vértice do cone; e o outro formado pelo ponto relativo ao centro da base do cone, um dos vértices do triângulo isóceles (triângulo gerado pela secção plana do cone) e o vértice do cone. /A priori/, tentei enxergar uma relação de ponto notável (Coincidência dos quatro: baricentro, incentro, circunscentro e ortocentro) e do triângulo seccionado, mas o este, e consecutivamente o cone, não são equiláteros; logo não é possível aplicar qualquer proporcionalidade entre as medidas lineares (assim, o raio da esfera seria um terço da altura do cone, o que não é verdade) baseado nessa minha observação falha que tive inicialmente. Depois de remoer um pouco a figura, notei que poderia fazer assim: Eis o link da imagem que fiz no CorelDraw: http://i35.photobucket.com/albums/d198/Gustavo_HSAL/res02.jpg Espero ter acertado. Um grande abraço deste que vos escreve. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] esfera no cone
Emanuel Valente wrote: Ney Falcao wrote: Como seria possivel calcular a área pedida no problema abaixo sem conhecer o raio da esfera? /Calcule o volume exterior a uma esfera e interior a um cone de raio da base igual a 6 e altura 8, sendo a esfera inscrita no cone/. Obrigado Ney Olá Senhores, como vão? Seguinte, fiz um esboço do problema no paint. Também embuti a relação da semelhança de triângulos: http://epaduel.org/tmp/obm-29112007.jpg Dados do problema: H = x + r = x = 8 -r (I) Da semelhança de triângulos: x/r = a/R (II) De I em II: (8-r)/r = a/6 = a = 6(8-r)/r (III) Aplicando pitágoras no triângulo retângulo maior: a^2 = h^2 + R^2 = a^2 = 64 + 36 (IV) De (III) em (IV) [6(8-r)]^2 = 100r^2 r^2 +9r -36 = 0 x´ = 12 nao convém (rR) x´´ = -3, logo r = 3 Calculando os volumes: Vesf = (4/3)pi*r^3 = (4/3)*pi*3^3 = 36pi Vcone = (1/3)*pi*(R^2)*H = (1/3)*pi*(6^2)*8 = 96 Respostas: Vesfera = 36pi Vext = 96pi -16pi = 60pi Se estiver errado, por favor,me corrijam! Abraços a todos, Emanuel Valente = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Emanuel, tu fizeste exatamente como fiz, através da semelhança de triângulos: o primeiro formado pelo ponto de tangência perpendicular do raio da esfera à geratriz do cone, o centro da esfera e o vértice do cone; e o outro formado pelo ponto relativo ao centro da base do cone, um dos vértices do triângulo isóceles (triângulo gerado pela secção plana do cone) e o vértice do cone. /A priori/, tentei enxergar uma relação de ponto notável (Coincidência dos quatro: baricentro, incentro, circunscentro e ortocentro) e do triângulo seccionado, mas o este, e consecutivamente o cone, não são equiláteros; logo não é possível aplicar qualquer proporcionalidade entre as medidas lineares (assim, o raio da esfera seria um terço da altura do cone, o que não é verdade) baseado nessa minha observação falha que tive inicialmente. Depois de remoer um pouco a figura, notei que poderia fazer assim: Eis o link da imagem que fiz no CorelDraw: http://i35.photobucket.com/albums/d198/Gustavo_HSAL/res02.jpg Espero ter acertado. Um grande abraço deste que vos escreve. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] esfera no cone
Ney Falcao wrote: Como seria possivel calcular a área pedida no problema abaixo sem conhecer o raio da esfera? /Calcule o volume exterior a uma esfera e interior a um cone de raio da base igual a 6 e altura 8, sendo a esfera inscrita no cone/. Obrigado Ney Olá Senhores, como vão? Seguinte, fiz um esboço do problema no paint. Também embuti a relação da semelhança de triângulos: http://epaduel.org/tmp/obm-29112007.jpg Dados do problema: H = x + r = x = 8 -r (I) Da semelhança de triângulos: x/r = a/R (II) De I em II: (8-r)/r = a/6 = a = 6(8-r)/r (III) Aplicando pitágoras no triângulo retângulo maior: a^2 = h^2 + R^2 = a^2 = 64 + 36 (IV) De (III) em (IV) [6(8-r)]^2 = 100r^2 r^2 +9r -36 = 0 x´ = 12 nao convém (rR) x´´ = -3, logo r = 3 Calculando os volumes: Vesf = (4/3)pi*r^3 = (4/3)*pi*3^3 = 36pi Vcone = (1/3)*pi*(R^2)*H = (1/3)*pi*(6^2)*8 = 96 Respostas: Vesfera = 36pi Vext = 96pi -16pi = 60pi Se estiver errado, por favor,me corrijam! Abraços a todos, Emanuel Valente = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] esfera
Foi a minha resposta... porem..lá deu como gabarito 2pi Bom dia, Vitório. Se possível faça uma figurinha para representar a situação. Acho que fica mais fácil. Como o cone é circular reto, temos que A_l=pi.r.g , onde g é a geratriz e r, o raio da base. Por Pitágoras, PO^2=PA^2+AO^2 == g=PA=2sqrt(3). Agora, denote por X, o ponto de intersecção entre a corda AB e PO. Então, por AA, o triângulo APO é semelhante ao triângulo XAO. Daí, g/AX=PO/AO. Como AX=r, temos r=sqrt(3). Portanto A_l=6.pi m^2, caso eu não tenha errado nas contas. Espero ter ajudado. Arlane. Citando vitoriogauss [EMAIL PROTECTED]: 1) Uma esfera tem raio 2m e centro O. De um ponto P, distante 4m do ponto O, traçam-se as tangentes PA e PB, que são geratrizes de um cone circular reto. Sabendo-se que o segmento AB é um diâmetro da base do cone, qual é a medida em m^2, da área lateral desse cone? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Arlan Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] esfera
Eu realmente dancei por besteira nesta questao a resposta é 6pi mesmo Bom dia, Vitório. Se possível faça uma figurinha para representar a situação. Acho que fica mais fácil. Como o cone é circular reto, temos que A_l=pi.r.g , onde g é a geratriz e r, o raio da base. Por Pitágoras, PO^2=PA^2+AO^2 == g=PA=2sqrt(3). Agora, denote por X, o ponto de intersecção entre a corda AB e PO. Então, por AA, o triângulo APO é semelhante ao triângulo XAO. Daí, g/AX=PO/AO. Como AX=r, temos r=sqrt(3). Portanto A_l=6.pi m^2, caso eu não tenha errado nas contas. Espero ter ajudado. Arlane. Citando vitoriogauss [EMAIL PROTECTED]: 1) Uma esfera tem raio 2m e centro O. De um ponto P, distante 4m do ponto O, traçam-se as tangentes PA e PB, que são geratrizes de um cone circular reto. Sabendo-se que o segmento AB é um diâmetro da base do cone, qual é a medida em m^2, da área lateral desse cone? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Arlan Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] esfera
Bom dia, Vitório. Se possível faça uma figurinha para representar a situação. Acho que fica mais fácil. Como o cone é circular reto, temos que A_l=pi.r.g , onde g é a geratriz e r, o raio da base. Por Pitágoras, PO^2=PA^2+AO^2 == g=PA=2sqrt(3). Agora, denote por X, o ponto de intersecção entre a corda AB e PO. Então, por AA, o triângulo APO é semelhante ao triângulo XAO. Daí, g/AX=PO/AO. Como AX=r, temos r=sqrt(3). Portanto A_l=6.pi m^2, caso eu não tenha errado nas contas. Espero ter ajudado. Arlane. Citando vitoriogauss [EMAIL PROTECTED]: 1) Uma esfera tem raio 2m e centro O. De um ponto P, distante 4m do ponto O, traçam-se as tangentes PA e PB, que são geratrizes de um cone circular reto. Sabendo-se que o segmento AB é um diâmetro da base do cone, qual é a medida em m^2, da área lateral desse cone? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Arlan Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Esfera inscrita em tetraedo
Agora pouco passou uma idéia aparentemente boa pela minha cabeça: Se você por um ponto fora da esfera traçar três retas tangentes 'a ela então vc terá quase um tetraedro. O que é interessante neste caso é que os triângulos formados quando ligamos o centro da esfera aos pontos de tangência das retas, temos triângulos retângulos. Isso significa que o raio da esfera tem que satisfazer restrições. Notar agora que a hipotenusa destes triângulos é a mesma (donde tiramos três relações). Acho que é possível calcular r^2 em função dos lados do triângulo se considerarmos mais 3 ângulos sólidos semelhantes a esse nos outros vértices. Não sei se expressei bem a minha idéia. Ronaldo Luiz Alonso - Original Message - From: Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, March 16, 2006 7:23 PM Subject: Re: [obm-l] Esfera inscrita em tetraedo As retas suportes de duas alturas de um mesmo tetraedro podem ser reversas. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Esfera inscrita em tetraedo
Ronaldo, a esfera estáinscrita no tetraedo, e não circunscrita, como vc supôs. Em 14/03/06, Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Inscrita ou circunscrita?Erick Nascimento [EMAIL PROTECTED] escreveu: Alguém poderia me ajudar a resolver este problema:Seja WXYZ as faces de um tetraedo eL1, L2, L3, L4, L5 e L6os comprimentos das arestas WX, WY, WZ, XY, XZ eYZ, respectivamente. Qual é o raio da esfera circunscrita a este tetraedro? Qualquer ajuda será bem vinda.Obrigado.Erick Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Esfera inscrita em tetraedo
Ok. Ok. Acho que isso pode ajudar: http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html Se o tetraedro não for regular vc pode calcular o valor das alturas dele dividindo a área de cada uma dasbases pelo volume. Nestepáginatem uma fórmula para o volume de um tetraedro usando um determinante. A pergunta é: As alturas se encontram todas em um ponto? Se sim então esse ponto é equidistante das faces? Se for, acredito queo problema está resolvido. Ronaldo Luiz Alonso. - Original Message - From: Erick Nascimento To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, March 16, 2006 1:46 PM Subject: Re: [obm-l] Esfera inscrita em tetraedo Ronaldo, a esfera está"inscrita" no tetraedo, e não "circunscrita", como vc supôs. Em 14/03/06, Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Inscrita ou circunscrita?Erick Nascimento [EMAIL PROTECTED] escreveu: Alguém poderia me ajudar a resolver este problema:Seja WXYZ as faces de um tetraedo eL1, L2, L3, L4, L5 e L6os comprimentos das arestas WX, WY, WZ, XY, XZ eYZ, respectivamente. Qual é o raio da esfera circunscrita a este tetraedro? Qualquer ajuda será bem vinda.Obrigado.Erick Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Esfera inscrita em tetraedo
Nesta página acho que está a solução. http://www.mathematische-basteleien.de/tetrahedron.htm - Original Message - From: Erick Nascimento To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, March 16, 2006 1:46 PM Subject: Re: [obm-l] Esfera inscrita em tetraedo Ronaldo, a esfera está"inscrita" no tetraedo, e não "circunscrita", como vc supôs. Em 14/03/06, Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Inscrita ou circunscrita?Erick Nascimento [EMAIL PROTECTED] escreveu: Alguém poderia me ajudar a resolver este problema:Seja WXYZ as faces de um tetraedo eL1, L2, L3, L4, L5 e L6os comprimentos das arestas WX, WY, WZ, XY, XZ eYZ, respectivamente. Qual é o raio da esfera circunscrita a este tetraedro? Qualquer ajuda será bem vinda.Obrigado.Erick Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Esfera inscrita em tetraedo
As retas suportes de duas alturas de um mesmo tetraedro podem ser reversas. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Esfera inscrita em tetraedo
Note: 4 pontos no espaço determinam uma esfera (um tetraedro tem 4 vértices) Como eu sei a equação da esfera com 4 pontos ? x_0,y_0,z_0 x_1,y_1,z_1 x_2,y_2,z_2 x_3,y_3,z_3 ? Ora, basta lembrar a equação da esfera. As incógnitas são x_c,y_c,z_c e r (raio da esfera). A eq. geral da circunferência é: (x-x_c )^2 + (y-y_c)^2 + (z-z_c)^2 = r^2. Ficou mais fácil certo? Errado. Se vc não eliminar os termos cruzados acima o sistema fica de difícil solução. Mas se vc conseguir colocar o tetraedro na origem do sistema cartesiano dá para tornar o sistema linear (fazendo x^2 = p, por exemplo). O problema se reduz então a achar um ponto equidistante de 4 pontos dados no espaço. reciprocamente: Achar um ponto equidistante de 3 pontos dados no plano. Sugestão: Tente chegar a um sistema linear em duas dimensões e extenda os resulados para três... Abraços. Ronaldo Luiz Alonso - Original Message - From: Erick Nascimento To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 11, 2006 2:57 PM Subject: [obm-l] Esfera inscrita em tetraedo Alguém poderia me ajudar a resolver este problema:Seja WXYZ as faces de um tetraedo eL1, L2, L3, L4, L5 e L6os comprimentos das arestas WX, WY, WZ, XY, XZ eYZ, respectivamente. Qual é o raio da esfera circunscrita a este tetraedro? Qualquer ajuda será bem vinda.Obrigado.Erick
Re: [obm-l] Esfera inscrita em tetraedo
Inscrita ou circunscrita?Erick Nascimento [EMAIL PROTECTED] escreveu: Alguém poderia me ajudar a resolver este problema:Seja WXYZ as faces de um tetraedo eL1, L2, L3, L4, L5 e L6os comprimentos das arestas WX, WY, WZ, XY, XZ eYZ, respectivamente. Qual é o raio da esfera circunscrita a este tetraedro? Qualquer ajuda será bem vinda.Obrigado.Erick Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] Esfera inscrita em tetraedo
Alguém poderia me ajudar a resolver este problema:Seja WXYZ as faces de um tetraedo eL1, L2, L3, L4, L5 e L6os comprimentos das arestas WX, WY, WZ, XY, XZ eYZ, respectivamente. Qual é o raio da esfera circunscrita a este tetraedro? Qualquer ajuda será bem vinda.Obrigado.Erick
[obm-l] Esfera inscrita em um tetraedro
Alguém poderia me ajudar a resolver este problema:Seja WXYZ as faces de um tetraedo eL1, L2, L3, L4, L5 e L6os comprimentos das arestas WX, WY, WZ, XY, XZ eYZ, respectivamente. Qual é o raio da esfera circunscrita a este tetraedro? Qualquer ajuda será bem vinda.Obrigado.Erick
[obm-l] Esfera Furada
Title: Help Caros colegas da lista: Aqui vai um bonitinho de geometria espacial. Um furo cilíndrico de 12 cm de comprimento é feito numa esfera, de forma que o eixo de simetria do furo coincida com um diâmetro da esfera. Qual o volume do sólido resultante? Um abraço, Claudio.
Re: [obm-l] Esfera Furada
On Fri, Feb 21, 2003 at 02:05:38PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: Aqui vai um bonitinho de geometria espacial. Um furo cilíndrico de 12 cm de comprimento é feito numa esfera, de forma que o eixo de simetria do furo coincida com um diâmetro da esfera. Qual o volume do sólido resultante? Acho que a formulação está um pouco confusa. O que é exatamente o comprimento de um furo cilíndrico? Será o diâmetro da esfera? E qual o diâmetro do furo? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Esfera Furada
Bom ponto. Inicialmente, o sólido resultante a que me refiro é a Esfera Furada e não o que foi retirado. Esfera Original = Esfera Furada + Cilindro + 2 Calotas. 12 cm = altura do cilindro (excluindo as calotas) == portanto, não é o diâmetro da esfera. Claudio. - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, February 21, 2003 1:10 PM Subject: Re: [obm-l] Esfera Furada On Fri, Feb 21, 2003 at 02:05:38PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: Aqui vai um bonitinho de geometria espacial. Um furo cilíndrico de 12 cm de comprimento é feito numa esfera, de forma que o eixo de simetria do furo coincida com um diâmetro da esfera. Qual o volume do sólido resultante? Acho que a formulação está um pouco confusa. O que é exatamente o comprimento de um furo cilíndrico? Será o diâmetro da esfera? E qual o diâmetro do furo? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Esfera Furada
O interessante nesse problema é justamente a aparência estar mal determinado. Uma solução diferente da do Nicolau, mas que usa uma fórmula pronta para o volume de uma calota (a qual pode ser obtida via cálculo integral, por exemplo - em si só um bom exercício - ou então consultando algum livro de geometria espacial) é a seguinte: Sejam: R = raio da esfera r = raio do furo h = altura da calota = R - 6 Além disso, por Pitágoras temos que: r^2 = R^2 - 6^2 Volume da Esfera = (4/3)*Pi*R^3 Volume do Cilindro = Pi*r^2*12 = 12*Pi*(R^2 - 36) Volume de cada Calota = (1/3)*Pi*h^2*(3R-h) = (1/3)*Pi*(R-6)^2*(2R+6) = (1/3)*Pi*(2R^3 - 18R^2 + 216) Assim, usando que: Vol(Esfera Furada) = Vol(Esfera) - Vol(Cilindro) - 2*Vol(Calota), teremos: Vol(Esfera Furada) = (4/3)*Pi*R^3 - 12*Pi*(R^2 - 36) - 2*(1/3)*Pi*(2R^3 - 18R^2 + 216) = Pi*(4*R^3/3 - 12*R^2 + 432 - 4*R^3/3 + 12*R^2 - 144) = Pi*288 cm^3. * Um outro problema, bem mais fácil, que também parece estar mal determinado é o seguinte: Sejam duas circunferências concêntricas. Uma reta é tangente à circunferência interna no ponto A e intercepta a externa no ponto B. Sabendo que AB mede a, calcule a área do anel compreendido entre as duas circunferências. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, February 21, 2003 2:32 PM Subject: Re: [obm-l] Esfera Furada On Fri, Feb 21, 2003 at 03:13:11PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: Esfera Original = Esfera Furada + Cilindro + 2 Calotas. 12 cm = altura do cilindro (excluindo as calotas) == portanto, não é o diâmetro da esfera. Observe que o problema omite o raio do furo (r) e o da esfera (R). Sabemos apenas (Pitágoras) que R^2 - r^2 = 6^2 (em cm). O sólido assim não está bem determinado; será que seu volume independe dos dados que estão faltando? Surpreendentemente sim. Se fatiarmos o sólido perpendicularmente ao eixo do cilindro (digamos, o eixo z) então a área de uma fatia a altura z é dada por Pi(R^2 - z^2 - r^2) = Pi(6^2 - z^2). Integrando de -6 a 6 temos Volume = integral Pi(6^2 - z^2) dz = 288 Pi cm^3 Note que um caso particular é o de uma esfera de raio 6 com um furo fino, cujo volume é dado pela fórmula 4/3 Pi R^3 que coincide, como deveria, com o que encontramos acima. Quem preferir pode usar Cavalieri em vez de cálculo, é supostamente mais elementar. Ou pode usar a fórmula do volume do prismóide (integração por Simpson), Volume = 1/6 (B_0 + 4 B_1 + B_2) h onde h é a altura, no caso 12 cm, e B_0, B_1 e B_2 são as áreas da base de baixo (no caso 0), da base média (no caso Pi(R^2 - r^2) = 36 Pi) e da base de cima (também 0). Por outro lado, a melhor explicação que eu conheço para esta fórmula (inclusive para decidir quando ela é correta) é via integral (ela é correta se a área da fatia for dada por um polinômio em z de grau = 3). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Esfera Furada
On Fri, Feb 21, 2003 at 03:13:11PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: Esfera Original = Esfera Furada + Cilindro + 2 Calotas. 12 cm = altura do cilindro (excluindo as calotas) == portanto, não é o diâmetro da esfera. Observe que o problema omite o raio do furo (r) e o da esfera (R). Sabemos apenas (Pitágoras) que R^2 - r^2 = 6^2 (em cm). O sólido assim não está bem determinado; será que seu volume independe dos dados que estão faltando? Surpreendentemente sim. Se fatiarmos o sólido perpendicularmente ao eixo do cilindro (digamos, o eixo z) então a área de uma fatia a altura z é dada por Pi(R^2 - z^2 - r^2) = Pi(6^2 - z^2). Integrando de -6 a 6 temos Volume = integral Pi(6^2 - z^2) dz = 288 Pi cm^3 Note que um caso particular é o de uma esfera de raio 6 com um furo fino, cujo volume é dado pela fórmula 4/3 Pi R^3 que coincide, como deveria, com o que encontramos acima. Quem preferir pode usar Cavalieri em vez de cálculo, é supostamente mais elementar. Ou pode usar a fórmula do volume do prismóide (integração por Simpson), Volume = 1/6 (B_0 + 4 B_1 + B_2) h onde h é a altura, no caso 12 cm, e B_0, B_1 e B_2 são as áreas da base de baixo (no caso 0), da base média (no caso Pi(R^2 - r^2) = 36 Pi) e da base de cima (também 0). Por outro lado, a melhor explicação que eu conheço para esta fórmula (inclusive para decidir quando ela é correta) é via integral (ela é correta se a área da fatia for dada por um polinômio em z de grau = 3). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
