Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Então não é trabalhoso, mas (a/b)^2 = 1 + a/b - b/a não deveria ser
provado?
Desenvolvendo da pra ver que é, neste caso tem mais conta pra fazer.
Forte abraço
Douglas Oliveira.
Em 10 de junho de 2015 12:00, Alexandre Antunes
prof.alexandreantu...@gmail.com escreveu:
Bom dia,
Estou no trabalho, mas vou arriscar a minha primeira resposta no grupo.
Desenvolvi os dois lados da expressao.
(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 = 3 + (a/b + b/c + c/a) - (b/a + c/b + a/c)
Como (a/b)^2 = 1 + a/b - b/a
O mesmo para os demais termos
Fica provado a proposição.
O que acham desse trabalhoso caminho?!?!
Em 10/06/2015 09:00, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:
Ok Mariana.
Abraços
Pacini
Em 9 de junho de 2015 21:11, Mariana Groff
bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu:
Oi Pacini,
Fiz do seguinte modo:
f (x)=x^2-x+1/x=1 = x^3-x^2+1=x = x^3-x^2-x+1=0 =x^2
(x-1)-(x-1)=0 = (x^2-1)(x-1)=0
O que podemos ver que é verdade, analisando ambos os casos: em que x=1
e o caso em que 0 x 1.
Abraços,
Mariana
Em 09/06/2015 20:55, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:
Oi Mariana,
Determinei o mínimo da função usando a derivada. Não entendi o seu
caminho, pois a função é
f(x) = x^2-x+1/x.
Abraços
Pacini
Em 9 de junho de 2015 18:09, Mariana Groff
bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu:
Oi Pacini,
Compreendi seu raciocínio. Para provar que f(x)=1, basta analisarmos
que (x^2-1)(x-1)=0, o que verifica-se pois se x=1, o produto é
claramente
não-negativo e se 0x1, vemos que, tanto x^2-1 quanto x-1 são negativos,
tornando o produto positivo, isso?
Em 9 de junho de 2015 11:48, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
escreveu:
Oi Mariana,
Observe que provar a desigualdade pedida é equivalente provar que
:
{(a/b)^2-a/b+b/a} + {(b/c)^2-b/c+c/b} +{(c/a)^2-c/a+a/c} =3, ok ?
Agora façamos o seguinte :
Seja f(x)= x^2-x+1/x, verifique que para x0 o valor mínimo de f é 1.
Donde teremos a desigualdade provada.
Estou certo pessoal ?
Abraços
Pacini
Em 8 de junho de 2015 20:30, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
Ah não, desculpa, errei em Cauchy ...
Att.
Raphael
Em 08/06/2015 20:27, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
MA=MG
LE=(a/b+b/c+c/a)^2=(3cbrt(abc/abc))^2 =9
Por Cauchy
LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9
LE=9=LD
Em 08/06/2015 19:20, Mariana Groff
bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu:
Boa Noite,
(British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005)
Sejam a,b e c reais positivos.
Prove que
(a/b+b/c+c/a)^2=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
Atenciosamente,
Mariana
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Boa tarde,
Pensei em fazer essa prova por indução ... Ainda não consegui parar para
finalizar.
Achei que era um caminho possível!!!
Em 11/06/2015 14:28, Douglas Oliveira de Lima
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:
Então não é trabalhoso, mas (a/b)^2 = 1 + a/b - b/a não deveria ser
provado?
Desenvolvendo da pra ver que é, neste caso tem mais conta pra fazer.
Forte abraço
Douglas Oliveira.
Em 10 de junho de 2015 12:00, Alexandre Antunes
prof.alexandreantu...@gmail.com escreveu:
Bom dia,
Estou no trabalho, mas vou arriscar a minha primeira resposta no grupo.
Desenvolvi os dois lados da expressao.
(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 = 3 + (a/b + b/c + c/a) - (b/a + c/b + a/c)
Como (a/b)^2 = 1 + a/b - b/a
O mesmo para os demais termos
Fica provado a proposição.
O que acham desse trabalhoso caminho?!?!
Em 10/06/2015 09:00, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:
Ok Mariana.
Abraços
Pacini
Em 9 de junho de 2015 21:11, Mariana Groff
bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu:
Oi Pacini,
Fiz do seguinte modo:
f (x)=x^2-x+1/x=1 = x^3-x^2+1=x = x^3-x^2-x+1=0 =x^2
(x-1)-(x-1)=0 = (x^2-1)(x-1)=0
O que podemos ver que é verdade, analisando ambos os casos: em que x=1
e o caso em que 0 x 1.
Abraços,
Mariana
Em 09/06/2015 20:55, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:
Oi Mariana,
Determinei o mínimo da função usando a derivada. Não entendi o seu
caminho, pois a função é
f(x) = x^2-x+1/x.
Abraços
Pacini
Em 9 de junho de 2015 18:09, Mariana Groff
bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu:
Oi Pacini,
Compreendi seu raciocínio. Para provar que f(x)=1, basta analisarmos
que (x^2-1)(x-1)=0, o que verifica-se pois se x=1, o produto é
claramente
não-negativo e se 0x1, vemos que, tanto x^2-1 quanto x-1 são negativos,
tornando o produto positivo, isso?
Em 9 de junho de 2015 11:48, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
escreveu:
Oi Mariana,
Observe que provar a desigualdade pedida é equivalente provar
que :
{(a/b)^2-a/b+b/a} + {(b/c)^2-b/c+c/b} +{(c/a)^2-c/a+a/c} =3, ok ?
Agora façamos o seguinte :
Seja f(x)= x^2-x+1/x, verifique que para x0 o valor mínimo de f é 1.
Donde teremos a desigualdade provada.
Estou certo pessoal ?
Abraços
Pacini
Em 8 de junho de 2015 20:30, Raphael Aureliano
raphael0...@gmail.com escreveu:
Ah não, desculpa, errei em Cauchy ...
Att.
Raphael
Em 08/06/2015 20:27, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
MA=MG
LE=(a/b+b/c+c/a)^2=(3cbrt(abc/abc))^2 =9
Por Cauchy
LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9
LE=9=LD
Em 08/06/2015 19:20, Mariana Groff
bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu:
Boa Noite,
(British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005)
Sejam a,b e c reais positivos.
Prove que
(a/b+b/c+c/a)^2=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
Atenciosamente,
Mariana
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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acredita-se estar livre de perigo.
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acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Ok Mariana.
Abraços
Pacini
Em 9 de junho de 2015 21:11, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
escreveu:
Oi Pacini,
Fiz do seguinte modo:
f (x)=x^2-x+1/x=1 = x^3-x^2+1=x = x^3-x^2-x+1=0 =x^2
(x-1)-(x-1)=0 = (x^2-1)(x-1)=0
O que podemos ver que é verdade, analisando ambos os casos: em que x=1 e
o caso em que 0 x 1.
Abraços,
Mariana
Em 09/06/2015 20:55, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:
Oi Mariana,
Determinei o mínimo da função usando a derivada. Não entendi o seu
caminho, pois a função é
f(x) = x^2-x+1/x.
Abraços
Pacini
Em 9 de junho de 2015 18:09, Mariana Groff
bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu:
Oi Pacini,
Compreendi seu raciocínio. Para provar que f(x)=1, basta analisarmos
que (x^2-1)(x-1)=0, o que verifica-se pois se x=1, o produto é claramente
não-negativo e se 0x1, vemos que, tanto x^2-1 quanto x-1 são negativos,
tornando o produto positivo, isso?
Em 9 de junho de 2015 11:48, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
escreveu:
Oi Mariana,
Observe que provar a desigualdade pedida é equivalente provar que :
{(a/b)^2-a/b+b/a} + {(b/c)^2-b/c+c/b} +{(c/a)^2-c/a+a/c} =3, ok ?
Agora façamos o seguinte :
Seja f(x)= x^2-x+1/x, verifique que para x0 o valor mínimo de f é 1.
Donde teremos a desigualdade provada.
Estou certo pessoal ?
Abraços
Pacini
Em 8 de junho de 2015 20:30, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
Ah não, desculpa, errei em Cauchy ...
Att.
Raphael
Em 08/06/2015 20:27, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
MA=MG
LE=(a/b+b/c+c/a)^2=(3cbrt(abc/abc))^2 =9
Por Cauchy
LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9
LE=9=LD
Em 08/06/2015 19:20, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
escreveu:
Boa Noite,
(British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005)
Sejam a,b e c reais positivos.
Prove que
(a/b+b/c+c/a)^2=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
Atenciosamente,
Mariana
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acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Bom dia,
Estou no trabalho, mas vou arriscar a minha primeira resposta no grupo.
Desenvolvi os dois lados da expressao.
(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 = 3 + (a/b + b/c + c/a) - (b/a + c/b + a/c)
Como (a/b)^2 = 1 + a/b - b/a
O mesmo para os demais termos
Fica provado a proposição.
O que acham desse trabalhoso caminho?!?!
Em 10/06/2015 09:00, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:
Ok Mariana.
Abraços
Pacini
Em 9 de junho de 2015 21:11, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
escreveu:
Oi Pacini,
Fiz do seguinte modo:
f (x)=x^2-x+1/x=1 = x^3-x^2+1=x = x^3-x^2-x+1=0 =x^2
(x-1)-(x-1)=0 = (x^2-1)(x-1)=0
O que podemos ver que é verdade, analisando ambos os casos: em que x=1 e
o caso em que 0 x 1.
Abraços,
Mariana
Em 09/06/2015 20:55, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:
Oi Mariana,
Determinei o mínimo da função usando a derivada. Não entendi o seu
caminho, pois a função é
f(x) = x^2-x+1/x.
Abraços
Pacini
Em 9 de junho de 2015 18:09, Mariana Groff
bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu:
Oi Pacini,
Compreendi seu raciocínio. Para provar que f(x)=1, basta analisarmos
que (x^2-1)(x-1)=0, o que verifica-se pois se x=1, o produto é claramente
não-negativo e se 0x1, vemos que, tanto x^2-1 quanto x-1 são negativos,
tornando o produto positivo, isso?
Em 9 de junho de 2015 11:48, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
escreveu:
Oi Mariana,
Observe que provar a desigualdade pedida é equivalente provar que :
{(a/b)^2-a/b+b/a} + {(b/c)^2-b/c+c/b} +{(c/a)^2-c/a+a/c} =3, ok ?
Agora façamos o seguinte :
Seja f(x)= x^2-x+1/x, verifique que para x0 o valor mínimo de f é 1.
Donde teremos a desigualdade provada.
Estou certo pessoal ?
Abraços
Pacini
Em 8 de junho de 2015 20:30, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
Ah não, desculpa, errei em Cauchy ...
Att.
Raphael
Em 08/06/2015 20:27, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
MA=MG
LE=(a/b+b/c+c/a)^2=(3cbrt(abc/abc))^2 =9
Por Cauchy
LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9
LE=9=LD
Em 08/06/2015 19:20, Mariana Groff
bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu:
Boa Noite,
(British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005)
Sejam a,b e c reais positivos.
Prove que
(a/b+b/c+c/a)^2=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
Atenciosamente,
Mariana
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
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acredita-se estar livre de perigo.
--
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acredita-se estar livre de perigo.
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acredita-se estar livre de perigo.
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acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Oi Mariana,
Observe que provar a desigualdade pedida é equivalente provar que :
{(a/b)^2-a/b+b/a} + {(b/c)^2-b/c+c/b} +{(c/a)^2-c/a+a/c} =3, ok ?
Agora façamos o seguinte :
Seja f(x)= x^2-x+1/x, verifique que para x0 o valor mínimo de f é 1.
Donde teremos a desigualdade provada.
Estou certo pessoal ?
Abraços
Pacini
Em 8 de junho de 2015 20:30, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
Ah não, desculpa, errei em Cauchy ...
Att.
Raphael
Em 08/06/2015 20:27, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com escreveu:
MA=MG
LE=(a/b+b/c+c/a)^2=(3cbrt(abc/abc))^2 =9
Por Cauchy
LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9
LE=9=LD
Em 08/06/2015 19:20, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
escreveu:
Boa Noite,
(British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005)
Sejam a,b e c reais positivos.
Prove que
(a/b+b/c+c/a)^2=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
Atenciosamente,
Mariana
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acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Oi Pacini,
Compreendi seu raciocínio. Para provar que f(x)=1, basta analisarmos que
(x^2-1)(x-1)=0, o que verifica-se pois se x=1, o produto é claramente
não-negativo e se 0x1, vemos que, tanto x^2-1 quanto x-1 são negativos,
tornando o produto positivo, isso?
Em 9 de junho de 2015 11:48, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:
Oi Mariana,
Observe que provar a desigualdade pedida é equivalente provar que :
{(a/b)^2-a/b+b/a} + {(b/c)^2-b/c+c/b} +{(c/a)^2-c/a+a/c} =3, ok ?
Agora façamos o seguinte :
Seja f(x)= x^2-x+1/x, verifique que para x0 o valor mínimo de f é 1.
Donde teremos a desigualdade provada.
Estou certo pessoal ?
Abraços
Pacini
Em 8 de junho de 2015 20:30, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
Ah não, desculpa, errei em Cauchy ...
Att.
Raphael
Em 08/06/2015 20:27, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
MA=MG
LE=(a/b+b/c+c/a)^2=(3cbrt(abc/abc))^2 =9
Por Cauchy
LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9
LE=9=LD
Em 08/06/2015 19:20, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
escreveu:
Boa Noite,
(British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005)
Sejam a,b e c reais positivos.
Prove que
(a/b+b/c+c/a)^2=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
Atenciosamente,
Mariana
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Oi Mariana,
Determinei o mínimo da função usando a derivada. Não entendi o seu caminho,
pois a função é
f(x) = x^2-x+1/x.
Abraços
Pacini
Em 9 de junho de 2015 18:09, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
escreveu:
Oi Pacini,
Compreendi seu raciocínio. Para provar que f(x)=1, basta analisarmos que
(x^2-1)(x-1)=0, o que verifica-se pois se x=1, o produto é claramente
não-negativo e se 0x1, vemos que, tanto x^2-1 quanto x-1 são negativos,
tornando o produto positivo, isso?
Em 9 de junho de 2015 11:48, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
escreveu:
Oi Mariana,
Observe que provar a desigualdade pedida é equivalente provar que :
{(a/b)^2-a/b+b/a} + {(b/c)^2-b/c+c/b} +{(c/a)^2-c/a+a/c} =3, ok ?
Agora façamos o seguinte :
Seja f(x)= x^2-x+1/x, verifique que para x0 o valor mínimo de f é 1.
Donde teremos a desigualdade provada.
Estou certo pessoal ?
Abraços
Pacini
Em 8 de junho de 2015 20:30, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
Ah não, desculpa, errei em Cauchy ...
Att.
Raphael
Em 08/06/2015 20:27, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
MA=MG
LE=(a/b+b/c+c/a)^2=(3cbrt(abc/abc))^2 =9
Por Cauchy
LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9
LE=9=LD
Em 08/06/2015 19:20, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
escreveu:
Boa Noite,
(British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005)
Sejam a,b e c reais positivos.
Prove que
(a/b+b/c+c/a)^2=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
Atenciosamente,
Mariana
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Oi Pacini,
Fiz do seguinte modo:
f (x)=x^2-x+1/x=1 = x^3-x^2+1=x = x^3-x^2-x+1=0 =x^2
(x-1)-(x-1)=0 = (x^2-1)(x-1)=0
O que podemos ver que é verdade, analisando ambos os casos: em que x=1 e o
caso em que 0 x 1.
Abraços,
Mariana
Em 09/06/2015 20:55, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:
Oi Mariana,
Determinei o mínimo da função usando a derivada. Não entendi o seu
caminho, pois a função é
f(x) = x^2-x+1/x.
Abraços
Pacini
Em 9 de junho de 2015 18:09, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
escreveu:
Oi Pacini,
Compreendi seu raciocínio. Para provar que f(x)=1, basta analisarmos que
(x^2-1)(x-1)=0, o que verifica-se pois se x=1, o produto é claramente
não-negativo e se 0x1, vemos que, tanto x^2-1 quanto x-1 são negativos,
tornando o produto positivo, isso?
Em 9 de junho de 2015 11:48, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
escreveu:
Oi Mariana,
Observe que provar a desigualdade pedida é equivalente provar que :
{(a/b)^2-a/b+b/a} + {(b/c)^2-b/c+c/b} +{(c/a)^2-c/a+a/c} =3, ok ?
Agora façamos o seguinte :
Seja f(x)= x^2-x+1/x, verifique que para x0 o valor mínimo de f é 1.
Donde teremos a desigualdade provada.
Estou certo pessoal ?
Abraços
Pacini
Em 8 de junho de 2015 20:30, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
Ah não, desculpa, errei em Cauchy ...
Att.
Raphael
Em 08/06/2015 20:27, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
MA=MG
LE=(a/b+b/c+c/a)^2=(3cbrt(abc/abc))^2 =9
Por Cauchy
LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9
LE=9=LD
Em 08/06/2015 19:20, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
escreveu:
Boa Noite,
(British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005)
Sejam a,b e c reais positivos.
Prove que
(a/b+b/c+c/a)^2=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
Atenciosamente,
Mariana
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Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
MA=MG LE=(a/b+b/c+c/a)^2=(3cbrt(abc/abc))^2 =9 Por Cauchy LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9 LE=9=LD Em 08/06/2015 19:20, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu: Boa Noite, (British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005) Sejam a,b e c reais positivos. Prove que (a/b+b/c+c/a)^2=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) Atenciosamente, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Ah não, desculpa, errei em Cauchy ... Att. Raphael Em 08/06/2015 20:27, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com escreveu: MA=MG LE=(a/b+b/c+c/a)^2=(3cbrt(abc/abc))^2 =9 Por Cauchy LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9 LE=9=LD Em 08/06/2015 19:20, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu: Boa Noite, (British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005) Sejam a,b e c reais positivos. Prove que (a/b+b/c+c/a)^2=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) Atenciosamente, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Sejam *x*, *y*,* z* reais positivos tais que *xy* + *yz* + *zx* = 1. Prove que: 2x (1 - x²) + 2y (1 - y²) + 2z (1 - z²) x+ y+z (1+x²)² (1+y²)² (1+z²)² 1+x² 1+y² 1+z²] o problema equivalente a demonstrar que 2-2x^2=1+x^2 x=1/raiz3 (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(1) x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2 x+y+z=rq2 x e maximo para x0 e z0 logo x=rq2=1/rq3 On 5/5/07, Lucas Daniel [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá. Sou aluno do 1.º ano do Ensino Médio e ontem meu professor de Matemática para a OBM me passou um problema sobre desigualdade o qual ainda não consegui resolver. Seria possível me passar a resolução? Obrigado, Lucas. O problema é o seguinte: Sejam *x*, *y*,* z* reais positivos tais que *xy* + *yz* + *zx* = 1. Prove que: 2x (1 - x²) + 2y (1 - y²) + 2z (1 - z²) x+ y+z (1+x²)² (1+y²)² (1+z²)² 1+x² 1+y² 1+z² Obrigado! __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Eu não entendi isso: tgA tgB + tgA tgC + tgB tgC = 1 - A+B+C = Pi/2 Poderia esclarer para mim, por favor? Em 06/05/07, charles[EMAIL PROTECTED] escreveu: Sejam x, y, z reais positivos tais que xy + yz + zx = 1. Prove que: 2x (1 - x²) + 2y (1 - y²) + 2z (1 - z²) x+ y+z (1+x²)² (1+y²)² (1+z²)² 1+x² 1+y² 1+z² De a função tangente ser bijetora no intervalo [0,pi/2], nos reais positivos, existe apenas um tgA=x, tgB=y e TgC=z. Da formula da soma da tangente de trs termos(calcule) temos que tgATgB +TgBTgC +TgATgC=1 se e só se A + B + C= pi/2 aí de (tga)^2 +1=(secx)^2 e de 1-(tgx)^2=cos(2x)/(cosx)^2, a des fica: depois fica um negocio assim: sen(4A) + sen(4B)+sen(4C) = sen(2A) +sen(2B)+sen(2C) lado direito: 2sen(a+b)cos(a-b)+sen(2(a+b))=2sen(a+b)[cos(a-b)+cos(a+b)]=4sen(a+b)[cosacosb] lado esquerdo: 2sen(2a+2b)cos(2a-2b)-2sen[2a+2B]cos(2a+2b)=2sen(2a+2b)[cos(2a-2b)-cos(2a+2b)]=4sena+bcos(a+b)2sen(2a)sen(2b) fica, cancelando: sena.senb.senc=1/8 que sai por JENSEN, senx é concava em 0,pi/2 derivada segunda é menor que zero (-cosx, x pertencente a 0,pi/2) logo: sena.senb.senc=(sena+senb+senc)^3/3^3 (média aritmética-geométrica) =(3.sen(pi/6))^3/3^3(des.jensen)=1/8, pronto. provavelmente tem algum erro ae mas ali no meio da parte de trigonometria eu usei as fórmulas de tranformar soma em produto algumas vezes. Mas cara na tua escola voce tem um professor só para obm? eu queria estudar numa escola assim.voce tem sorte! Obrigado! __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Sejam *x*, *y*,* z* reais positivos tais que *xy* + *yz* + *zx* = 1. Prove que: 2x (1 - x²) + 2y (1 - y²) + 2z (1 - z²) x+ y+ z (1+x²)² (1+y²)² (1+z²)² 1+x² 1+y² 1+z² De a função tangente ser bijetora no intervalo [0,pi/2], nos reais positivos, existe apenas um tgA=x, tgB=y e TgC=z. Da formula da soma da tangente de trs termos(calcule) temos que tgATgB +TgBTgC +TgATgC=1 se e só se A + B + C= pi/2 aí de (tga)^2 +1=(secx)^2 e de 1-(tgx)^2=cos(2x)/(cosx)^2, a des fica: depois fica um negocio assim: sen(4A) + sen(4B)+sen(4C) = sen(2A) +sen(2B)+sen(2C) lado direito: 2sen(a+b)cos(a-b)+sen(2(a+b))=2sen(a+b)[cos(a-b)+cos(a+b)]=4sen(a+b)[cosacosb] lado esquerdo: 2sen(2a+2b)cos(2a-2b)-2sen[2a+2B]cos(2a+2b)=2sen(2a+2b)[cos(2a-2b)-cos(2a+2b)]=4sena+bcos(a+b)2sen(2a)sen(2b) fica, cancelando: sena.senb.senc=1/8 que sai por JENSEN, senx é concava em 0,pi/2 derivada segunda é menor que zero (-cosx, x pertencente a 0,pi/2) logo: sena.senb.senc=(sena+senb+senc)^3/3^3 (média aritmética-geométrica) =( 3.sen(pi/6))^3/3^3(des.jensen)=1/8, pronto. provavelmente tem algum erro ae mas ali no meio da parte de trigonometria eu usei as fórmulas de tranformar soma em produto algumas vezes. Mas cara na tua escola voce tem um professor só para obm? eu queria estudar numa escola assim.voce tem sorte! Obrigado! __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Olá, se x 1/sqrt(3), y 1/sqrt(3), z 1/sqrt(3) ... xy 1/3 ... xz 1/3 ... yz 1/3 xy + xz + yz 1 ... opz! absurdo! entao, pelo menos 1 tem que ser menor ou igual a 1/sqrt(3)... se x 1/sqrt(3), y 1/sqrt(3), z 1/sqrt(3)... xy 1/3 .. xz 1/3 ... yz 1/3 ... xy + xz + yz 1 ... opz! absurdo! entao, pelo menos 1 tem que ser maior ou igual a 1/sqrt(3)... sem perda de generalidade, vamos supor que x = 1/sqrt(3) e z = 1/sqrt(3) e y pode assumir qualquer valor... mas.. y(x+z) = 1 - xz y = (1-xz)/(x+z) ... como y0, temos: 1-xz 0... xz 1 sabemos que: x 0 e z = 1/sqrt(3) ... logo xz 0 e x+z 1/sqrt(3) logo: y = (1-xz)/(x+z) (1-xz)*sqrt(3) sqrt(3) por enquanto, temos: x = 1/sqrt(3) ...y sqrt(3) ... z = 1/sqrt(3) legal.. achei algumas restricoes.. talvez isso ajude.. vamos analisar esta expressao: - 2x(1-x^2)/(1+x^2)^2 + x(1+x^2)/(1+x^2)^2 = -(2x - 2x^3 - x - x^3)/(1+x^2)^2 = -(-3x^3 + x)/(1+x^2)^2 = x(3x^2 - 1)/(1+x^2)^2 assim, o que é pedido é equivalente a provar que: x(3x^2 - 1)/(1+x^2)^2 + y(3y^2 - 1)/(1+y^2)^2 + z(3z^2 - 1)/(1+z^2)^2 = 0 como x = 1/sqrt(3) ... x(3x^2 - 1)/(1+x^2)^2 = 0 como z = 1/sqrt(3) ... z(3z^2 - 1)/(1+z^2)^2 = 0 pra y, pode ser negativo ou positivo... hehe bom.. nao cheguei em lugar nenhum estou enviando pra ver se ajuda alguem.. vou tentar outra solucao.. realmente, nao gostei do q fiz! hehe abracos, Salhab On 5/5/07, Lucas Daniel [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá. Sou aluno do 1.º ano do Ensino Médio e ontem meu professor de Matemática para a OBM me passou um problema sobre desigualdade o qual ainda não consegui resolver. Seria possível me passar a resolução? Obrigado, Lucas. O problema é o seguinte: Sejam x, y, z reais positivos tais que xy + yz + zx = 1. Prove que: 2x (1 - x²) + 2y (1 - y²) + 2z (1 - z²) x+ y+z (1+x²)² (1+y²)² (1+z²)² 1+x² 1+y² 1+z² Obrigado! __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
linda solucao!!! :) abracos, Salhab On 5/6/07, charles [EMAIL PROTECTED] wrote: Sejam x, y, z reais positivos tais que xy + yz + zx = 1. Prove que: 2x (1 - x²) + 2y (1 - y²) + 2z (1 - z²) x+ y+z (1+x²)² (1+y²)² (1+z²)² 1+x² 1+y² 1+z² De a função tangente ser bijetora no intervalo [0,pi/2], nos reais positivos, existe apenas um tgA=x, tgB=y e TgC=z. Da formula da soma da tangente de trs termos(calcule) temos que tgATgB +TgBTgC +TgATgC=1 se e só se A + B + C= pi/2 aí de (tga)^2 +1=(secx)^2 e de 1-(tgx)^2=cos(2x)/(cosx)^2, a des fica: depois fica um negocio assim: sen(4A) + sen(4B)+sen(4C) = sen(2A) +sen(2B)+sen(2C) lado direito: 2sen(a+b)cos(a-b)+sen(2(a+b))=2sen(a+b)[cos(a-b)+cos(a+b)]=4sen(a+b)[cosacosb] lado esquerdo: 2sen(2a+2b)cos(2a-2b)-2sen[2a+2B]cos(2a+2b)=2sen(2a+2b)[cos(2a-2b)-cos(2a+2b)]=4sena+bcos(a+b)2sen(2a)sen(2b) fica, cancelando: sena.senb.senc=1/8 que sai por JENSEN, senx é concava em 0,pi/2 derivada segunda é menor que zero (-cosx, x pertencente a 0,pi/2) logo: sena.senb.senc=(sena+senb+senc)^3/3^3 (média aritmética-geométrica) =(3.sen(pi/6))^3/3^3(des.jensen)=1/8, pronto. provavelmente tem algum erro ae mas ali no meio da parte de trigonometria eu usei as fórmulas de tranformar soma em produto algumas vezes. Mas cara na tua escola voce tem um professor só para obm? eu queria estudar numa escola assim.voce tem sorte! Obrigado! __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
