[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Como a função x ---> 1/x3 , x > 0, é postiva e estritamente decrescente, para todo inteiro positivo n temos que Soma(1, n) 1/k^3 = 1 + Soma(2, n) 1/k^3 < 1 + Integral (2,n) 1/x^3 dx < 1 + Integral (2, oo) 1/x^3 dx = 1 + [-1/(2x^2)] [2, oo) = 1 + 1/1/8 = 9/8 < 10/8 = 5/4 Em ter., 16 de fev. de 2021 07:23, escreveu: > Seja n um inteiro positivo. Prove que: > > Somatório(1/k^3)<5/4 , k=1 até n > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Somatório
Seja n um inteiro positivo. Prove que: Somatório(1/k^3)<5/4 , k=1 até n -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Há alguma forma fácil de provar o citado abaixo sobre um somatório?
Sejam a_1, a_n, n >= 2, números positivos distintos e seja m um inteiro tal que 0 <= m <= 2n - 2. Para k = 1, ... n, seja b_k = [(a_k)^(m - 1)]/Produto(j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2 - (a_k)^2) e seja S_n = Soma(k = 1, n) b_k Temos então que Se m for ímpar, ,então S_n = 0 Se m for par, então Se mod(m, 4) = 0, S_n > 0. Caso contrário, S_n < 0. Eu acho que isso é verdadeiro. Dá para mostrar usando desigualdades clássicas como MA >= MG? Abrs Artur -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] somatório
Como eu posso provar de maneira fácil que a sequencia de baixo obedece a mesma relação de recorrencia que a que está descrita logo acima [image: image.png] -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Encontrar a função que minimiza o somatório
Seja y uma função tal que integral (de 0 até y^(-1)(n_f * h)) (y(x) ) = A No qual y(-1) é sua inversa e y' sua derivada, encontrar y que minimiza o somatório S S = somatório (de i=1 até i=n_f ) [ h/( y'( y^(-1)(i* h) ) ) ]^v Obs: n_f>>1 A e v são constantes. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Dá 41. Em 21 de outubro de 2014 19:53, ruymat...@ig.com.br escreveu: Não lembro a notação para somatório usada aqui. Vou escrever assim: Seja o SOMATÓRIO com n variando de zero a infinito de sen(nx)/3^n=(a+bsqrt(2))/c. Se mdc(a,b)=1 , senx=1/3 e 0=x=pi/2, calcule a+b+c. Quem ajudar, agradeço antecipadamente. Abraços a todos. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
É só usar a forma complexa do seno e transformar na diferença de duas séries geométricas. Aí a soma dá (5+2sqrt(2))/34 Em 22 de outubro de 2014 10:02, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com escreveu: Dá 41. Em 21 de outubro de 2014 19:53, ruymat...@ig.com.br escreveu: Não lembro a notação para somatório usada aqui. Vou escrever assim: Seja o SOMATÓRIO com n variando de zero a infinito de sen(nx)/3^n=(a+bsqrt(2))/c. Se mdc(a,b)=1 , senx=1/3 e 0=x=pi/2, calcule a+b+c. Quem ajudar, agradeço antecipadamente. Abraços a todos. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Somatório
Não lembro a notação para somatório usada aqui. Vou escrever assim: Seja o SOMATÓRIO com n variando de zero a infinito de sen(nx)/3^n=(a+bsqrt(2))/c. Se mdc(a,b)=1 , senx=1/3 e 0=x=pi/2, calcule a+b+c. Quem ajudar, agradeço antecipadamente. Abraços a todos. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Somatório
Primeiro você toma 3 somas: 1 - 1 + 1 - 1 ... = s1 1-2+3-4+5-6+... = s2 1+2+3+4+5...=s3 A primeira vai dar 1/2 pois se parar em um número ímpar dá 1 e se parar em um par da 0. A segunda se você somá-la a ela mesma mas com um zero na frente (1-2+3-4+5-6+...) + (0+1-2+3-4+5-6+...) vai dar 1-1+1-1... = s1 = 1/2 = 2s2, então s2 = 1/4... Por fim: se subtrair s3 de s2 dará o somatório de todos múltiplos de 4 - 4(1+2+3+4...) = s3 -s2 - 4(s3) = s3 - 1/4 - s3 = -1/12 que é o somatório de todos naturais. Em 12/04/2014, às 12:53, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta: http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893 Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma prova de que a soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui encontrar na época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe como explicar esse absurdo ou então existe alguma explicação física, como diz o site? Obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Esse link é interessante: https://www.youtube.com/watch?v=0Oazb7IWzbA Em 12 de abril de 2014 12:53, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.comescreveu: Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta: http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893 Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma prova de que a soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui encontrar na época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe como explicar esse absurdo ou então existe alguma explicação física, como diz o site? Obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Somatório
Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta: http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893 Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma prova de que a soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui encontrar na época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe como explicar esse absurdo ou então existe alguma explicação física, como diz o site? Obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Em algum sentido, parece ser verdade! Veja a seção smoothed asymptotics desta página da wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_⋯ antes de consultar quem realmente entende http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/ [], Leo. 2014-04-12 12:53 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com: Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta: http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893 Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma prova de que a soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui encontrar na época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe como explicar esse absurdo ou então existe alguma explicação física, como diz o site? Obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Somatório
Olá. Não me aprofundei nestes temas, mas se for o que suponho, está ligado a um tema chamado de 'somas de Cesàro'. Gostaria de saber mais, inclusive sobre teoremas abelianos e tauberianos, se realmente tiver a ver com essa séria da camiseta. Em Sat, 12 Apr 2014 12:53:59 -0300 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta: http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893 Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma prova de que a soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui encontrar na época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe como explicar esse absurdo ou então existe alguma explicação física, como diz o site? Obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] SOMATÓRIO
Olá, só consegui fazer limitações e não consegui determinar o valor do somatório abaixo . Alguém me ajuda ? somatório de zero ao infinito de (2^(2^n))/((2^(2^(n+1))-1) . abs Bob -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] SOMATÓRIO
Seja S o valor do somatório . Tente mostrar que : 1 - 1/(2^(2^n)) S 1/2+1/4+1/8+1/16+... Pacini Em 3 de agosto de 2013 11:26, Bob Roy bob...@globo.com escreveu: Olá, só consegui fazer limitações e não consegui determinar o valor do somatório abaixo . Alguém me ajuda ? somatório de zero ao infinito de (2^(2^n))/((2^(2^(n+1))-1) . abs Bob -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] SOMATÓRIO
Um outro modo usa a fatoração y²-1=(y-1) (y+1) com y=2 ^(2^k) simplifica a fração usando isso e cai numa soma telescópica ( os termos vão se anulando conforme vai somando), com isso dá para achar a fórmula da soma finita, depois tomar o limite . Dá para estudar essa questão com x^{2^k} no lugar de 2 ^(2^k) o processo é o mesmo. O caso geral com x, faz a série convergir para (x+1)/(x²+1) se |x|1 . Tenho essa questão escrita em um pdf, com outras somas também, se quiser dar uma olhada, página 69 https://www.dropbox.com/s/okrvri90pbq0so3/sum2-poli-inver-harm-gamma.pdf Em 3 de agosto de 2013 12:04, Pacini Bores pacini.bo...@globo.comescreveu: Seja S o valor do somatório . Tente mostrar que : 1 - 1/(2^(2^n)) S 1/2+1/4+1/8+1/16+... Pacini Em 3 de agosto de 2013 11:26, Bob Roy bob...@globo.com escreveu: Olá, só consegui fazer limitações e não consegui determinar o valor do somatório abaixo . Alguém me ajuda ? somatório de zero ao infinito de (2^(2^n))/((2^(2^(n+1))-1) . abs Bob -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Re: [obm-l] Outro Somatório
Eu acho que a mensagem que estou tentando mandar desde cedo não está chegando. Uso outro email para reenviá-la. === Sauda,c~oes, peterdirichlet, João, O Peter tá certo mas ainda há muita coisa a ser feita (não vi o artigo). A soma S_n do João é um caso particular de um resultado mais geral. Assim S_n = (2^n + 2\cos\frac{(n-2)\pi}{3})/3 Para os detalhes, ver o exercício 85 do Manual de Seq. e Séries Vol 2 em http://www.escolademestres.com/qedtexte Abs, Luís Date: Tue, 24 Jan 2012 15:03:41 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Outro Somatório From: peterdirich...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br O meu artigo na penúltima raízes da unidade (que fiz junto com o Tengan!) explica como calcular tais somatórios. Se quiser uma dica, tente raízes da unidade no binômio de Newton. Em 22 de janeiro de 2012 00:27, João Maldonado lt;joao_maldona...@hotmail.comgt; escreveu: Como posso calcular o somatório abaixo? []'sJoão
[obm-l] Re: [obm-l] Outro Somatório
O meu artigo na penúltima raízes da unidade (que fiz junto com o Tengan!) explica como calcular tais somatórios. Se quiser uma dica, tente raízes da unidade no binômio de Newton. Em 22 de janeiro de 2012 00:27, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.comescreveu: Como posso calcular o somatório abaixo? http://imageshack.us/photo/my-images/19/dfhdfghghj.jpg/ []'s João -- /**/ 神が祝福 Torres
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] somatório
Joao, eu nao consegue resolver fazendo isso que voce falo.Posta sua solucao por favor =x GratoCoulbert From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] somatório Date: Wed, 18 Jan 2012 16:55:06 -0200 Faça a, b e c naturais que não são quadrados perfeitos Prove que sqrt(a) + sqrt(b) = x irracionalsqrt(b) + sqrt(c) = y irracionalsqrt(c) + sqrt(a) = z irracional sqrt(a) + sqrt(b) sqrt(c) = (x+y+z)/2 Prove que x+y+z é irracional e generalise []'sJoão From: felippeba...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] somatório Date: Wed, 18 Jan 2012 16:30:54 -0200 Estou tentando provar um somatório faz um tempo e não estou conseguindo de jeito nenhum, queria a ajuda de vocês. Por favor! provar que somatório de k= 2 até n (sqrt k)é irracional para qualquer n natural = 2 Eu consegui dar alguns passos mas nada que chegue muito perto. Tentei expandir para serie de Taylor e usar o resto de Lagrange, nada. Tentei outras coisas e cheguei um pouco mais próximo mas novamente fica muito difícil generalizar. Por favor, não postem a solução, apenas fale as ideias que usaram. GratoCoulbert
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] somatório
Tente assim: Sendo a = sqrt(A)b = sqrt(B) c = sqrt(C) d = sqrt(D) Sendo A, B, C, D inteiros não quadrados perfeitos: Provar que a + b é irracional, sendo que ab não é quadrado perfeito :(a+b) = r (r = racional) (a+b)² = ra² + 2ab + b² = rab = r, absurdo Provar que a + b + c é irracional, sendo que ABC não é quadrado perfeto:(a+b+c) = r(a+b+c)² = rab + bc + ac = r(ab + bc + ac)² = r(a + b + c)abc = r abc = r, absurdo Provar que a + b + c + d é irracional, sendo que ABCD não é quadrado perfto: (a + b + c + d) = r(a + b + c + d)² = r(ab + bc + cd + da) = r(ab + bc + cd + da)² = r (a²bd + ab²c + ac²d + bc²d) + (2abcd) = r(a²bd + ab²c + ac²d + bc²d)² 4 (a²bd + ab²c + ac²d + bc²d)abcd + 4(abcd)² = r4abcd(a²b² + b²c² + c²d² + d²a²) + 4abcd(a²bd + ab²c + ac²d + bc²d) = rabcd²(a²bd + ab²c + ac²d + bc²d)² = rabcd(a²b² + b²c² + c²d² + d²a²) = rabcd = r, absurdo Tente generalisar isso E depois provar que n! não pode ser quadrado perfeito sendo 1! []'sJoão From: felippeba...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] somatório Date: Fri, 20 Jan 2012 20:44:07 -0200 Joao, eu nao consegue resolver fazendo isso que voce falo.Posta sua solucao por favor =x GratoCoulbert From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] somatório Date: Wed, 18 Jan 2012 16:55:06 -0200 Faça a, b e c naturais que não são quadrados perfeitos Prove que sqrt(a) + sqrt(b) = x irracionalsqrt(b) + sqrt(c) = y irracionalsqrt(c) + sqrt(a) = z irracional sqrt(a) + sqrt(b) sqrt(c) = (x+y+z)/2 Prove que x+y+z é irracional e generalise []'sJoão From: felippeba...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] somatório Date: Wed, 18 Jan 2012 16:30:54 -0200 Estou tentando provar um somatório faz um tempo e não estou conseguindo de jeito nenhum, queria a ajuda de vocês. Por favor! provar que somatório de k= 2 até n (sqrt k)é irracional para qualquer n natural = 2 Eu consegui dar alguns passos mas nada que chegue muito perto. Tentei expandir para serie de Taylor e usar o resto de Lagrange, nada. Tentei outras coisas e cheguei um pouco mais próximo mas novamente fica muito difícil generalizar. Por favor, não postem a solução, apenas fale as ideias que usaram. GratoCoulbert
[obm-l] somatório
Estou tentando provar um somatório faz um tempo e não estou conseguindo de jeito nenhum, queria a ajuda de vocês. Por favor! provar que somatório de k= 2 até n (sqrt k)é irracional para qualquer n natural = 2 Eu consegui dar alguns passos mas nada que chegue muito perto. Tentei expandir para serie de Taylor e usar o resto de Lagrange, nada. Tentei outras coisas e cheguei um pouco mais próximo mas novamente fica muito difícil generalizar. Por favor, não postem a solução, apenas fale as ideias que usaram. GratoCoulbert
[obm-l] RE: [obm-l] somatório
Faça a, b e c naturais que não são quadrados perfeitos Prove que sqrt(a) + sqrt(b) = x irracionalsqrt(b) + sqrt(c) = y irracionalsqrt(c) + sqrt(a) = z irracional sqrt(a) + sqrt(b) sqrt(c) = (x+y+z)/2 Prove que x+y+z é irracional e generalise []'sJoão From: felippeba...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] somatório Date: Wed, 18 Jan 2012 16:30:54 -0200 Estou tentando provar um somatório faz um tempo e não estou conseguindo de jeito nenhum, queria a ajuda de vocês. Por favor! provar que somatório de k= 2 até n (sqrt k)é irracional para qualquer n natural = 2 Eu consegui dar alguns passos mas nada que chegue muito perto. Tentei expandir para serie de Taylor e usar o resto de Lagrange, nada. Tentei outras coisas e cheguei um pouco mais próximo mas novamente fica muito difícil generalizar. Por favor, não postem a solução, apenas fale as ideias que usaram. GratoCoulbert
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] somatório
2012/1/18 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Faça a, b e c naturais que não são quadrados perfeitos Prove que sqrt(a) + sqrt(b) = x irracional sqrt(b) + sqrt(c) = y irracional sqrt(c) + sqrt(a) = z irracional sqrt(a) + sqrt(b) sqrt(c) = (x+y+z)/2 Prove que x+y+z é irracional e generalise Só uma coisa: a soma de 3 irracionais (positivos) não é necessariamente irracional... Assim, o argumento que o João propõe é mais complicado do que uma recorrência. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Somatório
Olá Pessoal, Não esotu conseguindo fazer o seguinte exercício: Provar que somatório de i=1 a n de i(i+1) é igual a [n(n+1)(n+2)]/3 Alguém póderia ajudar? Abraços, -- Bastos
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Note que i(i+1) = 2.[Combinação de i+1 escolhidos 2 a 2] Em seguida, use uma das propriedades do Triângulo de Pascal-Tartaglia. Em 9 de maio de 2011 14:17, Kleber Bastos klebe...@gmail.com escreveu: Olá Pessoal, Não esotu conseguindo fazer o seguinte exercício: Provar que somatório de i=1 a n de i(i+1) é igual a [n(n+1)(n+2)]/3 Alguém póderia ajudar? Abraços, -- Bastos
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
o somatorio em questão é S(n)= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1), agora veja que ele é equivalente a S(n)/2 = (1.2)/2 + (2.3)/2 + (3.4)/2 + ... + n(n+1)/2, a soma dos n primeiros números triangulares. Imagine então esses diversos triângulos feitos de bolinhas, teremos, dentre todos os triângulos contidos nessa soma, somente uma fileira com n bolinhas, 2 com n-1 bolinhas, 3 com n-2, etc, logo a soma pode ser reescrita como S(n)/2 = 1n + 2(n-1) + 3(n-2) + ... + n[n-(n-1)] = 1n + 2n - 2 + 3n - 6 +...+ n^2 - n(n-1) rearrumando os termos, teremos: S(n)/2 = n(1 + 2 + 3 + ... + n) - 2[ 1 + 3 + 6 + ... + n(n-1)] Repare que o termo em colchetes é = S(n)/2 - n(n+1)/2 == == S(n)/2 = n[n(n+1)/2] - 2[S(n)/2 - n(n+1)/2] == 3S(n)/2 = n^2(n+1)/2 + n(n+1) == S(n)/2= (n+1)(n^2+2n)/6=n(n+1)(n+2)/6 == S(n)=n(n+1)(n+2)/3, QED Em 9 de maio de 2011 14:17, Kleber Bastos klebe...@gmail.com escreveu: Olá Pessoal, Não esotu conseguindo fazer o seguinte exercício: Provar que somatório de i=1 a n de i(i+1) é igual a [n(n+1)(n+2)]/3 Alguém póderia ajudar? Abraços, -- Bastos
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Muito bom pessoal. Ajudou em muito...! Abraços, Kleber. Em 9 de maio de 2011 15:15, rodrigocientista rodrigocientis...@gmail.comescreveu: o somatorio em questão é S(n)= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1), agora veja que ele é equivalente a S(n)/2 = (1.2)/2 + (2.3)/2 + (3.4)/2 + ... + n(n+1)/2, a soma dos n primeiros números triangulares. Imagine então esses diversos triângulos feitos de bolinhas, teremos, dentre todos os triângulos contidos nessa soma, somente uma fileira com n bolinhas, 2 com n-1 bolinhas, 3 com n-2, etc, logo a soma pode ser reescrita como S(n)/2 = 1n + 2(n-1) + 3(n-2) + ... + n[n-(n-1)] = 1n + 2n - 2 + 3n - 6 +...+ n^2 - n(n-1) rearrumando os termos, teremos: S(n)/2 = n(1 + 2 + 3 + ... + n) - 2[ 1 + 3 + 6 + ... + n(n-1)] Repare que o termo em colchetes é = S(n)/2 - n(n+1)/2 == == S(n)/2 = n[n(n+1)/2] - 2[S(n)/2 - n(n+1)/2] == 3S(n)/2 = n^2(n+1)/2 + n(n+1) == S(n)/2= (n+1)(n^2+2n)/6=n(n+1)(n+2)/6 == S(n)=n(n+1)(n+2)/3, QED Em 9 de maio de 2011 14:17, Kleber Bastos klebe...@gmail.com escreveu: Olá Pessoal, Não esotu conseguindo fazer o seguinte exercício: Provar que somatório de i=1 a n de i(i+1) é igual a [n(n+1)(n+2)]/3 Alguém póderia ajudar? Abraços, -- Bastos -- Kleber B. Bastos
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Demonstração de somatório
Não estou decorando fórmulas, encontrei as duas fórmulas fechadas para os somatórios utilizando o binômio cúbico, se bem que o 4 multiplicado é muito mais simples. Obrigado pela demonstração anterior. 2011/3/3 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Henrique, pessoalmente eu acho o meu método (não sei se você já recebeu), mais fácil do que ficar decorando fórmulas, mas se você quiser fazer do seu jeito, tente para n par e n ímpar 2 casos distintos, e além disso o n' da segunda expressão serian/2 ou (n-1)/2, já que a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 é a soma até 2n, repare que: 2² + 4² +... +(2n)² = 4.(1² + 2² +...+n²) = 4 (n) (n+1)(2n +1)/6 = 2(n)(n+1(2n+1)/3 []'s João Date: Thu, 3 Mar 2011 14:01:59 -0300 Subject: [obm-l] Demonstração de somatório From: henrique.re...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada? 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1) Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2 + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ..., mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo: Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2) n: 1, soma: 1^2 n: 2, soma: 1^2 + 2^2 n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2 ... Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3) n: 1, soma: 2^2 n: 2, soma: 2^2 + 4^2 n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2 ... Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2 + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Demonstração de somatório
Como pode ser demonstrada a igualdade abaixo? 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n+1)! - 1 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração de somatório
Olá Então , nessa última perceba que k.(k!)= (k+1)!-k! aplique a soma de ambos os lados a soma no segundo termo é telescópica ( os termos vão se anulando) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: Demonstração de somatório
Acho que encontrei: 4! - 3! + 3! - 2! + 2! - 1! + 1! - 0! = 4.3! - 3! + 3.2! - 2! + 2.1! - 1! + 1.0! - 0! = (4-1).3! + (3-1).2! + (2-1).1! + (1-1).0! = 3.3! + 2.2! + 1.1! = 4! - 1 2011/3/4 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Como pode ser demonstrada a igualdade abaixo? 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n+1)! - 1 -- Henrique -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: Demonstração de somatório
Nem precisa tanta coisa por indução somando (n+1).(n+1)! (n+1).(n+1)! + (n+1)! - 1 = (n+2)! - 1 (n+2).(n+1)! - 1 = (n+2)! - 1 (n+2)! - 1 = (n+2)! - 1, verdadeiro Date: Fri, 4 Mar 2011 16:44:10 -0300 Subject: [obm-l] Re: Demonstração de somatório From: henrique.re...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Acho que encontrei: 4! - 3! + 3! - 2! + 2! - 1! + 1! - 0! = 4.3! - 3! + 3.2! - 2! + 2.1! - 1! + 1.0! - 0! = (4-1).3! + (3-1).2! + (2-1).1! + (1-1).0! = 3.3! + 2.2! + 1.1! = 4! - 1 2011/3/4 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Como pode ser demonstrada a igualdade abaixo? 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n+1)! - 1 -- Henrique -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: Demonstração de somatório
Olá Henrique Então pode ser feito assim mesmo como você percebeu, os termos vão se anulando essa técnica de soma telescópica talvez seja a mais importante para demonstração\ dedução ( não indutiva) de fórmula para somatórios em geral vale o seguinte Soma telescópica somatório ( de k=1 até n) de g (k+1) - g ( k )= g(n+1)-g(1) daí aplicando isso sai direto ( não acho é tanta coisa) de k.(k!)= (k+1)!-k! aplicando a soma somatório ( de k=1 até n) de k.(k! ) = somatório ( de k=1 até n) (k+1)!-k! = (n+1)!-1 por soma telescópica. Abraço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Demonstração de somatório
Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada? 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1) Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2 + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ..., mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo: Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2) n: 1, soma: 1^2 n: 2, soma: 1^2 + 2^2 n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2 ... Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3) n: 1, soma: 2^2 n: 2, soma: 2^2 + 4^2 n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2 ... Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2 + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Demonstração de somatório
Olá, Chamando a expressão de S, x² - (x+1)² = -2x - 1, com x = 2k+1, -4k - 3 se n é par, S= -4.(0+1+2+3+...+ (n-2)/2) - 3n/2 = -4.((n-2)/2) (n/2)/2 - n/2 = - (n-2)(n)/2 - 3n/2 = -(n)(n+1)/2 Se n é impar, n-1 é par, logo S= -(n-1.(n)/2 + n² = n.(n+1)/2 []s, João Date: Thu, 3 Mar 2011 14:01:59 -0300 Subject: [obm-l] Demonstração de somatório From: henrique.re...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada? 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1) Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2 + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ..., mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo: Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2) n: 1, soma: 1^2 n: 2, soma: 1^2 + 2^2 n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2 ... Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3) n: 1, soma: 2^2 n: 2, soma: 2^2 + 4^2 n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2 ... Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2 + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Demonstração de somatório
Henrique, pessoalmente eu acho o meu método (não sei se você já recebeu), mais fácil do que ficar decorando fórmulas, mas se você quiser fazer do seu jeito, tente para n par e n ímpar 2 casos distintos, e além disso o n' da segunda expressão serian/2 ou (n-1)/2, já que a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 é a soma até 2n, repare que: 2² + 4² +... +(2n)² = 4.(1² + 2² +...+n²) =4 (n) (n+1)(2n +1)/6 = 2(n)(n+1(2n+1)/3 []'s João Date: Thu, 3 Mar 2011 14:01:59 -0300 Subject: [obm-l] Demonstração de somatório From: henrique.re...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada? 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1) Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2 + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ..., mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo: Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2) n: 1, soma: 1^2 n: 2, soma: 1^2 + 2^2 n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2 ... Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3) n: 1, soma: 2^2 n: 2, soma: 2^2 + 4^2 n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2 ... Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2 + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração de somatório
1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1) (1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)...+(-1^n(n-1)-(-1)^(n+1)n)((-1)^n(n-1)+(-1)^(n+1)n)= n par -(1+2+3+..+n)=-n(1+n)/2 n impar -(n-1)n/2+ [(-1)^(n+1)]n^2=-(n-1)n/2+n^2=(n/2)(n+1) logo sn=(-1)^(n+1)n(n+1)/2 2011/3/3 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada? 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1) Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2 + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ..., mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo: Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2) n: 1, soma: 1^2 n: 2, soma: 1^2 + 2^2 n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2 ... Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3) n: 1, soma: 2^2 n: 2, soma: 2^2 + 4^2 n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2 ... Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2 + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Demonstração de somatório
A soma dos m/2 primeiros pares ( de 2 à m) ou dos (m+1)/2 impares (de 1 à m) é dada por [m+2)(m+1)m]/6. Assim, seu somatório, para n par será [(n+1)n(n-1) - (n+2)(n+1)n]/6 = (n-1-n-2)n(n+1)/6 = -n(n+1)/2 (onde para os impares m=n-1), e para n impar [(n+2)(n+1)n - (n+1)n(n-1)]/6 = [(n+2-n+1)(n+1)n]/6 = n(n+1)/2 . [ ]'s
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Fórmula fechada para somatório
Desculpe, m varia de 1 até n+1, ou seja, m = 1, 2, ..., n+1, e não seria a fórmula de combinação, seria m(m+1)/2. 2011/2/22 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Eu estava utilizando essa forma mesmo para resolver diversos somatórios, resolvi até o somatório da quarta potência dos inteiros. No somatório que coloquei a dúvida, não havia desenvolvido a multiplicação, depois vi que seria a soma dos quadrados dos inteiros com a soma dos pares, bem simples. Mas estou em dúvida em outro somatório agora, seria a soma dos números triangulares, onde cada termo é a combinação de m dois a dois, com m iniciando em 2, ou seja, cada termo é da forma Cm,2, m = 2, 3, ..., n. 1 + 3 + 6 + ... + n(n+1)/2 = n(n+1)(n+2)/6 2011/2/16 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Vou dar uma dica para achar as somas dos quadrados, dos cubos, etc. Sendo Sa a soma 1+2+3+...+a Sa² a soma 1²+2²+3²+...+a² Sa³ 1³+2³+3³+...+a ³ e assim por diante Podemos calcular Sa^n da seguinte forma: Fazemos (a+1)^(n+1) Ex para Sa (a+1)² = a² + 2a + 1 Logo (0+1)² = 0² + 2.0 + 1 (1+1)² = 1² + 2.1 + 1 . . (a+1)² = a² +2a + 1 Somand: 1²+2²+3² +...+(a+1)²= 0²+1²+...+a²+2Sa+a+1 (a+1 )² - (a+1) = 2Sa S = a.(a+1)/2 Do mesmo modo (a+1)³ = 3Sa² + 3Sa + a + 1 Sa² = (2n³+3n²+n)/6 Sa³ = (Sa)² Vou deixar pra você a Sa^4 []'s João Date: Wed, 16 Feb 2011 16:16:13 -0200 Subject: [obm-l] Fórmula fechada para somatório From: henrique.re...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Como pode ser demonstrada a seguinte igualdade? 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n+2) = n(n+1)(2n+7)/6 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Fórmula fechada para somatório
Eu estava utilizando essa forma mesmo para resolver diversos somatórios, resolvi até o somatório da quarta potência dos inteiros. No somatório que coloquei a dúvida, não havia desenvolvido a multiplicação, depois vi que seria a soma dos quadrados dos inteiros com a soma dos pares, bem simples. Mas estou em dúvida em outro somatório agora, seria a soma dos números triangulares, onde cada termo é a combinação de m dois a dois, com m iniciando em 2, ou seja, cada termo é da forma Cm,2, m = 2, 3, ..., n. 1 + 3 + 6 + ... + n(n+1)/2 = n(n+1)(n+2)/6 2011/2/16 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Vou dar uma dica para achar as somas dos quadrados, dos cubos, etc. Sendo Sa a soma 1+2+3+...+a Sa² a soma 1²+2²+3²+...+a² Sa³ 1³+2³+3³+...+a ³ e assim por diante Podemos calcular Sa^n da seguinte forma: Fazemos (a+1)^(n+1) Ex para Sa (a+1)² = a² + 2a + 1 Logo (0+1)² = 0² + 2.0 + 1 (1+1)² = 1² + 2.1 + 1 . . (a+1)² = a² +2a + 1 Somand: 1²+2²+3² +...+(a+1)²= 0²+1²+...+a²+2Sa+a+1 (a+1 )² - (a+1) = 2Sa S = a.(a+1)/2 Do mesmo modo (a+1)³ = 3Sa² + 3Sa + a + 1 Sa² = (2n³+3n²+n)/6 Sa³ = (Sa)² Vou deixar pra você a Sa^4 []'s João Date: Wed, 16 Feb 2011 16:16:13 -0200 Subject: [obm-l] Fórmula fechada para somatório From: henrique.re...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Como pode ser demonstrada a seguinte igualdade? 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n+2) = n(n+1)(2n+7)/6 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Fórmula fechada para somatório
Olá *notação coeficientes binomiais c ( k , p ) : = k! / ( p! (k-p)! ) Coeficientes binomiais são fáceis de se calcular a soma, por causa da relação de stiefel c(k+1 , p+1 ) - c (k, p+1 ) = c ( k, p ) aplicamos a soma de ambos lados, a soma é telescópica soma (de k=0 até n ) c ( k, p ) = c ( n+1, p+1 ) uma maneira de decorar isso é que, quando você soma c ( k, p ) de 0 até n o resultado é só somar +1 em cima e em embaixo no coeficiente binomial soma de c ( k, p ) é c ( n+1, p+1 ) . 1 + 3 + 6 + ... + n(n+1)/2 = n(n+1)(n+2)/6. Então, nesse caso dá para ver com o coeficiente binomial o termo somado é k(k-1)/2 de k=0 até n+1 k(k-1)/2 ´pode ser escrito como c(k, 2 ) ai temos a soma soma (de k=0 até n+1 ) c( k , 2 ) = c (n+2 , 3) = (n+2) (n+1) (n)/6 Valeu = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Fórmula fechada para somatório
Muito legal. From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Fórmula fechada para somatório Date: Wed, 16 Feb 2011 18:32:01 -0200 Vou dar uma dica para achar as somas dos quadrados, dos cubos, etc. Sendo Sa a soma 1+2+3+...+a Sa² a soma 1²+2²+3²+...+a² Sa³ 1³+2³+3³+...+a ³ e assim por diante Podemos calcular Sa^n da seguinte forma: Fazemos (a+1)^(n+1) Ex para Sa (a+1)² = a² + 2a + 1 Logo (0+1)² = 0² + 2.0 + 1 (1+1)² = 1² + 2.1 + 1 . . (a+1)² = a² +2a + 1 Somand: 1²+2²+3² +...+(a+1)²= 0²+1²+...+a²+2Sa+a+1 (a+1 )² - (a+1) = 2Sa S = a.(a+1)/2 Do mesmo modo (a+1)³ = 3Sa² + 3Sa + a + 1 Sa² = (2n³+3n²+n)/6 Sa³ = (Sa)² Vou deixar pra você a Sa^4 []'s João Date: Wed, 16 Feb 2011 16:16:13 -0200 Subject: [obm-l] Fórmula fechada para somatório From: henrique.re...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Como pode ser demonstrada a seguinte igualdade? 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n+2) = n(n+1)(2n+7)/6 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Fórmula fechada para somatório
Como pode ser demonstrada a seguinte igualdade? 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n+2) = n(n+1)(2n+7)/6 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Fórmula fechada para somatório
Sauda, c~oes, Oi Henrique, n(n+2) = n^2 + 2n A soma de 2n é fácil. E a de n^2 é bem conhecida. De qualquer jeito este é o problema 20 no Manual de Seq. e Séries 1. O Manual de Progressões também resolve tais somas. Amostras em www.escolademestres.com/qedtexte []'s Luís Date: Wed, 16 Feb 2011 16:16:13 -0200 Subject: [obm-l] Fórmula fechada para somatório From: henrique.re...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Como pode ser demonstrada a seguinte igualdade? 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n+2) = n(n+1)(2n+7)/6 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Fórmula fechada para somatório
Vou dar uma dica para achar as somas dos quadrados, dos cubos, etc. Sendo Sa a soma 1+2+3+...+a Sa² a soma 1²+2²+3²+...+a² Sa³ 1³+2³+3³+...+a ³ e assim por diante Podemos calcular Sa^n da seguinte forma: Fazemos (a+1)^(n+1) Ex para Sa (a+1)² = a² + 2a + 1 Logo (0+1)² = 0² + 2.0 + 1 (1+1)² = 1² + 2.1 + 1 . . (a+1)² = a² +2a + 1 Somand: 1²+2²+3² +...+(a+1)²= 0²+1²+...+a²+2Sa+a+1 (a+1 )² - (a+1) = 2Sa S = a.(a+1)/2 Do mesmo modo (a+1)³ = 3Sa² + 3Sa + a + 1 Sa² = (2n³+3n²+n)/6 Sa³ = (Sa)² Vou deixar pra você a Sa^4 []'s João Date: Wed, 16 Feb 2011 16:16:13 -0200 Subject: [obm-l] Fórmula fechada para somatório From: henrique.re...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Como pode ser demonstrada a seguinte igualdade? 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n+2) = n(n+1)(2n+7)/6 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Somatório
Sauda,c~oes, Oi Bruno, De onde você tirou este problema? A resposta (enviada pelo professor Rousseau) é n(2n-1)/3. A resolução é complicada, trabalhosa e usa o teorema dos resíduos. Tenho somente o .pdf e posso mandá-lo pra quem pedir. []'s Luís From: brconter...@hotmail.comto: ob...@mat.puc-rio.brsubject: [obm-l] SomatórioDate: Fri, 28 Nov 2008 20:28:52 -0200 Bom galera...gostaria de saber como se calcula o somatório S = sum[ k=1 - n ] cot^2 ( (K*pi) / (2n + 1) )Tentei colocar a soma em função de cossec^2 ( (K*pi) / (2n + 1) ), usando a relaçãocossec^2 (x) = 1 + cot^2 (x), e depois transformar o somatório utilizando a expressãod ( cot ( (K*pi) / (2n + 1) ) ) / dk = - (cossec ( (K*pi) / (2n + 1) ) )*( pi / (2n + 1) )+ num cheguei a lugar algumdesde ja agradeço...abraços! Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu! _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br
[obm-l] Somatório
Bom galera... gostaria de saber como se calcula o somatório S = sum[ k=1 - n ] cot^2 ( (K*pi) / (2n + 1) ) Tentei colocar a soma em função de cossec^2 ( (K*pi) / (2n + 1) ), usando a relação cossec^2 (x) = 1 + cot^2 (x), e depois transformar o somatório utilizando a expressão d ( cot ( (K*pi) / (2n + 1) ) ) / dk = - (cossec ( (K*pi) / (2n + 1) ) )*( pi / (2n + 1) ) + num cheguei a lugar algum desde ja agradeço... abraços! _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Esse somatório é n + n + n + ... + n, n parcelas iguais a n, e então isso é igual a n*n, ou seja, n^2. Por exemplo: SOMA(4) com i variando de 1 a 4 é 4 (i=1) + 4 (i=2) + 4 (i=3) + 4 (i=4) = 4*4 = 4^2 Um abraço a todos, João Luís - Original Message - From: Gustavo Duarte To: Olimpíada Sent: Monday, October 27, 2008 10:45 PM Subject: [obm-l] Somatório Tenho uma dúvida : O somatório de N, em que i varia de 1 até N é igual a ?? N ou N^N ou N^2, desde já agradeço qualquer ajuda.
[obm-l] Somatório
Tenho uma dúvida : O somatório de N, em que i varia de 1 até N é igual a ?? N ou N^N ou N^2, desde já agradeço qualquer ajuda.
[obm-l] Somatório
Olá pessoal, Alguém poderia me ajudar a demonstrar que, S(n) = Sum[i=1-n] {i/[(i+1)(i+2)(i+3)]} = [n(n+3)]/[4(n+1)(n+2)] Comecei a desenvolver a soma isoladamente mas não achei nenhuma relação que pudesse me ajudar: S(0)=0 S(1)=1/24 S(2)= 3/40 S(3)=1/10 ... S(n)= [n(n+3)]/[4(n+1)(n+2)] Obrigado! Felipe Régis e Silva
Re: [obm-l] Somatório
Olá Felipe, usando fracoes parciais, temos: i/[(i+1)(i+2)(i+3)] == A/(i+1) + B/(i+2) + C/(i+3) resolvendo, temos: A = -1/2 B = 2 C = -3/2 logo: Sum i/[(i+1)(i+2)(i+3)] = -1/2 * Sum 1/(i+1) + 2 * Sum 1/(i+2) - 3/2 * Sum 1/(i+3) onde todos os somatorios vao de 1 até N veja que Sum[i=1-N] 1/(i+1) = Sum[i=0-N-1] 1/(i+2) = 1/2 - 1/(N+2) + Sum[i=1-N] 1/(i+2) e que Sum[i=1-N] 1/(i+3) = Sum[i=2-N+1] 1/(i+2) = 1/(N+3) - 1/3 + Sum[i=1-N] 1/(i+2) deste modo: Sum i/[(i+1)(i+2)(i+3)] = -1/2 * [1/2 - 1/(N+2) + Sum 1/(i+2) ] + 2 * Sum 1/(i+2) - 3/2 * [ 1/(N+3) - 1/3 + Sum 1/(i+2) ] opaa.. o somatorio cortou! ficando: -1/2 * [1/2 - 1/(N+2)] - 3/2 * [1/(N+3) - 1/3] basta terminar as contas agora! abracos, Salhab On 5/5/07, Felipe Régis [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Alguém poderia me ajudar a demonstrar que, S(n) = Sum[i=1-n] {i/[(i+1)(i+2)(i+3)]} = [n(n+3)]/[4(n+1)(n+2)] Comecei a desenvolver a soma isoladamente mas não achei nenhuma relação que pudesse me ajudar: S(0)=0 S(1)=1/24 S(2)= 3/40 S(3)=1/10 ... S(n)= [n(n+3)]/[4(n+1)(n+2)] Obrigado! Felipe Régis e Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] somatório dos inversos dos naturais
Existe algum modo de expressar a soma 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n em função de 'n'? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] somatório dos inversos dos naturais
Eu tenho quase certeza que não, mas posso estar enganado. Alguém com mais conhecimento pode confirmar. Entretanto, tal soma possa ser expressa de forma aproximada por meio de logaritmos. Considere o seguinte: soma(1,n) 1/p integal (1,n) dx/x soma(2,n+1) 1/p A integral é a area cheia embaixo do gráfico, enquanto que a soma 1/n é apenas a escada abaixo da parte dessa area cheia, ou acima, se você considerar a escada na parte de cima. Como integral (1,n) dx/x = ln n então ln n é uma boa aproximação para soma. Bem... aqui não dá para desenhar, mas essa é a ideia por detras do teste da integral, que tem em qualquer bom livro de cálculo. [] Ronaldo L. Alonso Lucas Prado Melo wrote: Existe algum modo de expressar a soma 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n em função de 'n'? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório Trigonométrico
Ola Felipe, observe que: d[ sen(ka) ]/da = kcos(ka) assim: Sn = Sum[k=0 - n] d[ sen(ka) ]/da = d{ Sum[k=0 -n] sen(ka) }/da opa.. agora basta encontrarmos a soma dos senos e dps derivar em relacao a a.. para determinar a soma dos senos utilize numeros complexos: z = cis(a) z^2 = cis(2a) : z^n = cis(na) z + z^2 + .. + z^n = cis(a) + cis(2a) + ... + cis(na) logo, a parte imaginaria desta soma é igual a soma dos senos.. mass.. da PG, temos que z + z^2 + .. + z^n = z(z^n-1)/(z-1) logo, basta tomarmos a parte imaginaria de z(z^n-1)/(z-1) z(z^n-1)/(z-1) = (z^(n+1) - z)/(z-1) * (z' -1)/(z' -1) .. onde z' é o conjugado de z dai temos: (z' - 1)(z^(n+1) - z)/||z-1||^2 = (z^n - 1 - z^(n+1) + z)/||z-1||^2 ... substituindo z, temos: (cis(na) - 1 - cis[(n+1)a] + cis(a))/(2 - 2cos(a)) a parte imaginária é: [ sen(na) - sen((n+1)a) + sen(a) ]/(2 - 2cos(a)) logo, a soma de senos é: [ sen(na) - sen((n+1)a) + sen(a) ]/(2 - 2cos(a)) basta derivarmos em relacao a a agora... derivando, temos: [ ncos(na) - (n+1)cos((n+1)a) + cos(a) ]/(2 - 2cos(a)) - [ sen(na) - sen((n+1)a) + sen(a) ] * 2sen(a) / (2 - 2cos(a))^2 pronto.. este é o resultado do somatorio de kcos(ka). abracos, Salhab On 4/27/07, Felipe Régis [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Bem, deparei-me com a seguinte questão: Encontre a fórmula de: Sn = SUM[k=0 a n][k*cos(k*a)]; lê-se, somatório de k=0 a n do termo k*cos(k*a). Comecei a desenvolver... p/ k=0, S(0)=0 p/ k=1, S(1)=cosa p/ k=2, S(2)= cosa+2cos2a ... p/ k=n-1,S(n-1)=S(n-2)+(n-1)cos[(n-1)a] p/ k=n, S(n)= S(n-1)+n*cos(n*a) Daí, temos S(n)= S(n-1)+n*cos(n*a), uma equação de recorrência não homogênea... Tentei e tentei mas não consegui torná-la homogênea, alguém poderia me ajudar? Não sei se assim sai, minha pretenção era achar a fórmula através dessa equação de recorrência e para isso seria necessário que fosse homogênea. E, alguém me ajudar a escrever de forma clara um somatorio aqui na lista? Ou mesmo na linguagem aqui de internet? (Não sei se o que eu coloquei acima ficou claro). Obrigado, Felipe Régis. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Somatório Trigonométrico
Olá pessoal, Bem, deparei-me com a seguinte questão: Encontre a fórmula de: Sn = SUM[k=0 a n][k*cos(k*a)]; lê-se, somatório de k=0 a n do termo k*cos(k*a). Comecei a desenvolver... p/ k=0, S(0)=0 p/ k=1, S(1)=cosa p/ k=2, S(2)= cosa+2cos2a ... p/ k=n-1,S(n-1)=S(n-2)+(n-1)cos[(n-1)a] p/ k=n, S(n)= S(n-1)+n*cos(n*a) Daí, temos S(n)= S(n-1)+n*cos(n*a), uma equação de recorrência não homogênea... Tentei e tentei mas não consegui torná-la homogênea, alguém poderia me ajudar? Não sei se assim sai, minha pretenção era achar a fórmula através dessa equação de recorrência e para isso seria necessário que fosse homogênea. E, alguém me ajudar a escrever de forma clara um somatorio aqui na lista? Ou mesmo na linguagem aqui de internet? (Não sei se o que eu coloquei acima ficou claro). Obrigado, Felipe Régis.
Re: [obm-l] Propriedade de Somatório
Olá Marcelo! de fato. Essa igualdade eu cheguei ao tentar provar a fórmula do binômio por indução. Quanto a forma de distribuir os termos eu tentei e não obtive sucesso. Sobre as propriedades de somatório, você conhece algum lugar interessante na net que os tenha ou algum livro? já procureim referências sobre o assunto, mas, infelizmente, até agora nada encontrei de interessante. Um abaço! ALAN Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Alan, veja que sum [p=0][k] Bin(k,p)*a^(k-p)*b^p = (a + b)^k.. e que: sum [p=0][1] Bin(1,p)*a^(1-p)*b^p = a + b logo, seu produto é: (a+b)^(k+1) = sum [p=0][k+1] Bin(k+1,p)*a^(k+1-p)*b^p outro modo de faze-lo seria aplicando a distributiva e dps ajeitando o somatorio... tente fazer ai abracos, Salhab On 4/20/07, Alan Pellejero wrote: Prezados colegas da lista, como eu faço para provar a seguinte igualdade entre somatórios: (sum [p=0][k] Bin(k,p)*a^(k-p)*b^p)*(sum [p=0][1] Bin(1,p)*a^(1-p)*b^p) = sum [p=0][k+1] Bin(k+1,p)*a^(k+1-p)*b^p A notaçao é o seguinte: sum [x] [y] é o somatório de x até y bin (k,p) é o binomial de k em p Por falar de somatórios, alguém conhece algum artigo que trata das propriedades mais avançadas de somatórios? Muito obrigado! ALAN __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Propriedade de Somatório
Prezados colegas da lista, como eu faço para provar a seguinte igualdade entre somatórios: (sum [p=0][k] Bin(k,p)*a^(k-p)*b^p)*(sum [p=0][1] Bin(1,p)*a^(1-p)*b^p) = sum [p=0][k+1] Bin(k+1,p)*a^(k+1-p)*b^p A notaçao é o seguinte: sum [x] [y] é o somatório de x até y bin (k,p) é o binomial de k em p Por falar de somatórios, alguém conhece algum artigo que trata das propriedades mais avançadas de somatórios? Muito obrigado! ALAN __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Propriedade de Somatório
Ola Alan, veja que sum [p=0][k] Bin(k,p)*a^(k-p)*b^p = (a + b)^k.. e que: sum [p=0][1] Bin(1,p)*a^(1-p)*b^p = a + b logo, seu produto é: (a+b)^(k+1) = sum [p=0][k+1] Bin(k+1,p)*a^(k+1-p)*b^p outro modo de faze-lo seria aplicando a distributiva e dps ajeitando o somatorio... tente fazer ai abracos, Salhab On 4/20/07, Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] wrote: Prezados colegas da lista, como eu faço para provar a seguinte igualdade entre somatórios: (sum [p=0][k] Bin(k,p)*a^(k-p)*b^p)*(sum [p=0][1] Bin(1,p)*a^(1-p)*b^p) = sum [p=0][k+1] Bin(k+1,p)*a^(k+1-p)*b^p A notaçao é o seguinte: sum [x] [y] é o somatório de x até y bin (k,p) é o binomial de k em p Por falar de somatórios, alguém conhece algum artigo que trata das propriedades mais avançadas de somatórios? Muito obrigado! ALAN __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] Somatório interesa nte..
Realmente vacilei, não tinha notado que era produtório e não somatório, desculpa e obrigado pela dica! Abs - Mensagem original De: Iuri [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 12 de Novembro de 2006 16:39:33 Assunto: Re: [obm-l] Res: [obm-l] Somatório interesante.. Essa saida de multiplicar por 2senx só funciona pra produto de cossenos.. Multiplicando esse produto por sen2x depois vai cair em sen2x*sen2x, que nao ajuda em muita coisa. Iuri On 11/12/06, Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] wrote: Chame esse somatório de Y, depois multiplique os dois lados por 2sena, note que vc terá sempre algo do tipo sen(2x), pronto seus problemas acabaram! - Mensagem original De: Alex pereira Bezerra [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 12 de Novembro de 2006 4:31:15 Assunto: Re: [obm-l] Somatório interesante.. olhe para a fórmula de Euler e separe a parte real da imaginaria,ok Em 11/11/06, Orlando Onofre Filho [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal . estou precisando de ajuda com o seguinte produtório , qualquer ajuda é bem vida. sena.sen2a.sen4a.sen8asen2*n=? Obrigado - Orlando _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com
Re: [obm-l] Somatório interesante..
olhe para a fórmula de Euler e separe a parte real da imaginaria,ok Em 11/11/06, Orlando Onofre Filho[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal . estou precisando de ajuda com o seguinte produtório , qualquer ajuda é bem vida. sena.sen2a.sen4a.sen8asen2*n=? Obrigado - Orlando _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório interesante..
saiu um artigo legal no rumo aoi ITA,tratando destes tipo de problema = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório interesante..
multiplique e divida e expressao por cos(a) Irá aparecer senos do arco duplo...
[obm-l] Res: [obm-l] Somatório interesante..
Chame esse somatório de Y, depois multiplique os dois lados por 2sena, note que vc terá sempre algo do tipo sen(2x), pronto seus problemas acabaram! - Mensagem original De: Alex pereira Bezerra [EMAIL PROTECTED]Para: obm-l@mat.puc-rio.brEnviadas: Domingo, 12 de Novembro de 2006 4:31:15Assunto: Re: [obm-l] Somatório interesante.. olhe para a fórmula de Euler e separe a parte real da imaginaria,okEm 11/11/06, Orlando Onofre Filho[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal . estou precisando de ajuda com o seguinte produtório , qualquer ajuda é bem vida. sena.sen2a.sen4a.sen8asen2*n=? Obrigado - Orlando _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
Re: [obm-l] Res: [obm-l] Somatório interesante..
Essa saida de multiplicar por 2senx só funciona pra produto de cossenos.. Multiplicando esse produto por sen2x depois vai cair em sen2x*sen2x, que nao ajuda em muita coisa.Iuri On 11/12/06, Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] wrote: Chame esse somatório de Y, depois multiplique os dois lados por 2sena, note que vc terá sempre algo do tipo sen(2x), pronto seus problemas acabaram! - Mensagem original De: Alex pereira Bezerra [EMAIL PROTECTED]Para: obm-l@mat.puc-rio.brEnviadas: Domingo, 12 de Novembro de 2006 4:31:15 Assunto: Re: [obm-l] Somatório interesante.. olhe para a fórmula de Euler e separe a parte real da imaginaria,okEm 11/11/06, Orlando Onofre Filho [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal . estou precisando de ajuda com o seguinte produtório , qualquer ajuda é bem vida. sena.sen2a.sen4a.sen8asen2*n=? Obrigado - Orlando _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
Re: [obm-l] Somatório
ALguem sabe onde eu posso encontrar mais alguma coisa sobre somatórios ??
[obm-l] Somatório
alguem poderia me ensinar como funciona e como ultilizar aquele símbolo de somatório?
Re: [obm-l] Somatório
Veja: http://pt.wikipedia.org/wiki/Adi%C3%A7%C3%A3o []´s Demetrio --- Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] escreveu: alguem poderia me ensinar como funciona e como ultilizar aquele símbolo de somatório? __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório de cos(nx)/n^2
Ah... na mensagem anterior eu esqueci de dizer: w = 2*pi/T e vale 1 nesse caso assim, o período T da função (ímpar) que vc vai calcular a série tem que obedecer : T = 1/2*pi. Outra coisa errada que eu falei a_0 = pi^2/6 (a_0 é constante!!). - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 21, 2006 3:19 PM Subject: [obm-l] Somatório de cos(nx)/n^2 Olá, alguem saberia como demonstrar a seguinte igualdade: Somatório (n = 1 ... +inf , cos(nx)/n^2 ) = (x^2)/4 - pi*x/2 + (pi^2)/6 Abraços, Salhab
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório de cos(nx)/n^2
Tem que usar série de Fourier. Essa identidade aí é o valor da série de Fourier de cossenos de uma função em um ponto (qual ponto seria esse?). Note que a série de Fourier para uma função periódica é dada por: f(x) = a_0/2 + soma (n=1 ... +inf) [a_n cos nwx + b_n sen nwx] a_0/2 = x^2/4 ( note que a_0 é a média da função no período T) a_n = 1/n^2 (veja a fórmula de a_n e integre): http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series Acho que agora você mata :) []s. - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 21, 2006 3:19 PM Subject: [obm-l] Somatório de cos(nx)/n^2 Olá, alguem saberia como demonstrar a seguinte igualdade: Somatório (n = 1 ... +inf , cos(nx)/n^2 ) = (x^2)/4 - pi*x/2 + (pi^2)/6 Abraços, Salhab
[obm-l] Somatório de cos(nx)/n^2
Olá, alguem saberia como demonstrar a seguinte igualdade: Somatório (n = 1 ... +inf , cos(nx)/n^2 ) = (x^2)/4 - pi*x/2 + (pi^2)/6 Abraços, Salhab
[obm-l] Recorrência/ Somatório
Olá pessoal! Trago 2 dúvidas: 1) quando eu tenho em uma equação característica de uma recorrência, do tipo a_(n)*t^n + a_(n-1)*t^(n-1)+...+ a_0=0 e encontro dois (ou mais)resultados iguais para t, o que eu faço? E quando uma das soluções em t é 1? 2) como eu resolvo Soma(1, infinito)(1/i^2) sem recorrer a cálculo? Onde eu peguei dizia que era possível usando apenas propriedades de somatório. (na verdade, pedia para provar que a soma é (pi^2)/6 ) Agradeço qualquer ajuda desde já Abraços ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Somatório
Prezado Luiz Viola Deve haver algum engano. Essa identidade nao vale para quaisquer Bp e k (este ultimo natural, naturalmente). []s --- Luiz Viola [EMAIL PROTECTED] escreveu: dois caras quaisquer...uma constante...pode substituir por a Abraço -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Enviada em: segunda-feira, 5 de setembro de 2005 22:37 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Somatório Quem e esse Bp? --- Luiz Viola [EMAIL PROTECTED] escreveu: (Somatório de n=1 até infinito) [(n+k-1)C(k) x (Bp)^(n-1)] = (1-Bp)^(-k-1) OBS: (n+k-1)C(k) - Combinatória de n+k-1 tomado k a k Porquê ___ Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR UMA VIAGEM NA CONVERSA. Participe! www.yahoo.com.br/messenger/promocao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://mail.terra.com.br/protected_email/imail/imail.cgi?+_u=luizviola_ l=1,1125972892.758460.19478.cabue.terra.com.br,3209,Des15,Des15 Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 05/09/2005 / Versão: 4.4.00/4574 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: somatório
pra k=1 jah n vale, né\? - Original Message - From: Luiz Viola To: Lista de mat Sent: Monday, September 05, 2005 8:36 PM Subject: [obm-l] Somatório (Somatório de n=1 até infinito) [(n+k-1)C(k) x (Bp)^(n-1)] = (1-Bp)^(-k-1) OBS: (n+k-1)C(k) - Combinatória de n+k-1 tomado k a k Porquê --- Cadastre-se no Oi Internet - Acesso Grátis - Nova promoção! Aproveite a nova promoção 31% de Crédito: A gente devolve 31% do valor dos pulsos navegados, e você ainda escolhe como receber: dinheiro em sua conta corrente ou recarga em dobro no Oi Cartão Total. Cadastre-se já no http//www.oi.com.br/novocredito31 Você ainda tem 1GB de e-mail, e-mail unificado, discador com envio de SMS, 60 MB de página pessoal, bate-papo e muito mais! Acesse http://www.oi.com.br e instale já o discador Oi. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Somatório
(Somatório de n=1 até infinito) [(n+k-1)C(k) x (Bp)^(n-1)] = (1-Bp)^(-k-1) OBS: (n+k-1)C(k) - Combinatória de n+k-1 tomado k a k Porquê
Re: [obm-l] Somatório
Quem e esse Bp? --- Luiz Viola [EMAIL PROTECTED] escreveu: (Somatório de n=1 até infinito) [(n+k-1)C(k) x (Bp)^(n-1)] = (1-Bp)^(-k-1) OBS: (n+k-1)C(k) - Combinatória de n+k-1 tomado k a k Porquê ___ Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR UMA VIAGEM NA CONVERSA. Participe! www.yahoo.com.br/messenger/promocao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Somatório
dois caras quaisquer...uma constante...pode substituir por a Abraço -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Enviada em: segunda-feira, 5 de setembro de 2005 22:37 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Somatório Quem e esse Bp? --- Luiz Viola [EMAIL PROTECTED] escreveu: (Somatório de n=1 até infinito) [(n+k-1)C(k) x (Bp)^(n-1)] = (1-Bp)^(-k-1) OBS: (n+k-1)C(k) - Combinatória de n+k-1 tomado k a k Porquê ___ Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR UMA VIAGEM NA CONVERSA. Participe! www.yahoo.com.br/messenger/promocao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://mail.terra.com.br/protected_email/imail/imail.cgi?+_u=luizviola_ l=1,1125972892.758460.19478.cabue.terra.com.br,3209,Des15,Des15 Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 05/09/2005 / Versão: 4.4.00/4574 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório
Somatorio y^x, com x variando de 0 a infinito = 1/(1-y). Imagine isso como funçao de y e derive. Somatorio x* [y^(x-1)], com x variando de 0 a infinito = 1/[(1-y)^2]. Multiplique por y. Somatorio x* (y^x), com x variando de 0 a infinito = y/[(1-y)^2]. Faça y = 1-p. Somatorio x* [(1-p)^x], com x variando de 0 a infinito = (1-p)/(p^2). Multiplique por p. Somatorio px* [(1-p)^x], com x variando de 0 a infinito = (1-p)/p. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Henrique Patrício Sant'Anna Branco [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thu, 20 May 2004 00:56:56 -0300 Subject: [obm-l] Somatório Pessoal, Alguém sabe resolver isso ou dar alguma indicação? É uma esperança de uma v.a. geométrica. Somatório de x*p*(1-p)^x, com x variando entre 0 e infinito. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Somatório
Pessoal, Alguém sabe resolver isso ou dar alguma indicação? É uma esperança de uma v.a. geométrica. Somatório de x*p*(1-p)^x, com x variando entre 0 e infinito. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] somatório
Alguém manja de alguma fórmula pra calcular direto o somatório de n * 2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) ? Isso nada mais é do que somatório de i variando de 0 até (n-1) de (n - i)*(2^i). Por exemplo para n = 4 temos 4*1 + 3*2 + 2*4 + 1*8. Qualquer dica, enfim, tá valendo... []'s GustavoYahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] somatório
eis uma maneira: n * 2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) = = n[ 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(n-1) ] - { 1*2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 + ... + (n-1)*2^(n-1) } = partindo do suposto que vc conhece a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG: n{ 1[2^n - 1]/[2 - 1]} - {[2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(n-2)] + [2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^(n-1)] + [2^3 + 2^4 + ... + 2^(n-1)] + ... + [2^(n-2) + 2^(n-1)] + [2^(n-1)]} = n[2^n - 1] - {2[2^(n-1) - 1] + 2^2[2^(n-2) - 1] + 2^3[2^(n-3) - 1] + ... + 2^(n-2)[2^2 - 1] + 2^n[2^1 - 1]} = n[2^n - 1] - [ (2^n - 2) + (2^n - 2^2) + (2^n - 2^3) + ... + [2^n - 2^(n-2)] + [2^n - 2^(n-1)] = n2^n - n - [ (n-1)2^n - [ 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(n-1) ] = 2^n - n + { 2[2^(n-1) - 1]/[2 - 1] } = 2^n - n + 2^n - 2 = 2^(n+1) - (n+2) resposta: 2^(n+1) - (n+2) On Sun, May 16, 2004 at 08:32:39PM -0300, Gustavo Baggio wrote: Alguém manja de alguma fórmula pra calcular direto o somatório de n * 2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) ? Isso nada mais é do que somatório de i variando de 0 até (n-1) de (n - i)*(2^i). Por exemplo para n = 4 temos 4*1 + 3*2 + 2*4 + 1*8. Qualquer dica, enfim, tá valendo... []'s Gustavo - Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] somatório
Eduardo Henrique Leitner said: On Sun, May 16, 2004 at 08:32:39PM -0300, Gustavo Baggio wrote: Alguém manja de alguma fórmula pra calcular direto o somatório de n * 2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) ? Isso nada mais é do que somatório de i variando de 0 até (n-1) de (n - i)*(2^i). Por exemplo para n = 4 temos 4*1 + 3*2 + 2*4 + 1*8. Qualquer dica, enfim, tá valendo... [...] eis uma maneira: n * 2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) = = n[ 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(n-1) ] - { 1*2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 + ... + (n-1)*2^(n-1) } = partindo do suposto que vc conhece a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG: [...] resposta: 2^(n+1) - (n+2) [...] Se pudermos usar cálculo tem uma maneira mais direta: x^0 + x^1 + x^2 + ... + x^n = [x^(n+1) - 1]/(x-1) Derive os dois lados em relação a x: 1*x^0 + 2*x^1 + ... + n*x^(n-1) = d([x^(n+1) - 1]/[x-1])/dx Finalmente, multiplique por x: 1*x^1 + 2*x^2 + ... + n*x^n = x * d([x^(n+1) - 1]/[x-1])/dx O lado direito é facilmente derivado, pois é a derivada de um quociente. De fato, não é muito difícil ver que ela vale [n*x^(n+1)-(n+1)*x^n+1]/[x-1]^2. Substituindo x = 2, 1*2^1 + 2*2^2 + ... + n*2^n = 2 * [n*2^(n+1)-(n+1)*2^n+1]/[2-1]^2 1*2^1 + 2*2^2 + ... + n*2^n = n*2^(n+2) - (n+1)*2^(n+1) + 2. Finalmente, voltando ao problema original, n*2^0 + (n-1)*2^1 + ... + 1*2^(n-1) = = n*[2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)] - (1*2^1 + 2*2^2 + ... + (n-1)*2^(n-1)) = = n*(2^n-1) - (n-1)*2^(n+1) + n*2^n - 2 = = n*2^n - n - 2*n*2^n + 2^(n+1) + n*2^n - 2 = = 2^(n+1) - (n+2). Note que nós calculamos 1*2^1 + ... + n*2^n, mas queremos 1*2^1 + 2*2^2 + ... + (n-1)*2^(n-1), logo temos que trocar o n por n-1. Outro problema legal nessa mesma linha é o problema 4 da OBM 2002. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Somatório da função
Dada a função: f(i,n) = -(1/2)(i-n-1)(i+n) Preciso encontrar g(n) tal que: g(n) = f(1,n) + f(2,n) + f(3,n) + ... f(n,n) Quem é g(n) ? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório da função
On Tue, Mar 16, 2004 at 03:32:43PM -0300, David M. Cardoso wrote: Dada a função: f(i,n) = -(1/2)(i-n-1)(i+n) Preciso encontrar g(n) tal que: g(n) = f(1,n) + f(2,n) + f(3,n) + ... f(n,n) Quem é g(n) ? Vou usar SOMA_{1 = i = n} i = n(n+1)/2 SOMA_{1 = i = n} i^2 = n(n+1)(2n+1)/3 g(n) = (1/2)* SOMA_{1 = i = n} (n+1-i)(n+i) = (1/2) * SOMA (n^2 + n - in + in + i - i^2) = (1/2) * (n^3 + n^2 + (n(n+1)/2) - (n(n+1)(2n+1)/3)) e agora é só simplificar. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Somatório da função
Nicolau C. Saldanha wrote: SOMA_{1 = i = n} i^2 = n(n+1)(2n+1)/3 Aqui é n(n+1)(2n+1)/6 né ? Esse capítulo do Concrete eu conheço de trás pra frente heh. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Somatório da função
On Tue, Mar 16, 2004 at 04:17:57PM -0300, Ricardo Bittencourt wrote: Nicolau C. Saldanha wrote: SOMA_{1 = i = n} i^2 = n(n+1)(2n+1)/3 Aqui é n(n+1)(2n+1)/6 né ? Esse capítulo do Concrete eu conheço de trás pra frente heh. Você tem toda a razão. Desculpe pelo erro bobo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Somatório da função
Vou usar SOMA_{1 = i = n} i = n(n+1)/2 SOMA_{1 = i = n} i^2 = n(n+1)(2n+1)/3 g(n) = (1/2)* SOMA_{1 = i = n} (n+1-i)(n+i) = (1/2) * SOMA (n^2 + n - in + in + i - i^2) = (1/2) * (n^3 + n^2 + (n(n+1)/2) - (n(n+1)(2n+1)/3)) Entendi... eu entendi! Obrigado ;) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Somatório da função
Soma[i^2] = n(n+1)(2n+1)/6 Na verdade eu só entendi pq abstraí isso... e isso eu não entendi. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório da função
David M. Cardoso wrote: Soma[i^2] = n(n+1)(2n+1)/6 Na verdade eu só entendi pq abstraí isso... e isso eu não entendi. Acho que a maneira mais fácil de derivar isso é considerar o problema de calcular sum(1,n)[i^3] Quanto dá sum(1,n+1)[i^3]? Certamente vale sum(1,n)[i^3]+(n+1)^3. Por outro lado, a gente pode mudar o índice sem mudar a soma: sum(1,n+1)[i^3]=sum(0,n)[(i+1)^3]= sum(0,n)[i^3+3*i^2+3*i+1]= sum(0,n)[i^3]+3*sum(0,n)[i^2]+3*sum(0,n)[i]+n Notando que 3*sum(0,n)[i]=3*n*(n+1)/2, e ainda que sum(0,n)[i^3]=sum(1,n)[i^3], juntando tudo temos: sum(1,n)[i^3]+(n+1)^3=sum(1,n)[i^3]+3*sum(0,n)[i^2]+3*n*(n+1)/2+n O sum(1,n)[i^3] morre dos dois lados, então sobra (n+1)^3=3*sum(0,n)[i^2]+3*n*(n+1)/2+n 3*sum(0,n)[i^2]=n^3+3*n^2+3n+1-3n^2/2-3n/2+n 3*sum(0,n)[i^2]=n*(n^2+3n-3n/2-3/2+1) 3*sum(0,n)[i^2]=n*(n^2+(6n-3n)/2+(-3/2+2/2)) 3*sum(0,n)[i^2]=n*(n^2+3n/2-1/2) 3*sum(0,n)[i^2]=n*(2n^2/2+3n/2-1/2) 3*sum(0,n)[i^2]=n*(2n^2+3n-1)/2 3*sum(0,n)[i^2]=n*(n+1)(2n+1)/2 e por fim sum(0,n)[i^2]=n*(n+1)(2n+1)/6 Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Somatório da função
Agora eu entendi tudo... muito obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Somatório
Caros, Preciso de ajuda com um problema que envolve um somatório meio complicado. Aliás, é mais braçal que complicado. Gostaria de saber se o pessoal aqui tem um jeito mais simples de resolver isso. A notação que vou usar é a do Maple, onde a[i] é a índice i. Vamos ao problema... (sum(a[i]*q[i],i=1..n)*sum(p[i]*b[i],i=1..n))/(sum(p[i]*q[i],i=1..n)*sum(a[i ]*b[i],i=1..n)) Mais especificamente, preciso provar se isso aí dá a unidade, ou não. Agradeço a ajuda. Para os que não entenderam a expressão acima, estou mandando uma imagem do Maple. Grato, Henrique. attachment: sum.jpg
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
S(n) = 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n S(n+1) = 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n +(n-1)*(n+1) S(n+1) - S(n) = (n-1)*(n+1) = n^2 - 1 Assim, S(4) - S(3) = 3^2 - 1 S(5) - S(4) = 4^2 - 1 S(6) - S(5) = 5^2 - 1 ... S(n) - S(n-1) = (n-1)^2 - 1 Somando as equacoes acima , tem-se: S(n) - S(3) = [ 3^2 + 4^2 + ... + (n-1)^2] - (n-3) Sabe-se que: 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + (n-1)^2 = (n-1)*n*(2*n-1)/6 Logo: S(n) = 3 + (n-1)*n*(2*n-1)/6 - 5 - n +3 = (n-1)(2*n^2 - n -6)/6 S(n) = (n-2)*(n-1)*(2*n+3)/6 Isto eh tudo. Andre A. - Original Message - From: cfgauss77 [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 02, 2003 12:08 PM Subject: [obm-l] Somatório Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se possível. 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n2. Desde já agradeço! __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Somatório
Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se possível. 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n2. Desde já agradeço! __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Somatório
Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se possível. 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n2. Desde já agradeço! __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Olá cfgauss Seguinte, podemos rescrever a soma pedida como sendo: O primeiro somatório é a soma dos quadrados dos números naturais de 3 até n. Existe uma fórmula para soma dos quadrados de 1 até n. Para ver a demonstração desta fórmula, acesse: http://www.cursinho.hpg.ig.com.br/materias/progressoes/somaquadrado.html E o segundo somatório é uma P.A. com primeiro termo igual a 6 e razão 2. Você aplica a fórmula da soma dos termos de uma P.A. e finaliza o exercício. A resposta é Agora você só deve desenvolver e simplificar tal equação o que puder! Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br - Original Message - From: "cfgauss77" [EMAIL PROTECTED] To: "Lista OBM" [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 02, 2003 12:08 PM Subject: [obm-l] Somatório Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se possível. 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n2. Desde já agradeço! __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Fw: [obm-l] Somatório
Na mensagem anterior não foi a imagem direitinho. Envio novamente (espero que dê certo). _ Olá cfgauss Seguinte, podemos rescrever a soma pedida como sendo: O primeiro somatório é a soma dos quadrados dos números naturais de 3 até n. Existe uma fórmula para soma dos quadrados de 1 até n. Para ver a demonstração desta fórmula, acesse: http://www.cursinho.hpg.ig.com.br/materias/progressoes/somaquadrado.html E o segundo somatório é uma P.A. com primeiro termo igual a 6 e razão 2. Você aplica a fórmula da soma dos termos de uma P.A. e finaliza o exercício. A resposta é Agora você só deve desenvolver e simplificar tal equação o que puder! Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br - Original Message - From: "cfgauss77" [EMAIL PROTECTED] To: "Lista OBM" [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 02, 2003 12:08 PM Subject: [obm-l] Somatório Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se possível. 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n2. Desde já agradeço! __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
S(n) = 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n S(n+1) = 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n +(n-1)*(n+1) S(n+1) - S(n) = (n-1)*(n+1) = n^2 - 1 Assim, S(4) - S(3) = 3^2 - 1 S(5) - S(4) = 4^2 - 1 S(6) - S(5) = 5^2 - 1 ... S(n) - S(n-1) = (n-1)^2 - 1 Somando as equacoes acima , tem-se: S(n) - S(3) = [ 3^2 + 4^2 + ... + (n-1)^2] - (n-3) Sabe-se que: 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + (n-1)^2 = (n-1)*n*(2*n-1)/6 Logo: S(n) = 3 + (n-1)*n*(2*n-1)/6 - 5 - n +3 = (n-1)(2*n^2 - n -6)/6 S(n) = (n-2)*(n-1)*(2*n+3)/6 Isto eh tudo. Andre A. Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se possível. 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n2. Desde já agradeço! __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Somatório de Fibonacci com binomio de Newton
Alguem poderia fazer a questão abaixo? Seja F_n o enésimo número de fibonacci.Seja C_x,y a combinação de x elementos tomados y a y(x maior ou igual a y).Prove o somatório abaixo: pC_n,0*(F_1) + C_n,1*(F_2) +C_n,n*(F_n+1) = F_2n+1./p ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Somatório de Fibonacci com binomio de Newton
Alguem poderia fazer a questão abaixo? Seja F_n o enésimo número de fibonacci.Seja C_x,y a combinação de x elementos tomados y a y(x maior ou igual a y).Prove o somatório abaixo: C_n,0*(F_1) + C_n,1*(F_2) +C_n,n*(F_n+1) = F_2n+1. ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Somatório de Fibonacci com binomio de Newton
Alguem poderia fazer a questão abaixo? Seja F_n o enésimo número de fibonacci.Seja C_x,y a combinação de x elementos tomados y a y(x maior ou igual a y).Prove o somatório abaixo: C_n,0*(F_1) + C_n,1*(F_2) +C_n,n*(F_n+1) = F_2n+1. ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório de Fibonacci com binomio de Newton
On Fri, Jan 10, 2003 at 03:14:00PM -0300, Carlos Maçaranduba wrote: Alguem poderia fazer a questão abaixo? Seja F_n o enésimo número de fibonacci.Seja C_x,y a combinação de x elementos tomados y a y(x maior ou igual a y).Prove o somatório abaixo: C_n,0*(F_1) + C_n,1*(F_2) +C_n,n*(F_n+1) = F_2n+1. O bom é provar uma identidade bem mais geral: C_n,0 * F_m + C_n,1 * F_m+1 + ... + C_n,n * F_m+n = F_2n+m que pode ser provada por indução em n. O caso n = 0 é trivial: C_0,0 * F_m = F_0+m e o caso n = 1 é fácil: C_1,0 * F_m + C_1,1 * F_m+1 = F_m+2 Supondo o caso n temos C_n,0 * F_m + C_n,1 * F_m+1 + C_n,2 * F_m+2 + ... + C_n,n * F_m+n = F_2n+m C_n,0 * F_m+1 + C_n,1 * F_m+2 + ... + C_n,n-1 * F_m+n + C_n,n * F_m+n+1 = F_2n+m+1 e somando as duas equações casando do lado esquerdo termos onde o F_* tem o mesmo índice (na vertical para quem a minha diagramação funcionar) temos C_n+1,0 * F_m + C_n+1,1 * F_m+1 + C_n+1,2 * F_m+2 + ... + C_n+1,n * F_m+n + C_n+1,n+1 * F_m+n+1 = F_2n+m+2 que é o caso n+1. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =