Re: sen36 novamente!
Tome um triângulo ABC com ângulo do vértice  = 36o. Trace a bissetriz BD. O triângulo BDC é semelhante au triângulo ABC. Supondo AB = 1 encontre o comprimento da base BC. Traça -se a altura AH e temos um triângulo retângulo AHB cujos ângulos são 18o e 72o. Depois de encontrados o seno e cosseno de 18 (ou 72) encontra-se o seno de 36 facilmente. - Original Message - From: Fabricio Damasceno [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 05, 2000 1:09 PM Subject: sen36 novamente! Recentemente discutiamos sobre o sen36 e alguem afirmou que determinaria o sen36 facilmente usando um triangulo isósceles cujo angulo do vertice e 36. Eu nao consegui determinar com tal recurso; poderiam voces me ajudar!?! Abracos e um 2000 cheio de progressoes! MailBR - O e-mail do Brasil -- http://www.mailbr.com.br Faça já o seu. É gratuito!!!
Um problema legal!
Para descobrir quantos degraus ficavam a mostra em uma escada rolante, duas pessoas subiram esta escada contando seus degraus. A primeira pessoa subiu um degrau de cada vez e contou 21 degraus, a segunda subiu dois degraus de cada vez e contou 28 degraus. Quantos degraus fica a mostra nesta escada rolante? []'s M.P. winmail.dat
RES: Novo regulamento
Quando nós receberemos as provas(mês)?? Obrigado! -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: sábado, 18 de março de 2000 19:02 Para: [EMAIL PROTECTED]; [EMAIL PROTECTED] Assunto: Novo regulamento Já é oficial e já foi enviado para as escolas o novo regulamento da OBM. Ele também está em http://www.obm.org.br/regulamento.htm http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/regulamento.txt Para quem estiver interessado em comparar, o regulamento antigo está em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/regulamentoantigo.txt Alguns aspectos do novo regulamento que devem ser salientados: ... 3) OS NÍVEIS A OBM será realizada anualmente em três níveis, de acordo com a escolaridade do aluno: Nível 1 - para alunos matriculados na 5ª ou 6ª séries do ensino fundamental quando da realização da 1a fase da OBM. Nível 2 - para alunos matriculados na 7ª ou 8ª séries do ensino fundamental quando da realização da 1a fase da OBM. Nível 3 - para alunos matriculados em qualquer série do ensino médio quando da realização da 1a fase da OBM ou que, tendo concluído o ensino médio menos de um ano antes, não tenham ingressado em curso de nível superior até a data de realização da 1a fase da OBM. ... 8) A REALIZAÇÃO DA OBM a) A primeira fase da OBM será realizada em todos os colégios cadastrados (veja anexo 1). A responsabilidade do recebimento da prova, impressão, aplicação, correção e transmissão dos dados ao coordenador regional será de um professor do colégio, denominado representante da OBM no colégio, e que estará em contato permanente com o coordenador de sua região (veja anexo 2). Alunos podem pedir ao coordenador regional para fazer a primeira fase sob sua responsabilidade direta se por qualquer razão não for possível fazer a prova na escola. Cabe ao coordenador regional analisar se tal pedido é viável e procedente. b) A segunda fase da OBM será realizada nos colégios que tiverem maior número de estudantes promovidos. Caberá ao coordenador regional estabelecer os locais onde esta fase será realizada, distribuir todos os alunos classificados nesses locais, solicitar a ajuda de todos os professores representantes da OBM para a aplicação e correção das provas, e transmissão dos resultados para a Secretaria da Olimpíada (veja anexos 2 e 3). O coordenador regional pode inclusive autorizar todas as escolas a aplicarem a segunda fase. Como na primeira fase, alunos podem pedir ao coordenador regional para fazer a segunda fase sob sua responsabilidade direta. Devem ser enviadas cópias de todas as provas aos coordenadores regionais; os coordenadores regionais devem rever a correção. ... 9) CRITÉRIOS DE INSCRIÇÃO E PROMOÇÃO a) Para a primeira fase, cada colégio poderá inscrever todos os estudantes interessados. Não existe nenhuma limitação no número de alunos por escola e todo aluno que desejar participar deve participar. A existência da OBM deve ser amplamente divulgada na escola. ... []s, Nicolau
Qdo chegam as provas???
1)Quando as provas da Olimpíada de Maio chegam às nossas mãos nos colegios??? Já foram enviadas??? 2) Sobre a olimpitada Brasileira: Tenho alunos que desistiram do segundo grau para fazer a prova do Colegio Naval. Estes alunos, embora tenham 16 ou 17 e ate 18 anos, não fazem o segundo grau. Em que nivel posso inscrevê-los para fazer a prova? (se posso) []' M.P.
RES: divisibilidadeXfatorial
Tem um metodo meio cansativo de fatorar o fatorial de um número n, consiste em ir dividindo n por 2, o quociente por 2 o novo quaciente por 2 e assim sucessivamente. o expoente do 2 será a soma dos quocientes obtidos. Dái passa -se para o 3 e repete o processo para todos os primos menores q n. No caso da pergunta basta notar que para se formar um 10 eh necessario um fator 2 e um fator 5. como o fator 2 deve ter um expoente muito maior q o fator 5, basta saber o expoente do 5. daí temos: 100:5 = 20 (logo existem 20 fatores 5) 20:5 = 4 (logo existem 4 fatores de 5^2) 4 :5 =0 (logo não existem fatores 5 ao cubo) O expoente do 5 será 20 + 4 Disso concluimos q 100! eé divisível por 10^24 e portanto tb é por 10^11. espero ter ajudado! [] M.P. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Mira Enviada em: quarta-feira, 19 de abril de 2000 16:18 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: divisibilidadeXfatorial Ola lista! Como provar que 1x2x3x...x100 eh divisivel por 10^11 sem ficar "procurando" os 10s? Existe alguma propriedade que possa usar? Obrigado! Mira
RES: Problema de inteiros
Tem um teorema (acho q eh do Euclides O Zé Paulo me corrija, pois foi meu professor de Os Números equivalente a álgebra 1)que diz que o m.d.c. entre dois números sempre pode ser escrito como uma combinação linear entre esses números. No seu problema temos m.d.c(a, b)= 1 = xa + yb = 1. (eh fácil chegar aos possiveis valores de x e y pelo algoritmo de Euclides)daí basta multiplicar toda a expressão pelo valor de n desejado. Equações do tipo xa + yb = n são chamadas Equações Diofantinas, que são usadas pra resolver, por exemplo o problema Chinês do resto (muito interessante por sinal) Espero ter ajudado. []'s M.P. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Ecass Dodebel Enviada em: sábado, 22 de abril de 2000 17:42 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Problema de inteiros E ai, pessoal? Eu estava tentando resolver um dos problemas propostos na última Eureka! e acabei chegando em uma parte que consigo seguir adiante mas é muito trabalhosa a minha prova, e não sei se está bem certa. Lá vai. 1) Sejam x e y dois números primos entre si. Provar que podemos obter qualquer número somando múltiplos de x e de y. Solução. Queremos provar que para todo o x,y,n dados, podemos achar f e g de modo que fx + gy = n ( a soma de múltiplos de x e de y dão o n ) Isola-se o f, ou o g... no caso isolei o f: f = (n - gy)/x Agora nos basta encontrar g de modo que x | n - gy. Para quem sabe um pouquinho de Teoria dos Números, eu acho que se variarmos o y num s.c.r. então o n - gy será um s.c.r. módulo x, e estaria provado. Mas vamos por partes: Suponhamos que n - g1y =/= n - g2y (mod x)'=/= incongruente g1y =/= g2y (mod x) == afirmação similar a x não divide y(g1-g2) Como mdc(x,y)=1 então g1 =/= g2 (mod x) Vale tambem que se g1 =/= g2 (mod x) então n - g1y =/= n - g2y (mod x). Agora escolhemos x números incongruentes módulo x (g1,...,gx), ou seja, que nunca deixem o mesmo resto na divisão por x. E necessariamente: n - giy =/= n - gjy (mod x) para todo o i e j Ou seja, nesses x números (n-g1y,...,n-gxy), todos são incongruentes módulo x, e como existem apenas x restos possíveis na divisão por x, necessariamente algum deles deixará resto zero na divisão por x, e portanto haverá um g, tal que: f = (n - gy)/x será inteiro, e está provado o enunciado. 2) Sejam x e y dois números primos entre si. Prove que existe um N, de modo que para todo o n N, podemos escolher múltiplos positivos de x e de y que somados dão n. Nessas condições teremos que ter Solução. O problema pede para que mostremos que existem f e g positivos de modo que, para n N fx + gy = n (lembrando que é todo mundo inteiro nesse e-mail) A minha idéia é a seguinte, claramente xy - yx = 0, e portanto para todo o a vale axy - ayx = 0, daí: fx + gy + axy - ayx = n (f + ay)x + (g - ax)y = n, para qualquer a que escolhermos Quero mostrar que existirá um a, a partir de um dado n, para que f + ay e g - ax sejam ambos positivos. Conseguimos escolher a de modo que (f + ay)x - (g - ax)y = fx - gy + 2ayx esteja entre -yx e yx, basta mostrar que nesse intervalo teremos f+ay e g-ax sempre positivos. Tanto f+ay quanto g-ax podem ficar entre [ n-xy ; n+xy ], ou seja basta que n-xy0 e portanto que n xy. Logo para N = xy vale o enunciado. Obrigado para quem leu! E tem algum erro? Valeu... Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
No Subject
Oi, já faz algum tempo que enviei uma mensagem perguntando sobre quando receberemos a PROVA da Olimpíada de Maio. Ninguém respondeu!!! o q houve?? não devo fazer esse tipo de pergunta??? Se é proibido desculpem! É ansiedade! A escola em que trabalho nunca participou de Olimpíadas e os alunos cobram muito! Também perguntei sobre alunos que já têm 17 ou 18 anos porém não estão matriculados no segundo grau (para a OBM). O q respondo pra eles?? q eles não podem participar?? ou q devem participar no nivel de segundo grau?? []' M.P. winmail.dat
Um bom problema de geometria!
Dado um triângulo ABC tal que âng(A) = 60o, âng(B) = 50o, traça-se BD e CE tais que âng(DBA) =10o e âng(ECA)=20o. Calcular âng(FED) onde F é a interseção de BD com CE. Minha solução (procuro outra): Seja BF = a, e temos: EF = a*tg (10o); CF = a*tg (40o) e ainda FD = a*tg (20o)*tg (40o).Ainda temos que tg(FED) =FD/EF e portanto temos tg(FED) = a*tg(20o)*tg(40o)/a*tg(100) ou ainda tg(FED) = tg(40o)*tg(200) *tg(80o). Usando uma identidade trigonométrica conhecida (a saber: tg(60o - x) * tg(x) * tg (60o + x) = tg (3*x) ) vemos que tg (FED) = tg(3*20o) e portanto âng(FED) = 60o. Encontrei uma outra solução (sem o uso da trigonometria) MUITO trabalhosa que consiste em reconhecer um outro problema que se encaixa perfeitamente na figura (na verdade em parte da figura) e provar uma congruencia de triângulos formados depois de traçar linhas que para qualquer aluno pareceria simplesmente mágica! Conto com os colegas da lista para encontrar uma solução possível de se ensinar para uma turma de oitava serie. []'s M.P. winmail.dat
Re: Pergunta
Não é difícil perceber que o quadrilátero APQB será inscritível quando o angulo BAM for igual ao angulo DQB.BAM =[(arco MD) + (arco DB)]/2 e DQB =[(arco MC) +(arco DB)]/2.para que eles sejam iguais devemos ter arco CM = arco MD , ou seja M é médio do arco CD. []'s M.P.
RES: Polinômios
Acho que a reazão entre os coeficientes deve ser constante, ou seja, P tem que ser idêntico a k*Q -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Luiz LeitãoEnviada em: terça-feira, 9 de maio de 2000 00:57Para: LISTA DE DISCUSSÃO DA OBMAssunto: Polinômios Uma questão interessante que eu vi em um livro 'e a seguinte, dado dois polinômios P(x) e Q(X), de mesmo grau, sendo P(x) diferente de Q(x). Que relação os polinômios P(x) e Q(x) devem ter para que o quociente P(x)/Q(x) independa de x, considerando m o grau dos dois polinômios e que todos os coeficientes são números reais e que P(x) é um polinômio não nulo. Obrigado
Re: teorema do binômio
Este teorema é chamado TEOREMA DA COLUNA!!! assim que tiver mais tempo demnstro pra vc! []'s MP - Original Message - From: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, June 14, 2000 3:51 PM Subject: teorema do binômio Olá Olhei a resolução de um problema e não consegui entender uma coisa. A resolução do problema deixa que (n+1) ( 2 ) ( 3 ) ( n ) ( )= ( ) + ( ) + ... + ( ) ( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) Eu não entendi muito bem. Se for isso mesmo alguém poderia demontrar? Obrigado Abraços Marcelo OBS: ( n ) ( )= n!/k!(n-k)! ( k ) Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Permutação Caótica
Como se calcula o número de permutações caóticas em um conjunto com elementos repetidos? Uma pergunta equivalente a essa que talvez fique mais clara seria ( se entendi bem) quantos são os anagramas da palavra MATEMATICA em que nenhuma das letras ocupa a posicão ocupada na palavra MATEMATICA acho que eh isso ... quanto a solução []'s MP
Re: Dia da semana
Com certeza o conceito de congruencia mod 7 será usado na resolução desse problema. No entando há outras coisas que deve-se levar em consideraço. POr exemplo o ano 2000 é um ano bissexto! Se quero saber que dia da semana cairá o dia 19/08/2001, é simples, pois a diferença em dias (de hj até a data) é de 365 == 1 (mod7) logo essa data será em um domingo (visto que hj é sabado) Se tivesse feito a mesma pergunta no dia 12/02/2000 (que tambám caiu em um sabado) para o dia 12/02/2001 a diferença não seria 365 mas sim 366 ==2 (mod7) logo essa data deve ser em uma segunda feira! Um algoritmo para prever qualquer data deveria levar em consideração essas variações... Espero ter ajudado []'s MP - Original Message - From: "Marcos Eike Tinen dos Santos" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, August 19, 2000 12:38 AM Subject: Re: Dia da semana Para isso usa-se congruência. a==b(mod n) Veja que é um modo simplificado de expressar que ao dividir tanto a quanto b por n dará um resto único r. Logo: a==x(mod 7) Acredito que seja isso, pois a diferença são 7 dias. Ats, Marcos Eike -Mensagem Original- De: Wellington Ribeiro de Assis [EMAIL PROTECTED] Para: discusspio de problemas [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Sexta-feira, 18 de Agosto de 2000 22:59 Assunto: Dia da semana Prezados amigos Alguem sabe dizer como eh o algoritmo usado para se descobrir que dia da semana cai uma determinada data de um ano qualquer? Bons estudos e abraco a todos, Wellington
Olimpíada Estadual do Rio de Janeiro
Gostaria de saber seos colégios inscritos na OBM estão automaticamente inscritos na estadual (colegios do Rio de Janeiro claro) Obrigado. []'s MP
Re: Triângulo órtico
Triângulo órtico é o triângulo formado pelos pés das alturas de um triângulo acutângulo. []'sMP - Original Message - From: Pedro To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, August 24, 2000 6:03 PM Subject: Triângulo órtico Boa noite, gostaria que alguém disponível pudesse me esclarecer o que é um triângulo órtico, muito obrigado. []' Pedro (3o série do ensino médio)
Re: OBM
14 horas (horario de Brasilia) []'s MP - Original Message - From: Jorge Peixoto Morais To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, August 29, 2000 3:45 PM Subject: OBM Qual o horário da 2ª fase da OBM nível 2 neste ano?
Propriedades tautocrona e Braquistocrona da cicloide
Alguem conhece uma demonstracao de que a curva tautocrona (e braquistocrona) é um aroc de cicloide? Eu vi a pouco tempo uma demonstracao que usava transformada de Laplace .. esta, no entanto, nao me interessa ... se alguem puder ajudar me mostrando outra demonstracao agradeco. []'s MP
Re: estranho
Um conjunto eh enumeravel quando eh possivel estabelecer uma bijecao entre o conjunto dado e o conjunto dos numeros naturais. Isto acontece com o conjunto dos racionais mas nao com o conjunto dos reais. Acredito que por isso pode-se dizer que o infinito dos reais eh "maior" que o infinito dos racionais. Quanto ao seu problema temos: S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ... (1) S/2 = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + (2) Fazendo (1) - (2) teremos: S/2 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... S/2 = 1/(1/2) = 2 logo S = 4. []'s MP - Original Message - From: "Eduardo Favarão Botelho" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, September 11, 2000 11:00 PM Subject: estranho Espera aí! Que negócio é esso de que um infinito é maior que o outro? como assim ser Q um conjunto enumerável? Estou confuso. E aproveitando a deixa, gostaria de deixar um problema bonitinho: calcule S, sendo S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ... Abraços, Eduardo Um exemplo: tome o conjunto dos números reais R. lembre-se que Q (conjunto dos numeros racionais) e I (conjunto dos numeros irracionais) estao contidos em R. Escolha um elemento de R aleatoriamente. Sabe qual e a probabilidade desse elemento ser racional? ZERO, apesar de Q ser um conjunto infinito e denso em R e portanto esse evento e perfeitamente possivel. Isto decorre do fato de Q ser um conjunto enumeravel (se e que isso faz algum sentido para voce) e I, assim como R nao sao enumeraveis, ou seja sao "muito maiores".
Propriedades tautocrona e Braquistocrona da cicloide
Desculpem reenviar esta msg mas acredito que qdo enviei pela primeira vez havia muitas questoes ssobre a olimpiada Brasileira ... reenvio na esperanca de que alguem posa me ajudar. obrigado. Alguem conhece uma demonstracao de que a curva com a propriedade tautocrona (e braquistocrona) é um arco de cicloide? Eu vi a pouco tempo uma demonstracao que usava transformada de Laplace .. esta, no entanto, nao me interessa ... se alguem puder ajudar me mostrando outra demonstracao ou alguma bibliografia agradeco. []'s MP
Re: GP
Eu havia feito igual o Wagner soh que acho que tem outra maneira tb. Olha soh: Pegue o angulo BMC (que vale 40) e trace sua bissetriz suponha que F seja o ponto de intersecao de BM com Essa bissetriz e D o ponto de intersecao da bissetriz com a lado BC. Ai basta provar que o triangulo DFC eh semelhante ao triangulo FMN. Assim o Angulo FMN sera de 30 graus e sera igual a 20 + o angulo desejado. Nao parei pra fazer a demonstracao da semelhanca mas jah vi uns tres rtiangulos semelhantes ... acho que essa demoinstracao sera possivel. se alguem conseguir comunique por favor. []'s MP At 22:10 11/10/00 -0700, you wrote: -- From: "josimat" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: GP Date: Sun, Oct 8, 2000, 18:24 Olá Wagner! Tem razão, CBM=60 graus, e não CBN. Desculpem-me pela falha na digitação. Eis o enunciado corrigido: Dado um triângulo ABC, com AB=AC. Tomam-se os pontos N e M pertencentes, respectivamente, aos lados AB e AC. Sendo a medida do ângulo BCN=30 graus, CBM=60 graus, NBM=20 graus. Determine a medida do ângulo BMN. []'s JOSIMAR Oi Josimar: vejamos uma solução braçal do seu problema. Seja P a interseção de BM com CN, e façamos BC = 2 para facilitar. Temos então PB = 1 e PC = sqrt(3). Sejam PM = x e PN = y. y = tg20 e sqrt(3)/x = tg40. Multiplicando, obtemos y/x = tg20.tg30.tg40. Acontece que tg20.tg30.tg40 = tg10, o que mostra que o ângulo BMN é igual a 10 graus. Resolvido o problema, resta demonstrar a identidade acima. Isto demanda um certo trabalho algébrico. Faça tg x = t e calcule tg(3x). Voce vai encontrar tg(3x) = t(3 - t^2)/(1 - t^2). Em seguida, demonstre a identidade tg(30 - a). tg(3a) . tg(30 + a) = tg a. Fazendo a = 10 graus, fica tudo resolvido. Fico devendo uma solução mais elegante para seu problema. Um abraço, Wagner.
Re: Solucao nao bracal
Tente uma generalizacao da Formula de Newton ... 1*S(3) -5*S(2) +4S(1) -5S(0) = 0 Onde S(k) = m^k + n^k + p^k No NOsso caso: S(0) = 3 (m^0 + n^0 + p^0) S(1) = 5 (m + n + p) S(2) = 25 - 2(-4) = 33 (m^2+n^2+p^2 = (m +n +p)^2 - 2(mn + np + mp) ) S(3) = 5 * 33 - 4 *5 + 5 *3 = 165 - 20 + 15 = 160 mnp = 5 neh?? a resposta sera entao 160/5 = 32 (verifiquem os meus calculos plz ...) []'s MP Obs formula de newton: Definimos S(n) = p^n + q^n ( onde p e q sao raizes da equacao Ax^2 +Bx + C =0) Como p e q sao raizes temos: Ap^2 + Bp +C = 0 (1) e Aq^2 + Bq + C = 0 (2) Multiplicando (1) por p(n -2) e (2) por q^(n-2) e somando os resultados vem que: AS(n) + BS(n-1) + CS(n-2) = 0 para tres fica facil tb At 19:05 13/10/00 -0300, you wrote: Galera, Entrei recentemente na lista e, lendo sobre solução braçal de problema, lembrei-me de uma questão de vestibular: (UCB) "A equação x^3 - 5x^2 + 4x - 5 = 0 tem raízes iguais a m, n e p. Determine o valor de m^2/np + n^2/mp + p^2/mn." A solução braçal seria desenvolver a expressão (m+n+p)^3 para isolar m^3 + n^3 + p^3. Qual seria a solução não-braçal? Abraços, Pedro
Re soma
Acredito que este problema já tenha sido discutido nesta lista. No entanto, lá vai: Usaremos a seguinte propriedade: (k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1 1^3 = 1 2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1 3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1 4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1 ... (n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1 Somando-se membro a membro temos: (n+1)^3 = 3*S + 3(1 + 2 + 3 + ... + n) + n Resolvendo esta equação em S temos: S = n(n+1)(2n+1)/6
Re: pg
Bom resolver eu resolvi a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 = 211 a(1 + q + q^2 + q^3 + q^4) = 211 Aqui eu pensei que só poderia ter a = 1, mas logo vi que não levaria a lugar algum ... fiz q = r/s s^4 | a = a = n*s^4 Como a 100 = a = n*2^4 ou a = 3^4. Pela facilidade comecei pelo a = 3^4 q = r/3 daí foi só verificar que funciona para r =2. a sequencia fica: 81, 54, 36, 6, 4 A resposta 121. Deve haver uma maneira mais formal de fazer ... espero vê-la aki. []'s MP - Original Message - From: josimat To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, November 27, 2000 11:52 PM Subject: pg Olá pessoal! Acabei de receber por telefone: A soma dos 5 termos, todos inteiros e menores que 100, de uma PG é 211. Calcule a soma dos termos quadrados perfeitos dessa PG (que só possui esses 5 termos). []'s JOSIMAR
Re: Análise combinátoria.
- Original Message - From: mcddj [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, November 28, 2000 9:25 PM Subject: Análise combinátoria. Preciso de ajuda, urgente. Quem puder me socorrer agradeço. 1. Em um corredor há 900 armários, numerados de 1 a 900, inicialmente todos fechados. 900 pessoas, numeradas de 1 a 900, atravessam o corredor. A pessoa de número k reverte o estado de todos os armários cujos números sâo múltiplos de k. Por exemplo, a pessoa de número 4 mexe nos armários de números 4, 8, 12,..., abrindo os que encontra fechados e fechando os que encontra abertos. ao final, quais armários ficarão abertos? Basta verificar que a porta ficará aberto somente se for "mexido" uma quantidade ímpar de vezes. O Armario será mexido tantas vezes quantos forem seus divisores. então ficarão abertos os armarios com quantidade ímpar de divisores. Número de divisores de um número dado: N = a ^x * b^y * c^z ... com a, b, c... primos e x, y, z... pertencente aos naturais d(N) = (x+1)(y+1)(z+1)... Queremos então que o produtos dos consecutivos dos expoentes dos números seja ímpar. Isso soh ocorrerá se todos esses concecutivos forem ímpares e portanto os expoentes devem ser PARES. portanto os armarios que ficarão abertos são os de número igual a um quadrado perfeito. 2. Um vagão de metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais não têm preferência. De quantos modos eles podem se sentar, respeitadas as preferências? C5,4 * C5, 3 * 3! Acho q eh isso ... 3. De um baralho comum de 52 cartas, sacam-se sucessivamente e sem reposição duas cartas. De quantos modos isso pode ser feito se a primeira carta deve ser de copas e a segunda não deve ser um rei? Dividindo em 2 casos: 1 Rei de copas e qq carta diferente de rei = 1 * 48 carta de copas (sem rei) e qq carta diferente de rei = 12 * 48 A resposta seria a soma ... 4. Escrevem-se números de 5 dígitos, inclusive os começados em 0, em cartões. Como 0, 1, e 8 não se alteram de cabeça para baixo e como6, de cabeça para baixo, se transforma em 9 e vice-versa, um mesmo cartão pode representar dois números (por exemplo, 06198 e 86190). Qual é o número mínimo de cartões para representar todos os números de 5 dígitos? Abraços... []'s MP __ Preocupado com vírus? Crie seu e-mail grátis do BOL com antivírus ! http://www.bol.com.br
Re: Análise combinátoria.
Obrigado pelas correções : - ) []'s MP - Original Message - From: Carlos Stein Naves de Brito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, November 29, 2000 10:32 PM Subject: Re: Análise combinátoria. From: "Marcos Paulo" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] Date: Tue, 28 Nov 2000 23:45:14 -0200 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Análise combinátoria. - Original Message - From: mcddj [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, November 28, 2000 9:25 PM Subject: Análise combinátoria. Preciso de ajuda, urgente. Quem puder me socorrer agradeço. 1. Em um corredor há 900 armários, numerados de 1 a 900, inicialmente todos fechados. 900 pessoas, numeradas de 1 a 900, atravessam o corredor. A pessoa de número k reverte o estado de todos os armários cujos números sâo múltiplos de k. Por exemplo, a pessoa de número 4 mexe nos armários de números 4, 8, 12,..., abrindo os que encontra fechados e fechando os que encontra abertos. ao final, quais armários ficarão abertos? Basta verificar que a porta ficará aberto somente se for "mexido" uma quantidade ímpar de vezes. O Armario será mexido tantas vezes quantos forem seus divisores. então ficarão abertos os armarios com quantidade ímpar de divisores. Número de divisores de um número dado: N = a ^x * b^y * c^z ... com a, b, c... primos e x, y, z... pertencente aos naturais d(N) = (x+1)(y+1)(z+1)... Queremos então que o produtos dos consecutivos dos expoentes dos números seja ímpar. Isso soh ocorrerá se todos esses concecutivos forem ímpares e portanto os expoentes devem ser PARES. portanto os armarios que ficarão abertos são os de número igual a um quadrado perfeito. 2. Um vagão de metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais não têm preferência. De quantos modos eles podem se sentar, respeitadas as preferências? C5,4 * C5, 3 * 3! Acho q eh isso ... nao é combinacao, pois se mudar de posicao, muda o exemplo, é so trocar C por arranjo, se nao me engano. 3. De um baralho comum de 52 cartas, sacam-se sucessivamente e sem reposição duas cartas. De quantos modos isso pode ser feito se a primeira carta deve ser de copas e a segunda não deve ser um rei? Dividindo em 2 casos: 1 Rei de copas e qq carta diferente de rei = 1 * 48 carta de copas (sem rei) e qq carta diferente de rei = 12 * 48 se tirou uma carta diferente de rei, sobram 47 cartas diferentes de rei, logo em vez de 12*48 seria 12*47 A resposta seria a soma ... 4. Escrevem-se números de 5 dígitos, inclusive os começados em 0, em cartões. Como 0, 1, e 8 não se alteram de cabeça para baixo e como6, de cabeça para baixo, se transforma em 9 e vice-versa, um mesmo cartão pode representar dois números (por exemplo, 06198 e 86190). Qual é o número mínimo de cartões para representar todos os números de 5 dígitos? Abraços... []'s MP __ Preocupado com vírus? Crie seu e-mail grátis do BOL com antivírus ! http://www.bol.com.br
Re: Divisíveis
- Original Message - From: "João Paulo Paterniani da Silva" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, December 10, 2000 2:28 PM Subject: Divisíveis Olá. Por que um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3? um número qq decomposto em unidades fica assim: N =A_0*10^n + A_1*10^(n-1) + ... + A_n Mas 10 = 3 q + 1 = 10 ^k = 3R + 1 Daí N = A_0(3q_0 + 1) + A_1(3q_1+1) + ... + A_n. N = 3 (/\/\/\/\/\\/\/\/\/\/\) + A_0 + A_1 + A_2 + ...+ A_n . Como a primeira parcela jah eh multipla de 3 basta q a soma das outras seja multpla de 3 tb. E um número é divisível por 7 se o número formado por todos seus algarismos, exceto o último, menos o dobro do último é divisível por 7? Como se prova isto? Fui claro? Fazer esse com um exemplo: N = ABCD o q vc mandou fazer foi ABC - 2*D neh? pensa no q vc ta fazendo: Eh o mesmo q ABCD - (20*D + D) se vc vai subtraindo um multiplos de 21 do numero e em algum momento vc encontra um multiplo de 7 eh pq o numero todo eh multiplo de 7 pois 21 tb eh multiplo de 7. Esse no entanto não eh o melhor criterio de divisibilidade por 7 pois não nos fornece o resto da divisao por 7 do numero. c deve conhecer o outro das classes (soma das classes impares - soma das classes pares e tal) esse da o resto. Espero ter ajudado. []'MP João Paulo Paterniani da Silva _ Get more from the Web. FREE MSN Explorer download : http://explorer.msn.com
Re: Trigonometria-Ajuda Urgente
Multiplique e divida pra não alterar a expressão. : - ) []'s MP - Original Message - From: "Augusto Morgado" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, December 13, 2000 6:32 AM Subject: Re: Trigonometria-Ajuda Urgente Multiplique por sen(pi/65). Use varias vezes que sena.cosa=(sen2a)/2. Lembre-se ao final que pi/65 e 64pi/65 sao suplementares e tem o mesmo seno. Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote: Olá, preciso de ajuda nesta questão, se possível ainda para hoje... desde já agradeço vossa ajuda, Prove que: cos(Pi/65)*cos(2Pi/65)*cos(4Pi/65)*cos(8Pi/65)*cos(16Pi/65)*cos(32Pi/65)=1/6 4
Re: Quadratura do círculo
Quer dizer construir um quadrado com a mesma area de um círculo usando apenas regua e compasso. Este termo ficou conhecido como sinonimo de impossível. []' s MP - Original Message - From: Davidson Estanislau To: obm Sent: Tuesday, December 19, 2000 4:02 PM Subject: Quadratura do círculo O que quer dizer: A quadratura de um círculo? Davidson
Re: problema do triângulo.
Trace BCR (com r pertencendo ao lado AB) e vc encontrara um monte de
triangulos isosceles (inclusive um equilatero)... ai fica fcil...
[]'s MP
- Original Message -
From: "Exercicio" [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, February 12, 2001 11:47 PM
Subject: Re: problema do tringulo.
Certinho amigo!
O erro todo meu... Desenhei de modo totalmente errado a figura
Gostaria de aproveitar essa msg e declarar:
ESQUEAM A FIGURA ANTERIOR.!
Desculpe-me pelo erro...
A figura certa vai nesse email
Falow's
Exercicio
http://exercicio.cjb.net
ICQ # 102856897
Bruno Furlan escreveu:
No pode ser isso, tem erro a...
Se for isso, com AB=AC como est escrito embaixo da figura,
ABC=ACB=80,
da BCB'=50, de onde tiramos BOC=80 e conseqentemente C'OB=100, e
B'BO=30. Assim, o ngulo destacado em verde mede 50.
("legenda": B' o ponto onde se encontram AC e a ceviana que sai de B;
C'
o ponto onde se encontram AB e a ceviana que sai de C; O o encontro
das
duas cevianas.)
--
--
Re: Intuicao na Geometria Analitica
Se s forma um angulo alfa com o eixo x e s forma um angulo beta com o memso eixo x, tem se q o angulo entre as duas retas eh dado por # = (alfa - beta) aplique tangente nos dois lados da igualdade e vc tera a formula q vc escreveu []'s MP - Original Message - From: Gustavo Martins To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, March 21, 2001 7:47 PM Subject: Intuicao na Geometria Analitica Considere os seguintes dados: mr = coeficiente angular da reta r; ms = coeficiente angular da reta s; mt = coeficiente angular do angulo agudo formado pelo encontro das retas r e s; # = angulo agudo formado pelo encontro das retas r e s; x indica multiplicação; tg# = |ms - mr/(1 + msxmr)|. Como faco para concluir essa equacao intuitivamente? Ja conseguiuma explicacao intuitiva sobreoutras equações de Geometria Analitica, mas nao consigo fazer o mesmo com essa. Obrigado, Gustavo
duvidas crueis ...
Hj me levaram um problema pra sala de aula e disseram q está na revista Eureka.. o problema eh assim: Seja N um número tal que d(2N^2) = 28 e d(3N^2) =30 determine d(6N^2) onde d(X) = número de divisres de X. Eu resolvi assim: Seja N = 2^a * 3^b * 5^c * ... * p^k (onde p é um primo qualquer e a, b, c, ..., k são inteiros não negativos) Usando os dados escrevi que d(2N^2) = (2a +2)(2b+1)(2c+1)(2d+1)...(2k+1) = 28 d(6N^2) = (2a +2)(2b+2)(2c+1)(2d+1)...(2k+1) = (2a +2)(2b+2) * 28/[(2a+2)(2b+1)]= = (2b+2)/(2b+1)*28 =[ (2b+1)/(2b+1) + 1/(2b+1)] * 28 = 28 + 28/(2b+1). Como o numero de divisores eh inteiro, temos q a parcela 28/(2b+1) deve ser inteira e portanto conclui que 2b + 1 = 1 ou 2b + 1 = 7, ou seja d(6N^2) = 58 (para b = 0) ou d(6N^2) = 32 (parab = 3) repetindo esse raciocinio para d(3N^2) = 30, obtem-se interseção unicapara d(6N^2) = 32 e portanto conclui q esse eh o numero procurado. A solução está correta? há solução mais formal? eu esqueci alguma propriedade importante? Agradeço desde já a atenção. []'s MP
Re: Ajuda
Dizer q A = B mod d é dizer q A e B deixam o mesmo
resto na divisão por d, ou ainda q A - B é multiplo de d
[]'s MP
- Original Message -
From:
Gustavo
Martins
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, March 21, 2001 7:10
PM
Subject: Re: Ajuda
Olhei a resolução do problema do Igor, mas não sei o que é mod. Alguem
pode me explicar?
Atenciosamente,
Gustavo
- Original Message -
From:
Rodrigo
Villard Milet
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, March 21, 2001 1:21
PM
Subject: Re: Ajuda
1) 2^n + 1 = 0 mod3 implica 2^n = -1mod3, logo (-1)^n = -1mod3, então n
é ímpar.
2) x^2 + 3x + 2 = (x+1)*(x+2). Note q esse número é sempre par, pois é
produto de dois consecutivos. Logo, basta achar os x, para os quais E =
(x+1)*(x+2) é múltiplo de 3. Para isso, calcule quantos são os x, para os
quais 3 não divide E, os seja, 3 divide x. De 0 a 25, há 9. Logo, há 26 - 9
= 17 x`s, para os quais 3 divide E, e por conseguinte, 6
divide E.
¡ Villard
!
-Mensagem original-De:
Igor Castro [EMAIL PROTECTED]Para:
[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data:
Terça-feira, 20 de Março de 2001 22:14Assunto:
Ajuda
Caríssimos colegas, estou precisando de ajuda
nos seguintes problemas: (parecem simples)
1) Determine n natural para que 2^n + 1 seja
divisível por 3. (resolver algebricamente)
2) Se x pertence à {0,1,2,...,25), para
quantos valores de x, x^2 +3x +2 é múltiplo de 6?
Estava resolvendo esses problemas num
capítulo de divisibilidade e congruências, se puderem usar só o
conceito básicos dessas teorias,
agradeço.
Igor Castro
Re: regra de tres
Se a plantao maior foi cortada por todo pessoal em meio dia e por metade do pessoal na outra metade do dia, ento temos que a metade do pessoal cortou 1/3 da plantao. Como o campo menor foi cortado pelo mesmo pessoal e tem metade do tamanho do maior ento ficou por ser cortado no dia seguinte: 1/2 - 1/3 da plantao maior. agora ficou simples ... 1 trabalhador corta 1/6 da plantao maior por dia ... o total cortado no primeiro dia foi 6/6 + 2/6 = 8/6 portanto 8 trabalhadores fizeram o trabalho. algo errado nisso? []'s MP - Original Message - From: "Rodrigo Villard Milet" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 25, 2001 3:15 AM Subject: Re: regra de tres Seja x o nmero de cortadores de cana e A a rea da menor plantao e considere t o tempo de trabalho num dia inteiro. Logo, temos : (t/2)*x + (t/2)*(x/2) = 2A (I), pois durante t/2 hrs, todos trabalharam e nas outras t/2 hrs a outra metade trabalhou. De (I), temos 3xt/4 = 2A e assim, xt/4 = 2A/3. Note agora, que (t/2)*(x/2) = A - d (II), onde d o pedao q falta. Mas d = 1*t=t, pois um trabalhador cortou a cana num dia todo. Logo, de (II) : tx/4 = A - t. Como tx/4 = 2A/3, temos 2A/3 = A - t que implica t = A/3 Como xt/4 = 2A/3 = 2t, x/4 = 2, ou seja, h 8 trabalhadores !!! Abraos, Villard ! -Mensagem original- De: Erico Furukawa [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 25 de Maro de 2001 02:39 Assunto: regra de tres Meu nome e Erico e eu queria um favor de voces. Queria saber a resolucao de um problema: "Uma turma de cortadores de cana deveria trabalhar em duas plantacoes, uma com o dobro da area da outra. Durante meio dia, todos trabalharam na plantacao maior. Depois do almoco, metade da turma continuou na plantacao grande, enquanto a outra metade passou para a menor. No fim da tarde, o trabalhado estava quase terminado, faltando apenas uma pequena faixa da plantacao menor. Esse pedaco foi concluido por um unico trabalhador, que cortou cana durante todo o dia seguinte. Quantos cortadores de cana havia na turma?" O YAHOO! GEOCITIES CHEGOU AO BRASIL! Crie sua home page com tudo em portugus - http://br.geocities.com
Re: QUESTÃO DESAFIO 1 BY João cláudio
A algum tempo eu postei uma identidade conhecida (?) q resolve o problema ... tg(60 - x) * tg x * tg (60 + x) = tg (3x) não eh tão dificil de demonstrar ... []'s MP - Original Message - From: joao claudio [EMAIL PROTECTED] To: OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, May 12, 2001 6:05 PM Subject: QUESTÃO DESAFIO 1 BY João cláudio resolvam a seguinte questão: a)tg20.tg40.tg80 --- Visite: http://www.email.com.br O melhor servigo de webmail gratuito.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão envolvendo tráfego de veículos
Pense na quantidade de carros que sairão por X. Note que a saida x perde carros sempre que há uma esquina com entrada para direita. Há apenas 2 esquinas deste tipo e portanto na primeira a saida x perde 256 carros (sobrando 256) e na segunda ela perde masi 128 ficando com apenas 128 carros. O restante dos carros sairá por Y. Resposta: 512 - 128 = 384. A solução que vc apresentou é exatamente igual a esta sendo que o 1 representa o total de carros (q eu chamei de 512) e o 1/4 a quantidade de carros que sairão por X (q eu chamei de 128).O total de carros menos o que sai por x engloba os q tomaram o caminho "inferior" . []'s MP - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 13, 2003 8:07 PM Subject: [obm-l] Questão envolvendo tráfego de veículos Olá pessoal, (CESGRANRIO) A figura abaixo (clique aqui para ver) representa uma área de ruas de mão única. Em cada esquina em que há duas opções de direção (vide figura) o tráfego se divide igualmente entre elas. Se 512 carros entram na área por P, determine o número dos que vão sair por Y. Solução: O tráfego em P se divide em dois. Então, ½ da quantidade dos carros seguem em direção a X.. Em seguida, o tráfego se divide em dois novamente. Portanto, na saída X teremos a metade da metade dos carros, ou seja , teremos ½ × ½ = ¼. Assim, na saída Y teremos o total de carros menos ¼ do total, ou seja, teremos 1 - ¼ = 3/4 dos carros. Se entram 512 carros em P, então em Y vão sair 3/4 de 512 = 3/4 × 512 = 384 carros. Obs: A figura e a questão pode ser vista no site: http://www.ezequiassilva.hpg.ig.com.br/inteiros.html Dúvida: O que eu não entendi, foi por quê na resolução somente foi considerado somente o caminho, ou o destino da metade que partindo de P chega até Y pelo caminho superior , por quê não foi considerado o caminho inferior, ou seja, a outra metade de 512 (ou seja, 256) que chegou a Y pelo caminho inferior passando parte destes carros nas ruas secundárias ?
Re: [obm-l] probabilidade
Neste caso a quantidade de resultados possíveis é bem pequena e portanto é possível lista-los. Seja A a vitória da primeira equipe e B a vitória da segunda equipe. Os resultados possíveis são: ABABA ABAA AA BAA BABAA BABAB BABB BB ABB ABABB dentre as 10 possibilidades listadas há 8 em que uma das equipes tem 2 vitórias consecutivas (80%). Tenho ainda uma dúvida quanto a este "uma equipe".Se "uma equipe" for o mesmo que "alguma equipe" então a resposta é a dada acima. Se, por outro lado, "uma equipe" for o mesmo que "uma determinada equipe" então a resposta será metade da resposta dada. Para deixar mais claro o que não entendi vou modificar o enunciado e gostaria que me respondessem se o enunciado é equivalente ao pedido nesta mensagem. "Palmeiras e Botafogo disputam um torneio de futebol em que saírá vencedor aquele que obtiver 2 vitórias consecutivas ou 3 vitórias alternadas. Se não é possível o empate (disputa de penalti), qual a probabilidade de que o Botafogo saia vitorioso do torneio com duas vitórias consecutivas?" Obs. A escolha dos times não foi aleatória .. procurei times que tivessem igualdade de condições na disputa de qualquer partida, ou seja, a vitória de qualquer um dos times contece com 50% de probabilidade. Nunca iria colocar, por exemplo, Flamengo e Botafogo visto que estes estão em categorias diferentes e portanto a vitória do Flamengo aconteceria com maior probabilidade. Não sei se minha dúvida procede mas resolvi responder apenas para tirar esta dúvida. []'s MP - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 13, 2003 11:36 PM Subject: [obm-l] probabilidade Duas equipes disputam entre si uma série de jogos em que não pode ocorrer empate e as duas equipes têm as mesmas chances de vitória. A primeira equipe que conseguir duas vitórias seguidas ou três vitórias alternadas vence a série de jogos. Qual a probabilidade de uma equipe vencer a série de jogos com duas vitórias seguidas?
[obm-l] Re: [obm-l] análise combinatória
Um códogo é determinado pela escolha das cores de 6 barras a primeira barra pode ser escolhida de 2 cores, a segunda pode ser escolhida de 2 cores e assim por diante até a 6a barra que pode ser escolhida de 2 cores. Como a escolha da cor de uma barra não interfere na escolha da cor das outras barras o total de códigos será o produto 2^6 = 64. Porém o enunciado descarta a possibilidade de um código conter todas asbarras brancas e todas as barras pretas portanto do total devemos descontar estas duas possibilidades e a resposta fica então 64 - 2 = 62. A "fórmula" que vc colocou na mensagem original dá o total de maneiras que vc pode escolher p objetos dentre n e nào tem nada a ver com o exercício. []'s MP - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, January 14, 2003 9:41 PM Subject: [obm-l] análise combinatória Olá pessoal, Alguém consegue resolver estre problema de análise combinatória: (U.C SALVADOR) Um código para leitura ótica é constituído por 6 barras brancas ou pretas. Nenhum código tem barras de uma só cor. Veja dois exemplos desses códigos: Obs: Vou descrever como são estes exemplos: Imagine dois retângulos, em que cada um é formado por 6 listas verticais, para facilitar a descrição vamos ordenar as listas, ou seja, a 1º (da esquerda para direita), depois 2º...6º lista. Imagine que o primeiro retangulo esta pintado assim: 2º lista e 5º lista (ambas de preto) e o restante de branco. Agora, imagine o segundo retangulo (código de barras) com a 1º, 2º e 5º lista sendo pretas e as restantes brancas. Dúvida: Por quê podem ser formados 62 (segundo meu gabarito) códigos, distintos entre si? Eu tentei aplicar cn,p=n!/(n-p)!p! mas não cheguei no resultado. Será que é arranjo?
Re: [obm-l] geometria espacial
Quando seccionamos um cone por um plano podemos observar dois cones semelhantes (o cone original e o cone que é retirado para gerar o tronco). A razão de semelhança é igual a razão entre as alturas e a razão entre os volumes é o cubo da razão de semelhança. No seu exercício o cone menor tem 1/8 do volume (1 - 7/8) do cone maior e portanto a razão entre os cubos das alturas deve ser 1/8, ou seja, (h/H)^3 = 1/8 = h/H = 1/2 como H = 12 h = 6. []'s MP - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, January 14, 2003 9:42 PM Subject: [obm-l] geometria espacial Olá pessoal, Alguém consegue me auxiliar nesta questão de geometria espacial? Seccionando-se um cone reto por u plano paralelo à sua base obtém-se um tronco de cone cujo volume é igual a 7/8 do volume do cone original. Se a altura do cone original é de 12 cm, a que distância do vértice está a secção? Resp: 6cm
[obm-l] geometria espacial (errata)
- Original Message - From: Marcos Paulo To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, January 14, 2003 11:39 PM Subject: Re: [obm-l] geometria espacial Quando seccionamos um cone por um plano PARALELO À BASE, podemos observar dois cones semelhantes (o cone original e o cone que é retirado para gerar o tronco). A razão de semelhança é igual a razão entre as alturas e a razão entre os volumes é o cubo da razão de semelhança. No seu exercício o cone menor tem 1/8 do volume (1 - 7/8) do cone maior e portanto a razão entre os cubos das alturas deve ser 1/8, ou seja, (h/H)^3 = 1/8 = h/H = 1/2 como H = 12 h = 6. []'s MP - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, January 14, 2003 9:42 PM Subject: [obm-l] geometria espacial Olá pessoal, Alguém consegue me auxiliar nesta questão de geometria espacial? Seccionando-se um cone reto por u plano paralelo à sua base obtém-se um tronco de cone cujo volume é igual a 7/8 do volume do cone original. Se a altura do cone original é de 12 cm, a que distância do vértice está a secção? Resp: 6cm
[obm-l] Re: [obm-l] sen,cos tg no ciclo trigonométrico
olá, Pense na redução deste ângulo ao primeiro quadrante. Estando no primeiro quadrante vc pode dizer que este ângulo é um dos ângulos de um triângulo pitagórico de lados 3, 4 e 5 unidades de comprimento. o seno do ângulo é 4/5 e o cosseno do ângulo é 3/5. Mas como o ângulo é do segundo quadrante, o seno será positivo e o cosseno negativo. A resposta será: 3/5 - 4/5 = -1/5 []'s MP - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 22, 2003 2:32 AM Subject: [obm-l] sen,cos tg no ciclo trigonométrico Olá pessol, Como resolver está questão que caiu na fuvest: (FUVEST) Se tgx=3/4 e Pi x3pi/2, o valor de cosx-senx é: Resposta:-1/5 Eu tentei resolver este exercício transformando a tg em senx/cosx e depois eu tenter aplicar a relação fundamental sen^2x + cos^2x=1 para eliminar estas incóginas e ficar com o 1 e apenas uma mas eu rodeava no exercício e chegava a sen^2x - cos^2x, ou seja com sinal trocado.
[obm-l] Re: [obm-l] transformação de arcos
Resolva novamente sua equacão. Afinal, -1 não é raiz de x^2 + 2x -1 =0 ((-1)^2 + 2*(-1) - 1 = - 2). []'s MP - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 22, 2003 3:39 AM Subject: [obm-l] transformação de arcos Olá pessoal, (PUC-SP) A tg 22,5º é igual a: Resposta: (sqrt2) - 1 Obs: Como 22,5º= 45º-22,5º, eu tentei resolver da seguinte maneira: tg22,5º=tg(45º-22,5)=(tg 45º - tg 22,5º)/(1 + tg 45º*tg 22,5º) tg22,5º= (1 - tg 22,5º)/(1+tg22,5º) , passando o denominador para o primeiro membro temos tg^2 (22,5º) + 2*tg22,5º -1=0. Eu arbitrei tg22,5º=y e facilitamos a eq. do 2º- y^2 + 2y - 1=0 resolvendo eu cheguei ao valor de -1 e como eu arbitrei y=tg22,5º temos tg22,5º= -1 (IMPOSSÍVEL) Onde está meu erro?
Re: [obm-l] P.A
olá, A_1 = b^2 - a^2 = (b-a)(b+a) = r(b+a), visto que b-a = r A_2 = c^2 - b^2 = r(c+b) A_3 = d^2 - c^2 = r(c+d). A sequencia A_1, A_2, A_3 será uma PA se as diferenças A_2 - A_1 e A_3 - A_2 forem iguais e nesse caso essa diferença será a razão. Fazendo A_2 - A_1, temom: r(c+b) - r(b + a) = r(c - a). Como a,b,c,d é uma PA, c - a = 2r e portanto A_2 - A_1 = r*2r = 2r^2 Fazendo A_3 - A_2, temos r(d+c) - r(c + b) = r(d - b). Como a,b,c,d é uma PA,d -b = 2r e portanto A_3 - A_2 = r*2r = 2r^2, o7u seja, a sequencia dada é uma PA de razão 2r^2. []'s MP - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, February 12, 2003 6:17 PM Subject: [obm-l] P.A Olá pessoal, (UNESP) Se a, b, c e d formam, nesta ordem, uma P.A de razão r, então b^2 - a^2, c^2 - b^2 e d^2 - c^2 formam, nesta ordem, uma P.A de razão: resp: 2*r^2 Dúvida: Percebi que podemos fazer (b-a)* (b+a), (c-b)*(c+b), (d - c)*(d+c). Como é uma P.A [ (c-b)*(c+b)] - [(b-a)* (b+a)] = [(d - c)*(d+c)] - [ (c-b)*(c+b)] = r . A minha dúvida quando tentava resolver esta questão estava nestas somas em parênteses.
Re: [obm-l] Outra de P.A
a[6] = a[1] + 15 = b[1] a[3] = a[1] + 6 = b[1] * 0,5 ou seja, a[6] = 2a[3] o que nos dá a[1] = e portanto b[1] = 18 []'s MP - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, February 12, 2003 6:18 PM Subject: [obm-l] Outra de P.A Olá pessoal, Como resolver esta questão: (UF-RS) Sabendo que a[n] é uma P.A de razão 3, b[n] é uma P.G de razão 1/2, a[6] = b[1] e a[3] = b[2], então a[1] + b[1] é : resp: 21
Re: [obm-l] Provar primo impar
Todo número (par ou ímpar) pode ser escrito como 4n, 4n + 1, 4n + 2, 4n + 3 (obviamente isso não é privilégio do 4) Os número pares serão escritos como 4n ou 4n + 2 e os ímpares como 4n + 1 e 4n + 3 4n + 3 = 4n + 4 - 1 = 4(n+1) - 1 = 4N - 1 []'s MP - Original Message - From: Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 22, 2003 9:44 AM Subject: [obm-l] Provar primo impar ei pessoal, como é que eu provo que qualquer número primo impar pode ser escrito ou da forma 4n + 1 ou 4n - 1 ?? = ___ Yahoo! Mail O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RES: [obm-l] ajuda geometria
Title: Mensagem Trace os segmentos MC e BP. Observe que o triâgulo NMC é retângulo já que M e B são diametralmente opostos (o ângulo MCB está inscrito num arco de meia volta). Como o triângulo BPN é semelhante ao NMC (caso A-A) NPB é reto. O arco q subtendea corda MC é um arco de 60º e portanto med(MC) = R. Temos ainda que med(NC) = R*SQRT(3)/2 e usando o teorema de pitagoras vc descobre que med (NM) = R*SQRT(7)/2. Agora basta usar a semelhança e descobrir med(NP),que, se eu não errei todas as contas (o q eh muito pouco provável), deve ser 3*R*SQRT(7)/14 []'s Boromir -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Daniel PiniEnviada em: sábado, 31 de maio de 2003 14:26Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] ajuda geometria Considere um triângulo equilátero ABC, inscrito em um circulo de raio R. Os pontos M e N são, respectivamente, os pontos médios do arco menor AC e do segmento BC. Se a reta MN também intercepta a circunferencia desse circulo no ponto P, P diferente de M, então NP mede?
Re: [obm-l] outras questões
At 23:54 17/7/2004, you wrote:
1)Considere o conjunto:
s={(a,b) pertente N xN | a+b=18}
A soma de todos os valores da forma 18!/a!b! é
a)8^6 b)9! c)9^6 d)12^6 e)12!
Essa soma será igual a C18,0 + C18, 1 + ... + C18,18 = 2^18 = (2^3)^6 = 8^6 (A)
2)A soma dos fatoriais das raízes da equação:
x^4-8x^3+19x^2-12x=0 é:
a)12 b)31 c)32 d)33 e)34
Como 0 e 1 são raízes e o oplinomio só tem 4 raizes, as outras só podem ser
3 e 4 (se fosse 2 não teria opção) 0! + 1! + 3! + 4! = 32
3)A área do polígono, situado no primeiro quadrante , que é delimitado
pelos eixos coordenados e pelo conjunto :
{(x,y) pertence aos R² : 3x²+2y² + 5xy-9x-8y + 6 =0}
é igual a:
a)1,5 b)2,5 c)3,0 d)3,5 e)4,0
2(x+y)^2 + x^2 + xy -9x -8y + 6
2(x+y)^2 + x^2 + xy - x - 8x - 8y + 8 - 2
2(x+y)^2 + x(x + y - 1) - 8(x + y - 1) - 2
2[(x +y)^2 - 1] + (x + y - 1)(x - 8)
2(x + y - 1)(x + y + 1) + (x + y - 1)(x - 8)
(x + y - 1)(3x + 2y - 6) = 0
deve ter um jeito mais facil de fatorar isso ...
O polígono é formado pelos pontos A(1, 0) B(2, 0), C(0, 3) e D(1, 0)
a área dá 2,5
abços
Junior
[]'s MP
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Re: [obm-l] Escola Naval 2004
At 21:14 18/7/2004, you wrote: (sem as setinhas de vetor): U = (2,1,-3) P= (3,-1,0) Seja V=(a,b,c) e W=(d,e,f) W e V são perpendiculares - ad + be + cf = 0 (produto escalar=0) 2 = a+d - 4 = a^2 + 2ad + d^2 1 = b^2 + 2be + e^2 9 = c^2 +2cf + f^2 - 14 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + f^2 + 2(ad + be + cf) = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 V - W = (a - d, b - e, c - f) - |V - W| = sqrt2(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + f^2 - 2(ad + be + cf) = sqrt2(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + f^2) = sqrt2(14) (letra B) Avisem se tiver algo errado.. []´s Igor Suas contas estão certas. Mas se dois vetores (como v e w) são perpendiculares, então a norma da sua soma é igual a norma da sua diferença e portanto bastaria fazer |u| = SQRT(2^2 + 1^1 + (-3)^2) = SQRT(14) []'s MP - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]João Vitor To: mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, July 18, 2004 8:12 PM Subject: Re: [obm-l] Escola Naval 2004 Essa é de Vetores ---- - -- - - - - - Sabendo q: U = 2i + j - 3k ; U = V + W onde V é paralelo aP = 3i - j e W é - - - perpendicular a P ; Podemos Afirmar q|V - W| é: A) Sqrt(19)/2 B) Sqrt(14) C) Sqrt(27)/4 D) Sqrt(20) E) Sqrt(53)/2 Essa caiu ano passado na Escola Naval! João Vitor, Fortaleza - CE - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]Robÿe9rio Alves To: mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, July 17, 2004 8:03 PM Subject: [obm-l] Probleminha legal, como resolver ? Sabendo que um balaio de ovo foi dividido entre três pessoas. O primeiro ficou com a metade da quantidade de ovos mais meio ovo. O segundo ficou com a metade do que sobrou mais um muio. Por conseguinte, o último com a metade do que sobrou mais um meio. Pergunta - se a) Quantos ovos ( inteiros ) há no balaio ? b) Quantos ovos ficou a primeira pessoa ? c) Quantos ovos ficou a segunda ? d) Quantos ovos ficou a terceira ? __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questões estranhas
At 21:21 2/8/2004, you wrote: Alguém poderia me dar uma ajuda nisso? 1 - Sabendo-se que a equação x^2*(x + 13) - 6x*(x^2 + 2) + 4 = 0 pode ser escrita como o produto de dois binômios do primeiro grau, a soma de duas das suas raízes distintas é igual a: Resp.: 3 Essa questão vc copiou errada a pergunta correta é: Sabendo que x^2 (x^2 + 13) - 6x(x^2 + 2) + 4 = 0 pode ser escrita como o produto de binomios do primeiro grau (e não de DOIS binomios).. Note que o termo independente de x vale 4 e, portanto se houver alguma raiz inteira essa será um dos divisores de 4, ou seja, +1, -1, +2, -2, +4, -4. Basta testar 1 e 2 e vc verá que são raízes. 2 - O valor numérico da expressão 120x^4 + 10k^2 + 8, sendo k um natural, é o quadrado de um número natural para: Resp.: Nenhum valor de k note que 120k^4 tem digito das unidades ZERO, asssim como 10k^2. POrtanto o dígito das unidades da expressão inteira será 8 e não existe quadrado perfeito que termine em 8, portanto independente do valor inteiro de k, a expressão nunca será um quadrado perfeito. Quem quiser ver a prova inteira do colégio naval pode entrar no endereço www.cursoriachuelo.com.br/cn2004.htm neste endereço está o gabarito extra oficial e clicando nas questões da prova azul abre uma janelinha com a questão correspondente (enunciado + opções). Se tiver um tempinho eu vou colocar em breve a prova com soluções comentadas. []'s Marcos Paulo -- Mensagens enviadas estão livres de vírus. Verificado por AVG Anti-Vírus (http://www.avgbrasil.com.br). Versão: 7.0.262 / Banco de dados de Vírus: 264.2.0 Data de Lançamento: 2/8/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões estranhas
Oi Paulo, eu discordo da estranheza da prova. Achei que a prova foi bastante interessante ressucitando temas interessantes que estavam meio que às traças como o retângulo áureo (questão 7); o eixo radical (questão 17), a fórmula de transformação de radicais duplos em soma de radicais simples (questão 2). O produto notável pedido na questão 1 aparece em quase todo livro de oitava série (mesmo os piores) e eu não conheço outra justificativa (ou uma melhor) para que uma divisão entre inteiros resulte numa dízima periódica a não ser o fato de que exista uma quantidfade finita de restos possíveis na divisão, enquanto o processo (o algoritmo da divisão) pode ser repetido infinitamente. Talvez a opinião dos outros membros da lista fosse interessante nessa questão. []'s MP P.S. Os números das questões que eu citei são referentes à prova azul. At 14:12 3/8/2004, you wrote: Essa prova do CN está esquisita mesmo. Vocês viram as questões 1 e 16? No caso da 16, a resposta certa é a única que faz algum sentido, mas dá a entender que toda seq. com uma quantidade limitada de valores é periódica! Essas provas do CN já não foram melhores? Paulo -- Mensagens enviadas estão livres de vírus. Verificado por AVG Anti-Vírus (http://www.avgbrasil.com.br). Versão: 7.0.262 / Banco de dados de Vírus: 264.2.0 Data de Lançamento: 2/8/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re[3]: [obm-l] [obm-l] Questões estranhas
Concordo totalmente. Para economizar uma palavra eles estragaram o enunciado. A questão diz: Um número natural N tem 2005 divisores positivos. Qual o número de bases distintas de sua decomposição em fatores primos. Dessa forma o número pode ser N = (primo)^2004 que tem 2005 divisores positivos e uma base só ou N = (p1)^4 * (p2)^400 que tambem tem 2005 divisores positivos e tem duas bases diferentes. Se tivessem acrescentado a palavra máximo (ou mínimo) do lado da palavra número... []'s MP = De:Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões estranhas Na questao 18, o numero procurado pode ser 1 ou 2. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Marcos Paulo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tue, 03 Aug 2004 16:16:31 -0300 Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões estranhas Oi Paulo, eu discordo da estranheza da prova. Achei que a prova foi bastante interessante ressucitando temas interessantes que estavam meio que às traças como o retângulo áureo (questão 7); o eixo radical (questão 17), a fórmula de transformação de radicais duplos em soma de radicais simples (questão 2). O produto notável pedido na questão 1 aparece em quase todo livro de oitava série (mesmo os piores) e eu não conheço outra justificativa (ou uma melhor) para que uma divisão entre inteiros resulte numa dízima periódica a não ser o fato de que exista uma quantidfade finita de restos possíveis na divisão, enquanto o processo (o algoritmo da divisão) pode ser repetido infinitamente. Talvez a opinião dos outros membros da lista fosse interessante nessa questão. []'s MP P.S. Os números das questões que eu citei são referentes à prova azul. At 14:12 3/8/2004, you wrote: Essa prova do CN está esquisita mesmo. Vocês viram as questões 1 e 16? No caso da 16, a resposta certa é a única que faz algum sentido, mas dá a entender que toda seq. com uma quantidade limitada de valores é periódica! Essas provas do CN já não foram melhores? Paulo -- Mensagens enviadas estão livres de vírus. Verificado por AVG Anti-Vírus (http://www.avgbrasil.com.br). Versão: 7.0.262 / Banco de dados de Vírus: 264.2.0 Data de Lançamento: 2/8/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h tml = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h tml = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re[2]: [obm-l] CN 2004
Outra maneira bastante razoavel seria lembrar que SQRT(A + SQRT(B)), fazendo C = A²-B, será: SQRT((A+C)/2) + SQRT((A-C)/2). Aplicando 2 vezes isso vc encontra o resultado: SQRT(SQRT(49 + sqrt(2400))) - C = 1 SQRT(SQRT(49 + sqrt(2400))) = SQRT(SQRT(25) + SQRT(24)) = = SQRT(5 + SQRT(24) - C' = 1 novamente SQRT(5 + SQRT(24) = SQRT(3) + SQRT(2) = 3,1463 (aproximadamente) []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvidas
At 22:26 4/8/2004, you wrote: Olá ! x=7a+5=13b+9=7a-13b=5; a,b,c naturais OPa .. 7a - 13b = 4 Dai a=(5+13b)/7 a = (4 + 13b)/7 Como a é suposto inteiro = b=7c+5 b = 7c + 4 Daí, substituindo na primeira relação, temos que: x=13(7c+5)+9=91c+65 x = 13(7c + 4) + 9 = 91c + 61 Alternativa c) Alternativa b Eu particularmente acho mais legal resolver esse tipo de questão encontrando uma solução particular: quando vc chega a 7a - 13b = 4 note que a = 8 e b = 4 é uma solução possível. Daí N = 7*8 + 5 é um possível valor para N e se esse valor particular deixa resto 61 todos os outros valores de N tb deixarão resto 61. Há diversas técnicas de encontrar solução particular (por exemplo usar o algoritmo de euclides para expressar o mdc entre 7 e 13 como uma combinação linear deles e depois multiplicar por 4..) na maioria dos exercicios a solução particular pode ser claculada por tentativas. Há alguns artigos na Eureka e na RPM sobre esse tipo de equação dita diofantina. []'s MP Até mais. Eu acho que está faltando uma alternativa nesta questão a letra d como sendo 63 , voces não acham? Como se faz esta questao sem usar congruencias? Um numero natural ao ser dividido por 7 deixa resto 5 e , ao ser dividido por 13 , deixa resto resto 9. O resto da divisão desse número por 91 eh igual a: a0 45 b0 61c) 65 e)75 agradeço desde de já. __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado 2º ano em Engenharia Elétrica UNESP - Ilha Solteira __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Este e-mail está livre de vírus. Verificado por AVG Anti-Vírus (http://www.avgbrasil.com.br). Versão: 7.0.262 / Banco de dados de Vírus: 264.2.0 Data de Lançamento: 2/8/2004 -- Mensagens enviadas estão livres de vírus. Verificado por AVG Anti-Vírus (http://www.avgbrasil.com.br). Versão: 7.0.262 / Banco de dados de Vírus: 264.3.0 Data de Lançamento: 4/8/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Morgado, Guilherme e a todos amigos
= De:nilton rr [EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:[obm-l] Morgado, Guilherme e a todos amigos Por favor companheiros preciso dessas respostas até quarta feira dia da minha aula, agradeço antecipadamente. 1) Uma pastelaria vende pastéis de palmito, carne, queijo e espinafre. de quantas maneiras uma pessoa pode comprar 8 pastéis sendo pelo menos 2 de queijo? Seja p o número de pastéis de palmito, y o número de pastéis de carne, z o número de pastéis de queijo e w o número de pastéis de espinafre. p + y + z + w = 8. Ainda devemos ter p maior que 2, portanto faremos p = x + 2 e dessa forma mesmo q x seja zero p será pelo menos 2. A pergunta agora será: Quantas soluções naturais tem a equação x + y + z + w = 6? Para repartir 6 unidades (u) em 4 grupos são necessários 3 separadores (s) Por exemplo: s u u s u u u s u seria o equivalenbte a x = 0, y = 2, z = 3 e w = 1 Cada permutação dessas 9 letras será uma resposta nova, portanto a minha resposta será igual ao número de permutações da palavra acima (formada por s e u) Resposta: 9!/(3!*6!) 2)Uma livraria vai doar 25 livros iguais a 5 bibliotecas municipais. Cada biblioteca deve receber pelo menos 3 livros. qual o nr de maneiras distintas que esta livraria poderá repartir os livros dessa doação? Repetindo o processo acima vc tem: X1+X2+X3+X4+X5 = 25 e faça X1 = 2+A1, ... X5 = 3+A5 resolva igual ao primeiro exercício. 3) quantas são as soluções inteiras não negativas de x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 =15 nas quais exatamente duas incógnitas são nulas? Aqui vc tem q escolher 2 entre 7 para serem nulas C7, 2 Vão sobrar 5 incógnitas: A1, A2, ...,A5 substitua cada uma delas por B1+1, B2+1, ..B5 + 1 e resolva igual ao primeiro exercicio encontrando um resultardo R a resosta será R* C7,2 no livro Do Morgado (Que pra alegria de muita gente está numa edição nova com os exercícios resolvidos) Há uma parte da teoria bastante util em exercicios como esse das combinações completas (ou com repetição). Resumidamente, se vc quer escolher p objetos dentre n disponíveis sendo que nesses p vc pode repetir a sua escolha o número de maneiras de faze-lo é CRn,p. A relação entre o núemro de combinações completas e o número de combinações simples (onde vc deve necesariamente fazer escolhas de objetos distintos) é: CRn,p = C(n+p-1),p Espero não ter confundido tudo.. []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!
= De:[EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:[obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO! PASMEM! Este problema de geometria, proposto numa prova para mais de um milhão de alunos, teve somente um único acertador, Daniel Lowen, de 17 anos da Escola Cocoa Beach Seja ABCDE uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros; e seja FGHI um tetaedro regular cujas faces sejam (triângulos equiláteros) congruentes às faces laterais da pirâmide. Suponhamos que se juntem os sólidos de maneira que a face ADE da pirâmide coincida com a face GIH do tetaedro, o resultado sendo o poliedro ABCDEF. Quantas faces tem este poliedro? Há Uma face quadrangular e 6 faces trîangulares. (Educational Testing Service-EUA) NOTA: Meus amigos, sem nenhum exagero, este é um problema fascinante. Nunca vi nada igual. (CAMPEÃO!). __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h tml = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re[2]: [obm-l] PARADOXO DA UNIDADE!
= De:Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:RE: [obm-l] PARADOXO DA UNIDADE! -1 = i . i ...OK = (-1)^(1/2) . (-1)^(1/2) ... OK = (-1) . (-1)^(1/2) ...epa! = ( i ) .(-1)^(1/2) = (1)^(1/2) = 1 Eu acho q não dá pra substituir i por (-1)^1/2 porque (-1)^1/2 = 1^1/2 cis (pi/2 + kpi) = i ou = -i por isso é bom tomarmos cuidado quando formos definir i acho mais interessante definir i^2 = -1 do que i = SQRT(-1) A propósito, por que o círculo trigonométrico tem raio igual a 1? preguica... se o raio fosse h... ao invez de sen(x) = y teriamos ki escrever sen(x) = y/h Acho que não é preguiça não .. a resposta talvez seja: Porque é permitido. Quando vamos estudar um problema qualquer é permitido que escolhamos a unidade de comprimento. No caso de estudar o círculo é permitido tomarmos o raio como unidade de comprimento. Obviamente essa é uma boa escolha porque facilita algumas contas. mas o principal é deixar claro que não há roubo em escolher unidades convenientes no estudo de uma situação. Por que todo número elevado à zero é igual a 1? a^n/a^n = a^(n-n) = a^0 = 1 Qualquer número elevado a zero é um por definição. Definimos dessa forma se queremos que valha a propriedade q o Qwert citou. Por que -1 multiplicado por -1 é igual a 1? Porque n . -1 = - n para qualquer n, -(-1)=1 Esse assunto (talvez os outros tb) já estiverma na berlinda nessa lista há um tempo atras .. talvez fose uma boa olhar nos arquivos.. Sendo a0 por que, quando n cresce indefinidamente, (a)^(1/n) tende a 1??? porque 1/n tende a 0 e como ja vimos a^0 eh 1 ... Por favor nao deixem que a alta formalidade das respostas em conjunto com a aplicacao impecavel de teoria da matematica iniba vcs de responderem tambem. Um dia vcs tb chegam la. _ Express yourself instantly with MSN Messenger! Download today - it's FREE! hthttp://messenger.msn.click-url.com/go/onm00200 471ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h tml = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!
É verdade .. quando o Guilherme mandou a resposta eu fui fazer as contas tb ... Não me admiro que tanta gente tenha errado. []'s MP At 00:02 10/8/2004, you wrote: Marcos, acho que você se equivocou na resposta. Realmente Jorge, o problema é interessantíssimo e nunca tinha me deparado com algo similar. Se fizerem um esboço do poliedro resultante vão ver que existe a junção de dois ângulos poliédricos. Fazendo os pontos A=G, D=I, E=H. Vamos encontrar o valor destes ângulos. No Tetraedro: l^2 = 2(l*sqrt(3)/2)^2 - 2[(l*sqrt(3)/2)^2]* cos(T) Resolvendo temos que cos(T) = 1/3 Na Pirâmide: [L*sqrt(2)]^2 = 2(l*sqrt(3)/2)^2 - 2[(l*sqrt(3)/2)^2]* cos(P) Resolvendo temos que cos(P) = -1/3 Com isso descobrimos que estes ângulos são suplementares, e a junção deles forma um plano perfeito! Isto ocorre com a junção de duas faces do tetraedro com a pirâmide, e o sólido resultante possui duas faces triangulares e três faces quadrangulares. Belíssima questão de Geometria Jorge! Se tiver mais dessas mande! =) Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Marcos Paulo Enviada em: segunda-feira, 9 de agosto de 2004 20:50 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO! = De:[EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:[obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO! PASMEM! Este problema de geometria, proposto numa prova para mais de um milhão de alunos, teve somente um único acertador, Daniel Lowen, de 17 anos da Escola Cocoa Beach Seja ABCDE uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros; e seja FGHI um tetaedro regular cujas faces sejam (triângulos equiláteros) congruentes às faces laterais da pirâmide. Suponhamos que se juntem os sólidos de maneira que a face ADE da pirâmide coincida com a face GIH do tetaedro, o resultado sendo o poliedro ABCDEF. Quantas faces tem este poliedro? Há Uma face quadrangular e 6 faces trîangulares. (Educational Testing Service-EUA) NOTA: Meus amigos, sem nenhum exagero, este é um problema fascinante. Nunca vi nada igual. (CAMPEÃO!). __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h tml = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Este e-mail está livre de vírus. Verificado por AVG Anti-Vírus (http://www.avgbrasil.com.br). Versão: 7.0.262 / Banco de dados de Vírus: 264.5.0 Data de Lançamento: 9/8/2004 -- Mensagens enviadas estão livres de vírus. Verificado por AVG Anti-Vírus (http://www.avgbrasil.com.br). Versão: 7.0.262 / Banco de dados de Vírus: 264.5.0 Data de Lançamento: 9/8/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] curso de aperfeiçoamento dos professores
Tente em http://strato.visgraf.impa.br/capem_jul2004.html At 18:32 10/8/2004, you wrote: Deve ser http://milenio.impa.br/http://milenio.impa.br Link Teaching, Popularization, Olympiads) Thiago Ferraiol [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal... Alguem saberia me responder se existe algum lugar onde posso baixar os vídeos referentes as palestras do curso de aperfeiçoamento dos professores de matemática, promovidos pelo Impa??? Eu baixei alguns videos no ano passado mas perdi o link!!! Será que alguém pode me ajudar!!?? Obrigado... []'s Thiago Ferraiol http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/*http://br.yahoo.com/mail/taglines/?http://br.acesso.yahoo.com/Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade! http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/*http://br.yahoo.com/mail/taglines/?http://br.acesso.yahoo.com/Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade! Este e-mail está livre de vírus. Verificado por AVG Anti-Vírus (http://www.avgbrasil.com.br). Versão: 7.0.262 / Banco de dados de Vírus: 264.5.0 Data de Lançamento: 9/8/2004 -- Mensagens enviadas estão livres de vírus. Verificado por AVG Anti-Vírus (http://www.avgbrasil.com.br). Versão: 7.0.262 / Banco de dados de Vírus: 264.5.0 Data de Lançamento: 9/8/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] matematica-epcar
Quando ele fez c = 10 ele não pode é usar a relação que vc usou para o calculo dos divisores. Y = 2^1 * 3^2 *10^2 (não está fatorado em fatores primos) Y = 2^3 * 3^2 * 5^2 (agora sim e aí vc pode usar a sua fórmula para encontrar o número de divisores) Embora eu acredite que o gabarito oficial deve dar como resposta a letra B eu concordo que (como está escrito o enunciado aqui) caberia tambem a letra C como resposta. Somente terei acesso à prova do primeiro ano amanhã, para colocar o gabarito + as questões no site do curso em que trabalho. HOje eu só vi a prova do terceiro ano (que parece q tem uma questão com problemas no gráfico (uma função definida num intervalo mas que no gráfico apresenta descontinuidade de modo que um elemento do domínio não tem associado no contradominio) []'s MP /cara você fez totalmente correta a questão. Repara que se você adotar a= 1 b=2 c= 10, o número será divisível por N. Porém não terá 36 divisores, repare: (a+1)(b+1)(2+1) =36 2 x 3 x 3 18=36 logo você não poderia trabalhar com esse números! parabéns pelo seu desempenho, espero fazer algo pareciso no sábado abços Junior --- Em um e-mail de 17/8/2004 17:42:19 Hora oficial do Brasil, [EMAIL PROTECTED] escreveu: ops ate que fim ,parece que acertei 28 questoes das 30 de acordo com os gabaritos extras oficiais Venho pedir auxilio sobre a formulaçao de uma questao (epcar) VERSAO:C 12. O NUMERO Y=2^(A).3^(B).C^(2)é divisor de N=15.20.6.sabendo-se que Y admite extamente 36 divisores,é correto afimar que A)ab=c C)abc B)a+b=c D)a-b=-1 == eu resolvi da seguinte maneira N=2^(3).3^(2).5^(2) considerando que o numero 'C' seja um numero primo vem que 'c' é igual a 5 e vem que (a+1).(b+1).(2+1)=36 a+b+ab=11 o que nos convem a=3,b=2 entao a resposta certa é a letra (b) a+b=c === MAS O ENUCIADO NAO MENCIONA QUE (c) TEM QUE SER UM NUMERO PRIMO ENTAO PODERIAMOS CONSIDERA QUE A=1,B=2 E C=10 TENDO DE ACORDO COM O ENUCIADO 36 DIVISORES E 'Y' IGUAL A 'N' ENTAO TERIA COMO RESPOSTA A LETRA (C) E (D) ATENCIOSAMENTE LEANDRO GERALDO DA COSTA 'EU SOU BOM' Este e-mail está livre de vírus. Verificado por AVG Anti-Vírus (http://www.avgbrasil.com.br). Versão: 7.0.262 / Banco de dados de Vírus: 264.6.3 Data de Lançamento: 16/8/2004 -- Mensagens enviadas estão livres de vírus. Verificado por AVG Anti-Vírus (http://www.avgbrasil.com.br). Versão: 7.0.262 / Banco de dados de Vírus: 264.6.3 Data de Lançamento: 16/8/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] matematica-epcar
Hoje eu tive acesso às provas para examinar com mais calma. A questão exatamente como está na prova tem o seguinte enunciado: O número y = 2^a x 3^b x c^2 é divisor de N = 15 x 20 x 6. Sabendo-se que y admite exatamente 36 divisores, é correto afirmar que: obs.: Considere x o sinal de multiplicação a) ab = c b) a + b = c c) a b c d) a - b = -1 (acho q a mensagem inical tinha o enuncado correto) Bem: 1) y tem 36 divisores e não 36 divisores naturais (ou positivos). Há 18 divisores positivos de y. 2) c pode ou não ser um número primo 3) N = 2^3 * 3^2 * 5^2 Resolvendo: 1º caso: c é primo e, portanto, igual a 2, 3 ou 5 p/ c = 2: y = 2^(a + 2) x 3^b (a + 3)(b + 1) = 18 18 admite as seguintes fatorações: 1 * 18; 2 * 9; 3 * 6 Somente podemos considerar 3 * 6, porque as outras darão a ou b maiores do que seus valores máximos 1) a + 3 = 6 - a = 3 e b + 1 = 3 - b = 2 (não há opções que sejam satisfeitas para esse resultado) 2) a + 3 = 3 - a = 0 e b + 1 = 6 - b = 5 (não serve pois b é no máximo 2) p/ c = 3 y = 2^a x 3^(b+2) (a+1)(b+3)=18 1) a = 2 e b = 3 (opção certa letra d) 2) a = 5 e b = 0 (não serve) p/ c = 5 y = 2^a x 3^b x 5^2 (a+1)(b+1)*3 = 18 - (a+1)(b+1) = 6 = 1*6 = 2*3 (1 * 6 não serve) 1) (a+1) = 2 - a = 1 e (b+1) = 3 - b = 2 (letra d ou letra c) 2) a = 2 e b = 1 (não há opção certa) 2º Caso: c não e primo (c = 6 ou c = 10 ou c = 15) p/ c = 6 y = 2^(a+2) x 3^(b+2) (a+3)(b+3) = 18 a = 0 e b = 3 (letra c) b = 0 e a = 3 (sem resposta) p/ c = 10 y = 2^(a+2)* 3^b * 5^2 (a+3)(b+1) = 6 a + 3 = 6 - a = 3 e b + 1 = 1 - b = 0 (sem resposta) a+ 3 = 3 - a = 0 e b + 1 = 2 - b = 1 (letras c e d) p/ c = 15 y = 2^a * 3^(b+2) * 5^2 (a+1)(b+3) = 6 a+1 = 2 - a = 1 e b + 3 = 3 - b = 0 (sem opções) Resumindo: Não é correto afirmar nada sem fazer conjecturas subjetivas antes, ou ainda essa questão foi uma lambança e tanto!! []'s MP -- Mensagens enviadas estão livres de vírus. Verificado por AVG Anti-Vírus (http://www.avgbrasil.com.br). Versão: 7.0.262 / Banco de dados de Vírus: 264.6.3 Data de Lançamento: 16/8/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Demonstração Teorema Laplace...
Seja A = ([a1, b1, c1], [a2, b2, c2], [a3, b3, c3]) uma matriz de ordem 3. detA = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 - a3b2c1 - a2b1c3 - a1b3c2 detA = a1b2c3 - a1b3c2 + a2b3c1 - a2b1c3 + a3b1c2 - a3b2c1 detA = a1(b2c3 - b3c2) - a2(b1c3 - b3c1) + a3(b1c2 - b2c1) Seja A1 = b2c3 - b3c2 (menor de a1) A2 = b1c3 - b3c1 (menor de a2) A3 = b1c2 - b2c1 (menor de a3) detA = a1A1 - a2A2 + a3A3 Note que o menor de um elemento é igual ao determinantes da matriz obtida quando suprimimos a linha e a coluna do elemento dado. Se vc tiver demonstrado as propriedades dos determinantes previamente vc mostra que isso vale para qualquer fila (linha ou coluna) da matriz, desde que feito um ajuste nos sinais (que seão positivos ou negativos dependendo da soma do nº da linha com o nº da coluna q o elemento ocupa) Talvez essa não seja uma demonstração generalizada (para matrizes de ordem n) mas já quebra um galhão no ensino médio pela sua simplicidade. Obs.: Essa demonstração consta no livro A Matemática do Ensino Médio Vol.3 que faz parte da Coleção do Professor de Matemática publicada pela SBM - na verdade o que está escrito acima é um razoavel arremedo da demonstração feita lá. []'s MP = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re[3]: [obm-l] [obm-l] algumas de combinat ória
Um polígono não é um conjunto de pontos soltos mas sim um conjuntos de pontos ordenados. Podemos usar a ordem das 6 primeiras letras do alfabeto para ordenar esses pontos. O que o Claudio fez foi dispor 6 letras em 6 lugares diferentes em uma circunferencia (problema das permutaçoes circulares) e considerar os polígonos ABCDEF e FEDCBA o mesmo polígno. O total das permutações circulares é (6-1)! e o resultado foi metade desse numero (porque os polígnos q eu citei acima foram contados como distintos quando são iguais) Acho q foi isso... []'s MP = De:Andre Silveira Ramos [EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:Re: [obm-l] Re: [obm-l] algumas de combinat ória Claudio... nao entendi o porque de 5!/2. Andre --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: Na (ii), o enunciado estah realmente um pouco ambiguo. Por um lado, temos a interpretacao de que todos os 6 vertices devem ser usados. Nesse caso, a resposta eh 5!/2 = 60. Por outro lado, pode ser que se queira o numero de triangulos, quadrilateros, pentagonos e hexagonos que tenham estes pontos como vertices. Nesse caso, a resposta seria: Comb(6,3) + Comb(6,4)*3*2*1/2 + Comb(6,5)*4*3*2*1/2 + Comb(6,6)*5*4*3*2*1/2 = 20 + 45 + 72 + 60 = 197 []s, Claudio. on 24.08.04 07:08, Thor at [EMAIL PROTECTED] wrote: ii) Dado 6 pontos sobre a circunferencia , podemos formar ( triangulos , quadrilateros , pentagonos e um hexagono), logo teremos Combinaçao de 6 , 3 a 3 + combinaçao de 6 , 4 a 4 + combinaçao de 6 , 5 a 5 + combinaçao 6 , 6 a 6 , fazendo as contas 20+15+6 +1=32 poligonos. Tenho que ir, vou dar minha aulinha! Espero ter ajudado. Cláudio Thor. - Original Message - From: Andre Silveira Ramos mailto:[EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, August 24, 2004 1:44 AM Subject: [obm-l] algumas de combinatória Aí pessoal, estou com alguns problemas de combinatória que não estou conseguindo sair do lugar. Preciso de algumas dicas (i) Considere um conjunto P de 30 pontos do espaço e P1 um subconjunto de 12 pontos coplanares de P. Sabe-se que sempre que 4 pontos de P são coplanares, então eles são pontos de P1. Quantos são os planos que contém pelo menos 3 pontos de P? (ii) Sobre uma circunferência existem 6 pontos distintos. Quantos polígonos, não necessariamente convexos, podemos construir tendo por vértices esses 6 pontos? (iii) Um bote tem 8 lugares, 4F e 4A. De quantas maneiras podemos escolher uma tripulação para o bote se dos 31 candidatos, 10 preferem F, 12 preferem A e 9 não têm preferência? (iv) Calcular a soma de todos os números de 5 algarismos distintos formados com os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. respostas: (i) 3.841 (ii) 60 (iii) SOMATORIO (i de 0 até 4) de: C(9;k) x C(10;4-k) x C(21-k;4) (iv) 6.666.600 Obrigado... Abraços André Yahoo! Acesso Grátis http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/*http://br .acesso.yahoo.com/ - navegue de graça com conexão de qualidade! ___ Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h tml = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Essa questão é interessante ( Resolvam )
Acho q ele se referiu ao fato de ela poder ser respondida usando
x' + x = - log5 = -(log10 -log2) = (log 2) +( - 1)
como essas parcelas têm produto -log2, são as raízes
[]'s MP
At 22:38 28/8/2004, you wrote:
Desculpe-me, mas o que há de interessante nessa questão?
Discriminante = (log 5)^2 + 4 log 2 = (1 - log 2)^2 + 4 log 2 = 1 + 2 log
2 + (log 2)^2 = (1 + log 2)^2
x = [-log 5 +- (1 + log 2)]/2 = [log 2 - 1 +- (1 + log 2)]/2
x = (log 2 - 1 + 1 + log 2)/2 = log 2
ou
x = (log 2 - 1 - 1 - log 2)/2 = -1
V = {-1, log 2}
[]s,
Rafael
- Original Message -
From: mailto:[EMAIL PROTECTED]Robÿe9rio Alves
To: mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, August 28, 2004 9:11 PM
Subject: [obm-l] Essa questão é interessante ( Resolvam )
Resolva, em R, a equação do 2º grau x^2 + x.log 5 - log 2 = 0 .
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Re: [obm-l] geometria
[X] - área da figura X (PC/PA)*(QA/QM)*(BM/BC)= 1 (teorema de Menelaus) BC = 6BM - MC = 6BM - [AMC]=5S/6 [AQP]/[AMC] = (AQ/AM)*(AP/AC)=(3/4)*(2/3) [AQP] = 0,5*[AMC]=5S/12 [AQP] = 3*[QPM] [QPM] = 5S/36 []'s MP = De:eritotutor [EMAIL PROTECTED] Para:obm-l [EMAIL PROTECTED] Assunto:[obm-l] geometria Boa noite, Gostaria, por favor, de um auxilio na seguinte questao: Consideremos ABC um triangulo e AM e BP são cevianas desse triangulo, sendo M um ponto do segmento BC e P um ponto do segmento AC. Essas cevianas se interceptam num ponto Q. Sabendo que a area do triangulo ABC eh S, que AP = 2PC e que AQ = 3QM. Calcular o valor da area do triangulo PQM em funçao area do triangulo ABC. Obrigado __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h tml = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re[2]: [obm-l] geometria
MC = 5BM = De:Marcos Paulo [EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:Re: [obm-l] geometria [X] - área da figura X (PC/PA)*(QA/QM)*(BM/BC)= 1 (teorema de Menelaus) BC = 6BM - MC = 6BM - [AMC]=5S/6 [AQP]/[AMC] = (AQ/AM)*(AP/AC)=(3/4)*(2/3) [AQP] = 0,5*[AMC]=5S/12 [AQP] = 3*[QPM] [QPM] = 5S/36 []'s MP = De:eritotutor [EMAIL PROTECTED] Para:obm-l [EMAIL PROTECTED] Assunto:[obm-l] geometria Boa noite, Gostaria, por favor, de um auxilio na seguinte questao: Consideremos ABC um triangulo e AM e BP são cevianas desse triangulo, sendo M um ponto do segmento BC e P um ponto do segmento AC. Essas cevianas se interceptam num ponto Q. Sabendo que a area do triangulo ABC eh S, que AP = 2PC e que AQ = 3QM. Calcular o valor da area do triangulo PQM em funçao area do triangulo ABC. Obrigado ___ _ __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ === = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l. h tml === = = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h tml = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re[2]: [obm-l] geometria
Ceviana é qualquer reta que passe por um vértice do triângulo. Mediana é somente uma ceviana possível de se traçar. O nome é sim devido ao Ceva que provou um teorema importante que permite decidir se três cevianas traçadas dos três vértices de um triângulo se encontram ou não em um só ponto (como é o caso das cevianas mais conhecidas: alturas, medianas e bissetrizes internas). []'s MP = De:[EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:Re: [obm-l] geometria Os termos cevianas e medianas são a mesma coisa ? Parece que ceviana é uma homenagem a Ceva (geômetra), não é isso ? Em uma mensagem de 8/9/2004 20:09:17 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Boa noite, Gostaria, por favor, de um auxilio na seguinte questao: Consideremos ABC um triangulo e AM e BP são cevianas desse triangulo, sendo M um ponto do segmento BC e P um ponto do segmento AC. Essas cevianas se interceptam num ponto Q. Sabendo que a area do triangulo ABC eh S, que AP = 2PC e que AQ = 3QM. Calcular o valor da area do triangulo PQM em funçao area do triangulo ABC. Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Regras aritméticas
Olá amigos da lista, me deparei com umas regras aritméticas e gostaria de saber o porquê delas, por exemplo: *Multiplicação por nove: tome um número, exemplo, 355. Pegue o trinta e cinco (centena e dezena), adiciona um e subtrai de 355. Ou seja, 355 - 36 = 319. Ao 319, para finalizar, adicione um algarismo à casa das unidades para que a soma dos algarismos dê um número múltiplo de nove, ou seja 3195. Esse é o resultado!! Isso é o mesmo que 3550 - 360 + 5 = 10*355 - 365 = 9*355 []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Pentágono
A razão entre os lados do pentágono obtido no passo N para o pentágono obtido no passo N-1 é a razão áurea. As áreas dos pentágonos formam um a PG infinita de razão igual ao quadrado da razão áurea. []'s MP = De:Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:[obm-l] Pentágono Olá colegas da lista, não consigo encontrar uma maneira fácil de resolver esse problema...As contas dão tantas voltas que acho que estou indo pelo caminho errado... Tem-se um pentágono de lado a. A partir da interseção de suas diagonais, forma-se um outro pentágono. A partir da interseção desse outro pentágono, pode-se afirmar que: 1) Formar-se-á um outro pentágono; 2) Generalizando, se procedermos dessa maneira, então sempre teremos novos pentágonos; 4) Caso a afirmação acima seja verdadeira, então se somarmos as infinitas áreas formadas, teremos o valor da soma Sn = a*[1 + 3^(1/2)] Justifique. Grato! Yahoo! Messenger 6.0 - jogos, emoticons sonoros e muita diversão. Instale = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL
Brunno wrote: Ola pessoal alguém pode me ajudar neste também O valor de cos x + sen x, sabendo que 3.sen x + 4.cos x = 5, Obrigado Divida toda a expressão por 5 e então vc terá: 0,6senx + 0,8 cos x = 1 Seja cos A = 0,6 e sen A = 0,8 então: sen x cos A + sen A cos X = 1 sen (x + A) = 1 Daí segue que x e A são ângulos complementares (somam 0,5 *pi rad) e que sen x = cos A = 0,6, assim como cos x = sen A = 0,8 sen x + cos x = 1,4 = 7/5 []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Listagem de premiados da OMERJ
Muito bacana ver tantos Colégios Municipais sendo premiados. Em particular com muita alegria eu percebi que a escola que estudei (Escola Municipal Minas Gerais) vai ser também premiada. É uma pena que na minha época (1978 até 1986) a escola não participava de competições Matemáticas. Parabéns a toda a equipe organizadora da OMERJ! []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvidas
aryqueirozq wrote: Quantos números reais satisfazem a equação (x^2 -5x+7)^x+1 =1 ? a) 0b) 1c) 2d) 3 e) 4 Me ajudem , nesta equação , só estou achando - 1 como resposta( logo uma soluçaõ), mas o gabarito está dando como resposta letra D. Quais são as outras soluções? Agradeço. 1 elevado a qualquer núemro tb dá 1 .. portanto x^2 - 5x + 7 = 1 tambem é solução (x = 2 ou x =3) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Trapezio e Paralelogramo
Claudio Buffara wrote: Questoes de definicao: 1) Um trapezio tem exatamente um par de lados opostos paralelos ou pode ter ambos os pares de lados opostos paralelos? 2) Se o segundo caso for verdade, posso dizer que um paralelogramo eh um trapezio isosceles? []s, Claudio. Na minha opinião se vc quiser se expressar direito, ou seja, se vc quiser dizer uma coisa e ter certeza de q a mensasgem está clara, um trapézio deve ter um único par de lados paralelos. Claro que os paralelogramos têm todas as propriedades dos trapézios mas eu não gosto de escrever Se um trapézio é inscritível então ele é isósceles e ser refutado com o contra-exemplo de um paralelogramo não retângulo. Acredito que, desde q vc se mantenha fiel a sua definição, não haverá perda nenhuma em considerar paralelogramos paralelogramos e trapézios trapézios. []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Trapezio e Paralelogramo
Claudio Buffara wrote: No entanto, considere o caso de um retangulo. Voce pode encara-lo como o limite de uma sequencia de trapezios isosceles (na sua definicao - um unico par de lados paralelos) quando o angulo entre os lados nao paralelos tende a zero. Ou seja, o limite dessa sequencia de trapezios isosceles nao eh um trapezio isoceles (o que nao eh problema algum, veja bem), apesar de ainda ser inscritivel. Realmente eu não vejo nenhum problema também, afinal vários números irracionais são limites de sequencias de números racionais Alem disso, o quadrilatero cujos vertices sao: A = (0,2), B = (1,0), C = (3,2), D = (5,0) eh ou nao um trapezio? Em caso afirmativo, o que acontece se fizermos o vertice D se aproximar arbitrariamente do ponto (4,0)? Nesse caso, pela sua definicao, ABCD serah trapezio (nao necessariamente isosceles, claro) para todo D no eixo x, exceto D = (4,0). Nao eh meio esquisisto? Muito esquisito, como muitas propriedades dos quadriláteros entrecruzados (a soma dos ângulos internos - ABC + BCD + CDA + DAB, por exemplo, é menor que 360º, a não ser que vc convencione um sentido positivo e um negativo para os ângulos) . No fim, acho que nao vai ter muito jeito. Vamos ter que escolher arbitrariamente uma definicao, de preferencia aquela que acarretar o menor numero possivel de emendas nos enunciados de teoremas. Concordo plenamente. []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questão do livro do Mestre Wagner
Palmerim Soares wrote: Ola pessoal, Alguem poderia me ajudar com a questao 57 do livro I de geometria do Mestre Wagner? Seguinte: O Ponto D eh o pe da bissetriz do angulo reto A do triangulo retangulo ABC. Pelo ponto D, traça-se uma perpendicular ao lado BC a qual intercepta o lado AC no ponto E. Qual a medida do angulo EBD? Obrigado, Palmerim Yahoo! Acesso Grátis http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/*http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora. O quadrilátero AEDB é inscritível, já que EAB = BDE = 90 graus. Os ângulos DAE e EBD estão inscritos no mesmo arco DE do círculo que circunscreve o quadrilátero AEDB, portanto são iguais. A medida de DEA é 45 graus, já que AD é bissetriz do ângulo reto. []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dizima
Brunno Fernandes wrote: Ola pessoal do grupo poderiam me ajudar? Dizer quantos algarismos podera ter o período da dizima cuja fração geratriz é 25/147 eu vi uma regra em que o numero maximo de algarismos da dizima, quando o denominador for um numero primo diferente de 2 ou 5, é só pegar o numero e subtarir uma unidade, mas 147 não é primo e decompondo em fatores primos nao é possivel aplicar essa regra Um abraco Brunno OPs falha minha .. o período vai ser 25A somente se eu usar o menor valor de n (da resposta anterior) desculpem a falha ;-) []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dizima
Brunno Fernandes wrote: Ola pessoal do grupo poderiam me ajudar? Dizer quantos algarismos podera ter o período da dizima cuja fração geratriz é 25/147 eu vi uma regra em que o numero maximo de algarismos da dizima, quando o denominador for um numero primo diferente de 2 ou 5, é só pegar o numero e subtarir uma unidade, mas 147 não é primo e decompondo em fatores primos nao é possivel aplicar essa regra Um abraco Brunno O Professor José Paulo Q. Carneiro escreveu um artigo muito interessante na RPM 52 sobre dízimas periódicas. NEsse artigo há um método que não usa o algoritmo tradicional da divisão e consiste em tentar encontrar uma potencia de 10 que deixe resto 1 na divisão por 147. Seja n tal que 10^n = A*147 + 1, ou seja, 147 = (10^n - 1)/A 1/147 = A*1/(10^n - 1) = A* [(1/10^n) /(1-1/10^n)] = A/10^n *[1 + 1/10^n + 1/10^2n + ...] 25/147 = 25A/10^n *[1 + 1/10^n + ...] O número 25A será seu período. No artigo ainda há uma explicação de como ter certeza de que haverá uma potência de 10 que deixe resto 1 na divisão por 147 (que é primo com 10). A certeza vem de um dos teoremas de Euler que garante que 10^[phi(147)] deixa resto 1 na divisão por 147, onde phi(147 é o número de inteiros positivos menores que 147 e primos com 147. Phi(147) = 147(1-1/3)(1-1/7) = 84. Isso me permite reduzir a procura das potencias de 10, bastando testar apenas os expoentes que são divisores de 84. Não digo que é o melhor método ou que é o mais apropriado mas é uma alternativa interessante e o artigo é muito legal.. vale a pena ler. []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida denovo sobre Analise Combinatória
Carlos Gomes wrote: A maneira coreta é C_9,3 . C_6,3.C_3,3 = 1680 Cgomes - Original Message - From: Gabriel Bastos Gomes [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, July 17, 2005 6:06 PM Subject: [obm-l] Dúvida denovo sobre Analise Combinatória Ae pessoal... Eu estou me matando pra recuperar essa matéria, porém surgiu uma nova dúvida. Eu não queria ser tão incoveniente... Se puderem matar essa dúvida, agradeço... (EAESP-FGV) Nove pessoas param para pernoitar num motel. Existem 3 quartos com 3 lugares cada. O número de formas com que essas pessoas podem se distribuir entre os quartos é: a) 84 b) 128 c) 840 d) 1680 e) 3200 Minha resolução deu C_9,3 * C_3,3 = 84 ... So que eu estou muito inseguro nessa matéria... Se alguém puder confirmar... Abraços, Gabriel _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Em combinatória normalmente há várias maneiras corretas . A maneira que o carlos apontou como correta é apenas uma das soluções corretas que consiste em 3 decisões independentes: 1) Escolher 3 dos 9 para preencher o primeiro quarto (C9,3), 2) escolher 3 dos 6 restantes para preencher o segundo quarto(C6,3) e 3) Colocar o restante das pessoas no terceiro quarto(1). Como as decisões são independentes pode-se usar o principio fundamental da contagem obtendo a resposta indicada. Outra maneira de pensar o mesmo problema: Suponha que cada quarto tenha 3 camas, então o problema consiste em colocar 9 pessoas em 9 camas, o que pode ser feito de 9! maneiras. Acontece que a ordem das camas em cada quarto não altera a disposição das pessoas nos quartos, então cada uma das possibilidades foi contada 216 vezes e a resposta passa a ser 9!/216 =1680. Assim como essa segunda maneira de ver o problema (talvez menos natural do que a primeira) há diversas outras maneiras de se chegar ao resultado correto (até mesmo fazendo a listagem de todas as disposições possíveis). Se vc está estudando combinatória é interessante que vc mantenha a cabeça aberta para várias maneiras de resolver o mesmo problema. Assim vc terá mais opções de estratégias em outros exercícios. []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvida conceitual
Domingos Jr. wrote: Carlos Gomes wrote: Claro que não, pois os vetores de uma base do R^2 tem duas coordenadas enquanto que os vetores do r^3 tem 3 coordenadas! Podemos pensar um pouquinho fora da caixa... Dois vetores LI no R^3 determinam um (hiper-)plano que é isomorfo ao R^2. Acho que esse tipo de resposta é mais informativa do que um 'claro que não'. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Os vetores (1,0,0) e (1, 0, 1) são LI e não geram um hiperplano isomorfo ao R² []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvida conceitual
Domingos Jr. wrote: Carlos Gomes wrote: Claro que não, pois os vetores de uma base do R^2 tem duas coordenadas enquanto que os vetores do r^3 tem 3 coordenadas! Podemos pensar um pouquinho fora da caixa... Dois vetores LI no R^3 determinam um (hiper-)plano que é isomorfo ao R^2. Acho que esse tipo de resposta é mais informativa do que um 'claro que não'. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPs falei besteira na ultima mensagem desconsiderem por favor. (eu estava pensando só nos planos paralelos ao XY no R³) []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Usando o Maple
Carlos Victor wrote: Olá pessoal , Gostaria de saber como calcular diretamente usando o Maplea seguinte soma : *(5+2*sqrt(13))^(1/3) + (5-2*sqrt(13))^(1/3) *Agradeço desde já qualquer ajuda []´sCarlos Victor Tente substituir o 13 por 13.0 []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Usando o Maple
Carlos Victor wrote: Olá Marcos, Esta substituição não resolveu ; caso exista outra me informe , ok ? []´s Carlos Victor At 01:36 24/7/2005, Marcos Paulo wrote: Carlos Victor wrote: Olá pessoal , Gostaria de saber como calcular diretamente usando o Maplea seguinte soma : *(5+2*sqrt(13))^(1/3) + (5-2*sqrt(13))^(1/3) *Agradeço desde já qualquer ajuda []´sCarlos Victor Tente substituir o 13 por 13.0 []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = O problema está com a raíz cpubica da segunda parcela porque (por alguma razão) o mapple te fornece uma das raízes complexas. Dá pra contornar (porque a raiz cúbica é uma função ímpar) calcule: (5+2*sqrt(13.0))^(1/3) - (-5+2*sqrt(13.0))^(1/3); []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema simples: chegar em 24, com 1, 3, 4 e 6
Susanna wrote: Olá! acabei de entrar na lista da OBM e, ao ollar o arquivo de e-mails, percebi que os problemas sugeridos, em sua maioria, requeriam um certo conhecimento previo de matemática. Porém os problemas mais intrigantes são os mais simples e ao mesmo tempo difíceis de encontrar uma solução mas uma vez encontrada, parece tão óbvia. esse problema foi proposto no ônibus de um congresso internacional de matemática que foi realizado na França em maio desse ano. intrigou os matemáticos a ponto de uns dizerem que perderam o sono. Eis o problema: usando todos e sem repetir nenhum dos numeros: 1, 3, 4, e 6 e usando qualquer das quatro operações básicas (+ - x / ) chegar ao número 24. obs.: Só vale as 4 operações básicas. nada de exponencial e nada de juntar dois números (fazer 13 com 1 e 3). boa sorte, susanna = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = 2+3-5 + 1*4*6 []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] setores circulares
Renato G Bettiol wrote: Carissimos, hoje me entreti bastante na resolução do seguinte problema, aparentemente de um vestibular da UFMG: *Dentre setores circulares de mesmo perímetro, determinar aquele de maior área.* Vale a pena tentar, fazer recorrendo ao cálculo do valor máximo da função quadrática que relaciona o comprimento do arco do setor em questão e sua área. Ao fim das contas dará que o ângulo central deve ser igual a 2rad. Quem se interessar na resolução, mande um e-mail, Abraços Renato Seja /x/ o lado do círculo e /l/ o comprimento do arco. Tomando como unidade o perímetro do setor tem-se 2/x+l = /1, ou seja /l /= 1-2/x/. Se /a/ é o ângulo central, então /a/ = (1-2/x)///x/. A área do setor vale /S(x)/ = /x²*/(1-2/x/)/2/x/ =/ x/(1-2/x/)/2. /S(x) /será máxima para /x/=1/4, ou seja quando o ângulo /a = 2 rad/. Uma outra maneira como /2x + l /é constante, o produto de /2x/ e /l/ (do qual a área é um quarto) será máximo quando /2x = l =/ 1/2, ou seja x = 1/4 e assim continua... []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] USO INTELIGENTE DA CALCULADORA!
Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis wrote: Dispondo de uma calculadora de 8 dígitos no visor, como obter todos os algarismos do número 2^64? Dica: Um caminho promissor é decompor 2^32 em três parcelas convenientemente escolhidas e, em seguida, utilizar a fórmula (a + b + c)^2 De posse de uma calculadora de alta precisão, o aluno efetua o produto de 95 noves por 95 cincos e obtém um número cuja soma dos algarismos é igual a... Na minha calculadora, uma das teclas de 1 a 9 está com defeito: ao pressioná-la aparece na tela um dígito entre 1 e 9 que não é o correspondente. Quando tentei escrever o número 987654321, apareceu na tela um número divisível por 11 e que deixa resto 3 ao ser dividido por 9. Qual é a tecla defeituosa? Qual é o número que apareceu na tela? Abraços! _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Os problemas são até bacanas mas e a calculadora nisso tudo? A mensagem junto com o subject sugere que o uso inteligente da calculadora é não usa-la (o que eu discordo). O que aparece na mensagem são problemas contextualizados em torno de calculadoras e naõ o uso inteligente delas .. Acho qeu o problema dos 95 noves e 95 cincos eh olimpico (estadual do rj ou brasileira acho) e o enunciado na prova não falava nada de calculadora.. []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Data do resultado OBM
OI, existe alguma previsão de quando sai o resultado da OBM? []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
