Re: [obm-l] Somatorios de k^6 e de k^8
Perdoe-me, Nicolau, por não ter respondido tão imediatamente à sua mensagem.
Muito obrigado pelos seus comentários e, agora, pelos do Gugu e do Angelo.
Talvez, a minha falta de perícia no assunto tenha me feito compreender algo
errado do que li, mas pode ser que o autor não tenha sido tão feliz na
explicação como vocês foram.
Vejam:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/zerozero/zero.htm
Obrigado de novo,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, April 06, 2004 1:44 PM
Subject: Re: [obm-l] Somatorios de k^6 e de k^8
On Tue, Apr 06, 2004 at 01:09:13PM -0300, Carlos Gustavo Tamm de Araujo
Moreira wrote:
Você parece estar falando em limites em parte do seu texto. Não é verdade
que se lim_{x - 0} f(x) = 0 e lim_{x - 0} g(x) = 0 então sempre
lim_{x - 0} ((f(x))^(g(x))) = 1, nem se f e g forem analíticas.
Bem, se f e g sao analiticas nao-constantes numa vizinhanca de 0 e se
anulam
em 0 (e f e' nao-negativa numa vizinhanca de 0) entao vale
lim_{x - 0} ((f(x))^(g(x))) = 1.
Sim, você tem razão. Deve ser isto que o Rafael tinha em mente.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Geometria
Artur, Se seguirmos a sua lógica, as figuras são mérito do programa que utilizei, e não meu... ;-) Mas brincadeiras à parte, o elogio não foi somente pelos exercícios, mas por você enxergar a beleza deles também. Isso, ainda mais para quem se diz não muito bom em Geometria, é algo elogiável, sim! Realmente, eu me precipitei e errei, P não é único. A sua solução está mais-que-perfeita, embora eu não me lembre dos porquês de o semiperímetro p de ARS igualar-se ao segmento AM e de AM = p' - BC. Quais propriedades dos triângulos justificam isso? Sobre o segundo problema, na hora em que resolvi, não pensei no conceito de potência de ponto, mas certamente é um modo muito interessante de se raciocinar. Um forte abraço, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, April 06, 2004 11:00 PM Subject: RE: [obm-l] Geometria Oi Rafael, Obrigado pelo elogio aos dois problemas, os quais, alias, devem ser encaminhados a quem os bolou. As figuras que vc fez ficaram excelentes. Com relacao ao primeiro problema, acho que houve uma interpretacao equivocada de sua parte. Na realidade, o perimetro de ARS independe da posicao de P sobre o arco MN, nao eh preciso que RS seja paralelo a BC. Aproveitando sua figura e lembrando as propriedades dos triangulos, vejamos: Com relacao ao triangulo ARS, C eh o circulo exinscrito relativo aos lados AR e AS. Pelas propriedades dos triangulos, o semiperimetro p de ARS iguala-se ao segmento AM. Assim, p = AM. E AM independe completamente do ponto P! Mas, indo um pouco mais longe, temos, tambem pelas propriedades dos triangulos, que AM = p' - BC, sendo p' o semiperimetro de ABC. Logo, o perimetro de ARS eh 2p = 2p' - 2BC = AB + AC - BC, qualquer que seja o ponto P. Com relacao ao segundo problema, a sua solucao estah perfeita. Mas no dia 12/01/1970 (agora todo muito jah percebeu que naum sou extamente um garoto...), no Maracanan, no Rio, sob um tremendo calor, eu utilizei o conceito de potencia de um ponto com relacao a um circulo. Conforme vc fez, 2R1 = 2R2 + 2R3 == R1 = R2 + R3. Sendo M o ponto em que C2 e C3 se tangenciam, a potencia de M com relacao a C nos conduz a que (t/2) * (t/2) = 2R1 * 2R2. E prosseguindo como vc fez, chegamos de fato a S = pi* t^2/8. Um abraco! Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Geometria
Oi Rafael, De fato, a Geometria classica eh muito bonita! Realmente, eu me precipitei e errei, P não é único. A sua solução está mais-que-perfeita, embora eu não me lembre dos porquês de o semiperímetro p de ARS igualar-se ao segmento AM e de AM = p' - BC. Quais propriedades dos triângulos justificam isso? Aproveitando novamente sua figura. No triangulo ABC, seja O o ponto em que o circulo inscrito tangencia BC (naum representado, mas facilmente identificavel). Entao, AM = AB - BM = AB - BO e AN = AC - CN = AC - COSomando estas igualdades, vem AM + AN = AM + AM = 2AM = AB + AC - BC = AB + AC + BC - 2BC Sendo p o semiperimetro de ABC, temos entao que 2AM = 2p - 2BC e AM = p - BC Consideremos agora o triangulo ARS, de modo que o circulo da figura eh exinscrito com relacao a RS. Entao, AM = AR + RM = AR + RP = AR + RS - SP = AR + RS - SN = AR + RS - (AN - AS). Logo, AM = AR + RS - AN + AS e AM + AN = AR + RS + AS. Mas como AM = AN, concluimos que AM = (AR + RS + AS)/2, que eh o semiperimetro de ARS. Um abraco Artur attachment: 1.gif
[obm-l] Equações polares
Companheiros bom dia, alguém conhece um site que fale sobre equações polares das cônicas? ObrigadoYahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] algumas duvidas de PA
Guilherme, Para o problema 1, observe que os extremos do intervalo 100 e 1000 não são múltiplos de 11. Mas quais serão os mais próximos? 11*9 = 99, que não pertence ao intervalo 11*10 = 110, que pertence no intervalo Então, já sabemos que o primeiro múltiplo de 11 no intervalo é 110. Analogamente: 11*90 = 990, que pertence no intervalo 11*91 = 1001, que não pertence ao intervalo Pronto, montamos a nossa seqüência: 110, ..., 990 Se 110 é o primeiro termo, qual é a posição de 990? 990 = 110 + (n-1)*11 == n = 81 Assim, a_81 = 990 e a P.A. tem 81 termos, isto é, há 81 múltiplos de 11 entre 100 e 1000. Sobre o problema 2, vamos passar para o matematiquês: a_1 + a_2 = 5 a_9 + a_10 = 53 Para que se possa definir bem um termo de P.A. ou de P.G., de que precisamos saber? Certamente, o primeiro termo e a razão. Então, reescreveremos as equações anteriores em função deles: a_1 + a_1 + r = 5 a_1 + 8r + a_1 + 9r = 53 Ou ainda, 2a_1 + r = 5 (I) 2a_1 + 17r = 53(II) Como queremos saber apenas a razão, eliminamos 2a1, assim: (II) - (I): 17r - r = 53 - 5 == 16r = 48 == r = 3 O terceiro problema é o mais interessante dos três. Vamos escrever as seqüências e calcular o último termo de ambas: 5, 8, 11, ..., 302(302 = 5 + 99*3) 3, 7, 11, ..., 399(399 = 3 + 99*4) Já sabemos que ambas possuem igualmente o terceiro termo, 11, e que a segunda seqüência cresce mais rapidamente que a primeira após o terceiro termo. Assim, vamos procurar qual é o termo da segunda seqüência mais próximo do último da primeira: 302 = 3 + (n-1)*4 == n = 75,75 Vemos que o termo mais próximo é o septuagésimo quinto. Vamos calculá-lo: a_75 = 3 + 74*4 = 299 Não deve ser por acaso que o nonagésimo nono termo da primeira seqüência é 299 também, pois 302 - 3 = 299. Assim, já encontramos o primeiro e o último termos que são iguais para ambas seqüências: 11, ..., 299 Agora, vamos pensar: a_n = 5 + (n - 1)*3 == a_n - 5 = (n - 3)*3 b_n = 3 + (n - 1)*4 == b_n - 3 = (n - 1)*4. Generalizando, x_m = x_n + (m - n)*r == x_m - x_n = (m - n)*r Se ainda não parecer claro o que estou pretendendo, lá vai: a diferença entre dois termos de uma P.A. é um múltiplo da razão; para que os termos das seqüências se encontrem (sejam iguais), eles devem ser múltiplos de uma mesma razão, no nosso caso, 3 e 4. Humm... múltiplos de um mesmo número... múltiplo comum! Sim, é isso! Tudo se passa como se dentro da nossa última seqüência (11, ..., 299) tivéssemos despejado uma seqüência de razão 12, pois mmc(3,4) = 12. Agora, fica fácil. Qual é a posição do último termo 299? 299 = 11 + (n - 1)*12 == n = 288/12 + 1 = 25 Logo, 25 termos são iguais para as duas seqüências. Quais são eles? 11, 23, 35, 47, 59, 71, 83, 95, 107, 119, 131, 143, 155, 167, 179, 191, 203, 215, 227, 239, 251, 263, 275, 287, 299 Tudo bem, o Mathematica deu uma mãozinha... ;-D Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Guilherme Teles To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, April 06, 2004 10:48 PM Subject: [obm-l] algumas duvidas de PA 1 - Quantos multiplos de 11 existem entre 100 e 1000 2 - Determine a razão de uma PA com dez termos, sabendo que a soma dos dois primeiros é 5 e a soma dos dois ultimos é 53 3 - As progressões aritmeticas 5, 8, 11, e 3, 7, 11, tem 100 numeros cada uma. Determine o numero de termos iguais nas duas progressões = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatorios de k^6 e de k^8
On Wed, Apr 07, 2004 at 03:27:00AM -0300, Rafael wrote:
Perdoe-me, Nicolau, por não ter respondido tão imediatamente à sua mensagem.
Muito obrigado pelos seus comentários e, agora, pelos do Gugu e do Angelo.
Talvez, a minha falta de perícia no assunto tenha me feito compreender algo
errado do que li, mas pode ser que o autor não tenha sido tão feliz na
explicação como vocês foram.
Vejam:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/zerozero/zero.htm
Sem poder dizer que alguma coisa na página que você indicou esteja
propriamente errada, eu francamente não acho que o autor tenha sido,
como você disse, muito feliz. Ele menciona (corretamente) que se
lim_{x - a} f(x) = 0
lim_{x - a} g(x) = 0
então nada podemos afirmar sobre o limite
lim_{x - a} (f(x))^(g(x))
Mas isto não significa que 0^0 não esteja definido, conforme já discutimos,
e eu acho que o texto gera uma certa confusão neste sentido.
Quanto ao resultado que o Gugu enunciou, segue um enunciado e uma demonstração.
Sejam f e g funções analíticas definidas em vizinhanças de raio r de 0
com f(0) = g(0) = 0. Suponha que f(x) 0 para 0 x r.
Para 0 x r, defina h(x) = f(x)^g(x) = exp(g(x) log(f(x))).
A função f admite uma série de Taylor, donde existe um natural n
e constantes positivas C1 e C2 tais que 0 x r - C1 x^n f(x) C2 x^n.
Assim 0 x r - a1 + n log(x) log(f(x)) a2 + n log(x) onde ai = log(Ci).
Em particular, existe a tal que 0 x r - |log(f(x))| a + n |log(x)|.
Por outro lado como g é analítica, existe uma constante positiva B
tal que 0 x r - |g(x)| B |x|. Assim, para 0 x r temos
|g(x) log(f(x))| aB |x| + nB |x| |log(x)|
Como lim_{x - 0} x log(x) = 0, segue que
lim_{x - 0} g(x) log(f(x)) = 0 donde lim_{x-0} h(x) = 1.
[]s, N.
=
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Re: [obm-l] algumas duvidas de PA
So vou adicionar meus 2 centavos ja que ja esta resolvido... concordo com o Rafael que o problema 3 e o mais (unico remotamente?) interessante, mas acho interessante justamente pq nao precisa de todos os calculos PA1 razao 3 tamanho 100 PA2 razao 4 tamanho 100 Sabemos que o primeiro termo comum e o 3o termo ( nao importa se e 11, 100, coelinho da pascoa, etc) O Rafael conclui com razao (trocadilho, por favor), que os termos comuns tem 12 como razao entre eles. Isso acontece a cada 3 termos na PA2 e a cada 4 termos na PA1... hmmm...perai na PA1 tenho tenho mais 97 termos... mas como so interessa de 4 em 4 so me interessam 24 (parte inteira 97/4). Tenho entao 24 termos + o 3o temo ki ja sabiamos ser comum. 24 + 1 = 25. Nao precisa identificar nenhum dos termos. Isso ki eu achei interessante. P.S. Logicamente o '11' e importante na determinacao das razoes das 2 PAs. From: Rafael [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: OBM-L [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] algumas duvidas de PA Date: Wed, 7 Apr 2004 09:19:59 -0300 Guilherme, Para o problema 1, observe que os extremos do intervalo 100 e 1000 não são múltiplos de 11. Mas quais serão os mais próximos? 11*9 = 99, que não pertence ao intervalo 11*10 = 110, que pertence no intervalo Então, já sabemos que o primeiro múltiplo de 11 no intervalo é 110. Analogamente: 11*90 = 990, que pertence no intervalo 11*91 = 1001, que não pertence ao intervalo Pronto, montamos a nossa seqüência: 110, ..., 990 Se 110 é o primeiro termo, qual é a posição de 990? 990 = 110 + (n-1)*11 == n = 81 Assim, a_81 = 990 e a P.A. tem 81 termos, isto é, há 81 múltiplos de 11 entre 100 e 1000. Sobre o problema 2, vamos passar para o matematiquês: a_1 + a_2 = 5 a_9 + a_10 = 53 Para que se possa definir bem um termo de P.A. ou de P.G., de que precisamos saber? Certamente, o primeiro termo e a razão. Então, reescreveremos as equações anteriores em função deles: a_1 + a_1 + r = 5 a_1 + 8r + a_1 + 9r = 53 Ou ainda, 2a_1 + r = 5 (I) 2a_1 + 17r = 53(II) Como queremos saber apenas a razão, eliminamos 2a1, assim: (II) - (I): 17r - r = 53 - 5 == 16r = 48 == r = 3 O terceiro problema é o mais interessante dos três. Vamos escrever as seqüências e calcular o último termo de ambas: 5, 8, 11, ..., 302(302 = 5 + 99*3) 3, 7, 11, ..., 399(399 = 3 + 99*4) Já sabemos que ambas possuem igualmente o terceiro termo, 11, e que a segunda seqüência cresce mais rapidamente que a primeira após o terceiro termo. Assim, vamos procurar qual é o termo da segunda seqüência mais próximo do último da primeira: 302 = 3 + (n-1)*4 == n = 75,75 Vemos que o termo mais próximo é o septuagésimo quinto. Vamos calculá-lo: a_75 = 3 + 74*4 = 299 Não deve ser por acaso que o nonagésimo nono termo da primeira seqüência é 299 também, pois 302 - 3 = 299. Assim, já encontramos o primeiro e o último termos que são iguais para ambas seqüências: 11, ..., 299 Agora, vamos pensar: a_n = 5 + (n - 1)*3 == a_n - 5 = (n - 3)*3 b_n = 3 + (n - 1)*4 == b_n - 3 = (n - 1)*4. Generalizando, x_m = x_n + (m - n)*r == x_m - x_n = (m - n)*r Se ainda não parecer claro o que estou pretendendo, lá vai: a diferença entre dois termos de uma P.A. é um múltiplo da razão; para que os termos das seqüências se encontrem (sejam iguais), eles devem ser múltiplos de uma mesma razão, no nosso caso, 3 e 4. Humm... múltiplos de um mesmo número... múltiplo comum! Sim, é isso! Tudo se passa como se dentro da nossa última seqüência (11, ..., 299) tivéssemos despejado uma seqüência de razão 12, pois mmc(3,4) = 12. Agora, fica fácil. Qual é a posição do último termo 299? 299 = 11 + (n - 1)*12 == n = 288/12 + 1 = 25 Logo, 25 termos são iguais para as duas seqüências. Quais são eles? 11, 23, 35, 47, 59, 71, 83, 95, 107, 119, 131, 143, 155, 167, 179, 191, 203, 215, 227, 239, 251, 263, 275, 287, 299 Tudo bem, o Mathematica deu uma mãozinha... ;-D Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Guilherme Teles To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, April 06, 2004 10:48 PM Subject: [obm-l] algumas duvidas de PA 1 - Quantos multiplos de 11 existem entre 100 e 1000 2 - Determine a razão de uma PA com dez termos, sabendo que a soma dos dois primeiros é 5 e a soma dos dois ultimos é 53 3 - As progressões aritmeticas 5, 8, 11, e 3, 7, 11, tem 100 numeros cada uma. Determine o numero de termos iguais nas duas progressões = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Watch LIVE baseball games on your computer with MLB.TV, included with MSN Premium! http://join.msn.com/?page=features/mlbpgmarket=en-us/go/onm00200439ave/direct/01/
[obm-l] dúvida de limites
Quando vale que: lim (x--- a) f(g(x)) = lim (x---lim(x--- a) g(x)) f(x) ? André T. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Ultimo Teorema de Fermat
Oi, pessoal: Aqui vai um caso particular do famoso teorema: Prove que nao existem inteiros positivos x, y, z e n, com n = z, tais que: x^n + y^n = z^n. Dica: a solucao eh em 2 linhas. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Um limite meio chato
Serve utilizar a noção de funções equivalentes (ou assintoticamente iguais)?
Isto é: se duas funções de leis f(x) e g(x) são tais que lim (f(x)/g(x)) =
1, quando x tende a um valor a, então as funções f(x) e g(x) são
equivalentes, quando x tende ao a. Assim, por exemplo, numa vizinhança de 0,
senx é equivalente a x, assim como ln(1+x) é assintoticamente igual a x.
É elementar que: o limite da razão entre dois infinitésimos (funções que
tendem a zero) não se altera se os membros forem substituídos por
infinitésimos equivalentes (por exemplo, ver Problemas e Exercícios de
Análise Matemática - Demidovicth, da MIR, página 34). Desse modo, o
quociente procurado, nas proximidades de 0, é equivalente a:
(xcosx - x)/x^3, o qual, por sua vez, é igual a x(cosx - 1)/x^3, que é igual
a {2[sen(x/2)]^2}/x^2. Finalmente, a última razão pode ser vista como
(1/2){[sen(x/2)/(x/2)]^2, cujo limite, quando x tende a zero, é igual a 1/2
(limite procurado, de acordo com o teorema acima).
Espero ter contribuído com algum raciocínio,
Márcio.
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
[EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: RE: [obm-l] Um limite meio chato
Date: Tue, 6 Apr 2004 21:13:10 -0300 (ART)
CONSEGUI!!
Essa e muito legal!Vou deixar um rascunho no fim da mensagem para nao
atrapalhar quem ainda nao fez...Talvez o Gugu tente essa, e meio no estilo
deleTem muita conta mas e bem divertido.
PS.:SEM USAR DERIVADA, NEM L'HOSPITAL-BERNOULLI, NEM NADA DISSO!!
f(x)= (x*cos (x) -sen (x))/(x^3)
Determine lim f(x) se x tende a zero.
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Ta.Ai o que temos?
sen (x + arctg(-x)), vai dar algo como infinito vezes zero.Nao entendi
essa...
Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ki tal reescrever como sqrt[ 1/(x^6) + 1/(x^4)]*sen(x + arctg(-x))?
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Um limite meio chato
Date: Wed, 31 Mar 2004 16:11:08 -0300 (ART)
Ola pessoal!!!
Certa feita fui desafiado a dizer o limite desta expressao quando x tende
a
zero:
sen x/x^3- cosx/x^2.
Pequeno detalhe: na epoca usei L'Hopital-Bernoulli mas ai nao tinha
graça...
Agora eu queria que ces me ajudassem nesse sentido:demonstrar
elementarmente essa coisinha.Ai pensei em usar serie de Taylor e consegui
resolver, mas ainda e complicado (nada que toque em derivadas nem muito
alem).
Mas ai me veio uma ideia: que! tal adaptar Taylor?Assim:provar que
x-x^3/3!+x^5/5! e a melhor aproximaçao de um polinomio de grau 5 de sen x
e
depois algo parecido com xcos x, e demonstrar tudo a prtir dai...
Captaram?E entao, alguma ajuda?
Ass.:Johann
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Para baixo
Mais um pouco
Pra so um bocadinho
agora foi!
Bem, escrevi assim:
f(x)=(x*cos(x)-sen(x))/x^3
Tente escrever f(2x) em funçao de f(x) e mais uns trambolhos que tendem a
algo que ce nao sabe
Primeiro calculamos lim (x-0) ((x-senx)/(x^3)) ( pois e , isso aparece
sim!) .Veja que se substituirmos x por 3x, podemos abrir tudo e escrever
como f(x) mais algo que tende a 1 vezes uma constante facil de determinar
(bem, use o fato dde que sen 3x= 3 sen x - 4 (sen x)^3 ou algo parecido
)
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Re: [obm-l] dúvida de limites
Para simplificar a notacao, facamos lim x- a g(x) = Lg e Lim y- Lg f(y) = Lf. Estou usando variaveis com nomes diferente apenas para maior clareza. Estou supondo a existencia dos limites citados e que f e g sao funcoes entre espacos vetoriais reais ou complexos. Estou tambem supondo que a eh ponto de acumulacao do dominio de f o g. Uma situacao em que a sua igualdade vale e se existir uma vizinhanca V de a tal que g(x) Lg para todo xa tal que x pertenca aa interseccao de V com o dominio de g. Outra situacao em que a igualdade ocorre eh se f for continua em Lg. Neste caso, lim x -a f(g(x)) = f(Lg). Um bom exercicio eh demonstrar estas afirmacoes. Artur --- André Martin Timpanaro [EMAIL PROTECTED] wrote: Quando vale que: lim (x--- a) f(g(x)) = lim (x---lim(x--- a) g(x)) f(x) ? André T. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do you Yahoo!? Yahoo! Small Business $15K Web Design Giveaway http://promotions.yahoo.com/design_giveaway/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] algumas duvidas de PA
Se eu não me engano, para o primeiro problema, já que nem 100 nem 1000 são
múltiplos de 11, é imediato verificar que a resposta é [(1000 - 100)/11],
isto é, o maior inteiro que não supera a razão entre a diferença dos
extremos e o número do qual são desejados os múltiplos (11, no caso). Como
(1000 - 100)/11 é igual a 81, 818181..., a resposta é 81. Quando um dos
extremos é múltiplo a contar, acrescenta-se uma unidade ao máximo inteiro.
Quanto ao segundo, a melhor saída é a apresentada pelo Rafael, mesmo.
Já em relação ao terceiro, complementando as idéias precedentes, é
interessante notar (ainda que se usem as fórmulas clássicas de P.A.) que
qualquer termo da primeira seqüência é dado por 5+3n (n inteiro de 0 em
diante), ao passo que qualquer termo da segunda sucessão é dado por 3+4m (m
inteiro a partir de zero). Haverá termos iguais toda vez em que 5+3n=3+4m,
para alguns m e n inteiros, ou seja, sempre que 4m - 3n = 2. Uma maneira
útil de resolver essa equação é encará-la como uma equação diofantina linear
(necessita-se, a partir deste ponto, de rudimentos de teoria dos números).
Já que m = n = 2 são (as menores) soluções, qualquer solução é dada por m =
2 + 3t e n = 2 + 4t (é profícuo ainda imaginar como se fossem dois
movimentos retilíneos uniformes, com velocidade relativa constante). Como
cada seqüência tem 100 termos, deve-se impor que tanto m quanto n sejam
inteiros e que variem de 0 a 99, ou seja:
0= 2+3t = 99 e 0=2+4t=99, o que é equivalente a (-2/3)= t =97/3 e
(-1/2)= t = 97/4. Já que t deve ser inteiro, deve-se ter:
0= t = 32 e 0= t = 24. Logo, t deve pertencer ao conjunto {0, 1, 2, ...,
24} e, assim, pode assumir um total de 25 valores, quantidade representativa
do número de termos iguais das duas progressões.
Até mais,
Márcio.
From: Rafael [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: OBM-L [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] algumas duvidas de PA
Date: Wed, 7 Apr 2004 09:19:59 -0300
Guilherme,
Para o problema 1, observe que os extremos do intervalo 100 e 1000 não são
múltiplos de 11. Mas quais serão os mais próximos?
11*9 = 99, que não pertence ao intervalo
11*10 = 110, que pertence no intervalo
Então, já sabemos que o primeiro múltiplo de 11 no intervalo é 110.
Analogamente:
11*90 = 990, que pertence no intervalo
11*91 = 1001, que não pertence ao intervalo
Pronto, montamos a nossa seqüência:
110, ..., 990
Se 110 é o primeiro termo, qual é a posição de 990?
990 = 110 + (n-1)*11 == n = 81
Assim, a_81 = 990 e a P.A. tem 81 termos, isto é, há 81 múltiplos de 11
entre 100 e 1000.
Sobre o problema 2, vamos passar para o matematiquês:
a_1 + a_2 = 5
a_9 + a_10 = 53
Para que se possa definir bem um termo de P.A. ou de P.G., de que
precisamos
saber? Certamente, o primeiro termo e a razão. Então, reescreveremos as
equações anteriores em função deles:
a_1 + a_1 + r = 5
a_1 + 8r + a_1 + 9r = 53
Ou ainda,
2a_1 + r = 5 (I)
2a_1 + 17r = 53(II)
Como queremos saber apenas a razão, eliminamos 2a1, assim:
(II) - (I): 17r - r = 53 - 5 == 16r = 48 == r = 3
O terceiro problema é o mais interessante dos três. Vamos escrever as
seqüências e calcular o último termo de ambas:
5, 8, 11, ..., 302(302 = 5 + 99*3)
3, 7, 11, ..., 399(399 = 3 + 99*4)
Já sabemos que ambas possuem igualmente o terceiro termo, 11, e que a
segunda seqüência cresce mais rapidamente que a primeira após o terceiro
termo. Assim, vamos procurar qual é o termo da segunda seqüência mais
próximo do último da primeira:
302 = 3 + (n-1)*4 == n = 75,75
Vemos que o termo mais próximo é o septuagésimo quinto. Vamos calculá-lo:
a_75 = 3 + 74*4 = 299
Não deve ser por acaso que o nonagésimo nono termo da primeira seqüência é
299 também, pois 302 - 3 = 299. Assim, já encontramos o primeiro e o último
termos que são iguais para ambas seqüências:
11, ..., 299
Agora, vamos pensar:
a_n = 5 + (n - 1)*3 == a_n - 5 = (n - 3)*3
b_n = 3 + (n - 1)*4 == b_n - 3 = (n - 1)*4.
Generalizando,
x_m = x_n + (m - n)*r == x_m - x_n = (m - n)*r
Se ainda não parecer claro o que estou pretendendo, lá vai: a diferença
entre dois termos de uma P.A. é um múltiplo da razão; para que os termos
das
seqüências se encontrem (sejam iguais), eles devem ser múltiplos de uma
mesma razão, no nosso caso, 3 e 4. Humm... múltiplos de um mesmo número...
múltiplo comum! Sim, é isso! Tudo se passa como se dentro da nossa última
seqüência (11, ..., 299) tivéssemos despejado uma seqüência de razão 12,
pois mmc(3,4) = 12. Agora, fica fácil. Qual é a posição do último termo
299?
299 = 11 + (n - 1)*12 == n = 288/12 + 1 = 25
Logo, 25 termos são iguais para as duas seqüências.
Quais são eles?
11, 23, 35, 47, 59, 71, 83, 95, 107, 119,
131, 143, 155, 167, 179, 191, 203, 215, 227, 239,
251, 263, 275, 287, 299
Tudo bem, o Mathematica deu uma mãozinha... ;-D
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From: Guilherme Teles
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, April 06, 2004 10:48 PM
Subject: [obm-l] algumas
Re: [obm-l] Ultimo Teorema de Fermat
on 07.04.04 18:48, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: Prove que nao existem inteiros positivos x, y, z e n, com n = z, tais que: x^n + y^n = z^n. claramente x, y = z-1 logo x^n + y^n = 2(z-1)^n supondo que existe solução nas condições acima: z^n = 2(z-1)^n [z/(z-1)]^n = 2 mas [1 + 1/(z-1)]^n [1 + 1/(z-1)]^(z-1) um fato conhecido é que (1 + 1/u)^u - e quando u - oo, e esta seqüência é sempre maior que 2 para u 1. caso z-1 = 1, ou seja z = 2 fica claro que não há solução... [ ]'s Legal! A solucao que eu conhecia era: Podemos supor s.p.d.g. que x = y. Assim, eh claro que x = y y+1 = z = n. Logo: x^n = z^n - y^n = (z - y)*(z^(n-1) + z^(n-2)*y + ... + y^(n-1)) (z - y)*(x^(n-1) + x^(n-1) + ... + x^(n-1)) 1*n*x^(n-1) x^n == contradicao. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] EVENTOS INDEPENDENTES!
OK! Qwert e demais colegas! Vejam outro belo exemplo tirado do excelente livro Uma Introdução à Teoria das Probabilidades e suas Aplicações de W. Feller, que mostra como a estrutura do espaço amostral afeta as relações de dependência. Vamos considerar famílias com n crianças e admitir que todas as distribuições do sexo dessas crianças são igualmente prováveis. Seja A o evento: existem crianças de ambos os sexos e B o evento: existe no máximo uma menina. Pode- se verificar então, que no conjunto das famílias com 3 crianças, A e B são eventos independentes, o que não ocorre no conjunto das famílias com 4 crianças. Com um pouco mais de trabalho é possível mostrar ainda que A e B só serão independentes no caso n=3. Abraços! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PG
1 - Determine tres numeros reais em PG de modo que sua soma seja 21/8 e a soma de seus quadrados seja 189/64 2 - Obtenha a PG de quatro elementos em que a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos dois ultimos é 300 Caros colegas de lista, sei que parecem bobos, mas faz 3 anos que não toco em materia de 2 grau. Fico agradecido e humildemente agradeço de coração a colaboração e atenção que todos tem cedido. Sds, Guilherme Teles Belem - PA
RE: [obm-l] EVENTOS INDEPENDENTES!
Nao sei se eu entendi... para n=3 possiveis numero de meninas 0, 1, 2, 3 0,1 satisfazem B - probabilidade 1/2 1,2 satisfazem A - probabilidade 1/2 para n=4 possiveis numero de meninas 0, 1, 2, 3, 4 0,1 satisfazem B - probabilidade 2/5 1,2, 3 satisfazem A - probabilidade 3/5 para n=n possiveis numeros de meninas 0,1,...,n-1,n 0,1 satisfazem B - probabilidade 2/(n+1) 1,2,...,n-2,n-1 satisfazem A - probabilidade (n-1)/(n+1) pA = pB se e somente se (n-1)/(n+1)=2/(n+1) = n-1=2 = n=3 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] EVENTOS INDEPENDENTES! Date: Wed, 7 Apr 2004 20:47:32 -0300 OK! Qwert e demais colegas! Vejam outro belo exemplo tirado do excelente livro Uma Introdução à Teoria das Probabilidades e suas Aplicações de W. Feller, que mostra como a estrutura do espaço amostral afeta as relações de dependência. Vamos considerar famílias com n crianças e admitir que todas as distribuições do sexo dessas crianças são igualmente prováveis. Seja A o evento: existem crianças de ambos os sexos e B o evento: existe no máximo uma menina. Pode- se verificar então, que no conjunto das famílias com 3 crianças, A e B são eventos independentes, o que não ocorre no conjunto das famílias com 4 crianças. Com um pouco mais de trabalho é possível mostrar ainda que A e B só serão independentes no caso n=3. Abraços! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Check out MSN PC Safety Security to help ensure your PC is protected and safe. http://specials.msn.com/msn/security.asp = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] PG
-- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Wed, 7 Apr 2004 20:07:01 -0300 Assunto: [obm-l] PG 1 - Determine tres numeros reais em PG de modo que sua soma seja 21/8 e a soma de seus quadrados seja 189/64 2 - Obtenha a PG de quatro elementos em que a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos dois ultimos é 300 Caros colegas de lista, sei que parecem bobos, mas faz 3 anos que não toco em materia de 2 grau. Fico agradecido e humildemente agradeço de coração a colaboração e atenção que todos tem cedido. Sds, Guilherme Teles Belem - PA = (1)Determine tres numeros reais em PG de modo que sua soma seja 21/8 e a soma de seus quadrados seja 189/64 Se a PG é [a,d,c] , sendo q a razão , a PG fica [b/q,b,bq] (i) b/q + b + bq = 21/8 (ii) (b/q)^2 + b^2 + (bq)^2 = 189/64 Temos (a + d + c)^2 = a^2 + d^2 + c^2 + 2(ad + ac + dc) Sendo a= b/q,d = b e c = bq , vem : (b/q + b + bq )^2 = (b/q)^2 + b^2 + (bq)^2 + 2( (b^2)/q + b^2 + (b^2)q ) (b/q + b + bq )^2 = (b/q)^2 + b^2 + (bq)^2 + 2(b^2)( 1/q + 1 + q )(b/b) Veja que eu multipliquei a ultima parte por 1 = (b/b) (iii) (b/q + b + bq )^2 = [(b/q)^2 + b^2 + (bq)^2] + 2b (b/q + b + bq ) Substituindo (i)e(ii) em (iii): (21/8)^2 = 189/64 + 2b(21/8) 441/64 = 189/64 + (336b)/64 441 = 189 + 336b 336b = 252 b = 0,75 Voltando em (i): b + qb + bq^2 = 21q/8 8(b + qb + bq^2) = 21q 8bq^2 + q(8b - 21) + 8b = 0 , como b = 0,75 : 6q^2 - 15q + 6 = 0 2q^2 - 5q + 2 = 0 q = 2 ou q = 1/2 Como sabemos b e q , a PG é: (0,375),(0,75),(1,5) ou (1,5),(0,75),(0,375) (2)Obtenha a PG de quatro elementos em que a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos dois ultimos é 300 Tente fazer a mesma ideia do primeiro ; coloque os termos da PG em função de um dos termos e da razão e depois faça um sistema de duas variáveis e duas equações . Abraços. Luiz H. Barbosa __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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RE: [obm-l] livro
no Rio de janeiro vc consegue em sebos, vi um hoje mesmo num sebo da Sete de Setembro ''-- Mensagem Original -- ''Date: Thu, 8 Apr 2004 00:21:27 -0300 (ART) ''From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] ''Subject: [obm-l] livro ''To: [EMAIL PROTECTED] ''Reply-To: [EMAIL PROTECTED] '' '' ''ola pessoal da lista! '' ''Quero saber se alguém da Lista pode me dizer onde ''consigo o livro: Questões de Matemática - (Manoel ''Jairo Bezerra) ''se alguem souber me escreva. '' ''elton '' ''__ '' ''Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: ''http://br.yahoo.com/info/mail.html ''= ''Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em ''http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ''= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
