Artur, Se seguirmos a sua lógica, as figuras são mérito do programa que utilizei, e não meu... ;-) Mas brincadeiras à parte, o elogio não foi somente pelos exercícios, mas por você enxergar a beleza deles também. Isso, ainda mais para quem se diz não muito bom em Geometria, é algo elogiável, sim!
Realmente, eu me precipitei e errei, P não é único. A sua solução está mais-que-perfeita, embora eu não me lembre dos porquês de o semiperímetro p de ARS igualar-se ao segmento AM e de AM = p' - BC. Quais propriedades dos triângulos justificam isso? Sobre o segundo problema, na hora em que resolvi, não pensei no conceito de potência de ponto, mas certamente é um modo muito interessante de se raciocinar. Um forte abraço, Rafael de A. Sampaio ----- Original Message ----- From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, April 06, 2004 11:00 PM Subject: RE: [obm-l] Geometria Oi Rafael, Obrigado pelo elogio aos dois problemas, os quais, alias, devem ser encaminhados a quem os bolou. As figuras que vc fez ficaram excelentes. Com relacao ao primeiro problema, acho que houve uma interpretacao equivocada de sua parte. Na realidade, o perimetro de ARS independe da posicao de P sobre o arco MN, nao eh preciso que RS seja paralelo a BC. Aproveitando sua figura e lembrando as propriedades dos triangulos, vejamos: Com relacao ao triangulo ARS, C eh o circulo exinscrito relativo aos lados AR e AS. Pelas propriedades dos triangulos, o semiperimetro p de ARS iguala-se ao segmento AM. Assim, p = AM. E AM independe completamente do ponto P! Mas, indo um pouco mais longe, temos, tambem pelas propriedades dos triangulos, que AM = p' - BC, sendo p' o semiperimetro de ABC. Logo, o perimetro de ARS eh 2p = 2p' - 2BC = AB + AC - BC, qualquer que seja o ponto P. Com relacao ao segundo problema, a sua solucao estah perfeita. Mas no dia 12/01/1970 (agora todo muito jah percebeu que naum sou extamente um garoto...), no Maracanan, no Rio, sob um tremendo calor, eu utilizei o conceito de potencia de um ponto com relacao a um circulo. Conforme vc fez, 2R1 = 2R2 + 2R3 <==> R1 = R2 + R3. Sendo M o ponto em que C2 e C3 se tangenciam, a potencia de M com relacao a C nos conduz a que (t/2) * (t/2) = 2R1 * 2R2. E prosseguindo como vc fez, chegamos de fato a S = pi* t^2/8. Um abraco! Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================