Oi Rafael, De fato, a Geometria classica eh muito bonita! >Realmente, eu me precipitei e errei, P n�o � �nico. A sua solu��o est� >mais-que-perfeita, embora eu n�o me lembre dos porqu�s de o semiper�metro p >de ARS igualar-se ao segmento AM e de AM = p' - BC. Quais propriedades dos >tri�ngulos justificam isso?
Aproveitando novamente sua figura. No triangulo ABC, seja O o ponto em que o circulo inscrito tangencia BC (naum representado, mas facilmente identificavel). Entao, AM = AB - BM = AB - BO e AN = AC - CN = AC - CO Somando estas igualdades, vem AM + AN = AM + AM = 2AM = AB + AC - BC = AB + AC + BC - 2BC Sendo p o semiperimetro de ABC, temos entao que 2AM = 2p - 2BC e AM = p - BC Consideremos agora o triangulo ARS, de modo que o circulo da figura eh exinscrito com relacao a RS. Entao, AM = AR + RM = AR + RP = AR + RS - SP = AR + RS - SN = AR + RS - (AN - AS). Logo, AM = AR + RS - AN + AS e AM + AN = AR + RS + AS. Mas como AM = AN, concluimos que AM = (AR + RS + AS)/2, que eh o semiperimetro de ARS. Um abraco Artur
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