Oi Rafael,
De fato, a Geometria classica eh muito bonita!

>Realmente, eu me precipitei e errei, P não é único. A sua solução está
>mais-que-perfeita, embora eu não me lembre dos porquês de o semiperímetro p
>de ARS igualar-se ao segmento AM e de AM = p' - BC. Quais propriedades dos
>triângulos justificam isso?

Aproveitando novamente sua figura. No triangulo ABC, seja O o ponto em que o
circulo inscrito tangencia BC (naum representado, mas facilmente
identificavel). Entao,
AM = AB - BM = AB - BO e
AN = AC - CN = AC - CO    Somando estas igualdades, vem
AM + AN = AM + AM = 2AM = AB + AC - BC = AB + AC + BC - 2BC
Sendo p o semiperimetro de ABC, temos entao que 2AM = 2p - 2BC e AM = p - BC

Consideremos agora o triangulo ARS, de modo que o circulo da figura eh
exinscrito com relacao a RS. 
Entao, AM = AR + RM = AR + RP = AR + RS - SP = AR + RS - SN = AR + RS - (AN
- AS). Logo, AM = AR + RS - AN + AS e AM + AN = AR + RS + AS. Mas como AM =
AN, concluimos que AM = (AR + RS + AS)/2, que eh o semiperimetro de ARS.

Um abraco
Artur

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