[obm-l] Re: [obm-l] Uma difícil de Combinatória
Olá. O problema em sua solução é que estás a considerar a ordem em que as caixas são pintadas como fator diferenciador de duas pinturas. Sejam A, B, C e D as cores azul, amarelo, verde e vermelho, respectivamente. Note como falas em primeira caixa, segunda caixa, etc. Assim, as pinturas: ABCDABCDAB e DCBADCBABA seriam distintas na tua contagem, quando, em verdade, não o são, tendo em vista que as caixas são idênticas. Portanto, o que interessa é que em ambos exemplos anteriores há 3 caixas pintadas de A, 3 de B, 2 de C e 2 de D, significando que se trata do mesmo modo de pintá-las. É conveniente lembrar sempre que, o Princípio Multiplicativo, que usaste pra obter os valores 4^10 e 3^10, traz em si a diferenciação pela ordem das decisões. Neste caso, a solução consiste em aplicar o conceito de combinações completas (com repetições). Sejam x, y, z e w as quantidades de caixas pintadas de azul, amarelo, verde e vermelho., nesta ordem. Deve-se impor que x + y + z + w = 10 (total de caixas), com a condição adicional de x 0 (e, nitidamente, y, z e w inteiros não negativos, bem como x inteiro positivo). Fazendo x = a + 1, garante-se que a pode ser qualquer inteiro não negativo, incluindo o zero, o que é excelente, tendo em vista que a equação pode ser re-escrita como (a + 1) + y + z + w = 10 = a + y + z + w = 9, e as incógnitas, agora, têm que ser todas inteiros não negativos (eventualmente, iguais a zero). Portanto, a resposta pedida corresponde (biunivocamente) à quantidade de soluções inteiras e não negativas de a + y + z + w = 9, que é dada pelo número de combinações simples de 12 elementos, tomados 3 a 3 (ou o número de permutações de 12 objetos, sendo 9 iguais entre si e outros 3 idênticos entre si, mas distintos dos primeiros), ou seja: 12!/(9!3!)=12.11.10/6 = 220. Suponho que conheces esse último resultado. Qualquer dúvida, uma explicação pode ser obtida em http://www.ime.usp.br/~iesus/verao2008/gablista3.pdf Até mais. --- Em seg, 6/4/09, Marcelo Gomes elementos@gmail.com escreveu: De: Marcelo Gomes elementos@gmail.com Assunto: [obm-l] Uma difícil de Combinatória Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 6 de Abril de 2009, 18:37 Pessoal esta questão caiu em uma avaliação que fiz e o gabarito foi bem diferente do que ei fiz. Por favor se alguém tiver um tempinho me dê uma mão, ok ? Questão: Sejam 10 caixas de madeira, exatamente iguais. Queremos pintar cada uma delas com uma cor dentre quatro cores disponíveis: Azul, amarelo, verde e vermelho. De quantos modos podemos pintar as caixas, sabendo que pelo menos uma das caixas deve ser pintada de azul ? Minha resolução: Busquei encontrar o número ma´ximo de possibilidades para pintar as caixas. Então pensei da seguinte maneira: Na primeira caixa poderiam entra 4 cores, e na segunda 4 e na terceira 4 e.assim até a décima caixa. Então o número máximo de possibilidades de se pintar as 10 caixas pela minha conta seria 4^10. Em seguida busquei encontrar o número de possibilidades onde a cor azul não aparecesse. Então analisei que na rimeira caixa poderiam entrar 3 cores, na segunda 3 cores, na terceira 3 corese na décima 3 cores. Então pela minha conta eu teria 3^10 onde o azul não aparece. Então como preciso ter pelo menos uma caixa azul, fiz: 4^10 - 3^10 = achei 989.527 maneiras Bem pessoal pelo gabarito eu errei e muito! O gabarito deu 220 modos. Não entendi nada! Peço que vocês me ajudem por favor, para compreender o enorme erro que fiz. Abração a todos. Marcelo. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] duvida
Flávia, Veja o livro do Augusto César Morgado e outros: Análise Combinatória e Probabilidade, publicado pela Sociedade Brasileira de Matemática, Coleção do Professor de Matemática. Acesse www.sbm.org.br Benedito - Original Message - From: Flavia Laragnoit To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, April 06, 2009 7:51 PM Subject: [obm-l] duvida Será que vcs poderiam me ajudar? Com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6. Determine quantos números de quatro algarismos distintos maiores que 4320 podem ser formados? Obrigada, Onde posso obter exercícios resolvidos deste assunto?
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Uma difícil de Combinatóri a
Caro professor Márcio Pinheiro, Muito obrigado pela sua resolução e por suas explicações. Valeu mesmo...entendi que o meu problema foi considerar a ordem. Grande abraço, Marcelo. 2009/4/7 Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br Olá. O problema em sua solução é que estás a considerar a *ordem* em que as caixas são pintadas como fator diferenciador de duas pinturas. Sejam A, B, C e D as cores azul, amarelo, verde e vermelho, respectivamente. Note como falas em primeira caixa, segunda caixa, etc. Assim, as pinturas: ABCDABCDAB e DCBADCBABA seriam distintas na tua contagem, quando, em verdade, não o são, tendo em vista que as caixas são idênticas. Portanto, o que interessa é que em ambos exemplos anteriores há 3 caixas pintadas de A, 3 de B, 2 de C e 2 de D, significando que se trata do mesmo modo de pintá-las. É conveniente lembrar sempre que, o Princípio Multiplicativo, que usaste pra obter os valores 4^10 e 3^10, traz em si a diferenciação pela ordem das decisões. Neste caso, a solução consiste em aplicar o conceito de combinações completas (com repetições). Sejam x, y, z e w as *quantidades* de caixas pintadas de azul, amarelo, verde e vermelho., nesta ordem. Deve-se impor que x + y + z + w = 10 (total de caixas), com a condição adicional de x 0 (e, nitidamente, y, z e w *inteiros não negativos*, bem como x *inteiro positivo*). Fazendo x = a + 1, garante-se que a pode ser qualquer inteiro não negativo, incluindo o zero, o que é excelente, tendo em vista que a equação pode ser re-escrita como (a + 1) + y + z + w = 10 = a + y + z + w = 9, e as incógnitas, agora, têm que ser todas inteiros não negativos (eventualmente, iguais a zero). Portanto, a resposta pedida corresponde (biunivocamente) à quantidade de soluções inteiras e não negativas de a + y + z + w = 9, que é dada pelo número de combinações simples de 12 elementos, tomados 3 a 3 (ou o número de permutações de 12 objetos, sendo 9 iguais entre si e outros 3 idênticos entre si, mas distintos dos primeiros), ou seja: 12!/(9!3!)=12.11.10/6 = 220. Suponho que conheces esse último resultado. Qualquer dúvida, uma explicação pode ser obtida em http://www.ime.usp.br/~iesus/verao2008/gablista3.pdfhttp://www.ime.usp.br/%7Eiesus/verao2008/gablista3.pdf Até mais. --- Em *seg, 6/4/09, Marcelo Gomes elementos@gmail.com* escreveu: De: Marcelo Gomes elementos@gmail.com Assunto: [obm-l] Uma difícil de Combinatória Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 6 de Abril de 2009, 18:37 Pessoal esta questão caiu em uma avaliação que fiz e o gabarito foi bem diferente do que ei fiz. Por favor se alguém tiver um tempinho me dê uma mão, ok ? Questão: Sejam 10 caixas de madeira, exatamente iguais. Queremos pintar cada uma delas com uma cor dentre quatro cores disponíveis: Azul, amarelo, verde e vermelho. De quantos modos podemos pintar as caixas, sabendo que pelo menos uma das caixas deve ser pintada de azul ? Minha resolução: Busquei encontrar o número ma´ximo de possibilidades para pintar as caixas. Então pensei da seguinte maneira: Na primeira caixa poderiam entra 4 cores, e na segunda 4 e na terceira 4 e.assim até a décima caixa. Então o número máximo de possibilidades de se pintar as 10 caixas pela minha conta seria 4^10. Em seguida busquei encontrar o número de possibilidades onde a cor azul não aparecesse. Então analisei que na rimeira caixa poderiam entrar 3 cores, na segunda 3 cores, na terceira 3 corese na décima 3 cores. Então pela minha conta eu teria 3^10 onde o azul não aparece. Então como preciso ter pelo menos uma caixa azul, fiz: 4^10 - 3^10 = achei 989.527 maneiras Bem pessoal pelo gabarito eu errei e muito! O gabarito deu 220 modos. Não entendi nada! Peço que vocês me ajudem por favor, para compreender o enorme erro que fiz. Abração a todos. Marcelo. -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Interpretação e Notação de Conjuntos
Valeu Rafael...muito obrigado pela explicação..valeu mesmo.
Abração, Marcelo.
2009/3/31 Rafael Ando rafael.a...@gmail.com
Ah, entendi como vc ta pensando... Você não pode dizer que os valores de k
eu já sei que são -2, ..., 3. Esses eram os valores de k como definidos pro
conjunto A. Daí depois na definição de B tem k pertencente a A, não é o
mesmo k, entende?
2009/3/30 Marcelo Rodrigues ge...@ibest.com.br
Oi Rafael..obrigadão por responder...valeu mesmo.
Mas existe uma dúvida que ainda não entendina minha cabeça penso
assim: está escrito para algum k pertencente a A. Mas se os valores de K eu
já sei que são -2,-1,0,1,2 e 3, Então não entendi porque estou usando 4 e 6
para valores de k na conta 2k + 1 no conjunto B.
Desculpe a minha pergunta tão básica perdão pela ignorância...
Abração, Marcelo.
2009/3/30 Rafael Ando rafael.a...@gmail.com
Para o conjunto B, note que x não precisa pertencer a A, mas sim k.
Se x = 2k+1 e k pertence a {-4,-2,0,2,4,6}, então x pode ser {-7, -3, 1,
5, 9, 13}. Como x deve ser não-negativo, o conjunto B fica {1,5,9,13}, como
no gabarito...
2009/3/30 Marcelo Rodrigues ge...@ibest.com.br
Oi pessoal no conjunto B achei {1,5} .
2009/3/30 Marcelo Rodrigues ge...@ibest.com.br
Olá pessoal, da lista boa noite.
Fiz uma prova recentemente e soube hoje a respeito do gabarito e não
concordei com ele. Estou para postar minha reclamação, mas antes queria
solicitar uma palavra de ajuda do pessoal da lista.
O problema é o seguinte:
Considere os Conjuntos:
A = {n | existe k pertencente a Z tal que -3 k 4, n = 2k }
B = {x | x é maior ou igual a Zero, x = 2k + 1para algum k pertencente
a A }
C = {1,2,3,4}
Pede-se: a) Determine explicitamente os conjuntos A e B e Justifique:
Minha resolução :
Os valores de k serão: -2,-1,0,1,2 e 3. Como n = 2k, o valores de n
serão : -4,-2,0,2,4 e 6. Logo o conjunto A será igual a = {-4,-2,0,2,4,6}
No conjunto B teremos os valores de x como positivos. E como diz para
algum k pertencente a A, eu considerei que somente existem 3 valores de k
que pertencem a A ou seja -2,0 e 2. Como x precisa ser positivo então o
-2,
não servirá. Nas mainhas contas o Conjunto B ficou somente com 2 elementos
(0,2), pois são os únicos que pertencem a k e a A.
Nas contas do gabarito este conjunto B está represntado como 1,5, 9 e
13.
Pessoal, fiz certo ou errado ?
Solicito uma mãozinha...valeu e muito grato, Marcelo.
--
Rafael
--
Rafael
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Uma difícil de Combinatóri a
Olá Professor Paulo, bom dia. Muito obrigado por sua preciosa explicação, entendi..bem a utilização da quádrupla para se obter as soluções não negativas, onde a ordem não é relevante (este foi o meu erro). Muito Obrigado, abração, Marcelo. Queria lhe perguntar uma outra dúvida. Se as caixas fossem numeradas de 1 a 10 ou em outras palavras, importa 2009/4/6 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com Ola Marcelo e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( escreverei sem acentos ) Sejam : A - caixas na cor azul B - caixas na cor amarelo C - caixas na cor verde D - caixas na cor vermelho. Uma solucao de A+B+C+D=10 na qual so figurem numeros inteiros nao-negativos pode ser interpretada como uma maneira de pintar as caixas. Assim, a 4-upla (A,B,C,D)=(3,2,0,5) significa que tres caixas foram pintadas de azul, duas caixas foram pintadas de amarela, nenhuma caixa foi pintada verde e cinco caixas foram pintadas de vermelho. O total de solucoes inteiras nao-negativas de A+B+C+D=10 nos da, portanto, o numero de maneiras possiveis de pintarmos as 10 caixas com as quatro cores disponiveis - claro, supondo-se que duas caixas ainda nao pintadas sao indistinguíveis ! Isto posto, fica facil ver que considerando agora as solucoes de A+B+C+D=10 nas quais A 0 ( A e positivo ), vale dizer, todas as solucoes de A+B+C+D=9, teremos todas as maneiras de pintar as caixas nas quais AO MENOS UMA CAIXA FOI PINTADAS DE AZUL. Existe um algoritmo direto, mesmo uma formula, para o total de solucoes inteiras e nao negativas de uma equacao diofantina da forma X1 + ... + Xn = M, o que responde a sua questao. A formula e : Binom(N+M-1,M) No seu caso : N=4 e M=9. Logo : Binom(4+9-1,9)=220 Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 20604092020 2009/4/6 Marcelo Gomes elementos@gmail.com: Pessoal esta questão caiu em uma avaliação que fiz e o gabarito foi bem diferente do que ei fiz. Por favor se alguém tiver um tempinho me dê uma mão, ok ? Questão: Sejam 10 caixas de madeira, exatamente iguais. Queremos pintar cada uma delas com uma cor dentre quatro cores disponíveis: Azul, amarelo, verde e vermelho. De quantos modos podemos pintar as caixas, sabendo que pelo menos uma das caixas deve ser pintada de azul ? Minha resolução: Busquei encontrar o número ma´ximo de possibilidades para pintar as caixas. Então pensei da seguinte maneira: Na primeira caixa poderiam entra 4 cores, e na segunda 4 e na terceira 4 e.assim até a décima caixa. Então o número máximo de possibilidades de se pintar as 10 caixas pela minha conta seria 4^10. Em seguida busquei encontrar o número de possibilidades onde a cor azul não aparecesse. Então analisei que na rimeira caixa poderiam entrar 3 cores, na segunda 3 cores, na terceira 3 corese na décima 3 cores. Então pela minha conta eu teria 3^10 onde o azul não aparece. Então como preciso ter pelo menos uma caixa azul, fiz: 4^10 - 3^10 = achei 989.527 maneiras Bem pessoal pelo gabarito eu errei e muito! O gabarito deu 220 modos. Não entendi nada! Peço que vocês me ajudem por favor, para compreender o enorme erro que fiz. Abração a todos. Marcelo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Múltiplo de 3 por indução
Valeu professores muito obrigado pela ajuda, serviu muito. Abração, Marcelo. 2009/3/13 Marcelo Rodrigues ge...@ibest.com.br Olá pessoal Estou estudando indução matemática já provei algumas que eram questões que envolviam somas de números naturais. Estou tendo algumas dúvidas, quando não há somatório. Estou tentando provar que : (2^2n) -1 é múltiplo de 3 para qualquer n, natural. Fiz o seguinte: P(1) = 3n = (2^2n) - 1 (Dúvida 1 - tenho que colocar 3n do lado esquerdo da igualdade, como fazia com os somatórios ?, ou basta trabalhar o lado direito dela ?) P(1) = 3(1) = (2^2) -1 = 3 = 3 (3 é múltiplo de 3, verdade para P(1)) P(k) = 3k = (2^2k) - 1 Provando por Indução: P(k+1) = 3k + k + 1 (Dúvida 2 - tenho que fazer deste lado também ? pois para K=3 dá 13...onde estou errando ?) = (2^2k) - 1 + k + 1 (este lado já funciona)= (2^2k) + k Somei k + 1 de ambos os lados mas errei algo. Se alguém tiver um tempinho, dê uma mãozinha, ok ? Abraços, Marcelo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática - (2^2 n) - 1
Valeu Denisson...muito obrigado pela ajuda
Caiu na prova um pareceido e acertei.
Abração, Marcelo.
2009/4/4 Denisson denisso...@gmail.com
Uma forma da indução é a seguinte:
Suponha que uma afirmação sobre os números naturais é verdadeira para n = 1
Além disso se a afirmação for verdadeira para n = k implicar que ela é
verdadeira para n = k +1 então vc pode ter certeza que a afirmação vale para
todo m = 1.
Por exemplo.
2^(2n) - 1 assume o valor 3 quando n = 1. Logo 3 divide este número (ok).
Suponha que a afirmação seja válida para um certo número k. Isto é 2^(2k) -
1 é divisível por 3.
Provemos que é verdadeira para k + 1 também.
2^[2(k+1)] - 1 = 2^(2k + 2) - 1 = 2^(2k)*(2^2) - 1 = 4*2^(2k) - 1 =
{3*2^(2k)} + [2^(2k) - 1]
note que o termo em chaves é divisivel por 3 e o termo em colchetes também
(por hipótese de indução), logo a afirmação está provada.
O importante em perceber:
Verificamos que a afirmação é válida pra n = 1.
Daí como provamos que a validade pra n implica a validade de n+1 então se n
= 1 é verdade logo n = 2 será verdade. E por isso n = 3 será verdade, e uma
espécie de efeito dominó te garante que todos os naturais satisfazem essa
propriedade (4,5,6,7...).
Espero que tenha entendido:
Uma explicação bem mais profissional (mas clara) vocÊ encontra em
http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/inducao.pdf
2009/3/12 Marcelo Rodrigues ge...@ibest.com.br
Olá pessoal
Estou estudando indução matemática já provei algumas que eram questões que
envolviam somas de números naturais. Estou tendo algumas dúvidas, quando não
há somatório.
Estou tentando provar que : (2^2n) -1 é múltiplo de 3 para qualquer n,
natural.
Fiz o seguinte:
P(1) = 3n = (2^2n) - 1 (Dúvida 1 - tenho que colocar 3n do lado esquerdo
da igualdade, como fazia com os somatórios ?, ou basta trabalhar o lado
direito dela ?)
P(1) = 3(1) = (2^2) -1 = 3 = 3 (3 é múltiplo de 3, verdade para P(1))
P(k) = 3k = (2^2k) - 1
Provando por Indução:
P(k+1) = 3k + k + 1 (Dúvida 2 - tenho que fazer deste lado também ? pois
para K=3 dá 13...onde estou errando ?) = (2^2k) - 1 + k + 1 (este lado já
funciona)= (2^2k) + k
Somei k + 1 de ambos os lados mas errei algo.
Se alguém tiver um tempinho, dê uma mãozinha, ok ?
Abraços, Marcelo.
--
Denisson
[obm-l] Vazio pertence à (A U B) ?
Olá pessoal bom dia.
Caiu em minha prova uma questão onde eram dados dois conjuntos e suas leis
de formação.O conjunto era formado por elementos pertencentes possuindo os
seguintes elementos: A= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} e o conjunto B por elementos
pertencentes a N, possuindo os seguintes elementos: B={ 2,3,4,5,6,7}.
Bem no item C da questão perguntava-se o seguinte: Se vazio (representado
sem chaves) pertence a (A U B).
Bem, respondi que sim, e em minha explicação escrevi que se chamássemos
(AUB) de conjunto C, o vazio pertenceria a tal conjunto.
O gabarito veio dizendo que: vazio pertence a (AUB) é FALSO. Pois o elemento
vazio não pertence a (AUB), mas o subconjunto vazio está contido em (AUB).
Se alguém dispuser de um tempinho me dê uma mãozinha para eu entender isto,
por favor, ok ?
Abração, Marcelo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Uma difícil de Combinatória
Ola Marcelo e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( escreverei sem acentos ) Neste caso as caixas seriam distinguiveis. O raciocinio original que voce empregou seria válido. Um problema de alguma forma proximo ao que voce propos, porem nao tao simples, pode ser formulado assim : IMAGINE 10 pequenas bolas, duas a duas indistinguiveis. Dispondo de 4 cores e suponto que cada bola sera pintada de uma unica cor, quantos colares distintos podemos fazer ? SUGESTAO : IMAGINE uma pintura qualquer das bolas. Essa pintura corresponde a uma solucao da equacao A+B+C+D=10. Todavia, com esta particular pintura, em geral, sera possivel fazer diversos colares ... Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 30704091200 2009/4/7 Marcelo Gomes elementos@gmail.com: Olá Professor Paulo, bom dia. Muito obrigado por sua preciosa explicação, entendi..bem a utilização da quádrupla para se obter as soluções não negativas, onde a ordem não é relevante (este foi o meu erro). Muito Obrigado, abração, Marcelo. Queria lhe perguntar uma outra dúvida. Se as caixas fossem numeradas de 1 a 10 ou em outras palavras, importa 2009/4/6 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com Ola Marcelo e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( escreverei sem acentos ) Sejam : A - caixas na cor azul B - caixas na cor amarelo C - caixas na cor verde D - caixas na cor vermelho. Uma solucao de A+B+C+D=10 na qual so figurem numeros inteiros nao-negativos pode ser interpretada como uma maneira de pintar as caixas. Assim, a 4-upla (A,B,C,D)=(3,2,0,5) significa que tres caixas foram pintadas de azul, duas caixas foram pintadas de amarela, nenhuma caixa foi pintada verde e cinco caixas foram pintadas de vermelho. O total de solucoes inteiras nao-negativas de A+B+C+D=10 nos da, portanto, o numero de maneiras possiveis de pintarmos as 10 caixas com as quatro cores disponiveis - claro, supondo-se que duas caixas ainda nao pintadas sao indistinguíveis ! Isto posto, fica facil ver que considerando agora as solucoes de A+B+C+D=10 nas quais A 0 ( A e positivo ), vale dizer, todas as solucoes de A+B+C+D=9, teremos todas as maneiras de pintar as caixas nas quais AO MENOS UMA CAIXA FOI PINTADAS DE AZUL. Existe um algoritmo direto, mesmo uma formula, para o total de solucoes inteiras e nao negativas de uma equacao diofantina da forma X1 + ... + Xn = M, o que responde a sua questao. A formula e : Binom(N+M-1,M) No seu caso : N=4 e M=9. Logo : Binom(4+9-1,9)=220 Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 20604092020 2009/4/6 Marcelo Gomes elementos@gmail.com: Pessoal esta questão caiu em uma avaliação que fiz e o gabarito foi bem diferente do que ei fiz. Por favor se alguém tiver um tempinho me dê uma mão, ok ? Questão: Sejam 10 caixas de madeira, exatamente iguais. Queremos pintar cada uma delas com uma cor dentre quatro cores disponíveis: Azul, amarelo, verde e vermelho. De quantos modos podemos pintar as caixas, sabendo que pelo menos uma das caixas deve ser pintada de azul ? Minha resolução: Busquei encontrar o número ma´ximo de possibilidades para pintar as caixas. Então pensei da seguinte maneira: Na primeira caixa poderiam entra 4 cores, e na segunda 4 e na terceira 4 e.assim até a décima caixa. Então o número máximo de possibilidades de se pintar as 10 caixas pela minha conta seria 4^10. Em seguida busquei encontrar o número de possibilidades onde a cor azul não aparecesse. Então analisei que na rimeira caixa poderiam entrar 3 cores, na segunda 3 cores, na terceira 3 corese na décima 3 cores. Então pela minha conta eu teria 3^10 onde o azul não aparece. Então como preciso ter pelo menos uma caixa azul, fiz: 4^10 - 3^10 = achei 989.527 maneiras Bem pessoal pelo gabarito eu errei e muito! O gabarito deu 220 modos. Não entendi nada! Peço que vocês me ajudem por favor, para compreender o enorme erro que fiz. Abração a todos. Marcelo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Como diagonalizar uma matriz?
Pessoal, sei que a pergunta parece fácil, mas não estou conseguindo diagonalizar a seguinte matriz: 2 -1 -3 1 -2 -1 -1 1 4 0 -2 1 0 -2 -4 3 Alguém poderia me ajudar? Há como diagonalizar matrizes no Excel? -- Fernando Gama
Re: [obm-l] Como diagonalizar uma matriz?
Oi, Fernando. Esta matriz não é diagonalizável! Ela só tem 3 autovetores L.I., e não 4. São eles: Autovalor 0: (-1,7,1,6) Autovalor -4: (-5,-2,8,4) Autovalor 3: (-2,2,-1,3) (3 é raiz dupla do pol. carac., mas não há outro autovetor asssociado ao 3) Então o melhor que você consegue é colocá-la na forma de Jordan: 0 0 0 0 0 -4 0 0 0 0 3 0 0 0 1 3 Note aquele 1 abaixo do primeiro 3 -- você não vai conseguir se livrar dele. Tanto quanto eu sei, não há diagonalização de matrizes no Excel, pelo menos não nativamente nas versões que eu conheço. Abraço, Ralph 2009/4/7 Fernando Lima Gama Junior fgam...@gmail.com: Pessoal, sei que a pergunta parece fácil, mas não estou conseguindo diagonalizar a seguinte matriz: 2 -1 -3 1 -2 -1 -1 1 4 0 -2 1 0 -2 -4 3 Alguém poderia me ajudar? Há como diagonalizar matrizes no Excel? -- Fernando Gama = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Vazio pertence à (A U B) ?
A sua confusão foi com notação, vamos dizer. Se um elemento está no contido
dizemos que ele pertence ao conjunto, agora se um conjunto tem todos seus
elementos em outro conjunto então ele está contido nesse conjunto.
Se a pergunta foi o conjunto vazio pertence a um conjunto, então é falsa
nesse caso ( tome cuidado abaixo explicação), pois você comparando conjuntos
está trabalhando com relações de está ou não contido.
Tome cuidado pois posso definir um conjunto como elemento também..
Exemplos:
A={1,2,3,{4},5,6}
{4} pertence a A nesse caso.. pois o conjunto 4 é elemento de A.
5 pertence a A
{1,2,3} está contido em A
2009/4/7 Marcelo Gomes elementos@gmail.com
Olá pessoal bom dia.
Caiu em minha prova uma questão onde eram dados dois conjuntos e suas leis
de formação.O conjunto era formado por elementos pertencentes possuindo os
seguintes elementos: A= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} e o conjunto B por elementos
pertencentes a N, possuindo os seguintes elementos: B={ 2,3,4,5,6,7}.
Bem no item C da questão perguntava-se o seguinte: Se vazio (representado
sem chaves) pertence a (A U B).
Bem, respondi que sim, e em minha explicação escrevi que se chamássemos
(AUB) de conjunto C, o vazio pertenceria a tal conjunto.
O gabarito veio dizendo que: vazio pertence a (AUB) é FALSO. Pois o
elemento vazio não pertence a (AUB), mas o subconjunto vazio está contido em
(AUB).
Se alguém dispuser de um tempinho me dê uma mãozinha para eu entender isto,
por favor, ok ?
Abração, Marcelo.
Re: [obm-l] Como diagonalizar uma matriz?
Oi Ralph, obrigado pelas respostas. Mas, não sendo diagonalizável, como conseguiu achar os autovalores? Fez no braço mesmo? Pq se fizer, vai gerar um polinomio de 4º grau de dificil solução algébrica... Abcs, 2009/4/7 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Oi, Fernando. Esta matriz não é diagonalizável! Ela só tem 3 autovetores L.I., e não 4. São eles: Autovalor 0: (-1,7,1,6) Autovalor -4: (-5,-2,8,4) Autovalor 3: (-2,2,-1,3) (3 é raiz dupla do pol. carac., mas não há outro autovetor asssociado ao 3) Então o melhor que você consegue é colocá-la na forma de Jordan: 0 0 0 0 0 -4 0 0 0 0 3 0 0 0 1 3 Note aquele 1 abaixo do primeiro 3 -- você não vai conseguir se livrar dele. Tanto quanto eu sei, não há diagonalização de matrizes no Excel, pelo menos não nativamente nas versões que eu conheço. Abraço, Ralph 2009/4/7 Fernando Lima Gama Junior fgam...@gmail.com: Pessoal, sei que a pergunta parece fácil, mas não estou conseguindo diagonalizar a seguinte matriz: 2 -1 -3 1 -2 -1 -1 1 4 0 -2 1 0 -2 -4 3 Alguém poderia me ajudar? Há como diagonalizar matrizes no Excel? -- Fernando Gama = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Fernando Gama
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Re: [obm-l] Como diagonalizar uma matriz?
Fiz de cabeça... :) :) :) Tá, usei o computador de novo (não o Excel, mas o tal do Scientific Workplace). Mas se eu fizesse o polinômio de 4o grau, ele seria divisível por x (daí o autovalor 0), e aí sobraria um polinômio que é fatorável como (x-3)^2.(x+4) (daí o autovalor duplo 3, e o -4). Então, se eu tivesse feito isso, neste caso teria funcionado (pois eu teria tido sorte) e eu teria achado as raízes. Em geral, concordo que achar os 4 autovalores de uma matriz 4x4 pode ser BEM complicado, se a equação que aparecer for nojenta. Abraço, Ralph 2009/4/7 Fernando Lima Gama Junior fgam...@gmail.com: Oi Ralph, obrigado pelas respostas. Mas, não sendo diagonalizável, como conseguiu achar os autovalores? Fez no braço mesmo? Pq se fizer, vai gerar um polinomio de 4º grau de dificil solução algébrica... Abcs, 2009/4/7 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Oi, Fernando. Esta matriz não é diagonalizável! Ela só tem 3 autovetores L.I., e não 4. São eles: Autovalor 0: (-1,7,1,6) Autovalor -4: (-5,-2,8,4) Autovalor 3: (-2,2,-1,3) (3 é raiz dupla do pol. carac., mas não há outro autovetor asssociado ao 3) Então o melhor que você consegue é colocá-la na forma de Jordan: 0 0 0 0 0 -4 0 0 0 0 3 0 0 0 1 3 Note aquele 1 abaixo do primeiro 3 -- você não vai conseguir se livrar dele. Tanto quanto eu sei, não há diagonalização de matrizes no Excel, pelo menos não nativamente nas versões que eu conheço. Abraço, Ralph 2009/4/7 Fernando Lima Gama Junior fgam...@gmail.com: Pessoal, sei que a pergunta parece fácil, mas não estou conseguindo diagonalizar a seguinte matriz: 2 -1 -3 1 -2 -1 -1 1 4 0 -2 1 0 -2 -4 3 Alguém poderia me ajudar? Há como diagonalizar matrizes no Excel? -- Fernando Gama = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Fernando Gama = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Provar q ue raiz de 2 não é r acional.
Para uma prova de um resultado geral, do qual raiz(2) é um caso particular, dê uma olhada neste link http://answers.yahoo.com/question/index;_ylt=AnMLanfMAP2UTFvIemEdmWfsy6IX;_ylv=3?qid=20090406134112AAIkOK6show=7#profile-info-DWoot6l7aa A prova geral pode ser também feita pelo teorema fundamental da aritmética, mas gosto muito da baseada no teorema das raízes racionais. Artur _ Emoticons e Winks super diferentes para o Messenger. Baixe agora, é grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria d os Números
Na realidade, o conjunto A = {(x,y) em R^2 : x 0, y 0, x e y irracionais e
x^y racional} nao eh enumeravel.
Para cada transcende x 0 fixo, a função f(t) = x^t, t 0, eh continua e seu
conjunto imagem eh (1, oo), se x 1, ou (0, 1), se 0 x 1. Fixemos um
racional r em, digamos, (1, oo), supondo x 1. Pelo teorema do valor
intermediario, existe um t para o qual f(t) = x^t = r. Assim, t = log r (base
x), com x 1. Como esta função logaritmica é estritamente decrescente, para
diferentes valores de x obtemos diferentes valores de t. Verificamos também que
cada um destes números t eh irracional, pois transcendente elevado a racional
não nulo é sempre transcendente. Um raciocínio similar vale se x for um
trannscendente em (0, 1).
Como todo transcendente é irracional, existe, desta forma, uma bijecao entre um
subconjunto de B de A e o conjunto dos trannscendentes positivos. Como este
último não é enumerável, segue-se que B - e, portanto, A - não são enumeráveis.
Vemos, também, que em cada (x,y ) de A, x é transcendente. Se x fosse
algebrico, o teorema de Gelfond/Scheneider implicaria que x^y, contrariamente
aa hipotese, fosse irracional.
Artur
Date: Sun, 5 Apr 2009 02:57:26 -0300
From: ne...@infolink.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da
Teoria dos Números
Oi, Bouskela,
Este é outro Ponce O que você imaginou é MUTO, mas MUITO mais velho mesmo.
Quase tanto quanto eu ... Hahaha.
Abraços,
Nehab
Albert Bouskela escreveu:
Pois é, Ponce, é bom vê-lo por aqui, saudações!
Esta é a solução que conheço. Um primor de Lógica Matemática. É claro que não
se consegue identificar nem “x” nem “y”, apenas se descobre que eles existem.
É claro que sqrt(2)^sqrt(2) leva todo o jeito de ser irracional...
Albert Bouskela
bousk...@gmail.com
bousk...@ymail.com
From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf
Of Gabriel Ponce
Sent: Saturday, April 04, 2009 4:33 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números
Tome x=y=sqrt(2).
Se x^y for irracional o problema está resolvido, caso contrário z=x^y é
irracional.
Neste caso,
z^(sqrt(2)) = sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = 2
que é racional, e o problema está resolvido.
^^
2009/4/4 Albert Bouskela bousk...@ymail.com
Mostre que existem pelo menos dois números IRRACIONAIS, x e y, tais que
x^y é RACIONAL.
Não se assustem: a solução é simples é curta, mas requer criatividade.
Saudações,
AB
bousk...@gmail.com
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