Re: [obm-l] serie para ln(2)
2009/5/5 fabrici...@usp.br fabrici...@usp.br: Seja S = 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + ... = Ln(2) Interessante observar que: 1 = integral(0;1) 1 dx 1/2 = integral(0;1) x dx 1/3 = integral(0;1) x^2 dx 1/4 = integral(0;1) x^3 dx e, de forma geral 1/n = integral(0;1) x^(n-1) dx Assumindo que a soma de infinitas integrais pode ser escrita como a integral da soma dos infinitos integrandos, podemos escrever: S = integral(0;1) [1 - x + x^2 - ... ] Opa! Isso é uma coisa beeem delicada. Aliás, foi exatamente esse tipo de problema que nos trouxe as integrais de Lebesgue, porque a de Riemann falha estrepitosamente... e inclusive nesse exemplo, de certa forma. Repare que, em x = 1 a série 1 - x + x^2 - x^3 é na verdade 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... que não converge nem diverge. Por outro lado, em todos os outros pontos, a série converge para 1/(1+x) e portanto gostaríamos de dizer que não só a série converge (em algum sentido) para 1/2 (dê uma olhada em somas de Cèsaro), mas que, independentemente disso (lembra que a integral não depende do valor na extremidade ?) deveria dar certo. E, ainda mais, você gostaria de poder generalizar este exemplo em situações mais gerais, para evitar que esse problema tivesse que ser tratado cada vez em particular. Matemáticos como Euler, principalmente, mas certamente Newton, Fourier, ... usaram e abusaram de processos falsos de troca de limites (ou seja, somas infinitas, integrais, limites clássicos, ...) para atingir resultados válidos por meios intuitivos, e legaram aos seus sucessores o pepino de mostrar que o que eles fizeram era correto, desde que visto da maneira certa, e, parafraseando o Elon, mais de cima. E essa transformação da intuição num teorema é o que faz avançar a matemática ! Em tempo : note que a observação do Bouskela é a chave para a solução do problema do Paulo, se vista da forma correta (lembra do critério de Cauchy para convergência ? note que ele é muito mais útil quando se trata de séries alternadas !!!) : a série acumulada 1/2n - 1/(2n+1) converge muito mais rápido do que a série (-1)^n/n ! Um grande abraço, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] QUESTÃO DO ITA 92
Seja A uma matriz 3 x 3 tal que detA = 0. Considere as afirmações: I. Existe X 3 x 1 não nula tal que AX é identicamente nula. II. Para todo Y 3 x 1, existe X 3 x 1 tal que AX = Y. pessoal, essas duas afirmações são tais que a primeira é verdadeira e a segunda é falsa. Gostaria de alguma sugestão elegante para mostrar, uma vez que a maneira que fiz ficou longa demais. Obrigado, Vanderlei OBS: A propósito, alguém tem a prova do ITA DE 1992 resolvida? Só falta essa para minha coleção desde 1980. Valeu
[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO DO ITA 92
Olá. Eu não proporia essa solução para estudantes do nível médio, mas, se você procura uma solução elegante e acha razoável a utilização de álgebra linear, a questão admite uma solução trivial. i) Teorema: det(A)=0 = as colunas de A são LD (linearmente dependentes) ii) A multiplicação de uma matriz nXn por um vetor-coluna nX1 equivale simplesmente a promover uma combinação linear das colunas de A para obter um novo vetor-coluna nX1. iii) Se as colunas de A são LD, então, *por definição*, há uma combinação linear (coeficientes dados pelos componentes de X) delas *não trivial* (pelo menos um dos elementos de X não nulo) que resulta no vetor nulo. Isso garante a veracidade da afirmação I. iv) Se a afirmação II fosse verdadeira, as colunas de A constituir-se-iam em uma base do espaço vetorial dos vetores-coluna 3 X 1. Porém, as colunas de A são LD, de modo que elas não podem constituir uma base de tal espaço. Logo, a afirmação II é falsa. [], Leo. 2009/5/5 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Seja A uma matriz 3 x 3 tal que detA = 0. Considere as afirmações: I. Existe X 3 x 1 não nula tal que AX é identicamente nula. II. Para todo Y 3 x 1, existe X 3 x 1 tal que AX = Y. pessoal, essas duas afirmações são tais que a primeira é verdadeira e a segunda é falsa. Gostaria de alguma sugestão elegante para mostrar, uma vez que a maneira que fiz ficou longa demais. Obrigado, Vanderlei OBS: A propósito, alguém tem a prova do ITA DE 1992 resolvida? Só falta essa para minha coleção desde 1980. Valeu
[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO DO ITA 92
Ola Vanderlei e demais colegas desta lista ... OBM-L, Nos podemos pensar em A como os coeficientes numeros das incoginitas de um sistema ( linear ) de tres equacoes a tres incognitas. Olhando assim : I ) Obviamente verdadeira, pois um sistema homogeneo so admite solucao diferente da trivial ( solucao trivial : (0,0,0) ) se o determinante da matriz dos coeficientes das incognitas e diferente de zero. II) Obviamente falsa, pois basta tomar um Y tal que a segunda e terceira coluna da matriz dos coeficientes das incoginitas juntas com o Y forme uma matriz 3x3 com determinante diferente de zero. Neste caso, as caracteristicas da matriz principal e secundaria serao diferente e, pelo teorema de rouche, teremos um sistema impossivel. O Teorema de Rouche permite discutir um sistema linear considerando as caracteristicas da matriz principal ( matriz dos coeficientes das incoginitas, caracteristica = X ) e da matriz segundaria ( matriz principal + coluna dos termos independentes, caracteristica = Y ). Vale o seguinte : X=Y=N = sistema possivel e determinado X=Y N = sistema possivel indeterminado X # Y = sistema impossivel NOTA : caracteristica de uma matriz ( tambem chamada de outros nomes. Estou usando esta expressao porque voce parece ser estudante de nivel medio ) e a ordem da matriz de maior ordem com determinante diferente de zero contido na matriz sob consideracao. Um Abracao PSR 3050509120F 2009/5/5 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br: Seja A uma matriz 3 x 3 tal que detA = 0. Considere as afirmações: I. Existe X 3 x 1 não nula tal que AX é identicamente nula. II. Para todo Y 3 x 1, existe X 3 x 1 tal que AX = Y. pessoal, essas duas afirmações são tais que a primeira é verdadeira e a segunda é falsa. Gostaria de alguma sugestão elegante para mostrar, uma vez que a maneira que fiz ficou longa demais. Obrigado, Vanderlei OBS: A propósito, alguém tem a prova do ITA DE 1992 resolvida? Só falta essa para minha coleção desde 1980. Valeu = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO DO ITA 92
Ola Pessoal, Correcao : No item I) eu quis dizer : o determinante da matriz dos coeficientes da incognitas E IGUAL A ZERO 2009/5/5 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com: Ola Vanderlei e demais colegas desta lista ... OBM-L, Nos podemos pensar em A como os coeficientes numeros das incoginitas de um sistema ( linear ) de tres equacoes a tres incognitas. Olhando assim : I ) Obviamente verdadeira, pois um sistema homogeneo so admite solucao diferente da trivial ( solucao trivial : (0,0,0) ) se o determinante da matriz dos coeficientes das incognitas e diferente de zero. II) Obviamente falsa, pois basta tomar um Y tal que a segunda e terceira coluna da matriz dos coeficientes das incoginitas juntas com o Y forme uma matriz 3x3 com determinante diferente de zero. Neste caso, as caracteristicas da matriz principal e secundaria serao diferente e, pelo teorema de rouche, teremos um sistema impossivel. O Teorema de Rouche permite discutir um sistema linear considerando as caracteristicas da matriz principal ( matriz dos coeficientes das incoginitas, caracteristica = X ) e da matriz segundaria ( matriz principal + coluna dos termos independentes, caracteristica = Y ). Vale o seguinte : X=Y=N = sistema possivel e determinado X=Y N = sistema possivel indeterminado X # Y = sistema impossivel NOTA : caracteristica de uma matriz ( tambem chamada de outros nomes. Estou usando esta expressao porque voce parece ser estudante de nivel medio ) e a ordem da matriz de maior ordem com determinante diferente de zero contido na matriz sob consideracao. Um Abracao PSR 3050509120F 2009/5/5 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br: Seja A uma matriz 3 x 3 tal que detA = 0. Considere as afirmações: I. Existe X 3 x 1 não nula tal que AX é identicamente nula. II. Para todo Y 3 x 1, existe X 3 x 1 tal que AX = Y. pessoal, essas duas afirmações são tais que a primeira é verdadeira e a segunda é falsa. Gostaria de alguma sugestão elegante para mostrar, uma vez que a maneira que fiz ficou longa demais. Obrigado, Vanderlei OBS: A propósito, alguém tem a prova do ITA DE 1992 resolvida? Só falta essa para minha coleção desde 1980. Valeu = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] produtos notaveis
Sauda,c~oes, Oi Márcio Pinheiro, Legal, gostei. Mas me parece que o Bernardo(?) deu uma sugestão para um começo de solução. Ou não? Se sim, como seria esta solução? []'s Luís Date: Thu, 30 Apr 2009 05:41:38 -0700 From: profmar...@yahoo.com.br Subject: Re: [obm-l] produtos notaveis To: obm-l@mat.puc-rio.br Saudações. O melhor caminho que vislumbro pra resolver esse tipo de questão não é exatamente por produtos notáveis, mas por números complexos. LEMA: Sendo x um número complexo, não real, x + 1/x é real se, e somente se, x tem módulo unitário. Adotar-se-á a notação cisk para significar cosk + isenk, sendo k um número real e i^2 = - 1. Seja x = pcisk, em que p = módulo de x (número real positivo, já que x não é nulo). Pela 1ª Lei de De Moivre, x^n = p^ncis(nk), qualquer que seja n inteiro. PROVA DO LEMA: x + 1/x = x + x^(-1) = pcis k + p^(-1)cis(-k)= (p + 1/p)cosk + i(p - 1/p)senk, que é um número real se, e somente se, p = 1/p, pois senk é diferente de zero. Daí, p = 1, como se desejava demonstrar. Assim, sendo x + x^(-1) = (1+sqrt5)/2 (o número de ouro, por sinal), é fácil ver que x não pode ser real, porque o discriminante (delta) é negativo. Logo, de acordo com o lema precedente, x = cisk, com k real. Daí, x + x^(-1) = 2cosk = (1+sqrt5)/2, ou seja, cosk = (1+sqrt5)/4 = cos (pi/5). Portanto, usando o argumento principal (isto é, de 0 a pi) para o valor de k, pode-se tomar x = cis (pi/5). Pela 1ª Lei de De Moivre, conclui-se que: x^2000 + x^(-2000) = 2cis(400pi) = 2(1 + 0i) = 2. Espero ter ajudado. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Marcus marcusaureli...@globo.com escreveu: De: Marcus marcusaureli...@globo.com Assunto: [obm-l] produtos notaveis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 21:00 Alguem sabe como se faz essa questão? Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] serie para ln(2)
Sauda,c~oes, Oi Paulo e para os outros três que responderam, Então de 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) posso fazer [1 - (1/2)] + [1/3 - (1/4)] + [1/5 - (1/6)] + ... e obter o mesmo resultado?? Sempre, ou seja, posso botar [ ] à vontade em séries cond. convergentes? Ando sempre em águas turvas com estas manipulações de séries cond. conv. P.S.: Paulo, o Rousseau acabou de me dizer que encontrou uma solução para aquela conjectura. Mas não a tenho. Obrigado pelo seu email a respeito. Muito trabalho nele. []'s Luís From: paulo.santar...@gmail.com Date: Mon, 4 May 2009 18:22:28 -0300 Subject: Re: [obm-l] serie para ln(2) To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Luis e demais colegas desta lista ... OBM-L, A expressao 1(2n(2n-1)) pode ser olhada assim :: 1/(2n(2n-1)) = ( 1/(2n-1) ) - ( 1/2n ) Assim, para n=1, 2, 3, ... 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) De maneira geral, se A1, A2, A3, ... e uma PA, a expressao soma de 1/(Ai+1*Ai+2*Ai+3*...*Ai+k) onde i = 1, 2, 3, ... e k=2 Tambem permite uma olhada especial de onde deriva sua soma. Como fazer isso ? Exemplo : 1/(Ai*Ai+1*Ai+2) = (1/(2(r^2)))*((1/Ai) - (2/(Ai+1)) + (1/Ai+2)) Use o fato de que Ai= (Ai+1) - r e Ai+2 = (Ai+2) + r, onde r e a razao da PA Agora, considere o seguinte : Seja S = 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + ... = Ln(2) Nos olhar esta serie assim : +-+-+-+- ... onde, sem tirar os termos de lugar, notamos que em cada posicao par ha um sinal - e em cada posicao impar ha um sinal +. Representarei este fato com a notacao S (1,1), significando que apos 1 sinal par segue um impar. O simbolo S(2,3) significa que apos 2 sinais + sempre seguem 3 sinais -, assim : S(2,3) = 1 + (1/2)-(1/3)-(1/4)-(1/5)+(1/6)+(1/7) - (1/8)-(1/9)-(1/10)+... Eu afirmo que S(N,P) converge se N e P sao inteiros positivos. Como provar isso ? Um Abraco a Todos PSR, 20405091800 2009/5/4 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com: Sauda,c~oes, No meio de vários reply ao thread CEGUEIRA FRACIONÁRIA! encontrei a seguinte mensagem: [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o segundo: [...] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 1/2 [...] Como demonstrar a curiosidade acima? []'s Luís Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Descubra uma nova internet. Internet Explorer 8. Mergulhe. _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO DO ITA 92
Olá Vanderlei, tenho a prova do ITA de 1992 resolvida, Se ainda não lhe enviaram, posso enviar-lhe. Palmerim 2009/5/5 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Seja A uma matriz 3 x 3 tal que detA = 0. Considere as afirmações: I. Existe X 3 x 1 não nula tal que AX é identicamente nula. II. Para todo Y 3 x 1, existe X 3 x 1 tal que AX = Y. pessoal, essas duas afirmações são tais que a primeira é verdadeira e a segunda é falsa. Gostaria de alguma sugestão elegante para mostrar, uma vez que a maneira que fiz ficou longa demais. Obrigado, Vanderlei OBS: A propósito, alguém tem a prova do ITA DE 1992 resolvida? Só falta essa para minha coleção desde 1980. Valeu -- Palmerim
